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UNMSM Aritmética SEMANA 9 TEORÍA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS SD º N,2 Divisores compuestos de N: 27 – 4 = 23 444 C) 12 RPTA.: A 3. RESOLUCIÓN Si: M 20x 30x 2 ; tiene 48 divisores positivos múltiplos de 5 y además impares. Halle “x” A) 1 D) 4 A 32 6 6 n 20 6 n A 2 2 5 2 n 3n B) 2 E) 5 RESOLUCIÓN CD A 444 4 M 20x 30x 2 M 22x 5x 2x 2 3x 2 5x 2 M 23 x2 3 x2 52 x2 M 5 3 x2 52 x1 23 x2 no compuestos CD A n 3 (n 1) (1 1) 448 CD A n 3 (n 1) 224 13 313 1 n = 13 0 Divisores impares 5 RPTA.: A CD 0 48 x 3 2x 2 En el número N 30a , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores compuestos de N. CD 0 24 x 3 x 1 CD 0 6 4 3 3 3 1 A) 23 D) 32 B) 22 E) 14 5 impares 5 impares 5 impares C) 21 x =3 RPTA.: C RESOLUCIÓN N 2a 3a 5a N 2(2a1 3a 5a ) SD º N,2 C) 3 A 2n 2 3n 5 CD A 448 2. CD N 3 3 3 27 Calcule “n” si A tiene divisores compuestos. B) 11 E) 16 N 2 2 32 5 2 n cifras A) 13 D) 15 Sólo cumple para a = 2 Sea A 32000...00 6 1. 2a 1 3a1 1 5a1 1 3 26 124 2a 1 3a 1 1 5a 1 1 2 2418 2 4 1 º Divisores 2 4. Halle un número divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores. A) 552 D) 288 B) 576 E) 342 C) 522 RESOLUCIÓN SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO UNMSM Aritmética 0 M abc 6 2x 3y CD (M) 21 7 3 Solo cumple: x = 6; y =2 ab = primo² Solo cumple: ab = 5² ó 7² Hay 2 números 7. Si a2 b3 posee 35 divisores y M 26 32 64 9 576 RPTA.: B RPTA.: E a b n 5. Si N 2.5.3 tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cúbicos de N. A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 (n + p) A) 5 D) 9 C) 3 . N 3 5 2 5 2 . N2 5 2 2 1 5 Luego: N2 y Dando forma N x2 CD 0 1 16 4 3 CD 0 1 2 16 a b n 20 5 3 2 2 1 3 1 x 4 y6 n x2n y2n B) 5 E) 2 C) 4 RESOLUCIÓN Efectuando la descomposición polinómica se obtendrá: N abab 101ab Además: CDN 1 1 2 1 p9 49 2n 1 7 n 3 p4 piden: n p 7 5 3 Halle cuántos números de la forma abab existen, tales que poseen 6 divisores. A) 6 D) 3 x2 y2 2n 1 CDcubi cos 1 11 1 4 RPTA.: D 6. 3 2 Posee: 2n 1 2n 1 p9 5 3 2 Donde: a = x² ; b = y² 15 3 4 De donde 3 C) 7 N a2 b3 35 divisores Como: 35 5 7 4 16 1 N 2.5.3 1 B) 6 E) 10 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN posee p9 divisores; halle RPTA.: C 8. Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de N, es los A) 10 D) 13 85 de N (a y b primos). 28 B) 11 E) 14 C) 12 RESOLUCIÓN N 27 a b ; aplicando el método y simplificando SDN 28 1 a 1 b 1 85 28 2 ab 177 5 7 25 ab Como 101 es primo SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO UNMSM Aritmética 7 255 a 1b 1 17 5 25 ab divisiones sucesivas para obtener la descomposición del primo 2 en 31! a y b son 3 y 7 a b 10 32! 31! 32 231N CD32! 32n RPTA.: A 9. 32n 27 RPTA.: C Halle el promedio aritmético de los divisores del número 360. A) 16,25 C) 68,15 E) 97,5 B) 48,75 D) 47,85 32! 31! 32 231 N CD32! 11. A) 80 C) 100 E) 140 RESOLUCIÓN 3 2 1 360 2 3 5 Calcule de la suma de divisores de 360: 3 El número entero considerado admite como factor primo a tres: 2 1170 Promedio aritmético = 24 PADivisores 48,75 RPTA.: B 10. B) 90 D) 120 RESOLUCIÓN 2 1 3 1 5 1 SD360 1170 2 1 3 1 5 1 CD360 3 1 2 1 1 1 24 4 Un número tiene 24 divisores y el triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos divisores tiene el triple del cuadrado del mismo? N 3a mp np.... CDN a 1p 1q 1 .... 24 ........(1) 3 N 3 a 1 mp nq.... CDN a 2p 1q 1 ... 30 ......(2) Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32!? De (1) y (2), a =3 Reemplazando en (1) p = 1, q = 2 33 n 28 32 C) n 27 33 n E) 31 N 33 m1 n2 3N2 37 m2 n4 31 n 27 32 n D) 25 A) B) 31! = 226 N CD31! 27n n 2 2 31 15 7 SAN MARCOS 2011 CD3N2 120 RPTA.: D 12. RESOLUCIÓN 2 CD3N2 7 12 1 4 1 120 2 3 1 En el número 226800, ¿determine cuántos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 ó 9? A) 6 D) 12 B) 8 E) 14 C) 10 RESOLUCIÓN CUESTIONARIO DESARROLLADO UNMSM Aritmética multiplicarlo por 8 se cuadruplique su número de divisores; y si su cuadrado tiene 21 divisores. 226 800 24 34 52 71 CD226 800 4 1 4 12 11 1 150 CD0 3 1 4 1 2 1 1 1 120 2 A) 5 D) 10 CD0 4 1 4 1 1 1 1 1 100 5 CD 0 3 1 4 1 1 1 1 1 80 M2 ax by ; a y b primos CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 = Cd(M2 ) 21 7 3 = (x + 1)(y+1) x = 6; y = 2 CD226800 CD0 CD0 CD 0 10 2 5 10 13. RPTA.: C x 8M 23 M 23 a3 b Cd(8M) 32 32 = 4 x 4 x 2 (cumple). Luego M no contiene potencia de 2 a, b mínimos 2y Si el número. M 10 15 ; tiene el quintuple del número de divisores de P 3x 62y y este tiene 3 divisores más que 2x y R 3 7 . Halle (x + y). B) 4 E) 6 C) 7 RESOLUCIÓN M 10x 152y 2x 5x 32y 52y 2x 32y 52y x P 3x 62y 3x 22y 32y 3x 2y 52y R 32x 7y Cd (M) 5Cd(P) x 12y 12y x 1 5 x 2y 12y 1 x + 1 = 5; x =4 Cd(P) Cd(R) 3 x 2y 12y 1 x 1y 1 3 M 33 51 M 27 5 135 1+3+5=9 RPTA.: C 15. Sabiendo que 35n tiene a4 divisores. ¿Cuántos divisores n a tendrá E 33 33 ? A) 238 D) 294 B) 272 E) 296 C) 298 RESOLUCIÓN N 35n 5n 7n CDN n 1 n 1 a4 64 CDN n 1 8 n 7 a=6 5 2y2y 1 9 y 1 3 E 37 117 36 116 y=1 x+y=5 E 36 116(3 11 1) 36 116 25 RPTA.: A 14. Extraigo su raíz cuadrada. M a3 b1 Cd(M) 4 2 8 Son 10 divisores A) 5 D) 8 C) 9 RESOLUCIÓN 10 B) 13 E) 12 CD(E) 6 16 15 1 294 RPTA.: D Determine la suma de las cifras del menor número tal que al SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO UNMSM Aritmética 16. n4 ab5 625 Se tiene un número divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y además sabemos que cuando se multiplica por 27, el número de sus divisores se duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de cifras de dicho número. A) 9 D) 36 B) 18 E) 15 n=5 a=6 a + b + n = 13 RPTA.: D 18. C) 27 Se tiene un número “W” cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3; si se observa que el producto de los divisores que componen una de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de “W”. A) 5 D) 8 RESOLUCIÓN 0 b=2 B) 6 E) 9 C) 7 0 N 15 3 5 CDsimples (N) 3 ; CDprimos (N) = 2 a RESOLUCIÓN 9261 = 33 . 73 Luego los factores de W son 3 y 7 b N3 5 27 N 3a3 5b 625 N 3a 5b 4 a 1b 1 2 a 4b 2 1 3 9 7 21 63 49 147 441 a=2 a 1b 1 x 3 a 1b 5 b =1 W 441 32 72 2 N 3 5 45 4+4+1=9 4+5=9 RPTA.: E RPTA.: A 19. 17. Si: 210n 1 tiene ab 0 divisores compuestos. Halle el valor de (a + b + n); A) 10 D) 13 B) 11 E) 14 C) 12 210 2 n 1 3 CD n4 abo 5 SAN MARCOS 2011 n 1 5 CDcompuestos = ab0 CDnocompuestos = 5 B) 2 E) 5 C) 3 N 63a1 8a 26a1 33a1 CDimpuestos ab0 n 1 A) 1 D) 4 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN n 1 La suma de los divisores del número 63a1 8a es 17 veces la suma de los divisores del número 8a 33a1 . Calcule a. y n 1 7 26a 2 1 33a 2 1 2 1 3 1 3a 3a 1 M2 3 SDN SDM 22a 1 1 33a 2 1 2 1 3 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO UNMSM Aritmética Luego: SDN = 17SDM aaa 3 37 a 8 divisores a 2 ó 5 ó 7 ó 32 26a2 1 33a2 1 23a1 1 33a2 1 x 17 1 2 1 2 3a 1 3a 1 3a 1 2 13 1 17 2 1 3a 1 2 3a 1 1 17 2 Restándole “a” unidades aao 2 5 11 a 16 divisores de los valores anteriores solo cumple a =7 4 16 2 a=1 RPTA.: A 20. Si los números enteros P y Q son los menores posibles que tienen los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y Q tiene 39 divisores, determinar ¿cuántos divisores compuestos tendrá (P x Q)? A) 74 D) 125 B) 90 E) 130 C) 120 Como P y Q son los menores números enteros, se cumplirá que: CDP 35 6 1 4 1 P 26 34 CDQ 39 12 12 1 Q 212 32 P x q 2 CDN 3 1 1 1 8 RPTA.: D 22. Sea N a 1 ab 1 ba , donde a D.C N tiene 108 divisores compuestos. Calcule la suma de los divisores cuadrados perfectos de cd si cd (CDimpares RESOLUCIÓN 18 (a 1) a 1 88 23 11 se pide 3 CD compuestos =130 RPTA.: E a 1 a 1 . B) 12 E) 16 0 60 A) 32 D) 56 B) 48 E) 68 C) 85 RESOLUCIÓN CDN 108 3 1 112 CDN a 1 b 2 a 1 112 CDN a 1 b 2 16 7 42 7 2 a=3 b =5 N 23 36 53 N 23 36 x 53 C) 90 N 60 21 35 52 CD 0 N, 60 CD 2 6 3 36 IMPARES 7 4 28 cd 36 28 64 RESOLUCIÓN SAN MARCOS 2011 de N). De donde Si aaa posee 8 divisores pero al restarle “a” unidades el número de sus divisores se duplica. Halle la cantidad de divisores de A) 24 D) 8 N) (CD CDN CDC CDP 1 6 CDP Q 18 1 6 1 133 21. de CUESTIONARIO DESARROLLADO UNMSM Suma de divisores perfectos de 64: 1 + 4 + 16 + 64 = 85 Aritmética cuadrados RPTA.: C 23. Halle la suma de cifras del número N = 32 ab sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N. A) 11 D) 14 B) 12 E) 15 C) 13 RESOLUCIÓN N 25 a b SDN 3N 2 6 1 a 1 b 1 3 25 ab 7 3 a 1b 1 25 ab ayb son7y3 a7 b3 N 672 CIFRAS 15 RPTA.: E 24. Halle ( a +b ) si: 2 ab tiene 12 divisores y ab tiene 33 divisores. A) 12 D) 13 B) 15 E) 18 C) 14 RESOLUCIÓN Se verifica CDab 12 = (5+1) (1 +1) CD 2 ab 33 = (2.5 + 1)(2.1+1) Luego: ab 25 31 Son los únicos números cumplen: Luego ab = 96 a + b = 9 + 6 = 15 SAN MARCOS 2011 que RPTA.: B CUESTIONARIO DESARROLLADO