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INSTITUCIÓN EDUCATIVA MONSEÑOR ALFONSO URIBE JARAMILLO
Recuperación cuarto periodo de matemáticas grado sexto
PROFESOR: JOHN JAIRO COLORADO
TEMA: DIVISIBILIDAD
PERIODO: 4
1.- DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Cuando al dividir dos números entre sí la división resulta exacta, decimos que entre ambos números
existe una relación de divisibilidad.
Ejemplos:
20 |5
0 4
20 y 5 son divisibles
23 |5
23 y 5 no son divisibles
3 4
Cuando dos números son divisibles, al mayor de ellos le llamamos múltiplo y al menor divisor.
Ejemplos:
20 es múltiplo de 5 → se escribe 20 = M(5)
5 es divisor de 20 → se escribe 5 = D(20)
1.1. Múltiplos de un número: Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por
cualquier otro número natural.
Ejemplos:
32 es múltiplo de 16 porque 16.2 = 32 → 32 = M(16)
75 es múltiplo de 25 porque 25.3 = 75 → 75 = M(25)
35 no es múltiplo de 6, porque no hay ningún número natural que multiplicado por 6
nos de 35
a . k es un múltiplo de a → M (a)
Todo número a es múltiplo de sí mismo y de la unidad
Actividades:



Escribe cinco múltiplos de 17
Escribe cuatro múltiplos de 21
Di cuáles de estos números son múltiplos de 3: 21, 9, 16, 32, 15, 90, 80, 123, 60
1.2. Divisores de un número: Son otros que caben en él una cantidad exacta de veces.la letra D significa
divisor
Ejemplos:
2 es divisor de 8 porque 2+2+2+2 = 2.4 = 8 → 2 = DIVISOR (8)
Como consecuencia de ello 8 : 2 = 4 (un nº exacto de veces)
a = D(b) cuando a . n = b
Todo número es divisor de sí mismo.
El 1 es divisor de cualquier número.
Ejemplo: 7=D (7) porque 7:7=1
Ejemplo: 1=D (63) porque 63:1=63
Actividades:


Escribe todos los divisores de 4 y de 10
Escribe todos los divisores de 4, 8, 10, 50 y 24
1



2.
Escribe todos los divisores de 20, de 12 y de 25
Escribe 5 divisores de 100, 200, 80 y 300
Escribe 3 divisores comunes de 24, 84 y 36
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
2.1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es 0, 2 ó múltiplo
de 2.
Ejemplos:
124
358
1456
20
5200
2.2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es 3 ó múltiplo
de 3.
Ejemplos:
24 = M(3) → 2 + 4 = 6 y 6 = M(3)
1455 = M(3) → 1 + 4 + 5 + 5 = 15 y 15 = M(3)
2.3. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es 0 ó 5
Ejemplos:
25
30
1250
2465
3200
Actividades:

De los siguientes números di cuales son múltiplos de 2, de 3 y de 5:
240
321
52
69
250
390
3. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

Los números que pueden descomponerse en factores (divisores, excepto la unidad y él mismo), se
llaman números compuestos.
Ejemplos:

20 = 4.5 = 2.2.5
8 = 2.2.2
12 = 3.4 = 3.2.2
Los números que no pueden descomponerse en factores se llaman números primos.
Ejemplos:
7 = 7.1 no existen dos números naturales (salvo el 7 y el 1) que multiplicados nos den 7
5 = 5.1 no existen dos números naturales (salvo el 5 y el 1) que multiplicados nos den 5
23 = 23.1 no existen dos números naturales (salvo el 23 y el 1) que multiplicados nos den 23
4.- DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS
Ejemplo:
360 | 2
180
90
45
15
5
|2
|2
|3
|3
|5
Se expresa de la siguiente forma:
360 = 2³. 3². 5
También se puede hacer así:
2
1
360 | 2_
16
180 | 2_
00
00 90 | 2_
10 45 |3_
0 15 15 |3
0 0 5 |5
Actividades:

Descompón en producto de factores primos:
a) 380
b) 280
c) 2500
d) 400
e) 5500
f) 420
g)
h) 270
i) 700
j) 3600
2210
5.- MÁXIMO COMUN DIVISOR (m.c.d.) DE DOS O MÁS NÚMEROS
Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números.
Ejemplo: m.c.d (20, 40, 60)
D(20) = 20,10, 5, 4, 2, 1
D(40) = 40, 20, 10, 8, 5, 4, 2, 1
D(60) = 60, 30, 20, 15,12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1
Divisores comunes = 20, 10, 5, 4, 2, 1
m.c.d (20, 40, 60) = 20
Forma práctica:
20
10
5
1
40
20
10
2
60
30
15
3
2
2
5
como todos tienen quinta les saco a todos quinta y ahí finalizo ya
Que no hay un número que divida a los 3 números al mismo tiempo
Se concluye que 20 es el M.C.D
Actividades:
 Calcular el m.c.d. de 30, 60 y 90
 Calcular el m.c.d. de 30, 45 y 60
 Calcular el m.c.d. de 8, 12, 4 y 20
 Calcular el m.c.d. de 12, 24 y 36
 Calcular el m.c.d. de 20, 30, 40, 50 y 60
 Calcular el m.c.d. de 56, 112 y 84
 Calcular el m.c.d. de 500, 800 y 1000
 Calcular el m.c.d. de 50, 200, 150 y 300

6.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) DE DOS O MÁS NÚMEROS
Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números.
Ejemplo: m.c.m. de 10, 15 y 20
M(10) = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ...
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 ...
múltiplos comunes = 60, 120, ...
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, ...
m.c.m (10, 15, 20) = 60
3
Forma práctica:
1º Se descomponen en producto de factores primos:
10
5
5
5
1
15 20 2
15 10 2
15 5 3
5 5 5
1 1
EL M.C.M ES 12 X 5 = 60
12
5
Actividades:







Calcular el m.c.m. de 20, 30 y 40.
Calcular el m.c.m. de 50, 100 y 120.
Calcular el m.c.m. de 40, 100, 200 y 240.
Calcular el m.c.m. de 100, 200 y 300
Calcular el m.c.m. de 30, 45, 60 y 90
Calcular el m.c.m. de 70, 14, 35 y 105
Un autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9 minutos y el de la línea B cada 12 minutos. Si
acaban de salir ambos a la vez, ¿cuánto tardarán en volver a coincidir?.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Indica que fracción representan los siguientes gráficos
Resuelve
4
3
5
6



9
: 8 12
6
4
8
3
2





8
15
12
9
20
3
2
8
3
15





2
5
12
9
6
3
5
6
4
7





8
12
9
6
20
8
6
9
2
3





5
4
10
25
2
6
2
4
1




15 12
9
2
9
2
8
3
15





4
5
12
9
6
8
3
2



12
9
20
6
4
8
3
2





5
15
25
9
15
6
4
8
3
2





8
15
12
9
20
5
4
8
2
3





8
6
9
3
24
3
5
3
1
7





7
14
49
4
2
5
4
8
2
3





8
6
9
3
24
2
4
5
3
2





8
6
4
16
3
5
6
2
4
1





3
15
12
9
2
8
6
9
2
3





5
4
10
25
2
8
6
9
2
7





5
4
6
9
2
3
2
8
3
15





2
5
12
9
6
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador el producto de los denominadores. Es importante observar si
se puede simplificar algo antes de empezar a multiplicar. El puntico significa por:
Resolver.
Ejercicios
3 2 8 3 15
8 6 9 2 5
· · · ·

· · · · 
2 5 12 9 6
5 4 10 6 2
6 4 8 3 2
8 6 9 2 7
· · · ·

· · · · 
8 15 12 9 20
5 4 6 9 2
División de fracciones:
Para dividir fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda fracción
Ejercicios:
3 2
:

2 5
6
4
:

8 15
5 4
:

8 6
8 6
:

5 4
8 6
:

5 4
6 4
:

4 3
Simplifique las siguientes Fracciones.
1.
3
6
2. 15
45
5
3. 4
9
4.
2
8
5.
6
12
6. 12
48
B. Indique cuál fracción es mayor. (Utiliza el signo de >, <)
7.
6
11
9. 4
9
2
9
8. 4
11
6
7
12
17
10. 4
3
9
2
6