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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA ÁREA DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICA APLICADA TITULACIÓN: INGENIERO AGRÓNOMO ASIGNATURA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA INGENIERÍA CÓDIGO DE LA ASIGNATURA: 142211007 TIPO: TRONCAL - ANUAL CREDITOS: 15 TEÓRICOS: 9,0 PRÁCTICOS: 6,0 CURSO : 1º PROFESOR RESPONSABLE: José Martínez FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA INGENIERÍA PROGRAMA DE LA ASIGNATURA (RESUMIDO) 1.1 Operaciones con conjuntos 1.1.1 Unión 1.1.2 Intersección 1.1.3 Complementario 1.1.4 Diferencia 1.1.5 Propiedades 1.1.6 Partición de un conjunto 1.2 Producto de dos conjuntos. Relaciones 1.2.1 Aplicación 1.2.2 Leyes de composición. Estructuras algebraicas 1.3 El cuerpo de los números complejos 1.3.1 Inmersión de R en C 1.3.2Representación geométrica de los números complejos 1.3.3 Módulo y argumento 1.4 Sistemas de ecuaciones 1.4.1 Sistemas equivalentes 1.4.2 Método de Gauss 2 Matrices 2.1 Concepto de matriz 2.1.1 Tipos de matrices. Definición 2.2 Operaciones con matrices 2.2.1 Suma 2.2.2 Producto por un escalar 2.2.2.1 Propiedades 2.2.3 Producto de matrices 2.2.3.1 Propiedades 2.2.4 Trasposición de matrices 2.2.4.1 Propiedades 2.2.5 Matrices invertibles 2.2.5.1 Propiedades 2.3 Equivalencia de matrices 2.3.1 Transformaciones elementales de matrices 2.3.2 Matrices elementales 2.3.2.1 Propiedades 2.4 Ejercicios 3 Determinantes 3.0.1 Expresión del valor de un determinante 3.0.1.1 Valor de un determinante 3.0.1.2 Desarrollo de un determinante por una línea 3.0.1.3 Consecuencias 3.0.1.4 Rango de una matriz 4 Espacios Vectoriales 4.1 Concepto de espacio vectorial. Propiedades. 4.1.1 Propiedades inmediatas 4.2 Subespacios vectoriales. 4.2.1 Caracterización de los subespacios vectoriales. 4.2.2 Intersección y suma de subespacios. 4.3 Combinaciones lineales. 4.3.1 Dependencia e independencia lineal 4.3.2 Propiedades. 4.3.3 Espacios vectoriales de tipo finito. 4.3.4 Propiedades. 4.3.5 Teorema de la base incompleta. 4.3.6 Cambio de base 4.3.7 Suma directa de subespacios 4.3.7.1 Subespacios suplementarios 4.3.7.2 Propiedades 4.3.8 Fórmula de las dimensiones 5 Aplicaciones lineales 5.1 Definición 5.2 Núcleo e imagen 5.3 Aplicaciones lineales inyectivas 5.3.1 Isomorfismos 5.4 Ecuación y matriz asociada a una aplicación lineal 5.4.0.1 Expresión matricial de un homomorfismo 5.4.1 Cambio de base. Matrices equivalentes 6 Sistemas de ecuaciones lineales 6.1 Introducción 6.2 Sistemas de Cramer. Regla de Cramer 6.3 Sistemas equivalentes 6.4 Teorema de Rouche-Frobenius 7 Diagonalización de un endomorfismo 7.1 Introducción 7.2 Subespacios invarantes. Vectores y valores propios 8 Espacios euclideos 8.1 Definición y expresión analítica del producto escalar 8.2 Longitudes, ángulos y ortogonalidad. 8.3 Bases ortonormales en un espacio euclideo. 8.4 Proyección ortogonal 8.5 Método de mínimos cuadrados 9 Números reales. Sucesiones.Series 9.0.1 Axiomas de R. 9.0.2 Propiedades de R. 9.0.3 Principio de intervalos encajados 9.0.4 Valor absoluto 9.1 Sucesiones de números reales 9.1.1 Limite de una sucesión 9.1.2 Algebra de limites 9.1.3 Indeterminaciones 9.1.4 Equivalencias 9.1.5 Ordenes de magnitud 9.1.6 Criterio de Stolz 9.2 Series numericas 9.2.1 Criterios de convergencia 9.2.2 Series de terminos positivos 9.2.2.1 I Comparación de series (criterio de Gauss) 9.2.2.2 II Criterio de comparacion de series (comparación en el límite 9.2.2.3 Criterio del cociente.(D'Alembert) 9.2.2.4 Criterio de la raiz (Cauchy) 9.2.2.5 Criterio de Raabe-Duhamel. 9.2.2.6 Criterio logaritmico o de Cauchy 9.2.3 Series de términos arbitrarios. 9.2.3.1 Series alternas 9.2.3.2 Convergencia absoluta 9.2.4 Series sumables 9.2.4.1 Series geométricas 9.2.4.2 Series aritmético-geométricas 9.2.4.3 Series hipergeométricas 9.2.4.4 Series telescópicas 10 Funciones reales de variable real 10.1 Límite de una función en un punto 10.1.0.1 Propiedades 10.1.0.2 Límites laterales 10.1.0.3 Desigualdades entre funciones y límites 10.1.0.4 Funciones equivalentes en un punto. 10.2 Funciones continuas 10.2.1 Propiedades de las funciones continuas en un punto 10.2.2 Continuidad en un intervalo 10.2.3}Funciones monótonas continuas e inversas 11 Funciones diferenciables de R en R. 11.1 Derivada y diferencial 11.1.1 Función diferenciable. 11.1.2 Cálculo de derivadas 11.1.3 Derivadas sucesivas 11.2 Teoremas de Rolle y de los Incrementos finitos. 11.2.1 Fórmula de Taylor 11.2.1.1 Polinomio de Taylor de una función. 11.2.2 Representación gráfica de funciones 12 Funciones en el espacio R^n 12.0.1 Definición de límite de una sucesión 12.0.2 Funciones 12.0.3 Límite de una función 12.0.3.1 Límites direccionales 12.0.3.2 Límites reiterados, iterados o sucesivos 12.0.3.3 Límite en el infinito y límite infinito 12.0.4 Propiedades de los límites 12.0.5 Funciones continuas 13 Derivabilidad y diferenciabilidad en R^n 13.1 Funciones escalares 13.1.1 Función derivada parcial. Derivadas sucesivas 13.1.2 La diferencial 13.1.2.1 Condición suficiente de diferenciabilidad 13.1.2.2 Relación entre diferenciabilidad, derivabilidad y continuidad 13.2 Funciones vectoriales 13.2.1 Matriz Jacobiana 13.3 Diferenciales de orden superior 13.3.1 Teorema de Taylor 13.3.2 Extremos relativos 13.3.3 Extremos relativos. Multiplicadores de Lagrange 14 Cálculo de primitivas. 14.0.4 Concepto de primitiva 14.0.5 Integración de funciones elementales 14.0.6 Integración por descomposición 14.0.7 Integración por sustitución 14.0.8 Integración por partes 14.0.9 Integración de funciones racionales 14.0.10 Integración de funciones trigonométricas 14.0.11 Integración de irracionales algebráicos 15 Integral definida 15.0.1 Sumas de Darboux 15.0.2 Integrabilidad Riemann 15.0.2.1 Sumas de Riemann 15.0.3 Teorema fundamental del cálculo 15.0.4 Cambio de variable 15.0.5 Ejercicios 15.0.6Integrales impropias 15.1 Aplicaciones de la integral definida 15.1.1 Areas de figuras planas 15.1.2 Rectificación de curvas planas 15.1.3 Volúmenes de sólidos de sección conocida 15.1.4 Volúmenes de revolución 15.1.5 Área de una superficie de revolución 16 Integrales dobles 16.0.1 Cambio de variables 17 Ecuaciones diferenciales 17.1 Generalidades\contentsline 17.1.1 Solucion de una E.D.O. 17.1.2 Curvas integrals 17.2 Ecuaciones separables 17.3 Ecuaciones homogéneas 17.3.1 Ecuaciones reducibles a homogéneas 17.4 Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante 17.4.1 Factor integrante 17.4.2 Ecuaciones lineales 17.4.3 Ecuaciones que se pueden reducir a lineales 17.4.3.1 Ecuación de Bernoulli 17.4.3.2 Ecuación de Ricatti 17.4.3.3 Ecuación de Lagrange 17.4.3.4 Ecuación de Clairaut 17.5 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. 17.5.1 E.D.L. Homogéneas con coeficientes constantes. 17.5.2 Ecuaciones reducibles a coeficientes constantes. 17.5.2.1 Ecuación de Euler 17.5.2.2 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas 17.5.3 Método de resolución 17.5.3.1 Método de los coeficientes indeterminados 17.5.3.2 Variación de parámetros Bibliografía Cánovas J.S., Murillo J.A., Fundamentos Matemáticos de la Ing., ed ICE, 1999 J. de Burgos, Álgebra lineal, ed. McGraw Hill. 1994. J. de Burgos, Cálculo infinitesimal de una variable, ed. McGraw Hill. J. de Burgos, Cálculo infinitesimal de varias variables, edd. McGraw Hill. A. de la Villa, Problemas de Algebra, ed. CLAGSA, 1998. García A.; A. de la Villa, Cálculo I, ed. CLAGSA, 1994. García A.; A. de la Villa, Cálculo II, ed. CLAGSA, 1994. Tebar Flores, 909 Problemas de Cálculo Integral, Tomos I y II, ed. Tebar Flores . Demidovich B., Problemas y ejercicios de análisis matemático. ed. Paraninfo Krasnov, M.; Kiseliov,A.; Makarenko,G.; Shikin,E., Curso de matemáticas superiores para ingenieros, Tomos I y II, ed. MIR Franco M., Martínez F. y Molina R., Lecciones de cálculo infinitesimal, 1 y 2, ed. S.P.U.M. 1995. Franco M., Martínez F. y Molina R., Cálculo I, ed. D.M., 1997. Granero F., Cálculo Infinitesimal (una y varias variables), ed. McGraw Hill . Hernández E., Álgebra y Geometría. Addisson- Wesley, 1994. Izquierdo J. y Torregrosa J.R., Álgebra y ecuaciones diferenciales. S.P.U.P.V. Pita Ruiz, C.; Ecuaciones Diferenciales, Ed Limusa 1989. Simons, G.F.; Ecuaciones Diferenciales, Ed. McGraw-Hill, 1993. Programa de Prácticas (Resumido) Las prácticas a realizar serán de dos tipos: Prácticas de Pizarra: (aproximadamente el 75%) (4,5 créditos) Consistentes en la resolución, en grupos reducidos, de problemas correspondientes a los temas teóricos, así como sus diversas aplicaciones en el ámbito de la Ingeniería. Prácticas de Laboratorio: (aproximadamente el 25%) (1.5 créditos) Dichas prácticas se centran, fundamentalmente, en la resolución de problemas diversos, de aplicación a la ingeniería, mediante el software adecuado (en nuestro caso nos centramos en el paquete MATHEMATICA (DERIVE). Dichas prácticas se realizaran en el Aula de Informática o en el propio Departamento. Para ello se tienen previstas las siguientes sesiones (la duración estimada de la sesión será de una hora): Sesión 1.- Introducción al Programa Mathematica. Sesión 2.- Matrices y sistemas de Ecuaciones Lineales. Sesión 3.- Aplicaciones Lineales. Sesión 4.- Valores y Vectores Propios. Diagonalización. Sesión 5.- Espacios con Producto Escalar. Sesión 6.- Series Numéricas. Sesión 7.- Resolución Aproximada de Ecuaciones. Sesión 8.- Sucesiones y Series de Funciones. Sesión 9.- Aproximación de Funciones. Sesión 10.- Extremos. Sesión 11.- Integración Aproximada. Sesión 12.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Aplicaciones. Sesión 13.- Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Aplicaciones. Sesión 14.- Soluciones por Series de Potencias de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Sesión 15.- Sistemas Diferenciales Ordinarios. Bibliografía: Fernández-Ferreiros Erviti, Ana y Sein-Echaluce Lacleta, Mª Luisa: Álgebra Lineal Prácticas con Mathematica, Edit. Prensas Universitarias de Zaragoza, 1995. Blachman, N: Mathematica, un enfoque práctico, Edit. Ariel, 1993. Wolfram, S.: The Mathematica, versión 3.0. Ed. Wolfram Media, 1996. Fernández-Ferreiros Erviti, Ana y Sein-Echaluce Lacleta, Mª Luisa: Cálculo Prácticas con Mathematica, Edit. Prensas Universitarias de Zaragoza, 1995. EVALUACIÓN DEL ALUMNO: Se realizarán dos exámenes parciales (eliminatorios) y un examen final de toda la asignatura para aquellos alumnos que no hayan superado la misma parcial o totalmente. Las pruebas serán de carácter teórico-práctico (30%-70% aproximadamente) sobre 10 puntos y habrá que alcanzar un mínimo de 5 puntos para superar la prueba.