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MOHEGAN
NÚMEROS RACIONALES; IRRACIONALES; POTENCIAS; RAÍCES Y
LOGARITMOS
GUÍA N° 2
Habilidades de la guía En el desarrollo práctico La PSU de matemática no es sólo dominio
teórico, sino también el dominio de las habilidades.
Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los
contenidos asimilados.
Análisis: Implica conocer, comprender interpretar e inferir información a partir de datos
que no necesariamente son de conocimiento directo.
Evaluación Es la más compleja de las habilidades, implica conocer, comprender,
discriminar, seleccionar y concluir información para argumentar una respuesta.
NÚMEROS RACIONALES (ℚ) ELEMENTOS DE ℚ
ℚ={a/b ∊ℚ si a, b enteros y b distinto de cero} siendo al numerador y b el denominador.
Esta definición permite decidir que
√3
5
4
3
es un racional;
−7
2
3
es racional; √4 no es racional;
no es racional; ya que√3 no es una raíz exacta y su valor tiene infinitos decimales, por
lo tanto se les llama irracionales (ℚ*).
También los racionales son los números decimales, pero sólo aquellos que son finitos por
ejemplo 2,5; 0,125; -1,5; ; existen racionales(decimales) que tienen periodo (decimales
5
periódicos), o ante periodo (decimales semiperiódicos) veamos ejemplos de ellos: 3 =
1,66666 … 6 = 1, 6̅ periódico con 1 dígito el 6 también 100⁄99 = 1,01 01 01 … 01 =
1, 01 con 2 dígitos en el periodo que son los números que se repiten; 52⁄90 =
0,57777 … 7 = 0,57 en este caso el 5 es el anteperiodo(1dígito); el 7 es periodo (1
dígito); 432⁄990 = 0,43636. .36 = 0,436 en esta ocasión 1 dígito en el anteperiodo el 4;
y 2 dígitos en el periodo el 36.
1
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OPERACIONES
𝑨
𝑪
1)𝑩 ± 𝑫 =
𝑨𝑫±𝑪𝑩
𝑨
𝑪
𝑨•𝑫
2) 𝑩 • 𝑫 =
𝑩•𝑫
3)
𝑩•𝑫
𝑨
𝑪
∶ =
𝑩 𝑫
𝑨
𝑫
• =
𝑩 𝑪
𝑨•𝑫
𝑩•𝑪
TIPOS DE FRACCIONES
Fracción propia: 5⁄7 el numerador (el 5) es menor (<) que el denominador (el 7)
Fracción Impropia 8⁄3 numerador > denominador además 8⁄3 > 1, mientras que 5/7 < 1
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR
Amplificar una fracción significa multiplicar tanto el numerador como el denominador por
3
2
• =
7 2
un mismo número
3•2
=
7•2
6
14
Simplificar una fracción significa dividir tanto el numerador como el denominador por un
32
mismo número
12
=
32∶4
12∶4
=
8
3
INVERSO MULTIPLICATIVO O RECÍPROCO
Para el racional
−3
4
su recíproco es
−4
3
de tal manera que
−3
4
•
−4
3
= 1 que es el neutro
multiplicativo para ℚ
NÚMERO MIXTO
𝑝
Es un número que consta de dos partes una entera A𝑞 y otra parte que es una fracción
p
propia entonces A q =
3
85 =
8•5+3
5
=
A•q+p
q
. Veamos un ejemplo numérico
43
5
⇔43 ∶5=8
3 es el residuo; 8 es el divisor y43 es el dividendo, el número
3
mixto se lee ocho enteros tres quintos
2
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TRANSFORMACIÓN DE RACIONALES
a) De fracción a un número decimal; se divide el numerador por el denominador por
𝟕
ejemplo:𝟓 = 1,2
b) De decimal finito a fracción; se utilizaran potencias de 10 en el denominador
𝟏𝟑𝟐
𝟒•𝟑𝟑
Por ejemplo: 1,32 = 𝟏𝟎𝟎 =
𝟒•𝟐𝟓
𝟑𝟑
= 𝟐𝟓
c) De decimal periódico a fracción1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el
número decimal completo (sin la coma) y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos números nueve como dígitos tenga el periodo
Ejemplo 1
1, 32 =
Ejemplo 2
8, 9 =
132−1
99
89−8
9
Ejemplo 3 0, 225 =
=
=
225−0
999
131
81
9
=
99
=9
225
999
=
9•25
9•111
25
= 111
d) De decimal semiperiódico a fracción Se debe utilizar el siguiente método
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal
completo, sin la coma, y la parte entera agregando las cifras del anteperiódo
2. El denominador se forma con tantas cifras nueve como dígitos tenga el periodo,
seguido de tantos ceros como dígitos tenga el anteperiódo
Ejemplo: 2,542 =
2542−25
990
=
2517
990
=
3•839
3•330
=
839
330
El número posee 1 dígito en el anteperiódo (el número 5), 2 dígitos en el periodo (es el
número 42)
3
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COMPARACIÓN DE FRACCIONES
A) Multiplicación cruzada comparar 7/8 con 9/10
7 9
7
9
y ; 7 • 10 < 8 • 9 ⇔ 70 < 72 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 <
8 10
8 10
B) Igualar los denominadores; comparar 18/5 y 7/2
18•2
5•2
𝑦
7•5
2•5
⇔
36
10
𝑦
35
36
35
entonces 10 > 10 ⇔
10
18
5
7
>2
C) Transformar a decimal y comparar
2/15 y 5/12
2
= 0,13333 = 0,13 y
15
5
12
= 0,41666 = 0,416
0,13 < 0,416 ⇒
2
5
<
15 12
LOS NÚMEROS IRRACIONALES (ℚ*)
Son aquellos números que no se pueden escribir como una fracción racional, ya que son
decimales infinitos no periódicos.
Ejemplos:√3 es irracional;π es irracional
que no sea exacta es irracional.
√𝜋 es irracional en general cualquier raíz
4
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NÚMEROS REALES (ℝ)
Es el conjunto que resulta de la unión de los racionales con los irracionales
ℝ = ℚ⋃ℚ* POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOSPOTENCIA
El siguiente número 32 = 2 •2 •2 •2 •2 = 2 5 donde 2 es la base, 5 es el exponente
Veamos otro ejemplo -3 2 = -3 3 = -9 donde 3 es la base, 2 es el exponente y el signo
menos no es de la base, sino que es de la potencia, sería distinto si (-3) 2 = 9 ahora la base
es -3, el exponente es 2. Si el exponente es natural, la potencia se define como el
producto sucesivo de su base tantas veces como indica el exponente:
1. 𝑎1 = 𝑎 2. 1𝑛 = 1
Propiedades:
3
𝑎𝑛 • 𝑏 𝑛 = (𝑎 • 𝑏)𝑛
4. 𝑎𝑛 • 𝑎𝑞 = (𝑎)𝑛+𝑞
1
5. a−n = an 6. 𝑎𝑛 ÷ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ÷ 𝑏)𝑛
7. (𝑎𝑛 )𝑞 = (𝑎𝑞 )𝑛 = 𝑎𝑛•𝑞 8. 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑞 = (𝑎)𝑛−𝑞
9. 𝑎0 = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0 10.0𝑛 = 0 𝑠𝑖 𝑛 > 0
nota: cero elevado a cero no está definido
SIGNOS DE UNA POTENCIA
𝑎𝑛 {
> 0(+), 𝑠𝑖 𝑎 > 0 ó 𝑎 < 0 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
< 0(−), 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Observaciones.
Sólo se pueden sumar o restar potencias, si estas tienen la misma base y el mismo
exponente;(𝑎𝑛 + 2𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛 ). Si no es posible hacerlo, entonces sólo se podrá factorizar
por aquella potencia de menor exponente veamos un ejemplo 𝑎2 + 2𝑎5 = 𝑎2 (1 + 2𝑎3 )
c
La potenciación no es asociativa ab ≠ (ab )c
3
32 ≠ (32 )3 ya que 38 ≠ 36
5
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ECUACIONES EXPONENCIALES
Son aquellas en que la incógnita aparece en el exponente de la potencia. Para resolver
primero se debe intentar igualar las bases, para luego concluir que los exponentes son
iguales; veamos un ejemplo 16𝑥+1 = 32 ⇒ (24 )𝑥+1 = 25
1
24𝑥+4 = 25 ⟹ 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 4𝑥 + 4 = 5 ⇒ 𝑥 = 4 si no se puede resolver de
esta manera se debe utilizar logaritmos.
RAÍCES DEFINICIÓN
𝟑
𝟐𝟑 = 𝟖 ⟺ √𝟖 = 𝟐Es decir una raíz es lo mismo que buscar una base a la cual se debe
elevar a un exponente para obtener un número
5
Ejemplo: √32 en este caso nos debemos preguntar ¿qué número elevado a 5 da como
5
resultado32? La respuesta es2, por lo tanto √32 = 2 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 25 = 32
RAÍCES NUMÉRICAS
En el caso particular de raíces cuadradas tenemos 2 resultados posibles:
√4 = ±2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 + 2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑦 − 2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
Al operar raíces numéricas siempre se usará el valor principal de la raíz es decir √𝑛2 =
|𝑛| 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 |𝑛 | 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛 las raíces de índice par de números negativos no
son reales, estos números pertenecen al conjunto numérico llamado números
imaginarios (𝕀) esto es √−9 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 si el índice de la raíz es impar y
la cantidad subradical es negativa el resultado es un número real
3
5
√−8 = −2 ; √−243 = −3
6
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RAÍCES ALGEBRAICAS
q
n
√aq = an para n ≠ 0 ó 1 Es decir toda raíz es igual a una potencia de exponente racional
donde en el numerador queda el exponente de la cantidad subradical y en el
denominador se ubica el índice de la raíz. Como los exponentes son racionales se pueden
amplificar y/o simplificar
𝑛
𝑘•𝑛
𝑛
𝑛÷𝑘
Amplificar una raíz √𝑎𝑚 =
√𝑎𝑘•𝑚 ; 𝑘 ≠ 0
Simplificar una raíz √𝑎𝑚 =
√𝑎𝑚÷𝑘 ; 𝑘 ≠ 0
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
2
n
n
√ √𝑎 =
𝑛•𝑚
n
√a = √a
√a • √b = √a • b
n
√a⁄ = n√a⁄
n
b
√b
𝑛 𝑚
𝑛
√𝑎
𝑛
Observación: si n < m entonces √𝑎𝑚 = 𝑎𝑐 • √𝑎𝑟 donde c es el cuociente y r es el
resto dela división entre m y n
8
8
Ejemplo: √𝑎19 = 𝑎2 • √𝑎3
RACIONALIZACIÓN
Permite eliminar o sacar la raíz del denominador de una fracción:
1º Caso n
1
√am
=
1
n
√am
n
√an−m
•n
√an−m
n
=
√an−m
a
en el caso particular que sea una raíz cuadrada se
amplifica por la misma raíz, veamos un ejemplo:
1
√5
2º Caso
1
√
=
a±√b
1
√a±√b
•
√a∓√b
√a∓√b
=
=
1
√5
•
√5
√5
=
√5
5
√a∓√b
a−b
7
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3º Caso
1
√
=
a±6
1
√a±6
•
√a∓6
√a∓6
=
√a∓6
a−36
ECUACIONES IRRACIONALES
Son aquella en que la incógnita se encuentra dentro de la raíz y para resolver este tipo de
ecuaciones usaremos 𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎𝑛 = 𝑏 𝑛
2
Por ejemplo √𝑥 − 2 + 5 = 7 ⟹ √𝑥 − 2 = 7 − 5 ⇒ (√𝑥 − 2 ) = 22
𝑥 − 2 = 4 ⟹ 𝑥 = 6 Hay que tener cuidado que no siempre se puede hacer esto
Por ejemplo √𝑥 − 2 + 5 = 2 si aplicamos el mismo método obtendremos x=11 lo cual no
es una solución pertinente a la ecuación ya que deja de ser una solución real y
corresponde a una solución en el conjunto de los imaginarios
LOGARITMOS
Los logaritmos responden la pregunta ¿a qué exponente hay que elevar una base para que
de cómo resultado un número? Veamos ejemplos:
1) 2x = 8 ⟺ x = log 2 8
2) 3𝑥 = 81 ⟺ 𝑥 = log 3 81
3) b y = x ⟺ y = log b x con b>0, b≠1 y x>0
PROPIEDADES
log10 𝑁 = log 𝑁
log B 1 = 0
log b ( n • q) = log b n + log b q
log b N =
log 𝐵 𝐵 = 1
log 𝐵 𝑎𝑛 = 𝑛 log 𝐵 𝑎
log 𝑏 ( 𝑛 ÷ 𝑞) = log 𝑏 𝑛 − log 𝑏 𝑞
log q N
log q b
8
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ECUACIONES LOGARÍTMICAS
La incógnita está dentro del logaritmo, veamos un ejemplo:
2 log 𝑥 = 3 + log
𝑥
⇒ 2 log 𝑥 = 3 + log 𝑥 − log 10 ⇒ log 𝑥 = 3 − 1
10
⇒ log 𝑥 = 2 ⇒ log10 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 102
Ejercicios:
1. Convierta a fracción común las siguientes expresiones:
a) 0,125 b) 0, 6 c) 0,375 d) 0,048 e) 0,45 f) 0,345 g) 1,2 h) 3,45
2. Escriba como fracciones de denominador 100 las fracciones:
1
A)2
1
B)5
3
C)25
7
D) 20
15
E) 50
96
F) 8
G) 4
3. Escriba como fracciones de denominador 100 los decimales siguientes
A) 0,25
B) 0,4 C) 1,28
D) 0,002 E) 0,125 F) 0,0045
4. Reparta $p entre A, B, C de modo que la parte de A sea la mitad de la parte de B y la
tercera parte de la que corresponde a C
5. Los 4/5 de un número multiplicado por 1/3 del mismo número es 450. ¿Cuál es el
número?
6. Determine i) cuánto octavos hay en 12,25 kilos de té verde
ii) cuántos quintos hay en 10,4
iii) cuántos tercios hay en pq enteros
iv) cuántos treceavos hay en (5a+b)
7. Exprese como potencia
I) De 10 lo siguiente: a) 1000 b) 100
II) De 3 lo siguiente: a)81
b) 9 4
c) 0,0001
c)27𝑥 • 32𝑥
9
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III) De 4 lo siguiente: a)4 0
b)1/4
c)2 4 d)1/64
8. Calcule: 3x−1 4x−1 5x−1
9. Calcule el valor de
2
7
+3
5
5
5
24
10. Calcular el valor de 1000,5+ 16 0,25 - 81 0,75
11. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones
3
B) 5x =3 C) 𝑥 2 = 125 D) log 𝑥 0,001 = −2 E) 2 25x =4
A) log 7 49 = 𝑥
4
12. √4 − 25 =
20
13. 25 + 2 ÷
14.√2 •
169
8
√121
√25
=
+4
15.√𝑎𝑏 ÷ √𝑎 ÷ 𝑏 =
16.-√50 + √161 − √32 –
ZONA DE EJERCICIOS
1.- Si log m=a entonces log (mx)
A) ax B) a+x C) a+log x
D) a log x E) log(a+x)
2.- log 2 64 − log 4 16 =
3
A) 6 B)8 C) √64
D) 16 E) Otro valor
3.- 20√24 ÷ 2√2 =
A) 40√3
B) 10√3
C) 20√3
D)5√3
E) Otro valor
10
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4.-El cuociente de dos fracciones es3 enteros un tercio, si la fracción dividendo es ocho
novenos, la otra es
A) 10/3 B) 4/15 C) 3/10 D) 3,75
E) 2/15
5.- El número que dividido por 0,025 da como cuociente0,25 es
A) 0,1 B) 6,25 C) 0,625 D) 0.0625 E) 0,00625
6.- En la sucesión 1; 4; 27; 256;… el término que sigue es:
A) 512 B) 1024 C) 625 D) 1250
E) 3125
7.- Si 1/c =1/a +1/b el valor de “c” cuando a=2, b=3 es:
A) 1 B) 5/6 C) 1/5 D) 1/6 E) 6/5
8.- El valor de (-7)2 – (2)5 es:
A) 34 B)-4 C)-81 D)-17
E) 4
9.-El triple de la diferencia entre 0,6 y su reciproco (inverso multiplicativo) es:
A) 3,2 B) 32 C) -3,2 D) 45/16
E) -3
10.- El valor de x si log 𝑥 64 = 3 es:
A) 2 B)4 C) 64/3
D) 3/64
E) 643
11