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UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
MATEMÁTICAS AVANZADAS
No. Hrs. /Semana:
Duración en semanas:
Total de Horas:
Número de Créditos:
4
16
64
8
Objetivo: Reforzar el conocimiento y habilidades en las herramientas matemáticas necesarias para
abordar cursos y lectura de artículos científicos en el área de sistemas de control y sistemas
eléctricos, con especial énfasis en las herramientas del álgebra lineal.
Programa sintético:
Tema
Duración (hrs.)
1. Introducción
2. Teoría de ecuaciones lineales
3. Proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados
4. Valores y vectores propios
5. Matrices positivamente definidas y normas de matrices
6. Producto Kronecker y Funciones matriciales
Exámenes
4
10
10
12
10
12
6
Total de Horas
64
Programa desarrollado:
1.
Introducción
1.1. Matrices inversas por la izquierda, por la derecha y bilaterales
1.2. Inversión matricial y eliminación Gaussiana
1.3. Matrices transpuestas y matrices simétricas
1.4. Descomposición LDU y Descomposición de Cholesky
1.5. Ejercicios: Lema de Inversión matricial e Inversas de matrices por bloques.
2.
Teoría de ecuaciones lineales
2.1. Espacios y subespacios vectoriales
2.2. Solución de m ecuaciones con n incógnitas Ax=b
2.3. Existencia de soluciones de Ax=b
2.4. Independencia lineal, base, dimensión
2.5. Los cuatro subespacios fundamentales de una matriz, rango y nulidad
2.6. El teorema fundamental del algebra lineal
2.7. Existencia y unicidad de soluciones de Ax=b
2.8. Aplicación: Interpolación de Lagrange
2.9. Pares de subespacios y producto matricial
3.
Proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados
3.1. La longitud o norma euclidiana de un vector en Rn.
3.2. Ortogonalidad, producto interno y desigualdad de Cauchy-Schwarz.
3.3. Ortogonalidad de subespacios y complemento ortogonal
3.4. El teorema fundamental del álgebra (interpretación geométrica)
3.5. Proyecciones sobre subespacios y aproximación de mínimos cuadrados
3.6. Bases y matrices ortogonales, ortogonalización de Gram-Scmidt
3.7. La pseudo inversa y la descomposición en valores singulares
3.8. Mínimos cuadrados ponderados
4.
Valores y vectores propios
4.1. Definición y propiedades fundamentales
4.2. La forma diagonal de una matriz
4.3. Ecuaciones diferenciales y la matriz eAt
4.4. Matrices Hermitianas y Unitarias
4.5. Transformaciones de similaridad y formas triangulares
4.6. Diagonalización de matrices hermitianas
4.7. El teorema de descomposición espectral
4.8. Forma de Jordan
5.
Matrices positivamente definidas y normas de matrices
5.1. Formas cuadráticas, máximos, mínimos y puntos de silla
5.2. Criterios para ser positivamente definidas
5.3. Elipsoides en N dimensiones
5.4. Matrices semidefinidas e indefinidas
5.5. Principio del mínimo y cociente de Rayleigh
5.6. Principios minimax para los valores propios
5.7. La norma y el número de condición de una matriz
6.
Producto Kronecker y funciones matriciales
6.1. Producto Kronecker
6.2. Matriz polinomial y el teorema de Cayley-Hamilton
6.3. Equivalencia para matrices polinomiales
6.4. Funciones matriciales
6.5. Solución de ecuaciones de funciones matriciales
6.6. Ecuaciones matriciales lineales
6.7. Desigualdades matriciales lineales
Bibliografía:
[1] Strang G. “Linear Algebra and its Applications”. Fourth edition, Brook Cole, 2005.
[2] William S. Levine. “Control Systems Fundamentals”. The Control Handbook Second edition,
CRC Press, 2011
[3] Alexander S. Poznyak. “Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers”.
First edition, Elsevier Ltd., 2008
[4] Peter D. Lax. “Linear Algebra and its Applications”. Second edition, Wiley, 2007.
Metodología de enseñanza-aprendizaje:
Revisión de conceptos, análisis y solución de problemas en clase
Lectura de material fuera de clase
Ejercicios fuera de clase (tareas)
Investigación documental
Elaboración de reportes técnicos o proyectos
X
X
X
X
X
Metodología de evaluación:
Tareas
Elaboración de reportes técnicos o proyectos
X
X
Exámenes
X
Programa propuesto por: Roberto Tapia Sánchez, Jose Juan Rincon Pasaye
Fecha de aprobación: 23 d Marzo de 2012