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1
MatemΓ‘ticas
AritmΓ©tica
GeometrΓa
Γlgebra
Es una rama de las
matemΓ‘ticas que estudia
los nΓΊmeros y sus
operaciones.
Es una rama de las
matemΓ‘ticas que estudia
el espacio: puntos,
rectas, planos,
polΓgonos, poliedros,
curvas, etc.
Es una rama de las
matemΓ‘ticas que se
ocupa de estudiar las
propiedades generales
de las operaciones
aritmΓ©ticas.
βLas matemΓ‘ticas es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamiento, todos
sencillos y fΓ‘cilesβ RenΓ© Descartes.
Ejercicio: Escribe lo que significa para ti las matemΓ‘ticas.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
AritmΓ©tica
Naturales
NΓΊmeros
Operaciones
Un nΓΊmero es una entidad
abstracta que representa una
cantidad, a travΓ©s del sΓmbolo.
Conjunto de reglas que nos
permiten obtener otra cantidad.
Enteros
Fraccionarios
Decimales
+, β
Γ,Γ·
π π
π , π
2
Decenas de millar
Unidades de millar
Centenas
Decenas
Unidades
Centenas de millar
Unidades de millΓ³n
Decenas de millΓ³n
Centenas de millΓ³n
Unidades de millares de millΓ³n
Decenas de millares de millΓ³n
Unidades de billΓ³n
Decenas de billΓ³n
Centenas de billΓ³n
Billones
Unidades de
billΓ³n
Centenas de millares de millΓ³n
Tabla de lectura y escritura de nΓΊmeros
Millones
Unidades
Unidades de
Millares de millΓ³n
Millares
Unidades
millΓ³n
3
4
5
0
4
Ejemplo:
Treinta y cuatro mil quinientos cuatro
4
0
5
6
1
4
9
0
3
Cuatrocientos cinco millones seiscientos catorce mil novecientos tres
1
4
6
2
9
2
0
1
5
2
8
0
5
7
4
Ciento cuarenta y seis billones doscientos noventa y dos mil quince millones doscientos ochenta mil
quinientos setenta y cuatro
Ejercicio: Escribe los siguientes nΓΊmeros con letra.
NΓΊmero
35098
Lectura de cantidad
ππ ππππΓ³π πππ
7000505
ππ ππππΓ³π π πππ πππ π£ππππ‘ππππππ
6808000
ππππ ππππππππ ππβππππππ‘ππ
31001001
πΆππ‘ππππ ππππππππ πππππ‘π π‘πππππ‘π π¦ ππ’ππ‘ππ
21030200
πΆπ’πππππ‘π π¦ πππ ππππππππ ππβππππππ‘ππ πππππ πππ πππ πππππ‘ππ ππ’πππππ‘π π¦ ππ’ππ£π
402020020
πΆπ’ππ‘πππππππ‘ππ π’π ππππΓ³π ππ’ππππππ‘ππ π ππ‘πππ‘π πππ ππ’ππ‘πππππππ‘ππ π‘πππππ‘π π¦ π’ππ
3421034524
πΆπ’ππ‘ππ πππ π¦ π’π ππππΓ³π πππ πππππ‘ππ
1008000301
3
Sistema de numeraciΓ³n decimal
Sistema en base 10
Posee 10 nΓΊmeros
El principio de agrupamiento de este sistema
es 10, en donde cada 10 unidades se forma
otra cantidad.
Estos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y
su combinaciΓ³n puede formar infinitos
nΓΊmeros.
Ejercicio: Escribe en los siguientes renglones nΓΊmeros formados por las cifras del sistema de
numeraciΓ³n decimal.
Valor absoluto
Valor posicional
Es el valor real del nΓΊmero, quitandole el
lugar que ocupe.
Es el valor que ocupa el nΓΊmero
dependiendo del lugar en el que esta.
Ejemplo: El valor asoluto de 5 en el
nΓΊmero 152 es cinco (5).
Ejemplo: El valor relativo de 5 en el
nΓΊmero 152 es 50 (cincuenta), porque se
encuentra en la posiciΓ³n de las decenas.
4
Ejercicio: Coloca el valor absoluto y posicional de los siguientes nΓΊmeros.
NΓΊmero
V. Absoluto
V. Posicional
NΓΊmero
572
1563982
927
92772800
1793
224834901
75249
1234002345
137945
34430672056
V. Absoluto
Recta numΓ©rica
Es el orden que llevan los nΓΊmeros del mΓ‘s pequeΓ±o al
mΓ‘s grande, se colocan en una linea horizontal.
Ejercicio: Completa las siguientes rectas numΓ©ricas.
V. Posicional
5
Antecesor
Sucesor
El antecesor de un nΓΊmero es aquel que
se encuentra inmediatamente antes.
El sucesor de un nΓΊmero es aquel que se
encuentra inmediatamente despuΓ©s.
Ejemplo: Antecesor de 1524
1523
Ejemplo: Sucesor de 1524
1525
Ejercicio: Escribe el antecesor y sucesor de las siguientes nΓΊmeros.
Antecesor
NΓΊmero
Sucesor
Antecesor
NΓΊmero
89
68000
99
87999
466
123872
900
648020
1500
1000000
8670
9099999
Sucesor
Mayor que Menor que Igual que
>
<
=
Los nΓΊmeros tienen cierto valor dependiendo del orden en el que se encuentren, esto
quiere decir que pueden existir nΓΊmeros mayores, menores o iguales.
Ejercicio: Completa con <, > o =.
NΓΊmero
SΓmbolo
NΓΊmero
NΓΊmero
SΓmbolo
NΓΊmero
28
35
9999
99999
167
129
12873
12874
389
389
187340
187340
1524
1324
1974782
1974882
6
NΓΊmeros ordinales
Son aquellos que indican un orden o posiciΓ³n.
Los nΓΊmeros ordinales se escriben igual que los nΓΊmeros cardinales,
pero al final se les pone este signo (Β°) y se leen de diferente manera.
1Β°
2Β°
3Β°
4Β°
5Β°
6Β°
7Β°
8Β°
9Β°
10Β°
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
Sexto
SΓ©ptimo
Octavo
Noveno
DΓ©cimo
11Β°
12Β°
13Β°
14Β°
15Β°
16Β°
17Β°
18Β°
19Β°
20Β°
UndΓ©cimo o dΓ©cimo primero
DuodΓ©cimo o dΓ©cimo segundo
DΓ©cimo tercero
DΓ©cimo cuarto
DΓ©cimo quinto
DΓ©cimo sexto
DΓ©cimo sΓ©ptimo
DΓ©cimo octavo
DΓ©cimo noveno
VigΓ©simo
30Β°
40Β°
50Β°
60Β°
70Β°
80Β°
90
100Β°
TrigΓ©simo
CuadragΓ©simo
QuincuagΓ©simo
SexagΓ©simo
SeptuagΓ©simo
OctogΓ©simo
NonagΓ©simo
CentΓ©simo
7
8
9
Suma
La suma es la operaciΓ³n matemΓ‘tica que resulta de reunir en una sola varias cantidades.
TambiΓ©n se conoce a la suma como adiciΓ³n. Las cantidades que se suman se llaman
sumandos y el resultado suma o total.
π π’πππππ
5 + 7 = 12
π‘ππ‘ππ
π π’πππππ
Propiedades de la suma
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Cuando se suman dos
nΓΊmeros, el resultado es el
mismo independientemente
del orden de los sumandos.
Cuando se suman tres o mΓ‘s
nΓΊmeros, el resultado es el
mismo independientemente
del orden en que se suman
los sumandos.
El 0 es el elemento neutro de
la suma porque todo nΓΊmero
sumado con Γ©l da el mismo
nΓΊmero.
π+π = π+π
7+2=2+7
9=9
(π + π) + π = π + (π + π)
2+5 +7=2+ 5+7
7 + 7 = 2 + 12
14 = 14
π+0=π
5+0=5
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas.
12 + 8 =
19 + 6 =
11 + 8 =
12 + 10 =
13 + 12 =
22 + 14 =
29 + 13 =
35 + 16 =
47 + 19 =
31 + 43 =
29 + 64 =
69 + 36 =
81 + 51 =
78 + 92 =
85 + 97 =
10
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas.
22 + 16 =
35 + 30 =
64 + 44 =
65 + 89 =
33 + 79 =
67 + 79 =
268 + 680 =
493 + 705 =
943 + 935 =
488 + 774 =
780 + 115 =
867 + 562 =
1037 + 6731 =
4632 + 1228 =
7716 + 3324 =
3490 + 1652 =
8592 + 5381 =
9536 + 7572 =
55455 + 43424 =
93246 + 53520 =
83169 + 54955 =
32396 + 4464 + 600 + 32 =
41297 + 5820 + 942 + 19 =
9284 + 6974 + 456 + 43 =
71659 + 1126 + 206 + 89 =
63966 + 9688 + 871 + 27 =
96692 + 6426 + 985 + 34 =
Ejercicio: Aplica la propiedad conmutativa en las siguientes sumas.
1)
7+5=
2)
4+7=
3)
14 + 35 =
4)
10 + 15 =
5)
11 + 17 =
6)
13 + 14 =
7)
22 + 57 =
8)
27 + 38 =
9)
31 + 23 =
10) 52 + 15 =
Ejercicio: Aplica la propiedad asociativa en las siguientes sumas.
1)
(12 + 14) + 13 =
2)
(11 + 15) + 14 =
3)
(9 + 11) + 5 =
4)
(15 + 4) + 12 =
11
5)
(8 + 12) + 14 =
6)
(6 + 10) + 4 =
7)
(13 + 11) + 8 =
8)
(15 + 7) + 10 =
9)
(9 + 10) + 8 =
10) (12 + 13) + 18 =
Ejercicio: Aplica la propiedad del elemento neutro en las siguientes sumas.
17 + ___ = 17
0 + ___ = 15
0 + 22 = ___
32 + ___ = 32
___ + 0 = 43
51 + 0 = ___
0 + ___ = 73
85 + ___ = 85
93 + ___ = 93
0 + ___ = 102
Ejercicio: Escribe ejemplos de las propiedades de la suma.
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Elemento neutro
12
13
Resta
Es una operaciΓ³n que consiste en sacar, reducir o separar algo de un todo. TambiΓ©n a la resta se le
conoce como sustracciΓ³n. Los elementos de la resta son minuendo, sustraendo y diferencia.
π π’π π‘ππππππ
10 β 3 = 7
ππππππππππ
ππππ’ππππ
Ejercicio: Realiza las siguientes restas.
925 β 84 =
441 β 83 =
783 β 153 =
803 β 588 =
960 β 488 =
851 β 562 =
708 β 320 =
393 β 183 =
929 β 137 =
8124 β 6348 =
8332 β 1739 =
2612 β 590 =
9288 β 2412 =
7135 β 4054 =
9719 β 8988 =
5714 β 3484 =
7742 β 2688 =
8341 β 5736 =
5470 β 4974 =
8285 β 8083 =
9187 β 7211 =
9947 β 6477 =
81403 β 40990 =
96899 β 96868 =
71579 β 47312 =
58110 β 29699 =
90058 β 55746 =
545 + 303 β 273 =
471 + 281 β 599 =
476 + 744 β 745 =
798 + 658 β 594 =
585 + 753 β 443 =
982 + 278 β 467 =
289 + 302 β 548 =
991 + 689 β 993 =
355 + 672 β 730 =
739 + 563 β 362 =
684 + 880 β 274 =
635 + 750 β 333 =
9024 + 734 β 651 =
5493 + 475 β 532 =
6673 + 650 β 490 =
3461 β 673 β 146 =
9844 β 929 β 365 =
5981 β 566 β 753 =
4962 β 152 β 426 =
6350 β 464 β 140 =
8902 β 955 β 462 =
2060 β 435 β 291 =
8385 β 633 β 858
5285 β 809 β 595 =
14
15
MultiplicaciΓ³n
La operaciΓ³n de multiplicar es una suma repetida, en la que uno de los factores indica el
nΓΊmero de veces que se repite el otro factor de la suma.
15 Γ 4 = 60 β 15 + 15 + 15 + 15 = 60
π π’πππ 4 π£ππππ 15
Los tΓ©rminos de la multiplicaciΓ³n se llaman factores y el resultado producto. Los signos de la
multiplicaciΓ³n son: (Γ), (β), (β) π¦ (π)(π).
1 5
Γ 4
6 0
ππππ‘ππ
ππππ‘ππ
πππππ’ππ‘π
Propiedades de la multiplicaciΓ³n
Conmutativa
Asociativa
Distributiva
Elemento
neutro
El orden de los factores no
altera el producto.
Podemos agrupar los
factores de diversas
maneras sin que varΓe el
producto.
El producto de un nΓΊmero
por una suma es igual que
la suma de los productos
del nΓΊmero por los
sumandos.
El 1 es el elemento neutro
de la multiplicaciΓ³n, porque
todo nΓΊmero multiplicado
por 1 da el mismo nΓΊmero.
πβπ =πβπ
7β2= 2β7
14 = 14
(π β π) β π = π β (π β π)
(2 β 5) β 7 = 2 β (5 β 7)
10 β 7 = 2 β 35
70 = 70
π β (π + π) = π β π + π β π
3 β (5 + 9) = 3 β 5 + 3 β 9
3 β 14 = 15 + 27
42 = 42
πβ1=π
5β1=5
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones.
7Γ9=
6Γ9=
5Γ7=
8Γ5=
14 Γ 5 =
15 Γ 10 =
11 Γ 5 =
13 Γ 12 =
13 Γ 11 =
16
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones.
28 Γ 78 =
59 Γ 13 =
26 Γ 52 =
24 Γ 64 =
63 Γ 27 =
85 Γ 45 =
68 Γ 88 =
14 Γ 47 =
59 Γ 46 =
477 Γ 36 =
486 Γ 95 =
883 Γ 76 =
950 Γ 58 =
735 Γ 87 =
645 Γ 29 =
918 Γ 68 =
531 Γ 78 =
851 Γ 69 =
756 Γ 278 =
915 Γ 339 =
597 Γ 499 =
751 Γ 287 =
554 Γ 670 =
243 Γ 920 =
343 Γ 338 =
852 Γ 639 =
271 Γ 987 =
6498 Γ 916 =
4755 Γ 934 =
9834 Γ 542 =
5845 Γ 4327 =
9858 Γ 8120 =
7629 Γ 5519 =
Ejercicio: Aplica la propiedad conmutativa en las siguientes multiplicaciones.
1)
3Γ7=
2)
4Γ6=
3)
9Γ8=
4)
15 Γ 7 =
5)
12 Γ 16 =
6)
15 Γ 19 =
7)
22 Γ 14 =
8)
32 Γ 22 =
9)
41 Γ 21 =
10) 111 Γ 12 =
Ejercicio: Aplica la propiedad asociativa en las siguientes multiplicaciones.
1)
(7 Γ 5) Γ 9 =
2)
(8 Γ 2) Γ 4 =
17
3)
(5 Γ 9) Γ 3 =
4)
(6 Γ 3) Γ 7 =
5)
(11 Γ 5) Γ 2 =
6)
(8 Γ 4) Γ 5 =
7)
(15 Γ 4) Γ 12 =
8)
(13 Γ 22) Γ 4 =
9)
(18 Γ 15) Γ 7 =
10) (11 Γ 11) Γ 11 =
Ejercicio: Aplica la propiedad distributiva en las siguientes multiplicaciones.
1)
5 Γ (14 + 10) =
2)
7 Γ (11 + 13) =
3)
6 Γ (9 + 10) =
4)
10 Γ (15 + 10) =
5)
10 Γ (5 + 15) =
6)
15 Γ (9 + 6) =
7)
8 Γ (12 + 13) =
8)
8 Γ (11 + 15) =
18
9)
10) 15 Γ (11 + 6) =
11 Γ (12 + 15) =
Ejercicio: Aplica la propiedad del elemento neutro en las siguientes multiplicaciones.
7 Γ ___ = 7
1 Γ ___ = 12
15 Γ 1 = ___
22 Γ ___ = 22
___ Γ 53 = 53
74 Γ ___ = 74
1 Γ ___ = 85
91 Γ 1 = ___
103 Γ ___ = 103
1 Γ ___ = 147
Ejercicio: Escribe ejemplos de las propiedades de la multiplicaciΓ³n.
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Propiedad distributiva
Elemento neutro
19
20
21
DivisiΓ³n
La divisiΓ³n es la operaciΓ³n matemΓ‘tica inversa a la multiplicaciΓ³n.
Los tΓ©rminos de la divisiΓ³n se llaman: dividendo, divisor, cociente y residuo.
πππππππ‘π
πππ£ππ ππ
πππ£ππππππ
πππ£ππππππ
πππ πππ’π
= πππππππ‘π
πππ£ππ ππ
πππ£ππππππ Γ· πππ£ππ ππ = πππππππ‘π
El resultado se puede comprobar de la siguiente manera:
(πππππππ‘π Γ πππ£ππ ππ) + πππ πππ’π = πππ£ππππππ
Casos particulares de la divisiΓ³n
Todo nΓΊmero
dividido entre el
mismo nΓΊmero
da como
resultado 1.
Todo nΓΊmero
dividido entre la
unidad da el
mismo nΓΊmero.
Al dividir cero
entre cualquier
nΓΊmero, como
resultado cero.
La divisiΓ³n entre
cero no existe.
23/23 = 1
15/1 = 15
0/13 = 0
5/0 =β
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones.
16 Γ· 4 =
24 Γ· 12 =
36 Γ· 9 =
48 Γ· 24 =
54 Γ· 18 =
27 Γ· 9 =
84 Γ· 12 =
70 Γ· 14 =
360 Γ· 8 =
750 Γ· 6 =
1334 Γ· 23 =
3612 Γ· 43 =
22
4947 Γ· 51 =
22517 Γ· 89 =
41736 Γ· 74 =
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones.
63 Γ· 3 =
56 Γ· 2 =
252 Γ· 9 =
273 Γ· 21 =
781 Γ· 71 =
935 Γ· 85 =
182 Γ· 13 =
270 Γ· 18 =
546 Γ· 78 =
994 Γ· 71 =
378 Γ· 14 =
975 Γ· 15 =
500 Γ· 25 =
748 Γ· 34 =
931 Γ· 49 =
4284 Γ· 21 =
7600 Γ· 16 =
8246 Γ· 14 =
8932 Γ· 29 =
5796 Γ· 92 =
3232 Γ· 16 =
1518 Γ· 22 =
9579 Γ· 31 =
5928 Γ· 52 =
6624 Γ· 24 =
8820 Γ· 84 =
6066 Γ· 18 =
6984 Γ· 77 =
8242 Γ· 29 =
9858 Γ· 14 =
9444 Γ· 85 =
5102 Γ· 76 =
8912 Γ· 32 =
5825 Γ· 39 =
9457 Γ· 30 =
6730 Γ· 22 =
47011 Γ· 123 =
88205 Γ· 781 =
95527 Γ· 366 =
55940 Γ· 247 =
93302 Γ· 317 =
71635 Γ· 716 =
45279 Γ· 129 =
34290 Γ· 135 =
79925 Γ· 115 =
99792 Γ· 792 =
81450 Γ· 225 =
96119 Γ· 347 =
511010 Γ· 746 =
277992 Γ· 648 =
628578 Γ· 743 =
Ejercicio: Realiza los siguientes casos particulares de la divisiΓ³n.
9Γ·0=
7Γ·7=
0 Γ· 12 =
5Γ·5=
15 Γ· 1 =
11 Γ· 0 =
9Γ·1=
13 Γ· 13 =
0Γ·8=
15 Γ· 15 =
24 Γ· 24 =
2Γ·0=
18 Γ· 18 =
23 Γ· 0 =
0 Γ· 13 =
28 Γ· 1 =
25 Γ· 1 =
0 Γ· 19 =
31 Γ· 31 =
0 Γ· 28 =
100 Γ· 100 =
0 Γ· 73 =
55 Γ· 0 =
66 Γ· 1 =
23
24
25
Problemas de dos o mΓ‘s operaciones.
1. Los alumnos de 6ΒΊ organizaron un sorteo de fin de curso, vendieron los nΓΊmeros del 1 al 23, del
32 al 48, del 54 al 62 y del 67 al 75 a 8 pesos cada uno, ΒΏCuΓ‘nto dinero han recogido?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
2. Una niΓ±a debe a un amigo 48 pesos, para saldar la deuda le da un billete de 20 pesos y 5 lΓ‘pices
de cuatro pesos cada uno, ΒΏQueda pagada la deuda?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3. Un comerciante de madera compra doce Γ‘rboles a $ 3150 pesos cada uno, paga $ 1840 pesos
por hacerlos talar, el transportarlos hasta el almacΓ©n le cuesta $ 975 pesos, ΒΏA quΓ© precio le resulta
cada Γ‘rbol?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
4. Tengo 585 dulces y 480 bombones para repartir entre 45 niΓ±os, ΒΏCuΓ‘ntos dulces y cuantos
bombones le tocan a cada niΓ±o? ΒΏCuantos dulces y bombones sobran?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
26
5. Γscar tiene un ahorro de 450 pesos, si saca 125 pesos, ΒΏCuΓ‘nto le queda? Con el dinero que
sacΓ³ se compra tres libretas de 20 pesos y una goma de 15 pesos, ΒΏCuΓ‘nto dinero le sobra ahora?
Este dinero que le sobrΓ³ lo pone de nuevo en su ahorro, ΒΏCuΓ‘nto dinero tiene ahora?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
6. Un tren ha recorrido 480 km en 6 horas, ΒΏCuΓ‘ntos km ha recorrido en una hora? ΒΏCuΓ‘nto tardarΓ‘
en recorrer 240 km?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
7. En el cumpleaΓ±os de Isidro se han repartido 333 caramelos, a cada niΓ±o le han tocado 9
caramelos y han sobrado 18, ΒΏCuΓ‘ntos niΓ±os habΓa en la fiesta?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
8. Γngela tenΓa en su agenda 34 nΓΊmeros telefΓ³nicos y al cambiar de colegio llegaron a ser el triple,
en el verano apuntΓ³ 12 mΓ‘s y borrΓ³ 18, ΒΏCuΓ‘ntos nΓΊmeros telefΓ³nicos hay ahora en la agenda de
Γngela?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
27
9. Marta tenΓa una colecciΓ³n de 59 piedras, pero ha cambiado 14 de ellos por otros tres mΓ‘s difΓciles
de conseguir, si guarda los que tiene ahora en cajas de 9, ΒΏCuΓ‘ntas cajas utiliza?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
10. Hace un mes, Antonio tenΓa en su ahorro 350 pesos, ayer tenΓa el doble, pero sacΓ³ 125 pesos
para comprar un libro, ΒΏCuΓ‘nto dinero hay en su ahorro si hoy ha metido 75 pesos?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
11. En un garrafΓ³n habΓa 16 litros de aceite y se han sacado 7 litros, si el precio de un litro de aceite
es de 165 pesos, ΒΏCuΓ‘nto cuesta el aceite que queda en el garrafΓ³n?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
12. Una granja tiene 3 gallineros con 87 gallinas cada uno, vamos a ponerlas en jaulas de 9 gallinas
para llevarlas a la granja nueva, ΒΏCuΓ‘ntas jaulas necesitaremos?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
28
13. Un pescador vende 8 kg de pescado a 750 pesos el kg, con el dinero de la venta compra 5
metros de tela, ΒΏCuΓ‘nto cuesta un metro de tela?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
14. Bruno ha recorrido 12 km, si le quedan tres tramos de 42 km cada uno, ΒΏCuΓ‘ntos km recorrerΓ‘?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
15. Antonio y Juan reΓΊnen 496 pesos para hacer un regalo a un amigo, Juan puso 28 pesos mΓ‘s
que Antonio, ΒΏCuΓ‘ntos pesos ha puesto cada uno?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
16. Una persona compra 35 rotuladores a 25 pesos cada uno y 35 cuadernos a 15 pesos cada uno,
pago con dos billetes de 1000 pesos, ΒΏCuΓ‘nto le devolvieron?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
29
17. Mi madre ha comprado 3 botellas de aceite a 160 pesos cada una y 5 litros de leche a 60 pesos
cada litro, pagΓ³ con un billete de 1000 pesos, ΒΏCuΓ‘nto le devolvieron?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
18. Carlos tiene 13 hermanos, cada hermano le da 50 pesos en el dΓa de su santo y sus cuatro tΓos
le dan 150 pesos cada uno, con el dinero que tiene compra pasteles, ΒΏCuΓ‘ntos pasteles puede
comprar si cada pastel vale 10 pesos?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
19. Luis comprΓ³ 8 cuadernos a 25 pesos cada uno y 7 plumas, en total se gastΓ³ 298 pesos, ΒΏCuΓ‘nto
costΓ³ cada pluma?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
20. Un cartero reparte 115 cartas al dΓa, ΒΏCuΓ‘ntas cartas repartirΓa en dos meses y quince dΓas
(considerando que un mes tiene 30 dΓas)?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
30
21. Averigua los dΓas que tardarΓa en ahorrar 500 pesos, a razΓ³n de 5 pesos diarios, si ahorro cuatro
veces mΓ‘s cada dΓa, ΒΏCuΓ‘ntos dΓas tardarΓa en ahorrar los 500 pesos?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
22. Tome el ascensor en el 2ΒΊ piso, subΓ cinco pisos y luego bajΓ© 3 pisos, a continuaciΓ³n subΓ ocho
pisos y, por fin, bajΓ© dos, ΒΏEn quΓ© piso me encuentro?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
23. Cuatro familias salen de excursiΓ³n y han comprado 6 kg de chuletas a 460 pesos, de embutidos
fueron 1320 pesos y de bebidas por 736 pesos, ΒΏCuΓ‘nto dinero tiene que poner cada familia?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
24. Quiero leer 5 libros, cada libro tiene 55 pΓ‘ginas, si leo cada dΓa 11 pΓ‘ginas, ΒΏCuΓ‘ntos dΓas
necesito para leer los libros?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
31
25. Unos pescadores pescaron 63 cangrejos, durante el viaje de regreso a tierra se comieron 9
cangrejos, cuando llegaron al puerto cada pescador se llevΓ³ 18 cangrejos, ΒΏCuΓ‘ntos pescadores
eran?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
26. Para hacer cometas compramos 5 rollos de hilo, cada rollo costΓ³ 63 pesos, tambiΓ©n compramos
papel, que costΓ³ 209 pesos, si todos los gastos los pagamos entre 4 personas, ΒΏCuΓ‘nto le toca
pagar a cada persona?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
27. Juanita ha ahorrado 36 billetes de 100 pesos y 14 de 1000 pesos, ΒΏCuΓ‘nto dinero tiene
ahorrado?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
28. Una secretaria cobra 120 pesos por cada hoja que escribe a computadora, ha copiado el primer
dΓa 97 y el segundo otras 27 hojas, ΒΏCuΓ‘nto ha cobrado por los dos dΓas?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
32
29. Fernando recogiΓ³ por la maΓ±ana 36 lechugas de un huerto y por la tarde 26, las vende cada una
a 43 pesos, ΒΏCuΓ‘nto dinero gano de la venta?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
30. En una jaula del ZoolΓ³gico hay 96 monos, si venden 4 monos y nacen 16, ΒΏCuΓ‘ntos monos hay
ahora en la jaula?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
31. Un envΓo de cuadernos ha costado 15000 pesos y estΓ‘ formado por 5 paquetes de 60 cuadernos
cada uno, ΒΏCuΓ‘l es el precio de cada cuaderno?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
32. Por la compra de 30 ovejas y 5 vacas, un ganadero pagΓ³ 104500 pesos, cada oveja cuesta 750
pesos, ΒΏCuΓ‘nto cuesta cada vaca?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
33
34
35
Potencia
Es una operaciΓ³n matemΓ‘tica que puede considerarse un caso particular de la multiplicaciΓ³n,
en la que intervienen un determinado nΓΊmero de factores.
ππ = π
π = πππ π ; π = ππ₯ππππππ‘π ; π = πππ‘πππππ
La base es el nΓΊmero que se va a multiplicar por si misma el nΓΊmero
de veces que le indique el exponente.
Ejemplo: 36 = 3 β 3 β 3 β 3 β 3 β 3 = 729
Ejercicio: Completa la siguiente tabla.
Potencia
Base
Exponente
Desarrollo
Valor
25
2
5
2Γ2Γ2Γ2Γ2
32
34
11 Γ 11 Γ 11 Γ 11 Γ 11
132
44
7
3
53
24
26 Γ 26 Γ 26
29
110
3
6
108
6Γ6Γ6Γ6Γ6
36
Ejercicio: Escribe lo que se te indica.
Potencia
Nombre
Nombre
65
Seis elevado a la cuarta
24
Tres elevado al cubo
96
Ocho elevado a la quinta
102
Nueve elevado al cuadrado
83
Diez elevado a la doce
47
Cinco elevado a la sΓ©ptima
36
Dos elevado a la sexta
53
Nueve elevado a la octava
72
Siete elevado a la sexta
129
Cuatro elevado a la novena
Ejercicio: Calcula las siguientes operaciones.
105 =
123 =
92 =
35 =
25 =
54 =
64 =
83 =
44 =
52 + 43 =
55 β 33 =
142 + 113 =
93 β 54 =
62 + 85 =
95 β 124 =
29 + 84 =
57 β 134 =
48 + 74 =
(19 β 17)2 =
(9 + 16)2 =
(20 β 17)3 =
(6 + 11)3 =
(20 β 16)4 =
(11 + 10)3 =
(8 β 6)6 =
(11 + 6)3 =
(11 β 6)3 =
(15 + 9)2 =
(19 β 12)2 =
(11 + 9)4 =
(12 β 6)3 =
(10 + 20)3 =
(11 β 9)4 =
Potencia
37
38
39
RaΓz
Extraer la raiz cuadrada de un nΓΊmero consiste en hallar otro nΓΊmero
que elevado al cuadrado de el nΓΊmero de la raΓz.
2
π=π
π = πππππππππ; 2 = ππππππ; π = ππππ§ ;
β¬ = πππππππ
2
Ejemplo: 36 = 6 ; πππ ππ’π 6 β 6 = 36
Ejercicio: EfectΓΊa y halla la raΓz cuadrada.
2
2
= _____
2
= _____
2
= _____
2
= _____
2
= _____
152 = _____ β β
112 = _____ β β121 = _____
2
= _____
122 = _____ β β
2
= _____
142 = _____ β β
2
= _____
242 = _____ β β
2
= _____
182 = _____ β β
402 = _____ β β
132 = _____ β β
162 = _____ β β
362 = _____ β β
Ejercicio: Halla la raΓz cuadrada.
2
β81 =
2
β16 =
2
β49 =
2
2
β25 =
2
β9 =
2
β36 =
2
2
β100 =
2
β121 =
2
β169 =
2
2
β484 =
2
β196 =
2
β144 =
2
2
2
2
2
β289 =
β400 =
β256 =
β4 =
β64 =
β225 =
β361 =
β324 =
40
Ejercicio: Halla la raΓz y el residuo de los siguientes ejercicios.
2
β27 =
;π = 2
2
β95 =
;π =
2
β69 =
;π =
2
β39 =
;π =
2
β58 =
;π =
2
β123 =
;π =
2
β78 =
;π =
2
β229 =
;π =
2
β18 =
;π =
2
β71 =
;π =
2
β36 =
;π =
2
β105 =
;π =
2
;π =
2
;π =
2
;π =
β150 =
β56 =
β635 =
Ejercicio: Halla el radicando de las siguientes raΓces.
RaΓz
Residuo
11
5
9
15
22
3
13
24
25
40
15
4
12
6
16
12
19
9
22
15
25
12
Radicando
11 Γ 11 + 5 = 121 + 5 = 126
41
42
43
Fracciones
Es una expresiΓ³n que representa una o varias partes de la unidad.
Numerador y Denominador
El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el
numerador indica cuantas partes se toman de la unidad.
Tipos de fracciones
Propia
Impropia
Mixta
El numerador es mΓ‘s
pequeΓ±o que el
denominador.
El numerador es mΓ‘s
grande o igual que el
denominador.
Se conforma por una parte
entera y una fracciΓ³n
propia.
1 3 4
, ,
3 5 7
7 9 11
, ,
3 4 6
1 3 1
2 ,4 ,6
4 7 2
Ejercicio: Completa la siguiente tabla, toma en cuenta el dato que se te proporciona.
RepresentaciΓ³n RepresentaciΓ³n
grafica
numΓ©rica
2
3
Recta numΓ©rica
Como se lee
0
1
0
1
0
1
πππππ π ππ₯π‘ππ
44
RepresentaciΓ³n RepresentaciΓ³n
grafica
numΓ©rica
7
10
6
8
5
9
3
8
Recta numΓ©rica
Como se lee
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
π’π πππππ
π‘πππ ππ’πππ‘ππ
45
Ejercicio: Identifica las siguientes fracciones.
FracciΓ³n
Tipo de fracciΓ³n
FracciΓ³n
4
32
πΉπππππΓ³π ππππππππ
13
15
11
2
πΉπππππΓ³π πππ₯π‘π
2
3
8
2
1
8
5
2
1
3
πΉπππππΓ³π ππππππ
7
2
4
20
9
5
17
9
13
πΉπππππΓ³π ππππππ
5
Tipo de fracciΓ³n
5
6
3
4
11
18
19
2
3
πΉπππππΓ³π πππ₯π‘π
πΉπππππΓ³π πππ₯π‘π
9
13
4
7
1
2
3
8
5
16
7
8
3
πΉπππππΓ³π ππππππππ
7
9
5
9
πΉπππππΓ³π ππππππ
2
6
5
46
Fracciones equivalentes
Si a una fracciΓ³n multiplicamos o dividimos su
numerador y denominador por el mismo
nΓΊmero obtenemos una fracciΓ³n equivalente.
ComprobaciΓ³n de fracciones
equivalentes
2 Γ4
8
=
3 Γ 4 12
Para que verifiquemos que son fracciones
equivalentes debemos realizar el producto
cruzado entre las dos fracciones.
18 Γ· 3 6
=
21 Γ· 3 7
2
8
=
3 12
3 Γ 8 = 2 Γ 12
24 = 24
Ejercicio: Comprueba que cada una de las siguientes fracciones son equivalentes.
2 6
π¦
1 3
7 8
π¦
8 7
3 2
π¦
6 4
56 14
π¦
20
5
7 56
π¦
2 16
7 5
π¦
5 4
5 30
π¦
3 18
4
1
π¦
16 4
3 6
π¦
2 4
4 5
π¦
3 4
25 5
π¦
15 3
1
4
π¦
5 20
1
2
π¦
8 16
32 16
π¦
10
5
4 12
π¦
5 15
Ejercicio: Completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes.
21 7
=
9
34
=
5 10
5
=
12 6
35
=
2 10
42
5 15
8
=
20 5
35
=
4 20
40
=
3 15
=
4
60
15
36 12
=
5
7 42
=
2
44 11
=
3
=
=
3
15
=
6
=
10
15
5
35
14
2
5
=
9 18
35
=
7
3
52
13
=
3
10
=
20 2
55
=
3 15
47
48
NΓΊmeros
NΓΊmeros primos
NΓΊmeros compuestos
Un nΓΊmero primo solo es divisible
entre sΓ mismo y la unidad. El 1, por
definiciΓ³n no es primo.
Son los nΓΊmeros naturales que se
pueden dividir entre tres o mΓ‘s
nΓΊmeros diferentes.
2,3,5,7,13,17,19,23,29,31,37,41,43 β¦
42, 36, 32, 100, 121, β¦
Ejercicio: Completa la siguiente Criba de EratΓ³stenes.
Tacha el nΓΊmero 1
por ser el elemento
unitario.
Tacha los mΓΊltiplos
del siguiente nΓΊmero,
sin tachar el 2.
Tachar los mΓΊltiplos
del siguiente nΓΊmero,
sin tachar el 3.
Tachar los mΓΊltiplos
del siguiente nΓΊmero,
sin tachar el 5.
Tachar los mΓΊltiplos
del siguiente nΓΊmero,
sin tachar el 7.
Tachar los mΓΊltiplos
del siguiente nΓΊmero,
sin tachar el 11.
Tachar los mΓΊltiplos
del siguiente nΓΊmero,
sin tachar el 13.
49
Ejercicio: De los siguientes nΓΊmeros coloca una P si es nΓΊmero primo o una C si es nΓΊmero
compuesto.
6 (
23 (
)
)
82 (
)
75 (
)
7 (
91 (
)
13 (
)
49 (
)
)
31 (
)
69 (
)
67 (
)
55 (
)
43 (
)
85 (
)
SimplificaciΓ³n de fracciones
La simplificaciΓ³n es llevar la fracciΓ³n a su mΓnima expresiΓ³n. Para simplificar se divide el
numerador y el denominador por el mayor nΓΊmero que divida a los dos exactamente.
4Γ·2 2Γ·2 1
=
=
8Γ·2 4Γ·2 2
Divisibilidad.
2: si la ΓΊltima cifra es nΓΊmero par o cero.
Ejemplo:
264
πΏπ ΓΊππ‘πππ πππππ ππ πππ
3: si la suma de sus cifras es mΓΊltiplo de 3.
Ejemplo:
567
5 + 6 + 7 = 15
15 ππ π’π ππ’ππ‘ππππ ππ 3
6: si es divisible entre 2 y 3.
Ejemplo:
1
15234
5
2
+ 3
ΓΊππ‘πππ πππππ πππ
4
ππ ππ’ππ‘ππππ ππ 3 15
8: si las tres ΓΊltimas cifras forman un mΓΊltiplo de 8.
Ejemplo:
3024
24 ππ πΓΊππ‘ππππ ππ 8
50
4: si las dos ΓΊltimas cifras es mΓΊltiplo de 4.
Ejemplo:
9: si la suma de las cifras es mΓΊltiplo de 9.
Ejemplo:
2574
4332
2 + 5 + 7 + 4 = 18
32 ππ π’π πΓΊππ‘ππππ ππ 4
18 ππ πΓΊππ‘ππππ ππ 9
10: si la ΓΊltima cifra es 0.
Ejemplo:
5: si la ΓΊltima cifra es 0 o 5.
Ejemplo:
15230
30320
12735
ΓΊππ‘πππ πππππ 0 π 5
πΏπ ΓΊππ‘πππ πππππ ππ 0
Ejercicio: Identifica los divisores de los siguientes nΓΊmeros.
NΓΊmero
144
72
105
130
294
225
435
798
840
945
2310
3675
2376
Entre 2
Entre 3
Entre 4
Entre 5
Entre 6
Entre 8
Entre 9
Entre 10
51
DescomposiciΓ³n de un nΓΊmero en sus factores primos.
"Descomponer en primos" es averiguar quΓ© nΓΊmeros primos tienes que multiplicar juntos para
obtener el nΓΊmero original. Para obtenerlo, se divide el nΓΊmero entre el menor divisor primo posible,
el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y asΓ hasta que el
cociente sea 1.
12 2
6 2
72 2
36 2
540 2
270 2
3
18 2
135 5
9
3
27 3
3
3
9
3
3
3
3
1
1
1
2Γ2Γ3
=4Γ3
= 12
2Γ2Γ2Γ3Γ3
=4Γ2Γ3Γ3
= 8Γ3Γ3
= 24 Γ 3
= 72
2Γ2Γ5Γ3Γ3Γ3
= 4Γ5Γ3Γ3Γ3
= 20 Γ 3 Γ 3 Γ 3
= 60 Γ 3 Γ 3
= 180 Γ 3
= 540
Ejercicio: Descompone en sus factores primos los siguientes nΓΊmeros.
24
84
125
156
52
300
384
405
840
945
546
Ejercicio: Simplifica las siguientes fracciones hasta su mΓnima expresiΓ³n.
3
=
12
10
=
45
15
=
42
18
=
60
4
=
6
12
=
52
14
=
21
8
=
32
8
=
58
15
=
45
5
=
25
10
=
50
10
=
55
15
=
21
6
=
39
14
=
49
15
=
25
3
=
9
16
=
34
12
=
27
10
=
52
12
=
42
20
=
56
3
=
18
15
=
51
10
=
36
14
=
46
8
=
14
8
=
36
15
=
33
53
54
Transformar fracciones
FracciΓ³n Impropia a Mixta
FracciΓ³n Mixta a Impropia
π
π
=π
π
π
π
π
π π
π
7
3
=2
1
3
π πΓπ+π
=
π
π
5 3Γ9+5
=
9
9
27 + 5 32
=
=
9
9
2
3 7
1
3
Ejercicio: Transforma las siguientes fracciones.
Impropia a mixta
17
=
14
53
=
8
19
=
8
38
=
5
23
=
9
19
=
2
41
=
18
57
=
5
30
=
7
34
=
16
23
=
6
39
=
12
43
=
6
37
=
15
53
=
14
41
=
4
Mixta a impropia
1
7 =
2
3
5 =
8
1
13 =
9
12
4
=
17
4
7
=
13
9
5
=
10
4
13
=
13
8
3 =
9
3
=
4
5
7
=
11
1
3 =
7
5
8
=
12
2
12 =
9
1
6 =
5
2
10
=
15
2
7
=
17
16
55
56
Operaciones con fracciones
Suma con igual denominador
Resta con igual denominador
π π π+π
+ =
π π
π
π π πβπ
β =
π π
π
3 2 3+2 5
+ =
=
7 7
7
7
5 3 5β3 2
β =
=
7 7
7
7
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas con igual denominador.
Suma
4
3
+
=
12 12
3
2
3 +5 =
8
8
7
+5=
9
2 7
2 + =
3 3
4
4+2 =
7
4 3
1 + =
7 7
12
3
+1 =
5
5
5
1
+5 =
6
6
2 10
4 +
=
4 4
1
7
2 +1 =
9
9
1
9
+
=
11 11
7 10
1 +
=
12 12
6
2
4 +
=
10 10
1
2
4 +5 =
4
4
1 11
1 +
=
12 12
4
7
+3
=
10
10
3
6
1 +1 =
8
8
4
+1=
7
5
9
+4
=
12
12
1 5
+ =
8 8
Restas
5 3
β =
8 8
4
1β
=
11
6
4
5 β3 =
8
8
2 21
5 β
=
5 5
20 3
β =
8 8
4
9
1 β
=
12 12
8
4
2 β2
=
10
10
6
2
5 β5
=
11
11
4 6
3 β =
9 9
2
1
5 β4 =
6
6
1
7
β
=
12 12
2 4
3 β =
9 9
7
1
3 β1
=
10
10
3
4
5 β1 =
7
7
3
2
3 β3 =
9
9
3
7
3 β
=
11 11
4 2
2 β =
6 6
1
5
2 β1 =
8
8
5 5
1 β =
7 7
2
9
2 β
=
10 10
5
57
58
MΓnimo comΓΊn mΓΊltiplo m.c.m
MΓΊltiplo
MΓΊltiplos comunes
Los mΓΊltiplos son los productos de un
nΓΊmero natural por otro.
Los mΓΊltiplos comunes de dos o mΓ‘s
nΓΊmeros son todos aquellos que son
mΓΊltiplos tanto de uno como de otro.
MΓΊltiplos de 3
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, β¦
MΓΊltiplos comunes de 3 π¦ 9
3: 0,3,6,9,12,15,18, β¦
9: 0,9,18, 27,36,45,54, β¦
Ejemplo: Escribe los 6 primeros mΓΊltiplos.
2 β________________
7
β________________
11 β________________
15 β________________
18 β________________
23 β________________
32 β________________
40 β________________
65 β________________
73 β________________
77 β________________
83 β________________
95 β________________
100 β________________
115 β________________
Ejemplo: Rodea el nΓΊmero que no sea mΓΊltiplo del primero.
5 β 0,5,12,15,20
4 β 0,4,8,10,16
6 β 0,6,12,15,24
10 β 0,5,20,30,40
12 β 0,12,24,34,36,48
21 β 0,21,40,42,63,84
27 β 0,27,54,81,105,135
36 β 0,37,74,111,147
59 β 1,59,118,177,236
43 β 0,43,86,130,172
28 β 0,28,66,84,112
61 β 0,61,122,173,244
73 β 0,73,146,229,292
82 β 0,82,164,246,338
101 β 0,101,203,303,404
59
Ejemplo: Escribe los 12 primeros mΓΊltiplos y subraya los mΓΊltiplos comunes.
1.
3 β 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33
6 β 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66
2.
2 β __________________________________________________________________________
5 β __________________________________________________________________________
3.
4 β __________________________________________________________________________
6 β __________________________________________________________________________
4.
5 β __________________________________________________________________________
10 β _________________________________________________________________________
5.
2 β __________________________________________________________________________
7 β __________________________________________________________________________
6.
3 β __________________________________________________________________________
5 β __________________________________________________________________________
7.
5 β __________________________________________________________________________
7 β __________________________________________________________________________
8.
10 β _________________________________________________________________________
12 β _________________________________________________________________________
9.
9 β _________________________________________________________________________
12 β _________________________________________________________________________
10.
4 β _________________________________________________________________________
12 β _________________________________________________________________________
Para calcular el mΓnimo comΓΊn mΓΊltiplo de varios nΓΊmeros se descomponen simultΓ‘neamente en
factores primos hasta que el cociente sea 1, si alguno de los nΓΊmeros no es divisible entre el factor
dado, se baja y se continua hasta encontrar el factor primo que lo divida.
28
42
2
25
10 150 2
14
7
7
1
21
21
7
1
2
3
7
25
25
5
1
5
5
1
1
2 Γ 2 Γ 3 Γ 7 = 84
πππ ππ π‘πππ‘π ππ π. π. π. (28,42) = 84
75 3
25 5
5 5
1
2 Γ 3 Γ 5 Γ 5 = 150
πππ ππ π‘πππ‘π ππ π. π. π. (25,10,150) = 150
60
Ejemplo: Calcula el m.c.m. de los siguientes nΓΊmeros.
28 42
18 45
27 16
25 30
36 48
15 45
108 72
26 20 90
45 54 60
28 35 63
20 30 50
72 60 54
220 275 1925
605 1925 2695
61
62
Operaciones con fracciones
Suma con diferente denominador
Resta con diferente denominador
π π πΓπ+πΓπ
+ =
π π
πΓπ
π π πΓπβπΓπ
β =
π π
πΓπ
3 4 3Γ5+4Γ2
+ =
2 5
2Γ5
15 + 8 23
=
=
10
10
3 1 3Γ9β1Γ5
β =
5 9
5Γ9
27 β 5 22
=
=
45
45
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas con diferente denominador.
Suma
4 5
+ =
12 9
4 2
+ =
7 6
1 1
+ =
7 3
1 2
+ =
4 7
3 1
1 + =
8 3
3
4
3 +8 =
4
5
6
5
+1
=
8
10
1 3
5 + =
9 6
1 3
+
=
5 11
2 8
+ =
3 9
3 4
+ =
8 7
3 2
+
=
6 11
2
1
+1 =
5
7
7
9
6 +
=
11 12
1
4
5 +8 =
5
9
3
6
2 +4 =
8
7
Resta
5 6
β
=
8 10
2 4
β
=
4 10
5 2
β =
11 8
3 2
β
=
9 10
5 1
1 β =
12 6
53
2
β3 =
10
8
5 4
8 β =
9 7
3
8
5 β2
=
6
11
4 5
β =
6 9
5 6
β =
6 8
2 1
β =
4 5
4 7
β =
5 9
30
1
β2 =
7
5
4 4
3 β
=
8 12
8
2
4 β1
=
3
10
2 7
4 β
=
5 10
63
64
Suma y resta de fracciones con diferente denominador (utilizando el m.c.m.):
Se obtiene el comΓΊn denominador o mΓnimo comΓΊn mΓΊltiplo de los denominadores, el cual se divide
entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su respectivo numerador, los
nΓΊmeros que se obtienen se suman o se restan, segΓΊn sea el caso.
2 5 1
+ β =
3 4 6
3
3
3
1
4
2
1
1
6 2
3 2
3 3
1
Por lo tanto: π. π. π. (3,4,6) = 2 Γ 2 Γ 3 = 4 Γ 3 = 12
Γ
2
+
3
Γ
5 Γ 1 2(4) + 5(3) β 1(2) 8 + 15 β 2 21 7
β
=
=
=
=
4
6
12
12
12 4
Γ·
Γ·
Γ·
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas con diferente denominador (utilizando el m.c.m.).
2 5 1
+ β
=
3 6 12
7 8
9
+
β
=
5 35 21
3 1 1
+ β
=
4 3 10
1
1
1
3 β2 +1 =
2
3
4
1 2
6+1 β =
3 5
1
2
2
16 β 14 + 2 =
3
5
9
11 7
3
β
+
=
15 13 10
4 1 1
β β =
5 6 3
1
2 9
7 β1 +
=
2
5 10
1
1
1
2 +3 +1 =
4
3
6
3 1
3+ β =
5 8
1 3
12 β β
=
8 24
3 5 7
+ β
=
4 8 12
1 1 1
+ + =
2 4 8
2 1
3+ β =
5 4
2
1
4 β3 +2=
3
6
7
1
1
+3 β2 =
20
16
5
3
3
15 β 3 β 4
=
5
10
65
Problemas de suma y resta de fracciones.
1
1
1.- Julia corriΓ³ 4 de kilometro el primer dΓa de entrenamiento, el segundo dΓa corriΓ³ 4 de kilometro y
3
el tercer dΓa corriΓ³ 4 de kilΓ³metro, ΒΏCuΓ‘ntos kilΓ³metros corriΓ³?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3
1
2.- Elena utiliza 4 de taza de azΓΊcar para hacer un pastel, luego utiliza 2 taza mΓ‘s para otra receta,
ΒΏQuΓ© cantidad de azΓΊcar utilizo en total?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
3.- Pablo distribuyo su sueldo de la siguiente forma:
SoluciΓ³n:
2
3
para pagar la mensualidad de su auto y
1
12
mΓ‘s para pagar la mensualidad de una cΓ‘mara fotogrΓ‘fica que compro, ΒΏQuΓ© fracciΓ³n de su sueldo
utilizo para efectuar sus pagos?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
4.- En una panaderΓa se producen 200 bolillos, se surte a dos restaurantes y al pΓΊblico en general, el
primer restaurante compra 60 bolillos, el segundo 80 y el resto es para el pΓΊblico, ΒΏQuΓ© fracciΓ³n de
los bolillos producidos compran los restaurantes?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
5.- Ahorre $5500 en el banco, si retiro una quinta parte del ahorro, ΒΏCuΓ‘nto dinero me quedara en el
banco?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
66
6.- Para la hechura de un traje se cuenta con un corte de tela de 4 m, para hacer el pantalΓ³n se
1
7
1
utilizan 1 4 m, para el saco, 1 8 m y para el chaleco 4 m, ΒΏCuΓ‘nta tela sobra?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3
2
7.- En mi grupo se destinaron 8 del espacio del periΓ³dico mural para noticias internacionales, 8 para
noticias nacionales y el resto se dejΓ³ para actividades recreativas, ΒΏQuΓ© parte del mural corresponde
a estas ΓΊltimas?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
8.- En la escuela se desarrollan las actividades de acuerdo con el siguiente horario: clases en las
1
1
1
primeras 2 2 horas, 2 hora de recreo y clases en las ΓΊltimas 2 4 horas, si las clases inician a las 8:00,
ΒΏA quΓ© hora es la salida de la escuela?
Datos que me dan:
1
OperaciΓ³n:
9.- Javier tiene 1 2 kg de harina y ocupa
3
4
SoluciΓ³n:
kg para hacer tortillas, ΒΏCuΓ‘nta harina le falta para
preparar un pastel si requiere 1 kg de harina?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
67
68
Operaciones con fracciones
MultiplicaciΓ³n
DivisiΓ³n
π π πΓπ
Γ =
π π πΓπ
π π πΓπ
Γ· =
π π πΓπ
6 4
6Γ4
24
8
Γ =
=
=
11 3 11 Γ 3 33 11
3 1 3 Γ 9 27
Γ· =
=
4 9 4Γ1
4
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones.
MultiplicaciΓ³n
5 7
Γ
=
6 10
2
1
Γ1 =
7
6
1 3
5 Γ =
2 5
1
3
2 Γ3 =
10
5
1
3Γ2 =
3
2
Γ4=
3
7
1
Γ4 =
10
2
5 4
8 Γ =
7 9
3
4Γ
=
10
1 2
Γ =
12 9
3 7
6 Γ
=
4 10
2
4
Γ3 =
3
5
7
1
8 Γ4 =
12
9
1
5
Γ2
=
6
11
1 1
Γ =
2 9
1
4Γ =
4
1
6 Γ2=
2
4
5
Γ6 =
9
6
DivisiΓ³n
4 4
Γ· =
7 5
2 8
8 Γ· =
9 9
3
7
Γ·5
=
8
11
2 5
Γ· =
9 6
1
3
8 Γ·7
=
6
10
1
7Γ· =
2
1
1
3 Γ·4 =
3
3
1
5 Γ·4=
2
2 1
Γ· =
11 2
3 1
Γ· =
4 3
4 7
1 Γ· =
5 8
1
9
Γ·2
=
8
10
7 2
8 Γ· =
10 3
1
7
Γ·5
=
6
11
1
3 Γ·7=
5
2
1
8 Γ·1 =
3
3
3
4
6 Γ·3 =
4
5
1
4 Γ·8=
3
69
Problemas de multiplicaciΓ³n de fracciones.
3
1.- Para prepararle la mamila a su bebΓ©, Marcela ocupa los 4 de capacidad de la mamila, que es de
1
5
de litro, ΒΏQuΓ© fracciΓ³n de litro de leche prepara Marcela?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
1
SoluciΓ³n:
7
2.- Ricardo pasa 3 del dΓa en la escuela, de esa parte, 8 estΓ‘ en el salΓ³n de clases, y el resto estΓ‘ en
recreo, ΒΏQuΓ© fracciΓ³n del dΓa pasa Ricardo en el salΓ³n de clases?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3
3
3.- Un panadero ocupa 10 de un saco de harina al dΓa, si los 4 de la harina la usa para preparar pan,
ΒΏQuΓ© fracciΓ³n del saco de harina utiliza el cocinero para hacer pan diariamente?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3
1
3
4.- Daniela demora 5 de hora en llegar al colegio, de este tiempo, 4 camina y 4 anda en bus, ΒΏQuΓ©
fracciΓ³n de hora camina Daniela desde su casa al colegio?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3
2
5.- Javier quiere ser pianista, Γ©l permanece despierto 4 partes del dΓa y dedica 9 del tiempo que estΓ‘
despierto a practicar piano, ΒΏQuΓ© fracciΓ³n del dΓa toca el piano Javier?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
70
71
Problemas de divisiΓ³n de fracciones.
1.- Si Anita reparte
3
4
de un pastel en partes iguales entre sus 3 hijos, ΒΏQuΓ© fracciΓ³n del pastel le
corresponde a cada niΓ±o?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
2.- Don Rodolfo quiere repartir la mitad de un terreno en partes iguales entre sus 3 hijos, ΒΏQuΓ© parte
del terreno le corresponde a cada hijo?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3
3.- Don Manuel debe repartir las 8 partes de las ganancias que obtuvo su empresa, en partes iguales
entre los 13 empleados que trabajan para Γ©l, ΒΏQuΓ© parte de las ganancias le corresponde a cada
empleado?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
1
4.- Mario quiere repartir 4 barras de chocolate en trozos de 8 de barra, ΒΏCuΓ‘ntos trozos alcanzarΓ‘ a
tener NicolΓ‘s?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
1
5.- Pedro tiene que repartir 8 m3 de arena en sacos de 5 de m3, ΒΏCuΓ‘ntos sacos alcanzarΓ‘ a llenar
Pedro?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
72
6.- Un vendedor quiere repartir
1
2
de kilo de tornillos en paquetes de
1
8
de kilo, ΒΏCuΓ‘ntos paquetes
alcanzarΓ‘ a llenar?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
7.- Mariana quiere vaciar
3
4
de litro de leche en vasitos de
SoluciΓ³n:
1
8
de litro cada uno, ΒΏCuΓ‘ntos vasitos
podrΓ‘ llenar?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
9
SoluciΓ³n:
3
8.- Un ferretero debe repartir 10 de kilo de clavos en bolsas de 40 kilo, ΒΏCuΓ‘ntas bolsas alcanzarΓ‘ a
llenar?
Datos que me dan:
9.- Normita tiene
3
4
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
de kilo de tΓ©, si quiere repartirlo en bolsitas de
1
20
de kilo, ΒΏCuΓ‘ntas bolsitas
obtendrΓ‘?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
5
SoluciΓ³n:
1
10.- En un restaurante deben repartir 8 de litro de ajΓ en envases de 16 de litro cada uno, ΒΏCuΓ‘ntos
envases lograrΓ‘n llenar?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
73
74
Decimales
Al escribir un nΓΊmero decimal se le da a los dΓgitos un ordenamiento
de izquierda a derecha contados a partir del punto decimal.
Los nΓΊmeros decimales se les llaman tambiΓ©n fracciones
decimales, ya que al expresarse como fracciones, su
denominador es la unidad seguida de ceros.
5 12 102
,
,
10 100 1000
Lectura y escritura de nΓΊmeros decimales.
La parte que estΓ‘ a la izquierda del punto decimal se llama parte entera, y la parte que se encuentra
a la derecha se llama parte decimal.
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
1
10
1
100
1
1000
1
10000
1
100000
1
1000000
Ejemplo:
2.4
Dos enteros punto cuatro decimos
0.05
Cero enteros punto cinco centΓ©simos
13.407
Trece enteros punto cuatrocientos siete milΓ©simos
15.00459
Quince enteros punto cuatrocientos cincuenta y nueve cienmilΓ©simos
7.0024891
Siete enteros punto veinticuatro mil ochocientos noventa y uno millonΓ©simos
75
Ejercicio: Escribe los siguientes nΓΊmeros decimales.
Numero
Lectura
0.7
0.15
7.3
3.015
5.750
0.007
13.407
21.0005
4.005
0.125
0.000103
9.725
0.000006
Ejercicio: Desarrolla los siguientes decimales.
Lectura
Tres enteros punto doce centΓ©simos.
Cero enteros punto ocho decimos.
Cuatro enteros punto un dΓ©cimo.
Trece enteros punto doscientos cinco milΓ©simos.
Dos enteros punto cinco millonΓ©simos.
Doce enteros punto cuatrocientos ocho milΓ©simos.
Diez enteros punto catorce diezmilΓ©simos.
Un entero punto un milΓ©simo.
Cinco enteros punto mil tres millonΓ©simos.
Numero
76
Equivalencia entre decimales.
ππππππ πππππππππππ ππ ππππ‘Γ©π ππππ
ππππππ πππππππππππ ππ πΓ©πππππ
πππ πππ£ππππ ππ’π:
0.2
=
πππ πΓ©πππππ
0.20
π£ππππ‘π ππππ‘Γ©π ππππ
Si continuamos fraccionando tendremos que:
0.2 = 0.20 = 0.200 = 0.2000 β¦
Hay equivalencia porque el valor relativo de la cifra significativa (diferente de 0) es el mismo en todos
los casos. Por la misma razΓ³n:
0.64 = 0.640
;
0.03 = 0.030 ;
β¦
Ejercicio: Para cada una de las siguientes cantidades, escribe dos equivalentes.
0.2 =
3.4 =
10.1 =
0.84 =
13.31 =
0.004 =
2.39 =
0.995 =
20.9 =
0.91 =
30.11 =
6.80 =
7.07 =
19.10 =
6.50 =
4.9 =
6.72 =
6.80 =
23.70 =
13.70 =
7.080 =
8.43 =
12.003 =
0.0300 =
9.412 =
6.510 =
13.1 =
6.66000 =
71.470 =
0.708 =
5.130 =
1.032 =
18.3010 =
77
Pasar de decimal exacto a fracciΓ³n decimal.
Para hallar la fracciΓ³n decimal de un nΓΊmero decimal exacto, se pone como numerador el nΓΊmero
dado sin el punto decimal, y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga el nΓΊmero decimal.
Ejemplo:
ππ’ππππ ππππ π ππ ππ
ππ’ππ‘π πππππππ
1. 13
113
1 00
=
πππ ππππππ
πππππππππ
πππ πππππ
ππππ ππππππ πππππππππ
ππ’ππππ ππππ π ππ ππ
ππ’ππ‘π πππππππ
0. 1769
ππ’ππ‘ππ ππππππ
πππππππππ
=
1769
1 0000
ππ’ππ‘ππ πππππ
ππππ ππππππ πππππππππ
Ejercicio: Para cada una de las siguientes cantidades, escribe un equivalente.
0.6 =
0.8 =
0.05 =
0.075 =
0.00346 =
0.0204 =
0.0124 =
0.96 =
0.084 =
14.06 =
5.0428 =
6.4286 =
0.0024 =
6.72 =
1.25 =
0.0086 =
0.066 =
0.0024 =
4.36 =
5.0302 =
0.20 =
0.33 =
0.25 =
0.44 =
0.66 =
3.028 =
15.16 =
8.963 =
0.8347 =
48.047 =
39.4 =
2.0098 =
13.284 =
26.031 =
0.318 =
126.78 =
78
UbicaciΓ³n de los nΓΊmeros decimales en la recta numΓ©rica.
Si observas una regla, puedes notar que la unidad se encuentra dividida en 10 partes iguales, tal
como lo vemos en la siguiente recta:
0
1
2
3
Para poder ubicar un nΓΊmero decimal hacemos lo siguiente:
Ejemplo: Ubicar el nΓΊmero 2.7
1.- Ubicamos cual es la parte entera del numero decimal, en este caso nuestra parte entera es 2,
entonces ubicamos el nΓΊmero 2 en la recta numΓ©rica.
2
0
1
2
3
7
2.- Ahora vamos ubicar la parte decimal, en este caso es 7 decimos ( ), entonces como la
10
fracciΓ³n nos indica la unidad estΓ‘ dividida en 10 pedazos y vamos a tomar 7 pedazos.
2.7
0
1
2
3
Ejemplo: Ubicar el nΓΊmero 5.65
1.- Ubicamos cual es la parte entera del nΓΊmero decimal, en este caso nuestra parte entera es 5,
entonces ubicamos el nΓΊmero 5 en la recta numΓ©rica.
5
4
5
6
6
2.- Ahora vamos ubicar la parte decimal, en este caso es 6 decimos ( ), entonces como la
10
fracciΓ³n nos indica que la unidad estΓ‘ dividida en 10 partes y vamos a tomar 6 partes.
5.6
4
5
6
79
3.- Ahora vamos ubicar el siguiente nΓΊmero decimal, en este caso es 5 centΓ©simos (
5
100
),
entonces como la fracciΓ³n nos indica la unidad estΓ‘ dividida en 100 partes y vamos a tomar 5
partes a partir del nΓΊmero en el que ya estΓ‘ ubicado.
5.6
5
4
6
5.65
5.60
5.70
Ejercicio: Indica en la siguiente recta numΓ©rica la posiciΓ³n de los siguientes nΓΊmeros decimales.
5.2, 5.9 π¦ 5.5
6.4, 7.3 π¦ 7.8
1.65, 1.68 π¦ 1.77
4.28, 4.34 π¦ 4.39
5.65, 5.72 π¦ 5.79
7.3, 7.8 π¦ 8.6
3.5, 4.7 π¦ 5.3
2.036, 2.039 π¦ 2.042
15.78, 15.81 π¦ 15.85
0.095, 0.102 π¦ 0.105
2.05, 2.18 π¦ 2.21
0.75, 1.2 π¦ 1.83
80
ConversiΓ³n de fracciones a nΓΊmeros decimales.
Se divide el numerador entre el denominador, aproximando la divisiΓ³n hasta que de cociente exacto
o hasta que se repita en el cociente indefinidamente una cifra o un grupo de cifras.
7
= 0.875
8
4
= 0.8
5
0.8
5 4 0
β
4 0
0
0 .8 7 5
8 β7 0
6 4
60
β
56
β40
40
0
πΉπππππππ πππππππ πππππ‘π
πΉπππππππ πππππππ πππππ‘π
2
= 0.666
3
0. 6 6 6
3 β2 0
1 8
β 2 0
1 8
β 2 0
1 8
2
πΉπππππππ πππππππ
πππππππππ πππππππ‘π
Ejercicio: Escribe de forma de numero decimal las siguientes fracciones.
7
=
4
13
=
8
23
=
20
111
=
20
285
=
50
31
=
5
11
=
16
48
=
25
146
=
16
1583
=
10
7
=
18
38
=
8
306
=
50
968
=
100
3967
=
8
81
82
Operaciones con decimales
Suma
Resta
Para sumar nΓΊmeros decimales se les
ubica de manera que los puntos decimales
queden en una sola columna, se suman
de manera normal y al resultado se le
coloca el punto en la misma columna que
los anteriores.
Para restar nΓΊmeros decimales se ubica el
minuendo debajo del sustraendo de tal
forma que los puntos queden alineados,
luego se realiza la resta y al resultado se
le coloca el punto en la misma columna
que los anteriores.
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de decimales.
8.047 + 1.1 + 10.224 =
6.80 β 1.61 =
8.67 + 0.3 + 0.13 =
6.1 β 1.3 =
4.558 + 1.6 + 7.14 =
8.96 β 0.4 =
9.38 + 5 + 3.74 =
9.393 β 0.7 =
2.02 + 5.088 + 0.6 =
6.5 β 1.102 =
3.073 + 1.89 + 10.22 =
3.2 β 1.651 =
5.169 + 1.8 + 1.298 =
9.3 β 1.425 =
3.24 + 1.2 + 4.23 + 3 =
5.6 β 1.872 =
1.625 + 1.4 + 2.82 =
2.26 β 0.5964 =
3.6 + 36 + 3.65 + 8.065 =
3.14 β 0.7071 =
3.333 + 3.3 + 3.33 + 0.3 =
20.6 β 9.04 =
2.756 + 0.0187 + 0.64 =
4.072 β 2.06986 =
83
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de decimales.
+
38.45
2.456
68.4
7.4
+21.7
+ 18.36
+
42.6
3.25
+
23.25
2.8
+
52.64
4.5
+
48.37
5.74
+
28.34
12.6
+
5.6
32.8
+
2.38
47.9
+
35.26
8.6
+
107.2
48.35
+
7.29
32.41
+
1.09
0.08
89.3
+ 19.2
9.75
β 6.74
β
72.84
13.26
0.684
β0.219
β
226.9
43.51
15.78
4.89
90.54
33.86
2.93
β
β 23.79
β
50.09
34.14
0.857
0.649
β
9.056
0.78
β
7.234
0.15
50.789
6.7
45
+
7.897
β
4.03
27.3
+
6.76
9
β 0.77
β 0.078
96.981
3.465
+
β 1.5
β
β
18.7
6.58
774
61.71
8
β 3.49
β
95.7
78.34
5.4
β1.3996
84
85
Problemas de suma y resta de decimales.
1.- A principios de Diciembre, un ciclista pesaba 72.5 kg y en ese mes aumento 1.300 kg, ΒΏCuΓ‘nto
pesaba a principios de Febrero, si en Enero bajo 2.250 kg de peso?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
2.- Marcos creciΓ³ 0.095 m en los ΓΊltimos seis meses, si ahora mide 1.845 m, ΒΏCuΓ‘l era su estatura
hace medio aΓ±o?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3.- ΒΏCuΓ‘l es la diferencia en metros, entre una milla nΓ‘utica y una milla terrestre?
Milla nΓ‘utica=0.1852 m
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
Milla terrestre=0.169 m
SoluciΓ³n:
4.- A Ramiro le dio una infecciΓ³n que le provoco fiebre, le pusieron el termΓ³metro a las 9:00 am y
marco 38.9Β° C, 3 horas despuΓ©s, marcaba 37.7Β° C, ΒΏDe cuΓ‘nto fue la variaciΓ³n de temperatura?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
5.- En el informe mensual de la tarjeta de crΓ©dito de JosΓ© aparecen los siguientes cargos: $325.75,
$178.90, $458.35, $249.10, $346.55, si en ese periodo solamente puede disponer de $1000,
ΒΏTodavΓa tiene crΓ©dito disponible?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
86
6.- Una persona cuyo peso era de 70.5 kg se sometiΓ³ a tratamiento que duro tres semanas y redujo
0.75 kg cada semana, ΒΏCuΓ‘nto peso esa persona al finalizar el tratamiento?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
7.- El talΓ³n de pago de mi mama muestra que gana $5789.45 quincenales; sin embargo, le hacen
algunos descuentos, como son: Seguro Social: $79.80; Sindicato: $24.70; Fondo de ahorro: $57.89;
Seguro de vida: $124.65 e Impuestos sobre el trabajo: $765.80, ΒΏCuΓ‘nto es lo que recibe?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
8.- Pedro, RaΓΊl y Sergio miden su estatura, Pedro mide 1.41 m, Sergio 1.46 m y se sabe que la
suma de las tres alturas es de 4.2 m, ΒΏCuΓ‘l es la estatura de RaΓΊl?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
9.- El salΓ³n de clases de MarΓa tiene forma rectangular y mide 8.75 m de largo y 6.25 m de ancho,
ΒΏCuΓ‘l es su perΓmetro?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
87
88
Operaciones con decimales
MultiplicaciΓ³n
Para multiplicar nΓΊmeros decimales se multiplican como si fueran nΓΊmeros enteros y al
resultado de la operaciΓ³n se le agrega el punto. Para ubicar el punto decimal, sumamos el
nΓΊmero de cifras decimales que tengan los dos factores dados y se ubica en el resultado
contando de derecha a izquierda.
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de decimales.
464 Γ 1.2 =
3.2 Γ 1.6 =
7.2 Γ 3.6 =
10.4 Γ 1.42 =
7.28 Γ 1.80 =
17.13 Γ 4.2 =
11.6 Γ 9.52 =
8.56 Γ 3.05 =
9.8 Γ 2.7 =
19.5 Γ 4.83 =
5.72 Γ 0.9 =
13.73 Γ 7.7 =
12.21 Γ 7.31 =
15.2 Γ 3.61 =
2.84 Γ 3.37 =
7.84 Γ 10.32 =
19.4 Γ 4.1 =
2.54 Γ 9.72 =
5.52 Γ 8.5 =
12.43 Γ 9.4 =
12.59 Γ 2.5 =
18.40 Γ 10.68 =
6.9 Γ 4.2 =
20.57 Γ 2.9 =
6.63 Γ 6.52 =
12.5 Γ 10.3 =
2.47 Γ 8.8 =
1.78 Γ 9.5 =
9.67 Γ 7.6 =
3.26 Γ 5.02 =
12.68 Γ 5.95 =
4.16 Γ 6.55 =
15.53 Γ 8.06 =
89
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de decimales.
Γ
431.4
3.5
Γ
32.43
2.4
27.54
3.2
Γ 31.3
25.49
Γ
85.32
289.1
Γ 0.98
535.02
75.2
Γ
42.25
6.2
Γ
Γ
49.63
Γ 2.14
153.9
Γ 1.01
Γ
4.131
3.2
Γ
3.875
1000
58.608
2.007
Γ
Γ 2.13
89.351
5.2
Γ
23.87
5.3
Γ
4.85
10
Γ
28.05
100
Γ
5.4
1000
18.1367
Γ 1000
248.67
27.08
Γ
90
91
Problemas de multiplicaciΓ³n de decimales.
1.- Una pintura tiene un costo de $25.75 el litro, una persona compra 48 litros, ΒΏCuΓ‘nto es lo que
paga?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
2.- Si 57 litros de aceite tiene un costo de $1850 y se vende el litro a $45.80, ΒΏDe cuΓ‘nto es la
ganancia?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3.- Un automΓ³vil viaja a 85.3 kilΓ³metros por hora en una carretera, ΒΏQuΓ© distancia recorre en 6
horas?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
4.- Una familia de 6 personas asiste a un espectΓ‘culo y cada una de ellas realiza los siguientes
gastos: $12.25 de pasaje, $53.50 de comida y $150 por boleta de entrada, ΒΏCuΓ‘nto se gastaron en
total?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
5.- ΒΏCuΓ‘l es el Γ‘rea de un terreno rectangular que tiene de largo 45.30 metros y 26.45 metros?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
92
6.- En una construcciΓ³n se emplearon 38 hombres, cada uno de ellos recibe $150.80 diarios, si el
trabajo dura 25 dΓas, ΒΏA cuΓ‘nto asciende el salario de cada persona y de todas las personas,
durante ese lapso?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
7.- Si una librerΓa vende durante un dΓa 35 libros de matemΓ‘ticas a $180.50 cada uno, 56 de espaΓ±ol
a $97.50 y 125 de inglΓ©s a $65, ΒΏA cuΓ‘nto asciende su venta?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
8.- ΒΏUn carpintero desea saber cuΓ‘ntos centΓmetros equivalen 20 pulgadas? (Considerando que una
pulgada es igual a 2.54 centΓmetros.)
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
9.- El volumen de una caja se obtiene de la multiplicaciΓ³n del largo por el ancho y por el alto, si se
tiene una caja con 30.48 centΓmetros de largo, 17.78 de ancho y 12.7 de alto, ΒΏCuΓ‘nto es el
volumen?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
10.- Una escalera tiene 26 escalones y la separaciΓ³n que existe entre cada uno es de 0.28 metros,
ΒΏQuΓ© tan alta es la escalera?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
93
94
Operaciones con decimales
DivisiΓ³n
NΓΊmero decimal
dividido por un nΓΊmero
entero.
NΓΊmero decimal
dividido por otro
nΓΊmero decimal.
2 .6
1 6. 2 4
6 β9 7 . 4 4
6
37
β
36
1 4
β
1 2
β2 4
24
0
3 9. 5 2
15. 2
2 6 0 β3 9 5 2
260
1352
β
1300
520
52 0
0
NΓΊmero entero dividido
por un nΓΊmero decimal.
4 .8 563
1 1 7. 2 9
4 8 β5 6 3 0
48
β8 1
48
β3 5 0
336
14 0
β
96
440
β
432
8
95
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de decimales.
Decimal entre entero
Decimal entre decimal
Entero entre decimal
8.31 Γ· 3 =
7.68 Γ· 3.2 =
66 Γ· 2.2 =
33.18 Γ· 6 =
12.5 Γ· 2.5 =
39 Γ· 3.9 =
10.5 Γ· 5 =
2.55 Γ· 1.02 =
98 Γ· 17.5 =
107.282 Γ· 7 =
2.87 Γ· 1.4 =
17 Γ· 0.34 =
3.122 Γ· 2 =
9.362 Γ· 3.02 =
897 Γ· 5.75 =
5.404 Γ· 8 =
13.8 Γ· 2.3 =
522 Γ· 1.74 =
85.23 Γ· 9 =
53.8 Γ· 7.9 =
527 Γ· 52.7 =
13.23 Γ· 10 =
49.75 Γ· 0.52 =
682 Γ· 2.48 =
277.8 Γ· 12 =
18.52 Γ· 2.7 =
157 Γ· 78.5 =
111.5 Γ· 13 =
0.135 Γ· 0.03 =
984 Γ· 0.32 =
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero decimal entre numero entero.
2
7.36
3
4.326
4
7
9.45
6
73.8
32
42
59
136.48
237.55
27.9
59.01
47
682.112
78
568.72
96
97
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero decimal entre numero decimal.
9.2
36.8
12.3
73.8
1.45
17.4
2.4
20.88
3.8
21.66
0.7
12.25
0.046
0.9
1.42
21.3
958.5
2.3
799.46
29.095
98
99
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero entero entre numero decimal.
1.3
585
2.3
2875
2.5
0.78
1.23
7749
2.31
12936
1000
24
1.22
2.23
1.2
1176
1.25
2000
5490
25442
100
101
Problemas de divisiΓ³n de decimales.
1.- El precio de un artΓculo es de $6.25 y se pagaron $143.75 por varios de ellos, ΒΏCuantos se
adquirieron?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
2.- El precio de 385 artΓculos comerciales es de $1232, ΒΏCuΓ‘l es el precio unitario?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3.- Un metro de tela tiene un precio de $15.25, si se compra un rollo de dicha tela en $915,
ΒΏCuΓ‘ntos metros tiene?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
4.- Si se desea embotellar 4500 litros de refresco en envases de 0.75 litros de capacidad, ΒΏCuΓ‘ntos
envases se necesita?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
5.- Para embotellar 847 litros de refresco se emplearon 484 botellas, ΒΏCuΓ‘l es la capacidad de cada
una de ellas?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
102
6.- Un grupo de 42 personas va de excursiΓ³n a un zoolΓ³gico y en la taquilla pagan $2457, ΒΏCuΓ‘l es
el costo de entrada por persona?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
7.- Aurelio pago $94.50 en una sala de videojuegos, en donde por esa cantidad le dieron 21 fichas
para jugar, ΒΏCuΓ‘l es el precio que pago por cada ficha?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
8.- Un sanitario es abastecido por un tinaco, cuya capacidad es de 300 litros de agua; si cada
descarga del lΓquido es de 12.5 litros, ΒΏPara cuantas descargas alcanza el agua?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
9.- Una naranja tiene un peso aproximado de 0.125 kilogramos, ΒΏCuΓ‘ntas naranjas habrΓ‘ en una
tonelada, si se considera el mismo peso para cada naranja?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
10.- Un empleado gubernamental percibe quincenalmente $6641.25 por concepto de su salario,
ΒΏCuΓ‘l es su sueldo diario?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
103
104
NΓΊmeros con signo
Suma y resta
Mismos signos
5 + 8 = 13
β3 β 7 = β10
Diferentes signos
8β5= 3
5 β 9 = β4
Ejercicio: Ordena los siguientes nΓΊmeros de menor a mayor.
9; β16; 7; β3; 14; β8
β18; 6; 13; β14; 16; 20
β10; β5; 7; 14; 8; β12
β8; 6; β3; β15; β14; 2
β2; β15; β6; 8; 7; β10
8; β7; β6; β11; 19; 3
Ejercicio: Ordena los siguientes nΓΊmeros de mayor a menor.
β16; β11; β19; 16; 6; β7
β11; 15; 12; β14; 13; β9
β2; β20; β11, β3; β15; β8
β11; β8; β20; β17; β15; β25
β5; 15; β7; β8; 17; 0
β19; β17; β14; 0; β9; β18
105
Ejercicio: Lee la siguiente informaciΓ³n y ubiquen en la lΓnea del tiempo los incisos de los aΓ±os.
1.- Aproximadamente en el aΓ±o 300 antes de nuestra era Euclides escribiΓ³ la obra βElementos de
GeometrΓaβ.
2.- ArquΓmedes hizo varias contribuciones a la fΓsica y a las matemΓ‘ticas. NaciΓ³ en el aΓ±o 287 antes
de nuestra era y muriΓ³ en el 212 antes de nuestra era.
3.- En el aΓ±o 260 antes de nuestra era se desarrollΓ³ la numeraciΓ³n arΓ‘biga.
4.- Aproximadamente en el aΓ±o 240 antes de nuestra era, ArquΓmedes calculo el valor de π y
EratΓ³stenes midiΓ³ la circunferencia de nuestro planeta.
5.- En 1489 se introdujeron los signos (+) y (-), que ayudaron a simplificar el estudio de las
matemΓ‘ticas.
6.- En 1585, SimΓ³n Stevin extendiΓ³ el sistema de lugares decimales y ayudo a simplificar las
matemΓ‘ticas.
7.- En 1673, Descartes desarrollo la geometrΓa analΓtica.
8.- En 1654, Pascal y Fermat formulo la teorΓa de la probabilidad.
9.- En 1672, Leibniz invento una mΓ‘quina para multiplicar, dividir y calcular raΓces cuadradas.
10.- En 1795 se introdujo el sistema mΓ©trico decimal.
200
400
200
0
AΓ±os a.C.
600
400
1000
800
1400
1200
1800
1600
AΓ±os d.C.
Ejercicio: A partir de los datos anteriores, contesta las siguientes preguntas.
ΒΏHace cuantos aΓ±os escribiΓ³ Euclides la obra βElementos de GeometrΓaβ? _____________________
ΒΏCuΓ‘ntos aΓ±os viviΓ³ ArquΓmedes? _____________________
ΒΏHace cuantos aΓ±os se desarrollΓ³ la numeraciΓ³n arΓ‘biga? _____________________
ΒΏDesde hace cuantos aΓ±os se conoce el valor de π? _____________________
ΒΏCuΓ‘ntos aΓ±os hace que se introdujeron los signos (+) y (-)? _____________________
En la recta numΓ©rica, los nΓΊmeros positivos se ubican a la derecha de cero. ΒΏHacia dΓ³nde se ubican
los nΓΊmeros negativos? _____________________
106
Ejercicio: Realiza en la recta numΓ©rica las siguientes sumas y restas de nΓΊmeros con signo.
2+4=6
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
0β4=
1
2
3
4
5
6
3+2=
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
1
2
3
4
5
6
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
β3 β 3 =
1
2
3
4
5
6
1β6=
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
2
β2 β 4 =
3β6=
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
1
β3 + 4 =
3β4=
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
β4 + 2 =
1
2
3
4
5
6
β6 β5 β4 β3 β2 β1 0
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de nΓΊmeros con signo.
6+7=
13 + 5 =
14 β 2 =
7β8=
9 β 11 =
13 β 12 =
23 + 51 =
β12 + 18 =
17 + 12 =
β13 β 5 =
β2 β 6 =
β11 + 12 =
13 β 13 =
15 + 8 =
β7 + 9 =
β2 β 5 =
β7 + 8 =
3β7=
12 β 9 =
4β1=
13 β 6 =
14 β 24 =
16 β 40 =
17 β 41 =
β6 + 11 =
β17 + 8 =
β7 β 4 =
β4 + 1 =
β1 + 45 =
62 + 7 =
β14 + 20 =
β15 + 15 =
16 + 5 =
β5 β 13 =
15 β 13 =
β5 + 0 =
β5 + 22 =
β16 + 34 =
β26 + 13 =
27 β 43 =
β12 + 12 =
1β5=
β2 β 6 =
β2 β 3 =
107
Ejercicio: Descubre cuΓ‘l de estos cuadros es mΓ‘gico e indica cual es el valor de cada lΓnea.
ππ ππ π’π ππ’ππππ ππππππ
πππ ππ’πππ π π’ππ ππ ππππ πππππ ππ :
3
3
β1
2
2
3
4
1
β2
3
0
0
3
3
3
3
3
2
β1
β4
3
β2
5
5
β16
8
0
2
4
β7
β1
6
1
β10 14
3
β3
10
β1
β3
4
2
1
6
5
β6
7
β9
β8
5
β2 β10
4
β1
Ejercicio: Completa los siguientes cuadros mΓ‘gicos.
5
7
β8
β11
0
1
10
β3
5
10
2
β3
β1
0
β1
4
β3
2
β7
β1
5
8
6
β10
0
8
2
4
3
β1
108
109
En problemas de sumas y restas con varios tΓ©rminos se recomienda sumar primero los tΓ©rminos
positivos, sumar luego los tΓ©rminos negativos y por ΓΊltimo, restar las dos sumas (tΓ©cnica del bicolor).
5 + 8 β 3 + 4 β 7 + 9 β 11
Agrupamos los tΓ©rminos positivos y negativos:
5 + 8 + 4 + 9 = 26
β3 β 7 β 11 = β21
Restamos las dos sumas:
= 26 β 21 = 5
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de nΓΊmeros con signo.
2+3β5+8β7+4=
6 β 2 β 7 + 9 + 8 β 12 =
β4 β 5 β 12 + 18 + 1 =
14 + 2 + 3 β 9 β 7 =
23 β 5 β 8 β 9 β 10 =
β9 β 7 + 5 β 8 + 12 + 1 =
18 + 15 β 7 β 6 β 5 β 2 =
5 + 3 + 2 + 9 β 11 + 5 =
8 + 5 + 3 β 13 β 2 β 1 =
β7 + 5 β 13 + 8 β 12 β 7 =
8 β 9 + 7 + 2 β 13 =
13 + 12 β 20 β 8 + 5 =
12 + 13 + 14 β 19 =
β3 + 2 + 5 β 8 β 7 + 6 =
17 β 12 β 9 + 3 + 5 =
β3 β 5 β 9 β 2 β 9 β 11 =
β5 β 9 β 2 + 7 β 3 β 6 =
3+7β5β2+5β7=
2+3β5+8β7+4=
6 β 2 β 7 + 9 + 8 β 12 =
110
111
Problemas de nΓΊmeros enteros.
1.- La temperatura promedio en el planeta Mercurio durante el dΓa es de 327Β° C sobre cero, durante
la noche es de -183Β° C, ΒΏCuΓ‘ntos grados centΓgrados desciende la temperatura del dΓa a la noche?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
2.- ΒΏQuΓ© edad tenia PitΓ‘goras al morir, si naciΓ³ en el aΓ±o 580 a.C. y muriΓ³ en el aΓ±o 501 a.C.?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
3.- Si Buda naciΓ³ en el aΓ±o 583 a.C. y Mahoma 570 aΓ±os d.C., ΒΏCuΓ‘ntos aΓ±os naciΓ³ primero Buda
que Mahoma?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
4.- ΒΏQuΓ© diferencia de nivel hay entre un elevador que ha descendido en una mina a 245 m del nivel
de la estaciΓ³n, y una casa situada a 75 m sobre el nivel de dicha estaciΓ³n?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
5.- ΒΏCuΓ‘l es la diferencia en altura entre la montaΓ±a mΓ‘s alta del mundo, el Everest (+8847 m) y el
mar muerto (-397 m)?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
112
6.- Un aeroplano, cuya velocidad seria de 45 m por segundo, sin corrientes contrarias, camina contra
un viento de 11 m por segundo, ΒΏDe cuΓ‘nto es su velocidad contra el viento? ΒΏDe cuΓ‘nto es su
velocidad por hora?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
7.- DespuΓ©s de alcanzar una altura de 3795 m sobre el mar, un cohete suelta una de sus turbinas y
esta cae en el ocΓ©ano a una profundidad de -792 m, ΒΏQuΓ© distancia recorre la turbina?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
8.- Dos buques que van en sentido contrario, con una velocidad de 28 km y 25.75 km por hora
respectivamente, se han cruzado las 8:30 am, ΒΏA quΓ© distancia estarΓ‘n uno de otro a las 11 am?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
9.- ΒΏQuΓ© diferencia de nivel hay entre un paso de 250 m y lo alto de una torre de 175 m?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
10.- Dos autos van en el mismo sentido por una carretera, uno de ellos ha recorrido 50 km y el otro
45 km, ΒΏA quΓ© distancia se hallan uno de otro? ΒΏA quΓ© distancia se hallarΓa, despuΓ©s de haber
recorrido cada uno el mismo nΓΊmero de kilΓ³metros que en el caso anterior, si corrieran en sentido
opuesto?
Datos que me dan:
OperaciΓ³n:
SoluciΓ³n:
113
114
Uso de parΓ©ntesis en la suma y
la resta
Signo exterior positivo
Signo exterior negativo
3 + β5 = 3 β 5 = β2
5 β β4 = 5 + 4 = 9
β9 + β3 + 5
= β9 β 3 + 5 = 5 β 12 = β7
3 β β5 + 1 = 3 + 5 β 1
=8β1=7
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de nΓΊmeros con signo.
(7) + (β2) =
(2) + (β6) =
(β5) + (8) =
(5) + (β5) =
(7) + (11) =
(6) + (β3) =
(3) + (β7) =
(β4) + (1) =
(4) + (β4) =
(β5) + (3) =
(9) + (β4) =
(2) + (β6) =
(β9) + (15) =
(β7) + (7) =
(β6) + (2) =
(8) + (β3) =
(β1) + (6) =
(β8) + (12) =
(β9) + (9) =
(5) + (β9) =
(β3) β (β8) =
(β4) β (β8) =
(5) β (β2) =
(β2) β (3) =
(β7) β (β4) =
(β3) β (β9) =
(7) β (3) =
(β7) β (9) =
(0) β (β5) =
(5) β (β2) =
(β1) β (4) =
(β9) β (β6) =
(β8) β (3) =
(β5) β (β5) =
(β10) β (β5) =
(10) β (β2) =
(11) β (β4) =
(β9) β (β3) =
(11) β (β8) =
(15) β (β5) =
( ) + (β6) = 0
( ) + (β4) = 14
(7) + ( ) = β2
(β6) + ( ) = β11
(8) + ( ) = β1
( ) + (β9) = 0
( ) + (β10) = 0
( ) + (β6) = 18
( ) + (5) = 14
(5) + ( ) = β1
(15) + ( ) = β7
(β17) + ( ) = β1
115
116
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de nΓΊmeros con signo.
β2 + (β3) =
β5 + (β4) =
3 β (β5) =
8 β (β7) =
(8 + 7) + 4 =
(4 + 6) β 8 =
6 + (4 + 8) =
4 + (36 β 8) =
(7 + 5) + 3 =
6 β (2 + 1) =
β5 β (3 + 2) =
12 β (9 + 2) =
9 β (2 β 3) =
5 + 2 β (3 + 4) =
3 + 5 β (β2 β 3) =
8 β 7 β (β4 + 7) =
β7 + 6 + (8 β 7) =
β5 β (3 + 4 β 5) + (6 β 3) =
8 + (β4 + 1) β (β3 + 2) =
β(2 + 3 β 6 β 4) β 5 + 2 =
(2 β 5) + (β3 + 2) β (β2 + 4) =
14 + 3 β (9 + 8 β 11) β 12 =
117
118
NΓΊmeros con signo
MultiplicaciΓ³n y divisiΓ³n
+
β
+
β
+
β
β
+
=
=
=
=
+
+
β
β
+
β
+
β
/
/
/
/
+
β
β
+
=
=
=
=
+
+
β
β
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de nΓΊmeros con signo.
(5)(4) =
(β5)(8) =
(2)(β7) =
(β9)(β8) =
(5)(β4) =
(β9)(7) =
(β6)(β11) =
(β5)(β9) =
(β6)(9) =
(8)(6) =
(β4)(0) =
(β8)(7) =
(β5)(9) =
(β3)(β8) =
(β9)(β9) =
(8)(β8) =
(β9)(2) =
(6)(β6) =
(β6)(β4) =
(4)(β6) =
(9)(1) =
(7)(7) =
(β9)(β3) =
(β2)(8) =
(12) Γ· (β6) =
(β24) Γ· (3) =
(β8) Γ· (β2) =
(β14) Γ· (7) =
(β70) Γ· (β10) =
(β5) Γ· (1) =
(β25) Γ· (β25) =
(β10) Γ· (β2) =
(125) Γ· (β5) =
(15) Γ· (3) =
(36) Γ· (β4) =
(β81) Γ· (9) =
(β17) Γ· (β17) =
(16) Γ· (8) =
(β25) Γ· (5) =
(30) Γ· (β6) =
(β42) Γ· (β7) =
(β21) Γ· (β3) =
(32) Γ· (β8) =
(β75) Γ· (β5) =
(β52) Γ· (4) =
(β20) Γ· (10) =
(β25) Γ· (β5) =
(36) Γ· (β4) =
119
Cuando hay mΓ‘s de dos factores lo que intervienen en la multiplicaciΓ³n, primero se multiplican dos
factores y el producto parcial obtenido se multiplica por el tercer factor y asΓ sucesivamente.
Ejemplo:
(β3)(β5)(6) = (15)(6) = 90
Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones correctamente. Aplicando las leyes de los signos.
(2)(5)(4) =
(3)(β2)(7) =
(β8)(3)(6) =
(β9)(7)(β4) =
(β3)(β5)(5) =
(β11)(β12)(β10) =
(β8)(β7)(4)(3) =
(β10)(β5)(β9)(8) =
(β9)(β7)(β11)(β5) =
(4)(β3)(β6)(8) =
(β2)(3)(β5)(0) =
(4)(3)(β2)(β8) =
Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones.
3(β1 β 4) =
β4(β2 β 3) =
2(9 β 16) =
7(β5 + 5) =
β1(β2 + 5) =
4(7 β 5) =
β2(6 β 3) =
2(4 + 2 β 3) =
β2(5 β 3 + 1) =
5(β2 β 3 + 6) =
Ejercicio: Calcula las siguientes potencias de nΓΊmeros enteros.
(β5)3 = (β5)(β5)(β5) = (25)(β5) = β125
(β2)4 =
(β1)5 =
(9)3 =
(β5)3 =
(β9)2 =
(β4)3 =
(β2)5 =
(3)3 =
(β6)2 =
(β7)3 =
(7)2 =
(β1)12 =
(β11)2 =
(12)2 =
120
121
Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones de nΓΊmeros enteros utilizando las leyes de los signos.
(β4)(β5)(6) =
(β5)(9)(β2)(β7) =
(6)(β3)(β9)(1) =
(β3)4 =
(β5)7 =
(β2)3 (4)2 =
(5)4 (β6)3 =
(β2 β 5)5 =
(3 + 7)6 =
(15 β 23)6 =
(β16 Γ· 4)7 =
5
(β8) ( ) (0.9)(5 β 9) =
4
β70 Γ· β35 =
96 Γ· β24 =
β84 Γ· 12 =
(6)(β20)
=
(β3)(5)
(β3 + 8 β 10)
=
(21 β 15 β 4)
(β9)(27)(β243)(81)
=
(β3)(β9)(2187)
(β2)7 (3)(β5)3
=
(β10)3 (β2)3
(13 β 3 + 8)(β8 β 5 + 7)
=
(β3)2 (β2)
Ejercicio: Coloca los nΓΊmeros +1, -2, +3, -4, +5, -6, +7, -8, +9 en la siguiente tabla de manera que
los productos de los nΓΊmeros que aparecen en cada renglΓ³n y en cada columna sean los indicado
en los mΓ‘rgenes.
+15
β64
β378
β28
+36
β360
122
123
JerarquΓa de operaciones
Al combinar operaciones en un ejercicio se deben de hacer en el siguiente orden:
1Β° Potencias y raΓces
2Β° Multiplicaciones y divisiones
(izquierda a derecha)
3Β° Sumas y restas
Ejemplo:
ο·
Al simplificar la operaciΓ³n: 36 Γ· 9 Γ 4 + β16 Γ 3 β 10 Γ· 5
Primero realizamos lo que son las potencias y raΓces como en esta operaciΓ³n no tenemos potencias
realizamos lo que son las raΓces quedando:
36 Γ· 9 Γ 4 + β16 Γ 3 β 10 Γ· 5
= 36 Γ· 9 Γ 4 + 4 Γ 3 β 10 Γ· 5
DespuΓ©s realizamos las multiplicaciones de izquierda a derecha:
= 36 Γ· 9 Γ 4 + 4 Γ 3 β 10 Γ· 5
= 36 Γ· 36 + 12 β 10 Γ· 5
DespuΓ©s realizamos las divisiones de izquierda a derecha:
= 36 Γ· 36 + 12 β 10 Γ· 5
= 1 + 12 β 2
Y al final se efectΓΊan lo que son las sumas y restas:
= 1 + 12 β 2
= 13 β 2
= 11
124
Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones de acuerdo a la jerarquΓa de operaciones.
24 β 9 Γ 2 =
7+5Γ2=
4Γ5+2Γ6=
30 Γ· 5 Γ 3 =
12 + 22 + 32 =
32 + 42 β 52 =
2
β81 β 23 + 5 =
2
β25 + 2 Γ 32 =
9 β 2 Γ 62 =
50 Γ· 10 + 50 Γ· 2 =
10 + 23 Γ 4 =
12 β 62 Γ· 9 =
60 Γ· 5 β 3 Γ 22 =
64 Γ 5 Γ 2 Γ· 22 Γ· 2 =
19 Γ 5 + 27 Γ· 3 β 32 =
5 + 42 Γ 2 β 32 Γ 4 =
72 Γ· 7 + 52 Γ· 5 β 42 Γ· 4 =
2
β9 Γ 23 β 32 Γ 13 + 7 Γ 0 =
32 Γ· 23 + 49 Γ· 7 β 2 Γ 22 =
92 Γ· 9 + 62 Γ· 3 β 23 Γ· 2 =
13 + 42 Γ· 3 β 2 Γ 32 =
3 Γ 7 + 32 Γ· 4 β 2 Γ 9 =
2
2
2
2
2
2
4 Γ β49 β 2 Γ β64 + 1 Γ β81 =
3 Γ β49 β 2 Γ β36 + 4 Γ β25 =
125
126
Uso de parΓ©ntesis en la jerarquΓa de operaciones.
El uso de parΓ©ntesis permite una lectura mΓ‘s sencilla de las operaciones, respetando la jerarquΓa
planteada.
1.- Primera las operaciones entre parΓ©ntesis internos.
2.- Luego las operaciones entre parΓ©ntesis externos.
3.- Por ultimo las demΓ‘s operaciones.
Ejemplo:
(4 Γ 3) + (6 Γ· 2) = 12 + 3 = 15
(32 Γ 2) β (42 Γ· 22 ) = (9 Γ 2) β (16 Γ· 4) = 18 β 4 = 14
2
2
5 β [( β16 Γ β25) β 9] = 5 β [(4 Γ 5) β 9] = 5 + [20 β 9] = 5 β [11] = 5 β 11 = β6
Ejercicio: Encuentra el valor de cada expresiΓ³n.
(3 Γ 4) β 7 =
(8 Γ· 2) + 32 =
52 β (36 Γ· 9) =
4 Γ (3 β 2) Γ· 1 =
(12 Γ 3) Γ· (54 Γ· 6) =
(2 Γ 3)2 β 23 =
2
β81 + (24 Γ· 22 ) =
(32 Γ· 4) β (18 Γ· 3) =
(9 Γ 7) β (8 Γ 6) =
(52 β 42 ) + (23 + 33 ) =
2 + [(4 Γ 3) Γ (12 Γ· 6)] =
24 Γ [(5 Γ 4 + 18 Γ· 9)] =
2
2
2
2
[(β64 β β16) + (β4 Γ β9)] β 8 =
2
2
{[(12 Γ· 2) β 5] + [(β25 Γ β1) β 3]} =
127
128
Algebra
Lenguaje algebraico: Se refiere a la utilizaciΓ³n de letras representando a nΓΊmeros.
ExpresiΓ³n algebraica: Conjunto de nΓΊmeros y literales unidos por medio de signos
que nos indican las operaciones que se deben de realizar.
Termino: ExpresiΓ³n algebraica que consta de cuatro elementos que son signo,
coeficiente, literal y exponente.
β3π₯ 2 π¦ 3
ClasificaciΓ³n de tΓ©rminos
Monomio
Binomio
Trinomio
β6π2
5π₯ + 3π¦
7π + 3π β 6π
Nota: Se considera un polinomio apartir del binomio.
Ejercicio: Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
ExpresiΓ³n verbal
Un nΓΊmero cualquiera.
El doble de un nΓΊmero.
Un nΓΊmero mΓ‘s cinco unidades.
Un nΓΊmero menos dos unidades.
El triple de un nΓΊmero.
El cuadrado de un nΓΊmero.
El cubo de un nΓΊmero.
El doble de un nΓΊmero mΓ‘s tres unidades.
Diez unidades menos el doble de un nΓΊmero.
Lenguaje algebraico
129
ExpresiΓ³n verbal
El doble del cubo de un nΓΊmero.
El triple del cuadrado de un nΓΊmero.
El cuadrado de un nΓΊmero menos el triple del mismo.
La mitad de un nΓΊmero.
La tercera parte de un nΓΊmero.
La quinta parte del doble de un nΓΊmero elevado al cuadrado.
La cuarta parte de un nΓΊmero aumentado en cinco unidades.
Cinco veces un numero menos tres unidades.
Dos veces un nΓΊmero.
La suma de dos nΓΊmeros.
La suma de tres nΓΊmeros.
La resta de tres nΓΊmeros.
El producto de dos nΓΊmeros.
La mitad de la suma de dos nΓΊmeros.
El cuadrado de la resta de dos nΓΊmeros.
La tercera parte del cubo de la suma de dos nΓΊmeros.
La dΓ©cima parte del cubo del producto de dos nΓΊmeros.
Siete veces el producto de tres nΓΊmeros.
El doble de un nΓΊmero es igual a ocho.
Un nΓΊmero mΓ‘s cinco unidades es igual a veinte.
El cuadrado de un nΓΊmero es igual a diecisΓ©is.
El triple de un numero menos ocho unidades es igual a siete.
Quince unidades menos el doble de un nΓΊmero es igual a cinco.
El cubo de un nΓΊmero es igual a veintisiete.
El triple del cuadrado de un nΓΊmero es igual a doce.
La tercera parte de un nΓΊmero es igual a seis.
El cuadrado de un nΓΊmero mΓ‘s el doble del mismo es igual a dieciocho.
La suma de dos nΓΊmeros es igual a quince.
El producto de dos nΓΊmeros es igual a veinticuatro.
Lenguaje algebraico
130
Ejercicio: Traduce a expresiΓ³n verbal las siguientes expresiones algebraicas.
Lenguaje algebraico
π₯+5
π₯β3
2π₯ + 1
3π₯ + 5
4π₯ β 7
π₯2
π₯3
3π₯ 2
5π₯ 3
π₯
2
π₯
3
π₯
7
2π₯
5
π₯+1
3
π₯2
3
π₯ 2 β 2π₯
π₯ 3 + 2π₯ 2
π₯ 2 + 3π₯ + 1
5π₯ 2 + 3π₯ β 5
π₯β4
5
π₯+π¦+π§
π₯π¦
2π₯π¦
π₯π¦
ExpresiΓ³n verbal
131
Lenguaje algebraico
ExpresiΓ³n verbal
(π₯ + π¦)2
π₯ + 5 = 16
2π₯ + 3 = 33
π₯ 2 + 7 = 56
5π₯ 2 = 80
π₯
+ 15 = 27
7
π₯ 2 β 2π₯ + 3 = 6
π₯ + π¦ + π§ = 19
π₯π¦ = 32
π₯
=5
π¦
π₯π¦ = 8
Ejercicio: Completa el siguientes cuadro, identificando los elementos de un tΓ©rmino.
Termino
5π₯ 3
β7π4
4 3
π
3
2ππ 2
β6π2 π3
8
β π2
9
2π₯π¦ 2 π§
15π2 π
β0.8 ππ π‘ 2
12π‘ 2 π€ 4 π₯ 5
π4 π 2
4
Signo
Coeficiente
Literal
Exponente
132
Ejercicio: Identifica el tipo de termino que son las siguientes expresiones algebraicas.
ExpresiΓ³n algebraica
ClasificaciΓ³n
ExpresiΓ³n algebraica
6π3
6π2 + 3π 3
6π₯ 2 β 3π₯
8π 2 β β3
8π2 β3 π β 7
7π 3 β π + 2
8π4 + 3π2 + 5π
π 4 π2
π2 + 16ππ + π2
π₯ + ππ₯ + 1
4π₯ 2 + 1
10π₯ + π₯ 2 + 1
β6π β π β 11
10ππ 2 π‘ 3
2ππ + 3ππ β 4ππ
16π₯ 4 + 3π₯ 3 + 8π₯ 2
5π₯ β 11π¦
β2ππ
12ππ₯ 3 π¦
2π 3 π + 7ππ 3
π₯ 4 π¦ + 50
4π₯ 2 + 8π₯ β 1
π+π
5π₯ 4
2π¦ 2 + 3π¦ β 9
βπ + π β π
8π₯ + 9
π₯2π¦3π§4
ClasificaciΓ³n
Ejercicio: Relaciona con una flecha, cada una de las expresiones algebraicas con los datos
correspondientes.
5π₯ 2 β 2
π₯2 β 2
2π₯ 3 + 1
3π₯ 2 + 5π₯ β 9
ο·
ο·
ο·
ο·
Binomio de segundo grado con
coeficiente principal 5
Binomio de primer grado cuyos
coeficientes son 1 y 2
Trinomio con todos sus coeficientes
igual a 1
Binomio de segundo grado cuyos
coeficientes son 1 y -2
π₯3 + π₯2 + π₯
ο·
Binomio de tercer grado
π₯+2
ο·
Trinomio de segundo grado
133
Algebra
Terminos semejantes
ReducciΓ³n de tΓ©rminos
semejantes
Son aquellos terminos que tienen las
mismas literales elevadas a los mismos
exponentes.
Se suman los tΓ©rminos que sean
semejantes, el resultado final es la
suma de todos los resultados parciales.
7π₯ 3 ππ π πππππππ‘π π
1 3
π₯
2
2π3 π2 ππ π πππππππ‘π π 5π3 π2
3π + 7π β 8π + 5π β 4π β π =
3π + 5π = 8π
7π β 4π = 3π
β8π β π = β9π
8π + 3π β 9π
Ejercicio: Relaciona los siguientes tΓ©rminos con sus semejantes.
( )
β 11π4 π 2
π) + 16π2 ππ₯ 4
( )
+ 16ππ2
π) + 2.5π₯ 3 π¦ 2
( )
β 7π₯π¦ 2 π§
2
π) + ππ2 π
3
( )
5
β π2 π
4
π) β 32π3 π 3
( )
β π₯3π¦2
π) + 12π2 ππ₯
( )
+ 3π2 ππ₯
π) β 2π4 π 2
( )
β 9π2 ππ₯ 4
4
π) β ππ2
5
( )
+ 6π3 π 3
β) β 5π2 π
( )
β 5ππ2 π
π) + 3π₯π¦ 2 π§
134
Ejercicio: Reduce los siguientes tΓ©rminos semejantes.
2π + 3π =
4π₯ + 5π₯ =
4π¦ β 2π¦ =
3π€ β 7π€ =
8π§ + 9π§ =
15π β π =
β5π + 7π =
6π β 12π =
6π β 9π =
βπ β 5π =
2π + 4π =
7π₯ 2 β 4π₯ 2 =
β6π2 + 3π2 =
β9π β π =
β3 + 8β3 =
β3ππ 2 + 4ππ 2 =
2π₯π¦ + 5π₯π¦ β 4π₯π¦ =
β2ππ β 7ππ + 6ππ =
1 2 3 2
π₯ β π₯ =
4
4
3
2
π+ π=
8
8
Ejercicio: Completa la reducciΓ³n.
3π + 6π 2 + 2π + 4π 2 = 5π + _____
5π₯ + 2π¦ β 2π₯ + 3π¦ = _____ + 5π¦
β6π + 2π3 + 2π + π3 = _____ + 3π3
8π β 2π + 5β + β = 6π + _____
2π€ + 6π§ + 8π€ β 4π§ = 10π€ + _____
4π₯ 2 + 7π¦ + 2π₯ 2 β 8π¦ = 6π₯ 2 β _____
4π₯ 2 + 3π₯ β 2π₯ 2 + 5π₯ = _____ + 8π₯
4π + 2π β 7π + 3π = β3π + _____
2π 5 + 5π β 5π 5 + 4π = _____ + 9π
3π4 + 4π 3 β 9π4 β 2π 3 = _____ + 2π 3
Ejercicio: Reduce los tΓ©rminos semejantes en las siguientes expresiones.
8π₯ + 2π¦ β 5π₯ β 4π¦ =
β2π2 + 3π β 3π2 + 6π =
3π3 + 2π 2 + 4π3 β 3π 2 =
4π₯π¦ 2 + 2π₯ 3 π¦ β 5π₯ 3 π¦ β 9π₯π¦ 2 =
β2β3 π2 β 3βπ + 5β3 π2 β 2βπ =
3π + 2π + 4π + 5π =
π+π+2+π+4+π+6=
135
136
Ejercicio: Reduce los tΓ©rminos semejantes en las siguientes expresiones.
2π + 3π + 4π + 5π + 6π =
β3π β 4π β 5π β 6π β 7π =
4π 2 π + 6ππ 2 + 8π 2 π + 10ππ 2 =
β5π 3 π 4 β 7π 4 π 3 β 9π 3 π 4 β 11π 4 π 3 =
6π β 8π + 12π β 2π + 3π β 5π =
β5β + 3β β 13β + 10β β β + 6β β 8β =
π β 9π + 7π β 8π + 12π β 7π + 15π β π =
β18π + 9π β 12π + 11π β 5π + 6π β 7π + 4π =
β9π + 13π β 8π + 10π β π + 9π =
π β 12π + 10π β 13π + 8π β 10π =
5π₯ + 4π¦ + 7π₯ + 6π¦ + 9π₯ + 8π¦ =
8π₯ + 6π¦ + 4π§ + 10π₯ + 8π¦ + 6π§ + 12π₯ + 10π¦ + 8π§ =
8π β 4π + 3π β 2π β 4π + 8π β 2π + 6π =
β5π + 2π β 8π + 5π + 2π β 6π + 3π β 11π =
9π β 10π + 14π β 9π β 7π + 5π β 6π + 2π =
β15π + 12β β 13π + 13β + 9π β 5β + 7π β 6β =
β13π₯ 5 + 28π₯ 2 β 30 β 14π₯ 5 + 14π₯ 2 β 22 + 5π₯ 5 β 9π₯ 2 + 6 =
11π + 6π + 2 + 14π + 10π + 8 β 3π β 13π β 11 β 7π β 12π β 17 =
8π 4 β 7π 2 β 13 + 7π 4 β 12π 2 β 3 β 9π 4 + 2π 2 + 20 β 6π 4 + 8π 2 + 14 =
10π 3 + 12π 2 + 14 + 11π 3 + 4π 2 + 16 β 6π 3 β 13π 2 β 5 β 7π 3 β 3π 2 β 1 =
137
138
Suma algebraica
Suma de polinomios
8π₯ + 5π β 3π₯ 2 + 7π₯ β 3π + 5π₯ 2 = 8π₯ + 5π β 3π₯ 2 + 7π₯ β 3π + 5π₯ 2
= 15π₯ + 2π + 2π₯ 2
Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) 4π + 7π
a) 13π2
( ) 8π β 7π + 2π
b) 2π₯ 3 + 13π₯ 2 β 3π₯
( ) 4π2 + 6π2 + 3π2
c) β7π β π
( ) 7π3 β 5π3 β π3
d) 11π
( ) 4π + 5π + 3π + 2π
e) β2π β π + 5
( ) 2π β 4π β 9π + 3π
f) 9π + 5π
( ) β 3π₯ + 6π¦ β 4π₯ β 2π¦
g) 3π
( ) 6π₯ 3 + 11π₯ 2 β 3π₯ + 2π₯ 2 β 4π₯ 3
h) β7π₯ 2 β 7π₯ β 4
( ) β 9π₯ 2 β 5π₯ β 3 + 2π₯ 2 β 2π₯ β 1
i) β7π₯ + 4π¦
( ) 6π + 3π + 1 + 4 β 4π β 8π
j) π3
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas de polinomios.
(5π β π) + (4π + 5π) =
(2π2 β 3π) + (β4π2 β 2π) =
(βπ₯π¦ 3 + 5π₯ 2 π¦) + (3π₯π¦ 3 β 4π₯ 2 π¦) =
(6π + 3π) + (β2π + 2π) =
(8π + 3π) + (5π + 7π) =
(4π₯ + 8π¦) + (β7π₯ + 5π¦) =
139
(β7π2 β3 β 2πβ2 ) + (3πβ2 + 2π2 β3 ) =
(β3π₯ + 6π¦) + (β4π₯ β 2π¦) =
(2π β 4π) + (β9π + 3π) =
(β9π₯ 2 β 5π₯) + (2π₯ 2 β 2π₯) =
(9π + 3π β 5π) + (β5π + 2π + 3π) =
(3π β 4π + 2) + (π + 7π β 2) =
(8π β 4π β 2π) + (β6π + 3π β 2π) =
(8π2 π + 2ππ β 5) + (β3π2 π β 6ππ + 3) =
(11π + 5π‘ + 13π’) + (2π + 3π‘ + 11π’) =
(8π + 9π β 10π) + (β3π β 6π + 8π) =
(ππ₯ β ππ¦ β ππ§) + (β5ππ₯ β 7ππ¦ β 6ππ§) =
(7π β 4π + 5π) + (β7π + 4π β 6π) =
(3π₯ + π₯ 3 β 4π₯ 2 ) + (βπ₯ 3 + 4π₯ 2 β 6π₯) =
(β7π₯ 2 + 5π₯ β 6) + (8π₯ β 9 + 4π₯ 2 ) =
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas de polinomios.
+
+
5π + 3π
2π + 4π
7π + 7π
11π + 5π‘ + 13π’
7π + 4π‘ + 8π’
2π + 3π‘ + 11π’
+
9π + 3π β 5π
β5π + 2π + 3π
7π€ + 3π₯ + 5π¦ β 3π§
β 2π₯ β 8π¦ + 4π§
2π₯ + 2π¦ β 3π§
+ β4π€
13π₯ 3 + 14π₯ 2 β 11π₯
3
2
+ β9π₯ β 11π₯ + 16π₯
15π₯ 2 + 17π₯
10π₯ 3 β 17π₯ 2 β 13π₯
+
+
3π β 4π + 2π
π + 7π β 2π
4π + 3π β 5π β 7π + 8π
2π
+ 7π + 3π
β5π
+ 2π β 6π
4π₯π¦ + 3π₯π§ β 2π¦π§
+ 5π₯π¦ β 6π₯π§ + 3π¦π§
β3π₯π¦ + 9π₯π§ + 8π¦π§
β4π₯π¦ β 7π₯π§ β 9π¦π§
140
141
Resta algebraica
Resta de polinomios
8π₯ + 5π β 3π₯ 2 β 7π₯ β 3π + 5π₯ 2 = 8π₯ + 5π β 3π₯ 2 β 7π₯ + 3π β 5π₯ 2
= π₯ + 8π β 8π₯ 2
Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) 8π β 5π
a) β7π + 3π
( ) 13π β 9π
b) β10π₯ + 15π¦
( ) (4π + 6π) β (3π β 5π)
c) β3π + 2π β 7π
( ) (7π₯ β 5π¦) β (β4π₯ β 8π¦)
d) 3π
( ) (β4π + 5π) β (3π + 2π)
e) 20π β 12π
( ) (11π β 9π) β (β9π + 3π)
f) 4π
( ) (β2π₯ + 14π¦) β (8π₯ β π¦)
g) β11π₯ 2 + 11π₯ β 4
( ) (2π₯ 3 + 10π₯ 2 β 9π₯) β (5π₯ 2 β 8π₯ 3 )
h) 12π
( ) (β2π₯ 2 + 6π₯ β 7) β (9π₯ 2 β 5π₯ β 3)
i) 11π₯ + 3π¦
( ) (4π β 3π + 2π) β (7π β 5π + 9π)
j) 10π₯ 3 + 5π₯ 2 β 9π₯
Ejercicio: Realiza las siguientes restas de polinomios.
(4π2 + 3π) β (9π2 β 5π) =
(7π + 2π) β (9π + 5π) =
(β8π + 3π 2 ) β (β5π + 2π 2 ) =
(5β2 β 3π) β (2β2 β π) =
(5π₯ + 4π¦) β (2π₯ β 3π¦) =
(11π β 8π) β (β6π + 3π) =
142
(β9π + 7π) β (β3π β 4π) =
(β4π + 5π) β (3π + 2π) =
(7π₯ β 5π¦) β (β4π₯ β 8π¦) =
(11π β 9π) β (β9π + 3π) =
(π₯ 2 β 3π₯) β (β5π₯ + 6) =
(8π + π) β (β3π + 4π) =
(π₯ + π¦ β π§) β (βπ₯ β π¦ + π§) =
(π + π + π β π) β (βπ β π + π β π) =
(10ππ β 3π2 + 2π) β (7ππ + 4π2 β 8π) =
(π₯ 3 + 5π₯ 2 + 7π₯) β (β3π₯ 3 β 2π₯ 2 + 5π₯) =
(5π + 4π β 3π) β (π + 3π β 2π) =
(8ππ + 7ππ β 3ππ) β (2ππ β 5ππ + 4ππ) =
(4π₯ + 3π¦ + 5π§) β (2π₯ β 2π¦ + 2π§) =
(π₯ 2 + π¦ 2 β 3π₯π¦) β (βπ¦ 2 + 3π₯ 2 β 4π₯π¦) =
Ejercicio: Realiza las siguientes restas de polinomios.
β
β
β
5π₯ + 4π¦
(2π₯ β 3π¦)
3π₯ + 7π¦
βπ β 5π‘
(2π + 4π‘)
β
β
11π β 8π
(β6π + 3π)
β
5π₯ 3 β 7π₯ 2 + 8π₯
(β2π₯ 3 + π₯ 2 β 2π₯)
π₯ 3 + 6π₯ 2 β 9π₯ β 19
(6π₯ 3 β 11π₯ 2 + 21π₯ β 43)
β
β
β9π + 7π
(β3π β 4π)
β23π + 19π β 14π
(β11π + 12π β 13π)
π2 + 8ππ β 5π 2
(3π2 + ππ β 6π 2 )
143
144
Ecuaciones lineales.
Igualdad algebraica: Una igualdad algebraica es una expresiΓ³n que tiene dos miembros separados
por el signo igual (=).
2π₯ + 3 = 5π₯ β 3
2Β°
1Β°
πππππππ πππππππ
EcuaciΓ³n: Una ecuaciΓ³n es una igualdad algebraica en cuyos miembros hay letras y nΓΊmeros
relacionados por operaciones aritmΓ©ticas.
Por lo tanto al ser una igualdad, una ecuaciΓ³n tiene tambiΓ©n dos miembros.
π₯+8
1Β°
πππππππ
= 7+5
2Β°
πππππππ
Nota: La literal de una ecuaciΓ³n se llama incΓ³gnita porque su valor es desconocido.
Reglas de despeje:
Despejar la literal o incΓ³gnita significa dejar la incΓ³gnita sola a un lado del signo igual. Para pasar un
nΓΊmero, o una literal, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
ο·
ο·
Si estΓ‘ sumando de un lado de la igualdad pasa restando del otro lado de la igualdad y si
estΓ‘ restando de un lado de la igualdad pasa sumando del otro lado de la igualdad.
Si estΓ‘ multiplicando de un lado de la igualdad pasa dividiendo del otro lado de la igualdad y
si estΓ‘ dividiendo de un lado de la igualdad pasa multiplicando del otro lado de la igualdad.
Nota: El procedimiento consiste en colocar todas las incΓ³gnitas en el primer miembro de la igualdad
y todos los nΓΊmeros en el segundo miembro para despuΓ©s simplificar ambos miembros.
145
Ecuaciones de la forma π + π = π
Ejemplo:
π₯ + 5 = 16
Procedimiento.
π₯ + 5 = 16
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯ = 16 β 5
πππππππππππππ
ππππππππ
π₯ = 11
πππππ ππ "π₯"
ComprobaciΓ³n.
π₯ + 5 = 16
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π₯"
11 + 5 = 16
πππππ ππ "π₯" π π’π π‘ππ‘π’πππ
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
π₯+2=5
π¦+3=1
πβ4=6
8βπ§=9
10 β π₯ = 12
πβ8=2
π + 3 = β2
10 β π¦ = β2
πβ3=7
π₯β4=1
4βπ =4
π¦β7=3
7+π =3
β3 + π§ = 0
β7 + π = 7
β14 β π = 7
β12 + π = 6
β3 + π = 9
β7 β π = β3
π + 3 = β9
β3 β π§ = β14
7βπ=1
π β 3 = β8
4 β π = β1
π + 8 = 14
π¦ + 4 = 11
8 β π = β8
π§ β 9 = β3
β4 β π = β1
βπ₯ + 8 = β14
β9 β π = 6
π β 9 = β18
5βπ =3
7βπ =9
16 = 16
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
146
147
148
Ecuaciones de la forma ππ = π
Ejemplo:
7π = 14
Procedimiento.
7π = 14
πΈπ π‘π ππ’ππ‘πππππππππ πππ π πππ£πππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π=
14
7
πππππππππππππ
ππππππππ
π=2
πππππ ππ "π"
ComprobaciΓ³n.
7π = 14
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π"
7(2) = 14
πππππ ππ "π" π π’π π‘ππ‘π’πππ
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
7π = β14
3π₯ = 12
β4π = β16
β2π§ = 8
5π£ = 15
3π = β33
44 = β2π
β15 = 3π‘
4π = β48
β6π = 78
β9π₯ = 72
7π = β7
8π¦ = β64
β3π = β60
β4π = 36
β6π = 42
5β = β80
β9π = β63
β36
= β4
π₯
β75
=5
π
π₯
= β7
β8
β
= β4
β24
β13
= β13
π¦
β27
=9
π
72
= β3
π¦
π
=8
β25
14 = 14
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
149
150
Ecuaciones de la forma ππ + π = π
Ejemplo: 3π₯ β 6 = 12
Procedimiento.
3π₯ β 6 = 12
πΈπ π‘π πππ π‘ππππ πππ π π π’πππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯=
3π₯ = 18
3π₯ = 12 + 6
πππππππππππππ
ππππππππ
18
3
πΈπ π‘π ππ’ππ‘πππππππππ πππ π πππ£πππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯=6
πππππ ππ "π₯"
πππππππππππππ
ππππππππ
ComprobaciΓ³n.
3π₯ β 6 = 12
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π₯"
3(6) β 6 = 12
πππππ ππ "π₯" π π’π π‘ππ‘π’πππ
18 β 6 = 12
πππππππππππππ
ππππππππ
12 = 12
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
3π₯ + 1 = 10
2π¦ + 7 = 11
4π + 3 = 15
2π§ β 3 = 5
3π£ + 2 = 11
3π₯ β 6 = 18
3π + 6 = 12
5π€ + 14 = 4
6π’ + 1 = 13
2π + 15 = 1
2π + 17 = 7
7π¦ + 11 = 4
3π β 5 = 4
4π β 10 = 10
6π β 3 = 3
11π β 6 = 27
2π β 9 = β11
7π§ β 3 = β17
2 β 5π = 12
11 β 7π = 25
10 β 4π₯ = 6
9 β 4π¦ = β3
4 β 6π = β14
2 β 7π = 16
β20 = 6π₯ + 10
β3 = 3π + 12
2 = 11 + 3π
1 β 4π€ = 9
2π β 6 = 4
5π’ + 12 = 22
151
152
Ecuaciones de la forma ππ + π = ππ + π
Ejemplo: 5π β 3 = 2π + 6
Procedimiento.
5π β 3 = 2π + 6
5π = 2π + 6 + 3
πΈπ π‘π πππ π‘ππππ πππ π π π’πππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
3π = 9
πΈπ π‘π ππ’ππ‘πππππππππ πππ π πππ£πππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π=
πππππππππππππ
ππππππππ
5π β 2π = 6 + 3
πππππππππππππ
ππππππππ
9
3
π=3
πππππ ππ "π"
πππππππππππππ
ππππππππ
ComprobaciΓ³n.
5π β 3 = 2π + 6
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π"
πππππππππππππ
ππππππππ
5(3) β 3 = 2(3) + 6
15 β 3 = 6 + 6
πππππ ππ "π" π π’π π‘ππ‘π’πππ
πππππππππππππ
ππππππππ
12 = 12
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
8π¦ + 27 = 2π¦ β 3
7π β 8 = 5π + 4
β + 9 = β3β β 6
8π₯ β 5 = 6π₯ β 1
5π + 24 = π β 8
9π‘ β 8 = 5π‘ + 4
8π + 27 = 2π β 3
β7π β 5 = β5π + 1
β4π₯ + 13 = 6π₯ β 7
3π₯ β 8 = π₯ + 4
4π₯ + 20 = 45 β π₯
9 β 8π¦ = 27 β 2π¦
2π§ + 9 = π§ + 1
3π€ β 3 = 4π€ + 11
10π₯ + 27 = 15 β 2π₯
2π + 12 = 7π + 2
5π£ β 8 = 4 + π£
3π + 6 = 2π + 7
π€ β 4 = 3π€ + 6
5π§ + 4 = π§ β 8
153
154
Ecuaciones de la forma ππ + ππ + π = π
π + ππ + π
Ejemplo:
4π₯ + 2π₯ + 3 = 3π₯ + π₯ + 7
Procedimiento.
πππππππππππππ
ππππππππ
4π₯ + 2π₯ + 3 = 3π₯ + π₯ + 7
πππππππππππππ
ππππππππ
6π₯ + 3 = 4π₯ + 7
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
6π₯ = 4π₯ + 7 β 3
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
ComprobaciΓ³n.
6π₯ + 3 = 4π₯ + 7
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π₯"
6(2) + 3 = 4(2) + 7
πππππ ππ "π₯" π π’π π‘ππ‘π’πππ
πππππππππππππ
ππππππππ
6π₯ β 4π₯ = 7 β 3
πππππππππππππ
ππππππππ
πππππππππππππ
ππππππππ
12 + 3 = 8 + 7
πππππππππππππ
ππππππππ
2π₯ = 4
πΈπ π‘π ππ’ππ‘πππππππππ πππ π πππ£πππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
15 = 15
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
π₯=
4
2
πππππππππππππ
ππππππππ
π₯=2
πππππ ππ "π₯"
155
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
5π₯ β 2π₯ + 4 = 4π₯ β 3π₯ + 6
4π¦ + π¦ β 5 = 7π¦ β 5π¦ + 7
3π + 9 + 2π = π β 2π β 3
β6π + 2π + 9 = β2π + 4 β π
7 + 8β β 4β = 2β + 10 + 3β
β9π£ β 5 + 6π£ = β8π£ β 7 + 3π£
4π + 3π β 8 = 2π + π + 4
β2π β 3π + 5 = β4π + π + 9
5π β 2π β 10 = 3π β π β 6
7π β 6π + 5 = 5π β 6π + 3
9π β 5π β 3 = 3π β π + 1
β8π‘ + 6π‘ + 7 = 2π‘ β 5π‘ + 3
8π₯ β 8 + π₯ = 2 + 5π₯ + 2
2π β 3 β π = 10 + 7π + 5
8 + 2π β 2 = π β 2 β 3π
10 + 5π€ β 2 = 4π€ + 4 β 3π€
7π’ β 1 β 8π’ = 6 + 4π’ + 3
10π + 7 β 18π = 7 β 5π β 3
8π β 4 + 3π = 7π + π + 14
β9π₯ + 9 β 12π₯ = 4π₯ β 13 β 5π₯
5π¦ + 6π¦ β 81 = 7π¦ + 102 + 65π¦
16 + 7π β 5 + π = 11π β 3 β 2π
β12β β 8 β 3β + 10 = 2β β 9 β 6β
3π§ β 8 + 6π§ β 12 = π§ β 10 + 9π§ β 13
7π β 10 + 2π β 8 = 14π β 5 + 8π
π β 6 β 5π + 10π = 9π β 12 + 3π
156
157
158
MultiplicaciΓ³n algebraica
Ley de los exponentes de la multiplicaciΓ³n.
ππ β ππ = ππ+π
Monomios
5π₯π¦ 2 β3π₯ 2 π¦ 3
= β15π₯ 1+2 π¦ 2+3
= β15π₯ 3 π¦ 5
Monomio por polinomio
Polinomios
2π₯ 6π₯ 2 β 3π₯ + 4
= 12π₯ 3 β 6π₯ 2 + 8π₯
2π₯ β 3 π₯ + 4
= 2π₯ 2 + 8π₯ β 3π₯ β 12
= 2π₯ 2 + 5π₯ β 12
Ejercicio: Convierte las siguientes expresiones, en factores o en potencias, segΓΊn sea el caso.
π3 = π π π
π₯2 =
π4 =
π₯6 =
π5 =
π π π π = π4
πππ=
ππππ=
ππ=
π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯=
π8 =
π¦π¦π¦π¦π¦=
π3 =
ππππ=
π₯2 π¦3 =
πππππ=
π 4 π3 =
ππ π π‘π‘π‘=
π2 π3 =
π₯2 π₯3 =
π π4 =
π2 π4 =
π2 π3 =
β4 β3 =
π3 π2 =
π2 π2 =
159
Ejercicio: Aplica la ley de los exponentes para la multiplicaciΓ³n.
π₯ 3 β
π₯ 2 = π₯ 3+2 = π₯ 5
π4 β
π3 =
π¦2 β
π¦4 =
π6 β
π3 =
π5 β
π2 =
π β
π6 =
π5 β
π4 =
π§3 β
π§3 =
π2 β
π =
π5 β
πβ2 =
π β3 β
π 4 =
π₯ β2 β
π₯ 4 =
π 7 β
π β3 =
π¦ β5 β
π¦ 9 =
π β
π3 =
π§ β4 β
π§ 6 =
π9 β
πβ7 =
π β2 β
π 3 =
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios.
(5π₯)(β3π₯) =
(2π₯ 2 )(β3π₯) =
(β4π2 π)(βππ 2 ) =
(β5π₯ 3 π¦)(π₯π¦ 2 ) =
(4π₯ 3 π¦ 5 π§)(6π₯ 5 π¦ 4 π§) =
(β4π2 )(β5ππ2 π) =
(5π₯ 2 π¦)(β6π₯ 2 ) =
(3π)(4π2 ) =
(β5π)(6π 3 ) =
(β4π‘ 2 )(β7π‘ 5 ) =
(8π£ 4 )(β3π£ 2 ) =
(2π 2 )(β3π 3 )(β5π 5 ) =
1
3
(2π2 π 3 ) (4π3 π 2 ) =
1
2
(β22π 2 π‘ 5 ) (β5π 3 π‘ 2 ) =
4
2
(5π₯π¦π§ 3 ) (β3π₯ 2 π¦π§ 2 ) =
Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) 4π(2π + 3)
a) 14π2 π + 2ππ
( ) β 5π₯(3π₯ β 4)
b) β24π2 + 56π β 32
( ) 2ππ(7π + 1)
c) β12π 3 β 4π 2 + 8π
( ) 3π₯(β5π¦ + 7π§)
d) β15π₯π¦ + 21π₯π§
( ) β π(β4π + 9)
e) 8π2 + 12π
( ) 8(β3π2 + 7π β 4)
f) β5π¦ 3 β 5π¦ 2 β 5π¦
( ) β 5π¦(π¦ 2 + π¦ + 1)
g) β28π€π₯ + 56π€π¦ + 7π€π§
( ) 4π(β3π 2 β π + 2)
h) 6π2 π 2 + 8π2 π β 10ππ 2
( ) 2ππ(3ππ + 4π β 5π)
i) β15π₯ 2 + 20π₯
( ) 7π€(β4π₯ + 8π¦ + π§)
j) 4π2 β 9π
160
161
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio.
6(π₯ + 7) =
β3(4π2 + 1π) =
5(π€ + 3) =
β4(π§ β 2) =
β5(π 2 β 3π) =
7(π β 4) =
8(π β 1) =
β2(6π₯ β 3π₯ 2 ) =
β2(2π¦ + 5) =
2(π + π β π) =
5π(2π 2 + 3π) =
4π(5π β 3) =
3π(π3 β 2π) =
β6π 2 (β2 β 3π) =
2π¦(2π¦ 2 + 3π¦) =
β7(β4β2 + 2β) =
6π(π β 3) =
2π(π + 4) =
3π(π + 2) =
β2π(3π + 8) =
β4π‘(π‘ + 4) =
βπ(2π + 7) =
π₯ 2 (π₯ + 6) =
5π(π2 β 2) =
3π(β4π 3 + 3π 2 + 2π) =
β5π 2 (β2π 2 β 3π + 4) =
π(2π2 β π β 1) =
3π(π2 β 3π + 2) =
β4π₯(3π₯ 2 β π₯ β 1) =
3π2 (π3 β π β 1) =
β4π§ 2 (3π§ 2 β 2π§π) =
5π3 π2 (4π2 β 2ππ + 3π2 ) =
1
1
π (2π
4
1
+ 3) =
1
1
π (2π2
3
+ 4π) =
3 2 2 3
π₯ (3π₯
4
β 2π₯ 2 ) =
3
1
1
1
3
2
β2β3 (2β2 + 4β β 3) =
4 3
3
π₯ π¦ (4π₯ 2
3
β 3π¦ 2 + 6π₯π¦) =
1
2
1
ππ 2 (2π2
3
β 5π 2 β 4ππ) =
3
3
2.5π2 π 3 π(β2π2 π + 3.2π 2 π β 1.4ππ 2 + 3) =
β4.2π₯π¦ 2 (β2.2π₯ + 3.3π¦ β 1.4π₯ 2 π¦ 2 + 2π§ 2 ) =
162
163
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios.
(π + 3)(π + 1) =
(π₯ + 2)(π₯ + 4) =
(π + 6)(π + 2) =
(π + 4)(π + 3) =
(π + 5)(π β 2) =
(π + 7)(π β 3) =
(π + 3)(π β 6) =
(π£ + 1)(π£ β 8) =
(π§ β 1)(π§ + 3) =
(π§ β 4)(π§ + 6) =
(π + 1)(π β 1) =
(π’ + 3)(π’ β 3) =
(2π + 1)(π + 3) =
(3π€ + 2)(π€ β 6) =
(2π¦ + 1)(3π¦ + 2) =
(4β + 1)(6β + 5) =
(4π + 1)(2π β 9) =
(5π + 2)(3π β 5) =
(9π β 2)(4π β 3) =
(2π β 4)(3π β 2) =
(π₯ β π¦)(π₯ 2 β 2π₯π¦ + π¦ 2 ) =
(π₯ + π¦)(π₯ 2 + 2π₯π¦ + π¦ 2 ) =
(π + π)(π2 β ππ + π2 ) =
(3π₯ β 2π¦)(5π₯ 2 β 4π₯π¦ β 7π¦ 2 ) =
(π 2 β 1)(π 2 β 3π + 1) =
(2π₯ + 3)(π₯ 3 β 2π₯ 2 + 3π₯ β 1) =
(4π β 5π)(3π2 β 5ππ + 2π 2 ) =
(2π¦ + 5)(2π¦ 3 β 3π¦ 2 + π¦ β 4) =
164
165
166
DivisiΓ³n algebraica
Ley de los exponentes de la divisiΓ³n.
ππ /ππ = ππβπ
Monomios
Monomio por polinomio
20π₯ 7 / β4π₯ 2
= β5π₯ 7β2
8π₯ 4 β 6π₯ 3 + 2π₯ 2 / 2π₯
= 4π₯ 4β1 β 3π₯ 3β1 + 1π₯ 2β1
= 4π₯ 3 β 3π₯ 2 + π₯
= β5π₯ 5
Ejercicio: Con el procedimiento de descomposiciΓ³n en factores, completa la resoluciΓ³n de los
siguientes cocientes.
34
32
54
53
43
4
42
42
23
25
2
24
42
4
4
42
3Γ3Γ3Γ3
=
= 32
3Γ3
=
=
=
=
2Γ2Γ2
1
= 2
2Γ2Γ2Γ2Γ2 2
=
=
=
Ejercicio: Desarrolla las siguientes divisiones; expresa el resultado en potencia.
π4 π π π π
=
= π2
2
π
ππ
6
π
=
π2
π3
=
π7
π5
=
π4
π8
=
π5
π4
=
π6
β5
=
β5
π2
=
π3
π
=
π2
167
Ejercicio: Aplica la ley de exponentes para la divisiΓ³n.
π¦5
=
π¦
π§
=
π§3
π3 π2
=
π
π₯2 π₯6
=
π₯3
π₯6
=
π₯2
π¦5
=
π¦3
π
=
π4
β3 β2
=
β5
π₯5
= π₯ 5β3 = π₯ 2
π₯3
π4
=
π3
π6
=
π2
π4 π2
=
π3
π2
Al desarrollar las expresiones como π5 el resultado es:
π2
ππ
1
=
= 3
5
π
πππππ π
ΒΏCuΓ‘l de las dos respuestas es la correcta?
π2
= π2β5 = πβ3
π5
________________________________________________________________________________
Potencia negativa.
Los exponentes negativos en el numerador se convierten en positivos en el denominador.
πβπ =
1
ππ
Ejercicio: Convierte las siguientes potencias positivas a negativas.
2
= 2πβ3
π3
3
=
π4
4
=
π8
1
=
π2
1
=
π3
2
=
β6
2
=
π3
2
=
π4
1
=
π₯5
Ejercicio: Convierte las siguientes potencias negativas a positivas.
π¦ β3 =
3π¦ β2 =
πβ4 =
π β3 =
πβ2 =
2πβ2 =
5π₯ β3 =
4ββ2 =
168
Potencia cero.
Cualquier expresiΓ³n elevada a la potencia 0 es 1.
π0 = 1
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio.
π€0 =
π¦0 =
π₯ 2 β π₯ β2 =
π β3 β π 3 =
π5 β π β5 =
π§3
=
π§3
π₯ β4
=
π₯ β4
π£5
=
π£5
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de monomios.
6π₯
= 2π₯1β1 = 2π₯ 0 = 2
3π₯
β15π5
= 3π5β4 = 3π
β5π4
β14β3
=
7β3
28π 5
=
β4π 2
32π₯ 6
=
8π₯ 4
β36π¦ 7
=
β6π¦ 7
β8π5
=
β4π3
18π 4
=
2π 2
21π§ 4
=
7π§ 2
β27π 7
=
9π 5
β5π€ 2
=
π€
42π5 π 6
=
β6π3 π
48π4 π5
=
12ππ
56π4 β3
=
7π4 β3
72π₯ 5 π¦ 4
=
β36π₯ 2 π¦ 2
18π₯ 8 π¦ 9
=
β6π₯ 4 π¦ 7
βπ2 π
=
βππ
54π₯ 2 π¦ 2 π§ 3
=
β6π₯π¦ 2 π§ 3
β16π4 π 3
=
β4π3 π 2
9π6 π10
=
3π2 π 5
42π₯ 9 π¦ 2
=
β7π₯ 5 π¦ 2
β10π₯ 7 π¦ 6 π§
=
β5π₯ 2 π¦ 2 π§
32π5 π 6
=
β8π3 π 2
36π10 π 8
=
β12π2 π 7
β25π12 π 9
=
β5π6 π 3
14π3 π 4
=
β2ππ 2
18π₯ 3 π¦ 2 π§ 4
=
β9π₯π¦ 2 π§ 3
β26π5 π 6
=
β13π 3
8π₯ 4 π¦ 5 π§
=
2π₯ 3 π¦ 2
β16π5 π 4 π 6
=
8π2 π 3 π
169
170
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio.
7π₯ + 7
=
7
β8π¦ + 4
=
4
3π§ + 6
=
3
6π2 + 3π
=
3π
18π3 + 27π2
=
9π
24π₯ 4 β 32π₯ 5
=
8π₯ 2
β30π5 β 40π3
=
β5π3
β36π 3 + 54π 4
=
6π 2
28π¦ 6 β 40π¦ 4
=
β4π¦ 3
35π€ 4 + 49π€ 3
=
β7π€ 2
20π§ 3 β 60π§ 5
=
β10π§ 3
β24π 5 β 36π 4
=
β12π 2
β30β4 + 45β3
=
β15β2
2π2 + 6π3
=
2π
2π 2 β π
=
π
4π‘ 2 β 8π‘
=
4π‘
3π 2 β 2π
=
π
7π3 β 14π2
=
7π2
6β3 β 12β2
=
6β
4π 3 + 6π 2 β 10π
=
2π
6π 4 β 12π 3 + 18π 2
=
6π 2
π 4 β 5π 3 + 6π 2
=
π2
21π€ 5 + 7π€ 3 β 14π€ 2
=
β7π€ 2
12π₯ 5 + 18π₯ 4 β 6π₯ 3
=
6π₯ 3
27π₯π¦ 2 β 18π₯ 2 π¦
=
β9π₯π¦
16π3 π 4 β 24π4 π 5
=
8π2 π
14π₯ 3 π¦ 4 + 35π₯ 2 π¦ 5
=
7π₯ 2 π¦ 3
14π₯ 2 π¦ β 21π₯π¦ 3
=
β7π₯π¦
π₯ 3 π¦ 2 + 2π₯ 4 π¦ 2 β π₯ 5 π¦ 2
=
π₯3π¦2
π₯2π¦5 β π₯3π¦4 + π₯4π¦3
=
π₯2π¦3
12π5 π4 β 18π4 π3 + 24π3 π2
=
6π3 π2
171
172
Polinomios.
Procedimiento:
1.- El dividendo y el divisor se acomodan de mayor a menor exponente.
2.- Se divide el primer tΓ©rmino del dividendo entre el primer tΓ©rmino del divisor.
3.- El cociente obtenido se multiplica por todo el divisor.
4.- El producto resultante se resta del dividendo (no olvides cambiar los signos de la expresiΓ³n que
se resta).
5.- Se baja el siguiente tΓ©rmino de la expresiΓ³n algebraica que forma el nuevo dividendo.
6.- Se repite los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que el residuo sea cero.
Ejemplo:
(2π₯ 2 + 5π₯ + 3) Γ· (π₯ + 1)
1.- Se divide el primer tΓ©rmino del dividendo entre 2.- Se multiplica 2π₯(π₯ + 1), el resultado se
el primer tΓ©rmino del divisor.
resta del dividendo.
Γ
2π₯
2π₯
2
π₯+1
2π₯ + 5π₯ + 3
π₯+1
2π₯ 2 + 5π₯ + 3
β2π₯ 2 β 2π₯
Γ·
3π₯
3.- Se baja el siguiente termino (+3):
2π₯
π₯+1
4.- Se divide el primer tΓ©rmino del residuo entre
el primer tΓ©rmino del divisor.
2π₯ 2 + 5π₯ + 3
2
β2π₯ β 2π₯
3π₯ + 3
π₯+1
2π₯ + 3
2π₯ 2 + 5π₯ + 3
β2π₯ 2 β 2π₯
3π₯ + 3
Γ·
173
5.- Se multiplica 3(π₯ + 1), el resultado se resta del dividendo.
Γ
π₯+1
2π₯ + 3
2π₯ 2 + 5π₯ + 3
β2π₯ 2 β 2π₯
3π₯ + 3
β3π₯ β 3
0
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de polinomios.
π2 β 2π + 1
=
πβ1
π2 + 6π + 9
=
π+3
π 2 + 4π + 3
=
π+3
π2 + 7π + 12
=
π+4
β2 + β β 6
=
ββ2
π2 β 2π β 8
=
πβ4
π 2 + 2π β 15
=
πβ3
π 2 β 4π β 12
=
πβ6
π β 9π + 14
=
πβ7
π 2 β 9π + 20
=
πβ5
π€ 2 β 14π€ + 48
=
π€β8
6π 2 + 8π + 2
=
3π + 1
12β2 + β β 1
=
4β β 1
20π₯ 2 + 3π₯ β 2
=
5π₯ + 2
6π2 + 13π + 6
=
2π + 3
8π¦ 2 + 16π¦ + 6
=
2π¦ + 1
9π£ 2 + 9π£ + 2
=
3π£ + 2
4π 2 + 20π + 25
=
2π + 5
174
175
176
Ecuaciones lineales 2Βͺ parte.
Ecuaciones de la forma π(π + π) = π
Ejemplo: 8(π₯ + 2) = β24
Procedimiento.
π·ππ ππππππππππ
πππππ’ππ‘π
8(π₯ + 2) = β24
8π₯ = β40
πΈπ π‘π ππ’ππ‘πππππππππ πππ π πππ£πππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
8π₯ + 16 = β24
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯=
β40
8
πππππππππππππ
ππππππππ
8π₯ = β24 β 16
πππππππππππππ
ππππππππ
π₯ = β5
πππππ ππ "π₯"
ComprobaciΓ³n.
8(π₯ + 2) = β24
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π₯"
8(β5 + 2) = β24
πππππ ππ "π₯" π π’π π‘ππ‘π’πππ
β24 = β24
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
9(π + 2) = 9
16 = 4(π + 2)
8(π§ β 3) = 24
15 = 5(π₯ β 2)
β4(π β 6) = β4
β18 = 9(π + 1)
6(π + 5) = 18
β7(β β 4) = 21
2(3 β π‘) = β10
4(π₯ + 5) = 36
6(π + 5) = 42
4(6 β π) = 20
2(π + 4) = 12
7(π + 6) = 35
6(π + 3) = 18
49 = 7(π + 3)
β15 = 5(2π‘ β 9)
β3(π’ β 4) = β6
β5(1 β π) = β10
β7(3 β π€) = β14
8(β3) = β24
πππππππππππππ
ππππππππ
177
178
Ecuaciones de la forma π(π + π) = π(π + π
)
Ejemplo: 4(π₯ + 2) = 2(π₯ + 7)
Procedimiento.
πππππππππππππ
ππππππππ
4π₯ + 8 = 2π₯ + 14
π·ππ ππππππππππ πππππ’ππ‘ππ
4π₯ + 8 = 2π₯ + 14
4(π₯ + 2) = 2(π₯ + 7)
πππππππππππππ
ππππππππ
4π₯ = 2π₯ + 14 β 8
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯=
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
πππππππππππππ
ππππππππ
2π₯ = 6
4π₯ β 2π₯ = 14 β 8
πππππππππππππ
ππππππππ
6
2
πΈπ π‘π ππ’ππ‘πππππππππ πππ π πππ£πππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯=3
πππππ ππ "π₯"
πππππππππππππ
ππππππππ
ComprobaciΓ³n.
4(π₯ + 2) = 2(π₯ + 7)
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π₯"
4(5) = 2(10)
4(3 + 2) = 2(3 + 7)
πππππ ππ "π₯" π π’π π‘ππ‘π’πππ
πππππππππππππ ππππππππ
20 = 20
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
6(π₯ β 2) = 3(π₯ + 1)
4(3π¦ β 1) = 2(2π¦ + 6)
8(2β + 5) = 2(3β + 5)
9(2π + 4) = 6(π + 2)
3(π + 1) = 2(π + 6)
5(π¦ + 2) = 2(2π¦ + 2)
10(π + 2) = 6(π + 4)
6(π + 3) = 2(π + 11)
4(2 β π₯) + 3(π₯ β 1) = 15
3(2π€ β 2) + 2(1 β π€) = 12
179
180
Ecuaciones de la forma
ππ+π
π
=π
Ejemplo:
π₯+7
=6
2
Procedimiento.
π₯+7
=6
2
π·ππ ππππππππππ
πππππ’ππ‘π
πΈπ π‘π πππ£πππππππ πππ π ππ’ππ‘πππππππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯ + 7 = 2(6)
π₯ = 12 β 7
π₯ + 7 = 12
πΈπ π‘π π π’πππππ πππ π πππ π‘ππππ
πππ ππ‘ππ ππππ ππ ππ πππ’ππππ
π₯=5
πππππππππππππ
ππππππππ
πππππ ππ "π₯"
ComprobaciΓ³n.
π₯+7
=6
2
ππ’π π‘ππ‘π’ππππ ππ π£ππππ ππππππ‘ππππ
ππ ππ ππππππππ‘π "π₯"
5+7
=6
2
πππππ ππ "π₯" π π’π π‘ππ‘π’πππ
6=6
π΄ππππ ππππππππ π ππ πππ’ππππ
πππ ππ π‘πππ‘π ππ πππ’πππππ ππ πππππππ‘π
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
π β 10
= β6
3
2π¦ β 6
= β2
8
7π + 3
=4
6
5π β 4
=7
3
9π β 4
=1
5
5π β 4
=8
2
π₯+5
= 10
2
β+2
=3
2
8π + 2
=5
10
3π + 21
= 18
2
12
=6
2
πππππππππππππ
ππππππππ
181
182
Problemas de aplicaciΓ³n de ecuaciones lineales.
Cuatro veces la edad de Gaby menos 15 es igual a 37, ΒΏCuΓ‘l es la edad de Gaby?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
Ocho veces un nΓΊmero aumentado en 30 es igual a seis veces el mismo nΓΊmero aumentado en 50,
ΒΏCuΓ‘l es ese nΓΊmero?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
Juan piensa en un nΓΊmero, si al doble del nΓΊmero le aumenta 18, encuentra que es igual a 27,
ΒΏCuΓ‘l es ese nΓΊmero?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
En una elecciΓ³n el candidato ganador triplico los votos del otro candidato, votaron 116 personas,
ΒΏCuΓ‘ntos votos recibiΓ³ el ganador? ΒΏCuΓ‘ntos votos recibiΓ³ el perdedor?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
183
El perΓmetro del siguiente cuadrado es igual a 76 m, ΒΏCuantos mide la longitud de cada lado?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
3π₯ + 1
Karla tiene 7 cajas de chocolates y 5 sueltos, si la caja contiene el mismo nΓΊmero de chocolates y en
total son 68, ΒΏCuΓ‘ntos chocolates hay en cada caja?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
MarΓa pesa el doble de su esposo Camilo, quien a su vez pesa el doble de su hijo tomas y entre los
tres pesan 154 kg, ΒΏCuΓ‘nto pesa, respectivamente cada miembro de la familia?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
Ninel compro tres manzanas, si pago con un billete de $20.00 y le devolvieron $6.20, ΒΏCuΓ‘nto coto
cada manzana?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
184
La suma de tres nΓΊmeros enteros consecutivos es 84, ΒΏCuΓ‘les son esos nΓΊmeros?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
El perΓmetro del siguiente rectΓ‘ngulo es igual a 36 cm, ΒΏCuΓ‘nto mide la base? ΒΏCuΓ‘nto mide la
altura?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
π₯
2π₯ + 3
La base de un rectΓ‘ngulo es el triple de la altura y su perΓmetro es igual a 72 cm, ΒΏCuΓ‘nto mide cada
lado?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
La suma de dos nΓΊmeros pares consecutivos es 138, ΒΏCuΓ‘les son esos nΓΊmeros?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
185
La suma de dos nΓΊmeros es igual a 279, si el segundo es el doble del primer nΓΊmero, ΒΏCuΓ‘les son
esos nΓΊmeros?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
En un triΓ‘ngulo el lado βaβ mide 9 cm mΓ‘s que el lado βcβ y el lado βbβ es 3 cm menor que el lado βcβ,
ΒΏCuΓ‘nto mide cada lado si el perΓmetro es igual a 81 cm?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
Un alpinista desea cortar una cuerda de 123 metros de longitud en tres tramos, si cada tramo debe
tener dos metros mΓ‘s que el anterior, ΒΏCΓ³mo debe hacer los cortes?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
La suma de tres nΓΊmeros enteros consecutivos es 84, ΒΏCuΓ‘les son esos nΓΊmeros?
EcuaciΓ³n:
Resultado:
ComprobaciΓ³n:
186
187
Productos notables
Binomio cuadrado
Ley de exponentes de la potencia
πβπ
ππ π = π
Positivo
π₯+π 2
Negativo
(π₯ β π)2
El cuadrado del primer tΓ©rmino mΓ‘s
el doble del primer tΓ©rmino por el
segundo tΓ©rmino mΓ‘s el cuadrado
del segundo tΓ©rmino.
π₯ 2 + 2π₯π + π2
El cuadrado del primer tΓ©rmino
menos el doble del primer tΓ©rmino
por el segundo tΓ©rmino mΓ‘s el
cuadrado del segundo tΓ©rmino.
π₯ 2 β 2π₯π + π2
Potencia de una potencia.
Cuando se tiene una potencia de una potencia sus exponentes se multiplican.
(ππ )π = ππβπ
(π₯ 3 )4 = π₯ 3 π₯ 3 π₯ 3 π₯ 3 = π₯12 = π₯ 3β4 = π₯12
Ejercicio: EfectΓΊa las siguientes potencias de potencias.
(π₯ 2 )4 =
(π¦ 3 )2 =
(π3 )3 =
(π 7 )2 =
(π2 )5 =
(π 4 )4 =
(π’3 )3 =
(π§ 3 )5 =
188
Ejercicio: EfectΓΊa las siguientes potencias de potencias.
(2π3 )4 = 16π3β4 = 16π12
(3π₯ 5 )2 =
(β5π¦ 2 )3 =
(β4π§ 4 )2 =
(π₯ 3 π¦ 5 π§ 2 )4 =
(π3 π 2 )3 =
(2π3 π 4 π)5 =
(β5π₯ 6 π¦ 2 )3 =
(4π 3 π 5 )2 =
(β4π 3 π 5 π‘ 2 )5 =
Ejercicio: EfectΓΊa las siguientes potencias de potencias.
π₯5
(π¦4)
π3
3
=
π₯ 5β3
π¦ 4β3
=
π₯ 15
π¦ 12
2
4π4 π5
)
π2
4
=
7
π₯3 π¦2
)
π§4
2
(π) =
(
π2
(π 3 )
(
=
2π₯ 3 π¦ 2
=
3
( β3π§ 4 ) =
Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) (2π + 5π)2
a) 36π2 β 60ππ + 25π 2
( ) (3π + 4π)2
b) 36 π2 + 7 ππ + 49 π 2
( ) (5π β 7π)2
c) 9π2 + 24ππ + 16π 2
( ) (6π β 5π)2
d) 49 + 70π + 25π2
( ) (β8π + 9π)2
e) 64π2 β 144ππ + 81π 2
( ) (1.2π β 4π)2
f) 10.24π2 β 28.8ππ + 20.25π 2
( ) (7 + 5π)2
g) 4π2 + 20ππ + 25π 2
( ) (π β 3π)2
h) π2 β 6ππ + 9π 2
( ) (3.2π β 4.5π)2
i) 1.44π2 β 9.6ππ + 16π 2
5
3 2
( ) ( π + π)
6
7
j) 25π2 β 70ππ + 49π 2
25
5
9
189
190
Ejercicio: Realiza los siguientes binomios al cuadrado.
Binomio positivo
Binomio negativo
(π₯ + 8)2 =
(π β 10)2 =
(π¦ + 1)2 =
(π β 3)2 =
(π¦ + 5)2 =
(π β 6)2 =
(2 + π)2 =
(1 β π)2 =
(π¦ + 9)2 =
(π₯ β 5)2 =
(π + 15)2 =
(4 β π)2 =
(π₯ + 2)2 =
(π₯ β 12)2 =
(π + 3)2 =
(9 β π)2 =
(π₯ + 5)2 =
(π₯ β 7)2 =
(4π + 9)2 =
(2π β 1)2 =
(7π₯ + 11)2 =
(2π β 3π)2 =
(2π₯ + 3π¦)2 =
(5π β 7π)2 =
(ππ + 8π)2 =
(2π β 3π)2 =
(2π₯ + 3π¦)2 =
(9π β 4π)2 =
(3π + π)2 =
(3π₯ β 2π¦)2 =
(2π + 2π)2 =
(4ππ₯ β 1)2 =
(2π₯ 2 + 3π¦)2 =
(π₯ 2 β 1)2 =
(5π3 + 3π)2 =
(5π3 β 3π)2 =
(π6 + π)2 =
(7π₯ 3 β 2π¦ 2 )2 =
(1 + 3π₯ 2 )2 =
(π3 β π 3 )2 =
(π₯ 5 + 10π¦ 12 )2 =
(π₯ 7 β π¦ 7 )2 =
(3π3 + 8π 4 )2 =
(9π3 β π3 π)2 =
(7π2 + 5π₯ 4 )2 =
(π₯ 5 β 3ππ¦ 2 )2 =
(4π5 + 5π6 )2 =
(3π4 β 5π 2 )2 =
(4ππ 2 + 5π₯π¦ 3 )2 =
(10π₯ 3 β 9π¦ 5 )2 =
191
192
193
Productos notables
Binomio conjugado
(π₯ + π)(π₯ β π)
El cuadrado del primer tΓ©rmino menos el
cuadrado del segundo tΓ©rmino.
π₯ 2 β π2
Binomio con termino comΓΊn
(π₯ + π)(π₯ + π)
El cuadrado del termino comΓΊn mas la
suma de los no comunes por el termino
comΓΊn mas la multiplicaciΓ³n de los no
comunes.
2
π₯ + π + π π₯ + (π)(π)
Ejercicio: Realiza los siguientes binomios conjugados y binomios con termino comΓΊn.
Binomio conjugado
Binomio con termino comΓΊn
(π₯ + 3)(π₯ β 3) =
(π₯ β 8)(π₯ + 5) =
(π β 1)(π + 1) =
(π + 7)(π β 4) =
(π + 2)(π β 2) =
(π₯ β 10)(π₯ β 2) =
(5 β π¦)(5 + π¦) =
(π₯ β 6)(π₯ β 5) =
(π β π)(π + π) =
(π₯ + 4)(π₯ + 6) =
(π β π)(π + π) =
(π β 3)(π + 4) =
(3π₯ + 5π¦)(3π₯ β 5π¦) =
(π₯ β 5)(π₯ + 2) =
(4π β 9π)(4π + 9π) =
(2π₯ β 6)(2π₯ + 4) =
(3π3 β 8)(3π3 + 8) =
(4π₯ β 5)(4π₯ β 2) =
(6π₯ 5 + 1)(6π₯ 5 β 1) =
(π₯ 2 β 10)(π₯ 2 + 6) =
(π3 + π 2 )(π3 β π 2 ) =
(π3 β 4)(π3 β 8) =
(π₯ 2 β 4π¦)(π₯ 2 + 4π¦) =
(π₯ 4 + 6)(π₯ 4 β 12) =
(1 + 5π₯π¦)(1 β 5π₯π¦) =
(π3 β 5)(π3 β 2) =
(9π¦ 2 + π₯ 2 π¦)(9π¦ 2 β π₯ 2 π¦) =
(ππ 2 + 7)(ππ 2 β 9) =
194
