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Holt Geometría
Resumen y repaso
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ISBN 0-03-041209-9
1 2 3 4 5
862
10 09 08 07 06
CONTENIDOS
CAPÍTULO 1 Fundamentos de geometría Guía de
estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
CAPÍTULO 7 Semejanza Guía de estudio:
Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
CAPÍTULO 2 Razonamiento geométrico Guía de
estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
CAPÍTULO 8 Trigonometría y triángulos
rectángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . .29
CAPÍTULO 3 Líneas paralelas y perpendiculares
Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
CAPÍTULO 9 Cómo extender el perímetro, la
circunferencia y el área Guía de estudio:
Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
CAPÍTULO 4 Congruencia de los triángulos Guía
de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
CAPÍTULO 10 Razonamiento espacial Guía de
estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
CAPÍTULO 5 Propiedades y atributos de los
triángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . .17
CAPÍTULO 11 Círculos Guía de estudio:
Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
CAPÍTULO 6 Polígonos y cuadriláteros Guía de
estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
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All rights reserved.
CAPÍTULO 12 Cómo extender la geometría
transformacional Guía de estudio: Repaso . . .45
iii
Holt Geometría
Vocabulario
altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
coplanario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ángulo llano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
diámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . 43
ángulo obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
postulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ángulo recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
entre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ángulos adyacentes . . . . . . . . . . . . 28
exterior de un ángulo . . . . . . . . . . 20
punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ángulos complementarios . . . . . . 29
extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
radio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ángulos congruentes . . . . . . . . . . . 22
grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ángulos opuestos por el vértice . 30
hipotenusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
rayos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ángulos suplementarios . . . . . . . . 29
imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
imagen original. . . . . . . . . . . . . . . . 50
rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
interior de un ángulo . . . . . . . . . . 20
segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
formar una bisectriz . . . . . . . . . . . 15
línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
segmentos congruentes . . . . . . . . . 7
bisectriz de un ángulo . . . . . . . . . . 23
longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
término indefinido . . . . . . . . . . . . . 6
cateto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
mediatriz de segmento . . . . . . . . . 16
transformación . . . . . . . . . . . . . . . . 50
circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
colineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
par lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a)
?
divide un ángulo en dos ángulos congruentes.
−−−−−−
2. Los
?
son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.
−−−−−−
3. La longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo se llama
?
.
−−−−−−
1-1 Cómo comprender puntos, líneas y planos (págs. 6–11)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
.
y ST
■ Identifica el extremo común de SR
,
-
Identifica cada
uno de los siguientes.
/
y ST
son rayos opuestos con un extremo
SR
común S.
4. cuatro puntos coplanarios
5. línea que contiene a B y C
6. plano que contiene a A, G y E
Capítulo 1 Fundamentos de geometría
1
■ Traza y rotula tres líneas coplanarias que se
Traza y rotula cada uno de los siguientes.
intersequen en un punto.
7. línea que contenga a P y Q
8. par de rayos opuestos que contengan a C
˜
“
*
que interseque el plano P en B
9. CD
Ű
1-2 Cómo medir y construir segmentos (págs. 13–19)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
−
■ Halla la longitud de XY .
8
XY = ⎪-2 - 1⎥
= ⎪-3⎥ = 3
Halla cada longitud.
9
Ó
ä
10. JL
Ó
xÝÊÊÈ
,
{
12. Y está entre X y Z,
Ó
£°x
ä
Ó
XY = 13.8 y XZ = 21.4.
Halla YZ.
■ S está entre R y T. Halla RT.
RT = RS + ST
3x + 2 =5x - 6 + 2x
3x + 2 =7x - 6
x=2
11. HK
ÓÝÊ
-
ÎÝÊ
13. Q está entre P y R.
/
ÎÝÊÊÓ
Halla PR.
ÈÝÊÊ{
*
+
14. U es el punto medio de
,
£{ÝÊÊÈ
−
TV , TU = 3x + 4 y
UV = 5x - 2. Halla TU,
UV y TV.
RT = 3 (2) + 2 = 8
−
15. E es el punto medio de DF , DE = 9x y
EF = 4x + 10. Halla DE, EF y DF.
1-3 Cómo medir y construir ángulos (págs. 20–27)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Clasifica cada ángulo como agudo, recto u
16. Clasifica cada ángulo como agudo, recto u obtuso.
obtuso.
∠ABC agudo;
∠CBD agudo;
∠ABD obtuso;
∠DBE agudo;
∠CBE obtuso
ÇäÂ
ÈxÂ
{xÂ
(3x + 4)° y m∠MKL = (6x - 5)°. Halla m∠JKL.
Def. de bisectriz de un ∠
Suma 5 a ambos lados.
Resta 3x de ambos lados.
Divide ambos lados entre 3.
m∠JKL = 3x + 4 + 6x - 5
= 9x -1
= 9 (3) - 1 = 26°
2
<
ÎxÂ
xxÂ
6
9
Guía de estudio: Repaso
7
17. m∠HJL = 116°.
Halla m∠HJK.
−
■ KM forma una bisectriz con ∠JKL, m∠JKM =
3x + 4 = 6x - 5
3x + 9 = 6x
9 = 3x
x=3
8
18. NP
forma una bisectriz
con ∠MNQ, m∠MNP =
(6x - 12)° y m∠PNQ =
(4x + 8)°. Halla m∠MNQ.
­£ÎÝÊÊÓä®Â
­£äÝÊÊÓÇ®Â
1-4 Pares de ángulos (págs. 28–33)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Indica si los ángulos son sólo adyacentes,
adyacentes y forman un par lineal o no
adyacentes.
∠1 y ∠2 son sólo adyacentes.
£ Ó
∠2 y ∠4 no son adyacentes.
{ Î
∠2 y ∠3 son adyacentes y forman
un par lineal.
Indica si los ángulos son sólo adyacentes, adyacentes y
forman un par lineal o no adyacentes.
19. ∠1 y ∠2
20. ∠3 y ∠4
£ Ó
Î
x {
21. ∠2 y ∠5
∠1 y ∠4 son adyacentes y forman
un par lineal.
■ Halla la medida del complemento y suplemento
de cada ángulo.
Halla la medida del complemento y suplemento de
cada ángulo.
22.
23.
90 - 67.3 = 22.7°
180 - 67.3 = 112.7°
­ÓÝÊÊ{®Â
ÊÈÇ°ÎÂ
90 - (3x - 8) = (98 - 3x)°
180 - (3x - 8) = (188 - 3x)°
­ÎÝÊÊn®Â
ÊÇ{°ÈÂ
24. Un ángulo mide 5 grados más que su complemento
multiplicado por 4. Halla la medida del ángulo.
1-5 Cómo usar fórmulas en geometría (págs. 36–41)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla el perímetro y el área del triángulo.
ÓÝ
£ä
ÎÝÊÊx
P = 2x + 3x + 5 + 10
= 5x + 15
1
A=_
(3x + 5)(2x)
2
= 3x 2 + 5x
Halla el perímetro y el área de cada figura.
25.
{ÝÊÊ£
26.
ÝÊÊ{
ÎÝ
27.
£Ó
28.
■ Halla la circunferencia y el área del círculo a la
Óä
décima más cercana.
££ÊV“
xÝÊÊÇ
n
ÝÊÊx
C = 2π r
= 2π (11)
= 22π
≈ 69.1 cm
Halla la circunferencia y el área de cada círculo a la
décima más cercana.
29.
30.
2
A = πr
= π (11) 2
= 121π
≈ 380.1 cm 2
ӣʓ
£{Ê«ˆiÃ
31. El área de un triángulo es 102 m 2. La base del
triángulo es 17 m. ¿Cuál es la altura del triángulo?
Capítulo 1 Fundamentos de geometría
3
1-6 El punto medio y la distancia en el plano cartesiano (págs. 43–49)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
−
−
■ X es el punto medio de CD . C tiene las
coordenadas (-4, 1), y X tiene las coordenadas
(3, -2). Halla las coordenadas de D.
-4 + x 1 + y
(3, -2) = _, _
2
2
1+y
-4 + x
-2 = _
3=_
2
2
6 = -4 + x
-4 = 1 + y
)
(
10 = x
-5 = y
Las coordenadas de D son (10, -5).
Y es el punto medio de AB . Halla las coordenadas que
faltan de cada punto.
32. A(3, 2); B(-1, 4); Y (
33. A(5, 0); B (
34. A (
,
)
,
); Y (-2, 3)
,
); B(-4, 4); Y (-2, 3)
Usa la fórmula de distancia y el teorema de Pitágoras
para hallar la distancia entre cada par de puntos a la
décima más cercana.
35. X(-2, 4) y Y(6, 1)
■ Usa la fórmula de distancia y el teorema de
Pitágoras para hallar la distancia, a la décima
más cercana, desde (1, 6) hasta (4, 2).
2
2
d = √4 - (1) + 2 - (6)
2
c2 = a + b
37. L(-4, 2) y M(3, -2)
2
= √
3 2 + (-4) 2
= 32 + 42
= √
9 + 16
= 9 + 16 = 25
= √
25
36. H(0, 3) y K (-2, -4)
c = √
25
=5.0
=5.0
1-7 Transformaciones en el plano cartesiano (págs. 50–55)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Identifica la transformación. Luego, usa
la notación de flecha para describir la
transformación.
38. Ī
Ī
Ī
Ī
Ī
Ī
Ī
La transformación es una reflexión.
ABC → ABC
■ Las coordenadas de los vértices del rectángulo
HJKL son H(2, -1), J (5, -1), K (5, -3) y
L (2, -3). Halla las coordenadas de la imagen del
rectángulo HJKL después de la traslación
(x, y) → (x - 4, y + 1).
H = (2 - 4, -1 + 1) = H(-2, 0)
J = (5 - 4, -1 + 1) = J(1, 0)
K = (5 - 4, -3 + 1) = K(1, -2)
L = (2 - 4, -3 + 1) = L(-2, -2)
4
Identifica cada transformación. Luego, usa la notación
de flecha para describir la transformación.
Guía de estudio: Repaso
39. *
-
+
*Ī
+Ī
,
-Ī
,Ī
40. Las coordenadas de los vértices de XYZ son
X(-5, -4), Y(-3, -1) y Z(-2, -2). Halla las
coordenadas de la imagen de XYZ después de la
traslación (x, y) → (x + 4, y + 5).
Vocabulario
conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
demostración en párrafo . . . . . . 120
negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
demostración en diagrama
de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
contrarrecíproco. . . . . . . . . . . . . . . 83
enunciado bicondicional . . . . . . . 96
razonamiento inductivo . . . . . . . . 74
cuadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
enunciado condicional . . . . . . . . . 81
recíproco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
enunciados lógicamente
equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 83
teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
demostración . . . . . . . . . . . . . . . . 104
demostración de dos columnas 111
hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
razonamiento deductivo . . . . . . . 88
triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un enunciado que puedes demostrar y luego usar como una razón en demostraciones
posteriores es un(a) ? .
−−−
2. El/la ? es el proceso en el que se usa la lógica para sacar conclusiones a partir de hechos,
−−−
definiciones y propiedades dados.
3. Un(a) ? es un caso en el que una conjetura no es verdadera.
−−−
4. Un enunciado que crees verdadero basándote en el razonamiento inductivo se llama ? .
−−−
2-1
Cómo usar el razonamiento inductivo para hacer conjeturas (págs. 74–79)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla el próximo elemento en el siguiente patrón.
El cuadrado rojo se mueve en dirección contraria a
las manecillas del reloj. La próxima figura es
.
Haz una conjetura sobre cada patrón. Escribe los próximos
dos elementos.
5.
x
1 _
1 1 2
6. _
, , _, _, …
7.
6 3 2 3
■ Completa la conjetura “La suma de dos números
impares es ? ”.
−−−
Anota algunos ejemplos y busca un patrón.
1+1=2
3+5=8
7 + 11 = 18
la conjetura “Para todos los números enteros
distintos de cero, -x < x” es falsa.
Elige valores positivos y negativos para x y sustituye
para ver si la conjetura se cumple.
x
Completa cada conjetura.
8. La suma de un número par y un número impar es ? .
−−−
9. El cuadrado de un número natural es ? .
−−−
La suma de dos números impares es un número par.
■ Halla un contraejemplo para demostrar que
Determina si cada conjetura es verdadera. Si no lo es,
escribe o dibuja un contraejemplo.
10. Todos los números cabales son números naturales.
−−
−−
−−
11. Si C es el punto medio de AB, entonces AC BC.
12. Si 2x + 3 = 15, entonces x = 6.
Sea n = 3. Como -3 < 3, la conjetura se cumple.
13. Febrero tiene 28 días.
Sea n = -5. Como -(-5) es 5 y 5 ≮ -5,
la conjetura es falsa.
14. Traza un triángulo. Construye las bisectrices de cada
n = -5 es un contraejemplo.
ángulo del triángulo. Haz una conjetura sobre dónde se
intersecan las bisectrices de los tres ángulos.
Capítulo 2 Razonamiento geométrico
5
2-2
Enunciados condicionales (págs. 81–87)
EJEMPLOS
■ Escribe un enunciado condicional a partir de
la oración “Un rectángulo tiene diagonales
congruentes”.
Si una figura es un rectángulo, entonces tiene
diagonales congruentes.
EJERCICIOS
Escribe un enunciado condicional a partir de cada
diagrama de Venn.
15.
16.
‰>ÃÊ`iÊÃi“>˜>
œ˜}œÃ
՘iÃ
ˆµÕi˜
■ Escribe el inverso, el recíproco y el
contrarrecíproco del enunciado condicional “Si
m∠1 = 35°, entonces ∠1 es agudo”. Halla el valor
de verdad de cada uno.
Recíproco: Si ∠1 es agudo, entonces m∠1 = 35°.
No todos los ángulos agudos miden 35°, por lo
tanto, esto es falso.
Inverso: Si m∠1 ≠ 35°, entonces ∠1 no es agudo.
Se puede trazar un ángulo agudo que no mida
35°, por lo tanto, esto es falso.
Contrarrecíproco: Si ∠1 no es agudo, entonces
m∠1 ≠ 35°. Un ángulo que mide 35°
debe ser agudo. Por lo tanto, este enunciado es
verdadero.
2-3
Determina si cada condicional es verdadero. Si es falso, da
un contraejemplo.
17. Si dos ángulos son adyacentes, entonces tienen un rayo
común.
18. Si multiplicas dos números irracionales, el producto es
irracional.
Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de
cada enunciado condicional. Halla el valor de verdad de
cada uno.
19. Si ∠X es un ángulo recto, entonces m∠X = 90°.
20. Si x es un número cabal, entonces x = 2.
Cómo usar el razonamiento deductivo para verificar conjeturas (págs. 88–93)
EJEMPLOS
■ Determina si la conjetura es válida según la regla
de separación o la ley del silogismo.
Dado: Si 5c = 8y, entonces 2w = -15. If 5c = 8y,
entonces x = 17.
Conjetura: Si 2w = -15, entonces x = 17.
Sea p 5c = 8y, sea q 2w = -15 y sea r x = 17.
Usando símbolos, la información dada se escribe
como p → q y p → r. No se pueden aplicar la regla
de separación ni la ley del silogismo. La conjetura
no es válida.
■ Saca una conclusión a partir de la información
EJERCICIOS
Usa los siguientes enunciados verdaderos para determinar
si cada conclusión es verdadera o falsa.
Sue es miembro del equipo de natación. Cuando el equipo
practica, Sue nada. El equipo empieza la práctica cuando
abre la piscina. La piscina abre a las 8 am durante los días
de semana y a las 12 del mediodía los sábados.
21. El equipo de natación practica sólo los días de semana.
22. Sue nada los sábados.
23. La práctica del equipo de natación empieza a la misma
hora todos los días.
dada.
Usa la siguiente información para los Ejercicios del 24 al
26.
Datos conocidos: Si hay dos puntos distintos,
entonces hay una línea que
los atraviesa. A y B son puntos
distintos.
La expresión 2.15 + 0.07x da el costo de una llamada
telefónica de larga distancia, donde x es la cantidad de
minutos luego del primer minuto.
Sea p la hipótesis: dos puntos son distintos.
Sea q la conclusión: hay una línea que atraviesa los
puntos.
El enunciado “A y B son puntos distintos” coincide
con la hipótesis, por lo tanto, se puede concluir que
hay una línea que atraviesa A y B.
Si es posible, saca una conclusión a partir de la
información dada. Si no es posible, explica por qué.
24. El costo de la llamada de larga distancia de Sara es
$2.57.
25. Paulo hace una llamada de larga distancia que dura
diez minutos.
26. La factura mensual de las llamadas de larga distancia
de Asa es $19.05.
6
Guía de estudio: Repaso
2-4
Enunciados bicondicionales y definiciones (págs. 96–101)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Para el condicional “Si un número es divisible
entre 10, entonces termina en 0”, escribe el
recíproco y un enunciado bicondicional.
Recíproco: Si un número termina en 0, entonces es
divisible entre 10.
Bicondicional: Un número es divisible entre 10 si y
sólo si termina en 0.
■ Determina si el bicondicional “Los lados de un
Determina si es posible escribir un bicondicional
verdadero a partir de cada enunciado condicional. Si no es
posible, da un contraejemplo.
2x
5
27. Si 3 - _
= 2, entonces x = _.
5
2
28. Si x < 0, entonces el valor de x 4 es positivo.
29. Si un segmento tiene extremos en (1, 5) y (-3, 1),
tentonces el punto medio es (-1, 3).
30. Si la medida de un ángulo de un triángulo es 90°,
triángulo miden 3, 7 y 15 si y sólo si el perímetro es
25” es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo.
entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
Condicional: Si los lados de un triángulo miden 3, 7
y 15, entonces el perímetro es 25. Verdadero.
Completa cada enunciado para formar un bicondicional
verdadero.
Recíproco: Si el perímetro de un triángulo es 25,
entonces sus lados miden 3, 7 y 15. Falso; un
triángulo con lados con longitudes 6, 10 y 9
también tiene un perímetro de 25.
31. Dos ángulos son ? si y sólo si la suma de sus
medidas es 90°.
32. x 3>0 si y sólo si x es ? .
−−−
33. Trey puede viajar 100 millas en menos de 2 horas si y
Por lo tanto, el bicondicional es falso.
2-5
−−−
sólo si su velocidad promedio es ? .
−−−
34. El área de un cuadrado es igual a s 2 si y sólo si el
perímetro del cuadrado es ? .
−−−
Demostración algebraica (págs. 104–109)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Resuelve la ecuación 5x - 3 = -18. Escribe una
Resuelve cada ecuación. Escribe una justificación para
cada paso.
m
35. _
36. -47 = 3x - 59
+ 3 = -4.5
-5
justificación para cada paso.
5x - 3
+3
−−−−−
5x
5x
5
x
_
=
=
=
=
-18
+3
−−−
-15
-15
5
-3
_
Datos conocidos
Prop.de la suma de =
Simplifica.
37. a + b = a + b
Simplifica.
38. Si ∠RST ∠ABC, entonces ∠ABC ∠RST.
■ Escribe una justificación para cada paso.
RS
5x - 18
x - 18
x
= ST
= 4x
=0
= 18
Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.
Prop. de la div. de =
Datos conocidos
xÝÊÊ£n
Prop. de la resta de =
Prop. de la resta de =
Prop. de la suma de =
39. 2x = 9 y y = 9. Por lo tanto, 2x = y.
,
Usa la propiedad indicada para completar cada enunciado.
-
40. Prop. reflex. de : figura ABCD ?
{Ý
/
Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.
■ ∠X ∠2, por lo tanto, ∠2 ∠X.
Propiedad simétrica de la congruencia
■ Si m∠2 = 180° y m∠3 = 180°, entonces
m∠2 = m∠3.
Propiedad transitiva de la igualdad
−−−
41. Prop. sim. de =: Si m∠2 = m∠5, entonces ? .
−−
−−
−−
−−
−−−
42. Prop. trans. de : Si AB CD y AB EF,
entonces ? .
−−−
43. Kim pidió dinero prestado a una tasa de interés anual
del 6% para comprar un automóvil. ¿Cuánto pidió
prestado si pagó $4200 de interés durante el periodo de
4 años del préstamo? Resuelve la ecuación I = Cit para
P y justifica cada paso.
Capítulo 2 Razonamiento geométrico
7
2-6
Demostración geométrica (pp. 110–116)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Escribe una justificación para cada
44. Escribe una justificación para cada paso, dado que ∠1 y
paso, dado que m∠2 = 2m∠1.
£
∠2 son complementarios y ∠1 ∠3.
1. ∠1 y ∠2 compl.
2. m∠1 + m∠2 = 90°
3. ∠1 ∠3
£
4. m∠1 = m∠3
5. m∠3 + m∠2 = 90°
6. ∠3 y ∠2 compl.
Ó
1. ∠1 y ∠2 supl.
Teor. del par lineal
2. m∠1 + m∠2 = 180°
Def. de supl.
3. m∠2 = 2m∠1
Dado
4. m∠1 + 2m∠1 = 180°
Sustituye. Pasos 2, 3
5. 3m∠1 = 180°
Simplifica.
6. m∠1 = 60°
Prop. de división de =
demostración de dos
columnas.
−− −−
Dado: TU UV
Demuestra: SU + TU = SV Demostración de dos columnas:
Enunciados
−− −−
1. TU UV
2. b.
?
−−−−
3. c. ?
−−−−
4. SU + TU = SV
Demostración de dos columnas:
1. a.
?
−−−−
2. Def. de seg. 3. Post. de la suma
de seg.
Razones
1. Dado
Halla el valor de cada variable.
2. ∠1 ∠2
2. Def. de bisectriz
de un ∠
46.
3. ∠1 ∠3
3. Dado
4. ∠2 ∠3
4. Prop. transit. de 2-7
­âÊÊÓ®Â
?
−−−−
47.
­ÓÊÊÇâ®Â
Demostraciones en párrafos y diagrama de flujo (págs. 118–125)
EJEMPLOS
Usa la demostración de dos columnas en el ejemplo
de la Lección 2-6 de arriba para escribir cada uno de
los siguientes.
■ una demostración en diagrama de flujo
EJERCICIOS
Usa el plan dado para escribir cada uno de los siguientes.
Dado: ∠ADE y ∠DAE son complementarios
∠ADE y ∠BAC son complementarios
Demuestra: ∠DAC ∠BAE
Plan: Usa el teorema de los complementos
congruentes para demostrar que
∠DAE ∠BAC. Como ∠CAE ∠CAE,
∠DAC ∠BAE según el teorema de los
ángulos comunes.
48. una demostración
−−
Como AD forma una bisectriz con ∠BAC, ∠1 ∠2
según la definición de bisectriz de un ángulo. Se
sabe que ∠1 ∠3. Por lo tanto, ∠2 ∠3 según la
propiedad transitiva de la congruencia.
Guía de estudio: Repaso
49. una demostración en
en diagrama de flujo
■ una demostración en párrafo
8
6
1
Razones
4. d.
−−−
1. AD forma una
bisectriz con ∠BAC.
/
£Ó
Î
Plan: Usa la definición de bisectriz de un ángulo
para demostrar que ∠1 ∠2. Usa la propiedad
transitiva para concluir que ∠2 ∠3.
Enunciados
Î
45. Escribe en los espacios en blanco para completar la
■ Usa el plan dado para escribir una demostración
de dos columnas.
−−
Dado: AD forma una
bisectriz con ∠BAC.
∠1 ∠3
Demuestra: ∠2 ∠3
Ó
párrafo
Halla el valor de cada variable y menciona el teorema que
justifica tu respuesta.
50.
51.
Vocabulario
ángulos alternos externos . . . . . 147
distancia horizontal. . . . . . . . . . . 182
líneas perpendiculares . . . . . . . . 146
ángulos alternos internos . . . . . 147
distancia vertical . . . . . . . . . . . . . 182
mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
ángulos correspondientes . . . . . 147
forma de
pendiente-intersección . . . . . 190
pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
forma de punto y pendiente . . . 190
transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
ángulos internos del mismo
lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
distancia desde un punto a una
línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . 146
líneas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 146
líneas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 146
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Los ángulos de los lados opuestos de una transversal y entre las líneas que cruza la transversal son
? .
−−−−
2. Las líneas que están en diferentes planos son
? .
−−−−
es una línea que cruza dos líneas coplanares en dos puntos.
3. Un(a)
?
−−−−
4. El/la ? se usa para escribir la ecuación de una línea con una pendiente dada que
−−−−
atraviesa un punto dado.
5. La pendiente de una línea es la razón del/de la
3-1
? al/a la ? .
−−−−
−−−−
Líneas y ángulos (págs. 146–151)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Identifica cada uno de los siguientes.
Identifica cada uno de los siguientes.
■ un par de segmentos paralelos
−− −−
AB CD
■ un par de planos paralelos
plano ABC plano EFG
6. un par de segmentos oblicuos
7. un par de segmentos paralelos
8. un par de segmentos perpendiculares
9. un par de planos paralelos
■ un par de segmentos perpendiculares
−− −−
AB ⊥ AE
■ un par de segmentos oblicuos
−− −−
AB y FG son oblicuos.
Capítulo 3 Líneas paralelas y perpendiculares
9
Identifica la transversal y
clasifica cada par de ángulos.
Identifica la transversal y
clasifica cada par de ángulos.
{
x
■ ∠4 y ∠6
£
p, ángulos correspondientes
È
Ç
À
q, ángulos alternos internos
µ
«
Î
x {
11. ∠6 y ∠3
Ó
Î
■ ∠1 y ∠2
£ È
10. ∠5 y ∠2
12. ∠2 y ∠4
Ó
13. ∠1 y ∠2
■ ∠3 y ∠4
Ű
p, ángulos alternos externos
■ ∠6 y ∠7
r, ángulos internos del mismo lado
3-2
Ángulos formados por líneas paralelas y transversales (págs. 155–161)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla la medida de cada ángulo.
Halla la medida de cada ángulo.
■ m∠TUV
14. m∠WYZ
/
7
ÝÂ
­ÈÝÊÊ£ä®Â
9
­{ÝÊÊÓä®Â
1
<
6
Según el teorema de los ángulos internos del mismo
lado, (6x + 10) + (4x + 20) = 180.
x = 15
15. m∠KLM
Halla x.
Sustituye x por el valor en la expresión para
m∠TUV.
m∠TUV = 4 (15) + 20 = 80°
­ÎnÝÊÊ£{®Â
­ÓÈÝÊÊÓÓ®Â
■ m∠ABC
­nÝÊÊÓn®Â
16. m∠DEF
­ÎÎÝÊÊÎx®Â
­£äÝÊÊ{®Â
Según el postulado de los ángulos correspondientes,
8x + 28 = 10x + 4.
x = 12
Halla x.
Sustituye x por el valor en la expresión para uno de
los ángulos obtusos.
10(12) + 4 = 124°
∠ABC es suplementario del ángulo de 124°, por lo
tanto, m∠ABC = 180 - 124 = 56°.
10
Guía de estudio: Repaso
­ÓÈÝÊÊ{™®Â
17. m∠QRS
+ ­£ÇÝÊÊn®Â
,
­£ÎÝÊÊÓ{®Â
-
“
˜
3-3
Cómo demostrar líneas paralelas (págs. 162–169)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Usa la información dada
y los teoremas y
postulados que aprendiste
para demostrar que p q.
n
■ m∠2 + m∠3 = 180°
x
È
Ç
Usa la información dada
y los teoremas y postulados
que aprendiste para demostrar
que c d.
{
Î
Ó
£
µ
«
∠2 y ∠3 son
suplementarios, por lo tanto, p q
según el recíproco del teorema de los ángulos
internos del mismo lado.
£
{
x
n
18. m∠4 = 58°, m∠6 = 58°
Ó
V
Î
È
`
Ç
19. m∠1 = (23x + 38)°, m∠5 = (17x + 56)°, x = 3
20. m∠6 = (12x + 6)°, m∠3 = (21x + 9)°, x = 5
21. m∠1 = 99°, m∠7 = (13x + 8)°, x = 7
■ ∠8 ∠6
∠8 ∠6, por lo tanto, p q según el recíproco del
postulado de ángulos correspondientes.
■ m∠1 = (7x - 3)°, m∠5 = 5x + 15, x = 9
m∠1 = 60° y m∠5 = 60°. Por lo tanto, ∠1 ∠5.
p q según el recíproco del teorema de los ángulos
alternos externos.
3-4
Líneas perpendiculares (págs. 172–178)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Identifica el segmento
22. Identifica el segmento más
corto
−−
8
más corto desde
−−
el punto X a WY.
−−
XZ
desde el punto K hasta LN.
ÝÊÊÎ
7
n
23. Escribe y resuelve una
Î
desigualdad para hallar x.
ÝÊÊx
9
<
■ Escribe y resuelve una desigualdad para hallar x.
x+3 >3
−−
−− −−
−− −−
−−
24. Dado: AD BC, AD ⊥ AB, DC ⊥ BC
x > 0 Resta 3 de ambos lados.
−− −−
Demuestra: AB CD
■ Dado: m ⊥ p, ∠1 y ∠2 2 son complementarios.
Demuestra: p q
“
˜
«
£
Ó
µ
Demostración:
Se sabe que m ⊥ p. ∠1 y ∠2 son complementarios,
por lo tanto, m∠1 + m∠2 = 90°.
Así, m ⊥ q. Dos líneas perpendiculares a la misma
línea son paralelas, por lo tanto, p q.
Capítulo 3 Líneas paralelas y perpendiculares
11
3-5
Pendientes de las líneas (págs. 182–187)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Usa la fórmula de pendiente
{
para determinar la pendiente
de la línea.
Usa la fórmula de pendiente para determinar la pendiente
de cada línea.
Þ
8
Ý
ä
{
25.
{
{
26.
Þ
{
Þ
Ý
7
y 2 - y 1 3 - (-3) 6
pendiente de WX
= _ = _ = _ = 1
x 2 - x 1 2 - (-4) 6
⎯ son
⎯ y CD
■ Usa pendientes para determinar si AB
paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas para
A(-1, 5), B(-3, 4), C(3, -1) y D(4, -3).
4-5
1
pendiente de AB
= _ = _
2
)
(
-3 - -1
-3 - (-1) _
-2
_
=
=
= -2
pendiente de CD
4-3
1
Las pendientes son recíprocos opuestos, por lo
tanto, las líneas son perpendiculares.
3-6
Ó
Ý
{
{
ä
{
{
Usa pendientes para determinar si las líneas son paralelas,
perpendiculares o ninguna de ellas.
para E(8, 2), F(-3, 4), G (6, 1) y
27. EF
y GH
H(-4, 3)
28. JK
y LM
para J(4, 3), K(-4, -2), L(5, 6) y
M(-3, 1)
y UV
29. ST
para S(-4, 5), T(2, 3), U(3, 1) y
V(4, 4)
Líneas en el plano cartesiano (págs. 190–197)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Escribe la ecuación de la línea que pasa por
(5, -2) con pendiente __3 en forma de pendiente-
intersección.
5
3
y - (-2) = _(x - 5)
5
3
y + 2 = _x - 3
5
3
y = _x - 5
5
Forma de punto y
pendiente
Simplifica.
30. la línea que pasa por (6, 1) y (-3, 5) en forma de
2
31. la línea que pasa por (-3, -4) con pendiente _
en
forma de pendiente-intersección
3
32. la línea con intersección con el eje x en 1 y con el eje y
en -2 en forma de punto y pendiente
Halla y.
paralelas, se intersecan o coinciden.
Despeja y en la segunda ecuación para hallar la
forma de pendiente-intersección.
8x - 2y = 4
y = 4x - 2
Ambas líneas tienen pendiente 4 y diferentes
intersecciones con el eje y, por lo tanto, son
paralelas.
Guía de estudio: Repaso
Escribe la ecuación de cada línea en la forma dada.
pendiente-intersección
■ Determina si las líneas y = 4x + 6 y 8x - 2y = 4 son
12
ä
{
{
Determina si las líneas son paralelas, se intersecan o
coinciden.
33. -3x + 2y = 5, 6x - 4y = 8
34. y = 4x - 3, 5x + 2y = 1
35. y = 2x + 1, 2x - y = -1
Vocabulario
ángulo base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
rigidez del triángulo . . . . . . . . . . 242
ángulo del vértice . . . . . . . . . . . . . 273
exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
triángulo acutángulo . . . . . . . . . . 216
ángulo externo . . . . . . . . . . . . . . . 225
interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
triángulo equiangular . . . . . . . . . 216
ángulo incluido . . . . . . . . . . . . . . . 242
lado incluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
triángulo equilátero . . . . . . . . . . . 217
ángulo interno . . . . . . . . . . . . . . . 225
lados correspondientes. . . . . . . . 231
triángulo escaleno . . . . . . . . . . . . 217
ángulo interno remoto . . . . . . . . 225
línea auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
triángulo isósceles . . . . . . . . . . . . 217
ángulos correspondientes . . . . . 231
PCTCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
triángulo rectángulo . . . . . . . . . . 216
base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
polígonos congruentes . . . . . . . . 231
triángulo obtusángulo . . . . . . . . 216
catetos de un triángulo
isósceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
demostración de
coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 267
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un)
? es un triángulo con por lo menos dos lados congruentes.
−−−−
2. Un nombre que se da a los ángulos de triángulos congruentes que se corresponden entre sí es
? .
−−−−
3. Un(a) ? es el lado común de dos ángulos consecutivos de un polígono.
−−−−
4-1
Cómo clasificar triángulos (págs. 216–221)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Clasifica el triángulo por las medidas de sus
ángulos y longitudes de sus lados.
triángulo rectángulo
isósceles
Clasifica cada triángulo por las medidas de sus ángulos y
longitudes de sus lados.
4.
5.
ÈäÂ
ÈäÂ
4-2
EJERCICIOS
12x = 3x + 42 + 6x
■ Halla m∠S.
­ÎÝÊ{Ӯ /
,
£ÎxÂ
Relaciones entre ángulos en triángulos (págs. 223–230)
EJEMPLO
£ÓÝÂ
ÈäÂ
ÈÝÂ
12x = 9x + 42
-
Halla m∠N.
6.
ÞÂ
3x = 42
x = 14
m∠S = 6 (14) = 84°
*
ÞÂ
£ÓäÂ
+
7. En LMN, m∠L = 8x °, m∠M = (2x + 1)° y m∠N =
(6x - 1)°.
Capítulo 4 Congruencia de los triángulos
13
4-3
Triángulos congruentes (págs. 231–237)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Dado: DEF JKL. Identifica todos los pares
Dado: PQR XYZ. Identifica las partes
correspondientes congruentes.
−−
8. PR ?
9. ∠Y ?
−−−−
−−−
de partes correspondientes congruentes.
Luego, halla el valor de x.
Dado: ABC CDA
Halla cada valor.
­nÝÊÊÓÓ®Â
10. x
{ÇÂ
£xÊÊ{Þ
11. CD
Los pares congruentes son: ∠D ∠J, ∠E ∠K, ∠F
−− −− −− −− −− −−
∠L, DE JK, EF KL, y DF JL.
ÎÞÊ£
­ÓÝÊÊήÂ
Como m∠E = m∠K, 90 = 8x - 22. Cuando se suma
22 a ambos lados, 112 = 8x. Por lo tanto, x = 14.
4-4
Congruencia de los triángulos: LLL y LAL (págs. 242–249)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
−− −−
■ Dado: RS UT y
−− −−
VS VT. V es
el punto medio
−−
de RU.
−−
−−
12. Dado: AB
DE,
−− −−
/
-
DB AE
Demuestra: ADB DAE
,
6
Demuestra: RSV UTV
Demostración:
Enunciados
Razones
−− −−
1. RS UT
−− −−
2. VS VT
1. Dado
2. Dado
3. Dado
3. V es el pto. medio
−−
de RU.
−− −−
4. RV UV
4. Def. de pto.
medio
5. RSV UTV
5. LLL Pasos 1, 2, 4
1
−−
−− 13. Dado: GJ−−
forma una bisectriz con FH,
y FH forma una bisectriz
−−
con GJ.
Demuestra: FGK HJK
14. Demuestra que ABC XYZ cuando x = -6.
■ Demuestra que ADB CDB cuando s = 5.
15. Demuestra que LMN PQR cuando y = 25.
AB = s 2 - 4s
AD = 14 - 2s
= 5 2 - 4 (5 )
= 14 - 2 (5 )
=5
=4
−− −−
−− −−
BD BD según la propiedad reflexiva. AD CD y
−− −−
AB CB. Por lo tanto, ADB CDB según LLL.
14
Guía de estudio: Repaso
4-5
Congruencia de los triángulos: ALA, AAL y HC (págs. 252–259)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
−−
■ Dado: B es el punto medio de AE.
∠A ∠E,
∠ABC ∠EBD
Demuestra: ABC EBD 16. Dado: C es−−
el punto medio
Demostración:
Enunciados
de AG.
−− −−
HA GB
Demuestra: HAC BGC
Razones
−−− −−
17. Dado: WX
⊥ XZ,
−− −−
YZ ⊥ ZX,
−−− −−
WZ YX
Demuestra: WZX YXZ
9
8
<
1. ∠A ∠E
1. Dado
2. ∠ABC ∠EBD
2. Dado
3. B es el pto. medio
−−
de AE.
−− −−
4. AB EB
3. Dado
5. ABC EBD
5. ALA Pasos 1, 4, 2
4. Def. de pto.
medio
18. Dado: ∠S y ∠V
son ángulos rectos.
RT = UW.
m∠T = m∠W
Demuestra: RST UVW
7
,
/
-
1
6
4-6
7
Congruencia de los triángulos: PCTCC (págs. 260–265)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
−− −−
■ Dado: JL y HK forman una bisectriz entre sí.
19. Dado: M
es el punto medio de
−−
Demuestra: ∠JHG ∠LKG
Demostración:
Enunciados
−− −−
1. JL y HK forman una
bisectriz entre sí.
−− −−
2. JG LG, and
−−− −−
HG KG.
3. ∠JGH ∠LGK
£
Ó
BD.
−− −−
BC DC
Demuestra: ∠1 ∠2
Razones
−− −−
20. Dado: PQ
RQ,
−− −−
PS RS
−−
Demuestra: QS forma una bisectriz
con ∠PQR.
+
1. Dado
2. Def. de bisectriz
,
*
4. JHG LKG
3. Teo. del vértice
del 5. ∠JHG ∠LKG
4. LAL Pasos 2, 3
5. PCTCC
−−
21. Dado: H es el punto medio de −−−
GL.
L es el punto medio de MK.
−−− −− −− −−−
GM KJ, GJ KM ,
∠G ∠K
Demuestra: ∠GMH ∠KJL
Capítulo 4 Congruencia de los triángulos
15
4-7
Introducción a la demostración de coordenadas (págs. 267–272)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Dado: ∠B es un ángulo recto en el triángulo
Ubica cada figura en el plano cartesiano y da las
coordenadas de cada vértice.
rectángulo isósceles ABC. E es el punto
−−
medio de AB.
−− −− −−
D es el punto medio de CB. AB CB
−− −−
Demuestra: CE AD
22. un triángulo rectángulo con catetos de longitudes r y s
23. un rectángulo con longitud 2p y ancho p
24. un cuadrado con longitud de lado de 8m
Demostración: Usa las coordenadas A(0, 2a) , B
−− −−
(0, 0) y C(2a, 0). Traza AD y CE.
Para los Ejercicios 25 y 26, asigna coordenadas a cada
vértice y escribe una demostración de coordenadas.
Þ
25. Dado: En
el rectángulo ABCD, E es el punto medio de
−−
−−
AB, F es el punto medio de BC, G es el punto
−−
−−
medio de CD, y H es el punto medio de AD.
−− −−−
Demuestra: EF GH
Ý
26. Dado: PQR tiene un∠Q recto.−−
M es el punto medio de PR .
Demuestra: MP = MQ = MR
Según la fórmula del punto medio,
0 + 0 2a + 0
E = _, _ = (0, a) y
2
2
0+0
0 + 2a _
_
D=
,
= (a, 0)
2
2
Según la fórmula de distancia,
)
)
(
(
27. Demuestra que un triángulo con vértices en (3, 5),
(3, 2) y (2, 5) es un triángulo rectángulo.
(2a - 0) + (0 - a)
CE = √
2
2
4a 2 + a 2 = a √
5
= √
(a - 0)2 + (0 - 2a)2
AD = √
a 2 + 4a 2 = a √
5
= √
−− −−
Por lo tanto, CE AD según la definición de
congruencia.
4-8
Triángulos isósceles y equiláteros (págs. 273–279)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla el valor de x.
m∠D + m∠E + m∠F = 180°
según el teorema de la suma del triángulo.
m∠E = m∠F
según el teorema del triángulo
isósceles.
m∠D + 2 m∠E = 180°
42 + 2 (3x) = 180
6x = 138
x = 23
16
Guía de estudio: Repaso
ÎÝÂ
Halla cada valor.
28. x
Sustitución
Sustituye los valores
dados.
Simplifica.
Divide ambos lados
entre 6.
­{xÊÊÎÝ®Â
{ÓÂ
29. RS
,
ÓÞÊÊ{°x
/
£°xÞ
-
30. Dado: ACD es isósceles y ∠D−−
es el ángulo del vértice.
B es el punto medio de AC .
AB = x + 5, BC = 2x - 3, y CD = 2x + 6.
Halla el perímetro del ACD.
Vocabulario
altura de un triángulo . . . . . . . . . 316
demostración indirecta . . . . . . . 332
mediana de un triángulo . . . . . . 314
centroide de un triángulo . . . . . 314
equidistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
ortocentro de un triángulo . . . . 316
circuncentro de un triángulo . . 307
incentro de un triángulo . . . . . . 309
punto de concurrencia . . . . . . . . 307
circunscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 300
segmento medio de
un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 322
tripleta de Pitágoras . . . . . . . . . . 349
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un punto que está a la misma distancia de dos o más objetos está
? de los objetos.
−−−−
es un segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo.
2. Un
?
−−−−
3. El punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo es el/la
4. Un(a)
5-1
? .
−−−−
? es un conjunto de puntos que cumplen con una condición dada.
−−−−
Mediatrices y bisectrices de ángulos (págs. 300–306)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
■ JL
Halla cada medida.
−− −−−
Como JM MK y
−−− −− −−−
ML ⊥ JK, ML es la
mediatriz del
−−
JK.
5. BD
9
x°x
Ç°™
JL = KL
⊥ Teorema de la bisectriz
JL = 7.9
Sustituye 7.9 por KL.
n˜Ê™
8
<
6
7. HT
8. m∠MNP
{ÓÂ
*
+
x°n
£ä
­Óâ£ä®Â
Ç
6
/
­{âÈ®Â
Ç
*
£ä
,
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para
la mediatriz del segmento con los extremos dados.
9. A(-4, 5), B(6, -5)
1
m∠PQS = _m∠PQR
2
1
m∠PQS = _ (68°) = 34°
2
ΘÊx
롂
x°x
■ m∠PQS, dado que m∠PQR = 68°
−− −−
Como SP = SR, SP ⊥ QP,
−− −−
forma una
y SR ⊥ QR, QS
bisectriz con ∠PQR según el
recíproco del teorema de la
bisectriz de un ángulo.
6. YZ
Def. de bisectriz de
un ∠
Sustituye m∠PQR
por 68°.
10. X(3, 2), Y(5, 10)
Indica si la información dada te permite concluir que P
está en la bisectriz del ∠ABC.
11.
12.
È
*
È
{
*
{
Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos
17
5-2
Bisectrices de los triángulos (págs. 307–313)
−− −− −−
■ DG, EG y FG
son las mediatrices de
ABC.
Halla AG.
{°n
Ó°Ç
G es el circuncentro de ABC.
x°£
Según el teorema del circuncentro,
G está equidistante de los vértices de ABC.
AG = CG
Teor. del circuncentro
AG = 5.1
Sustituye 5.1 por CG.
−− −−
■ QS y RS
*
son bisectrices de
ángulos de PQR.
Halla la distancia de
−−
S a PR.
Î{ £Ç
13. GY
14. GP
15. GJ
16. PH
{Ó°Ó
/
£ÓÂ
+
-
17. la distancia
de
−−
*
9
<
{È
−− −−
UA y VA son bisectrices de
ángulos de UVW.
Halla cada medida.
Ón°n 8
6
1
ÓäÂ
£n
A a UV
ÈÈÂ
7
18. m∠WVA
,
Halla el circuncentro de un triángulo con los vértices
dados.
19. M(0, 6), N(8, 0), O(0, 0)
20. O(0, 0), R(0, -7), S(-12, 0)
Medianas y alturas de los triángulos (págs. 314–320)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ En JKL, JP = 42. Halla JQ.
2
Teor. del centroide
JQ = _JP
3
2
JQ = _ (42) Sustituye JP por 42.
3
Multiplica.
JQ = 28
En DEF, DB = 24.6, y
EZ = 11.6. Halla cada longitud.
+
*
con los vértices R(-5, 3), S(-2, 5)
y T (-2, 0).
−−
Como ST es vertical, la ecuación
de la línea que contiene la
−−
altura desde R a ST es y = 3.
−−
3-0
pendiente de RT = _ = -1
)
-5 - (-2
−−
La pendiente de la altura a RT es 1.
Esta línea debe pasar por S(-2, 5).
22. ZB
23. ZC
24. EC
- È
,
Þ
Ý
/ ä
Forma de punto y pendiente
y - 5 = 1(x + 2)
Sustitución
⎧y = 3
Resuelve el sistema ⎨
para hallar que las
⎩y = x + 7
coordenadas del ortocentro son (-4, 3).
<
Halla el ortocentro de un triángulo con los vértices dados.
25. J(-6, 7), K(-6, 0), L(-11, 0)
26. A(1, 2), B(6, 2), C(1, -8)
{
Ó
{
y - y 1 = m(x - x 1)
Guía de estudio: Repaso
21. DZ
■ Halla el ortocentro de RST
18
−− −− −−
PX, PY y PZ
son las mediatrices de
GHJ. Halla cada longitud.
S es el incentro de PQR. Según el teorema
del incentro, S está equidistante de los lados de
−−
PQR. La distancia de S a PQ es 17, por lo tanto, la
−−
distancia de S a PR también es 17.
5-3
EJERCICIOS
EJEMPLOS
27. R(2, 3), S(7, 8), T(8, 3)
28. X(-3, 2), Y(5, 2), Z(3, -4)
29. Las coordenadas de una pieza triangular de un móvil
son (0, 4), (3, 8), and (6, 0). La pieza colgará de una
cadena de manera que quede balanceada. ¿En qué
coordenadas se debe sujetar la cadena?
5-4
El teorema del segmento medio de un triángulo (págs. 322–327)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
Halla cada medida.
*
30. BC
31. XZ
32. XC
33. m∠BCZ
34. m∠BAX
35. m∠YXZ
■ NQ
ÎÇÂ
Según el teor. del segmento
1
medio de , NQ = _KL = 45.7.
+
2
■ m∠NQM
Teor. del segmento medio
−− −−−
NP ML
del m∠NQM = m∠PNQ Teor. de la altura de interno
m∠NQM = 37°
Sustitución
5-5
Çä°Ó
ÎÓ°{
{ÓÂ
8
<
36. Los vértices deGHJ son G(-4, -7)−−−
, H(2, 5)
y J (10, -3). V es el punto medio de GH, y
−−
−−− −−
W es el punto medio de HJ. Demuestra que VW GJ
y VW = __12 GJ.
Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo (págs. 332–339)
EJEMPLOS
-
{ÈÂ
™£Â
38. Escribe los ángulos deFGH
{°È
Ç°£
Ç°x
39. Dos lados de un triángulo miden 13.5 centímetros y 4.5
centímetros. Halla el rango de posibles longitudes para
el tercer lado.
en orden, de menor a mayor.
■ Dos lados de un triángulo miden 15 pulgadas y
12 pulgadas. Halla el rango de posibles longitudes
para el tercer lado.
Indica si es posible que un triángulo tenga lados con las
siguientes longitudes. Explica.
Sea s la longitud del tercer lado.
s + 12 > 15
s >3
{ÎÂ
en orden, del más corto al
más largo.
El ángulo menor es el opuesto
/
del lado más corto. En orden, los ángulos son ∠S,
∠R y ∠T.
s + 15 > 12
s > -3
37. Escribe los lados de ABC
{°™
{°n
en orden, de menor a mayor.
EJERCICIOS
È°È
,
■ Escribe los ángulos de RST
15 + 12 > s
27 > s
40. 6.2, 8.1, 14.2
Según el teorema de desigualdad de los triángulos, 3
pulg < s < 27 pulg.
5-6
9
™£°{
41. z, z, 3z, cuando z = 5
42. Escribe una demostración indirecta de que un
triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.
Desigualdades en dos triángulos (págs. 340–345)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Compara las medidas dadas.
Compara las medidas dadas.
■ KL y ST
KJ = RS, JL = RT y
m∠J > m∠R. Según el
teor. del eje,
KL > ST.
™
,
■ m∠ZXY y m∠XZW
XY = WZ, XZ = XZ y
YZ < XW. Según el recíproco
del teor. del eje,
m∠ZXY < m∠XZW.
43. PS y RS
{{Â
*
£Ó
™
-
ÇxÂ
,
™°Ó
n°È
7
9
Ç°Î
™°Ó
<
Îx
Halla el rango de valores para n.
45. 46.
x
{
ÓÎ
8
ÓÎ
Î{
/
£Ó
44. m∠BCA y m∠DCA
£°x + £°x
™È ™nÂ
Ι
9
ÓÓÂ
­x˜Ç®Â
nxÂ
8
™nÂ
{˜££
<
Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos
19
5-7
El teorema de Pitágoras (págs. 348–355)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma
radical más simple.
a2 + b2 = c2
62 + 32 = x2
45 = x 2
x = 3 √
5
Ý
È
Teor. de Pitágoras
Sustitución
Simplifica.
Halla la raíz
cuadrada positiva y
simplifica.
Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más
simple.
47.
Ó
48.
£{
n
È
Ý
Ý
Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados
forman una tripleta de Pitágoras. Explica.
Î
■ Halla la longitud del lado que falta. Indica si los
Ý
49.
Ý
50.
lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.
a2 + b2 = c2
2
a + (1.6) = 2 2
a 2= 1.44
a = 1.2
£°È
2
Ó
Teor. de Pitágoras
Sustitución
Halla a 2.
Halla la raíz
cuadrada positiva.
Las longitudes de los lados no forman una tripleta
de Pitágoras porque 1.2 y 1.6 no son números
cabales.
5-8
Ó{
Ç°x
ÎÓ
Indica si las medidas pueden ser las longitudes de los
lados de un triángulo. Si es así, clasifica el triángulo como
acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
51. 9, 12, 16
52. 11, 14, 27
53. 1.5, 3.6, 3.9
54. 2, 3.7, 4.1
Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales (págs. 356–362)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en
la forma radical más simple.
■
{°x
{xÂ
Ý
£™
{xÂ
Éste es un triángulo de 45°, 45°
y 90°. x = 19 √2
Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la
forma radical más simple.
55.
56.
ÓÈ
£ÓÊÊ
{xÂ
Hipot.= cateto √
2
Ý
Ý
Ý
■
Éste es un triángulo 45°, 45° y
£x
{xÂ
{xÂ
57.
58.
ÎäÂ
2
90°. 15 = x √
{nÊÊ
Hipot.= cateto √
2
Ý
15
_
=x
√
2
15 √2
_
=x
2
■
Þ
Ý
Divide ambos lados entre √
2.
ÎäÂ
Þ
59.
60.
ÎäÂ
Ý
ÈÊÊ
Éste es un triángulo de 30°, 60°
Hipot. = 2(cateto más corto)
Divide ambos lados entre 2.
y = 11 √
3
Cateto más largo = (cateto más
corto) √3
Guía de estudio: Repaso
Ý
£{
Þ
ÈäÂ
Halla el valor de cada variable. Redondea a la pulgada más
cercana.
61.
62.

ÓÓ
11 = x
ÈäÂ
Ý
Racionaliza el denominador.
y 90°. 22 = 2x
ÈäÂ
20
Þ

ÎäÊ«ˆiÃ
£nÊ«ˆiÃ

…
ÈäÂ
£nÊ«ˆiÃ

£nÊ«ˆiÃ
Vocabulario
ángulo base de un trapecio . . . . 429
cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
base de un trapecio . . . . . . . . . . . 429
diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
cateto de un trapecio . . . . . . . . . . 429
lado de un polígono . . . . . . . . . . . 382
segmento medio de
un trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . 431
cometa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 391
trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
cóncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
polígono regular . . . . . . . . . . . . . . 382
trapecio isósceles . . . . . . . . . . . . . 429
convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
vértice de un polígono . . . . . . . . 382
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. El extremo común de dos lados de un polígono es un(a)
2. Un polígono es
? .
−−−−
si ninguna diagonal contiene puntos en el exterior.
?
−−−−
es un cuadrilátero con cuatro lados congruentes.
3. Un(a)
?
−−−−
4. Cada uno de los lados paralelos de un trapecio se llama
6-1
? .
−−−−
Propiedades y atributos de los polígonos (págs. 382–388)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Indica si la figura es un polígono. Si es un
polígono, identifícala por el número de lados.
Ésta es una figura plana cerrada formada
por dos segmentos que se cruzan sólo
en sus extremos, por lo tanto, es un
polígono. Tiene seis lados, por lo tanto,
es un hexágono.
■ Indica si el polígono es regular o irregular. Indica si
es cóncavo o convexo.
El polígono es equilátero, pero no es
equiangular; por lo tanto, no es regular.
Ninguna diagonal contiene puntos en el
exterior, por lo tanto, es convexo.
Indica si cada figura es un polígono. Si es un polígono,
identifícala por el número de lados.
5.
6.
7.
Indica si cada polígono es regular o irregular. Indica si es
cóncavo o convexo.
8.
9.
10.
Halla cada medida.
11. la suma de las medidas de los ángulos internos de un
dodecágono convexo
Halla cada medida.
■ la suma de las medidas de los ángulos internos de
un polígono convexo de 11 lados
(n - 2)180°
(11 - 2)180° = 1620°
Teor. de la suma de ∠
de un polígono
Sustituye n por 11.
■ la medida de cada ángulo externo de un pentágono
regular
suma de. ext. = 360°
Teor. de la suma de ∠
ext. de un polígono
360°
medida de un ∠ ext. = _ = 72°
5
12. la medida de cada ángulo
interno de un polígono
regular de 20 lados
13. la medida de cada ángulo
externo de un cuadrilátero
regular
14. la medida de cada ángulo
interno del hexágono
ABCDEF
ÇÃ
Â
xÃÂ
nÃÂ
nÃÂ
ÇÃÂ
xÃÂ
Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros
21
6-2
Propiedades de los paralelogramos (págs. 391–397)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ En PQRS, m∠RSP = 99°,
+
PQ = 19.8 y RT = 12.3.
Halla PT.
−− −−
PT RT
PT = RT
PT = 12.3
,
/
*
-
→ diagonales que forman bisectriz
entre sí
Def. de seg. Sustituye RT por 12.3.
JKLM es un
paralelogramo. Halla
cada medida.
­ÝÊÊ{®Â
ÓÞÊʙ
ÎÝÂ
ÞÊÊÇ
15. BE
16. AD
17. ED
18. m∠CDA
19. m∠BCD
20. m∠DAB
−− −−
→ lados opuestos JM LK
Def. de seg. JM = LK
2y - 9 = y + 7
Sustituye los valores dados.
y = 16
Halla y.
LK = 16 + 7 = 23
24. m∠X
25. m∠Y
26. m∠Z
7
£{>Â
xLÊÊn
<
28. Escribe una demostración de dos columnas.
Dado: GHLM es un paralelogramo.
∠L ∠JMG
Demuestra: GJM es isósceles.
6-3
9
È>Â
(-4, -7). Halla las coordenadas del vértice T.
→ sup. cons.
Sustituye los valores
dados.
Halla x.
x = 44
m∠M = 3 (44) = 132°
8
LÊÊÈ
27. Tres vértices de RSTV son R(-8, 1), S(2, 3) y V
■ m∠M
m∠J + m∠M = 180°
(x + 4) + 3x = 180
22. YZ
23. m∠W
WXYZ es un paralelogramo.
Halla cada medida.
21. WX
■ LK
En ABCD, m∠ABC = 79°,
BC = 62.4 y BD = 75.
Halla cada medida.
Condiciones para los paralelogramos (págs. 398–405)
EJERCICIO
EJEMPLOS
■ Demuestra que MNPQ es
un paralelogramo donde
a = 6 y b = 1.6.
MN = 2a + 5
MN = 2 (6) + 5 = 17
MQ = 7b
MQ = 7 (1.6) = 11.2
Ó>ÊÊx
ÇL
ÓLÊÊn
Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo para
los valores dados de las variables.
29. m = 13, n = 27
+
*
{>ÊÊÇ
QP = 4a - 7
QP = 4 (6) - 7 = 17
NP = 2b + 8
NP = 2 (1.6) + 8 = 11.2
Como sus lados opuestos son congruentes,
MNPQ es un paralelogramo.
30. x = 25, y = 7
­Î˜ÊÊ£n®Â
­Ó˜Êʙ®Â ™“Â
,
xÞÊÊ£ä
­ÎÝÊÊ£®Â
+
-
­{ÝÊÊ{®Â
ÓÞÊÊ££
Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo.
Justifica tu respuesta.
31.
32.
■ Determina si el cuadrilátero
debe ser un paralelogramo.
Justifica tu respuesta.
No. Un par de ángulos opuestos son congruentes,
y un par de lados consecutivos son congruentes.
No se cumple ninguna de las condiciones para un
paralelogramo.
22
Guía de estudio: Repaso
/
33. Demuestra que el cuadrilátero con los vértices
B(-4, 3), D(6, 5), F(7, -1) y H(-3, -3) es un
paralelogramo.
6-4
Propiedades de los paralelogramos especiales (págs. 408–415)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
En el rectángulo JKLM,
KM = 52.8 y JM = 45.6.
Halla cada longitud.
■ KL
JKLM es un .
KL = JM = 45.6
Rect. → → lados opuestos Rect. → diagonales → diag. que forman
bisectriz entre sí
■ PQRS es un rombo.
+
*
Halla m∠QPR, dado que
m∠QTR = (6y + 6)° y
m∠SPR = 3y°.
34. AB
35. AC
36. BD
37. BE
/
,
-
Rombo → diag. ⊥
m∠QTR = 90°
Sustituye el valor dado.
6y + 6 = 90
y = 14
Halla y.
Rombo → cada diagonal
m∠QPR = m∠SPR
m∠QPR = 3 (14) ° = 42° forma una bisectriz con opuesto
■ Los vértices del cuadrado ABCD son A(5, 0),
B(2, 4), C(-2, 1) y D(1, -3). Demuestra que las
diagonales del cuadrado ABCD son mediatrices
congruentes entre sí.
Las diag. son .
AC = BD = 5 √2
−−
1
pendiente de AC = -_ El producto de las
7
−−
pendiente de BD = 7 pendientes es -1, por lo
−−
tanto, las diag. son ⊥.
pto. medio de AC
−−
3 1
= pto. medio de BD = _, _ Las diag. forman
2 2 una bisectriz
( )
38. WZ
39. XV
40. XY
41. XZ
En el rombo WXYZ, WX = 7a + 1,
WZ = 9a - 6 y VZ = 3a.
Halla cada medida.
■ NL
JL = KM = 52.8
1
NL = _JL = 26.4
2
En el rectángulo ABCD, CD = 18 y CE = 19.8.
Halla cada longitud.
8
6
7
9
<
En el rombo RSTV, m∠TZV = (8n + 18)°
y m∠SRV = (9n + 1)°.
Halla cada medida.
42. m∠TRS
43. m∠RSV
44. m∠STV
45. m∠TVR
/
<
,
6
Halla las medidas de los ángulos numerados en cada
figura.
46. rectángulo MNPQ
ÎÎÂ
£
Ó
*
Î
{
47. rombo CDGH
Ó
{
Î
x
+
£
xÎÂ
x
Demuestra que las diagonales del cuadrado con los
vértices dados son mediatrices congruentes entre sí.
48. R(-5, 0), S(-1, -2), T(-3, -6) y U(-7, -4)
49. E(2, 1), F(5, 1), G(5, -2) y H(2, -2)
entre sí.
6-5
Condiciones para paralelogramos especiales (págs. 418–425)
EJEMPLOS
■ Determina si la conclusión
es válida. Si no lo es,
indica qué información
adicional se necesita para
hacerla válida.
−− −−
Dado: LP ⊥ KN
Conclusión: KLNP es un rombo.
*
La conclusión no es válida.
Si las diagonales de un paralelogramo son
perpendiculares, entonces el paralelogramo es un
rombo. Para aplicar este teorema, primero debes
saber si KLNP es un paralelogramo.
EJERCICIOS
Determina si la conclusión
es válida. Si no lo es, indica qué
información adicional se necesita
para hacerla válida.
−− −− −− −−
50. Dado: ER ⊥ FS, ER FS
Conclusión: EFRS es un cuadrado.
−− −−
51. Dado: ER
y FS forman una bisectriz entre sí.
−− −−
ER FS
Conclusión: EFRS es un rectángulo.
−− −− −− −− −− −−
52. Dado: EF RS, FR ES, EF ES
Conclusión: EFRS es un rombo.
,
-
Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros
23
■ Usa las diagonales para indicar si un
Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con
los vértices dados es un rectángulo, rombo o cuadrado.
Menciona todos los nombres que correspondan.
paralelogramo con los vértices P(-5, 3),
Q(0, 1), R(2, -4) y S(-3, -2) es un rectángulo,
rombo o cuadrado. Da todos los nombres que
correspondan.
= 7 √2
PR = √98
QS = √
18 = 3 √
2
53. B(-3, 0), F(-2, 7), J(5, 8), N(4, 1)
54. D(-4, -3), H(5, 6), L(8, 3), P(-1, -6)
Fórmula de distancia
Fórmula de distancia
55. Q(-8, -2), T(-6, 8), W(4, 6), Z(2, -4)
Como PR ≠ QS, PQRS no es un rectángulo ni es
un cuadrado.
−−
7
pendiente de PR = _ = -1 Fórmula de pendiente
-7
−− 3
Fórmula de pendiente
pendiente de QS = _ = 1
3
Como el producto de las pendientes es -1,
las diagonales son perpendiculares. PQRS es
un rombo.
6-6
Propiedades de las cometas y los trapecios (págs. 427–435)
■ En la cometa PQRS, m∠SRT = 24°,
y m∠TSP = 53°. Halla m∠SPT.
PTS es un triángulo
rectángulo.
m∠SPT + m∠TSP = 90°
m∠SPT + 53 = 90
m∠SPT = 37°
+
*
EJEMPLOS
,
Cometa → diag. ⊥
Los agudos de rect. son comp.
,
-
Trap. isósc. → diag. Def. de segmentos Îä
Ó°Ç
롣
*
/
+
64. Halla el valor de n para que PQXY sea isósceles.
Post. de la suma de los seg.
Sustituye.
Resta 32.5 de ambos lados.
8
24
<
63. EQ
ÈÇ
62. MN
*
■ Halla WZ.
105 = WZ
/
6
+
{Ó
Çΰx
9
<
Teor. de los segmentos
medios de un trap.
Sustituye.
Multiplica ambos lados por 2.
Halla WZ.
Guía de estudio: Repaso
­n˜ÓÊÊ££®Â
9
Menciona el mejor nombre para un cuadrilátero cuyos
vértices tienen las siguientes coordenadas.
7
8
­È˜ÓÊÊÇ®Â
*
1
AB = _(XY + WZ)
2
1
73.5 = _ (42 + WZ)
2
147 = 42 + WZ
<
61. BZ si ZH = 70
x{Â
<
JP = 32.5 y HL = 50.
9
y EK = 121.6
-
■ En el trapecio HJLN,
6
59. m∠WZY
60. m∠R y m∠S
Teor. de internos del
mismo lado
Sustituye m∠C por 51.
Resta.
m∠C + m∠D = 180°
51 + m∠D = 180
m∠D = 129°
8
Halla cada medida.
9
x£Â
En la cometa WXYZ, m∠VXY = 58°
y m∠ZWX = 50°.
Halla cada medida.
7
56. m∠XYZ
57. m∠ZWV
58. m∠VZW
Sustituye 53 por m∠TSP.
Resta 53 de ambos lados.
■ Halla m∠D.
Halla PN.
−− −−
JN HL
JN = HL = 50
JP + PN = JN
32.5 + PN = 50
PN = 17.5
EJERCICIOS
/
65. (-4, 5), (-1, 8), (5, 5), (-1, 2)
66. (1, 4), (5, 4), (5, -4), (1, -1)
67. (-6, -1), (-4, 2), (0, 2), (2, -1)
Vocabulario
dibujo a escala . . . . . . . . . . . . . . . . .489
polígonos semejantes . . . . . . . . . . .462
razón de semejanza . . . . . . . . . . . . .463
dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495
productos cruzados . . . . . . . . . . . . .455
semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462
escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .489
proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455
valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . .455
factor de escala . . . . . . . . . . . . . . . . .495
razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454
valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . .455
medición indirecta . . . . . . . . . . . . . .488
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Una ecuación que afirma que dos razones son iguales se llama
? .
−−−−
2. Un(a) ? es una transformación que cambia el tamaño de una figura, pero no su forma.
−−−−
u _
x
3. En la proporción _
= , los/las ? son v y x.
v
y
−−−−
4. Un(a) ? compara dos números mediante la división.
−−−−
7-1
Razón y proporción (págs. 454–459)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Escribe una razón que exprese la pendiente de .
distancia vert.
_
Þ
pendiente = ____
distancia horiz.
­£]Ê{®
y2 - y1
=_
Ó
x2 - x1
­Î]ÊÓ®
Ý
4-2
_
=
ä
-1 - 3
Ó
{
1
2
= _ = -_
-4
2
Escribe una razón que exprese la pendiente de cada línea.
5. m
{
4(x - 3)
50
7. p
Ý
{
2
Simplifica.
2
Divide ambos lados
entre 4.
(x - 3) = 25
x - 3 = ±5
x - 3 = 5 ó x - 3 = -5
x= 8
ó x = -2
Ó
{
˜
{
8. Si se divide 84 entre tres partes en la razón 3:5:6, ¿cuál
2
4(x - 3) = 100
ä
Ó
«
Prop. de productos
cruzados
4(x - 3) = 2(50)
“
6. n
■ Resuelve la proporción.
x-3
2
_
=_
Þ
Halla la raíz cuadrada de
ambos lados.
Vuelve a escribir como
dos ecuac.
Suma 3 en ambos
lados.
es la suma de la parte más pequeña y la más grande?
9. La razón de las medidas de un par de lados de un
rectángulo es 7:12. Si el perímetro del rectángulo es 95,
¿cuál es la longitud de cada lado?
Resuelve cada proporción.
y
9
10. _ = _
7 3
x _
9
12. _
=
x
4
3x
12 _
=
14. _
2x
32
10 _
25
11. _
=
s
4
z-1
4
=_
13. _
15.
z-1
y+1
_
24
36
2
=_
3(y + 1)
Capítulo 7 Semejanza
25
7-2
Razones en polígonos semejantes (págs. 462–467)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Determina si ABC y DEF son semejantes. Si lo
son, escribe la razón de semejanza y un enunciado
de semejanza.
Ê
£n
Ê
£Ó
£Î
Ê
Ç°x
Determina si los polígonos son semejantes. Si lo son,
escribe la razón de semejanza y un enunciado de
semejanza.
16. rectángulos JKLM y PQRS
n
x
x
Se sabe que ∠A ∠D y ∠B ∠E.
∠C ∠F según el teorema del tercer ángulo.
BC
AC
AB
___
= ___
= ___
= __23 . Por lo tanto, la razón de
DE
EF
DF
-
,
17. TUV y WXY
£Ó
8
/
semejanza es __23 , y ABC ∼ DEF.
È
9
£ä
7
Óä
£Ó
1Ê
7-3
+
Î
£™°x
Ê
{°n
*
6Ê
Ó{
Semejanza entre triángulos: AA, LLL y LAL (págs. 470–477)
EJERCICIOS
EJEMPLO
−− −−
■ Dado: AB CD, AB = 2CD, AC = 2CE
1
1
18. Dado: JL = _
JN, JK = _JM
3
3
Demuestra: JKL ∼ JMN
Demuestra: ABC ∼ CDE
Demostración:
Enunciados
−−
Razones
−− −−
1. AB CD
1. Dado
2. ∠BAC ∠DCE
2. Post. de corr.
3. AB = 2CD,
AC = 2CE
3. Dado
AC
AB
4. ___
= 2, ___
=2
CD
CE
4. Prop. de la div.
AC
AB
5. ___
= ___
CD
CE
5. Prop. transit. de =
6. ABC ∼ CDE
6. LAL ∼ (Pasos 2, 5)
−−
19. Dado: QR ST
Demuestra: PQR ∼ PTS
/
,
*
-
+
−− −−
20. Dado: BD CE
Demuestra: AB(CE) = AC(BD)
(Pista: después de demostrar la semejanza de los triángulos,
busca una proporción usando AB, AC, CE y BD, las
longitudes de los lados correspondientes).
26
Guía de estudio: Repaso
7-4
Cómo aplicar las propiedades de los triángulos semejantes (págs. 481–487)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla PQ.
Halla cada longitud.
21. CE
+ x
£Ó
£x
*
, È
£x
−− −−
PQ
PR
Se sabe que QR ST, por lo tanto, ___ = ___
según el
RT
QS
teorema de proporcionalidad de los triángulos.
PQ _
15
_
Sustituye QS por 5, PR por 15 y
=
5
6
RT por 6.
6(PQ) = 75
22. ST
*
£ä
™
-
Prop. de productos cruzados
+
Î
/
Divide ambos lados entre 6.
PQ = 12.5
−−
−−
■ Verifica que AB CD. {
EC _
6
_
= = 1.5
CA 4
4.5
ED _
_
= 1.5
=
3
DB
È
Î
,
Verifica que los segmentos dados sean paralelos.
−− −−−
23. KL y MN
+
*
{°x
EC
ED −− −−
Como ___
= ___
, AB CD según el recíproco del
CA
n
/
DB
teorema de la proporcionalidad de los triángulos.
,
−− −−
24. AB y CD
.
Ó{
■ Halla JL y LK.
ÓÝ
£Ó°x
ÎÝÊÊÓ
£ä
10(3x - 2) = 12.5(2x)
30x - 20 = 25x
30x = 25x + 20
5x = 20
x=4
JL = 3x - 2
= 3(4) - 2 = 10
LK = 2x
= 2(4) = 8
{ä
£n
Îä
25. Halla SU y SV.
1
ÞÊÊ£
−−
JL
JM
Como JK forma una bisectriz con ∠LJM, ___
= ___
LK
MK
según el teorema de la bisectriz de los ángulos de un
triángulo.
12.5
3x - 2 _
_
=
2x
10
n
ÓÞ
Sustituye los valores
dados.
Prop. de productos
cruzados.
Simplifica.
Suma 20 a ambos lados.
Resta 25x de ambos
lados.
Divide ambos lados
entre 5.
,
£Ó
6
26. Halla la longitud del tercer lado del ABC.
ÓÝ
Ó{
ÝÊÊÈ
Îä
27. Un lado de un triángulo mide x pulgadas más que
el otro lado. El rayo que forma una bisectriz con el
ángulo formado por estos lados divide el lado opuesto
en segmentos de 3 pulgadas y 5 pulgadas. Halla el
perímetro del triángulo en función de x.
Capítulo 7 Semejanza
27
7-5
Cómo usar relaciones proporcionales (págs. 488–494)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Usa las dimensiones en el diagrama para hallar la
altura h de la torre.
Un estudiante que mide 5 pies y 5 pulgadas midió
su sombra y la sombra de una torre para hallar la
altura de la torre.
28. Para hallar la altura de un mástil, Casey midió su
propia sombra y la sombra del mástil. Como la altura
de Casey es 5 pies y 4 pulg, ¿cuál es la altura x del
mástil?
5 pies 5 pulg = 65 pulg
1 pie 3 pulg = 15 pulg
11 pies 3 pulg = 135 pulg
Ý
…
xÊ«ˆiÃÊ
{ʫՏ}
xÊ«ˆiÃÊxʫՏ}
£Ê«ˆiÊÎʫՏ}
Los lados corr. son
proporcionales.
15h = 65(135)
15h = 8775
h = 585 pulg
£{Ê«ˆiÃÊÎʫՏ}
29. Jonathan está a 3 pies de un poste, que mide 12 pies de
££Ê«ˆiÃÊÎʫՏ}
65
h
_
=_
135 15
ÎÊ«ˆiÃ
Prop. de productos cruzados.
altura. El poste y su sombra forman los catetos de un
triángulo rectángulo. Jonathan mide 6 pies de altura y
está parado en paralelo al poste. ¿Cuál es la longitud de
la sombra de Jonathan?
Simplifica.
Divide ambos lados entre 15.
La altura de la torre es 48 pies y 9 pulg.
7-6
Dilataciones y semejanzas en el plano cartesiano (págs. 495–500)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Dado: A(5, -4), B(-1, -2), C(3, 0), D(-4, -1) y
E(2, 2)
30. Dado: R(1, -3), S(-1, -1), T(2, 0), U(-3, 1)
y V(3, 3)
Demuestra: ABC ∼ ADE
Demuestra: RST ∼ RUV
Demostración: Marca los puntos y traza los
triángulos.
{
Þ
32. Dado que AOB ∼ COD, halla las coordenadas de B
y el factor de escala.
Ý
{
Þ
­£Ó]Êä® ­£n]Êä®
ä
{
N(4, -4)
Demuestra: JKL ∼ JMN
ä
31. Dado: J(4, 4), K(2, 3), L(4, 2), M(-4, 0) y
Ý
­ä]ʙ®
Usa la fórmula de distancia para hallar las
longitudes de los lados.
, AE = 3 √
5
AC = 2 √5
√
√
, AD = 3 10
AB = 2 10
AC 2
AB
Por lo tanto, _ = _ = _.
AD AE 3
Como los lados correspondientes son
proporcionales y ∠A ∠A b según la propiedad
reflexiva, ABC ∼ ADE según LAL ∼.
28
Guía de estudio: Repaso
33. Representa gráficamente la imagen del triángulo
después de una dilatación con el factor de escala
dado. Luego, verifica que la imagen sea semejante al
triángulo dado.
K(0, 3), L(0, 0) y M(4, 0) con factor de escala 3.
Vocabulario
ángulo de depresión . . . . . . . . . . 544
magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5601
vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
ángulo de elevación . . . . . . . . . . . 544
media geométrica . . . . . . . . . . . . 519
vector resultante . . . . . . . . . . . . . . 561
coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
razón trigonométrica . . . . . . . . . 525
vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . 561
dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
vectores paralelos. . . . . . . . . . . . . 561
forma de componente. . . . . . . . . 559
tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. El/la
? de un vector indica el cambio horizontal y vertical desde el punto inicial hasta el
−−−−
punto terminal.
2. Dos vectores con la misma magnitud y dirección se llaman
? .
−−−−
3. Si a y b son números positivos, entonces √
ab es el/la ? de a y b.
−−−−
4. Un ? es el ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión hasta un punto
−−−−
por encima de la línea horizontal.
5. El seno, el coseno y la tangente son ejemplos de un(a)
8-1
? .
−−−−
Semejanza entre triángulos rectángulos (págs. 518–523)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla la media geométrica de 5 y 30.
x 2 = (5)(30) = 150
= 5 √
x = √150
6
de semejanza comparando
los tres triángulos.
■ Halla x, y y z.
Def. de media geométrica
Halla la raíz cuadrada positiva.
Ê
е
Ê ȖÊ ÎÎÊ
еÊ
â
Þ
2
(√
33 )
Î
= 3(3 + x)
33 = 9 + 3x
Ý
√
33 es la media
geométrica de 3 y 3 + x.
*
+
Halla la media geométrica de cada par de números. Si es
necesario, da la respuesta en la forma radical más simple.
1
7. _
y 100
8. 3 y 17
4
Halla x, y y z.
9.
10.
x
â
Þ
24 = 3x
Ý
y 2 = 24
= 2 √
6
y = √24
z 2 = (8)(11)
z 2 = 88
= 2 √
22
z = √88
Þ
È
Ç
x =8
y 2 = (3)(8)
,
6. Escribe un enunciado
Sea x la media geométrica.
£Ó
Ý
â
y es la media geométrica
de 3 y 8.
11.
£
е
Ȗ
Ý
Þ
â
z es la media geométrica
de 8 y 11.
Capítulo 8 Trigonometría y triángulos rectángulos
29
8-2
Razones trigonométricas (págs. 525–532)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada longitud. Redondea a la centésima más
cercana.
■ EF
EF ≈ 7.82 cm
■ AB
12. UV
1
n°£ÊV“
ÇxÂ
EF
sen 75° = _
8.1
EF = 8.1(sen 75°)
Halla cada longitud. Redondea a la centésima más cercana.
näÂ
Como están indicados
el cateto op. y la
hipotenusa, usa una
razón de seno.
Î{Â
7
13. PR
Ç°Óʓ
*
+
әÂ
,
{°ÓʫՏ}
14. XY
4.2
tan 34° = _
AB
AB tan 34° = 4.2
4.2
AB = _
tan 34°
AB ≈ 6.23 pulg
8-3
6
££Ê“
15. JL
9
{ÇÂ
Como están indicados
los catetos adyacentes y
opuestos, usa una razón de
tangente.
ÎÎÂ
£Ó°ÎÊV“
8
£°{ÊV“
<
Cómo resolver triángulos rectángulos (págs. 534–541)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Halla las medidas desconocidas en LMN.
Redondea las longitudes a la centésima más
cercana y las medidas de los ángulos al grado más
cercano.
Halla las medidas desconocidas. Redondea las longitudes
a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al
grado más cercano.
16. ÓÓÂ
x°Ó
È£Â
ΰx
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios. Por lo tanto, m∠N = 90° - 61° =
29°.
MN
sen L = _
LN
8.5
sen 61° = _
LN
8.5
LN = _ ≈ 9.72
sen 61°
MN
tan L = _
LM
8.5
tan 61° = _
LM
8.5
LM = _ ≈ 4.71
tan 61°
30
Guía de estudio: Repaso
17.
n°x
Escribe una razón
trigonométrica.
Escribe una razón
trigonométrica.
Sustituye los valores
dados.
Halla LM.
-
18.
*
19.
™°™
Sustituye los valores
dados.
Halla LN.
{°Ç
ÎÓ°x
,
xäÂ
/
+
n°È
8-4
Ángulos de elevación y depresión (págs. 544–549)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Un piloto en un avión detecta un incendio forestal
en tierra a un ángulo de depresión de 71°. La
altitud del avión es 3000 pies. ¿Cuál es la distancia
horizontal desde el avión hasta el incendio?
Redondea al pie más cercano.
3000
tan 71° = _
* Ç£Â
XF
3000
XF = _
tan 71°
ÎäääÊ
XF ≈ 1033 pies
«ˆiÃ
Clasifica cada ángulo como un ángulo de elevación o un
ángulo de depresión.
£
Ç£Â
Ó
8
■ Un buzo está nadando a una profundidad de 63
pies por debajo del nivel del mar. Ve una boya
flotando a nivel del mar a un ángulo de elevación
de 47°. ¿Cuánto debe nadar el buzo para quedar
directamente debajo de la boya? Redondea al pie
más cercano.
63
tan 47° = _
XD
63
ÈÎÊ«ˆiÃ
XD = _
tan 47°
XD ≈ 59 pies
8-5
{ÇÂ
8
20. ∠1
21. ∠2
22. Cuando el ángulo de elevación al Sol es 82°, un
monumento proyecta una sombra que mide 5.1 pies de
largo. ¿Cuál es la altura del monumento redondeada al
pie más cercano?
23. Un guardabosque en una torre mirador detecta un
incendio a la distancia. El ángulo de depresión hasta el
incendio es de 4° y la torre mirador mide 32m de altura.
¿Cuál es la distancia horizontal hasta el incendio?
Redondea al metro más cercano.
Ley de los senos y ley de los cosenos (págs. 551–558)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la
décima más cercana y las medidas de los ángulos al
grado más cercano.
■ m∠B
n
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima
más cercana y las medidas de los ángulos al grado más
cercano.
{
9
8
24. m∠Z
{äÂ
È
Ç
nnÂ
C
sen
B sen
_
Ley de los senos
= _
AB
AC
88°
sen
B sen
_
_
Sustituye los valores dados.
=
6
8
6 sen 88°
Multiplica ambos lados por 6.
sen B = _
8
6 sen 88°
m∠B = sen -1 _ ≈ 49°
8
(
)
<
25. MN
£È
£ÎäÂ
ÓÎÂ
Capítulo 8 Trigonometría y triángulos rectángulos
31
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la
décima más cercana y las medidas de los ángulos al
grado más cercano.
■ HJ
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima
más cercana y las medidas de los ángulos al grado más
cercano.
26. EF
££
£{
ÎÓÂ
£ä
Usa la ley de los cosenos.
2
2
27. m∠Q
2
HJ = GH + GJ - 2(GH)(GJ)cos G
£ä
È
HJ ≈ 34.4294
Simplifica.
HJ ≈ 5.9
Halla la raíz cuadrada.
8-6
*
£Ó
+
=10 2 + 11 2 - 2(10 )(11 )cos 32°
2
£Ó
£ä£Â
,
Vectores (págs. 559–567)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Traza el vector 〈-1, 4〉 en un plano cartesiano.
Escribe cada vector en forma de componente.
Halla su magnitud a la décima más cercana.
⎪〈-1, 4〉⎥ = √(-1)
+ (4)
28. AB
⎯⎯⎯ con A(5, 1) y B(-2, 3)
Þ
{
2
2
­£]Ê{®
= √
17 ≈ 4.1
29. MN
⎯⎯⎯⎯ con M(-2, 4) y N(-1, -2)
⎯⎯⎯
30. RS
Ó
,
Ý
ä
Ó
■ El vector 〈4, 3〉. Da la velocidad de un avión a
-
chorro. Traza el vector en un plano cartesiano.
Halla la dirección del vector al grado más cercano.
{
Þ
3
En el PQR, tan P = _, por lo tanto
4
Ó
3
m∠P = tan -1 _ ≈ 37°.
4
*
+­{]Êή
31. 〈-5, -3〉
()
Ý
Ó
,
■ Susan cruza nadando un río con rumbo N 75° E
a una velocidad de 0.5 mi/h. La corriente del río
fluye hacia el este a 1 mi/h. Halla la velocidad real
de Susan a la décima más cercana y su dirección al
grado más cercano.
-ÕÃ>˜
ÇxÂ
7
ä°x
Ý
- £xÂ
Þ
x
cos 15° = _, por lo tanto,
0.5
x ≈ 0.48.
y
sen 15° = _, por lo tanto,
0.5
y ≈ 0.13.
El vector de Susan es 〈0.48, 0.13〉. La corriente es
〈1, 0〉. La velocidad real de Susan es la magnitud del
vector resultante, 〈1.48, 0.13〉.
(1.48)2 + (0.13)2 ≈ 1.5 mi/h
⎪〈1.48, 0.13〉⎥ = √
( )
0.13
Su dirección es tan -1 _ ≈ 5°, o N 85° E.
1.48
32
Guía de estudio: Repaso
Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla su
magnitud a la décima más cercana.
32. 〈-2, 0〉
33. 〈4, -4〉
Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla la
dirección del vector al grado más cercano.
34. El vector 〈4, 5〉 da la velocidad de un helicóptero.
35. El vector 〈7, 2〉 da la fuerza que usa un bote
remolcador.
36. Un avión vuela a una velocidad constante de 600 mi/h
con rumbo N 55° E. Hay viento cruzado que sopla hacia
el este a 50 mi/h. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección
reales del avión? Redondea la velocidad a la décima
más cercana y la dirección al grado más cercano.
Vocabulario
ángulo central de un polígono regular . . . . 601
círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
apotema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
figura compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
centro de un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
probabilidad geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 630
centro de un polígono regular . . . . . . . . . . . 601
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a)
? es la longitud de un segmento perpendicular a un lado de un polígono regular.
−−−−
2. El punto equidistante de todos los puntos en un círculo es el/la ? .
−−−−
3. El/la ? se basa en una razón de medidas geométricas.
−−−−
9-1
Cómo desarrollar fórmulas para triángulos y cuadriláteros (págs. 589–597)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
Halla cada medida.
■ el perímetro de un cuadrado en el que A = 36 pulg
A = s 2 = 36 pulg 2 Usa la fórmula del área para
hallar la longitud del lado.
2
S = √
36 = 6 pulg
P = 4s = 4 6 = 24 pulg
8 + b = 17
A = 28 cm 2
b = 4xy pulg
7. la altura de un trapecio en el que
Según el teorema
de Pitágoras,
2
5. el perímetro de un rectángulo en el que b = 4 cm y
6. la altura de un triángulo en el que A = 6x 3y pulg 2 y
■ el área del triángulo
2
4. el área de un cuadrado en el que P = 36 pulg
A = 48xy pies 2
2
ÎÝÞÊ«ˆiÃ
2
64 + b = 289
b 2 = 225, por lo tanto, b = 15 pies.
1
1
A = _bh = _(15)(8) = 60 pies 2
2
2
■ la diagonal d 2 de un rombo en el que
™ÝÞÊ«ˆiÃ
A = 6x 3y 3 m y d 1 = 4x 2y m
1
A = _d 1 d 2
2
1
3
Sustituye los valores dados.
6x 3y = _(4x 2y)d 2
2
d 2 = 3xy 2
8. el área de un rombo en el que d 1 = 21 yd y
d 2 = 24 yd
9. la diagonal d 2 del rombo en el que
A = 630x 3y 7 pulg 2
Halla d 2.
Ê`Ê£ÊÊÎäÊÝÊÓÊÞÊÎʫՏ}
10. el área de una cometa en la que d 1 = 32 m y
d 2 = 18 m
Capítulo 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área
33
9-2
Cómo desarrollar fórmulas para círculos y polígonos regulares (págs. 600–605)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
Halla cada medida. Redondea a la décima más cercana si
es necesario.
11. la circunferencia de G
■ la circunferencia y el área de
B en función de π
ÓÊÊ«ˆiÃ
Êû
Ú
xÝÞʓ
C = 2πr = 2π(5xy)
= 10xyπ m
2
A = πr 2 = π(5xy) = 25x 2y 2π m 2
12. el área de J en el que C = 14π yd
■ el área, a la décima más cercana, de un hexágono
regular con una apotema de 9 yd.
14. el área de un pentágono regular con lados cuya
Ã
Según el teorema del triángulo
longitud es 10 pies
9 √
3
.
30°-60°-90°, x = ____ = 3 √3
15. el área de un triángulo equilátero con lados cuya
3
3, y
Por lo tanto, s = 2x = 6 √
13. el diámetro de K en el que A = 64x 2π m 2
longitud es 4 pulgadas
Îäc
™ÊÞ`
16. el área de un octágono regular con lados cuya longitud
es 8 cm
17. el área del cuadrado
£Ó
ʓ
P = 6(6 √
3 ) = 36 √
3.
Ý
1
1
) = 162 √
3 ≈ 280.6 yd 2
A = _aP = _(9)(36 √3
2
2
9-3
Figuras compuestas (págs. 606–612)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Halla el área sombreada. Redondea a la décima
más cercana si es necesario.
Halla el área sombreada. Redondea a la décima más
cercana si es necesario.
18.
ÓäÊV“
{ÊV“
19.
£xÊ«ˆiÃ
ÓäÊV“
ÈÊV“
£äÊV“
ÎnÊV“
ÈÊV“
nÊV“
£xÊ«ˆiÃ
El área del triángulo es
1
A = _(18)(20) = 180 cm 2.
2
El área del paralelogramo es
A = bh = 20(10) = 200 cm 2.
El área de la figura es la suma de las dos áreas.
180 + 200 = 380 cm 2
34
Guía de estudio: Repaso
ÈÊV“
{ʓ“
20.
Óʓ“
Óʓ“
£nÊV“
9-4
Perímetro y área en el plano cartesiano (págs. 616–621)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Estima el área
{
de la figura irregular.
La figura abarca
aproximadamente 28
cuadrados completos
{
y 17 mitades de
cuadrados. El área total
es aproximadamente 28
1
+ _(17) = 36.5 undades 2.
2
Estima el área de cada figura irregular.
Þ
21.
{
Þ
Ý
ä
Ý
{
ä
{
{
■ Traza y clasifica los polígonos con los vértices R
(2, 4), S(3, 1), T(2, -2) y U(1, 1). Halla el perímetro
22.
Þ
y el área del polígono.
RSTU parece ser un
rombo.
Verifícalo demostrando
que los cuatro lados son
congruentes. Según la
fórmula de distancia,
UR = RS = ST = TU
= √
10 unidades.
Þ
{
Ó
{
Ó
,
1
Ý
{
-
ä
{
/
Traza y clasifica el polígono con los vértices dados. Halla el
perímetro y el área del polígono.
{
10
El perímetro es 4 √
unidades
1
1
1
El área es A = _d 1d 2 = _US RT = _(2 6)
2
2
22
= 6 unidades .
23. H(0, 3), J(3, 0), K(0, -3), L(-3, 0)
24. M(-2, 5), N(3, -2), P(-2, -2)
25. A(-2, 3), B(2, 3), C(4, -1), D(-4, -1)
26. E(-1, 3), F(3, 3), G(1, 0), H(-3, 0)
■ Halla el área del polígono con los vértices
A(-3, 4), B(2, 3), C(0, -2) y D(-5, -1).
área del rectángulo:
7(6) = 42 unidades2
área de los triángulos:
1
a: A = _(2)(5)
2
= 5 unidades 2
>
Halla el área del polígono con los vértices dados.
Þ
L
27. Q(1, 4) , R(4, 3), S(2, -4), T(-3, -2)
28. V(-2, 2), W(4, 0), X(2, -3), Y(-3, 0)
Ó
Ý
`
1
b: A = _(5)(1)
2
= 2.5 unidades 2
{
Ý
{
Ó
ä
ä
V
{
29. A(1, 4), B(2, 3), C(0, -3), D(-2, -1)
30. E(-1, 2), F(2, 0), G(1, -3), H(-4, -1)
{
1
c: A = _(2)(5) = 5 unidades 2
2
1
d: A = _(5)(1) = 2.5 unidades 2
2
área del polígono: A = 42 - 5 - 2.5 - 5 - 2.5
= 27 unidades 2
Capítulo 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área
35
9-5
Efectos de cambiar dimensiones de manera proporcional (págs. 622–627)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Se duplican la base y la altura de un rectángulo
con base de 10 cm y altura de 15 cm. Describe el
efecto en el área y el perímetro de la figura.
original: P = 2b + 2h = 2(10) + 2(15) = 50 cm
A = bh = 10(15) = 150 cm 2
X(-1, 3), Y(-3, -2) y Z(2, -2)
vértices P(-1, 1), Q(3, 1), R(3, -3) y S(-1, -3)
33. El radio de A con un radio de 11 m se
A = bh = 20(30) = 600 cm 2
El perímetro aumenta por un factor de 2. El área
aumenta por un factor de 4.
1
multiplica por _.
2
34. La base y la altura de un triángulo con base de 8 pies y
altura de 20 pies se multiplican por 4.
Probabilidad geométrica (págs. 630–636)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
−−
Se elige al azar un punto en WZ. Halla la probabilidad
de cada suceso.
Î
7
n
■ Halla la probabilidad
£
Ç
8
de que un punto elegido al
azar dentro del rectángulo
esté dentro del triángulo
equilátero.
−−
Se elige al azar un punto en AD. Halla la probabilidad de
cada suceso.
Ç
9
−−
■ El punto está en XZ.
15 5
XZ
P(XZ) = _ = _ = _
WZ 18 6
−−− −−
■ El punto está en WX o YZ.
−−− −−
−−−
−−
7
3
P(WX o YZ) = P(WX) + P(YZ) = _ + _
18 18
10 5
=_=_
18 9
<
−−
−−
−−
−−
−−
37. El punto está en AB o CD.
38. El punto está en BC o CD.
ÓäÊ«ˆiÃ
£äÊ«ˆiÃ
Halla la probabilidad
de que un punto elegido al
azar dentro del rectángulo
de 40 m por 24 m esté
dentro de cada figura.
Redondea a la centésima
más cercana.
área del rectángulo
A = bh = 20(10) = 200 pies 2
40. el triángulo
área del triángulo
41. el círculo o el triángulo
43.3
P = _ ≈ 0.22
200
Guía de estudio: Repaso
36. El punto no está en CD.
39. el hexágono regular
( )
x
−−
35. El punto está en AB.
3
1
1 5 √
A = _aP = _ _ (30) = 25 √
3 ≈ 43.3 pies 2
2
2 3
36
31. Se triplican la base y la altura del triángulo con vértices
32. Se duplica longitud de los lados del cuadrado con
duplicado: P = 2b + 2h = 2(20) + 2(30)
= 100 cm
9-6
Describe el efecto de cada cambio sobre el perímetro o la
circunferencia y el área de la figura dada.
nʓ
Èʓ
£äʓ
42. dentro del rectángulo, pero no dentro del hexágono,
triángulo o círculo
Vocabulario
altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
círculo máximo . . . . . . . . . . . . . . . 714
pirámide regular. . . . . . . . . . . . . . 689
altura de un cono . . . . . . . . . . . . . 690
cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
plantilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
altura de una pirámide . . . . . . . . 689
cono oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
altura inclinada de un cono
recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
cono recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
prisma oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 680
altura inclinada de una
pirámide regular . . . . . . . . . . . 689
dibujo en perspectiva . . . . . . . . . 662
prisma recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
dibujo isométrico . . . . . . . . . . . . . 662
punto de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . 662
dibujo ortográfico . . . . . . . . . . . . 661
radio de una esfera . . . . . . . . . . . 714
eje de un cilindro . . . . . . . . . . . . . 681
sección transversal . . . . . . . . . . . 656
eje de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . 690
superficie lateral . . . . . . . . . . . . . . 681
esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
vértice de un cono . . . . . . . . . . . . 690
hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
vértice de una pirámide . . . . . . . 689
horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
área total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
arista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
arista lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cara lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
centro de una esfera . . . . . . . . . . 714
cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cilindro oblicuo. . . . . . . . . . . . . . . 681
pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cilindro recto . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a)
? tiene, por lo menos, una cara lateral no rectangular.
−−−−
2. Un nombre que se da a la intersección de una figura tridimensional y un plano es
10-1
? .
−−−−
Geometría de cuerpos geométricos (págs. 654–660)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Clasifica la figura. Identifica los
vértices, las aristas y bases.
prisma pentagonal
vértices: A, B, C, D, E, F,
G, H, J, K
−− −− −− −− −− −− −−− −− −−
aristas: AB, BC, CD, DE, AE, FG, GH, HJ, JK,
−− −− −− −− −− −−
KF, AF, EK, DJ, CH, BG
Clasifica cada figura. Identifica los vértices, las aristas y
bases.
3.
4.
que se puede formar con la
plantilla dada.
-
+
,
bases: ABCDE, FGHJK
■ Describe la figura tridimensional
*
Describe la figura tridimensional que se puede formar con
la plantilla dada.
5.
6.
La plantilla forma un prisma
rectangular.
Capítulo 10 Razonamiento espacial
37
10-2
Representaciones de figuras tridimensionales (págs. 661–668)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Dibuja las seis
vistas ortográficas del
objeto dado. Haz de cuenta
que no hay cubos escondidos.
Superior:
Inferior:
Usa la figura compuesta de cubos
individuales para los Ejercicios
del 7 al 10. Haz de cuenta que no
hay cubos escondidos.
7. Dibuja las seis vistas ortográficas.
8. Dibuja una vista isométrica.
Frontal:
Trasera:
9. Dibuja el objeto en perspectiva de un punto.
10. Dibuja el objeto en perspectiva de dos puntos.
Lado izquierdo:
Lado derecho:
Determina si cada dibujo representa el objeto dado. Haz de
cuenta que no hay cubos escondidos.
■ Dibuja una vista isométrica
del objeto dado. Haz de cuenta
que no hay cubos escondidos.
11.
10-3
12.
Fórmulas en tres dimensiones (págs. 670–677)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla la cantidad de vértices,
aristas y caras del poliedro dado.
Usa tus resultados para verificar
la fórmula de Euler.
Halla la cantidad de vértices, aristas y caras de cada
poliedro. Usa tus resultados para verificar la fórmula de
Euler.
13.
14.
V = 12, E = 18, F = 8
12 - 18 + 8 = 2
■ Halla la distancia entre los puntos
(6, 3, 4) y (2, 7, 9). Halla el punto medio del
segmento con los extremos dados. Redondea a la
décima más cercana si es necesario.
Halla la distancia entre los puntos dados. Halla el punto
medio del segmento con los extremos dados. Redondea a
la décima más cercana si es necesario.
distancia:
15. (2, 6, 4) y (7, 1, 1)
d=
2
2
2
2 - 6) + (7 - 3) + (9 - 4)
√(
17. (7, 2, 6) y (9, 1, 5)
≈ 7.5
= √57
18. (6, 2, 8) y (2, 7, 4)
punto medio:
(
6+2 3+7 4+9
M _, _ , _
2
2
2
)
M (4, 5, 6.5)
38
16. (0, 3, 0) y (5, 7, 8)
Guía de estudio: Repaso
10-4
Área total de prismas y cilindros (págs. 680–687)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla el área lateral y el área total de cada cilindro o
prisma recto.
Halla el área lateral y el área total de cada prisma o cilindro
recto. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
■
19.
ÇʫՏ}
ÓäÊÞ`
£äÊÞ`
£äʫՏ}
ÇʫՏ}
L = Ph = 28(10) = 280 pulg 2
20. un cubo con lados con longitud de 5 pies
S = Ph + 2B = 280 + 2(49) = 378 pulg 2
21. un prisma triangular equilátero con una altura de 7 m y
longitudes de aristas de la base de 6 m
■ un cilindro con un radio de 8 m y una altura
de 12 m
22. un prisma pentagonal regular con una altura de 8 cm y
L = 2πrh = 2π(8)(12) = 192π ≈ 603.2 m 2
una longitud de aristas de la base de 4 cm
2
S = L + 2B = 192π + 2π(8) = 320π
≈ 1005.3 m 2
10-5
Área total de pirámides y conos (págs. 689–696)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla el área lateral y el área total de cada pirámide o
cono recto.
Halla el área lateral y el área total de cada pirámide recta o
cono recto.
■
23. una pirámide cuadrada con lados con longitud de 15
£xʓ
pies y una altura inclinada de 21 pies
£Èʓ
24. un cono con un radio de 7 m y una altura de 24 m
El radio es 8m, por lo tanto, la altura inclinada es
25. un cono con un diámetro de 20 pulg y una altura
inclinada de 15 pulg
2
2
√8 + 15 = 17 m.
L = πr = π(8)(17) = 136π m 2
2
Halla el área total de cada figura compuesta.
2
S = πr + πr = 136π + (8) π = 200π m
2
26.
£Óʓ
nʓ
ÎäÊ«ˆiÃ
■ una pirámide hexagonal regular cuyas aristas de la
base miden 8 pulg y cuya altura inclinada es
20 pulg.
1
1
L = _P = _(48)(20) = 480 pulg 2
2
2
1
S = L + B = 480 + _(4 √
3 )(48) ≈ 646.3 pulg 2
2
10-6
27.
£Èʓ
nÊ«ˆiÃ
ÓäÊ«ˆiÃ
£Óʓ
Volumen de prismas y cilindros (págs. 697–704)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla el volumen de cada prisma.
■ Halla el volumen
del prisma.
28.
29.
£ÓÊV“
( )
1
V = Bh = _aP h
2
1 ( √)( )( )
_
= 4 3 48 12
2
≈ 1995.3 cm 3
= 1152 √3
nÊV“
£äÊ
«ˆiÃ
£ÓÊ«ˆiÃ
™Ê«ˆiÃ
£xÊV“
nÊV“
Capítulo 10 Razonamiento espacial
39
■ Halla el volumen del cilindro.
2
Halla el volumen de cada cilindro.
2
V = πr h = π(6) (14)
= 504π ≈ 1583.4 pies
30.
31.
Îʓ
3
ÈÊ«ˆiÃ
£ÈÊ
«Õ}
£{Ê«ˆiÃ
xʓ
£xʫՏ}
10-7
Volumen de pirámides y conos (págs. 705–712)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla el volumen de cada pirámide o cono.
■ Halla el volumen
de la pirámide.
1
1
V = _Bh = _(8 · 3)(14)
3
3
= 112 pulg 3
32. una pirámide hexagonal con un área de base de 42 m 2
£{Ê
«Õ}
y una altura de 8 m
33. una pirámide triangular equilátera con aristas de base
de 3 cm y una altura de 8 cm
ÎʫՏ}
nʫՏ}
34. un cono con un diámetro de 12 cm y una altura
de 10 cm
■ Halla el volumen del cono.
1
1
2
V = _πr 2h = _π(9) (16)
3
3
= 432π pies 3 ≈ 1357.2 pies 3
35. un cono con un área de base de 16π pies 2 y una altura
de 9 pies
£ÈÊ
«ˆiÃ
™Ê«ˆiÃ
Halla el volumen de cada figura compuesta.
nÊ«ˆiÃ
36.
37.
£ÈÊV“
£ÓÊ
«ˆiÃ
£äÊV“
£äÊV“
10-8
£äÊV“
Esferas (págs. 714–721)
EJERCICIOS
EJEMPLO
Halla cada medida. Da tus respuestas en función de π.
■ Halla el volumen y el área
total de la esfera. Da tus respuestas
en función de π.
4
4
3
V = _πr 3 = _π(9) = 972π m 2
3
3
2
S = 4πr 2 = 4π(9) = 324π m 2
£nʓ
38. el volumen de una esfera con un área total de 100 π m 2
39. el área total de una esfera con un volumen de
288π pulg 3
40. el diámetro de una esfera con un área total de
256π pies 2
Halla el área total y el volumen de cada figura compuesta.
ÈÊV“
41.
ÇÊV“
£äÊV“
Guía de estudio: Repaso
ÇÊ«ˆiÃ
ÎÊ
«ˆiÃ
xÊV“
40
42.
Vocabulario
ángulo central . . . . . . . . . . . . . . . . 756
círculos congruentes . . . . . . . . . . 747
segmento de un círculo . . . . . . . 765
ángulo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . 772
círculos tangentes . . . . . . . . . . . . 747
segmento secante . . . . . . . . . . . . . 793
arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
segmento secante externo . . . . . 793
arco abarcado . . . . . . . . . . . . . . . . 772
exterior de un círculo . . . . . . . . . 746
segmento tangente . . . . . . . . . . . 794
arco mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
interior de un círculo . . . . . . . . . 746
semicírculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
arco menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . 766
subtender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
arcos adyacentes . . . . . . . . . . . . . 757
punto de tangencia . . . . . . . . . . . 746
tangente común . . . . . . . . . . . . . . 748
arcos congruentes . . . . . . . . . . . . 757
secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
tangente de un círculo . . . . . . . . 746
círculos concéntricos . . . . . . . . . 747
sector de un círculo . . . . . . . . . . . 764
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a)
? es una región limitada por un arco y una cuerda.
−−−−
2. Un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo se llama
? .
−−−−
es 360° menos la medida de su ángulo central.
3. La medida de un(a)
4. Los/las
?
−−−−
11-1
?
−−−−
son círculos coplanares con el mismo centro.
Líneas que se intersecan con círculos (págs. 746–754)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Identifica cada línea o segmento que se
interseca con A.
−−
cuerda: DE
tangente: BC
−− −− −−
radios: AE, AD y AB
secante: DE
−−
diámetro: DE
−− −−
■ RS y RW son tangentes a T. RS = x + 5
y RW = 3x - 7. Halla RS.
RS = RW
x + 5 = 3x - 7
-2x + 5 = -7
-2x = -12
x=6
RS = 6 + 5
= 11
2 seg. tangentes a desde el
mismo pto. ext. → seg. .
Sustituye los valores dados.
Resta 3x de ambos lados.
Resta 5 de ambos lados.
Divide ambos lados entre -2.
Sustituye y por 6.
Simplifica.
Identifica cada línea o segmento que se interseca con cada
círculo.
5.
Ű
*
+
1
6
6.
Dadas las medidas de los siguientes segmentos que son
tangentes a un círculo, halla cada longitud.
7. AB = 9x - 2 y BC = 7x + 4. Halla AB.
8. EF = 5y + 32 y EG = 8 - y. Halla EG.
9. JK = 8m - 5 y JL = 2m + 4. Halla JK.
10. WX = 0.8x + 1.2 y WY = 2.4x. Halla WY.
Capítulo 11 Círculos
41
11-2
Arcos y cuerdas (págs. 756–763)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
■ mBF
∠BAF y ∠FAE son
suplementarios, por lo tanto,
m∠BAF = 180° - 62° = 118°.
= m∠BAF = 118°
mBF
Halla cada medida.
12. mHMK
ÈÓÂ
11.
mKM
x£Â
13. mJK
Îä 14. mMJK
■ mDF
= 90°.
Como m∠DAE = 90°, mDE
= 62°.
m∠EAF = 62°, por lo tanto, mEF
Según el postulado de la suma de arcos,
= mDE
+ mEF
= 90° + 62° = 152°.
mDF
Halla cada longitud a la décima más cercana.
,
15. ST
16. CD
{
-
/
Ó°x
Ç
+
11-3
Área de sectores y longitud de arcos (págs. 764–769)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
*
■ Halla el área del sector PQR.
Da tu respuesta en función de π
y redondéala a la centésima
más cercana.
m°
A = πr 2 _
360°
Halla el área de cada sector. Da tu respuesta en función de
π y redondéala a la centésima más cercana.
17. sector DEF
+ £ÎxÂ
( )
135°
= π (4) (_)
360
3
= 16π (_)
8
{ʓ
18. sector JKL
Îä £Ó
,
2
£Ê“
™äÂ
Halla cada longitud de arco. Da tu respuesta en función de
π y redondéala a la centésima más cercana.
19. GH
20. MNP
≈ 18.85 m 2
ÓÇäÂ
. Da tu
■ Halla la longitud de AB
respuesta en función de π
y redondéala a la centésima
más cercana.
m°
L = 2πr _
360°
( )
80°
= 2π (9)(_)
360°
4
= 18π (_)
9
= 8π pies
≈ 25.13 pies
Guía de estudio: Repaso
= 6π m 2
42
™Ê«ˆiÃ
£ÈäÂ
£nÊV“
ÓÊ«ˆiÃ
näÂ
*
11-4
Ángulos inscritos (págs. 772–779)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
Halla cada medida.
■ m∠ABD
Según el teorema del
£änÂ
ángulo inscrito,
, por lo tanto,
m∠ABD = __12 mAD
1
__
m∠ABD = 2 (108°)= 54°.
ÓnÂ
21. mJL
22. m∠MKL
È{Â
nÓÂ
Halla cada valor.
■ mBE
23. x
Según el teorema del ángulo inscrito,
1 . Por lo tanto, 28° = __
mBE,
m∠BAE = __12 mBE
2
y mBE = 2 (28°) = 56°.
­ÎÝÊÊ£Ó®Â
,
24. m∠RSP
*
­ÎÞÊÊήÂ
­xÞÊÊÓ£®Â
11-5
+
Relaciones de ángulos en círculos (págs. 782–789)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Halla cada medida.
■ m∠UWX
1 m∠UWX = _mUW
2
1
= _ (160°)
2
= 80°
Halla cada medida.
£ÈäÂ
8
1
25. mMR
26. m∠QMR
{£Â
7
£ÓäÂ
9
+
,
6
■ mVW
27. m∠GKH
Como m∠UWX = 80°, m∠UWY = 100°
.
y m∠VWY = 50°. m∠VWY = __12 mVW
y mVW
= 2(50°) = 100°.
Por lo tanto, 50° = __12 mVW
■ m∠AED
1
)
+ mBC
m∠AED = _(mAD
2
1
= _ (31° + 87°)
2
1
= _(118°)
2
= 59°
*
ΣÂ
nÇÂ
™ÎÂ
{£Â
28. Una pieza artística de
cordel se crea colocando 16
clavos con espacios iguales
entre sí alrededor de la
circunferencia de un círculo.
Se pasa un trozo de cordel de
A a B a C a D. ¿Cuánto mide
m∠BXC?
8
Capítulo 11 Círculos
43
11-6
Relaciones de segmentos en círculos (págs. 792–798)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Halla el valor de x y la longitud
Halla el valor de la variable y la longitud de cada cuerda.
29.
30.
de cada cuerda.
£Ó
AE EB = DE EC
12x = 8(6)
n
12x = 48
Ç
È
Ý
x=4
Î
x
£x
Þ
*
£ä
,
AB = 12 + 4 = 16
+
â
n
/
DC = 8 + 6 = 14
■ Halla el valor de x y la longitud
{
cada segmento secante.
FJ FG = FK FH
16(4) = (6 + x)6
Halla el valor de la variable y la longitud de cada segmento
secante.
31.
È
Ý
£Ó
x
x
Círculos en el plano cartesiano (págs. 799–805)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
■ Escribe la ecuación del A que pasa por (-1, 1) y
tiene centro A(2, 3).
La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r
2
2
es (x - h) + (y - k) = r 2.
2 -(-1)) + (3 - 1) = √
3 + 2 = √
13
√(
2
2
2
2
2
Escribe la ecuación de cada círculo.
33. A con centro (-4, -3) y radio 3
34. B que pasa por (-2, -2) y tiene el centro B(-2, 0)
35. C
{
2
4 = 2.
El centro del círculo es (2, -1) y el radio es √
{
Ó
ä
Ó
Ó
Ý
{
Þ
{
Ý
ä
­Ó]Ê£®
{
44
Ó
2
■ Representa gráficamente (x - 2) + (y + 1) = 4.
{
Þ
2
La ecuación del A es (x - 2) + (y - 3) = 13.
{
È
_
r=
x
Ý
{
28 = 6x
2
x = 4_
3
FJ = 12 + 4 = 16
2
2
FK = 4 + 6 = 10_
3
3
11-7
Þ
{
64 = 36 + 6x
32.
Guía de estudio: Repaso
36. Representa gráficamente (x + 2)2 + (y - 2)2 = 1.
Vocabulario
agrandamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
centro de dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
composición de transformaciones . . . . . . . . . . . . 848
simetría de reflexión con deslizamiento . . . . . . . 863
reflexión con deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
simetría de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
simetría de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
isometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
teselado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
patrón de friso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
teselado regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
teselado semirregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a)
?
es un patrón formado por polígonos regulares congruentes.
−−−−
2. Un patrón que tiene simetría de traslación a lo largo de una línea se llama
? .
−−−−
3. Una transformación que no cambia el tamaño o forma de una figura es un(a) ? .
−−−−
4. Una transformación seguida de otra se llama ? .
−−−−
12-1
Reflexiones (págs. 824–830)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Refleja la figura con los vértices dados sobre la
línea dada.
Indica si cada transformación parece ser una reflexión.
5.
6.
7.
8.
A(1, -2), B(4, -3), C(3, 0); y = x
Para reflejar sobre la línea y = x, intercambia las
coordenadas x e y de cada punto. Las imágenes de
los vértices son A'(-2, 1), B'(-3, 4) y C'(0, 3).
Ī
{
Þ
Ī
Ý
Ī
{
Ó
{
Ó
ÞÊÊÝ {
Refleja la figura con los vértices dados sobre la línea dada.
9.
10.
11.
12.
E(-3, 2), F(0, 2), G(-2, 5); eje x
J(2, -1), K(4, -2), L(4, -3), M(2, -3); eje y
P(2, -2), Q(4, -2), R(3, -4); y = x
A(2, 2), B(-2, 2), C(-1, 4); y = x
Capítulo 12 Cómo extender la geometría transformacional
45
12-2
Traslaciones (págs. 831–837)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Traslada la figura con los vértices dados a lo largo
del vector dado.
Indica si cada transformación parece ser una traslación.
13.
14.
15.
16.
D(-4, 4), E(-4, 2), F(-1, 1), G(-2, 3); 〈5, -5〉
Para trasladar a lo largo de 〈5, -5〉, suma 5 a
la coordenada x de cada punto y suma -5 a la
coordenada y de cada punto. Los vértices de la
imagen son D'(1, -1), E'(1, -3), F'(4, -4) y
G'(3, -2).
{
{
Þ
Ý
Ó
ä Ī
Ó
{
Traslada la figura con los vértices dados a lo largo del
vector dado.
{
Ī
17. R(1, -1), S(1, -3), T(4, -3), U(4, -1); 〈-5, 2〉
Ī
Ī
18. A(-4, -1), B(-3, 2), C(-1, -2); 〈6, 0〉
19. M(1, 4), N(4, 4), P(3, 1); 〈-3, -3〉
20. D(3, 1), E(2, -2), F(3, -4), G(4, -2); 〈-6, 2〉
12-3
Rotaciones (págs. 839–845)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Rota la figura con los vértices dados alrededor del
origen usando el ángulo de rotación dado.
Indica si cada transformación parece ser una rotación.
21.
22.
23.
24.
A(-2, 0), B(-1, 3), C(-4, 3); 180°
Para rotar la figura 180°, halla los opuestos de las
coordenadas x e y de cada punto. Los vértices de la
imagen son A'(2, 0), B'(1, -3) y C'(4, -3).
Þ
Ó
Ý
Ī
{
ä
{
Ó
{
Ī
Ī
Rota la figura con los vértices dados alrededor del origen
usando el ángulo de rotación dado.
25. A(1, 3), B(4, 1), C(4, 4); 90°
26. A(1, 3), B(4, 1), C(4, 4); 180°
27. M(2, 2), N(5, 2), P(3, -2), Q(0, -2); 90°
28. G(-2, 1), H(-3, -2), J(-1, -4); 180°
46
Guía de estudio: Repaso
12-4
Composiciones de transformaciones (págs. 848–853)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Traza el resultado de la composición de isometrías.
Traslada el MNP a lo largo de v
, y luego, refléjalo
sobre la línea .
Traza el resultado de la composición de isometrías.
29. Traslada ABCD a lo largo de v, y luego, refléjalo sobre la
línea m.
ÛЬÊ
Ű
ÛЬÊ
*
Primero traza M'N'P', la imagen de traslación de
MNP. Luego, refleja M'N'P' sobre la línea para
hallar la imagen final, M''N''P''.
ĪĪ
30. Refleja JKL sobre la línea m y luego, rótalo 90°
alrededor del punto P.
*ĪĪ
“
ĪĪ
*
Ű
Ī
*
Ī
12-5
“
ÛЬÊ
*Ī
Simetría (págs. 856–862)
EJEMPLO
Indica si cada figura tiene simetría de rotación. Si la
tiene, da el ángulo de simetría de rotación y el orden
de la simetría.
EJERCICIOS
Indica si cada figura tiene simetría axial. Si la tiene, copia
la figura y traza todos los ejes de simetría.
31.
32.
■
no tiene simetría rotacional
■
La figura coincide consigo misma cuando se rota
90°. Por lo tanto, el ángulo de simetría de rotación es
de 90°. El orden de simetría es 4.
Indica si cada figura tiene simetría de rotación. Si la tiene,
da el ángulo de simetría de rotación y el orden de simetría.
33.
34.
35.
36.
™äÂ
Capítulo 12 Cómo extender la geometría transformacional
47
12-6
Teselados (págs. 863–869)
EJERCICIOS
EJEMPLOS
Copia la figura dada y úsala para crear un teselado.
■ Copia la figura dada y úsala para crear
un teselado. Rota el cuadrilátero
180° alrededor del punto
medio de un lado.
Traslada el par de cuadriláteros resultante para
formar una fila.
Traslada la fila para hacer un teselado.
37.
38.
39.
40.
Clasifica cada teselado como regular, semirregular o
ninguno.
41.
■ Clasifica el teselado
como regular,
semirregular o ninguno.
42.
El teselado está formado
dos polígonos regulares
diferentes y cada vértice
tiene los mismos
polígonos en el mismo
orden. Por lo tanto, el teselado es semirregular.
12-7
Dilataciones (págs. 872–879)
EJERCICIOS
EJEMPLO
■ Dibuja la imagen de la figura con los vértices
Indica si cada transformación parece ser una dilatación.
dados debajo de una dilatación con centro en el
origen usando el factor de escala dado.
A(0, -2), B(2, -2), C(2, 0); factor de escala: 2
Multiplica por 2 las
coordenadas x e y de
cada punto. Los vértices
de la imagen son A'(0, -4),
B'(4, -4) y C'(4, 0).
{
ä
Ó
{
Guía de estudio: Repaso
Ī Ý
Ó
44.
Þ
Ó
{
48
43.
Ī
Ī
Dibuja la imagen de la figura con los vértices dados debajo
de una dilatación con centro en el origen usando el factor
de escala dado..
1
45. R(0, 0), S(4, 4), T(4, -4); factor de escala: -_
2
46. D(0, 2), E(-2, 2), F(-2, 0); factor de escala: -2