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Capitulo 2
Unidades Temáticas
2.1 Transformaciones Isométricas
Contenido
- Traslación, simetría y rotación de figuras planas.
- Construcción de figuras por traslación, por simetría y por rotación en 60°, 90°,
120° y 180°.
Aprendizaje Esperado
- Caracteriza la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.
- Describe los cambios que observan entre una figura y su imagen por traslación,
rotación o simetría.
- Construye, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras
simétricas, trasladadas y rotadas.
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Actividades para el aprendizaje, indicaciones al estudiante.
Una isometría es una transformación que experimentan las figuras en
el plano de modo que las figuras transformadas resultan congruentes
con las figuras originales.

Isometrías
Hay varios tipos de transformaciones y comenzaremos a estudiarlas ahora:
I Simetría Axial.
Actividad 1
1.1 Con el botón
, dibuja 3 puntos no colineales que
representaran los vértices de un triángulo cualquiera, asígnales
las letras A, B y C.
1.2 Selecciona el botón
1.3 Selecciona el botón
y selecciona los puntos ABC.
y dibuja 2 puntos en la región exterior del  ABC,
asígnale las letras D y E.
1.4 Selecciona el botón
y marca los puntos D y E.
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1.5 Selecciona el botón
y haz clic en el polígono
y luego sobre la recta. Debes obtener un nuevo
polígono.
1.6 Selecciona el botón
y haz clic en el polígono
creado en el punto 1.5, asígnale el color verde.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados de los triángulos originales y
transformado?
b) ¿Qué ocurre con los ángulos de los triángulos originales y transformado?
Utilizando la herramienta
, selecciona uno de los vértices del polígono ABC y
desplázalo por la pantalla.
c) ¿Qué ocurre con los triángulos?
Actividad 2
2.1 Selecciona el menú Archivo y luego la opción Guardar
2.2 Repite los pasos desde 1.1 a 1.6 del procedimiento anterior pero con un
cuadrilátero.
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y de los ángulos del nuevo
cuadrilátero?
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Actividad 3
3.1 Dibuja un  ABC y una recta, utilizando el procedimiento anterior.
3.2 Selecciona la herramienta
y haz clic en la recta
y luego en el vértice A del triángulo, utilizando el
botón
marca el punto de intersección entre las dos
rectas.
3.3 Selecciona la herramienta
y haz clic en el
punto de intersección de las rectas y luego en el
vértice A del triángulo (de esta manera se fija el radio
de la circunferencia); a continuación marca el punto
de intersección de la circunferencia con la recta que
pasa por A, asignándole la letra A'.
3.4 Dibuja 2 rectas paralelas a la recta AA’, que
pasen por los vértices B y C del  ABC,
3.5 Repite el paso 3.3 con las dos rectas restantes,
hasta obtener los puntos B' y C', tal como muestra la
figura.
3.6 Utilizando la herramienta
, selecciona los
puntos A', B' y C' (de esta manera se visualiza el
polígono).
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3.7 Selecciona el botón
y haz clic en la primera
circunferencia creada, y en la sección visibilidad,
selecciona ocultar y luego presiona cerrar.
3.8 Repite el paso 3.7 con las circunferencias
restantes y las rectas AA' ; BB' ; CC'.
3.9 Selecciona el botón
y haz clic en el  ABC, cambia el color.
3.10 Repite el paso 3.9 con el  A'B'C'.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados correspondientes de los  ABC y
 A'B'C'?
Sugerencia: Puedes utilizar la herramienta
para determinar la medida de los
lados.
b) ¿Qué relación tienen los ángulos de los  ABC y  A'B'C'?
Sugerencia: Puedes utilizar la herramienta
para determinar la medida de los
ángulos.
3.11 Selecciona uno de los vértices del  ABC y desplázalo por la pantalla
c) ¿Qué ocurre con el  A'B'C'?
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Actividad 4
4.1 Selecciona el menú Archivo y luego la
opción Guardar
4.2 Repite el procedimiento anterior pero con un
pentágono, tal como muestra la figura.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulos de los polígonos?
Actividad 5
5.1 Selecciona el menú Editar y luego la opción Mostrar u ocultar la rejilla, o
bien, presionando las teclas Control + G.
5.2 Crea un polígono que tenga por vértices los
puntos: (-4,2);(-5,4);(-3,5);(-2,3)
5.3 Determina la figura simétrica con respecto al
eje X y luego al eje Y.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los cuadriláteros
construidos?
b) ¿Qué puedes concluir respecto de la ubicación de los vértices de los
cuadriláteros creados con respecto a los ejes del plano cartesiano?
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Sugerencia: Desplaza el cuadrilátero original.
c) ¿Qué ocurre con los cuadriláteros de los cuadrantes I y III?
II Simetría Central.
Actividad 6
6.1 Con el
botón
, dibuja 4 puntos que
representaran los vértices de un cuadrilátero
cualquiera.
6.2 Utilizando el botón apariencia asígnale los
nombres A, B, C y D a los puntos creados.
6.3 Selecciona el botón
y haz clic en los puntos
A, B, C y D.
6.4 Con el botón correspondiente dibuja un punto
cualquiera (fuera del polígono)
6.5 Asígnale el nombre CS(Centro de Simetría)
6.6 Selecciona la herramienta
y haz clic en
el polígono y luego sobre el punto CS
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Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de sus lados y los ángulos de los polígonos?
b) ¿Qué ocurre si desplazas algún vértice del polígono ABCD?
c) ¿Qué ocurre si desplazas el centro de simetría (CS)?
Actividad 7
7.1 Con el botón
, dibuja 4 puntos y asígnale las
letras A, B, C y
D.
7.2 Con el botón
, selecciona los puntos A, B, C y D.
7.3 Con el botón correspondiente dibuja un punto
cualquiera (fuera del polígono), asígnale el nombre
CS(centro de simetría).
7.4 Selecciona el botón Semirrecta. Haz clic en el
punto A y luego en el punto CS.
7.5 Dibuja una circunferencia seleccionando el
botón
, haz clic en el punto CS y luego en el
punto A, marca el punto de intersección entre la
circunferencia y la semirrecta, asignándole el nombre
A'.
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7.6 Repite el paso 7.5 con los puntos B, C y D.
7.7 Dibuja un polígono con los puntos A'B'C'D'.
7.8 Oculta las circunferencias y las rectas, tal como
muestra la figura.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos ABCD
y A'B'C'D'?
b) ¿Qué ocurre si se desplaza el punto CS por la pantalla?
c) ¿Qué ocurre si desplazas algún vértice del polígono ABCD?
Actividad 8
8.1 Selecciona el menú Archivo y luego la opción Guardar
8.2 Construya un polígono siguiendo los pasos 7.1 a 7.8 y luego su figura
simétrica utilizando un vértice como punto de simetría central.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre si se desplaza el punto CS(vértice) por la pantalla?
b) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?
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Actividad 9
9.1 Selecciona el menú Editar y luego la opción
Mostrar u ocultar la rejilla, o bien, con las
teclas Control + G.
9.2 Dibuja un pentágono que tenga por vértices
los puntos: (4,4);(7,3);(6,1);(5,2);(3,2)
9.3 Determina la figura simétrica con respecto al
Centro de Simetría (0,0).
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿ Qué ocurre si desplazas algún vértice del pentágono?
b) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?
III Traslación.
Actividad 10
10.1 Dibuja un polígono con 3 vértices A, B y C.
10.2 Con el botón correspondiente dibuja 2 puntos (en el exterior del  ABC),
asignándoles las letras D y E.
10.3 Selecciona el botón
y haz clic en los
puntos D y E.
10.4 Selecciona el botón
y haz clic en el
 ABC y luego en el vector DE .
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Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?
10.5 Selecciona el punto E del vector y desplázalo por la pantalla.
b) ¿Qué ocurre con los triángulos construidos?
10.6 Selecciona el punto E y hazlo coincidir con el punto D.
c) ¿Qué ocurre con los triángulos construidos?
Actividad 11
11.1 Selecciona el menú Archivo y luego la opción Guardar.
11.2 Inventa un hexágono y repite desde el paso 10.1 al 10.4 pero con un sentido
ED (opuesto del vector con respecto al de la actividad 10).
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los ángulos y lados homólogos de estos
hexágonos?
b) ¿Qué diferencia tiene en relación a la construcción anterior?
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Actividad 12
12.1 Dibuja un triángulo que tenga por vértices los puntos A, B y C.
12.2 Con el botón correspondiente dibuja 2 puntos
(en el exterior del  ABC), asígnale las letras D y E
12.3 Selecciona el botón Vector y haz clic en los
puntos creados en 12.2
12.4 Dibuja rectas paralelas al vector que pasen por
los vértices A, B y C del polígono.
12.5 Mide la longitud del vector utilizando el
botón
12.6 Selecciona el botón circunferencia y haga clic
en un vértice del  ABC y luego en la medida del
vector.
12.7 Marca el punto de intersección entre la
circunferencia
y
la
recta
asignándole el nombre A’
que
pasa
por
A,
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12.8 Repite el paso anterior con el resto de los
vértices del polígono.
12.9 Marca los puntos de intersección entre las
rectas y las circunferencias, asignándoles los
nombres B' y C', según corresponde el vértice
del  ABC.
12.10 Con los puntos obtenidos en el paso
anterior dibuja un polígono.
12.11 Utilizando el botón Apariencia, oculta las
rectas y las circunferencias.
12.12 Selecciona el punto E del vector y desplázalo por la pantalla.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con el  A'B'C'?
12.13 Selecciona el punto E y hazlo coincidir con el punto D.
b) ¿Qué ocurre con los  ABC y  A'B'C'?
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Actividad 13
13.1 Repite los pasos 12.1 a 12.11 pero con un
hexágono no convexo, tal como muestra la figura.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué relación tienen las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?
Selecciona un punto del vector y desplázalo por la pantalla.
b) ¿Qué ocurre con los polígonos?
c) ¿Qué ocurre con las circunferencias?
Actividad 14
14.1 Selecciona el menú Editar y luego la opción Mostrar u ocultar la rejilla, o
bien, con las teclas Control + G.
14.2 Dibuja un polígono que tenga por vértices los
puntos: (1,1);(1,4);(3,2)
14.3 Traslada la figura en 3 unidades y con dirección
horizontal.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?
b) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo?
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IV Rotación.
Actividad 15
15.1 Dibuja un pentágono que tenga por vértices los puntos A, B, C, D y E
15.2 Dibuja 3 puntos cualquiera (en el exterior del
pentágono) F, G y H.
15.3 Utilizando el botón Segmento une los puntos
FG y GH.
15.4 Con el botón Angulo, selecciona los puntos F, G y H.
15.5 Mueva uno de los puntos de tal manera que el ángulo mida 60°.
15.6 Dibuja un punto y asígnale el nombre CG
(Centro de Giro).
15.7 Utilizando el botón
, selecciona el
pentágono ABCDE, el punto CG y el  FGH.
15.8 Selecciona el punto H y desplázalo por la
pantalla
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿ Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los pentágonos?
15.9 Desplaza el punto H de tal manera que el ángulo quede en 0.
b) ¿Qué ocurre con los polígonos?
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Actividad 16
16.1 Selecciona el menú Archivo y luego la opción Guardar
16.2 Crea un polígono y repite los pasos 15.1 a 15.8 pero con un ángulo de 90°.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?
Actividad 17
17.1 Dibuja 4 puntos, asígnale los nombres A, B, C y D,
luego dibuja un polígono con estos puntos.
17.2 Dibuja un punto y asígnale el nombre CG(Centro
de Giro).
17.3 Con el botón circunferencia haz clic en CG y luego en A.
17.4 Repite el paso 17.3 con todos los vértices
del polígono. Utilizando el botón
, mide los
lados del polígono.
17.5 Dibuja un punto en la circunferencia,
asígnale el nombre C'.
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17.6 Active la herramienta Circunferencia y
haz clic en el punto C' y luego en la medida CD,
marca los puntos de intersección, asígnale el
nombre D'.
17.7 Determina todos los puntos de intersección
que determinaran los vértices del nuevo polígono,
para esto, repite el procedimiento.
17.8 Utilizando el botón apariencia oculta todas
las circunferencias.
17.9 Una con segmentos los puntos C-CG y CG-C'
17.10 Con el botón ángulo selecciona los puntos
C-CG-C'
17.11Utilizando el botón movimiento, desplaza el punto C', hasta que el ángulo
quede en 90°.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?
b) ¿Qué relación tienen los ángulos C-CG-C' y A-CG-A'?
Sugerencia: Utilice el botón Angulo para determinar la medida de los ángulos.
c) Desplaza el punto C' de tal manera que el ángulo quede en 0.
d) ¿Qué ocurre con los polígonos?
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Actividad 18
18.1 Dibuja un pentágono no convexo que
tenga por vértices los puntos A, B, C, D y E, y
un Centro de Giro CG.
18.2 Con el botón Semirrecta haz clic en A y
luego en CG,
18.3 Dibuja una circunferencia de centro CG y
radio ACG .
18.4 Marca la intersección de la semirrecta con
la circunferencia, asignándole el nombre A'.
18.5 Repite los pasos 18.2 a 18.4 con el
resto de los vértices.
18.6 Dibuja un polígono que tenga por
vértices los puntos A', B', C', D' y E'
18.7 Oculta las circunferencias y semirrectas.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Cuál es el ángulo de Giro?
b) ¿Qué propiedades cumplen estos polígonos?
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Actividad 19
19.1 Selecciona el menú Editar y luego la
opción Mostrar u ocultar la rejilla, o bien,
presionando las teclas Control + G.
19.2 Crea un polígono que tenga por vértices
los puntos: (2,2);(5,2);(4,3);(5,4);(3,4)
19.3 Rota el polígono en 90°, 120°, 180°.Con
respecto al punto (0,0)
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿ Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?
b) ¿Qué Puedes concluir respecto a la ubicación de los vértices de los polígonos
creados con respecto a los ejes del plano cartesiano?
36

Teselación.
Según la Real Academia Española, edición XIX del diccionario, la palabra tesela
(del latín, tessella) significa "Cada una de las piezas cúbicas de mármol, piedra,
barro cocido o cualquier otra material, con que los antiguos formaban los
pavimentos de mosaico"
Actividad 20
20.1 Dibuja un triángulo equilátero ABC.
20.2 Utilizando el botón
, marca el punto medio del
lado AB, asignándole el nombre SC.
El primer paso es determinar el polígono simétrico al polígono creado con respecto
al punto medio del lado de este.
Simetría Central: Son aquellas transformaciones isométricas que invierten los
puntos y figuras del plano. Esta reflexión es respecto a un punto
20.3 Dibuja una semirrecta que tenga como extremo el punto C y que pase por el
punto SC.
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20.4 Dibuja una circunferencia cuyo centro sea el punto
SC y que pase por C.
20.5 Determina el punto de intersección entre la
semirrecta y la circunferencia, asignándole la letra C’.
20.6 Utiliza la herramienta polígono para unir los puntos
A, C´ y B.
20.7 Determina los puntos medios de los lados AC y BC
del triángulo y utilízalos como simetría central repitiendo
los pasos 20.3 a 20.6.
20.8 Repite los pasos20.2 a 20.20.6 tantas veces como
polígonos quieras crear.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción? ¿Por qué?
b) ¿Es posible identificar las transformaciones isométricas utilizadas?¿Cuál(es)?
20.9 Repite los pasos 20.1 a 20.8 pero con un cuadrado y luego con un hexágono.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Es posible cubrir el plano con estas construcciones?
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b) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?
c) ¿Qué tienen en común estas construcciones?
20.10 Repite los pasos 20.1 a 20.8 pero con un pentágono regular
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción?
b) ¿Qué diferencia tienen estos polígonos?
c) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?
20.11 Repite los pasos 20.1 a 20.8 pero con un triángulo a tu elección.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción?
b) ¿Es posible cubrir el plano con cualquier triángulo?¿Por qué?
Actividad 21
21.1 Dibuja 4 puntos, asígnale los nombres A, B, C y D y
luego dibuja un polígono con estos puntos.
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Traslaciones: Son aquellas transformación que permiten desplazar en línea
recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una
determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda
definida por lo que se llama su vector de traslación.
21.2 Dibuja una Semirrecta que pase por los puntos C y A.
21.3 Activa la herramienta Circunferencia.
21.4 Selecciona con un clic el punto A como centro
de la circunferencia y el punto C para determinar la
longitud del radio de la circunferencia, determinando
los puntos de intersección entre la circunferencia y
la semirrecta.
21.5 Dibuja una nueva circunferencia tomando
como centro el nuevo punto y longitud para el radio
la distancia al punto A.
21.6 Repite los pasos 21.3 a 21.5 tantas veces
como polígonos quiera crear.
21.7
Oculta
las
circunferencias
herramienta Apariencia.
utilizando
la
40
21.8 Dibuja una recta paralela a la semirrecta CA
que pase por el punto D.
21.9 Selecciona la herramienta Medida y luego haz
clic en los puntos A y C
21.10 Utilizando la herramienta Circunferencia haz
clic en el punto D y luego en la medida del
segmento AC.
21.11 Determina los puntos de intersección de la
circunferencia y la recta y utilícelo como centro de
una circunferencia que tenga por radio la medida
del segmento AC.
21.12 Repite el procedimiento anterior tantas
veces como circunferencias creó en la semirrecta
que pasa por los puntos AC.
21.13 De manera similar traslada el punto B.
21.14
Dibuja
trasladados.
los
Polígonos
en
los
puntos
41
Rotaciones: Son aquellas transformación que permiten girar todos los puntos
del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo
bien determinado, por lo que toda rotación queda definida por su centro de
rotación y por su ángulo de giro.
21.15 Determina el punto medio del segmento AB y
asígnale el nombre SC.
21.16 Dibuja una semirrecta que tenga como extremo el
punto C y que pase por el punto SC.
21.17 Activa la herramienta Circunferencia, selecciona
con un clic el punto SC como centro de la circunferencia
y el punto C para determinar la longitud del radio de la
circunferencia.
21.18 Determinar el punto que esta fuera del polígono y
es la intersección entre la semirrecta y la circunferencia,
asígnale la letra C’.
42
21.19 Oculta la circunferencia y la semirrecta.
21.20 Repetir los pasos 21.15 a 21.19 con el punto D y
asígnale la letra D’.
21.21 Dibuja el polígono en los puntos A, B, C´ y D.
21.22 Dibuja una recta paralela a la semirrecta CA que pase por el punto D’
21.23 Activa la herramienta Circunferencia.
21.24 Selecciona con un clic el punto D’ como
centro de la circunferencia y la medida AC como
longitud
para
el
radio
de
la
circunferencia,
determinando los puntos de intersección entre la
circunferencia y la recta.
21.25 Oculta las circunferencias utilizando la
herramienta Apariencia.
21.26 Dibuja los Polígonos.
21.27 Repite los pasos 21.23 a 21.26 tantas veces como polígonos quiera dibujar.
Observa las figuras creadas y responde:
a) ¿Qué diferencia tiene esta construcciones de las anteriores?
b) ¿Qué transformaciones isométricas utilizo?
c) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción? ¿Por qué?
43
Actividad 22
a) ¿Es posible cubrir el plano con el siguiente polígono?
b) ¿Qué diferencia tiene con las construcciones anteriores?
c) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?
Actividad 23
a) ¿Es posible cubrir el plano combinando polígonos regulares?
Compruébalo combinando polígonos de 4 y 8 lados.
b) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?
44
Actividades para la evaluación, indicaciones al estudiante.

Isometrías
I Simetría Axial.
Actividad 1
¿En cual de los siguientes casos se verifica una simetría axial con respecto a L?
a)
b)
c)
d)
Actividad 2
Crea un triángulo ABC que tenga por vértices los puntos: A(-3,2), B(-1,4) y C(-2,6).
Encuentra el triángulo simétrico A’B’C’ al triángulo ABC con respecto al eje X .
¿Cuáles son las coordenadas que determinan los vértices del triángulo A’B’C’?
45
II Simetría Central.
Actividad 3
Encuentra la figura simétrica central con respecto al punto O en cada uno se los
siguientes casos:
a)
b)
c)
Actividad 4
A todos los puntos del plano cartesiano se les aplica una simetría central con
respecto al punto P de coordenadas (2,1). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El único punto invariante(que no se mueve) es el
punto P
II) Las coordenadas del punto homologo de B son
B’(-5,-2)
46
III Traslación.
Actividad 5
Dibuja en tu cuaderno el triángulo T y los vectores AB , AC ; traslada el triángulo
T, según el vector AB y luego la figura obtenida trasládala, según el vector AC .
Actividad 6
Luego de aplicar una determinada traslación en el plano cartesiano, el ABC de
vértices A(-4,2); B(-1,1) y C(1,5) se transforma en el A' B' C' . Si sabemos que la
abscisa de A’ es 1 y la ordenada de B’ es –3 ¿Cuáles son las coordenadas de C’?
IV Rotación.
Actividad 7
Copia la siguiente figura en tu cuaderno y aplícale una rotación con centro O y de
ángulo 180° en el sentido contrario de las manecillas del reloj.
47
Actividad 8
Al rotar el ABC con centro en el origen O y un ángulo de 90°, se obtendrá un
A' B' C' ¿cuyas coordenadas de los vértices son?

Teselación.
Actividad 9
a) ¿Es posible cubrir el plano con el siguiente polígono?
b) ¿Qué diferencia tiene con las construcciones anteriores?
c) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?
Actividad 10
Crea una teselación combinando polígonos regulares.
a)¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?
48
Actividades para el aprendizaje, indicaciones al docente.
El profesor apoya los procesos de reflexión y análisis de los estudiantes.
Incentivar a los alumnos y alumnas para que organicen sus argumentos y así
desarrollar correctamente las actividades propuestas.
Una vez trabajadas las actividades, los alumnos y alumnas comparten las
conjeturas, en una instancia para complementar y comprobar los resultados
obtenidos, mientras el profesor escribe en la pizarra las ideas relevantes.

Isometrías
I Simetría Axial.
Actividad 1 - 2 - 3 - 4 - 5
Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor
formaliza:
Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axial con respecto a L , a
aquella isometría, tal que, si P y P ' son puntos homólogos con respecto a ella,
PP'  L y, además, el punto medio de PP' pertenece a L . La recta L recibe el
nombre de eje de simetría.
49
Observaciones
- En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las
manecillas del reloj.
- No es posible superponer, mediante traslación y/o rotación, los triángulos
congruentes PQR y P' Q' R'
- Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexión.
- Todo punto del plano cartesiano A( x, y ) tiene un simétrico A' ( x, y ) con respecto

al eje de las abscisas y un simétrico A( x, y ) con respecto al eje de las ordenadas.
II Simetría Central.
Actividad 6 - 7 - 8 - 9
Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor
formaliza:
Una vez terminada esta instancia el profesor formaliza:
Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría central con respecto a O a
aquella isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P ' de modo
50
que P ' esta en la recta OP , a distinto lado con respecto a O , y OP  OP' . El punto
O se llama centro de simetría y P , P ' puntos correspondientes u homólogos de la
simetría.
Observaciones:
- Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homologos de la
figura transformada.
- El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj.
- Todo punto del plano cartesiano A( x, y ) tiene un simétrico A' ( x, y ) con
respecto al origen O (0,0)
III Traslación.
Actividad 10 - 11 - 12 - 13 - 14
Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor
formaliza:
Una vez terminada esta instancia el profesor formaliza:
Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta
todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una
51
determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda
definida por lo que se llama su vector de traslación.
Observaciones:
- Bajo traslación una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como
angulares.
- Bajo traslación una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la
horizontal no varia.
- No importa el numero de traslación que se realicen, siempre es posible
resumirlas en una única.
IV Rotación.
Actividad 15 - 16 - 17 - 18 - 19
Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor
formaliza:
Una vez terminada esta instancia el profesor formaliza:
Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del
plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien
determinados, toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su
ángulo de giro. Si la rotación se efectúa en sentido contrario a como giran las
manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o antihoraria; en caso
contrario, se dice que la rotación es negativa u horaria.
Observaciones:
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- Si rotamos el punto ( x, y ) con respecto al origen O (0,0) en un ángulo de giro de
90°, 180°, 270° o 360°, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en
la siguiente tabla.
Punto inicial
R(0,90°)
R(0,180°)
R(0,270°)
R(0,360°)
( x, y )
( y, x)
(  x,  y )
( y , x )
( x, y )

Teselación.
Actividad 20
Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor
formaliza:
Es muy probable que los estudiantes acepten que con triángulos equiláteros,
isósceles y rectángulos se pueda embaldosar una superficie plana. Generalmente
anticipan que esto no es posible con triángulos escálenos.
Importa que los estudiantes se den cuenta que el valor de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es una propiedad determinante para que este
embaldosamiento sea posible.
Actividad 21 - 22 - 23
Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor
formaliza:
53
Los estudiantes generalmente aceptan que es posible embaldosar una superficie
plana con paralelogramos. La tendencia es a conjeturar que no es posible con
algunos cuadriláteros cóncavos. Seria recomendable que los propios estudiantes
muestran la falsedad de esta conjetura. Con este propósito el profesor puede
sugerir a los estudiantes que visiten las siguientes paginas en Internet:
- http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm Teselaciones
- http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html
What Is a Tessellation?
- http://www.geocities.com/SiliconValley/Vista/2212/tesela.html
La página de las teselas
- http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/Mosaicos/mosaicos.htm
MOSAICOS
Es interesante analizar con que polígonos se puede embaldosar una superficie
plana y con cuáles no. En el caso de los polígonos regulares la medida de cada
ángulo interior debe ser divisor de 360° propiedad que cumple el cuadrado, el
triángulo equilátero, el hexágono regular, pero no el pentágono regular.
Las figuras geométricas con las cuales es posible embaldosar el plano, se
conocen con el nombre de tesela.
54
Actividades para la evaluación, indicaciones al docente.

Isometrías
I Simetría Axial.
Actividad 1- 2
Interesa observar:
- Que tipo de manipulación, de dibujo o esquema hacen en la figura.
- Que proposiciones surgen y por qué.
- Si comprueban su resultado en el programa Dr. Geo.
II Simetría Central.
Actividad 3 - 4
Interesa observar:
- Que tipo de manipulación, de dibujo o esquema hacen en la figura.
- Que tipo de discusión se produce, que proposición surge y por qué.
- Si comprueban su resultado en el programa Dr. Geo.
III Traslación.
Actividad 5
Interesa observar:
- Que tipo procedimiento y herramientas utilizan para copiar las figuras en su
cuaderno.
- Que tipo de manipulación, de dibujo o esquema hacen en la figura.
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- Si comprueban su resultado en el programa Dr. Geo.
Actividad 6
Interesa observar:
- Si dibujan la figura para luego trasladarla.
- Si comprueban su resultado en el programa Dr. Geo.
IV Rotación.
Actividad 7 - 8
Interesa observar:
- Si mueven la figura o si la dejan fija cambiándose de lugar.
- Que tipo de discusión se produce, que proposición surge y por qué.
- Si comprueban su resultado en el programa Dr. Geo.

Teselación.
Actividad 9 - 10
Interesa observar:
- Que tipo de análisis realizan, si copian la figura, lo intentan con dibujos o
utilizando el programa Dr. Geo.
- La forma en que realizan el proceso de embaldosar.