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DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA CON ÉNFASIS EN CIENCIAS NATURALES
MATEMATICAS I
MÓDULO EN REVISIÓN
CORPORACION UNIVERSITAR1A DEL
CARIBE CECAR
DIVISION DE EDUCACION ABIERTA Y A
DISTANCIA
MÓDULO
MATEMATICAS I
Compiladores
FRANCISCO FLÓREZ ARIAS
TIRSO MERCADO DIAZ
PROGRAMA A DISTANCIA DE
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA
CON ÉNFASIS EN CIENCIAS NATURALES
SINCELEJO - SUCRE
TABLA CONTENIDO
I.
INTRODUCCIÓN
II.
JUSTIFICACIÓN
III.
REFERENTES TEÓRICOS
IV.
INSTRUCCIONES GENERALES MANEJO DEL MODULO
V.
ESTRUCTURA DEL MÓDULO
1.
NÚMEROS REALES
1.1
PRESENTACIÓN
1.2
SITUACIÓN PROBLEMA
1.3
COMPETENCIAS ESPECÍFCAS
1.4
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL COMOCIMIEMTO
1.5
DEFICIÓN DE NÚMEROS REALES
1.6
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
1.7
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
1.8
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
1.9
NOTACIÓN CIENTÍFICA
1.10 APROXIMACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES
1.11 RESUMEN
1.12 EVALUACIÓN
1.13 MAPA CONCEPTUAL DE LOS NÚMEROS REALES
1.14 LECTURA COMPLEMENTARIA
2.
PROPORCIONALIDAD
2.1
PRESENTACIÓN
2.2
SITUACIÓN PROBLEMA
2.3
COMPETENCIAS ESPECÍFCAS
2.4
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL COMOCIMIEMTO
2.5
RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES
2.6
TIPOS DE PROPORCIONALIDAD
2.7
RESUMEN
2.8
EVALUACION
2.9
MAPA CONCEPTUAL DE LA PROPORCIONALIDAD
2.10 LECTURA COMPLEMENTARIA
3.
GEOMETRIA
3.1
PRESENTACIÓN
3.2
SITUACIÓN PROBLEMA
3.3
COMPETENCIAS ESPECÍFCAS
3.4
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL COMOCIMIEMTO
3.5
COMCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
3.6
POLÍGONOS
3.7
TRIÁNGULOS
3.8
CUADRILATEROS
3.9
PERÍMETROS Y ÁREAS
3.10 ÁREAS DE POLÍGONOS
3.11 VOLUMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
3.12
3.13
3.14
3.15
RESUMEN
EVALUACIÓN
MAPA COMCEPTUAL DE GEOMETRÍA
LECTURA COMPLEMENTARIA
I.
INTRODUCCIÓN
El hombre a través de su constante evolución comenzó a descubrir las formas
matemáticas, cuando necesariamente debió utilizar un lenguaje para comunicar
sus conceptos y se vió forzado por sus actividades a contar y a desarrollar formas
y símbolos que posteriormente se conocieron como números.
Al paso del tiempo, este lenguaje se ha vuelto específico y se ha incluido reglas,
normas y metodologías para procesar esta información. Desarrollándose
plenamente lo que se conoce como matemáticas.
Este módulo está diseñado con el objeto de fomentar el aprendizaje autónomo de
los conceptos básicos de matemáticas en los futuros licenciados en educaci6n
básica con énfasis en ciencias naturales, por tanto su implementación contiene los
elementos necesarios para que desarrollen o refuercen los conceptos
fundamentales.
En la primera unidad el estudiante encontrara los conceptos básicos sobre
números reales; en la segunda, las magnitudes directas e inversas, los sistemas
de medidas y sus conversiones; y en la tercera, los conceptos fundamentales de
geometría.
Al finalizar el estudio de este módulo y reforzar con las tutorías el estudiante
contará con las herramientas para asumir problemas reales que le plantea los
fenómenos de la naturaleza vistos a través de las ciencias naturales, lo mismo
que el manejo de preguntas referentes a los concursos docente para el ingreso a
la carrera magisterial para unos o ascenso en el escalafón para otros.
II.
JUSTIFICACIÓN
La matemática siempre ha sido parte importante para aprender los fenómenos de
la naturaleza y las situaciones cotidianas. Es por eso que los futuros licenciados
en educación básica con énfasis en Ciencias Naturales, se hace necesario que
conozcan y manejen adecuadamente las Competencias básicas de las
matemáticas como son los números reales, los Sistemas de medidas y la
geometría que le permita potencializar en el uso y aplicación del pensamiento
matemático no solo la interpretación de los fenómenos naturales, sino también
razonar con lógica ante situaciones de la vida cotidiana y en su desempeño
profesional.
De otro lado, la matemática juega un papel importante en las asignaturas de
Química y Física en la interpretación, análisis y solución de situaciones de sus
contextos a través de la firma de las matemáticas.
Las competencias a propiciar son:
1. Comprende los conceptos básicos de las matemáticas para analizar, modelar y
resolver problemas aplicando métodos y procedimientos cuantitativos y
esquemáticos.
2. Comprende los datos presentados de diferentes formas (tablas, gráficas,
esquemas, símbolos, expresión verbal), así como la generación de
representaciones diversas a partir de datos dados.
3. Comprende los procesos relacionados con la identificación del problema y la
construcción/proposición de estrategias adecuadas para su solución en la
situación presentada; además del tratamiento de datos, la modelación y el uso
de herramientas cuantitativas (aritméticas, métricas, geométricas).
4. Aplica las competencias básicas de las matemáticas, sus operaciones,
propiedades, gráficas de los números reales, la variación y conceptos de
geometría en la solución de situaciones problemas en cualquier contexto..
5. Valora la importancia del desarrollo del pensamiento numérico en el ejercicio
de su profesión
6. Capacidad para apropiarse con sentido crítico de las nuevas tecnologías de la
información y la comunicación y utilizarlas en su propio beneficio
III.
REFERENTES TEÓRICOS
En este módulo se abordan los conceptos matemáticos necesarios para formar a
los futuros licenciados en educación básica con énfasis en Ciencias Naturales y
los fundamentos teóricos están dentro de los Lineamientos Curriculares de
matemática, los Estándares Básico de Competencias trazados por MEN y toda
la conceptualización matemática tiene que ver con la bibliografía establecida en
este módulo.
De igual modo, se tiene como referente la evaluación por competencias que
realiza el ICFES en las pruebas saber Pro, los concursos docentes y el ascenso
en el escalafón.
También se tiene en cuenta para el desarrollo del pensamiento matemático los
indicadores de logros propuestos por el MEN.
También se toma como referente la teoría del aprendizaje significativo, propuesta
por David Ausubel, que se refiere al establecimiento de relaciones sustantivas y no
arbitrarias entre los conocimientos previos pertinentes y relevantes de que dispone
el sujeto y los contenidos a aprender. La teoría de Lev Vygotsky, que se basa
principalmente en el aprendizaje sociocultural de cada individuo y por lo tanto en el
medio en el cual se desarrolla.
IV.
INSTRUCCIONES GENERALES PARA EL MANEJO DEL MÓDULO.
Como futuro Licenciado de la Educación Básica con Énfasis en Ciencias
Naturales, requerirás de formar un pensamiento matemático que te permita no
solo la interpretación de los fenómenos naturales, sino también razonar con lógica
ante situaciones de la vida cotidiana. Es por ello que el módulo te permitirá revisar
y profundizar los conceptos que tienen que ver con los Números reales, la relación
entre magnitudes, sistemas de conversión y los aspectos fundamentales de la
Geometría.
El aprendizaje del módulo y su aplicación dependen exclusivamente de ti, de tu
interés, entusiasmo y disciplina para emprender el estudio del mismo. Por lo tanto,
te sugerimos tengas en cuenta:
1. Leer detenidamente para entender los conceptos e ilustraciones que allí
encuentres. No avanzar a otros conceptos sin antes entender muy bien el que
estudias, recuerda que estos son secuenciales y prerrequisito para los
posteriores.
2. Cada vez que estudies un concepto y asimiles su ilustración realiza las
actividades individuales y grupales y la autoevaluación al final de las unidades.
3. En lo posible lleva un cuaderno de ejercicios resueltos, no solo te servirá de
material de apoyo sino que notaras tus avances.
4. No te desanimes cuando no entiendas algo, a todos nos ha pasado, consulta
en otro texto o acláralo con tu grupo de estudio o con el tutor.
V.
ESTRUCTURA DEL MÓDULO
MATEMÁTICA I
1. NÚMEROS REALES
2. PROPORCIONALIDAD
3.GEOMETRIA
1.1 DEFICIÓN DE
NÚMEROS REALES
2.1 RELACIÓN ENTRE
MAGNITUDES
3.1 COMCEPTOS
BÁSICOS DE
GEOMETRÍA
1.2 OPERACIONES
CON NÚMEROS
REALES
2.2 TIPOS DE
PROPORCIONALIDAD
3.2 POLÍGONOS
1.3 PROPIEDADES DE
LOS NÚMEROS
REALES
3.3 TRIÁNGULOS
1.4 POTENCIACIÓN
DE NÚMEROS
REALES
3.4 CUADRILATEROS
1.5 NOTACIÓN
CIENTÍFICA
3.5 PERÍMETROS Y
ÁREAS
1.6 APROXIMACIÓN
DE EXPRESIONES
DECIMALES
3.6 ÁREAS DE
POLÍGONOS
3.7 VOLUMENES DE
CUERPOS
GEOMÉTRICOS
1. NÚMEROS REALES
1.1 PRESENTACIÓN
El estudio de los números reales, como punto de partida de este módulo, tiene su
pertinencia en el sentido de que como futuros licenciados con énfasis en ciencias
naturales, los estudiantes tienen un potencial en matemáticas y manejan de
alguna forma los sistemas numéricos y por ello se hace hincapié en los números
reales y las situaciones propuestas tendrán la aplicación de cada uno de los
sistemas numéricos.
1.2 SITUACIÓN PROBLEMA
La irregularidad climática que existe en nuestro país, los problemas de plagas en
los cultivos y el exceso oferta y demanda de productos generan variación en los
precios de los productos agrícolas.
En la tabla 1.1 se muestran los precios de algunos productos en cosecha durante
el día 2 de enero de 2014 en el Boletín Diario de Corabastos.
DESARROLLA EL SABER CRÍTICO
Interpreta
1. ¿cuál es el precio por kg de cada producto?
Analiza
2. ¿cuál es la diferencia de precio entre 1kg de curuba de primera calidad y 1 kg e
guayaba de primera calidad?
Infiere
3. ¿ es una buena opción consultar y comparar los precios de los producto en
cosecha antes de hacer una compra?
Explica
4. Si en el mes de diciembre el precio promedio de 1kg de curuba fue de $600,
¿por qué es correcto afirmar que en enero el precio del kilo de curuba estuvo
por encima de su precio en diciembre?
5. Si el precio de remolacha de primera calidad pasó de $50.000 a $45.500 en
una semana, ¿cómo se determina en cuanto disminuyó el precio de la
remolacha?
1.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

Aplica las competencias básicas de las matemáticas, sus operaciones,
propiedades, gráficas de los números enteros y fraccionarios en la solución de
situaciones problemas diversas.

Despierta en los estudiantes la curiosidad y el interés hacia la búsqueda del
conocimiento que le sirva de apoyo para su aprendizaje, asumiendo actitudes
innovadoras e investigativas a partir de los conocimientos matemáticos.
1.4 DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
1.4.1 ACTIVIDAD PREVIA: Trabajo independiente.
 Lea la presentación de la unidad y las competencias específicas a alcanzar al
término de la unidad y de solución al problema inicial de la unidad.
 Lectura comprensiva de la unidad mediante el análisis de los ejemplos y
solución de las actividades finales de la unidad.
 Realice las consultas pertinentes en la bibliografía y cibergrafía o las que usted
consideres necesarias.
 Use el resume de la unidad
 Resuelva la actividad final de autoevaluación.
1.4.2 ACTIVIDAD EN GRUPO
 Socialice las respuestas del problema inicial de la unidad con los compañeros y
el tutor.
 Consulte con los compañeros de CIPA sobre las dificultades detectadas y su
solución por parte de otros compañeros o el tutor en forma colaborativa.
 Desarrolle la actividad final de autoevaluación propuesta de la unidad.
 Realice un informe de la parte II de la autoevaluación, sustentando cada una
de las situaciones propuestas.
1.5 NÚMEROS REALES
Empezamos dando un breve recorrido por los números Reales. El conjunto
N = {1, 2, 3, 4,…} se denomina Conjunto de Números Naturales y en él siempre
es posible la suma y multiplicación, es decir, al suma o multiplicar dos número
naturales, el resultado siempre es un número natural, pero no siempre es posible
la resta o la división. Esta limitación crea la necesidad de extender el conjunto de
los números naturales al sistema de los números Enteros (Z). Los enteros
incluyen los números naturales, los negativos u opuestos de los naturales y el cero
(0), entonces podemos representar al Conjunto de los Números Enteros como:
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…}
Z = Z–  {0}  Z+
Es claro que los números naturales también son entero, es decir, los enteros
contienen a los naturales
N  Z. en el conjunto de los enteros podemos sumar,
restar, multiplicar, pero no siempre es posible efectuar la división. Para superar
esta limitación extendemos el sistema de los números enteros al sistema de los
números racionales (Q):
a
Q  { , a, b  Z , b  0}
b
En este conjunto siempre es posible sumar, restar, multiplicar y dividir
cualesquiera dos números racionales. De esta manera las cuatros operaciones
elementales de la aritmética son posible dentro del conjunto de los número
racionales.
Cuando un número racional se expresa como decimal, los decimales terminan
(finitos) o presentan un bloque que se repite indefinidamente.
EJEMPLO:
Son decimales finitos:
1.
3
 0.375;
8
2.
1
 0,25;
4
Son decimales infinitos y periódicos:
3.
3
 0.272727 ...;
11
y
4.
4
 0,5714285714 285...;
7
Estos últimos, se puede escribir como:
3
 0.27
11
y
4
 0, 571428 , los números sobre la barra indican el periodo.
7
Verifica las igualdades numéricas planteadas
Todo número racional tiene una forma decimal que es finita o infinita periódica. A
veces se utiliza esta propiedad para definir el conjunto de los números racionales.
Existes algunos números de uso común que no son racionales, es decir, no puede
2 , 3,  , e, tales
expresarse como la razón de dos enteros, entre otros están
números se denominan Irracionales (I). La diferencia esencial entre los
racionales y los irracionales se advierte en sus expresiones decimales. Cuando un
número irracional se representa por medio de un decimal, los decimales continúan
indefinidamente sin presentar ningún bloque repetitivo:
2  1,4142135623 ...
  3,1415926535 ...
No importa cuantos decimales expresemos, estos números no presentan un
bloque repetitivo, en contraste con el patrón que ocurre con los racionales.
El término Real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El
sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones
decimales. Aquellos que terminan o se repiten corresponden a los números
racionales mientras que las restantes corresponden a los irracionales.
R=QI
Todos los números reales pueden representarse por los puntos sobre una línea
recta llamada recta Real o numérica.
A todo número real le corresponde un punto sobre la recta y a todo punto
sobre la recta le corresponde un número real.
NOTA: Algunos números, en particular algunos números irracionales, pueden ser
representados de manera exacta utilizando el teorema de Pitágoras una o
sucesivas veces.
2  12  12  1  1
3
 2  1
2
2
 2 1
3  2 2  12  4  1
1.6 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Las operaciones con los números reales incluyen las operaciones con naturales,
enteros, racionales e irracionales, como lo trataremos a continuación:
Adición y sustracción de números reales: Para poder sumar o restar radicales
cuadráticos estos deben tener el mismo radicando; para conseguirlo hay que
extraer factores fuera del radicando:
EJEMPLO 1:
3 18  5 18  8 18  8 2(9)  8(3) 2  24 2
6 5  8 5  2 5
EXAMPLE :
Find the total length of the piece of metal shown in figure
Solution:
First indicate the sum as follows:
Changing to like fractions and adding numerators,
The total length is
inches.
Multiplicación de números reales: para obtener el producto de dos radicales
semejantes basta multiplicar las cantidades subradicales y luego simplificar:
5x 10  5(10)  50  2(25)  5 2
2 3x3 12  2(3) 3(12)  6 36  6(6)  36
División de números reales: para obtener el cociente de dos expresiones
radicales basta realizar la división entre las cantidades subradicales si es posible.
EJEMPLO:
20  5  20  5  4  2
14 7  2 28 
14 7
1
1 7
7
 7  
2 28
4
2 4
NOTA: debes consultar las operaciones con radicales que no son semejantes
Propiedades de los números reales: Cuando se suman o se multiplican
números reales, el resultado es otro número real. Estas operaciones son
fundamentales en el sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades
que parecen elementales pero que son importantes para entender las diversas
manipulaciones algebraicas que se efectuaran más adelante.
Propiedad conmutativa: si a, b  R, se cumple:
a+b=b+a
– 3 + 10 = 7
10 + (–3) = 7
y
axb=bxa
– 3 x10 = –21
10 x (–3) = –21
Propiedad asociativa: si a, b, c  R, se cumple:
(a + b) + c = a + (b + c)
y
(a x b) = ax(b x c)
(–3 + 10) + 5 = –3 + (10 + 5)
x(10x5)
7 + 5 = –3 + 15
12 = 12
(–3 x10)x5 = –3
(–30)x5 = –3x(50)
–150 = –150
Propiedad distributiva: si a, b, c  R, se cumple:
a(b + c) = ab + bc
a(b – c) = ab – bc
y
y
(b + c)a =ba + bc
(b – c)a =ba – bc
EJEMPLO
4(–3+2) = 4(–3) + 4(2)
4(–1) = –12 + 8
–4 = –4
4(3 – 2) = 4(3) – 4(2)
4(1) = 12 – 8
4=4
Elemento identidad: si a R, se cumple que:
a + 0 = 0 +a
y
a x1 =1xa
El cero y el uno se conocen como elemento identidad para la adición y la
multiplicación respectivamente.
Elemento inverso: si a  R, entonces existe un único número real denominado el
negativo de a, simbolizado como – a, tal que:
a + (–a) = 0 y se dice que –a es el opuesto o inverso aditivo de a.
Si a no es cero, entonces también existe un único número real denominado el
recíproco de a simbolizado por 1/a, tal que:
1 a
a    1
a a
EJEMPLO:
El inverso aditivo de 5 es –5 porque 5 + (–5) = 0
Como el inverso aditivo de –5 denotado por –(–5) es 5, se sigue que –(–5) = 5, en
general:
–(–a) = a
El inverso multiplicativo o recíproco de 5 es
1 5
1
porque 5    1 . Este resultado
5
5 5
es válido para cualquier número real a≠0, es decir: el inverso multiplicativo de 5 es
5 1 
1
1
1
dado que 5(5 )  5   1
5
5
 
El inverso multiplicativo de 51 denotado por 5 1
 
que 51
1
 5.
1
1
, es 5. Pero 5(5 )  1 , se sigue
 
En general, para cualquier real a≠0, se cumple: a 1
1
 a.
Una vez definidos los inversos aditivos y multiplicativos de a se puede definir las
operaciones de sustracción y división así:
a – b = a + (–b)
a 1
1 a
a  b  a   , b  0 es decir :
 a 
b b
b b
1.7 POTENCIACIÓN DE NÚMERO REALES
La operación potenciación se define en los números reales como una
multiplicación abreviada cuando los factores son iguales. Así al tener 3x3x3 esto
se puede representar por 34 donde el número 3 es la base y 4 es el exponente.
Se debe tener en cuenta que base puede ser positiva o negativa.
Es decir:
para todo a en los reales y n enteros
Se debe tener en cuenta la ley de los signos aplicada en la multiplicación de
número enteros.
EJEMPLO:
2x2x2x2 = 24 = 16;
(–3) (–3) (–3)= (–3)3 = –27
1.8 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.
Producto de potencias de igual base: para todo a R; n,m Z se cumple:
n
m
a a
a
     
b b
b
m n
EJEMPLO:
3
5
35
8
5 5 5
5


    
 
6 6 6
6
Potencia de un producto: para todo a R; n Z se cumple
n
n
a c  a  c 
 ·     
b d  b d 
n
EJEMPLO:
7
7
7
7
7
7 6 
7  6 
 8   15 
 ·     ·     ·  Simplifique este resultado
 8 15 
 8   15 
7  6 
Cociente de potencias de igual base: para todo a R; n,m Z se cumple:
n
m
n m
a
a
a
     
b
b
b
EJEMPLO:
5
3
53
2
7 7 7
7
       
9 9 9
9
Potencia de un cociente: para todo a R; n Z se cumple
n
n
a a
   n
b b
EJEMPLO:
3
3
 5  5 125
   3
 3  3 27
Potencia de una potencia: para todo a R; n,m Z se cumple
m
 a n   a n·m
     
 b    b 
EJEMPLO:
4
 5 3   5 3·4  5 12
        
8
 9    9 


Exponente fraccionario
Se ha definido am cuando m es entero cualquiera, ahora se extiende al caso en
1
que m es un número racional arbitrario. Considere a n cuando n es un entero
distinto de cero, haciendo m 
1
, por la propiedad potencia de una potencia se
n
tiene:
n
1
 n
 1
 a n   a  n   a1  a
 
 
1
De modo, si hacemos b  a n se sigue que b n  a
EJEMPLO:
1
3
8  2, porque 23  8
n
El símbolo
a  también se utiliza en lugar de
1
n
a , es decir,
EJEMPLO:
3
4
1. a  4 33 ,
1
2
2. 2  2
3.
325  5 32  2 porque 25  32
4.
 216 3  3  216  6
5.
 42
1
1
3
porque
 63  216
 2 (4)3   64 no tiene raices reales
n
a a
1
n
1.9 NOTACIÓN CIENTÍFICA
¿Conoces este número 300.000.000 m/s.? ¡Es la velocidad de la luz!
¿Reconoces este número 0,000 000 000 753 kg. ? ¡Es la masa de una partícula
de polvo!
Los científicos trabajan a menudo con cantidades muy grandes o muy pequeñas,
como por ejemplo:
 la masa de la Tierra que es aproximadamente de:
6.000.000.000.000.000.000.000.000kg.
 la masa de un electrón:
0,000000000000000000000000000000911 kg
Se puede apreciar que escritas de esta manera, las cantidades necesitan mucho
espacio y se dificulta su cálculo. Para obviar lo anterior, se usa la notación
científica, la cual se basa en potencias de 10 y que para su escritura, la parte
numérica de una medición se expresa como un número entre 1 y 10 multiplicado
por la potencia de 10:
d x 10n
donde 1  d < 10
; n es un entero.
Así, la masa de tierra se puede escribir como 6x1024 Kg y la del electrón 9,11x10
–31
kg
EJEMPLO 1


una célula vegetal podría contener 208.000.000.000.000 cantidad que puede
escribirse como 2,08x1014
el peso de una molécula de oxígeno es 0,000000000000000000000053, que
en notación científica es 5,3x10– 23
Los números mayores que 10 tendrán exponentes enteros positivos en la notación
científica, mientras que los menores que 1 tienen potencia negativa, el exponente
se determina mediante el conteo de posiciones decimales.
EJEMPLO 2
Exprese en notación científica el número 14.000.000
Solución
14.000.000 = 14x1.000.000 = 1,4x10x1.000.000=1,4x101x106=1,4x107
Observe que:
 el número se escribe como el producto de dos factores. El segundo factor es
una potencia de 10
 el primer factor se escribe como un número entre 1 y 10 por una potencia de
10
 se multiplican las potencia de 10
 o simplemente se corre la coma decimal a la izquierda hasta tener un dígito y
se cuentan los lugares y este número corresponde al exponente positivo de la
potencia de 10; si se corre a la derecha se tiene un exponente negativo.
EJEMPLO 3
Exprese en notación científica el número 0,00000125
Solución
0,00000125 = 1,25x10
derecha-
–6
, se observa que la coma decimal corre 6 lugares a la
1.10 APROXIMACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES
Algunas veces es necesario expresar un número con menos cifras de las
determinadas en una medida o cálculo. Esto se hace por redondeo del
número en cuestión al número deseado de cifras decimales o también
cuando la expresión decimal de un racional tiene infinitas cifras
decimales, se hace una aproximaci6n decimal a una, dos, tres, o más
cifras, según se requiera o de acuerdo con el instrumento de medida
utilizado.
EJEMPLO
a.
20
 2,8571428571 ..., Este decimal lo podemos aproximar a dos, tres, o más
7
cifras decimales así:
Aproximado a dos cifras decimales se tiene:
20
 2,86 porque la
7
tercera cifra decimal (7) es mayor que 5, entonces se aproxima a la
superior de 5 que es 6
Aproximado a tres cifras decimales se tiene:
20
 2,857 , porque la cuarta
7
cifra (1) es menor que 5.
Solución TIC: en las calculadoras científica use el modo SCI, tomando los
decimales necesarios, se puede escribir los números en notación científica; en el
modo FIX para aproximar o redondear un número con las cifras decimales
necesarios.
1.11 RESUMEN
El término Real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El
sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones
decimales. Aquellos que terminan o se repiten corresponden a los números
racionales mientras que las restante corresponden a los irracionales.
R=QI
Todos los números reales pueden representarse por los puntos sobre una línea
recta llamada recta Real o numérica.
A todo número real le corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la
recta le corresponde un número real.
En los números reales, se cumplen todas las operaciones y para la solución de
situaciones se aplican las propiedades de los mismos.
La notación científica, la cual se basa en potencias de 10 y que para su
escritura, la parte numérica de una medición se expresa como un número entre 1
y 10 multiplicado por la potencia de 10: es decir: d x 10n, donde 1  d < 10; n
es un entero.
Para el cálculo de operaciones se suele aproximar los resultados o las medidas de
acuerdo con la situación descrita, en estos casos se aplican las reglas según sea
el caso.
1.12 EVALUACIÓN
I.
Sustente cada una de las situaciones propuestas de acuerdo con los
conceptos y propiedades estudiadas.
1. La tierra esta aproximadamente a 92.900.000 millas del sol. Si 1
milla = 1.61 x 10 3 m, ¿a qué distancia este el sol de la tierra en
metros?
2. Si la velocidad de la luz es 3.00 x 10 8 m/s, utilice la respuesta del problema
anterior para estimar cuánto tarda la luz del sol en llegar a la tierra.
3. En una jornada de trabajo paso
horas de clase ocupan los
1
3
del durmiendo y los
en la universidad, las
8
3
3
del tiempo en la U. ¿Qué fracci6n del día las
2
clases?
4. Una clase de leche da los
6
2
de su peso en nata, y la nata, los
de su
15
25
peso en mantequilla.
¿Qué fracción de peso de leche representa el peso de la mantequilla?
¿Qué cantidad de mantequilla se obtiene con 250 Kg. de leche?
II.
En cada pregunta, sustente su respuesta con buena presentación y
adecuado procedimiento.
1. Gasté la tercera parte y gané el equivalente a la mitad del resto, si ahora tengo
$90, cuánto tenía inicialmente?
a) $200
c) $150
b) $240
d) $90
2. Una arepa se divide en 3 parte iguales, luego una partes de ellas se dividen en
tres partes iguales. Si se toma dos partes grandes y dos pequeñas, la porción
que queda de la arepa es:
a) 8/9
c) 1/9
b) 5/12
d) 7/12
3. Gasté 1/3 del dinero que tenía, luego perdí la mitad del resto y aún me quedan
$80. Por lo tanto se puede concluir que tenía inicialmente:
a) $80
c) $240
b) $320
d) $180
4. Un constructor de autos tiene 600 en una bodega. Suministra
concesionario T,
a una empresa distribuidora y
autos que aún mantiene almacenados es:
a) 102
b) 240
c) 48
d) 125
3
de ellos a un
8
a otra. El número de
5. Tengo $180, gasto un tercio y un tercio del resto lo pierdo, me queda
a) $60
b) $80
c) $40 d) $50
6. La cabeza de un cocodrilo es un tercio de la cola y el tronco es un medio de la
cola. Sí la cola mide un 3metro, el cocodrilo mide:
a) 4,0m
c) 5,0m
b) 4,5m
d) 5,5 m
Información: María y su hijo Manuel van a pintar las paredes de su casa. Para
3
5
de galón de pintura roja y de galón
8
8
ello, compraron 1 galón de pintura blanca,
de pintura verde. Responda 7, 8 y 9.
7. La cantidad total de pintura que compraron fue de :
1
galones
8
2
d) 2 galones
8
a) 9 galones
c) 2
b) 2 galones
8. María pinta más rápido que su hijo. Mientras ella pinta de rojo 2 paredes,
Manuel pinta de verde la tercera parte de otra pared del mismo tamaño. Si al
terminar la jornada María pinto 6 paredes, entonces Manuel pintó:
a) 1 pared
b) 2 paredes
c) 1 pared y
d) 2
9. Los
1
de otra pared
3
1
paredes
3
3
de pintura roja fueron insuficientes para pintar las paredes del patio,
8
entonces María compró un
María fue de:
a)
4
12
b) 1
más, la cantidad total de pintura roja que compró
1
2
c)
5
8
d)
3
32
10. En un apartamento se tiene un tanque de agua totalmente lleno. En un día se
consumió medio tanque de agua; al día siguiente, la cuarta parte de lo que
quedaba; el tercer día se consumieron 15 litros de agua, es decir, la tercera
parte de lo que quedaba. La capacidad del tanque es de:
a) 15 litros
c) 60 litros
b) 30 litros
d) 120 litros
1.13 MAPA CONCEPTUAL DE LOS REALES
1.14 LECTURA COMPLEMENTARIA
EL SÍMBOLO ,
El símbolo , del que toma el nombre la constante, se incorporó tardíamente a las
matemáticas; lo introdujo en 1706 el escritor y Matemático inglés William Janes y
lo popularizo el Matemático suizo Leonardo Euler en el siglo XVIII.
En el Papiro de Rhind (1700 a. C.), aparecido en Egipto, se
toma como valor de
3.1625, el error cometido es de
aproximadamente 2 centésimas.
El matemático chino Tsu Chung - Chih (430 a. C.) encontró
como valor de
la aproximación
. No sería mejorado en
occidente este valor hasta finales del siglo XVI. Esta fracción
notable fue redescubierta más tarde por Adrián de Metius. Este
valor es realmente sorprendente, ya que da el valor de con
un error menor que 1 diezmillonésima. Es, por tanto, un número ideal para su
explicación en el caso de los engranajes.
Arquímedes valiéndose de polígonos de 96 lados (empezando por el triángulo se
tiene la sucesión de polígonos 3, 6, 12, 24, 48, 96,) demostró que
está
comprendido entre 3 
10
10
y 3 .
70
71
El método de Arquímedes resulta conceptualmente sencillo. Hasta el siglo XVII
todos los intentos de calcular el número realizados en Europa se fundaron de
una u otra forma en este método.
Ludolph Van Ceulen, matemático holandés del siglo XVI, dedico gran parte de su
vida al cálculo de casi al final de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras
calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 262 lados. Se dice
que el valor de que obtuvo así, denominado ludolfiano en ciertas regiones de
Europa, fue su epitafio. Newton Calculo el numero con 15 cifras decimales.
Leibniz dedujo en 1674 la fórmula:

1 1 1
 1    ....
4
3 5 7
Llamada también serie de James Gregory (Año 1671). Machin en 1706 calculó
100 cifras decimales.
El matemático Francés Lambert demuestra en 1761 quell es un numero irracional;
es decir, que no puede expresarse por medio de fracciones.
Johann Dase en 1844 computó en cosas de meses 205 cifras decimales utilizando
una fórmula similar a la de Machin.
En 1853, William Shanks rebasó de largo a Dase con la publicación del cálculo de
hasta las 607 cifras, si bien las posteriores a las 527 resultaron ser erróneas. El
trabajo de Shanks le llevo muchos años y fue fruto de una aplicación bastante
rutinaria, aunque laboriosa, de la fórmula de Machin.
En 1873, el matemático francés Hermite prueba que
es un número
trascendente; es decir, un número que no es solución de ninguna ecuación
algebraica.
Más tarde, 1882, el matemático Alemán Lindemann generaliza el método de
Hermite y resulta definitivamente que no es posible cuadrar el círculo; es decir,
construir con regla y compas un cuadrado de área igual a la de un circulo.
En 1946, D. F. Ferguson, inglés ayudándose de una calculadora mecánica halla
530 cifras decimales de
, comprobando que a partir de las 527 las cifras
decimales obtenidas por Sank son erróneas.
El advenimiento del ordenador trajo consigo un renacer de los esfuerzos para
calcular
En junio de 1949, John Von Neumann y sus colegas aplicaron la tarea uno de los
primeras ordenadores eléctricos, el ENIAC que generó 2037 cifras en setenta
horas.
En 1957, G. E. Felton trat6 de calcular 10.000 cifras de , pero por un error de la
máquina solo resultaron ser correctas las 7.480 primeras.
La meta de las 10.000 cifras la alcanz6 al año siguiente F. Genuts con un
ordenador IBM 704.
En 1961, Daniel Shanks y John W. Wrench, Jr., calcularon 10.000 cifras de II en
menos de nueve horas con un ordenador IBM 7090.
El millón de cifras rebasó en 1973; Jean Guiloud y M. Brouyer realizaron la proeza
que llevo un poco menos de un día a un CDC 7 600.
En 1987 se establece un nuevo record por Jonathan M. Borwein y Meter B.
Borwein: 100 millones de cifras. Los algoritmos para llegar a esta proeza se basan
en los descubrimientos del matemático Indio Ramanujan.
=3,14159265358979323846264338327950288419716939375105820...
2. LA PROPORCIONALIDAD
2.1 PRESENTACIÓN
Una de las situaciones de la vida diaria, en diversos contextos, es el uso de los
números en los problemas referentes a los tipos de variación entre magnitudes,
llámese pintar una casa por un grupo de trabajadores para entregar la obra en el
menor tiempo posible, hacer una comida para un número de personas, la dosis de
un medicamento, el pago de un dinero por efecto de un préstamo, entre otras, lo
cual lleva al estudio de las proporciones.
2.2 SITUACIÓN PROBLEMA
Alejandra quiso aplicar la idea de Thales de Mileto para
medir la altura de una bandera. A la misma hora del día
tomó la medida de la longitud de la sombra de la
bandera y la medida de la longitud de la sombra de un
palo de 120cm de largo. Según Thales de Mileto, la
altura del palo es a la longitud de su sombra como la
altura de la bandera es a longitud de su sombra.
DESARROLLA EL SABER CRÍTICO
Interpreta
1. ¿Cuál es la altura de la bandera hallada por Alejandra?
Analiza
2. ¿Cuál es la correlación entre la longitud de la sombra de la bandera y la
longitud de la sombra del palo a la misma hora del día?
Infiere
3. ¿Es el método de Thales de Mileto una buena opción para calcular la altura de
un árbol en forma indirecta?
2.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

Aplica la proporcionalidad y la medición, en la solución de problemas mediante
el uso de la relación entre magnitudes y las conversiones entre los sistema de
medidas.

Despierta en los estudiantes la curiosidad y el interés hacia la búsqueda del
conocimiento que le sirva de apoyo para su aprendizaje, asumiendo actitudes
innovadoras e investigativas a partir de los conocimientos matemáticos.
2.4 DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
ACTIVIDAD PREVIA: Trabajo independiente.
 Lea la presentación de la unidad y las competencias específicas a alcanzar al
término de la unidad y de solución al problema inicial de la unidad.
 Lectura comprensiva de la unidad mediante el análisis de los ejemplos y
solución de las actividades finales de la unidad.
 Realice las consultas pertinentes en la bibliografía y cibergrafía o las que usted
consideres necesarias.
 Use el resume de la unidad
 Resuelva la actividad final de autoevaluación.
ACTIVIDAD EN GRUPO
 Socialice las respuestas del problema inicial de la unidad con los compañeros y
el tutor.
 Consulte con los compañeros de CIPA sobre las dificultades detectadas y su
solución por parte de otros compañeros o el tutor en forma colaborativa.
 Desarrolle la actividad final de autoevaluación propuesta de la unidad.
 Realice un informe de la parte II de la autoevaluación, sustentando cada una
de las situaciones propuestas.
2.5 RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
Magnitud: Es todo aquello que se puede medir, como la longitud de una mesa, la
temperatura de un cuerpo, la masa de un cuerpo, el tiempo que gasta un
fenómeno.
Medir:
Es comparar una magnitud con otra de su misma especie que
arbitrariamente se toma como unidad. El resultado de toda medida es siempre un
número que es valor de la magnitud y expresa la relación entre esta magnitud y la
que se toma como magnitud.
Razón: Es una manera de comparar dos magnitudes. En términos generales, una
razón informa la comparación por división de dos números o de las medidas de
dos cantidades que pueden ser de la misma especie o de diferente especie.
Se simboliza por:
a
b
ó
a : b Se lee : " a es a b"
a es el antecedente y b el consecuente
EJEMPLO:

La velocidad es una razón entre la distancia recorrida y el tiempo gastado para
recorrerla: 20km/h, significa que un automóvil recorre una distancia de 20 km
cada hora.

La razón entre la edad del hijo y la del padre si respectivamente tienen 20 años
y 60 años es:
20 años 1
 que significa que por cada año del hijo el padre tiene
60 años 3
3.
Proporción: corresponde a la igualdad de dos razones: si a/b e una razón y c/d es
otra razón y son iguales, se escribe y cumple:
a
c
  ad  bc ; propiedad fundamental
b d
a y d se denominan extremos y b y c medios.
La propiedad fundamental permite calcular un término desconocido en una
proporción.
EJEMPLO:
Calcule el termino desconocido en la proporción
8 24

.
9
x
Solución:
Se aplica la propiedad fundamental de las proporcione y luego se despeja el valor
de x:
8 24

 8x  9(24)
9
x
 8x  216
216
 x
8
 x  27
1.6 TIPOS PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los
escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se
debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común, ella se puede
presentar como:
Proporcionalidad directa: En este caso al representar las dos magnitudes están
relacionando, estas tienen las siguientes características:

Su gráfica es una línea recta que parte del origen del
sistema de coordenadas cartesianas.

La constante de proporcionalidad, corresponde a la
pendiente de la recta y generalmente se le da un
nombre, de acuerdo con lo que se esté estudiando.

La ecuación que relaciona o liga las magnitudes es de la
forma
y = K x. Esto significa que el cociente entre cada pareja de las
magnitudes en la tabla de datos es constante. No se deben olvidar sus
unidades respectivas.
Ejemplo1
Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos
kilómetros recorre con 20 galones?
Solución
Se plantea un esquema de proporcionalidad
Se resuelve la proporción, de acuerdo a que existe una relación directa entre las
magnitudes.
20galones(120km)
 simplificando
3galones
x  20(40km) 800km
x
Se observa que si se aumenta el número de galones aumenta, el kilometraje
aumenta.
EXAMPLE The Tortoise and The Hare
Goal Apply the concept of average speed.
Problem A turtle and a rabbit engage in a footrace over a distance of 4.00 km. The
rabbit runs 0.500 km and then stops for a 90.0min nap. Upon awakening, he
remembers the race and runs twice as fast. Finishing the course in a total time of
1.75 h, the rabbit wins the race. (a) Calculate the average speed of the rabbit. (b)
What was his average speed before he stopped for a nap?
Strategy Finding the overall average speed in part (a) is just a matter of dividing
the total distance by the total time. Part (b) requires two equations and two
unknowns, the latter turning out to be the two different average speeds: v1 before
the nap and v2 after the nap. One equation is given in the statement of the problem
(v2 = 2v1), while the other comes from the fact the rabbit ran for only fifteen minutes
because he napped for ninety minutes.
Solution
(a) Find the rabbit’s overall average speed.
Apply the equation for average speed:
(b) Find the rabbit’s average speed before his nap.
Sum the running times, and set the sum equal to 0.25 h:
t1 + t 2 = 0.250 h
Substitute t1 = d1/v1 and t 2 = d 2/v 2:
(1)
Equation (1) and v2 = 2v1 are the two equations needed, and d1 and d2 are known.
Solve for v1 by substitution:
v1 = 9.00 km/h
Remark As seen in this example, average speed can be calculated regardless of
any variation in speed over the given time interval.
La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El
factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones
entre las magnitudes.
Las situaciones de variación directa se traducen a problemas de regla de tres
simple directa y porcentaje o tanto por ciento. En tales problemas sólo
intervienen dos magnitudes que están directamente correlacionadas. En una
proporción porcentual, uno de los números, la parte, se compara con la cantidad
total, la base. La otra razón es un porcentaje, escrito como una fracción, con una
base de 100.
parte porcentaje

base
100
Símbolo
2 40
Aritmética   
5 100
a
p
Álgebra 

b 100
Palabras 


Una razón que compara el cambio en la cantidad con la cantidad original se
llama porcentaje de cambio. Cuando la nueva cantidad es mayor que la
original, el porcentaje de cambio es de aumento. Cuando la nueva cantidad es
menor que la original, el porcentaje de cambio es de disminución. El aumento
en el precio que una tienda le suma al costo se llama recargo. El porcentaje del
recargo es un porcentaje de aumento. La cantidad que el cliente paga se llama
precio de venta.
La cantidad por la cual el precio regular se reduce se llama descuento El
porcentaje de descuento es un porcentaje de disminución. Se calcula el precio
de oferta al restar el descuento.
EJEMPLO 3:
El corazón de un hombre adulto bombea 20 litros de sangre en 4 minutos,
¿cuantas horas bombea 1.600 litros?
Solución: Se observa que la relación entre a cantidad de sangre bombeada es
directa, por lo tanto, se plantea el esquema de proporcionalidad, en su solución la
propiedad fundamental de las misma.
20 litros
→
4m
1.600 litros →
x
(20litros)x  1600(4m)
6400litros(min)
 simplificando
20litros
x  320min
x
EJEMPLO 4:
El prensado de 1500kg de aceituna produce el 36% de su peso
Calcule la cantidad de aceite obtenida.
aceite.
Solución:
Se aplica la proporción porcentual
x
36
$1500kg(36

x
simplificando
1500kg 100
100
 x  540kg
Por lo tanto, la cantidad de aceite producida es 540kg
EJEMPLO 5:
Un compuesto químico contenía originalmente ½ onza de hidróxido de sodio. La
nueva fórmula contiene
5
de onza de hidróxido de sodio. ¿Qué porcentaje de
8
hidróxido de sodio de la fórmula original contiene la nueva fórmula?
Solución:
Se plantea un esquema de una regla de tres simple directa
½ onza → 100%
5/8 onza → x
Se resuelve la proporción directa, como antes:
5
500
(100%)
%
1000%
x 8
 8

 125%
1
1
8
2
2
Luego la cantidad de hidróxido de sodio de la nueva formula 5/8 onza es el 125%
de la cantidad original de ½ onza.
EJEMPLO 6:
De los 800 alumnos que hay en una institución educativa donde estudia Gloria,
600 alumnos se fueron de viaje, ¿qué porcentaje de alumnos viajó?
Solución:
Se plantea una regla de tres simple directa.
800 alumnos  100%
600 alumnos  x
Se resuelve la proporción:
x
600alumnos(100% ) 600%

 75%
800alumnos
6
Es decir, viajó el 75% de los alumnos
Proporcionalidad inversa: Presenta las siguientes características:

Su gráfica es una hipérbola.

La constante de proporcionalidad está dado por
el producto de las parejas correspondientes en
la tabla de datos y también se le da un nombre
de acuerdo con el caso que se estudia.

La ecuación que liga las magnitudes que se
estudian es de la forma:
y
K
x
EJEMPLO 1:
Dos autos recorren exactamente la misma distancia. Al primero le ha tomado dos
horas llegar a su destino, rodando a una velocidad promedia de 75km/h. El
segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?
Solución
 Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se determina la
constante de proporcionalidad:
K  75
km
(2h)  150km , so observa que dicha contante representa la distancia
h
recorrida.
 Se aplica la ecuación que liga las variable, es decir: la velocidad, el tiempo y la
distancia, así:
d
Se sustituyen los valores y se despeja el tiempo:
t
km 150km
150km
100

t 
 1,50h
h
t
100Km/h
 v
Las situaciones de variación inversa se traducen a problemas de regla de tres
simple inversa. En tales problemas sólo intervienen dos magnitudes que están
correlacionadas.
EJEMPLO 2:
Dos autos recorren exactamente la misma distancia. Al primero le ha tomado dos
horas llegar a su destino, rodando a una velocidad promedia de 75km/h. El
segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?
Solución:
El problema anterior se puede resolver planteado el esquema de proporcionalidad:
75km/h
100 km/h
→
→
2h
x
Se resuelve la proporción, de acuerdo a que existe una relación inversa entre las
magnitudes, para aplicar la proporción se invierte la segunda razón y se aplica la
propiedad fundamental de la misma.
75km/h(2h)
 simplificando
100km/h
3h
x
 1,5h
2
x
Se observa que si la velocidad aumenta el tiempo disminuye.
EJEMPLO 3:
En una fábrica 10 obreros hacen cierto trabajo en 15 horas, ¿Cuánto tiempo
demoran 5 obreros en efectuar el mismo trabajo con la misma rapidez y habilidad?
Solución
Observe que al disminuir el número de obreros aumenta el tiempo en que se hace
el trabajo. Luego el problema es de regla de tres simple inversa, y se plantea el
esquema de proporcionalidad.
100 obreros →
5 obreros →
15 horas
x
Como las magnitudes son inversamente proporcionales, la razón entre las dos
cantidades de la misma magnitud es igual a la razón inversa de la otra.
10 ob
x

 despejando
5 ob 15 h
10 ob(15h)
x
 30h
5 0b
Se plantea un esquema de proporcionalidad
Regla de Tres Compuesta: Se ha dicho que cuando en un problema intervienen
dos magnitudes, a regla es de tres simple. Cuando intervienen más de dos
magnitudes se dice que la regla de tres es compuesta.
Si las magnitudes que intervienen en el problema son directamente proporcionales
entre sí, entonces la regla es de tres compuesta directa. Si todas las
magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales decimos que a regla
es de tres compuesta inversa. Si algunas de las magnitudes son directamente
proporcionales y otras inversamente proporcionales, se dice que la regla es de
tres compuesta mixta.
Regla de Tres Compuesta directa: Si las magnitudes que intervienen en el
problema son directamente proporcionales entre sí.
EJEMPLO:
10 canecas de combustible de 15 galones cuestan $36.750, ¿Cuánto cuestan
canecas de 55 galones de combustible si el precio por galón es igual?
8
Solución: En el problema intervienen las magnitudes: n° de canecas, capacidad y
dinero.
Se plantea el esquema de proporcionalidad:
D
D
10 canecas →
15 galones →
$36.750
8 canecas → 55 galones →
x
Comparando las magnitudes que tiene dos cantidades conocidas (n° de canecas y
capacidad) con la magnitud de la cantidad desconocida (dinero), vemos que son
directamente proporcionales al precio.
Como en 10 caneca de 15 galones hay 10 x 15 = 150 galones y 8 canecas de 55
galones hay 8 x 55 = 440 galones, entonces podemos reducir el problema a una
regla de tres simple.
150 galones → $36.750
440 galones → x
Se resuelve la proporción como antes:
x
444 galones($36.750) $16.170.000

 $107.000
150 galones
150
Luego 8 canecas de 55 galones tienen un precio de $107.800
Regla de Tres Compuesta Inversa: Como su nombre lo indica, se trata de
resolver problemas donde aparecen más de dos magnitudes que son
inversamente proporcionales.
EJEMPLO:
Un grupo de 45 excursionistas tienen víveres para 40 días a una ración de 900g
por día. ,¿Cuál debe ser la raci6n diaria, si al iniciar la excursión se incrementa el
grupo en 5 personas y se amplía el tiempo a dos meses?.
Solución: En el enunciado intervienen las magnitudes número de personas,
tiempo y ración (peso en gramos)
I
I
45 personas → 40 días → 900 gr
50 personas → 60 días → x
Se observa que a mayor número de personas menos es el peso de la ración
diaria. A mayor número de días en la excursión disminuye igualmente la ración;
luego las magnitudes número de personas y tiempo son inversamente
proporcionales con relación al peso de la ración diaria, lo cual indicamos
colocando I sobre las respectivas columnas.
50  60  60 900 g
  
45  40  40
x
 3000 x  900 g (1800 )
1620000g
3000
 x  540g
 x
Luego 50 personas durante 2 meses recibe ración diaria de 540g
Regla de Tres Compuesta Mixta: Como su nombre lo indica, se trata de resolver
problemas donde aparecen magnitudes que son inversamente proporcionales y
magnitudes directamente proporcionales.
EJEMPLO 1:
En una fábrica de envases plásticos 5 máquinas producen 75.000 unidades en
tres días. ¿Cuantas máquinas, iguales a las anteriores se deben poner a funcionar
para atender un pedido de 200.000 envases plásticos en dos días?.
Solución:
Se plantea el esquema de proporcionalidad con las tres magnitudes:
D
I
5 máquinas → 75.000 unidades
→ 3 días
x
→ 200.000
→ 2 días
Las magnitudes unidades producidas y numero de máquinas son directamente
proporcionales; tiempo y número de máquinas son inversamente proporcionales.
Luego:
5 maq 750000 u  2 dias 
5 maq 1500000 15

 



X
200000 u  3 días 
x
600000 60
 x
5maq(60)
 20maq
15
Para producir 200 mil unidades en 2 días se deben poner a funcionar 20
máquinas.
EJEMPLO 2:
Para construir 4 casas iguales en 30 días trabajaron 60 albañiles. ¿Cuantos
albañiles se necesitaran para construir 6 casas en 90 días?
Solución:
Se plantea el esquema de proporcionalidad con las tres magnitudes:
D
I
4 casas → 30 días →
60 albañiles
6 casas
→ 90 días → x
El numero casas y el número de albañiles son magnitudes directamente
proporcionales. El número de días y el número de albañiles son magnitudes
inversamente proporcionales.
Para resolver una regla de tres simple o compuesta se puede aplicar la siguiente
regla práctica: Comenzamos de izquierda a derecha. Cuando la proporción sea
directa ponemos debajo del número un signo más, y en el de arriba un signo
menos. Cuando sea inversa ponemos un signo menos y un signo más en el otro.
Para finalizar, el resultado sería igual entonces al producto de todos los que tienen
signo más, dividido el producto de todos los que tienen signo menos.
Aplicando a nuestro ejemplo se tiene:
–
+
+
4 casas → 30 días →
60 albañiles
6 casas
→ 90 días → x
+
–
x
6(30)(60albañiles)
10800 albañiles
x
 30albañiles
4(90)
360
Luego se necesitan 30 albañiles para construir 6 caasas en 90 días.
Nota
En la parte II de la evaluación hay problemas de repartos proporcionales; consulte
en
2.7 RESUMEN:
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de
números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de
dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente
de un número por el otro.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
a c
  ad  bc
b d
Una importante aplicación de la proporcionalidad está en la resolución de los
problemas de regla de tres simple y compuesta.
2.7 EVALUACIÓN
I.
Sustente cada una de las situaciones propuestas de acuerdo con los
conceptos y propiedades estudiadas.
1. En un circuito eléctrico, la corriente eléctrica (I), en amperes, varía
directamente con el voltaje con el voltaje (V). Cuando se aplican 12 volts, la
corriente es de
12 amperes. Encuentre el valor de la corriente cuando
se aplican 18 volts.
2. La ley de Hooke dice que la distancia (d) que se estira un resorte al colgar
un objeto de él varía directamente con respecto al peso (p) del objeto. La
distancia es 40 cm cuando el peso es de 3 kg. Halle la distancia para un
peso de 5 kg.
3. La corriente (i) en un conductor eléctrico varia inversamente con respecto a
Ia resistencia (R) del conductor. La corriente es de — amperes cuando la
resistencia es de 240 ohms., Cuál es la corriente cuando la resistencia de
540 ohms.
4. Si hay 500 hombres y 400 mujeres en una escuela. ¿Cuál es la razón de:
a) Hombres a mujeres? b) Mujeres a hombres?
5. El precio de un televisor se redujo en 11% para alcanzar un valor de
$489.950. ¿Cuál era el precio original?
6. Un grifo que arroja 100 litros por minuto llena una piscina en 7 horas 12
minutos. ¿Qué cantidad de agua debe arrojar el grifo por minuto para llenar
la piscina en 12 horas?
7. Un ciclista marchando 12 km/h recorre en varias etapas un camino,
empleando
9 días a razón de 7 horas por día. ¿A qué velocidad tendrá
que ir si desea emplear solo 6 días a razón de 9 horas?.
8. Una persona lee un libro de 400 páginas en 10 días leyendo diariamente 30
minutos. Si desea leer otro libro, de condiciones semejantes, de 600
páginas en 15 días, ¿cuántos minutos debe leer diariamente?
9. En un galpón de 20 gallinas en 12 días producen 190 huevos, ¿cuántos
huevos producen 180 gallinas del galpón en 45 días?
10. Para construir una piscina 35 obreros trabajaron 270 días de 8 horas
diarias. ¿Cuántos obreros se hubieran necesitado para hacer el mismo
trabajo en 180 días de 7 horas diarias?
11. Los balones de fútbol y de baloncesto de una escuela deportiva suman 40
en total. Se sabe que hay 2 balones de baloncesto por cada 3 balones de
fútbol. ¿Cuántos hay de cada uno?
II.
En cada pregunta, sustente su respuesta con buena presentación y
adecuado procedimiento.
Información: En una finca se desea hacer una zanja de terreno. Isaac calcula
que si dos obreros trabajan 6 horas diarias durante 4 días, se harían 72 metros
de la zanja, el desea aumentar los obreros a 5, trabajando a 8 horas diarias
durante un día menos. Es necesario hallar los metros de zanja que harán en
estas condiciones.
1. En el problema anterior, son magnitudes directas:
a) Los obreros y las horas diarias
b) Los obreros y los dias
c) Las horas diarias y los dias
d) Las horas diarias y los metros
2. Son magnitudes inversas: A. Los obreros y los metros
a) Las horas diarias y los metros
b) Los obreros y los dias
c) Los dias y los metros
d) Las horas diarias y los metros
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la solucion al problema
planteado por Marcos?
a) (72m)(2/5)(816)(3/4)
b) (72m)(512)(816)(314)
c) (72m)(2/5)(6/8)(3/4)
d) (72m)(2/5)(8/6)(413)
4. El número de metros de zanja que se hacen en las nuevas condiciones es:
a) 180
b) 160
c) 140
d) 120
Contesta las preguntas 5, 6, y 7 de acuerdo con la siguiente información:
Lina, Lilia e Isaac deciden comprar un carro aportando cada uno la siguiente
cantidad: Lina $ 3.000.000, Lilia $ 4.000.000 e Isaac $5.000.000.
5. de acuerdo con el aporte de Lina, Lilia e Isaac se puede afirmar:
a) Lina aporta la tercera parte de lo que aporta Lilia e Isaac
b) Lilia aporta el 30% del total del capital
c) Isaac aporta el 40% del total del capital
d) Entre Lilia e Isaac aportan el 90% del capital
6. El uso del carro es proporcional al capital aportado por cada uno. Durante
los 30 dias de cada mes podemos afirmar:
a) Ninguno le corresponden dias completos
b) Por cada millón se puede usar el carro 3 dias
c) A Lilia le corresponde usar el carro 10 dias
d) A Lina le corresponde usar el carro menos de 8 días
7. Deciden vender el carro por $ 9.000.000, el dinero obtenido debe repartirse
proporcional a la cantidad aportada, y de acuerdo a este criterio podemos
afirmar:
a) Lilia pide un millón de pesos
b) A Isaac le corresponde menos de $ 4.000.000
c) Lina pide menos de $ 500.000
d) Lilia recupero el 8% de su aporte
Responda las preguntas de la 8 hasta la 11
La siguiente tabla relaciona el descuento ofrecido en un almacén sobre ciertos
artículos:
Artículo
Precio original
Precio de descuento
17790
12590
A
24990
16240
B
100000
80000
C
185150
219000
D
499000
409000
E
7990
5990
F
139990
70000
G
59990
47990
H
149990
199990
I
8. Para determinar el porcentaje de descuento de los artículos, se debe:
a) Restar el precio original del precio con descuento.
b) Determinar el porcentaje correspondiente a Ia diferencia entre el
descuento y el precio original.
c) Dividir el precio original entre el precio final del articulo
d) Hallar el promedio entre el precio inicial y el precio con descuento.
9. Para determinar cuál de los artículos tiene el mayor porcentaje de
descuento se debe:
a) Restar el precio con descuento el precio inicial de cada artículo. Los
valores obtenidos se comparan y se determina cual es el mayor de ellos.
b) Calcular el promedio entre el valor con descuento y el valor inicial de
cada artículo y luego determina entre ellos el mayor valor.
c) Considerar el valor inicial de cada artículo como el 100% y luego
determinar mediante una regla de tres simple que porcentaje le
corresponde al Descuento.
d) Considerar el valor con descuento de cada artículo como el 100% y
luego determina mediante una regla de tres simple que porcentaje le
corresponde al valor inicial.
10. Una persona quiere comprar los artículos A y By pide un porcentaje de
descuento sobre la suma de los dos precios originales equivalente a la
suma de los porcentajes de cada artículo, este procedimiento es:
a) Correcto pues los porcentajes de los artículos A y B son del 30%,
respectivamente y su suma es del 65%.
b) Incorrecto pues el descuento de los artículos A y B son del 30% y 25% y
su suma es de 55%.
c) Correcto pues el porcentaje de descuento de cada artículo es del 65%, y
además 65%(A + B) = 65% A + 65% B.
d) Incorrecto porque los porcentajes de descuentos de los artículos A y B
no son iguales.
11. ¿Cuál artículo ofrece un mejor descuento?
a) El artículo D porque ofrece un descuento del 20%.
b) El artículo D porque ofrece un descuento del 15%.
c) El F porque la diferencia entre el precio final y el inicial es menor que
cualquier otra diferencia.
d) El F porque tiene un descuento del 25%.
2.8 MAPA CONCEPTUAL DE PROPORCIONALIDAD
2.9 LECTURA COMPLEMENTARIAS
¿POR QUE LA GENTE MENUDA DEBE VESTIRSE RAPIDAMENTE DESPUES
DEL BAÑO?
Aunque la temperatura ambiente sea la misma, no todos experimentamos la
misma sensación de frío o de calor. Es bien conocido que hay personas friolentas,
mientras otras se sofocan con facilidad.
En ocasiones sentimos como un escalofri6 recorre todo nuestro cuerpo sin que
haya influenciado en ello la temperatura del exterior. En parte, estas sensaciones
tiene una explicación sicológica; sin embargo, también existen motivos fisiológicos
que pueden explicar estos hechos. Es sabido, por ejemplo que las personas que
tienen menos glóbulos rojos acostumbran a sentir frio antes que las demás
No obstante, el motivo por que los bebes hay que vestirlos rápidamente después
del baño responden a razones diferentes. Obedece a razones matemáticas.
Observemos que para refrescarnos, muchas veces al truco de mojarse con agua o
alcohol la frente, o la nuca, en efecto cuando esta agua o alcohol se evapora
roban parte del calor de nuestro cuerpo, lo que nos produce una sensación de
frescor. Cuanto mayor sea la superficie humedecida mayor será el calor robado a
nuestro cuerpo y por tanto será mayor la sensaci6n de frescor.
Esta misma sensación de frescor es la que se produce con la salida de la ducha
solo que en este caso es todo nuestro cuerpo el que se encuentra humedecido en
una persona adulta no hay peligro, por mucho calor que se le robe de esa manera
su cuerpo no se enfriara lo suficiente para contraer un resfriado. Sin embargo, un
bebé tiene proporcionalmente mucho más superficie de piel con relación al
volumen de su cuerpo y el calor que la evaporación le robe, no solo le puede
producir un resfriado, sino incluso una pulmonía.
La superficie es proporcional al cuadrado de las magnitudes lineales, es decir: S 
L2
Mientras que el volumen lo es al cubo de la misma: V  L3
Por tanto:
S 1

V L
Lo que significa que la relación
bebes
cuya
magnitud
S
es tanto mayor cuanto menor es L, así pues los
V
lineal
es
pequeña
presenta
una
proporción
S
S
superficie/volumen
y como el enfriamiento es proporcional a
corren graves
V
V
riesgos de resfriarse matemáticamente hablando.
Tomado de Enciclopedia Audiovisual Educativa Matemáticas.
3. GEOMETRÍA
3.1 PRESENTACIÓN
La geometría es muy importante debido a que permite enseñar y aprender el arte
de razonar, porque es abstracta, pero fácil de visualizar y tiene muchas
aplicaciones concretas como por ejemplo, calcular el área de un lote a ser
cercado, determinar el volumen de un lata que contiene refresco, construir puentes
bien estructurados, estaciones experimentales en el espacio, grandes coliseos
deportivos, entre otras.
3.2 SITUACIÓN PROBLEMA
Un transbordador espacial es un vehículo diseñado
especialmente para
transportar astronautas en
misiones de reconocimiento o para colocar algún
satélite en órbita.
Algunas características de un transbordador espacial
son las siguientes:
Tiene un tanque cilíndrico desechable para el
combustible que se libera a una altitud de 109 km,
8,5 minutos después del lanzamiento y tiene una
capacidad de 2483,18 kilolitros.
Cuenta con dos tanques recuperables de
combustible, cada uno de los cuales tiene una masa
de 96000 kg. Su masa en el despegue es 2.041.166
kg, mientras que su masa tras la misión es 104.326
kg. La carga máxima que transporta es 28.803 kg
(vuelve a la tierra con aproximadamente 14.000kg)
DESARROLLA EL SABER CRÍTICO
Interpreta
1. ¿Qué unidades de capacidad identificas en las características del
transbordador?
2. ¿Qué unidades de masa identificas en las características del transbordador?
3. ¿Qué unidades de tiempo identificas en las características del transbordador?
Infiere
4. ¿Cuánta masa ha perdido el transbordador al volver de la misión?
3.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

Aplica los conceptos básicos de la geometría, sus propiedades, relaciones y
fórmulas, en la solución de problemas en cualquier contexto.

Selecciona la información relevante y establece relaciones entre variables en la
solución de un problema.
3.4 DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
3.4.1 ACTIVIDAD PREVIA: Trabajo independiente.
 Lea la presentación de la unidad y las competencias específicas a alcanzar al
término de la unidad y de solución al problema inicial de la unidad.
 Lectura comprensiva de la unidad mediante el análisis de los ejemplos.
 Realice las consultas pertinentes en la bibliografía y cibergrafía o las que usted
consideres necesarias.
 Use el resume de la unidad
 Resuelva la actividad final de autoevaluación.
3.4.2 ACTIVIDAD EN GRUPO
 Socialice las respuestas del problema inicial de la unidad con los compañeros y
el tutor.
 Consulte con los compañeros de CIPA sobre las dificultades detectadas y su
solución por parte de otros compañeros o el tutor en forma colaborativa.
 Desarrolle la actividad final de autoevaluación propuesta de la unidad.
 Realice un informe de la parte II de la autoevaluación, sustentando cada una
de las situaciones propuestas.
3.5 CONCEPTOS BÁSICO DE GEOMETRÍA
Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos geométricos más
simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Que son los conceptos
geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría Descriptiva.
Punto: es el objeto fundamental de la geometría. Es la representación de una
posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y
dimensiones.
Un punto se puede representar de las siguientes formas:
Línea: Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican básicamente en:
recta, poligonal o quebrada y curva, como se indican en las siguientes figuras:
Recta: Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos
a los que une recorriendo su menor distancia.
Una recta tiene las siguientes partes:
Semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera
de sus puntos, tiene principio pero no fin. En la figura anterior se tiene las
semirrectas: CA y CB
Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos y por lo
tanto se puede medir. En la figura anterior de tienen los segmentos:
AC , BC y AB
Ángulo: palabra que procede del latín angulus y significa rincón, ángulo, es la
parte de un plano que está limitado por dos semirrectas que tienen el mismo
origen llamado vértice.
Un ángulo se nombra indistintamente así: con una letra griega , con ABC, o
teniendo en cuenta que a letra del vertice va entre las otras dos: B.
Los ángulos se miden con el transportador y su medida se expresa en grados (°) o
en radianes (Rad)
Clasificación de los ángulos: se clasifican según su abertura, posición y su
suma.
Según su amplitud o abertura: se clasifican:





Ángulo Agudo: Si la abertura mide menos de 90°
Ángulo Recto: Si mide 90°.
Ángulo Obtuso: Es el que mide mas de 90° y menos de 180°.
Ángulo plano o llano: Es el que mide 180°
Ángulo de una vuelta: Es el que mide 360°.
Segun su posicion:

Consecutivos: Aquellos ángulos que poseen un lado común.


Adyacentes: Aquellos que tienen un lado común y ademas los lados no
comunes son semirrecta con sentido opuesto.
Opuestos por el vertice: Cuando los lados de un ángulo se obtienen por la
prolongacion de los lados de otro.
Según su suma:
Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas
es 90°.
Suplementarios: Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual
a 180°.
Plano: tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos
dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos
dimensiones.
Posición Relativa entre dos Rectas
Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:

Rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están
contenidas en un plano.

Rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En
este caso están contenidas en un plano.

Rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están
contenidas en un plano
3.6 POLÍGONOS
Poligonal: Línea formada por segmento rectos consecutivos no alineados. Se
clasifican en:

Poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos,

Poligonal cerrada: si cada segmento está unido a otros dos.
Polígono: es una figura plana cerrada que está formada por tres o más
segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta
que forman un polígono solo se interceptan en sus puntos extremos.

Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de 180º.

Cóncavos: algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º.
Como podrás ver más adelante en este tema, también se clasifican en: regulares
e irregulares y según su número de lados.
Los polígonos se nombran de acuerdo al número de lados que están
formados.
Polígono
Triangulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono:
n - ágono
Número
de lados
3
4
5
6
8
9
9
10
n
Las partes de un polígono son:
Vértices: puntos finales de los segmentos que forma el polígono, en la figura: A,
B, C, D, E.
Lados: segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos del polígono, en
la figura los lados son: AB
Lados consecutivos: cualquier par de lados que comparten un vértice, en la figura:
AB y BC, BC y CD,
Diagonal: un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos, en la
figura: AC.
Apotema: de un polígono regular, es un segmento cuyos
extremos son el centro de un polígono regular y el punto
medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre
perpendicular a dicho lado.
3.6 TRIÁNGULOS
El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el
polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades
ayudará a analizar los polígonos de más lados.
Elementos del triángulo
Base: La base de un triángulo es el lado sobre el cual parece que descansa la
figura y puede tomarse uno cualquiera de los lados.
Vértice: Es el punto de intersección de sus lados.
Altura: Es la perpendicular bajada desde uno de los vértices al lado opuesto o a
su prolongación. Al punto donde se intersecan las alturas se llama Ortocentro.
Clasificación de los triángulos:
Teniendo en cuenta el valor del ángulo, se clasifican en:



Triángulo Rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto.
Triángulo Acutángulo: Es el que tiene sus tres ángulos agudos.
Triángulo Obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso.
Teniendo en cuenta la magnitud de sus lados, se clasifican en:



Triángulo Equilátero: Es el que tiene sus tres lados iguales.
Triángulo Isósceles: Cuando la medida de dos lados son iguales y el tercer
lado desigual.
Triángulo Escaleno: Cuando la medida de sus tres lados son diferentes.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo los lados reciben los siguientes nombres:
Hipotenusa: Es el lado que se opone al ángulo recto (c).
Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto AC y BC (b, c)
En todo triangulo rectángulo se cumple que el cuadrado de a medida de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los
catetos.
c2=a2+b2
El anterior enunciado se conoce como "Teorema de Pitágoras".
Ejemplo: Sea el triángulo rectángulo ABC, con a = 3, b = 5, halle la
hipotenusa c.
Solución: se aplica el teorema de Pitágoras:
c2  a 2  b2
c 2  32  52
c 2  9  25
c 2  34
c  34
c  5,83
3.7 CUADRILATEROS.
Los cuadriláteros son polígonos que tiene 4 lados. En ellos podemos distinguir las
siguientes partes: 4 lados, 4 ángulos interiores, 4 ángulos exteriores, 4 vértices y 2
diagonales.
Clasificación de los cuadriláteros: Los cuadriláteros se clasifican en:
Paralelogramos (cuadrado, paralelogramo propiamente dicho, rectángulo y rombo)
y no paralelogramos (trapecio, trapezoide y romboide).
Paralelogramo: Es un cuadrilátero que tiene paralelos los pares de lados
opuestos. La base del paralelogramo es uno cualquiera de sus lados. La altura es
la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (a su prolongación)
Propiedades: En todo paralelogramo se cumplen las siguientes propiedades:






Los lados opuestos son iguales.
Los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos consecutivos son suplementarios.
Las diagonales se corta, mutuamente en partes iguales.
Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales, el cuadrilátero es
un paralelogramo.
El punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo es centro de
simetría del mismo.
3.8 CÍRCULO
El circulo es una figura plana que consiste de todos los puntos que están sobre
una curva cerrada y de los puntos interiores de ella, en la cual cada punto sobre la
curva tiene la misma distancia al centro del círculo.




El radio de un círculo es la distancia entre el centro y cualquier punto de la
curva y tiene longitud R. En la figura, el radio es BC
El diámetro de un círculo es la distancia entre dos puntos cualesquiera de la
curva cerrada y que pasa por el centro y tiene longitud d = 2r y divide a un
círculo en dos partes iguales, en la figura es AC
La Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la
misma distancia (radio) de un punto (centro). El centro no es parte de la
circunferencia.
3.9 PERÍMETROS Y ÁREAS
El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados.
Ejemplo: Encuentre las dimensiones de un rectángulo que tiene 84cm de
perímetro, si su ancho mide 2/5 de su longitud
Solución: Se ilustra la situación: x es la longitud y es
2
x el ancho
5
es
Condición del problema
Como el perímetro es la suma de los lados se tiene:
2l  2a  P
sustituyendo
2 
2x  2 x   84cm  efectuando
5 
4
2x  x  84cm
 multiplicando por 5
5
10x  4x  420cm
14x  420cm
420cm
x
 30cm que es la longitud
14
2
2
x  (30cm)  2(6cm)  12cm que es ancho
5
5
Perímetro de una circunferencia: también se llama, la longitud de una
circunferencia, que se calcula en función de su radio o su diámetro, con las
siguientes fórmulas:
LC  2ππ , como d  2R, entonces
LC  πd
Donde R es el radio de la circunferencia y d es su diámetro
El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que dicha figura
ocupa. El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir
a diferentes fórmulas matemáticas para conocerla, no podemos medirla como
hacemos con las longitudes (con regla podemos "leer" directamente la longitud de
un segmento).
Unidades de superficie: Para medir superficies se toma como unidad la
superficie que corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
A esta unidad se le denomina metro cuadrado y se simboliza m2.
La escala métrica en el Sistema Métrico Decimal de superficie es:
Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2
3.10 ÁREAS DE POLÍGONOS
Áreas de cuadriláteros: El cálculo del área de un cuadrilátero, en el caso de
rectángulos, cuadrados y romboides, es muy sencilla.
El cálculo del área de un rectángulo es básico para entender el cálculo de áreas
de otras figuras planas.
Área de un rectángulo. Se obtiene multiplicando la base por la altura:
A = base x altura.
EJEMPLO
A = (7cm)(4cm) =28cm2
Área de un cuadrado: es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados y sus
cuatro ángulos recto y cumple las propiedades las mismas del paralelogramo,
además las siguientes:
 Las diagonales y las bases medias son ejes de simetría
 La diagonal del cuadrado es la bisectriz del ángulo recto
El cuadrado es el único cuadrilátero que es polígono regular. Además por tener:
 Cuatro lados iguales es un rombo y cumple de las propiedades del mismo.
 Cuatro ángulos rectos es un rectángulo y cumple las propiedades del mismo.
Es decir, todo cuadrado es rombo, todo cuadrado es rectángulo.
Área: el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.
A = lado x lado = lado2
EJEMPLO 1
Halla el área del cuadrado
.
A = (5cm)(5cm) =25cm2
EXAMPLE Installing a Carpet
Goal Apply the multiplication rule for significant figures.
Problem A carpet is to be installed in a room of length 12.71 m and width 3.46 m.
Find the area of the room, retaining the proper number of significant figures.
Strategy Count the significant figures in each number. The smaller result is the
number of significant figures in the answer.
Solution
Count significant figures:
12.71 m  4 significant figures
3.46 m  3 significant figures
Multiply the numbers, keeping only three digits: 12.71 m x 3.46 m = 43.9766 m2 
44.0 m2
Remarks In reducing 43.976 6 to three significant figures, we used our rounding
rule, adding 1 to the 9, which made 10 and resulted in carrying 1 to the unit’s place.
Área de un paralelogramo.. Se obtiene a partir del área del rectángulo,
multiplicando la base por la altura del romboide (no por el oro lado).
A = base x altura.
EJEMPLO 3
A = (6cm)(4cm) =24cm2
Área de un rombo. A partir de un rombo se puede construir un rectángulo como
se puede observar en el gráfico de la izquierda. La base coincide con una de las
diagonales y la altura con la mitad de la otra
A
diagonal mayor x diagonal menor Dd

2
2
Ejemplo
Dd 6cm x 4cm 12cm2
A


 6cm 2
2
2
2
Área de un trapecio. Si se coloca el mismo trapecio invertido como se muestra en
la figura de la izquierda, se obtiene un romboide. El área de este romboide es el
doble del área del trapecio. La base del romboide es la suma de las bases de los
trapecios y la altura del romboide coincide con la altura del trapecio.
A
(basemayor  base menor)h (B  b)h

2
2
Ejemplo
A
(B  b)h (7cm  4cm)

3cm  16,5cm2
2
2
Áreas de triángulos: Para entender cómo se calcula el área de un triángulo
cualquiera, se coloca el triángulo invertido como se muestra en la figura de la
derecha. Se obtiene un romboide de área doble del triángulo, la misma base y la
misma altura.
El área de un triángulo es igual al producto de su base por su altura dividido
entre dos.
A
(b)h
2
Ejemplo
(b)h (7cm)(6cm) 42cm2
A


 21cm2
2
2
2
Áreas de polígonos regulares: Para calcular el área de un polígono regular
cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices.
La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono. Se
calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de
triángulos que se han formado.
El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su
apotema dividido entre dos.
An
(perímetro)(apotema) nla pa


2
2
2
Ejemplo: Calcular el área del pentágono de la figura.
nla 5(8cm)(5,5cm)

 (40cm)(5,5cm)
2
2
A  220cm2
A
Área del círculo: El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por
la circunferencia del círculo dado. Se calcula con las siguientes fórmulas, en
función del radio y del diámetro de la circunferencia:
A  πR 2 , como d  2R, entonces
d2  1 2
d 
A  π   π   πd
2
 4  4
2
Donde R es el radio de la circunferencia y d es su diámetro
3.11 VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Un volumen, cuerpo o sólido geométrico es una región cerrada del espacio
limitada por un número determinado de caras o superficies, que pueden ser planas
o curvas. A diferencia de las figuras planas, los volúmenes son tridimensionales.
Las medidas se toman en longitud, anchura y altura.
La escala métrica en el Sistema Métrico Decimal de volumen es:
Km3 Hm3 Dm3 m3 dm3 cm3 mm3
Los cuerpos geométricos se dividen en dos grupos: poliedros y los cuerpos
redondos.
Los poliedros (cuerpos planos), que son cuerpos geométricos limitados por
polígonos.
En un poliedro se distinguir los siguientes elementos notables principales:




Caras: que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de
polígonos.
Aristas: que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
Vértices: que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más
aristas.
Diagonales: que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del
poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista). Hay que
distinguir entre las diagonales del poliedro y las de los polígonos que forman
sus caras.
Los poliedros se clasifican en Prisma y pirámides.


Un Prisma son poliedros que tienen: dos caras paralelas; que son polígonos y
se llaman bases.
el resto de las caras que son paralelogramos y son las caras laterales.
Clases de prismas:
 Prismas regulares: sus bases son polígonos regulares.
 Prismas irregulares: sus bases son polígonos irregulares.
 Prisma recto: cuando las caras laterales son perpendiculares a la base, son
cuadrados o rectángulos.
 Prisma oblicuo: las caras laterales no son perpendiculares a las bases, las
caras laterales son rombos o romboides.
 Paralelepípedo: es un prisma de seis caras todas ellas paralelogramos.
Una Pirámide es un poliedro que tiene:
 una cara, que es un polígono y se llama base
 el resto de las caras que son triángulo que se unen en un vértice común y son
las caras laterales de la pirámide.
Clases de pirámides:
 Pirámide regular: la base es un polígono regular y las caras laterales
triángulos isósceles.
 Pirámide irregular: cuando tiene por base un polígono irregular.
 Pirámide recta: las caras laterales son triángulos isósceles.
 Pirámide oblicua: alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.
Los cuerpos redondos, que son cuerpos geométricos compuestos total o
parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la
esfera o el cono.
Cuando estudiamos las áreas hablábamos de dos dimensiones: largo y ancho. El
producto de los valores largo por ancho nos da el área.
Para calcular un volumen necesitamos tres dimensiones: largo, ancho y alto. El
producto de los valores largo por ancho por alto nos da el volumen.
Es lo mismo que decir, el volumen lo calculamos también multiplicando el
área de la base por la altura.
Ejemplo: Cuántas cajas pequeñas enteras de 2 cm. de largo, 2 cm. de ancho y
2cm. de alto caben en la caja cuyas medidas aparecen en la siguiente figura:
Solución: Se halla el volumen de la caja grande, multiplicando sus tres
dimensiones:
V = largo x ancho x alto
V = 10,5 cm x 3,2cm x 5,58 cm =187,488cm3
Se halla el volumen de la caja pequeña, multiplicando sus tres dimensiones:
V = largo x ancho xr alto
V = 2 cm x 2 cm x 2 cm =8 cm3
El número de cajas pequeñas que caben en la grande, se obtiene dividiendo el
volumen de la caja grande por el volumen de la caja pequeña.
No 
Vcg
Vcp

187,488cm3
 23,436cajas
8cm 3
Entonces caben 23 cajas
Los cuerpos redondos o de revolución no están limitados por polígonos. Son
cuerpos geométricos que tienen, al menos, una cara curva. Se generan al girar
una línea alrededor de un eje, esta línea se llama generatriz. Se clasifican en:
Cilindro: Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de
sus
lados.
Tiene 2 bases circulares y no tiene vértices. Su altura, entre las dos bases, es
igual a la generatriz (lado del rectángulo que genera el cilindro)
Cono: Se origina al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Tiene una base circular y un vértice.
La altura es la distancia desde el vértice al centro de la base.
La generatriz es la distancia desde el vértice a un punto del borde de la base
(hipotenusa que genera el cono).
Esfera: Superficie que se genera al girar un círculo sobre su diámetro. No tiene
base ni vértice.
El siguiente cuadro muestra las áreas y volúmenes de algunos cuerpos
conocidos:
Figura
Cilindro
Esfera
Esquema
Área
Volumen
Cono
Cubo
Prisma
A = 6 a2
V = a3
A = (perím. base • h) +
2•area base
V = área base
x h
Pirámide
Tetraedro
4 caras, triángulos equiláteros
Octaedro
8 caras, triángulos equiláteros
Cubo
6 caras, cuadrados
A = 6 a2
Dodecae
dro
12 caras, pentágonos
regulares
Icosaedro
20 caras, triángulos
equiláteros
A = 30 · a · ap.
3.12 RESUMEN
Con el objeto de unificar formas de obtener valores comparables para cada una de
las, magnitudes, se han establecidos patrones internacionales de medición. Los
patrones de medida utilizados en ciencias son el sistema internacional (SI), y el
sistema Ingles.
Plano: es el conjunto de puntos que forman un espacio de dos dimensiones. Al
piano se le designa con una o varias letras mayúsculas.
Recta: La intersección de dos planos es un conjunto de puntos que forman un
espacio de una dimensión llamado recta.
El Punto es la intersección de dos rectas. No tiene dimensi6n ni medida, pero si
una posición. Se nombra usando letras mayúsculas.
Las dimensiones de las figuras geométricas son: altura, ancho y largo.
Los ángulos se clasifican según su abertura, según su posición, y según su suma.
Los Polígonos son figuras geométricas cerradas, compuestas por segmentos
unidos en sus extremos. Pueden ser: convexos, cóncavos, regulares e irregulares.
En todo triangulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. El
anterior enunciado se conoce como "Teorema de Pitágoras".
Superficie: Se refiere a la forma (puede ser triangular, cuadrada, circular).
Área: es la medida de la superficie. Se refiere al tamaño. Para medir la superficie
de una figura se toma como unidad básica un cuadrado cuyo lado tiene un metro
de longitud, es decir, la unidad básica es el metro cuadrado m2.
El número de unidades cúbicas contenidas en la porción de espacio de un cuerpo
se denomina volumen. La unidad básica o patrón de las unidades de volumen es
el metro cúbico m3. Un metro cúbico es un cubo que tiene un metro de arista.
3.13 EVALUACIÓN
I.
Resuelva cada una de las situaciones propuestas de acuerdo con los
conceptos y propiedades estudiadas
1. Una caja con forma cúbica tiene 1,2m de arista, ¿cuál es su volumen en
litros?.
2. A un paciente le formulan una dosis de 2 gramos de un
medicamento, ¿Cuantas tabletas debe ingerir si cada una de ellas
contiene
4x10 6 microgramos de la medicina?.
3. En la construcción de un muro se necesitan 0,03 Dm3 de arena. Si una
volqueta puede transportar 6m 3 en cada viaje, ¿cuántos viajes debe
realizar?
4. Un paralelogramo tiene por base un segmento de 320m, y la altura es los
3/2 de la medida de la base. Calcule el área del paralelogramo. Halle el
valor de 3/2 en cada triángulo rectángulo.
5. Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el valor del lados
desconocido si
a = 12m y c = 15m.
6. Los lados de un rectángulo miden 20cm y 26 cm; al unir los cuatro
puntos medios de sus lados se obtiene un rombo. Determine el área
del rombo.
7. De una lámina de aluminio que tiene 2m de lado se recortan dos
discos circulares de 80cm de diámetro, ¿cuál es el área de la lámina
que queda?
8. Sea el triángulo equilátero ABC de área 1024 m2. Uniendo los puntos
medios se ha construido el triángulo A´B´C´. Del mismo modo se construye
el A´´B´´C´´ y así sucesivamente.
Calcule:
a) El área del triángulo A´B´C´
b) La suma de las áreas de los tres primeros triángulos formados con el
procedimiento que se ha explicado anteriormente.
c) El proceso puede ser infinito. ¿Cuánto suman las áreas de todos los
triángulos que pueden formarse?
II.
Sustente cada una de las situaciones planteadas de acuerdo con los
conceptos, principios y propiedades de las relaciones geométricas.
1. Observa el siguiente triángulo
Si el valor de x varía entre 2cm y 5 cm, el área del triángulo debe variar de
a) 12 cm2 a 21 cm2
b) 6 cm2 a 10,5 cm2
c) 4 cm2 a 7 cm2
d) 7 cm2 a 10 cm2
2. La figura mostrada está formada por cubos congruentes (de iguales medidas)
apilados.
Considerando que cada cubo es una unidad cúbica de medida, el volumen total
de la figura equivales a
a)
b)
c)
d)
9 unidades cúbicas
13 unidades cúbicas
14 unidades cúbicas
15 unidades cúbicas
3. De acuerdo con la situación planteada en el ejercicio anterior, el área
superficial total de la figura equivale
a) 7 veces la de un cubo
b) 42 veces la de un cubo
c) 6 veces la de un cubo
d) 14 veces la de un cubo
4. Un carpintero necesita cuatro hojas de 60cm por 27cm. Si la madera se vende
únicamente por decímetro cuadrado, debe, comprar en decímetro:
a) 650
c) 6500
b) 65
d) 6,5
5. En un mapa 1cm representa 200km: en el mismo mapa una distancia de
375km está representada por
a) 7/8 cm
c) 2,75 cm
b) 1,5 cm
d) 2,25cm
6. Anita construye fichas cuadradas compuestas con cuadrados de igual tamaño
de tal forma que cada lado del nuevo cuadrado tiene un cuadrado más que el
anterior, tal como se indica en la figura. Si ella continúa armando las fichas con
el mismo proceso, para formar la sexta ficha requiere de
a) 12
b) 36
c) 24
d) 6
7. De acuerdo con la figura, hay
a) 9 rectángulos
b) 5 rectángulos
c) 4 rectángulos
d) 7 rectángulos
8. Según la figura, puede decirse que los triángulo I y II tiene:
a)
b)
c)
d)
Triángulo I: ∆ ABC definidos por los vértices A, B y C
Triángulo II: ∆ ABD definidos por los vértices A, B y d
Igual área pero diferentes perímetros
Igual área e igual perímetro
Igual perímetro pero diferente área
Diferentes área y diferentes perímetros
Información: se tiene un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura, cuya
hipotenusa es de 25m2 y la altura partiendo de la hipotenusa es 12m, responda 12
y 13
9. Los catetos miden en metros:
a) 20 y 25
c) 20 y 15
b) 12 y 25
d) 20 y 12
10. El área en m2 de dicho triángulo es:
a) 250
c) 120
b) 150
d) 300
11. Un hombre realiza un plano de un parque de forma triangular. Le aconsejaron
que las longitudes de los lados tuvieran la proporción pitagórica; así el parque
como:
a) Un triángulo acutángulo: el cuadrado del lado mayor es menor que la
suma de los cuadrados de los otros dos.
b) Un triángulo rectángulo: el cuadrado del lado mayor es igual que la suma
de los cuadrados de los otros dos.
c) Un triángulo obtusángulo: el cuadrado del lado mayor es mayor que la
suma de los cuadrados de los otros dos.
d) Un triángulo epitángulo: el cuadrado del lado mayor es igual al cuadrado
de uno de sus otros lados.
12. Para construir un centro comercial se ha elaborado un novedoso diseño para la
forma del edificio. La forma de la base es un cuadrado regular y en cada una
de sus esquinas sobresalen tres cuartos de una circunferencia cuyo radio es
un cuarto del lado del cuadrado, tal como se muestra en la figura.
Si los lados del cuadrado miden 100m cada uno, el perímetro en metros es de:
a) 357
c) 471
b) 200
d) 671
13. En la figura, si se pinta todo el sólido. ¿Cuántos cubos tienen 4 caras pintadas?
a) 2
b) 3
c)
4
d) 5
14. En la figura mostrada: ABCD y EFCG son cuadrados de lados 12cm y 3cm
respectivamente. El perímetro del área sombreada en cm es:
a)
36
b) 42
c) 48
d) 54
3.14 MAPA CONCEPTUAL
3.15 LECTURA COMPLEMENTARIA
El BARÓMETRO
Hace algún tiempo me llama un colega para preguntar si yo estaría dispuesto a
servir como árbitro en Ia calificación de un examen. Parecía que él estaba decido
a ponerle cero al estudiante por su respuesta a una pregunta de física, mientras el
alumno reclamaba que debía tener la máxima calificación, y de que hecho la
tendría si el sistema no estuviese cargado en contra de los estudiantes. El
profesor y el alumno se pusieron de acuerdo en someter Ia cuestión al juicio de un
árbitro imparcial y yo fui el escogido.
"Fui a Ia oficina del colega y leí Ia pregunta que decía: Explique cómo
determinar Ia altura de un edificio con Ia ayuda de un barómetro. La
respuesta del estudiante fue: Lleve el barómetro hasta lo más alto del
edificio, amárrele una cuerda larga, haga bajar el barómetro hasta la calle,
súbalo de nuevo, y mida lo largo de Ia cuerda. El largo de la cuerda
corresponde a Ia altura del edificio"
Ahora esta es una respuesta muy interesante, pero: ¿deberá el estudiante obtener
crédito por ella?. Yo señale que el alumno de veras tenía un buen argumento para
reclamar Ia máxima calificación, puesto que había respondido en forma correcta y
completa. Sin embargo, si se le hubiese dado crédito total, esto implicaría que el
estudiante obtuviese muy alta calificación en el curso de física. Una alta
calificación supuestamente certifica que el estudiante sabe bastante de física, pero
la respuesta a Ia pregunta no confirmaba que así fuera.
Con este dilema en mente, sugerí que el estudiante tuviese una segunda
oportunidad para responder la pregunta. No me sorprendi6 que mi colega
estuviera de acuerdo, pero si me sorprendió que el estudiante aceptara de
inmediato.
Así pues le di tres minutos al estudiante para responder, Ia pregunta con la
advertencia de que su respuesta debía demostrar algún conocimiento de física. Al
término de cuatro minutos no había escrito nada. Le pregunte que si deseaba
rendirse, dado que yo tenía otra calase que atender, pero el dijo que no se
rendiría, que tenía muchas posibles respuestas a Ia pregunta, y que solo estaba
pensando cuál de ellas sería más acertada. Me excuse por haberlo interrumpido y
le pedí que siguiera adelante. En el minuto siguiente el rápidamente escribió su
respuesta. Era esta: Lleve el barómetro a lo más alto del edificio. Deje caer el
barómetro, midiendo el tiempo de caída con un cronometro. Después, utilizando Ia
formula d = 1/2at2 (la distancia en caída equivale a Ia mitad de la aceleración por
el cuadrado del tiempo transcurrido), calcule Ia altura del edificio.
En este punto le pregunte a mi colega si él estaba dispuesto a rendirse. El hizo Ia
concesión, y yo le di al estudiante casi la máxima calificación. Cuando salía de la
oficina de mi colega, recordé que el estudiante había dicho que tenía varias
respuestas al problema.
Ah sí dijo el estudiante: Hay muchas formas de saber Ia altura de un edificio con Ia
ayuda de un barómetro. Por ejemplo: uno podría sacar el barómetro en día
soleado y medir Ia altura del barómetro, el ancho de su sombra y el largo de la
sombra del edificio; y utilizando simple proporci6n, determinar la altura del edificio.
Bueno, dije, ¿y las otras?
Si dejo el estudiante: hay una forma de medici6n básica que a usted le gustara. En
este método, usted toma el .barómetro y empieza a subir las escaleras. A medida
que sube, coloca el barómetro sobre la base de cada escala, marca con un lápiz Ia
altura alcanzada, y vuelve a colocar el barómetro sobre la marca, hasta Ilegar al
piso siguiente. La suma de los pisos le dará Ia altura del edificio en unidades
barométricas. Es un método muy directo.
Claro que si usted desea un método mas sofisticado, puede amarrar el barómetro
a una cuerda, hacerlo oscilar como un péndulo, y determinar el valor de g (Ia
aceleración de Ia gravedad), a un nivel de la calle y a nivel del punto más alto del
edificio.
Finalmente, concluyo, si ustedes se limitan a soluciones físicas el problema,
existen muchas otras respuestas, tales como Ilevar el barómetro al primer piso y
golpear en la puerta del conserje. Cuando el abra Ia puerta, usted le dice: Querido
señor conserje, aquí tengo un fino barómetro. Si usted me dice la altura del edificio
yo le doy este barómetro....
(Adaptado de Current Sciencie (1.994): Teacher's edition, vol. 49, N° 14.
3.14 BIBLIOGRAFÍA
1. ENCICLOPEDIA DIDACTICA DE MATEMATICAS. Grupo Editorial
Océano.
2. ENCICLOPEDIA AUTODIDACTICA OCEANO COLOR. Grupo Editorial
Océano. Tomo III.
3. JACK. R. Brito, BELLO Ignacio. Matemáticas Contemporáneas. Segunda
Edición. Editorial Harla.1982.
4. STANLEY A. Smith y otros. Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica. Addison Wesley Longman. Series AWLI. 1.998.
5. CARDONA VALENCIA, Arturo. Geometría. Editorial Bedout S.A.
6. GAIL F. Burril y Otros. Geometría: Integraciones, Aplicaciones,
Conexiones. MC GAW HILL. 2.000
7. CARDENAS, Fidel A, GELVEZ., S. Carlos A. Química y Ambiente 1. segunda
Edición, Mc Graw Hill, 1.998.
8. POVEDA VARGAS, Julio Cesar. Química. Educar Editores. 1.998
9. VALERO, Michel. Física Fundamental. Nueva Edición, Editorial Norma,
2010
10.
ALENDOERFER Y OAKLEY. Fundamentos de Matemáticas Universitarias.
Mc Graw Hill. Tercera Edición, 1.990.
11. L. MURPHY Johnson ARNOLD R. Steffensen. Algebra y Trigonometría con
Aplicaciones. Editorial Trillas. México 1.994.
12 M. L. Fiol — J.M. Fortuny. Proporcionalidad Directa. Editorial Síntesis.
1.990.
13 CARDENAS Jaleydi, GARCIA Manuel y Otros. Serie Matemáticas Para
Pensar: Grupo Editorial Norma 2011
14 HERRRERA Adolfo, SALGADO Diana y Otros. Algebra y Geometría I y
II. Editorial Santilla 2003.
15 NAVAL EDUCATION AND TRAINING. Mathematics, Basic and Algebra. 1980.
16 RAYMOND A. Serway , CHRIS Vuille. College Physics 7th Edition Vol. One. Ed
Thomson Brooks/Cole 2011.
3.15 CIBERGRAFÍA
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html
http://repasodematematicas.wikispaces.com/file/view/U13.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=8FfgFKD3mg0
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/index.htm
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA CON ÉNFASIS EN CIENCIAS NATURALES
MATEMATICAS I
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