Download Examen Junio 2004

Universidad de Navarra
Nafarroako Unibertsitatea
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniarien Goi Mailako Eskola
ASIGNATURA GAIA
TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
NOMBRE IZENA
1º TC
FECHA DATA
23 Junio de 2004
PROBLEMA 1
En el régimen permanente plantear las ecuaciones de equilibrio del circuito de la figura sobre la base
de tensiones (método de los nudos).

e(t) = 100

i(t) =10·cos(1000·t+/4)

=1
10 
10 
10 mH
A
i2
k = 0.8
+
B
62.5 mH
e(t)
100 F
·i2
i(t)
Ref
Puntuación
1) Sistema de ecuaciones en función de las tensiones en los nudos A y B
2) Obtener la expresión temporal de las tensiones en los nudos A y B.
(6)
(2)
Duración: 50 minutos
1) En el circuito aparecen dos generadores independientes de diferente frecuencia. Por tanto, para
resolver el circuito habrá que aplicar el Teorema de la Superposición y estudiar el efecto que
produce cada uno de ellos por separado.
Veamos primero el efecto que produce el generador de corriente continua… Puesto que nos
encontramos en el régimen permanente sabemos que las inductancias se comportan como
cortocircuito y las capacidades como circuito abierto. Además puesto que queremos analizar el
efecto del generador de continua tendremos que eliminar el resto de generadores independientes
(circuito abierto los de intensidad y cortocircuito los de tensión). Procediendo de esta forma el
circuito que nos queda es el siguiente:
10 
Se comprueba fácilmente que la corriente
suministrada por el generador de 100 V es nula
y, por tanto, también lo son las caídas de
tensión en las dos resistencias.
10 
A
B
i2= 0
+
En definitiva, se tiene que:
VA = VB = 100 V.
100V
·i2
Ref
Vayamos ahora con el generador de corriente alterna. En este caso el circuito que tendremos que
resolver, una vez obtenidas las impedancias complejas y el circuito equivalente del acoplamiento
magnético, será el siguiente:
10 
10j
20j·I2
+
10 
A
I1
B
+
I2
20j·I1
62.5j
100º
-10j
I2
Ref
A la hora de aplicar el método de los nudos, hay que tener presente que en la rama que contiene al
generador dependiente de valor I2 la corriente que circula es I2 independientemente de que en dicha
rama haya además una impedancia (62.5j) y un generador de tensión (20j·I1).Por tanto, desde el
punto de vista de aplicación del método de los nudos, el circuito anterior es equivalente a este otro:
10 
10j
20j·I2
+
10 
A
B
I1
I2
I2
-10j
100º
Ref
Aplicando el método de los nudos a este nuevo circuito se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Duración: 50 minutos
1
1 
 1

 20 jI 2

10  10 j  10
V
I
10  VA  

    10  10 j 2  , siendo I 2  B
1
1
1   VB  

10 j



10



10
10 10 j 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
VA  40 5 116.565º
VB  10 50 8.13º
Y la respuesta temporal para estas dos tensiones en el régimen permanente será:
2
161.565)
360
2
v B ( t )  100  10 50 cos(1000t 
53.13)
360
v A ( t )  100  40 5 cos(1000t 
Duración: 50 minutos
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TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
NOMBRE IZENA
1º TC
FECHA DATA
23 Junio de 2004
PROBLEMA 2
Del circuito de la figura, funcionando en régimen permanente de corriente alterna, se conoce la
siguiente información:

La impedancia Z1 tiene un factor de potencia de 0,7 (45º)

El voltímetro y el amperímetro indican, respectivamente, 200 V y 10 A.

El consumo de potencia activa del conjunto formado por Z1 y X2 es de 2000 W

La potencia compleja suministrada por la fuente de alimentación es 3000 + 3000j
R
A
j·X
I2
B
A
I1
I
R1
+
E

- j·X2
V
j·X1
C
Tomando como origen de fases la corriente I, se pide:
1) Factor de potencia del conjunto formado por Z1 y X2
(1)
2) Valores de R y X.
(2)
3) Expresiones complejas de las magnitudes V y E.
(1)
4) Expresiones fasoriales de las intensidades I1 e I2.
(1)
5) Potencias aparente, activa y reactiva absorbidas por Z1 y X2. Valores de R1, X1 y X2.
(3)
Duración: 40 minutos
1) A partir del voltímetro (200 Vef) y el amperímetro (10 A) se sabe que la potencia aparente que
consume el conjunto formado por Z1 y X2 es 2000 VA. Además, el problema nos dice que la potencia
activa absorbida por este conjunto es de 2000 W. Esto quiere decir que, globalmente, el conjunto no
consume potencia reactiva, o lo que es lo mismo, solo consume potencia activa y, por tanto, se
comporta como un elemento puramente resistivo (cos = 1)
2) El generador suministra al resto del circuito una potencia compleja de 3000+3000j
El conjunto formado por Z1 y X2 consume una potencia compleja de 2000 + 0j. Por tanto, R y X
consumen, respectivamente, unas potencias activa y reactiva de 1000 W y 3000 VAr. Puesto que
por estas dos impedancia circula una corriente de 10 A, se tiene que:
102·R=1000  R = 10 
102·X=3000  X = 30 
3) Puesto que el conjunto formado por Z 1 y X2 se comporta como una resistencia pura, tensión e
intensidad se encuentran en fase. Si tomamos la corriente como origen de fases, entonces:
V=2000º
La potencia compleja del generador tiene un ángulo de 45º. Este ángulo coincide con el ángulo de la
impedancia equivalente que ve el generador en sus dos terminales. Además, el ángulo de esta
impedancia es precisamente el desfase que hay entre la tensión del generador y la corriente que
circula por él (100º). Por tanto, sabemos que la tensión del generador está adelantada 45º respecto
a la corriente I. Por otro lado, la fórmula de la potencia aparente nos dice que S = E·I, donde
S=30002 e I=10. Por tanto, E = 300245º
4) I1 está retrasada 45º respecto de V, mientras que I2 está adelantada 90º respecto de V.
Para determinar el módulo de I1 e I2 habrá que utilizar la fórmula de la potencia aparente. Z 1
consume una potencia aparente de 20002 VA mientras que X2 consume una potencia aparente de
2000 VAr. Aplicando la fórmula S = VI se tiene que:
I1=102-45º e I2=1090º
5) Finalmente, consume una potencia compleja de 2000 + 2000j
Por su parte, X2 consume una potencia compleja de 0 – 2000j
Sabiendo las intensidades que absorbe cada una de ellas, es fácil determinar los valores de las
mismas:
Z1 = 10+10j ()
X2 = 20 
Duración: 40 minutos
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TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
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FECHA DATA
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23 Junio de 2004
PROBLEMA 3
El circuito resonante serie con condensador real de la figura se encuentra funcionando a su
frecuencia de resonancia. A dicha frecuencia se sabe lo siguiente:

La intensidad eficaz que suministra la fuente de alimentación es 25 mA.

El ángulo de la admitancia del condensador es 84,2894º
1505
70,36 mH
+
50 Vef
RC
C
Se pide:
1) Factor de calidad del condensador
(1)
2) Valor de la resistencia RC.
(1)
3) Valor de la capacidad C y de la frecuencia de resonancia.
(2)
Suponiendo que el condensador es ideal,
4) ¿cuál sería en este caso la nueva frecuencia de resonancia?.
(1)
Duración: 20 minutos
1) El factor de calidad de un condensador real viene dado por la expresión Q c=RCC. Por otro lado el
ángulo de la admitancia constituida por la asociación en paralelo de R C y C viene dado por la
expresión atan (RCC). Sabiendo que este ángulo es 84.2894º, es fácil deducir que Q c=10.
2) Al sustituir el condensador real por su equivalente en serie, la resistencia total del circuito es la
suma de 1505  y la resistencia equivalente en serie de dicho condensador (Rs). A la frecuencia de
resonancia toda la tensión del generador cae en estas dos resistencias. Sabiendo que la corriente
que circula por ellas es 25 mA, se tiene que RCs = 495 .
Conocido Q y RCs y aplicando la transformación serie-paralelo se obtiene para RC un valor de 49995
.
3) A partir de la expresión del factor de calidad Q del condensador real se sabe que Co=2.0002·10-4
. Aplicando la transformación paralelo-serie se obtiene Cs o=2.0202·10-4 . A la frecuencia de
resonancia se cumple que Lo=1/ Cs o. Despejando o se tiene que: o=70352.47 rad/s.
Conocido o, solo queda calcular el valor de C que resulta ser: 2.8431 nF
4) o=70703.36 rad/s
Duración: 20 minutos
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TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
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1º TC
23 Junio de 2004
PROBLEMA 4
En el sistema de transmisión que se muestra en la figura (parte superior) se pretende comunicar, a
una frecuencia de 50 Mrad/seg, una estación base con un receptor situado a cierta distancia. Para
ello se dispone de un generador de señal sinusoidal de 173,21 Vef (figura, parte inferior).
37 dBi/75
75
75
43 dBi/50
50
98 dB
7 dB
50
6 dB
75
Generador
Amplificador
10 dB
Amplificador
20 dB
Atenuador
50 
R1
R3
+
E
R2
Sin embargo, este generador proporciona una potencia tan elevada que el primer amplificador de la
cadena es incapaz de operar correctamente. Para solventarlo se pretende introducir entre generador
y amplificador un atenuador resistivo en T que lleve a cabo las siguientes funciones:
 Adaptar las impedancias de generador y amplificador.
 Reducir la tensión eficaz a la entrada a dicho amplificador hasta un valor de 33.541 V
Se pide:
1) Valores de R1, R2 y R3 de la red adaptadora para cumplir con las especificaciones
deseadas
(3)
2) Pérdidas de inserción y pérdidas de transmisión del atenuador en T
(2)
3) Potencia en dBm detectada por el analizador de espectros.
(2)
4) Diseñar en el circuito receptor las células adaptadoras sin pérdidas que sean
necesarias con el fin de obtener una potencia máxima en el analizador de espectros.
NOTA: Diseñar las redes de adaptación eligiendo la rama en paralelo como inductiva.
(2)
Una vez insertadas las células adaptadoras sin pérdidas correspondientes, se pide:
5) Valor de dicha potencia máxima expresada en Watios, dBW y dBm.
(1)
6) Expresar dicha potencia en dBV/50 y en dBmV/150 .
(2)
Duración: 70 minutos
1) Teniendo en cuenta que la tensión a la entrada del amplificador es de 33.541 Vef y la
impedancia imagen a la entrada del mismo es de 75 , la potencia que se transmite a la
entrada del amplificador es de p=33.5412/75=15 W.
Conseguida la adaptación, la potencia transmitida desde el generador a la entrada del
atenuador resistivo será la máxima, esto es, 173.212/(4·50)=150 W.
Por tanto, las pérdidas en dB que tienen lugar en el atenuador resistivo son de P(dB)=10.
Conocidas estas pérdidas y las impedancias imagen de entrada y salida del atenuador,
bastará con aplicar las fórmulas ya conocidas para obtener los valores de R 1, R2 y R3.
R2=43.1 
R1=18.04 
R3=48.61 
2) El resto del problema es igual al que se hizo en clase. Los resultados son:
Pérdidas de Inserción = -9.82 dB
Pérdidas de Transmisión = 10 dB
3) Potencia en el analizador de espectros = 40.583 dBm
4) L = 2.12 H y C = 565.7 pF
5) Potencia en el analizador después de la adaptación sin pérdidas:
40.76 dBm=10.76 dBw = 11.9 W.
6) 147.76 dBV/50; 92.52 dBmV/150
Duración: 70 minutos
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TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
NOMBRE IZENA
1º TC
FECHA DATA
TEORÍA. PREGUNTA 1
50 
50 
+
K
+
50 
En el circuito de la figura el generador proporciona una
tensión de valor e(t) = 50·t. En un instante determinado t=3
seg (t’=0) se abre el interruptor K. En t’=0 - se sabe que la
tensión vL en la inductancia es de 150V
23 Junio de 2004
25 mH
ASIGNATURA GAIA
e(t)
VL
iR
A partir de t’>0
-
1) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito?
A partir de t’>0 el circuito está compuesto por dos resistencias en serie de valor 50  y una
inductancia de valor 25 mH. La constante de tiempo será: =25·10-3/100=0.25 ms
2) Valor de la intensidad en la inductancia y de su energía almacenada en t’=0+
50 
+
K
+
50 
+
El circuito en el instante t’=0- es el de la figura. Resolviendo el
circuito se obtiene una corriente en la inductancia de 1 A
(hacia la polaridad positiva de VL)
50 
VL
EL=0.5·25·10-3·12=12.5 mJ
150 V
150 V
iR
-
3) Expresión temporal de la intensidad iR(t’)
En t’=0+ se mantiene la corriente en la inductancia, por lo que la corriente i R(0+) será -1 A. La
expresión temporal de esta corriente será: i R(t’)=-1·e-4000·t’
Duración: 15 minutos
TEORÍA. PREGUNTA 2
En el circuito RC de la figura, funcionando en el régimen permanente de
corriente alterna, se sabe que los valores eficaces de las tensiones en el
generador, en la capacidad y en la impedancia tienen las tres el mismo
módulo.
-
VZ
+
I
+
Z
+
E

VC
-jXc
-
1) Deduzca el carácter y el ángulo de la impedancia Z
Por kirchoff de tensiones, las tres tensiones forman un triángulo. Como los
tres lados del triángulo son iguales, dicho triángulo tiene que ser
equilátero. Para ello, Z tiene que tener carácter inductivo y un ángulo de
30º
VZ
I
E
VC
2) Sabiendo que E e I tienen, respectivamente, unos valores eficaces de 100 V y 10 A, y una
frecuencia de 100 Hz, calcule los valores de Z y Xc
Z=1030º
Xc=10 
3) Tomando como origen de fases la tensión del generador, obtenga las expresiones temporales de
cada una de estas tres tensiones
e(t) = 1002·sen(2000t)
VZ(t) = 1002·sen(2000t+/3)
VC(t) =1002·sen(2000t-/3)
4) Representación gráfica de estas tres tensiones en función de t (radianes)
Duración: 15 minutos
TEORÍA. PREGUNTA 3
Teorema de Everitt
1) Enunciado y demostración
Duración: 15 minutos
TEORÍA. PREGUNTA 4
1) Transformador perfecto. Características principales y ecuaciones de funcionamiento.
Representación circuital.
2) Transformador ideal. Características principales y ecuaciones de funcionamiento.
Representación circuital.
Duración: 15 minutos