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AN ÁLISI S DE M AREAS POR EL MÉTO DO
DE L A DESCOMPOSICIÓN EN ARMÓNICOS
Yuley M. Cardona Orozco, José Manuel Fernández, Mauricio Toro Botero,
Miguel Monsalve Gómez.
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.
RESUMEN
En este art ículo se present a la aplicación del sof tware Gnot ide
desarrollado para la descomposición de señales de marea en sus
constit uyent es arm ónicos, se presenta de maner a condensada las
ecuaciones que gobiernan dicho f enómeno. Del sof twar e desarrollado se
presentan los módulos que c omponen la herramienta de análisis: Módulo
de análisis de calidad de la inf ormación (“open”), el módulo de graf icar la
serie (“plot”), el módulo de la transf ormada de Fourier ( “Fourier”), el
módulo de la transformada de onditas (“wavelet”), el módulo de a juste
m ínimo cuadrát ico (“f it”), y el módulo de predicción (“predict”).
Se
presenta una aplicación a una señal de mareas medida en Cartagena de
Indias.
ABSTR ACT
The aplication of the sof tware Gnotide, developed f or the decomposition of
a tidal signal in to its astronomical constit uends is presented.
The
governing equations are brief ly desenbed.
The diff erent modules are
descr ibed and they are: Analysis of signal qualit y (“open” ), plot module
(“plot”), Fourier transf orm (“Fourier”), wavelet transf orm (“ wavelet”), least
square f itting (“f it”) and predict ion (“predict”). As an example, a tidal
signal measured f or cartagena is analysed.
Palabras clave: Análisis de armónicos, Marea, Four ier, Onditas, Linux
Keyw ords:Armonic Analysis, Tide, Fourier, W avelet s, Linux
1. INTRODUCCIÓN
El estudio y caract erización de las mareas es út il para todas aquellas
aplicaciones que requieran determ inar la var iación en el nivel del mar,
tales como modelos hidrodinámicos en estudios de sistemas costeros. Se
presenta en este artículo una herramienta que permite el análisis de
mareas con base en sus f uerzas generadoras. La herram ienta consiste en
la descomposición de una señal de niveles de agua, m edida en una
estación dada, en sus armónicos const itutivos correspondientes a ev entos
astronóm icos gener adores de marea.
1
Se desarrolló un sof tware para el análisis de señales de marea llamado
“Gnotide”, el cual f unciona en el sistem a oper ativo Linux y es distribuido
como sof twar e libre (licencia GPL). Gnotide consta de var ios módulo s que
permiten la aplicación de las dif erentes ideas previamente planteadas.
2. METO DOLOGÍ A
2.1. FUERZ AS GENER ADOR AS DE M ARE A
La teor ía de las m areas se ha estudiado matemát icamente desde los
tiempos de Isaac Newt on quien desarrolló la teor ía del equ ilibrio de
mareas. Como com plemento a esta teor ía, Laplace desar rolló la t eor ía
dinámica de mareas.
Para la deducción de las ecuaciones que representan las f uerzas
generadoras de mar ea desde la teor ía de equilibrio, debidas al Sol y la
Luna, se emplean do s métodos: uno de ellos representa estas f uerzas a
partir del concepto de balance de f uerzas en el plano, siguiendo el
procedimiento plant eado en el libro de Herbich, [Herbich, 1994]; el otro,
utiliza el concepto del potencial gravitator io ( ver det alles e n [Elmore,
1969]). Este últ imo método t iene la vent aja de presentar las ecuaciones y
su deducción de una manera compacta, por lo cual es el presentado en
este art ículo.
La expresión para la fuer za generadora de marea, se
utilizará para la descomposición d e una señal de mediciones de nivel de la
superf icie del océano, en los armónicos astronóm icos que la componen
(ver [Shureman, 1958], [Cardona, Fernández. 2001]).
FIGURA 1. Sistema Tierra -Luna.
En la Figura 1. se muestra el sistema Tierra -Luna, en donde se toma el
centro de coor denadas esf éricas ( ,, r) en el centro del planeta Tierra y
se asume que la Tierra es una esf era de radio r t , y la dist ancia centro a
centro entre la Tierr a y la Luna, es R t l .
Cualquier punto P que se encuentre sobre la supe rf icie de la Tierra está
sujeto a un potencial gravitacional debido a la presencia de la Luna igual a
(ver detalles en Car dona y Fernández, 2001):
2
l 
G  M l  rt 
3

2
2
2
2
2
1  3  cos    cos    cos    3  sen    sen    sen2   sen2   cos 
2
2  Rtl3 

(1)
Donde  es la latit ud del punto donde se evalúa el potencial y  el ángulo
horario de la Luna, que es el ángulo medido sobre el plano que contiene el
ecuador terrestre, desde el mer idiano de la Luna, hasta el meridiano del
obser vador.
Para una part ícula de agua de masa unitaria, la ener gía potencial
gravitacional debida a la Tierr a es:
 t  g 
(2)
Con  la altur a con r especto al nivel medio del océano.
La alt ura de la marea obtenida a part ir de las consider aciones sobre la
energ ía potencial a la que está sujeta una masa de agua en la superf icie
del océano se muestra en la ecuación ( 3), válida par a cualquier lat itud y
ángulo horario de la Luna, teniendo en cuenta la declinación de la órbita
Lunar:
3
1 M l  rt 
  rt 

2 M t  Rtl 
 
3


  3 cos2  cos2   cos2    sen2 sen2  cos   3 sen2  sen2    1
2


(3)
Para encontrar el valor de la f uer za g eneradora de mar ea en dirección
radial y tangencial debida a la Luna en el punto P, se emplea el concepto
de der ivada direccional como se muestr a, donde u es el vector unitar io en
la dirección requerida:
Du f x, y, z   u  f x, y, z 
(4)
Se obt iene para la dirección normal:
Fn  g 
Ml
Mt
 r
  t
 Rtl
3
 
3
   3 cos2  cos2  cos2    sen2 sen2 cos   3 sen2  sen2    1
2



(5)
Como se puede apreciar, la altura de marea, ecuación ( 3) y la f uer za
normal, ecuación (5) , poseen la misma r elación entre declinación, lat itud y
ángulo hor ario de la Luna. Este hecho se utiliza para la representación de
la señal de mare a en sus armónicos astronómicos. Las f recuencias de
dichos armónicos se obtienen a part ir de la descomposición de la ecuación
de f uerza generador a de marea.
Para apreciar de manera más clar a las componentes de largo per íodo, las
componentes diurnas y las componentes semidiurnas de marea, la
3
ecuación (5) se escribe en f orma expandida como sigue, [Shur eman,
1958]:
Fn 
M
3
g l
2
Mt
 r
  t
 Rtl
3
  1 3

2
      sen 2    2  sen 2   
2
2
3


 
3

M
3
g l
2
Mt
 r
  t
 Rtl

  sen2 sen2  cos  


M
3
g l
2
Mt
 r
  t
 Rtl

  cos 2   cos 2   cos2 

(6)
3
El primer término de la ecuación (6) no depende de la r otación de la
Tierra; las var iaciones son debidas únic amente a la declinación y la
distancia de la Luna, las cuales var ían lentamente. Los arm ónicos que se
extraen de este t érmino se conocen com o constituyentes de largo per íodo.
El segundo término, incluye el coseno del ángulo hor ario de la Luna, por lo
cual la var iación de este término se da en per íodos de un día Lunar. Los
armónicos que se extraen de este térm ino se conocen como constit uyent es
diur nas de la marea. El último término, involucra el coseno del doble
ángulo horar io de la Luna, con lo cual el per íodo de variación de estas
será de medio día lunar y los armónicos que se extraen de este término se
conocen como const ituyentes semidiurnas.
2.2. S ATÉLI TES ARTIFICI ALES Y DESCOMPOSICIÓN DE L A FUERZ A
GENER ADO R A.
El análisis del movimiento complejo r ealizado por el sistema Sol -TierraLuna, se puede representar mediante una superposición de satélites
artif iciales (aplicando la linealidad del sistema) que orbitan sobre el plano
del ecuador celeste descr ibiendo círculos; cada uno de estos satélites
tiene una velocidad angular constante asociada a per iodos de event os
astronóm icos (día solar, día lunar , mes sinódico, entre otros).
Adicionalmente, cada uno de éstos t iene masa y distancia específ icos al
centro de la Tierra, permitiendo de esta manera determi nar su aporte a la
f uerza generadora de marea. Schureman en 1924, planteo esta
descomposición, que se realiza a partir de la f uerza generadora como la
mostrada en la ecuación (6).
Luego de realizar la descomposición y de tener en cuenta las correcciones
por la órbita elípt ica, se llega a la ecuación (7), después de un labor ioso
trabajo de álgebra:
4
M
3
g l
2
Mt
M
3
g l
2
Mt
 r
  t
 Rtl
 r
  t
 Rtl
3
 1 3
2
     sen 2    sen 2 I  
 2 2
3




3 2
9 2


1  e  3e  coss  p   e  cos 2s  p  
2
2


 45

2
 m  e  coss  2h  p   3m  cos 2s  h 

 8

Fn 
3
 1 3
2
     sen 2    sen 2 I   sen 2 I 
 2 2
3




(7)
 5 2 

7
 1  e  cos2 s  2   e  cos3s  p  2 

2
2



 1

17 2
  e  coss  p  180   2   e  cos4 s  2 p  2 

2
 2

 105

15
 m  e  cos3s  2h  p  2    m  e  coss  2h  p  180   2 

16
 16

 23 2

1 2





m

cos
4
s

2
h

2


m

cos
2
h

2



8
 8

Donde:
s: Longitud media de la Luna ref erida al equinoccio sobre la ór bita circular.
h: Longitud media del Sol.
I: Oblicuidad de la órbita de la Luna.
e: Excentr icidad de la órbita de la Luna.
m: Relación entre el movimiento medio del Sol y el lunar.
p: Rotación eje del plano de la órbita de la Luna.
2.3. AJUSTE DE PARÁMETROS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS
CUADRADOS.
Los registros de marea medidos en campo se deben ajustar al modelo
teórico obtenido. Este ajuste se realiza mediante una regresión lineal a un
polinomio trigonométrico con f recuencias preseleccionadas.
Este
procedimiento se usa en la práctica par a tipif icar las mareas en un sit io
determinado y así poder superponer otros ef ectos no lineales como los del
viento.
En el caso particular de las mareas, debido a su naturaleza periódica, la
f unción de ajuste tiene la f orma:

ht j    ai bij cos  i t j  V0  u ij   i
l
i 0

(8)
donde l es el número de f recuencias dif erentes de cero pr esentes en el
ajuste;  i es la f recuencia astronóm ica previamente deter minada (  0 es
cero por lo t anto a 0 representa el valor medio de los r egistros); a i es el
f actor de amplit ud asociado a la f recuencia  i para un sitio específ ico ; b i j
es la amplitud astronómica asociada a la f recuencia  i en el tiempo t j ;  i
es la edad del puerto o desf ase asociado con la f recuencia  i el cual
5
considera el retraso de la marea con respecto al paso del constituyente por
el mer idiano del obser vador, debido a la f orma de la Bahía y a otros
ef ectos locales; y ( V 0 +u) i j es la f ase del argumento de la constituyente en
el tiempo t j con respecto a Greenwich .
En el caso del estudio de mareas, resulta de inter és conocer los
coef ici entes a i y  i por medio de un ajust e de m ínimos cuadrados, mientras
que la f recuencia  j y la f ase del argumento V0  u ij se obtienen por medio
de un estudio astronómico que asocia el comportam ient o del movim iento
del Sol, la Luna y la Tier ra.
La deducción de las ecuaciones para resolver el sist ema de m ínimos
cuadrados para el caso particular de las mareas puede ser consultado en
[Cardona, Fernández 2001].
2.4. IDENTIFIC ACIÓ N DE FRECUENCI AS PRESENTES EN LA SEÑ AL
Para seleccionar las f re cuencias present es en la señal de niveles de agua
se recurre la Transf ormada Discreta de Fourier (TDF). La TDF es una
herramienta matemática que permit e descomponer una f unción periódica
cualquiera, cuya pr imera der ivada es continua, en una ser ie de f un ciones
seno y coseno.
Las amplitudes de cada uno de estos términos se
determinan por medio de integrales en el inter valo de la f unción. De esta
f orma se obtienen las f recuencias de origen matemático con las cuales se
identif ican las de origen astronómico que se emplean en el ajuste por
m ínimos cuadrados.
La TDF retorna un gran número de f recuencias que hacen dif ícil discer nir
cuales son las r ealmente represent ativas.
Por ello se recurre,
generalment e, a una representación gráf ica del espectro que perm ite
visualizar donde se encuentran las f recuencias más impor tantes. En la
aplicación desarr ollada, Gnot ide, se incluye adicionalment e un parámetro
estadístico (F) que permit e clasif icar las f recuencias según su
represent atividad dentro de la señal, siguiendo la exposición de W ei
[W ei,1994].
El análisis estándar de Fourier descompone una señal en las componentes
de f recuencias y determina la potencia relat iva de cada una de ellas. Este
procedimiento no brinda inf ormación acerca de cuando la señal exhibe una
caracter ística part icular y por lo tanto en aquellos casos donde la señal no
es estacionaria se pier de inf ormación valiosa al ignorar las anomalías
locales.
En el caso del estudio de las mareas, debido a su origen
astronóm ico, la señal es est acionaria, co n algunas perturbaciones
producidas por eventos no estacionales o atmosf éricos tales como la
acción del viento. Al permit irse un análisis que pueda distinguir en el
dominio del t iempo las anomalías en las f recuencias de la señal, se evita
incluir en el mo delo las componentes no astronóm icas. Es aquí donde la
Transf ormada de Onditas t iene aplicabilidad.
6
Ésta transf ormada, se repr esent a mediante una gráf ica ( ver Figura 5) que
tiene el t iempo en el eje de las abscisas y las f recuencias en las
ordenadas. La escala de colores, indica el por centaje de repr esentat ividad
que tiene una f recuencia en cada tiempo; los valores más altos muestran
que la f recuencia t iene mayor relevancia en la ser ie. Existe una zona en la
parte inf erior, denominada cono de inf luencia en la cual la TO no brinda
inf ormación f iable.
2.5. APLI C ACIÓN PAR A AN ÁLI SIS (GNOTIDE)
Con los conceptos descritos ant eriormente, se desarrolló una aplicación de
computadora denominada Gnotide, empleando para tal f in el lenguaje de
programación C y el sistema oper ativo Linux.
La elección de esta
plataf orma de trabajo, está f undam entada en la calidad de las
herramientas de desarrollo comput acional disponibles bajo libre
distr ibución en este entorno (bibliotecas de programación, compiladores,
etc.), con lo cual, las inst ituciones pueden obtener grandes ahorros en
licenciam ient o, adicional a la disponibilidad del código f uente, que permite
en centros académicos, su empleo en la f ormación prof esional.
Gnotide f ue validado en dos etapas, en la primera de el las se considera el
caso trivial, para una ser ie sintét ica, con la cual se pret ende validar la
consistencia en los cálculos realizados por el programa, generando,
mediante el módulo de predicción, una serie sintética para ser usada como
entrada al programa . La ver if icación consiste en que el resultado de la
descomposición en armónicos astronómicos de est a serie debe ser
exactament e igual a la ser ie or iginal.
En un segundo caso, se tiene una serie de datos reales, registros de
marea en Linnenplate, en la c osta del Mar del Norte, en Alemania
(gentilmente cedidos por el COASTAL RESEARCH LABO RATORY de la
Universidad de Kiel, Alemania) y los resultados del análisis de la misma,
realizado con el pr ograma GETIJSYS/ANALYSIS V3. 00 (desarrollado a
partir de la misma metodolog ía de descomposición en arm ónicos, por el
inst ituto de hidráulica de DELFT, DELFT HYDRAULICS, en Holanda); se
compararon estos resultados con los obtenidos mediante el programa
“Gnotide ”.
En estas dos pruebas se obtuvier on buenos resultados, per mitiendo
concluir que la aplicación es coher ente con los cálculos matemáticos y con
la metodolog ía descrita, por lo tanto puede ser empleada para el análisis
de mareas.
A cont inuación se muestra la aplicación Gnotide mediante el uso de una
serie de alt ura s de marea con registro horario para la estación Cartagena,
serie
que
f ue
obtenida
en
la
dirección
electrónica:
http://uhslc.soest.hawaii.edu/uhslc/datai. html.
La aplicación tiene dif erentes módulos que permiten realizar el análisis de
la serie. En la Fi g ura 2a se muestra la ventana pr incipal del programa
7
desde la cual se puede acceder a los módulos disponibles (Abr ir archivo,
Graf icar serie de datos, Transf ormada Discreta de Four ier, Transf ormada
de Onditas, Ajuste de m ínimos cuadrados y Predicción). A part ir de la
apertura del archivo, el programa genera un reporte sobr e la calidad de los
datos, detectando tramos con y sin inf ormación. En la Figura 2b, se
muestra el reporte de los datos par a la estación Cartagena en el año 1998.
FIGURA 2a.Ventana principal
FIGURA 2b. Reporte de datos.
En la Figura 3 se m uestra la gráf ica de los datos, donde se obser van las
mareas vivas que coinciden con la ocur rencia de las lunas llena y nueva
(como se puede apreciar en la parte super ior del gráf ico) y las marea s
muertas que ocurren durant e los cuartos crecient e y menguante. Este
módulo del programa, además, permite visualizar los tr amos de datos
f altantes con f ranjas vert icales (de color ver de).
FIGURA 3. Gráf ica de la serie.
Para detectar las f recuen cias presentes en la señal, se usan los módulos
de la transf ormada de Four ier y de Ondit as. En la Figura 4 se muestra, en
la parte superior, el espectro de Fourier de la serie en escala normal. En
la parte central se tiene el espectro en escala logar ítmic a, el cual se
represent a para lograr una f ácil visualización. Finalmente, en la parte
inf erior se t iene el listado con los valor es del espectro y de la pr ueba de
signif icancia F para cada una de las f recuencias. En el espectro para los
datos de Cartagena , se obser van subgrupos alrededor de las f recuencias
de largo per iodo, diurnas y semidurnas.
8
FIGURA 4. Espectro de Four ier.
La Transf ormada de Onditas, muestra clar amente, que esta ser ie es
estacionar ia y que las f recuencias cercanas a 15 °/h y a 30 °/ h, presentan
abatim ient os por ser f recuencias cer canas en estos r angos.
Los
resultados de la Transf ormada de Onditas se obser van en la Figura 5.
FIGURA 5. Transf ormada de Onditas.
Las constituyentes incluidas en el ajuste de m ínimos cuadrados, se
seleccionan de aquellas que se encuentran en las cercanías de las
f recuencias que poseen un valor de F super ior a 4,96 que correponde a
nivel de signif icancia del 99% ( esta signif icancia puede ser elegida a
criterio del analist a). En la Figura 6b se muestra l a ventana donde se
seleccionan las f recuencias identif icadas. El ajuste de m ínimos cuadrados
se muestra en la Figura 6ª. En esta f igura se puede apreciar, en la parte
super ior, la superposición de las ser ies originales y ajustadas, donde se
obser va un bue n aj uste dur ante todo el inter valo de t iempo. En la parte
media del graf ico se muestra el error que no presenta ninguna tendencia y
se consider a aleatorio; en la parte inf erior, se tiene un r eporte de los
estadísticos del aj uste y de la amplitud y f ase ob tenidas para cada
constit uyent e astronómica elegida par a el cálculo del ajuste.
Los Est adisticos del ajuste obtenidos en el ejemplo de Cartagena son los
siguientes: Sse = 15,1212, Mse = 0,0018, SSr = 81,1447, Syy = 96,2659,
R 2 = 0,842923.
9
FIGURA 6a Ajuste de la ser ie
FIGURA 6b Selección de f recuencias
Los parametros del ajuste que car act erizan la marea para la estación
Cartagena se muestran en la Tabla 1 (Según la nomenclatura de
Shureman, las constituyentes que están nominadas con la letra a,
represent an constituyentes de origen lunar, las que están con la letra b,
represent an constituyentes solar es).
TABLA 1. Par ámetros del ajuste.
F/internacional F/shureman Amplitud (m)
0,051451
nnn
b8
0,001138
nnn
b9
0,006455
nnn
a4
0,015336
Mm
a2
0,009503
nnn
a11
0,003799
MSf
a5
0,048840
O1
a14
0,026462
P1
b14
0,084900
(K1)
b22
0,025298
N2
a40
0,074094
M2
a39
0,002275
nnn
a54
0,018328
S2
b39
Fase (°)
-94,677
-19,395
-113,238
13,654
28,391
-61,143
-122,621
-116,948
-113,672
109,741
138,593
49,499
52,109
A partir de los par ámetros obtenidos del ajuste, se pr edicen niveles de
agua debidos a la marea para cualquier periodo de tiempo requerido,
pudiendose emplear en modelos hidr odinámicos. En las Figuras 8a y 8b
se muestra la predicción para los meses de Mayo y Junio de 1998 y la
ventana de selección de f recuencias que pueden ser modif icadas en su
amplitud y f ase, según las necesidades del analista.
10
FIGURA 8ª. Predicción.
FIGURA 8b. Selección de f recuencias.
4. CONCLUSIONES
Las mareas son generadas por f actores astronóm icos y por ello es posible
determinar su comportamiento a partir de estos f actores, únicamente
obteniendo altos índices de correlación.
Gnotide permite realizar análisis de señales de marea de una manera
sencilla. Con las herramient as disponibles actualment e, se super an las
dif icultades de pr incipios del siglo XX, cuando la concepción del problema
era clara y coherent e, pero su pr incipal dif icultad radicaba en la ausencia
de herram ientas computacionales ef icient es .
El programa tiene un gran potencial para desarrollar; tal como está
implementado actualmente, permite el análisis de una sola serie de datos.
Se recom ienda incluir la posibilidad de realizar el análisis de varias ser ies
simultáneamente, y de analizar otras series de tiempo que pueden af ectar
una señal de marea. Estos nuevos procedimientos permit ir án al usuar io
comparar dif erentes registros y de est a f orma identif icar relaciones o
interf erencias de una serie en otra.
El sof tware libre, por su costo y calidad, permit e cumplir el comprom iso
que tienen las instit uciones públicas con la comunidad, de socializar los
conocimientos desar rollados dentro de ellas.
BIBLIOGRAFÍA
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12