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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
AC
IO
N
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA
LABORATORIO Nº 8
RM
FISICA I
FO
CICLO: 2008-A
DOCENTE:
TEMA:
IN
LIC. JULIO CHICANA L.
BRIONES VERDE, Christian Alexander
072583C
CHUCARI MARTINEZ, Jorge Jesús
072570 I
GAMARRA QUISPE, Saúl Abel
072567H
GONZALES ROJAS, Jonathan Jair
072612C
MEDINA MENDIVIL , Jorge Daniel
070521K
SO
LO
PA
ALUMNOS:
RA
MOMENTO DE INERCIA
LIMA - PERU
JULIO - 2008
AC
IO
N
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCION. ...................................................................................................................... 2
1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 3 RM
2. FUNDAMENTO TEORICO .................................................................................... 3 2.1 CONCEPTOS FÍSICOS....................................................................... 3 2.1.1 Movimiento del sólido rígido ..................................................................... 3 2.1.2 Energía cinética del sólido rígido ............................................................... 4 2.1.3 Ecuación fundamental de la dinámica de la rotación .................................... 5 2.1.4 Conservación de la energía de un sólido rígido ............................................ 6 2.2 PARTE 1: Calculo del momento de Inercia . Metodo Energetico .............. 7 2.3 PARTE2: Calculo del momento de Inercia . Metodo Geometrico .............. 8 3. MATERIALES E INSTRUMENTOS ........................................................................ 9 4. VARIABLES INDEPENDIENTES .......................................................................... 9 5. VARIABLES DEPENDIENTES............................................................................... 9 FO
6. PROCEDIMIENTO ............................................................................................... 9 7. ANALISIS DE RESULTADOS.............................................................................. 10 8. CUESTIONARIO ................................................................................................ 11 IN
9. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .......................................................... 12 SO
LO
PA
RA
10. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 13 1
AC
IO
N
INTRODUCCIÓN
En el siguiente laboratorio se estudiara el momento de inercia de cada uno de los objetos:
araña, disco y aro, que se propusieron para esta práctica. Se mostrara y comparara los
resultados experimentales y teóricos, dándonos una visión de los que es el momento de
inercia de objeto. Condiciones en las cuales se realiza la medición, que pueden alterar los
RM
datos que se van registrar, esto ha creado un gran variedad de conceptos y técnicas las
cuales se van estructurando y conforman lo que ahora entendemos tanto por
FO
errores y Técnicas de medición.
Teoría de
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a verificar cambios en su
momento de rotación. Es la analogía rotacional de la masa. El momento de inercia depende de
IN
la distribución de la masa dentro del objeto respecto al eje de rotación. Cuanto más lejos está
la masa del eje, mayor es el momento de inercia. Así, al contrario que la masa de un objeto,
que es una propiedad del mismo objeto, su momento de inercia dependerá también de la
RA
localización del eje de rotación.
PA
El desarrollo de estos temas nos permite apoyarnos en criterios que a lo largo de la
experiencia se han demostrado, tanto en su importancia y a lo largo del desarrollo de estas
SO
LO
actividades se ha podido observar y contrastar con la realidad.
2
AC
IO
N
MOMENTO DE INERCIA
1. OBJETIVOS
•
Determinar el momento de inercia de un cuerpo, en este caso la rueda de maxwell
•
Observar un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de traslación de una
•
RM
partícula y la rotación del cuerpo rígido.
Analizar dicho sistema mecánico a partir de las leyes dinámicas de traslación y rotación, o
alternativamente, del principio de conservación de la energía.
Obtener el momento de inercia de la rueda de Maxwel utilizando medidas de espacio y
FO
•
tiempo.
Comprobar el principio de conservación de la energía .
2. FUNDAMENTO TEORICO
CONCEPTOS FÍSICOS
RA
2.1
IN
•
2.1.1
PA
El sólido rígido es una distribución continua de materia en la cual la distancia entre dos partículas
cualesquiera permanece constante bajo la acción de fuerzas o momentos exteriores.
MOVIMIENTO DEL SÓLIDO RÍGIDO
El movimiento general del sólido rígido se puede considerar como la superposición de dos
tipos de movimientos, una traslación y una rotación.
SO
LO
• Traslación:
El sólido rígido tiene un movimiento de traslación cuando cualquier vector que une dos
puntos cualesquiera del sólido permanece siempre paralelo a sí mismo. En este caso, todos
los puntos del sólido siguen trayectorias paralelas y se mueven con la misma velocidad y la
misma aceleración.
• Rotación:
El sólido rígido puede describir un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. En este
caso todos los puntos del sólido describen trayectorias circulares centradas en el eje y
contenidas en planos perpendiculares a él. Si el eje de rotación atraviesa el sólido los puntos
que están sobre el eje permanecen en reposo mientras que los demás describen
circunferencias en torno al eje. En el caso de que el eje de rotación sea exterior al sólido
todos sus puntos realizan un movimiento circular alrededor del eje.
3
Cuando el sólido gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular , un punto P
cualquiera del sólido describirá una trayectoria circular de radio RP, siendo su velocidad:
vector velocidad
se obtiene con la expresión:
AC
IO
N
[1]
Tomando como origen de coordenadas un punto 0 del eje de rotación, el
[2]
y su vector aceleración es:
[3]
RM
Cuando el sólido gira alrededor de un punto se cumple que solamente uno
de sus puntos mantiene la posición fija. En este caso el movimiento se
puede considerar como una rotación alrededor de un eje de dirección
variable pero que siempre pasa por el punto fijo, por lo que es necesario
considerar el vector rotación en cada instante. Ahora, la velocidad y la
aceleración de cada uno de los puntos del sólido, dadas por las
ecuaciones [2] y [3], se obtienen considerando que el vector
debe referirse al punto fijo.
2.1.2
PA
RA
IN
FO
• Movimiento general:
Un sólido libre puede desplazarse de cualquier forma respecto de un sistema de referencia
inercial OXYZ (Figura 2). Si en un punto arbitrario O´ del sólido se centra un sistema
O´X´Y´Z´ paralelo al anterior que se traslada con la velocidad de O´, el movimiento del sólido
quedará determinado cuando se conozca el movimiento de O´ respecto del sistema OXYZ y
el movimiento del cuerpo respecto de O´, que según lo visto anteriormente es una rotación
instantánea alrededor de un eje que pasa por O´.
La velocidad de un punto P cualquiera es la suma de la
velocidad de O´ y de la velocidad de P referida a O´:
[4]
Por lo tanto, el movimiento de un sólido libre se compone
de una traslación, en la que todos los puntos se mueven
con la velocidad del punto O´ arbitrariamente elegido, y una
rotación instantánea alrededor de un eje instantáneo que
pasa por O´.
ENERGÍA CINÉTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
SO
LO
Para un sólido que gira con velocidad angular alrededor de un eje fijo, siendo O un punto
cualquiera del eje de rotación (Figura 1), su energía cinética es la suma de las energías
cinéticas de cada una de las partículas que lo constituyen:
[5]
Esta expresión se puede poner en la forma:
[6]
siendo:
[7]
4
AC
IO
N
donde Ie es el momento de inercia del sólido respecto del eje e considerado. La magnitud
denominada momento de inercia mide la inercia del sólido para la rotación ya que para dicho
movimiento no sólo interviene la masa sino también su distribución en torno al eje de giro.
Para una distribución de masa no discreta sino continua, como es el caso del sólido rígido,
el sumatorio de la ecuación [7] debe ser sustituido por una integral definida en la forma:
[8]
Si consideramos el movimiento general del sólido su energía cinética vendrá dada por:
[9]
RM
siendo O el centro de reducción y el vector de posición del punto genérico respecto de O.
Si el punto O es el centro de masa del sólido el desarrollo de la ecuación anterior nos lleva
a:
2.1.3
FO
[10]
donde se ve que la energía cinética del sólido es la suma de la energía debida al
movimiento de traslación más la debida al movimiento de rotación.
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE LA ROTACIÓN
IN
Para cualquier sistema de partículas, y por tanto también para el sólido rígido, el momento
cinético con respecto a un punto O se define como:
[11]
siendo
RA
Derivando respecto del tiempo en [11] se llega a la expresión:
[12]
el momento resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sólido. Esta
PA
ecuación se cumple cuando tanto como
se calculan respecto al mismo punto del eje
de rotación fijo o cuando se hace respecto del centro de masa del sólido.
Cuando el eje de rotación es un eje principal de inercia se cumple que
anterior se transforma en:
y la relación
LO
[13]
que se denomina Ecuación Fundamental de la Dinámica de la Rotación, válida para el caso
en que el cuerpo rota alrededor de un eje principal.
SO
Puesto que las ecuaciones del movimiento general del sólido rígido son las
correspondientes a la traslación y a la rotación, cuando tomamos como centro de reducción
el centro de masa del sólido dichas ecuaciones son:
[14]
5
2.1.4
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA DE UN SÓLIDO RÍGIDO
AC
IO
N
El teorema del Trabajo y la Energía Cinética para cualquier sistema de partículas se expresa
en la forma:
[15]
donde
es el trabajo que realizan todas las fuerzas externas para desplazar el sistema
desde la posición 1 a la posición 2. Esta expresión es también válida para el sistema
denominado sólido rígido; en este caso, además, hay que tener en cuenta que el trabajo de
las fuerzas internas es nulo debido a la rigidez del sistema.
la energía potencial
se puede expresar como la disminución de
RM
Si las fuerzas externas son conservativas el
y, por lo tanto, la última ecuación se transforma en:
FO
o bien:
IN
[16]
La ecuación [16] constituye el Principio de Conservación de la Energía. Para el caso en que
el sólido tenga un movimiento general (traslación más rotación), la expresión anterior
quedará:
[17]
PA
RA
La aplicación de estos conceptos a la simulación incluida en esta web nos permite
caracterizar cinemáticamente el movimiento del sólido problema ya que si se deriva respecto
del tiempo la ecuación [17] se obtiene la aceleración que el centro de masa del cuerpo lleva
durante su caída:
y
[19]
SO
LO
A partir de esta expresión, y considerando las condiciones iniciales
, se obtienen las ecuaciones:
instante
[18]
en el
que permiten conocer tanto la velocidad del sólido en cualquier instante t como el espacio
recorrido hasta ese momento.
6
2.2
PARTE 1: CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA . METODO ENERGETICO
AC
IO
N
La rueda de Maxwell es un cuerpo rígido de masa M
FO
RM
Formado por un disco de radio Ry un eje cilíndrico concéntrico de radio r ( r<R ). Sea,su
momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa G paralelo al eje de
la rueda.
IN
Fig. Nº1: Rueda de Maxwell
Consideremos que la rueda baja rodando sin resbalar a lo largo de los rieles inclinados.
Podemos describir este movimiento complejo en función de otros más sencillos ,a saber
:primero un movimiento de traslación que equivale al movimiento del centro de masa G,y
segundo,de un movimiento de rotación con velocidad angular g alrededor del eje que pasa
w
RA
por G.
;donde
r
t
es la energía cinética de traslación.
es la energía cinética de rotación.
LO
T
T
PA
El hecho de que el cuerpo “ruede sin resbalar”permite despreciar las fuerzas de rozamiento
por rodadura por ser pequeñas . En estas condiciones se puede aplicar el Teorema de la
Conservación de la Energía Mecánica ( TCEM )considerando que para un cuerpo la energía
mecánica es
SO
V es la energía potencial gravitatoria.
Aplicando TCEM en las posiciones inicial y final y considerando que el cuerpo parte del
reposo se tiene :
M ×g×h =
1
2M
V
2
g
±
1
2I
W
2
g
7
Donde :
AC
IO
N
Es la velocidad angular alrededor del centro de masa.
Por otro lado :
w
g
=
V
g
r
h = s × senθ
Puede demostrarse que el movimiento de traslación de la rueda es uniformemente
V
o
=2s
RM
acelerado y que.
t
FO
Se encuentra la expresión deseada para el momento de inercia
PARTE2: CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA . METODO GEOMETRICO
RA
2.3
IN
⎛ g × 2 × senθ
⎞
2
ti
I =⎜
− 1⎟ × M × r
⎜
⎟
2s
⎝
⎠
PA
Otra alternativa para calcular el momento de inercia de la rueda de Maxwell es el siguiente:
Consideremos la rueda homogénea y de densidad uniforme,compuesta de otras formas mas
simples, entonces “el momento de inercia total es igual a la suma de los momentos de
inercia de las partes componentes respecto del mismo eje”. de la rueda será:
La masa de cada componente se puede expresar como :
M
m = V ×V
i
LO
i
El momento de inercia total respecto al eje que pasa por el centro de la rueda será:
SO
I = I1 ± I 2 ± I 3
I=
M
×
2V
[r × (V ±V ) ± R ×V ]
2
2
1
2
3
8
3. MATERIALES E INSTRUMENTOS
1 Rueda de Maxwell.
1 Riel paralelo.
1 Balanza.
1 Cronómetro.
1Regla graduada.
1 Dispositivo para medir ángulos.
1 Calibrador Vernier.
AC
IO
N
•
•
•
•
•
•
•
RM
4. VARIABLES INDEPENDIENTES
La distancia, el radio del disco, la masa.
FO
5. VARIABLES DEPENDIENTES
El ángulo de elevación, el tiempo
PARTE 1. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA POR CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA
RA
6.1
IN
6. PROCEDIMIENTO
• Medir la masa y el radio del eje de la rueda de Maxwell. Anotar en la Tabla 1.
PA
• Elegir un ángulo de inclinación ө para los rieles de tal forma que la rueda no resbale.
• Marque sobre los rieles una distancias.
• Soltar la rueda en s = 0 y mida el tiempo que tarda en recorrer la distancia s. Repita tres
veces para el mismo ángulo. Anote sus resultados en la Tabla 1.
SO
LO
• Repetir el mismo procedimiento para otros dos ángulos de inclinación.
Angulo
5
7
TABLA 1
M (g) = 0.58 kg
t2 (s)
t3 (s)
t (s)
t1 (s)
9.02
8.95
9.23
9.23
6.94
6.85
6.75
6.64
2
-4
I (kgm ) = 2.18 x 10
r (cm) = 0.38
s (m)
I (kgm2)
0.58
2.33 x 10-4
0.58
2.12 x 10-4
9
6.2
PARTE 2. CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE SISTEMAS COMPUESTOS
AC
IO
N
1. Mida la masa de la rueda de Maxwell. Anote en la Tabla 2.
2. Mida las dimensiones del disco (radio, espesor) y la parte superior e inferior del eje del disco
(radio y altura). Anote en la Tabla 2.
3. Calcule el momento de inercia de la rueda de Maxwell.
TABLA 2
0.48
0.96
5.57
577.00
L1 (cm)
L2 (cm)
e (cm)
9.23
9.23
0.78
RM
V1 (cc)
V2 (cc)
V3 (cc)
V (cc)
I (kgm2) = 23500.12 = 2.35 x 10-4
4.19
4.19
75.99
28.12
FO
M (g)
r1 (cm)
r2 (cm)
R (cm)
IN
7. ANALISIS DE RESULTADOS
RA
1. Con los datos de la Tabla 1. Calcule el valor promedio del momento de inercia de la rueda
de Maxwell.
Para calcular el momento de inercia usamos la fórmula:
PA
mgs(senθ ) =
donde: v =
1 2 1 2
mv + Iω
2
2
2s
t
y
ω=
v
t
LO
I = 2.18 x 10-4
2. Con los datos de la Tabla 2. Calcule el valor del momento de inercia.
SO
Para calcular el momento de inercia usamos la siguiente fórmula:
I=
[
M 2
r (V1 + V2 ) + R 2V3
2V
]
I = 2.35 x 10-4
10
El valor teorico fue hallado de la siguiente manera:
⎛ gt 2 senθ ⎞ 2
I = ⎜⎜
− 1⎟⎟ Mr
⎠
⎝ 2s
Luego:
4.47 x 10-4
Vteórico − Vpráctico
x100
Vteórico
RM
%error =
=
AC
IO
N
3. Exprese el error relativo de cada uno de los valores del momento de inercia calculados
experimentalmente con respecto al valor teórico dado por la ecuación.
%error(2)=4.45 x 10-7
8.1
RA
8. CUESTIONARIO
IN
FO
%error(1) =5.02 x 10-7
¿A QUÉ SE LE DENOMINA EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN?
PA
Se llama eje instantáneo de rotación a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa
por el punto de contacto P entre el cilindro y la superficie. (Para otros casos de rotaci{on, el
eje instantáneo puede estar en el exterior del cuerpo).
SO
LO
ω
α
cm
P
Como la velocidad del punto de contacto P es nula, podemos considerar que en cada
instante t del movimiento, el cuerpo tiene una rotación pura en torno del eje instantáneo
que pasa por el punto P.
11
8.2
¿QUÉ ES EL MOMENTO DE INERCIA? ¿PARA QUÉ SE UTILIZA?
AC
IO
N
El momento de inercia o inercia rotacional representa la inercia de un cuerpo a rotar; es el
valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido; es una magnitud que
refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas, respecto de un
eje, en un movimiento de rotación. El momento de inercia no depende de las fuerzas que
intervienen, sino de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; este concepto
desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y
uniforme.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
•
FO
9.
RM
Tienes momento de inercia dinámico y momento de inercia estático. El primero indica la
resistencia que va a poner un objeto a girar sobre determinado eje, sirve para calcular
momentos, velocidades y aceleraciones angulares. El segundo indica la resistencia que va
a poner en perfil estructural a deformarse bajo determinada tensión, se usa para predecir
deformaciones y evitar roturas.
En conclusión diremos que el momento de inercia I es una medida de la inercia rotacional
o la tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio en su movimiento rotacional. Aunque se
IN
dice que I debe ser constante para un cuerpo rígido, y que es el análogo rotacional de la
inercia, corresponde a un eje determinado y puede tener valores diferentes para ejes
al eje de rotación.
•
RA
diferentes. El momento de inercia depende también de la distribución de la masa referente
Se concluye que el movimiento de traslación y rotación sin deslizamiento permite
despreciar la fuerza de friccion, también va a existir un movimiento por parte de las
•
PA
particulas, circulares y paralelos.
Se recomienda realizar la experiencia tratando de obtener datos mas exactos para asi
•
LO
obtener un valor mas aproximado y un margen de error minimo.
Podemos concluir que una rotación pura en torno del eje instantáneo, es equivalente a una
SO
rototraslación.
12
•
AC
IO
N
BIBLIOGRAFIA
10.
Bibliografía: Errores y mediciones, A. González Arias,Ed. Científico Técnica,1983;
Laboratorio de Física , Ed. ENPES, agosto 1988.
•
Serway, Beichner, Física, Tomo I, 5ta edición, McGraw-Hill, México, 2002
•
Sears, Zemansky, Young, Física Universitaria, Vol. I, /ma Edición, México Addisson
Longman, 1998
M. Alonso, E. Finn, Física, Addisson Wesley Iberoamericana, EE.UU., 1995
•
Guía de Laboratorio FISICA I- Universidad Nacional de Ingeniería
•
Guía de Laboratorio FISICA I- Universidad Nacional del Callao
SO
LO
PA
RA
IN
FO
RM
•
13