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INSTITUTO TLAXCALTECA PARA LA EDUCACIÓN DE LOS ADULTOS
LOS NÚMEROS
Los números
Para contar, utilizamos los números naturales. Los primeros números naturales son:
Se leen
cero
uno
dos
tres
cuatro
cinco
seis
siete
ocho
nueve
Diez unidades forman una decena, con veinte unidades forman dos decenas.
Se leen
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Una
decena
Dos
decenas
Tres
decenas
Cuatro
decenas
Cinco
decenas
Seis
decenas
Siete
decenas
Ocho
decenas
Nueve
decenas
diez
veinte
treinta
cuarenta
cincuenta
sesenta
setenta
ochenta
noventa
Un grupo de 100 unidades es un ciento o una centena, dos cientos son dos centenas, ejemplos:
Se
leen
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Una
centena
Dos centenas
Tres centenas
Cuatro centenas
Cinco
centenas
Seis
centenas
Siete
centenas
Ocho
centenas
Nueve
centenas
Cien
Doscientos
Trescientos
Cuatrocientos
Quinientos
Seiscientos
Setecientos
Ochocientos
Novecientos
El sistema de numeración que usamos se llama decimal por lo siguiente:
Entonces al escribir un número la relación es:
10 unidades simples forman una decena
10 decenas forman una centena (100 unidades)
1 decena = 10 unidades
10 centenas forman una unidad de millar
1 centena = 100 unidades = 10 decenas
(1 000 unidades simples)
¿Cómo representar el número 13 dentro de la tabla de posición si cada casilla sólo acepta un número?
CENTENAS DECENAS UNIDADES
1
El primer número a la derecha representa las unidades.
El segundo número de derecha a izquierda representa
las decenas.
El tercer número de derecha a izquierda a las centenas.
El número 125 se puede descomponer entonces:
1 centena = 100 unidades
2 decenas = 20 unidades
5 unidades =
5 unidades
3
Veamos el número 125:
Representación gráfica del número
123,
Decena
Centena
en cada caja de lápices hay 10 unidades
Unidad
El 1 es un grupo de cien
10
100
El 2 son epresenta dos
grupos de diez.
El
3
representa
tres
unidades.
10
Ejemplo:
2 unidades, 5 decenas y 3 centenas: “Trescientos cincuenta y dos”:_
352
Ejercicios: Colocar la cantidad con número o letra, según corresponda:
Doscientos veintiuno
Novecientos diez:
737
505
Orden de números formados por millares
La cuarta cifra de derecha a izquierda representa millares, es decir grupos de 1 000 unidades.
Se leen
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
mil
Dos mil
Tres mil
Cuatro mil
Cinco mil
6 mil
7 mil
8 mil
9 mil
1millar
2 millares
3 millares
4 millares
5 millares
6 millares
7 millares
8 millares
9 millares
Para representar un número de cuatro cifras, se escribe con el siguiente orden:
UM
C
D
U
Unidades de Millar
(grupos de 1 000)
Centenas
(Grupos de 100)
Decenas
(Grupos de 10)
Unidades simples
Ejemplo: Un mil diez se representa con la siguiente cifra: 1 0 1 0
1 en la columna de las unidades de millar
0 en la columna de las centenas
1 en la columna de las decenas
0 en las columnas de las unidades
1
0
1
0
Observa que el cero no se menciona al leer el número, porque no hay centenas; pero sirve para guardar el
lugar de las centenas.
El espacio que se deja entre la unidad de millar y las centenas (entre UM y C), se debe a que los números
se organizan y escriben para mayor comprensión de tres en tres.
Comparar números naturales de millares
Para comparar los números es necesario conocer los símbolos que nos ayudan a comparar:
Símbolo
Ejemplo
Significado
“mayor que”
Recuerda:
“menor que”
<
3<9
“igual”
Para comparar dos números naturales, podemos seguir los siguientes pasos:
1° Cuente el número de cifras, el que tenga mayor cantidad de cifras es el mayor (sin contar los números
que estén a la derecha del punto decimal).
Ejemplo 2 469 tiene cuatro cifras y 895 tiene tres, por lo tanto:
2° Si los dos números naturales tienen el mismo número de cifras, compare cifra por cifra empezando por
la izquierda, el número mayor en ese orden es el mayor.
7 980
y
7 695
7 980
En la cifra de Unidad de Millar son iguales.
y
7 695
er
La cifra de las centenas es mayor en el 1 número.
Por lo que la primera cantidad es mayor que la segunda.
Para leer un número de varias cifras, se agrupa de tres en tres, la organización es de derecha a izquierda,
pero su lectura es de izquierda a derecha, por ejemplo para leer 12 575
12
575
Miles Primer grupo
El primer grupo se lee como cualquier número de tres cifras:
Quinientos setenta y cinco
El segundo grupo indica la cantidad de miles.
Doce mil
12 575 se lee:
doce mil quinientos setenta y cinco.
La organización de los números es de derecha a izquierda, pero para su lectura se inicia de izquierda a
derecha, (en los casos anteriores se inicia la lectura con los miles). Al comparar estos números, hay que
recordar que un número de 5 cifras es mayor que un número de 4 cifras.
Ejercicio: Lectura de un número:
¿Cómo se escribe?
______________________________________________
¿Cómo se lee?
______________________________________________
Comparando números de cuatro cifras. En dos tiendas de muebles, se ofrecen los mismos artículos pero
con diferente precio, por lo que hay que definir en donde es más económico:
El gran almacén
$ 2 370.°°
$ 295.°°
Muebles dante
$ 2 703.°°
$ 305.°°
Para saber cuál de las dos tiendas tiene el mejor precio, se comparan cifra por cifra, empezando por la
izquierda, como en el siguiente ejemplo del costo de la televisión:
Las cifras de las unidades de millar (en color rojo) son iguales
Las cifras de las centenas (en color azul) son diferentes, 7 es mayor que 3.
Entonces 2 703 es mayor que 2 370, esto se representa así:
Por lo que la televisión es más cara en “Muebles Dante”.
costo
“Muebles Dante”
Articulo
Costo
“El gran almacén”
Símbolo de
comparación
$ 2 703.°°
$ 2 370.°°
El departamento de ventas de “El gran almacén”, tiene un registro de las ventas del año 2010, con los
siguientes datos:
Artículos de mayor venta en 2010
Artículo
Unidades vendidas
Lámparas
600
Licuadoras
400
Televisiones
800
Vajillas
200
Con estos datos podemos identificar el artículo que más se vendió y el que menos se ha vendido, pero
para mayor identificación, el departamento de ventas presenta los datos en una gráfica:
“El gran almacén”, artículos más vendidos en el año 2010
1000
800
600
400
200
0
Lamparas
Licuadoras
Televisiones
vajillas
A la gráfica anterior se le llama “gráfica de barras”, cada columna o barra representa las ventas de cada
artículo.
En el eje horizontal están anotados los artículos más vendidos
En el eje vertical se anotan cantidades que coincidan con el número de cada artículo
Con la dimensión o el tamaño de la barra de cada artículo podemos deducir cuál se vendió más y cuál se
vendió menos.
Notas: El número que va inmediatamente antes de otro es el antecesor de ese número.
El número que va inmediatamente después de otro, es el sucesor de ese número.
Números de 6 cifras
En un número de seis cifras, la primera cifra de la derecha son las unidades, la segunda las decenas, la
tercera las centenas, la cuarta las unidades de millar, la quinta las decenas de millar y la sexta las
centenas de millar.
Una cifra se separa cada tres números con una coma o un espacio para diferenciar millares del primer
grupo:
Coma que separa millares
millaressxdvl-v
Ejemplo: números de 6 cifras
CM
4
Millares
DM
UM
5
6
Primer grupo
C
D
U
7
8
9
4 Centenas de Millar
7 Centenas
5 Decenas de Millar
8 Decenas
6 Unidades de Millar
9 Unidades
Este número se lee
cuatrocientos
setecientos
cincuenta y seis mil
ochenta y nueve
Podemos comprobar que:
400,000 + 50,000 + 6,000 + 700 + 80 + 9 = 456,789
Ejemplo: el número: 345,635 se puede descomponer en
3 centenas de millar = 3 x 100 000 = 300,000 unidades
6 centenas = 6 x 100 =600 unidades
4 decenas de millar = 4 x 10 000 = 40,000 unidades
3 decenas = 3 x 10 = 30 unidades
5 unidades de millar = 5 x 1 000 = 5,000 unidades
5 unidades = 5 unidades
Se lee: Trescientos cuarenta y cinco mil seiscientos treinta y cinco
Podemos comprobar que:
300,000 + 40,000 + 5,000 + 600 + 30 + 5 = 345,635
Suma y resta en números naturales
Cuando sumamos o restamos números hay que escribirlos en el siguiente orden
Las unidades en la columna de las unidades
Las decenas en la columna de las decenas
Las centenas en la columna de las centenas
Los factores de una suma se denominan:
Sumandos y suma o resultado
Veamos la siguiente suma:
145 + 56 + 678
Al realizar una suma comenzamos sumando las unidades. Si al sumarlas el resultado fuera de una sola
cifra (es decir, de 0 a 9) escribimos el resultado y pasamos a sumar las decenas.
Pero ¿y si al sumar las unidades
el resultado fuera de dos cifras (es
decir, 10 o superior)? Entonces
escribimos en el resultado sólo la
cifra de la derecha y la de la
izquierda la añadimos a la
columna de las decenas.
Como la suma de las unidades es igual a 13 (tiene dos cifras), coloco la cifra de la derecha (3) en el resultado
y la de la izquierda (1) la sumo a la columna de las decenas.
Y seguimos sumando:
Esto que hemos visto (suma con llevadas) también puede ocurrir en la columna de las decenas (o de las
centenas, o de las unidades de millar,...).
Otro ejercicio sumando por columnas, empezando de derecha a izquierda: 1 645
UM
C
D
Unidades de millar
Centenas
Decenas
(Grupos de 10 centenas)
(Grupos de 10 decenas)
(Grupos de 10 unidades)
1
1
1
1
6
7
4
6
2
1
4
1
768
U
Unidades
1
5
8
3
1
Sumar las cifras de derecha a izquierda, empezando por las unidades
Resta (números naturales)
Para restar dos números naturales se ubican al igual que en la suma, unidades con unidades, decenas con
decenas y centenas con centenas. Por ejemplo para restar a 78 a 147
C
Centenas
1
0
Resultado
0
D
Decenas
U
Unidades
(14)
(17)
4
7
8
9
7
(
2
( 1)
29
Porque el cero
a la izquierda
de un número
no tiene valor.
3° En las centenas no
se restaría nada, pero
como tomamos una
centena prestada, se
resta 1 a 1. Entonces
nos queda cero.
2° Restaríamos 7, pero
como sumamos 1 decena
de las unidades, son 8 lo
que restamos a 4. Como no
alcanza,
tomamos
una
centena de la siguiente cifra
y ahora restamos 8 a 14.
1° Restamos 8 a 7, (no
alcanza),
entonces
tomamos una decena de
la siguiente cifra y
podemos restar 8 a 17.
Se suma 1 a la siguiente
cifra de decenas
Restar las cifras de derecha a izquierda, empezando por las unidades
Términos de la resta
Suma y resta por el método del Algoritmo ABN
El nombre del algoritmo “ABN” son las iniciales de las características principales del método: La “A” de
“ABIERTOS” (este método da libertad a cada educando para que pueda resolverlo de la forma que le sea
más fácil y comprensible); la “BN” de “BASADOS EN NÚMEROS”.
En el método tradicional para realizar cuentas, se actúa sobre cada cifra por separado, con lo cual se
pierde el sentido que se tiene de decenas o centenas. En el método del algoritmo ABN, el educando
trabaja con unidades, decenas, centenas, componiéndolas y descomponiéndolas libremente, para llegar a
la solución a través de los pasos que le permita su dominio del cálculo.
En el método del algoritmo ABN, el término “me llevo…” no existe, por tanto no hay sumas y restas
llevando y sin llevar, sólo son sumas y restas.
Con el método se suma la 1ª columna (39 + 25,) lo normal
es que se diga 9 y 5 son 14, pongo 4 y me llevo 1.
Con el método ABN, el educando buscará mentalmente las
combinaciones posibles para formar decenas y centenas
en su caso, por lo que nunca necesitará llevarse una.
Parece complicado pero es una operación mental a la que
está acostumbrado y le facilitaría su comprensión.
64
Agregado
Suma
parcial
Faltante de
sumar
20
59
5
5
64
Otros ejercicios de suma, denotando que alguien puede separar las decenas para cerrar las centenas y
posteriormente agregar las decenas faltantes, acción válida para la diversidad de pensamiento y de acción
por parte de los educandos.
647
200
589
58
300
3943
79
3000
8263
357
20
609
38
50
3993
29
300
8563
57
30
639
8
7
4000
22
50
8613
7
8
647
22
4022
7
8620
En la resta mediante algoritmo ABN, existen diversas formas que se presentan a continuación:
Tengo $132.°° y gasto $45.°°.
¿Cuánto me queda?
Resto
Queda
Falta
restar
30
102
15
10
92
5
2
90
3
3
87
45
Tengo 288 platos para 420
personas.
¿Cuántos platos me faltan?
El maratón es de 3500 m, Lilia
ha recorrido 2347.
¿Qué distancia le falta por
recorrer?
A 288
Agrego
420
3500
100
388
-1000 2500
20
408
- 600 1900
12
420
- 50 1850
-
132
comprobación
1847
3 1847
1653
Un entero, fracciones y equivalencias
Números como
etc., son conocidos como fraccionarios y representan partes de un entero.
Para nombrar los números fraccionarios, el número del denominador es el que cambia de acuerdo a su
dimensión, por ejemplo:
La fracción está formada por dos términos: numerador y denominador.
Numerador: número de partes iguales que se toman de un total.
Denominador: número de partes iguales en que se divide un total.
Por ejemplo, la fracción
(se lee: un sexto) de un pastel.
El 1 significa que me comeré 1 parte del total.
El 6 indica que el pastel (que es el total) se dividió en 6 partes.
Tipos de fracciones
Fracciones propias: numerador menor que el denominador, por lo tanto,
son menores que la unidad. En la recta numérica se ubican entre el 0 y el 1.
Ejemplo: si compramos una pizza, la dividimos en 6 y tomamos 4 porciones,
restan 2 sextos.
Fracciones de un entero: numerador igual al denominador.
Son iguales a la unidad (un entero). Ejemplo.: Si dividimos un pastel en 6
porciones iguales, pero no repartimos nada, tenemos 6 sextos.
Fracciones impropias: numerador mayor que el denominador.
Son mayores que la unidad. Ejemplo: si compramos dos pizzas, divididas en
6 c/u, y se toman 5 de las 12 porciones, nos quedarían 7 sextos (más de una
pizza entera).
Fracciones decimales: son aquellas en las que el denominador es 10, 100,
1.000, etc., o sea la unidad seguida de ceros.
Una fracción impropia se puede representar de forma puramente fraccional o de forma mixta, es decir
con una parte entera.
Para convertir un número
fraccional mixto a fraccional
puro se multiplica la parte
entera por el denominador y el
resultado se suma con el
numerador. El denominador se
mantiene igual.
Forma mixta
Forma fraccional
Ejemplos de numeros fraccionarios y su representación gráfica:
¡ Sólo
comeré una
curta parte
de la pizza !
Compré tres
cuartas partes ( )
del predio y en un
octavo
del
terreno voy a
construír mi casa.
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.
Si tuviéramos 3 pasteles y los dividimos en rebanadas como en el siguiente ejemplo:
1°
en 2
2°
en 4
3°
en 8
Fracción
IGUAL
Partes en
que se dividió
Una fracción puede simplificarse (números más chicos) o amplificarse (números más grandes)
Simplificar significa representar una fracción en su
forma más simple.
Simplificar: dividir tanto el numerador como el
denominador por un mismo número.
Amplificar: se multiplica tanto el numerador como
el denominador por un mismo número
De la misma manera se puede convertir un número fraccional puro a fraccional mixto
Como el numerador (13) es
mayor que el denominador,
se trata de una fracción
impropia, por lo que se debe
dividir para obtener una
fracción mixta:
Suma y Resta de Fracciones
Suma y resta de fracciones heterogéneas
Para la suma o resta de fracciones homogéneas (Con igual denominador), las operaciones se efectúan
de forma directa manteniendo el mismo denominador:
Suma de fracciones igual
denominador
Se suman numeradores
Se deja el mismo denominador
Resta de fracciones igual
denominador
Se restan numeradores
Se deja el mismo denominador
Suma y resta de fracciones heterogéneas
Para la suma y resta en Fracciones Heterogéneas, (que tienen diferente denominador); es necesario
buscar fracciones equivalentes con un mismo denominador
Para encontrar al común denominador
1° se multiplica denominador y numerador de una fracción por el denominador contrario:
y
por otra parte
2° Con ello se encuentra el común denominador y la igualdad de
cada fracción
3° Se suman las fracciones con el mismo denominador
y
Ejemplos
Otra forma de sumar o restar fracciones heterogéneas es buscando el Mínimo Común Múltiplo
En el caso de la resta de fracciones, se procede de la misma forma, pero al final se restan los
numeradores:
Ejemplo
Ejercicio:
Identificación de cuerpos geométricos
Existen figuras geométricas como las que se usan en la construcción de una casa, en la que se pueden
apreciar paredes (cuadrados o rectángulos), techos de dos aguas (triángulos), entre otras figuras planas
como las siguientes:
Estas figuras tienen la característica de ser planas, hay otras figuras geométricas que tienen volumen y por
ello son denominadas cuerpos geométricos. ¿Qué sabes sobre los cuerpos geométricos? Seguro que te
suenan las pirámides, conos, cubos o esferas. Los tienes por todas partes: en el futbol, en la fabricación de
cajas o empaques de diferentes formas y tamaños. Se denominan cuerpos geométricos a aquellos
elementos que ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de
alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas como las siguientes:
|
De acuerdo con las características los cuerpos geométricos se
pueden clasificar de la siguiente manera:
Los poliedros o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos
compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como
por ejemplo el cubo.
Pirámides:
Son poliedros los que tienen
una sola base, que es un
polígono cualquiera, y sus
otras caras son triángulos que
se unen en un vértice común
que se llama cúspide o vértice
de la pirámide. Una tienda de
campaña o las pirámides de
Egipto son ejemplos de este
tipo de poliedros.
Prismas:
Los prismas tienen dos
caras (sus bases)
que son iguales y
paralelas entre sí.
Sus caras laterales
son paralelogramos.
Poliedros redondos: se conforman de figuras planas y redondas
Esfera
Cilindro
http://www.slideshare.net/hbaezandino/figuras-del-espacio-presentation
Cono
Ejercicio: menciona el tipo de figura al que corresponde cada una.
Construcción de poliedros
Para la construcción de poliedros se debe de contar con un diagrama que consiste en el despliegue de
todos sus planos, sobre un plano único.
A continuación se presenta un ejemplo del
diagrama de un cubo:
las dimensiones de sus planos y su lados
comunes; de manera que ulteriormente sea
posible, en el caso de utilizar un material que lo
permita, realizar pliegues sobre las líneas de
sus aristas, hasta hacer coincidir los demás
bordes y proceder a unirlos como aristas.
Como ejercicio podrías determinar a qué poliedro pertenecen los siguientes diagramas y amplificar en una
copia para elaborar alguno de ellos:
Ubicación de lugares.
Zonas de seguridad y Rutas de evacuación en un croquis
Para abordar el tema, es pertinente conocer si donde vivimos existen lugares de riesgo, cuáles son y las
medidas de prevención.
La prevención es el conjunto de actividades que los miembros de una comunidad o de una familia deben
realizar antes, durante y después de que se presente una situación de desastre natural. Los fenómenos
más comunes que provocan desastre en nuestro país son: incendios, huracanes, sismos e inundaciones,
entre otros. Por ello, es recomendable contar con medidas de prevención familiar y comunitaria.
Cada vez se procura más que en oficinas, hospitales y edificios públicos, exista información y medidas de
seguridad como son salidas de emergencia, equipos contra incendio, alarmas sísmicas y señalamiento de
zonas de seguridad que permiten mejorar la prevención ante situaciones de riesgo.
Un croquis es un dibujo sencillo que sirve para ubicar en forma aproximada, lugares u objetos o para
representar la forma en que están construidas las casas o edificios. Los croquis son útiles para representar
ciudades, localidades y calles, también se utilizan para diseñar cómo se desea construir una vivienda o
edificio, en el diseño de aparatos, en la industria, entre otras áreas. Un croquis nos permite recorrer
espacios desconocidos, calcular distancias aproximadas y decidir recorridos posibles.
Conocer nuestra localidad o población nos permite, además de ubicar zonas y equipo de seguridad ante
desastres, poder ubicar áreas de importancia como el zócalo, centro de salud, escuelas, etc. que posibilite
la orientación a otras personas que desconocen la población.
Elaborar e interpretar dibujos que indiquen la ubicación de lugares
En los lugares turísticos se tienen disponibles croquis para ubicar
lugares de interés.
En un croquis además de marcar lugares de referencia como la
iglesia, museos y parques, se establece el nombre de las principales
calles y en una de las esquinas aparece un dibujo llamado Rosa de
los vientos como el siguiente
Para saber hacia dónde quedan los puntos cardinales
podemos hacer lo siguiente:
Localizo la dirección por donde sale el sol y
lateralmente extiendo el brazo derecho, señalando. Al
punto por donde sale el sol se le llama Este.
Extiendo lateralmente el brazo izquierdo señalando
hacia donde se oculta el sol, a este punto se le llama
Oeste.
Al frente se encuentra el Norte y a mi espalda se
encuentra el sur
La salida del Sol por un punto del horizonte y su desaparición por el punto opuesto permitió al hombre
disponer de estos puntos como referencia de ubicación. De allí surge la palabra orientación que significa
determinación del oriente.
Los puntos cardinales del horizonte son cuatro;
este, oeste, norte y sur.
 Este (Oriente): Lugar por donde sale el
Sol. Se abrevia: “E”
 Oeste (Occidente): Lugar por donde se
pone el Sol. Se abrevia “O”
 Norte: Sitio donde está la estrella polar. Se
abrevia “N”
 Sur: Punto opuesto al norte. Se abrevia “S”
 Los puntos intermedios son Noreste (NE),
Noroeste (NO), Sureste (SE) y Suroeste (SO)
Revisa los siguientes croquis: El primero para ubicar la forma de llegar a la universidad Netzahualcóyotl en
la ciudad de México.
Los siguientes croquis son más sencillos, ya no establecen los puntos cardinales, pero sirven para
ubicarnos con algunas referencias que nos dan. El primero de algunos departamentos de la Universidad y
el segundo indica el Hospital general de Tlaxcala.
Ejercicio, se sugiere hacer un croquis de su localidad, señalando algunas referencias, incluso de tipo
natural como algún árbol, un río, algún sembradío, etc.
Números decimales y centésimos en compra-venta y medición
Si hubiera monedas de 1 centavo, necesitaríamos
100 monedas para completar 1 peso. Un centavo es
la centésima parte de un peso.
Hay cantidades que se escriben con punto decimal,
a la izquierda del punto están las unidades enteras y
a la derecha del punto están las fracciones
decimales o fracciones de la unidad.
Para su lectura, primero se leen las unidades, decenas y centenas, se menciona el punto y se lee la
cantidad fraccionaria o decimal. Ejemplos:
Punto
decimal
Décimos
Centésimos
Lectura
2
5
0
Ciento cuarenta y dos,
punto, cincuenta.
6
2
2
Doscientos
veintiséis,
punto, veintidós.
Cantidad
Centenas
Decenas
Unidades
142.50
1
4
226.22
2
2
Para comparar números decimales como los anteriores:
1° Se compara la parte entera y luego la parte fraccionaria. En los números 115.90 y 115.65, la cantidad
que está a la izquierda del punto es igual.
2° Se comparan los números a la derecha del punto decimal, en este caso 90 es mayor que 65, por lo
tanto 115.90 es mayor que 115.65.
El uso de números enteros y decimales también lo aplicamos a las medidas de longitud, con el metro como
unidad. Ejemplo: Julia, Sandra y Jimena fueron al centro de salud y la enfermera midió su estatura:
Julia
0.85 m
Sandra
1.37 m
Jimena
1.52 m
Observa que las estaturas se miden con números decimales, a la izquierda del punto están los metros
enteros, y a la derecha del punto las fracciones de metro.
Por ejemplo Jimena mide 1.52 m, en esta cantidad hay 1 metro con 52 centímetros, esta cantidad también
se puede escribir así:
Metros
1
Punto decimal
Decímetros
Centímetros
5
2
Para hacer más claro esto, es conveniente tener una cinta métrica y observar sus divisiones:
1 metro
Dividido en 10 partes iguales
Cada parte o fracción es un decímetro
1 metro
Dividido en 100 partes iguales
Cada parte o fracción es un centésimo o centímetro
1 metro
Dividido en 1000 partes iguales
Cada fracción es una milésima o milímetro
Ejercicio: con una cinta métrica, mide las estaturas de los integrantes de tu familia, compáralas y revisa
números enteros en metros y los centímetros como decimales o centésimos según consideres.
Suma y resta con números decimales hasta centésimos
Para sumar y restar números decimales es necesario acomodar los números de tal forma que las
decenas queden con las decenas, las unidades con las unidades, los décimos con los décimos,
cuidando que el punto decimal esté alineado verticalmente y anotarlo también en el resultado.
2.4
3.25
Notar en los ejemplos que los números
con un solo decimal como: 2.4 y 35.1, no
tienen centésimos, de todas formas el
punto decimal se alinea en columnas
(verticalmente) como si tuvieran un cero en
los centésimos: de 2.40 y 35.10
respectivamente
En la resta con números decimales, también se acomodan los números de tal forma que el punto decimal
esté alineado y anotarlo también en el resultado. Ejemplos:
65.32
-
43
.2
.
22.12
Ejercicio: Pedro recibió de su papá $18.50 (dieciocho pesos, cincuenta centavos), para la escuela.
Al abordar su transporte colectivo para llegar a
la escuela pagó $5.50 En el recreo pagó por un
jugo $6.20. ¿Cuánto tiene gastado?
Ejercicio: El papá de Pedro tenía en su bolsillo la cantidad de $31.°° (treinta y un pesos). Tomando en
cuenta al peso como unidad, en el siguiente recuadro están las monedas que tenía el papá de pedro, hay
monedas fraccionarias (izquierda) y monedas con valor de una y más unidades (derecha). Se da el valor
de c/u y la suma parcial.
A Pedro le dio su papa varias monedas. ¿Cuáles pudo haberle dado por los
$18.50?______________
¿Con qué monedas pudo haber pagado Pedro en cada ocasión?____________________________
¿Cuánto le sobro de dichas monedas?_________________________________________________
Con la ayuda de la siguiente tabla que contiene el diagrama de las monedas del papá de Pedro,
podrás resolver estos cuestionamientos.
Monedas fraccionarias (con valor de centavos o
decimales referente a la unidad que es el peso)
Monedas con valor de unidad o más
Valor: $ 0.10 c/u
Valor de las monedas:
$0.90
Valor: $ 0.
20
c/u
Valor de las monedas: $
0.60
50
Valor: $ 0. c/u
Valor de las monedas
50
$1.
Resta del dinero del
papá de Pedro
3
Valor $ 1.00 c/u
(unidad)
Total $ 4 00
Valor: $ 2.00 c/u
Valor de las monedas:
$ 4.00
Valor $ 5.
00
Total $ 10.
c/u
00
Valor de la moneda:
$ 10.00
Resta de Pedro al
valorar sus gastos
Conversión de números decimales a fraccionarios
Las estaturas se miden con números decimales, a la izquierda del punto están los metros enteros, y a la
derecha del punto los decimales, por ejemplo Julia mide 1.65 m, es decir 1 metro con 65 centímetros.
Los números fraccionarios decimales
pueden expresarse en número decimal. A
su vez, los números decimales podrán
también expresarse como fracciones.
Ejemplos de la conversión de números fraccionarios a números decimales
Suma: Conversión de un decimal a una fracción
Es importante denotar que por cada decimal se agregó un cero al denominador en la forma fraccionaria y
para igualar dicho denominador se agrega otro cero tanto al numerador como al denominador. En el
siguiente ejemplo se tienen 2.4 cajas de huevo y se suma el resto de una caja más que contiene 0.85.
Cada caja tiene 100 huevos y por ello se convierten a fracciones en centésimos ( 100)
Resta: Conversión de decimal a una fracción:
Multiplicación de dos cifras por una cifra, utilizando tablas de proporcionalidad y
multiplicar
La multiplicación, como la suma y la resta, es una cuenta u operación aritmética básica. Ejemplo:
Mina, la gata de la vecina, desde que la
conocemos ha tenido 3 partos de 5 gatos en
cada parto.
er
1
¿Cuántos hijos a tenido Mina en total?
Para saber cuántos hijos a tenido Mina podemos sumar
los gatos nacidos en cada parto: 5 + 5 + 5 = 15.
Pero también podemos multiplicar 3 x 5 = 15
parto
2° parto
er
3
parto
Es conveniente aprenderse las tablas de multiplicar para facilitar su desarrollo.
La multiplicación se puede considerar como una suma La siguiente tabla del 4 y del 7 es un
repetida del mismo número.
ejemplo de las tablas de multiplicar de
cada número.
Tabla del 4
Tabla del 7
En lugar de estas tablas de multiplicar, existe otra tabla muy útil y fácil de construir, “la Tabla Pitagórica”,
en esta tabla se colocan los primeros 10 números naturales y el cero en forma horizontal y vertical. Cada
columna se llena con el resultado de multiplicar el número de cada uno de los renglones por el número de
la columna. Por ejemplo si buscas la multiplicación del ejercicio anterior de 5 gatos por 3 partos, te darás
cuenta que da como resultado 15.
Tabla de proporcionalidad
Una persona, paseando, gasta 45 calorías en 15 minutos.
¿Cuántas calorías gasta en 5 minutos?
De esta forma se puede completar la siguiente
tabla:
En 5 minutos gasta 15 calorías
Se pasa de los números de la primera fila a los números de la segunda fila, multiplicando por 3
Se pasa de los números de la segunda fila a los números de la primera fila, dividiendo entre 3
Por eso decimos que las series de números:
1,2,3,4,5 y 3,6,9,12,15
Son dos series de números proporcionales y la tabla se llama tabla de proporcionalidad.
Las tablas del 6, 7, 8 y 9 con los dedos
La siguiente actividad está pensada como apoyo al aprendizaje de las tablas de multiplicar del 6, 7, 8 y 9
mediante el uso de los dedos, (no se aplica a números menores a los señalados).
1.- En cada mano levantamos los dedos que
corresponden a cada número (ver imagen), da
igual la posición del dedo que levantemos, lo
realmente importante es que para el 6 le
corresponde un dedo subido, al 7 dos, al 8 tres y
al 9 cuatro
2.- En cada mano subimos los dedos
que represente a cada producto. Por
ejemplo 7 x 8 quedaría así:
4.- La cantidad de dedos extendidos o contraídos nos darán el resultado de la operación.
5.- Sumamos los dedos que están extendidos y dicho
número son las decenas del resultado. En nuestro
ejemplo: 2 + 3 = 5 (decenas), es decir 50
6.- Multiplicamos los dedos contraídos o cerrados y
dicho número son las unidades del resultado. En
nuestro ejemplo
3 x 2 = 6 (unidades)
7.- Sumamos ambos números y tenemos el resultado.
50 + 6 = 56
Sólo hay dos casos en los cuales al multiplicar los dedos contraídos se supera la decena, y por tanto
tendremos la suma de dos números de dos cifras. Es el caso del 6 x 6 y del 7 x 7. Sin embargo son dos
sumas que los alumnos deben haber superado perfectamente, en caso contrario podríamos decir que aún
no están maduros para la multiplicación.
Por último indicar, que en la práctica al alumnado le resulta más fácil empezar por las decenas y luego
sumar las unidades, aunque esto es sólo cuestión de práctica.
Multiplicación de cifras más grandes
Se procede de la siguiente manera:
1) Se colocan las dos cantidades una debajo de la otra
2) Se multiplica 5 por 243, es decir la unidad del multiplicador por
cada uno de los números del multiplicando
3) Luego se multiplica 2 por 243, es decir la decena del multiplicador; por
cada uno de los números del multiplicando.
El resultado se coloca debajo del 1215, pero cuidando de que coloquemos
la primera cifra debajo de la decena.
4) Finalmente, se suman los productos parciales, para
obtener el producto total.
Multiplicación por una cifra mediante Algoritmo ABN
En el algoritmo ABN para la multiplicación donde el multiplicador es de una sola cifra necesitamos tres
columnas y tantas filas como descomposiciones en unidades tenga el número que vamos a multiplicar. En
el ejemplo 238 x 8 quedaría de la siguiente manera:
En la primera columna se han escrito tres filas debajo
de los nombres de las columnas, ya que el 238 se ha
descompuesto en 200, 30 y 8 respectivamente.
La primera multiplicación es 200 x 8 y se refleja 1600
La siguiente fila supone la multiplicación de 30 x 8 y
se refleja 240 el cual se suma al anterior 1600 y el
resultado 1840 se pone en la tercera columna.
La última fila es la multiplicación de 8 x 8, se pone
64 en la columna media y se suma a 1840
resultando la cuenta final en 1904
La misma operación mediante un formato ligeramente simplificado:
Cuando hablamos anteriormente de la claridad de las operaciones frente al algoritmo tradicional, aquí
todas las operaciones realizadas están reflejadas, pero además podemos preguntar por otro tipo de
productos mirando las operaciones reflejadas en la tabla.
Ejemplo: ¿cuál sería el producto de 208 x8? Basta sumar 1600 más 64 para determinar 1664. Cuando el
multiplicando tiene ceros intermedios, se omite la fila que corresponda al cero.
Otros ejercicios de multiplicación:
Cálculo mental de multiplicaciones
La secuencia consta de siete etapas en las que se debe combinar la dificultad del multiplicando y
multiplicador y hay que tener especial cuidado en acostumbrar al alumnado a multiplicar de
izquierda a derecha y sumar los resultados. Ejemplo:
78 x 4 = 70 x 4 + 8 x 4 = 280 + 32 = 312
Ejercicio: 42 x 6 =
Multiplicación de una cifra en situaciones de combinatoria
El diagrama de árbol es un recurso que permite ordenar todas las posibles combinaciones y contarlas.
Ejemplo: Paco tiene en su guardarropa dos playeras y dos shorts para jugar futbol. ¿Cuántas formas tiene
Paco de combinar su atuendo deportivo?
Guardarropa
deportivo:
Playeras amarilla
Playera Marino
Short Rojo
Short negro
En el guardarropa de Paco que utiliza para hacer sus actividades comunes, están dos playeras dos jeans o
pantalones y dos pares de zapatos, ¿Cuántas formas tiene Paco de combinar su atuendo?____________
Para tener más elementos de respuesta,
los datos se organizan en un “diagrama
de árbol”.
Al resolver problemas que exigen conteo,
es posible usar un diagrama de árbol,
también se puede calcular mediante la
respectiva multiplicación de opciones:
División de una cantidad entre una cifra
La División: es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un
número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación inversa de la
multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida. Se recomienda la representación
gráfica de los algoritmos.
En las siguientes imágenes se representan 7
manzanas divididas entre 2 niños, en la que al
repartir sobra una manzana. Dividimos
Teniendo el sobrante de una manzana
En la siguiente división se representa
, con el apoyo de ir restando
División por fragmentación:
Otra forma de dividir es la “fragmentación”. Aquí es donde vas a estudiar las tablas de multiplicación para
ayudarte a dividir, junto con alguna suma.
Digamos que se están dividiendo 216 manzanas entre 8 niños. Tu sabes que 10 X 8 = 80, y todavía falta
mucho para llegar a 216. También vemos que nos queda espacio para otros 80, por lo que se puede hacer
fácilmente 20 X 8 = 160. ¿Qué ves ahora?, nos faltan 40 para llegar a 200, y 5 X 8 es 40. Hasta ahora
tenemos 20 y 5, todavía nos faltan 16, y sabemos que 2 X 8 es 16.
Resultado: 20 + 5 + 2 = 27
Entonces: 27 X 8 = 216
También tienes que entender todo lo que está sucediendo. Cuando te dicen ¿cuánto es 216 dividido entre
“8”?, tienes que saber que tu tarea es partir 216 en 8 partes iguales. Por ejemplo: 216 caramelos tienen
que repartirse en partes iguales entre 8 amigos. Son 27 caramelos para cada uno.
Tienes que aprenderte las tablas. Si estudias, estas sencillas divisiones no serán ningún problema para ti.
Ejercicio: Multiplica y divide por fragmentación las siguientes cifras.
Algoritmo ABN de la división por una cifra
Para la realización de la división por una cifra mediante el Algoritmo ABN necesitaremos cinco columnas,
aunque con la práctica se pueden reducir a tres. Se pueden encontrar distintos procedimientos.
o
o
o
o
o
La 1a columna hace referencia al Dividendo y recogerá la descomposición del dividendo.
La 2a Columna (dividendo resultante) recogerá las partes del dividendo que cada alumno tomará
para realizar fácilmente los cocientes parciales y llegado el momento sumarle los restos parciales
que puedan irse generando.
La 3ª columna recogerá los cocientes parciales de las divisiones que vayamos realizando.
La 4ª columna (repartido) recogerá la parte del dividendo que se va “gastando”
La última (resto parcial) recogerá el resto de la 1ª columna después de descontado lo repartido.
Para entenderlo mejor veamos un ejemplo donde dividiremos
Nota: tener en cuenta que en las tablas, las verticales se denominan columnas y las horizontales filas.
1.- En primer lugar descomponemos el número en
las unidades que correspondan a cada una del
valor de posición de cada cifra y ponernos en la
cabecera de la columna de los cocientes
parciales el divisor, en nuestro caso el 6.
2.- Iniciamos el proceso, para lo cual el primer
cociente que tomemos y que nos acerque
fácilmente a 7000, será el 1000, lo cual hace que
ya repartamos 6000 (4ª columna) quedando
1000 sin repartir en la última columna.
3.- En la columna del “dividendo resultante”, en
la tercera fila sumamos al dividendo de esa
fila (800) y el resto parcial de la fila anterior
(1000), quedando para dividir 1800. En la 3ª
columna ponemos 300 ya que al multiplicarlo
por el cociente 6, podemos repartir 1800
quedando de resto parcial 0.
4.- En la columna del “dividendo resultante” en la
4ª fila ponemos 90, ya que no hay que sumarle
ningún resto parcial anterior. En la columna
central ponemos 10 (también podríamos poner
15, este último nos daría 90 directamente, pero
el número que pongamos dependerá de la
agilidad en el cálculo de cada educando y por
tanto es flexible). El resultado en que repartimos
60 y genera un resto parcial de 30 (diferencia del
dividendo 90 y el cociente parcial repartido 60)
5.- En la columna del “dividendo resultante” en la
5ª fila ponemos 36 (resultado de sumar el
dividendo 6 con el resto parcial anterior 30), el
a
cociente parcial (3 columna) será 6, el reparto
36 y el resto parcial 0.
6.- Sumar la columna de los cocientes parciales
“1316”.
Si la columna de restos parciales hubiera
quedado un número inferior al cociente este
sería el resto final de la división.
Otros formatos para el mismo ejemplo
El método de algoritmo ABN, que significa Abierto y por lo tanto implica tan diversas formas de efectuar
una operación matemática como se le ocurra al educando. Por lo anterior y aun cuando se siga el proceso
anterior, también podemos efectuar las división sin descomponer el dividendo, el ir tomando los dividendos
resultantes (2ª columna) que deseemos. El proceso paso a paso sería el siguiente, analízalo:
1º.-Paso
2º.- Paso
3º.- Paso
4º.- Paso
La misma operación reduciendo columnas
En el ejemplo anterior los educandos más ágiles
irán suprimiendo y haciendo mentalmente las
operaciones de las dos últimas columnas, pero si
son necesarias hay que mantenerlas como
apoyo a la operación.
Un ejemplo en el que el resto o sobrante no es 0
En este caso se añade una columna más y se
indica el resto al final de la columna del dividendo.
Si observas esta división, tiene un sobrante de 3.
Antes de comenzar a dividir es reforzar tus conocimientos en multiplicaciones, porque si eres incapaz de
recordar que 7 X 7 es 49, tendrás que luchar para resolver “¿Cuánto es 49 dividido en 7?”.
Unidades de medida: metro, kilogramo y litro
Longitud: para medir la distancia existente entre dos puntos. La unidad básica es el metro.
Capacidad: para medir la cantidad de contenido líquido de un recipiente. La unidad básica es el litro.
Masa: para medir la cantidad de materia de un cuerpo determinado (calcular su peso). La unidad básica es
el gramo. Aunque la mayoría toma como base el kilogramo (kg).
Superficie: para medir magnitudes de dos dimensiones. La unidad básica es el metro cuadrado.
Tiempo: la unidad de medida del tiempo es el segundo.
Unidad de medida: metro cuadrado para calcular superficie
Hasta ahora hemos estudiado las medidas de longitud, es decir, en una sola dirección. Ejemplo de ello es
la estatura que tiene cada persona, mediante el uso del metro, o la distancia de una carretera en
kilómetros y el largo de un campo de futbol.
Para conocer medidas de superficie se necesitan dos dimensiones: Largo y ancho. Para hallar la superficie
de una pared que voy a pintar, necesitamos saber su longitud y su anchura. El producto de ambas
medidas nos da la superficie.
Tendremos que calcular los metros cuadrados en
muchas circunstancias. Por ejemplo, cuando se quiere
pintar una pared, o colocar los pisos de una habitación.
El cálculo se realiza en metros cuadrados.
La imagen nos ayuda a visualizar el área de 1 m2, en la
que se multiplicó
(lado por lado), es decir 1 m
lineal por 1 metro lineal da 1 m2.
Ejemplo: El terreno de Moisés mide 12 m de largo y 9 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados son?
Se multiplica: largo por ancho:
9
metros
12 metros
Ejercicio: A Salomón que se dedica a la albañilería, le piden cotizar un trabajo que consiste en pegar
loseta en una habitación. El señor Salomón le pregunta el costo del trabajo en una habitación que mide
. ¿Cuántos metros cuadrados tiene la habitación?
Unidad de medida: kilogramo y sus fracciones
El kilogramo (kg) es una unidad utilizada para medir el peso, los instrumentos que se utilizan para pesar se
llaman balanzas o básculas. Al realizar nuestras compras, es común utilizar fracciones del kilogramo como:
En la siguiente igualdad, corrobora que la pesa de un lado equivale a la suma de los demás pesas:
Ejercicio: Sonia va a comprar sopa para un festejo familiar; de acuerdo al número de personas que
llegarán a casa comprará 6 paquetes de 250 gr. Al llegar a la tienda solo tienen paquetes de medio kilo.
¿Cuántos paquetes comprará para la cantidad de sopa que necesita? _________________
a) 4 paquetes de medio kilo
b) 5 paquetes de medio kilo
c) 3 paquetes de medio kilo
Unidad de medida: litro y sus fracciones
Conocer las medidas de capacidad nos ayuda a reconocer y utilizar las formas de calcular las cantidades
de líquidos que utilizamos o compramos. También podemos comparar la cantidad de algún líquido con el
precio, y de esta manera elegir el que más nos conviene.
El litro se representa con la letra “l” y mililitros como “ml”
Los productos líquidos también tienen fracciones o números decimales. En productos como leche, jugos,
refrescos y agua purificada, la unidad o entero es el litro, y las fracciones son: medio litro (500 ml o
cuarto de litro (250 ml o
), un
), también hay productos con 125 ml.
Hay que recordar que capacidad es la cantidad de líquido que puede contener un recipiente expresado en
unidades de medida como litro y mililitro.
En de litro hay 250 mililitros (ml)
En
litro hay 750 mililitros (ml)
En litro hay 500 mililitros (ml)
En
litro hay 1 000 mililitros (ml)
Ejemplo: Martha vende miel, tiene frascos de 250 ml. Un cliente le pide de litro de miel.
¿Cuántos frascos tiene que dar al cliente?
En de litro hay 250 ml, entonces para los
tendría que dar 3 frascos, ya que
Fracciones de grupos de personas u objetos
La unidad o entero puede ser un solo objeto como el pastel o un grupo de varios elementos como
personas, animales o cosas. Cuando fraccionamos un lote de cosas o productos, se hace de manera
semejante a una división, pues el denominador (número inferior) nos determinará en cuantos grupos
dividimos el total de productos.
Para obtener fracciones de un grupo, se forman con
sus elementos, tantas partes iguales como indica el
denominador.
Ejemplo: De 20 manzanas que se compran en el
mercado, esta deteriorado
La fracción indica que se forman 4 grupos con el mismo
número de manzanas.
.
Cada grupo queda de 5 manzanas.
Ejercicio: Resuelve las siguientes fracciones de estudiantes en un colegio.
Unidades convencionales para medir tiempo: días meses, años, horas, minutos
Medimos y contamos al tiempo en: años, meses, días, horas y minutos. Para hacerlo,
utilizamos relojes y calendarios. La unidad principal de tiempo es el segundo (s).
1 día = 24 horas, es el tiempo
que tarda la Tierra en dar la
vuelta completa alrededor de su
eje.
Otras unidades de tiempo son:
1 minuto = 60 segundos
(1 min = 60 s)
1 hora = 60 minutos (1 h =60 min)
1 día = 24 horas
1 año normal = 365 días
1 año bisiesto = 366 días
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1 000 años
La Tierra tarda 365 días y 6
horas aproximadamente en dar
una vuelta completa alrededor
del Sol. Por ello, se acordó
medir: 1 año = 365 días y cada
cuatro años se agrega un día
1 año bisiesto = 366 días
El tiempo, además de medirse en años, meses y días, se mide
en horas por medio del reloj.
En relojes como éste, la manecilla corta indica las horas y la
manecilla larga significa los minutos.
Si la manecilla larga da una vuelta completa significa que han
transcurrido 60 minutos ó 1 hora.
Si la manecilla corta da una vuelta completa, significa que han
transcurrido 12 horas. (medio día).
Por ejemplo, este reloj marca las 11 y
horas, porque la
manecilla más corta indica las 11 horas y la manecilla larga señala
la fracción de hora.
También se puede decir “son las 11 horas con 30 minutos”.
Porque hora es equivalente a 30 minutos.
1 hora o
ho
h corresponden a 60 min.
h corresponden a 30 min.
h corresponde a 15 min.
h corresponden a 45 min.
Ejercicios: ¿Qué hora marca cada reloj?
Eje de simetría: diseñar y trazar en diseños ornamentales
Una figura simétrica es aquella en la que
sus dos mitades son iguales. La línea que
divide la figura en dos partes se denomina
eje de simetría
SIMETRÍAS AXIALES la figura transformada
se reproduce como la imagen en un espejo.
En el siguiente ejemplo de un diagrama que borda Ana María en servilletas, ella revisa que todos los
elementos queden como una imagen, denotando algunos puntos clave que señala como A, B, C y D.
Localización de puntos en la recta numérica y en la gráfica. (Horizontal y vertical).
Observa cómo se representan los números enteros en una recta numérica
A la derecha de 0 se han representado los números enteros positivos.
A la izquierda de 0 se han representado los números enteros negativos.
Ejes cartesianos
Para ubicar puntos en un plano, se utiliza un sistema de ejes cartesianos.
El sistema de ejes cartesianos son dos rectas numéricas
perpendiculares.
La recta horizontal se denomina eje x o eje de abscisas.
La recta vertical, eje y o eje de las ordenadas.
Un punto queda representado según sus coordenadas (X y Y),
en ese orden, primero el valor de X y después el valor de Y.
En el siguiente gráfico:
2 es el valor del eje X
3 es el valor del eje Y
Por lo tanto el punto m = (2,3)
Denotar que en este ejercicio ambos valores son positivos.
Ubicación de puntos con valores positivos y negativos en el sistema de ejes cartesianos.
El mismo plano cartesiano con las
rectas numéricas perpendiculares:
(X,Y), se elabora con mayor
extensión para ubicar los números
positivos y negativos.
El centro de ambos ejes es el
punto (0, 0)
Ejercicio: Revisa cada uno de los
puntos localizados en el siguiente
plano cartesiano, revisando su
ubicación en el eje X y Y,
conforme al valor positivo o
negativo designado en cada punto
A, B, C y D.
Ejemplo de un plano cartesiano con decimales:
a. (2, 3)
b. (-3, 1)
c. (-1.5, -2.5)
Ejercicio: dar las coordenadas del punto azul de la
siguiente gráfica
Fuentes
Martínez Montero Jaime. “Competencias básicas en matemáticas. Una nueva práctica“. (2008)
Madrid: Wolters Kluwer.
Martínez Montero Jaime. ENSEÑAR MATEMÁTICAS a alumnos con necesidades educativas
especiales. 2ª Edición. 2010 Madrid: Wolters Kluwer
Módulo “Los números”. Instituto Nacional Para la educación de los adultos