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{DATOS DE IDENTIFICACIÓN}
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
ACADEMIA GENERAL DE MATEMÁTICAS
PROGRAMA DE ESTUDIOS
Materia
Matemáticas
Asignatura
Matemáticas I
Año en que se ubica
Primer año
Clave de la asignatura
Clave
Área de conocimiento
Ciencias naturales y exactas
Nivel de formación
Medio superior
Carga horaria semanal
4 utc (unidades de tiempo de clase, 50 minutos)
Carga horaria anual
160 utc
2
PRESENTACIÓN
UBICACIÓN ESPECÍFICA
Íntimamente ligadas a toda actividad humana desde el principio de los tiempos, las Matemáticas han sido, de alguna manera, el aglutinante,
la herramienta fundamental y la base sobre la que se ha cimentado el avance de muchas de las ramas del conocimiento humano, incluso de
aquellas disciplinas aparentemente alejadas de planteamiento puramente científico. El origen de su estudio se encuentra en la necesidad de
observar la naturaleza y en un intento de modelar el comportamiento de la misma utilizando un lenguaje simbólico propio.
Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen
aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería, etc., así
como también, en las ciencias naturales y sociales. Las matemáticas han sido muy dadivosas con la investigación científica, pues le ha brindado
herramientas poderosas para el análisis, lo que a permitido sus avances. Y con la tecnología también han desarrollado una relación productiva
mutua, por ejemplo, en la contribución al diseño del hardware computacional y a las técnicas de programación y de manera importante en la
descripción de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la computadora.
Ya que las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas, que permita la
formación de seres humanos útiles a ésta sociedad. Para lograr esto, los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman parte de su
quehacer cotidiano, comprender la naturaleza del pensamiento matemático y familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina, por lo
que el conocimiento matemático debe ser construido por los estudiantes a través de la mediación del docente con el propósito de desarrollar un
marco conceptual adecuado que les permita lograr aprendizajes significativos.
El enfoque para el campo de conocimiento matemático se conforma con contenidos referidos al pensamiento numérico, algebraico,
geométrico y probabilístico, que permita el desarrollo de la capacidad para formular razonamientos matemáticos a partir de la observación,
generalización y formalización de patrones, de plantear, modelar y resolver problemas.
La asignatura de Matemáticas I se ubica en el primer año del mapa curricular del Plan de Estudios del bachillerato de la BUAP, es
obligatoria para todos los alumnos y tiene carácter teórico
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ENFOQUE DE LA ASIGNATURA
A) EJE CONDUCTOR
La educación, en el Nivel Medio Superior, debe regirse por un humanismo que considere al alumno como un ser bio psicosocial. El
bachillerato universitario, se convierte entonces en una opción que brinda a los estudiantes los espacios de reflexión para que se conozcan y
reconozcan, para que obtengan los conocimientos, los valores éticos y estéticos, que les lleven a enfrentar la problemática de su entorno con
mentalidad positiva, preparándolos para acceder a estudios superiores, y para una vida más plena, fundamentada en valores concientemente
asumidos, como miembros responsables y comprometidos, con ellos mismos, con la sociedad y con el medio ambiente. Y formados con una
base amplia de conocimientos, en las áreas: sociales, humanas, naturales y tecnológicas, que norman su ser y su quehacer con valores éticos,
capaces de experimentar y promover la armonía de su entorno, respetuosos de su identidad, y de valorar la multiculturalidad. En donde los
conocimientos matemáticos y las habilidades numéricas y algebraicas, forman parte de una cultura general, necesaria para las tareas cotidianas.
Y en particular el conocimiento de los números reales, tienen su aplicación más natural y directa en el “álgebra”
En general, la asignatura de Matemáticas I, contempla cinco grandes temas:
Los números enteros y los números racionales
Generalidades del álgebra y operaciones con polinomios
Expresiones racionales
Expresiones irracionales
Ecuaciones
Y en relación con los grandes temas, también se incluyen otros temas importantes como: razones y proporciones, productos notables y
factorización de polinomios, exponentes y radicales, funciones y sistemas de ecuaciones, etc.
4
B) EJE METODOLÓGICO
Para que el aprendizaje de la matemática, y en particular del conocimiento numérico y algebraico, contribuya efectivamente a la comprensión
e interpretación de la realidad y al desarrollo del pensamiento propositivo, crítico y autónomo, es necesario reorientar su enseñanza; no puede, en
efecto aprenderse sólo como una colección de conceptos y procedimientos a ser memorizados, por el contrario, debe destacarse su dimensión
formativa. En particular en el Bachillerato, la enseñanza de la aritmética y el álgebra, debe contribuir a consolidar los conocimientos y habilidades
para aplicarlos a situaciones problemáticas diversas, y a que el alumno la considere como algo propio, y tenga confianza al explicarla, y sirva para
formar en el alumno una mentalidad organizada y analítica. Y es por esto que se plantea trabajar dentro del paradigma sociocultural, a través de
una metodología socio constructivista, que permita generar espacios de diálogo, organizando procesos de aprendizaje-enseñanza interactivos,
valorando la formación cultural y social, haciendo uso del conflicto socio cognitivo, y potenciando la “zona de desarrollo próximo” de los
alumnos, por medio de una adecuada transposición didáctica, que permita el aprendizaje colaborativo, basado en la resolución de problemas, y el
desarrollo de habilidades de pensamiento complejo.
C) AREA DE CIENCIA NATURALES Y EXACTAS
La asignatura de Matemáticas I, es parte integral de esta área, la cuál presenta la siguiente definición: “es el campo resultante del estudio de la
naturaleza, a partir del análisis de la composición y transformación de la materia, de la vida y del movimiento en un trasfondo de relaciones
sociales determinadas, que ha dado lugar a la: Física, Química, Biología, Matemáticas e Informática”.
Los propósitos del área consisten en promover el aprendizaje significativo de fenómenos, datos, conceptos, construcción de modelos y
principios, incluidos los de carácter matemático e informático, así como el desarrollo de:
Habilidades cognitivas y de razonamiento científico.
Habilidades experimentales y de resolución de problemas.
Leer y escribir con el propósito de acercarse a la ciencia.
Interpretación de códigos y registros específicos.
Actitudes y valores.
La construcción de una imagen de la ciencia.
5
A través de la recreación de conocimientos y construcción de significados en los diferentes campos del área, mediante la formulación de
preguntas y distintas formas de razonamiento, en un ambiente de trabajo participativo. Para que adquieran una visión holística del mundo natural, y
se identifiquen como un producto evolutivo de la naturaleza, y la preserven para futuras generaciones.
En cuanto a la evaluación del conocimiento en el área, este debe ser un proceso permanente e integral y de ajuste a la ayuda pedagógica, que
permita la retroalimentación de: conceptos, relaciones, ideas, modelos, destrezas, técnicas, habilidades, actitudes y valores. El registro de la
información permitirá la toma de decisiones y el diseño de acciones nuevas, para minimizar el grado de variabilidad de los objetivos por alcanzar
en los procesos de aprendizaje y enseñanza. Esto permitirá la valoración de: la percepción, la memoria, la resolución de tareas planteadas y de
problemas resueltos de manera individual y colectiva, y la metacognición, buscando cambios fundamentales organizados en el proceso sociocognitivo, y explorando las condiciones necesarias para generar modificaciones en el estudiante. Evaluar a la asignatura de Matemáticas I, hablar
de la eficiencia de sus contenidos, de la continuidad en sus conceptos, de las estrategias de aprendizaje en cada uno de los temas, de los resultados
de la materia a través de exámenes departamentales (examen de diagnóstico y examen indicativo)
D) UNIDADES TEMÁTICAS:
La asignatura de Matemáticas I para esta nueva reforma curricular, presenta la siguiente estructura:
UNIDAD I: LOS NÚMEROS ENTEROS Y LAS FRACCIONES.
UNIDAD II: RAZONES Y PROPORCIONES, NÚMEROS REALES.
UNIDAD III: TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA MÍNIMA. Y OPERACIONES BÁSICAS CON POLINOMIOS.
UNIDAD IV: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN. Y FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.
UNIDAD V: EXPONENTES Y RADICALES, FUNCIONES Y GRÁFICAS.
UNIDAD VI: ECUACIONES. Y SISTEMAS DE ECUACIONES.
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CONTRIBUCIÓN AL PERFIL DEL EGRESADO
La misión de toda institución educativa, es preparar a las nuevas generaciones para el mundo que tendrán que vivir. Ello
implica propiciar la adquisición de los conocimientos y las habilidades que los alumnos requieren para desempeñarse con éxito ante
las exigencias de una sociedad cada día más demandante, caracterizada por vertiginosos avances en la ciencia y la tecnología, pero
que ofrece en forma paralela enormes oportunidades. En este contexto, el Bachillerato Universitario de la BUAP, asume el
compromiso de preparar y formar alumnos de manera que sepan interpretar, construir, y solucionar problemas relativos a procesos
naturales y sociales concretos y accesibles, y que al mismo tiempo propicien hábitos de estudio e investigación, así como el
desarrollo de la curiosidad, la perseverancia, la creatividad, la confianza en sí mismo, y la autonomía intelectual. Así, la asignatura de
matemáticas es, en suma, el conocimiento numérico y algebraico, y debe contribuir a alcanzar el siguiente perfil de egreso del
estudiante, sustentado en los cuatro pilares de la educación:
Saber comprender: fenómenos, datos, conceptos, principios, leyes y modelos.
Saber cómo proceder para: Leer, escribir, y abstraer en ciencias; resolver ejercicios y problemas. Realizar
actividad investigativa en lo experimental y teórico.
Saber ser: Estar dispuesto a mostrar una actitud positiva hacia la ciencia, su aprendizaje, y sus implicaciones
sociales.
Saber convivir: Disposición al trabajo colaborativo, al diálogo, a ser tolerante y propositivo
Todo lo anterior, pretende una formación integral y propedéutica dentro del área, para acceder a la educación superior, y contar
con educación para la vida.
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PERFIL DESEABLE DEL PROFESOR(A):
De acuerdo con los lineamientos del Modelo Académico y Educativo Minerva, se caracteriza al docente como:
Un profesional que actúa como promotor, organizador y mediador potencial del desarrollo integral del estudiante.
Un docente que trabaja para establecer una relación respetuosa y empática con los estudiantes, por lo que su eje rector queda
definido por las necesidades y potencialidades de los mismos y que, por ello, utiliza sus recursos personales para poner a
disposición de los estudiantes sus experiencias y conocimientos.
Un académico cooperativo y autocrítico en los grupos colegiados a los que pertenece.
El docente debe ser titulado en la licenciatura de las siguientes carreras: matemático, físico, electrónico, computación e
ingeniero en el área de exactas.
Un docente con experiencia como tal.
El docente tendrá conocimientos teóricos y prácticos de carácter pedagógico y didáctico.
8
CARGA HORARIA DEL ESTUDIANTE
TEORIA
PRACTICA
ESTUDIO INDEPENDIENTE
TOTAL
HORAS
4
HORAS
4
HORAS
2
HORAS
10
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Aprender los contenidos básicos de carácter cognitivo, procedimental y actitudinal característicos de las
estructuras operativas y de orden de los números reales, de su generalización en las representaciones y cálculos
simbólicos del álgebra elemental; aplicando los correspondientes aprendizajes en la resolución de situaciones
problemáticas, comprobando y apreciando los resultados obtenidos.
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MAPA CONCEPTUAL DE MATEMÁTICAS I:
Conocimientos previos: Intuiciones sobre los naturales
Intuiciones para estructurar a los
a los
Base de los
Números Enteros (Z), Eje: resta e inverso aditivo
Se combinan con las
Un tópico fructífero
Números Racionales (Q), Eje: división e inverso multiplicativo
Los clasifica la
Criterio de comparación
Criterio de comparación
Equivalencia
Operaciones y sus propiedades
Divisibilidad
Admite varias
Objetos
para el
Leyes de composición
Objetos para el
Relación de Orden
Los alinean
Interpretaciones
Leyes de
composición
Los alinean
Sistema de los racionales
Sistema de los enteros
Parte de una estructura más rica
Parte de una estructura más rica
Números Reales (R)
Números irracionales
agregamos
Variable
Constante
Dominio
Incógnita
Polinomios
sus
de
Operaciones
Fracciones algebraicas
su
de
obtenemos
Equivalencia y transformaciones
particularmente
Álgebra
Identidades algebraicas
Operaciones
Un tema central
polinómica
sus
Racional
Ecuación
Número de incógnitas
Grado de la Ecuación, Tr. Fundamental del algebra
Enriquece a la
Noción de
función
Introducción a las
Expresiones algebraicas irracionales
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
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MAPA CONCEPTUAL DE LA PRIMERA UNIDAD:
Conocimientos previos:
Intuiciones sobre los naturales
Intuiciones para
estructuran a los
a los
Números Enteros (Z)
Eje: resta e inverso aditivo
Se combinan
mediante las
Un tópico
fructífero
Criterio de
comparación
Divisibilidad
Objetos
para el
Sistema de los
enteros
Base de los
Números Racionales (Q)
Eje: división e inverso multiplicativo
Los clasifica la
Criterio de
comparación
Equivalencia
Operaciones y sus propiedades
interpretaciones
Objetos
para el
Leyes de
composición
Los
alinean
Fracciones p/q
Fracción decimal
Leyes de
composición
Relación de Orden
Los
alinean
Sistema de los
racionales
Parte de una
estructura
más rica
Parte de una
estructura
más rica
Números Reales (R)
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
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UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 1
4 utc
LOS NÚMEROS ENTEROS Y LAS FRACCIONES
32 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES
OBJETIVOS PROCEDIMENTALES
OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al término de la unidad, el alumno Al término de la unidad, el alumno estará capacitado Al término de la unidad, el alumno estará
estará capacitado para:
para:
1. Describir la noción de inversos
1. Utilizar
capacitado para:
sistemáticamente
procedimientos
aditivos y la cerradura de Z
heurísticos en el desarrollo de los temas y en la
respecto a la resta
resolución de problemas
2. Describir
la
relación
de 2. Manejar y resolver aplicaciones significativas que
equivalencia de las fracciones y la
involucren enteros y fracciones, diseñadas
cerradura de Q respecto a la
adecuadamente.
división
3. Detallar
3. Participar en desarrollos constructivos de temas
la
definición
de
las
operaciones con enteros y con
fracciones
4. Describir la noción
selectos en actividades grupales.
4. Utilizar sensatamente la calculadora de bolsillo o
software para algunos procesos operativos.
de orden de
números enteros y de las fracciones
5. Explicar los conceptos de múltiplo,
divisor y factorización prima
1
Hacer sugerencias didácticas para desarrollar
temas del curso.
2. Comparar críticamente las ideas del curso con las
correspondientes a las de cursos de la
secundaria.
3. Regular el comportamiento en el grupo
académico con los acuerdos adoptados en este.
4. Examinar crítica y respetuosamente los diversos
puntos de vista que se susciten en las
actividades académicas, particularmente en las
que se efectúan por equipos
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INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
El presente curso es continuación de la matemática de la secundaria. En general, los propósitos de la unidad están determinados por ello, a saber,
recobrar, reorganizar y profundizar los conceptos y procesos operativos aritméticos de la secundaria Los enteros y las fracciones son parte
importante del puente entre los conocimientos y habilidades matemáticos con que llegan los nuevos preparatorianos y el nuevo patrimonio
matemático que habrán de adquirir; se tendrá en mente el tratamiento típico de aquellos en la educación media y se remediarán parcialmente sus
omisiones, vaguedades, desconexiones y falta de justificación, sin llegar a una estructuración de los temas en cuestión. A los enteros se les tomará
como un ejemplo de este refinamiento, mientras que en el caso de las fracciones se pondrá el acento en sus cualidades operativas y de herramienta
en las aplicaciones.
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CONTENIDOS EDUCATIVOS Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos
Descripción de los temas
Comentarios y estrategias didácticas
I.1. Resolución de problemas selectos que sólo
Problemas que se seleccionan regulando su
El propósito es recuperar y reafirmar los usos
requieran números naturales
grado de dificultad y cuidando que resulten
principales de las operaciones básicas en lugar del
familiares para los estudiantes
el uso indiscriminado de la regla de tres. Efectuar
parte del trabajo por equipos
I.2 El sistema de los números enteros (Z)
La estructura [Z, +, ×, <] como un Se describe a priori la estructura [Z, +, ×, <] y se
elemento organizador de lo que aprendieron advierte que enseguida se van a explicar sus
de los enteros en la secundaria
aspectos sobresalientes
como
un elemento
organizador de lo que aprendieron de los enteros en
la secundaria, más específicamente
Conviene escribir inicialmente:
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 …}
para no presuponer el orden
Se ilustra con ejemplos familiares el carácter
cualitativo de opuestos que tienen n y –n, que en
adelante será importante para los ejercicios
ilustrativos
Los alumnos deben de estar advertidos que a nivel
operativo conocen la mayor parte de esta unidad, el
propósito central consiste en hacer diversas
precisiones de detalles que hoy manejan de forma
confusa y por lo tanto insegura
14
I.2.1. Los inversos aditivos
n + (− n) = 0
No se dan pruebas de estas relaciones pero se
− (− n) = n ¡no es “menos por menos da justifican suficientemente con ejemplos familiares
más” !, es una doble inversión
0 no es positivo ni negativo
I.2.2. Valor absoluto de un entero
La definición de valor absoluto
basados en que cualitativamente – n es el opuesto
de n (pérdidas – ganancias, retiros – depósitos, sur
– norte, etc.)
Dada la definición y después de algunos ejemplos,
se les pedirá a los alumnos determinen el valor
absoluto de números enteros
I.2.3. Suma de enteros
Definición de la suma o adición
Hay aquí un ejemplo típico de actividad vaga y
Propiedades básicas de la suma
parcialmente inconsciente de los alumnos, y
también de resistencia al cambio. Conviene abordar
el tema haciendo que los alumnos (al menos
algunos de ellos) se contradigan al efectuar sumas
simples. En los ejercicios los alumnos deben poder
explicitar las reglas que aplican al sumar, de hecho
el propósito principal es que conceptualicen una
operación
que
efectúan
con
procedimientos
confusos
Se requerirá establecer la regla del paréntesis (es
decir: i. efectuar primero la operación entre
paréntesis, ii. si un par de paréntesis está dentro de
otro atender primero el más interior)
A través de ejercicios el alumno identificará: ¿qué
propiedades de la adición de enteros se están
aplicando?
15
I.2.4. Resta de enteros
Definición: m – n = d
n+d=m
Teorema: m – n = m + (− n)
Hay que hacer notar a los alumnos que la mayoría
de
ellos
efectúan
sumas
de
enteros
pero
difícilmente alguno sabrá restarlos
La definición se ajusta a la experiencia del alumno
pero no es la forma más cómoda de restar. El
teorema (no demostrarlo, pero sí argumentarlo) es
conceptualmente de gran importancia, en particular
por efectuar una operación transformándola en la
“operación inversa”
I.2.5. Orden de los enteros
m<n
existe un entero p positivo tal que Dadas parejas de números enteros se le pedirá a los
m+p=n
Representación en la recta numérica
alumnos identifiquen la relación de orden que
existe entre ellos, aplicando la definición de orden
o bien pudiendo manejar la recta numérica para
ilustrar el concepto
I.2.6. Expresiones que incluyen sumas y restas,
con símbolos de agrupación
Introducción de los símbolos más usuales Luego de ejemplificar, se pedirá a los alumnos
(paréntesis, corchetes, llaves, …)
simplificar las mismas expresiones en ambas
Simplificación con la sola ayuda de la regla formas. La primera es característico del tema, la
del paréntesis
Simplificación de expresiones con símbolos
de agrupación
segunda es un adelanto que dará significación al
respectivo caso algebraico. Parte de los ejercicios
se efectuarán también con el uso de un software
16
I.2.7. Multiplicación de enteros
I.2.8. Expresiones que incluyen sumas, restas y
Definición de la operación multiplicación
A partir de la distributividad conviene introducir la
Propiedades básicas de esta operación
jerarquía de operaciones
Simplificación con la sola ayuda de la regla El
tema
complementa
I.2.6,
agregando
la
multiplicación. El principal interés es la propiedad
multiplicaciones, con símbolos de
del paréntesis
agrupación
Simplificación de expresiones con símbolos distributiva por ambos sentidos.
de agrupación
I.2.9. Problemas de aplicación
De
uso
frecuente:
de
dinero,
de Resolver problemas previamente sleccionados
temperaturas, de perdidas y ganancias, etc.
Con operaciones combinadas
I.2.10. Divisibilidad
Intento de definir la división
Divisores y múltiplos
Se intenta con la misma idea de siempre: m ÷ n = c
n c = m, se explica el inconveniente de que no
Criterios de divisibilidad más usuales
funcione bien con cualquier par de enteros, a pesar
Números primos y compuestos
de lo cuál se pueden decir muchas cosas al respecto
Teorema fundamental de la aritmética
mcd (máximo común divisor) y mcm
(mínimo común múltiplo)
Aplicar los criterios de divisibilidad para 2, 3, 4, 5,
6y9
Como se sabe, el mcd y el mcm están entre los
tópicos que mejor se prestan para plantear algunos
problemas familiares para los alumnos
I.3. Las Fracciones o números racionales
Concepto de fracción
A partir de fracciones dadas que los alumnos
Términos de una fracción
identifiquen sus términos y que indiquen que
Las “fracciones propias” y las “impropias”
representan cada uno de ellos.
17
Se darán ejemplos de fracciones y se les pedirá que
identifiquen que tipo de fracción es.. Las propias
“representan partes de la unidad”, son el sustento
significativo del tema, constituyen una buena
introducción con los clásicos esquemas circulares,
etc., se explícita su naturaleza de pareja ordenada
de enteros positivos. Conviene introducirse a las
impropias con casos como:
0 p 3 p
,
,
,
q p 2 1
Ubicará en la recta numérica fracciones dadas
I.3.1. El conjunto Q de las fracciones
El conjunto Q de las fracciones o números Se trata de definir a los números racionales como el
racionales
número
p
donde el mcd( p , q )=1, con q > 0
q
Para la representación en la recta numérica,
recomendamos que se trabaje en papel cuadriculado
Representación geométrica de los números
racionales
o en papel milimétrico, para que sea lo más exacto
posible y se vea claro con la simple observación del
dibujo. Además, recomendamos la representación
en dos partes, los números menores que uno y los
números mayores que uno, así como también, la
representación
e
identificación
de
fracciones
equivalentes.
I.3.2. Equivalencia de fracciones
Particularmente:
Se generaliza la noción de fracción como pareja
18
p
q
p
y
q
p
q
p
q
p
q
ordenada de enteros, con lo que se diluyen las
imágenes intuitivas anteriores, que se recuperan
Se incluyen los enteros entre las fracciones con la introducción de otras dos nociones: la de
con la definición n n
equivalencia de fracciones y la de fracción
1
negativa.
Generación de fracciones equivalentes a
En la generación de fracciones nos referimos a los
una fracción dada
casos:
p
q
np
np
o
nq
nq
Donde decimos que
p
q
p
está simplificado a sus
q
mínimos términos, cuando el mcd(
p , q )=1, con
q >0
I.4 Operaciones con fracciones.
I.4.1. Adición y resta de fracciones
Definición:
p
r
q
q
p
r
q
Esta es una definición intuitivamente comprensible
y fácil de ilustrar con ejemplos familiares. Si se
desea abundar en ello, la ejemplificación de las
propiedades básicas es inmediata
Teorema:
Justificación inmediata con 1.2.3, más un postulado
p
r
q
s
ps
qr
qs
de sustitución que acaso deba quedar implícito, en
general: en cualquier proceso operativo una
fracción puede cambiarse por otra equivalente a
ella
Teorema:
Introducir aquí las fracciones mixtas
19
p
r
t
q
s
u
(m
q) p
(m
s)r
(m
u )t
Ejercitar las operaciones
m
Siendo m el mcm u otro múltiplo de q, s y u
La justificación es opcional
Propiedades de la suma
Convendría dejar a los estudiantes la revisión de las
propiedades de tarea o trabajo en clase
Ejercicios solo ilustrativos, no tediosos
I.4.2. Multiplicación de fracciones.
Definición:
a
b
c
d
Nuevamente convendría dejar a los estudiantes la
ac
bd
revisión de las propiedades de tarea o trabajo en
clase
Ejercicios solo ilustrativos, no tediosos
Propiedades de la multiplicación.
I.4.3. División de fracciones.
Definición:
a
b
c
d
Al igual que la resta en enteros, convendría hacer
ad
bc
énfasis en la operación inversa. O tal vez pueda
ayudar el teorema;
p
q
r
t
p
q
t
r
Al igual que la multiplicación, la revisión de las
propiedades podría encomendarse a los estudiantes
como trabajo de tarea o trabajo de clase
I.4.4. Combinación de operaciones con
fracciones.
Ejercicios
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
a5
b5
Hacer hincapié en la jerarquía de las operaciones,
para resolver expresiones con fracciones que
contengan sumas, restas, multiplicación y división.
20
I.5. Orden de fracciones.
a
b
c
con b , d positivos
d
ad
bc
Puntualizar que la validez de la desigualdad de dos
fracciones, por medio de hacer el producto cruzado
se da solamente en el caso que los denominadores
sean positivos.
I.6. Fracciones decimales.
Las fracciones decimales
Leer, escribir e identificar los números decimales
La aproximación y el redondeo de teniendo en cuenta el valor posicional de las cifras,
fracciones decimales
es decir, dar una interpretación de fracciones de la
Representación gráfica de una fracción forma a donde a es un cifra, pasando después
10 n
decimal
Suma, resta, multiplicación y división de
fracciones decimales
Orden de las fracciones decimales
por
interpretar
a1 a 2
10 10 2
...
expresiones
an
10 n
donde
del
a1 ,..., a n
tipo
son
cifras. Después dar una justificación general del por
p
Representación del número
en su forma qué del algoritmo de transformar una fracción a su
q
forma decimal.
decimal y viceversa.
La idea es conocer y describir el concepto de
fracción
decimal.
Realizar
aproximaciones
decimales de fracciones, donde hay que hacer notar
que hay dos tipos de redondeo, por exceso y por
defecto, y el caso del .5
Tal vez las operaciones con fracciones sea un tema
ya bastante trabajado, al igual que el orden, pero
habría que estar seguros de ello.
21
I.7. Números racionales.
Definición de número racional como El docente realiza varios ejercicios en clase,
número decimal
considerando como divisores diferentes valores que
dan origen a la clasificación y trata de manera
grupal de llegar a la definición
22
MAPA CONCEPTUAL DE LA SEGUNDA UNIDAD:
Números Racionales (Q)
Eje: división e inverso multiplicativo
Objetos del
Sistema de los
enteros
Sistema de los
racionales
Interpretación
Objetos de
Parte de una
estructura
más rica
Números irracionales
Comparación
de cantidades
Parte de una
estructura
más rica
Complemento
teórico
Razón
Coordinación de
comparaciones
Contribución
significativa
Números Reales (R)
Proporción y sus
propiedades
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
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UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD II
4 utc
RAZONES Y PROPORCIONES. NÚMEROS REALES
20 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES
OBJETIVOS PROCEDIMENTALES
OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al término de la unidad, el alumno Al término de la unidad, el alumno estará capacitado
Al término de la unidad, el alumno estará
estará capacitado para:
para:
capacitado para:
1. Describir las nociones de razón y
1. Utilizar
de proporción
sistemáticamente
procedimientos
heurísticos
1. Hacer sugerencias didácticas para desarrollar
temas del curso
2. Identificar proporciones directas o
2. Manejar y resolver aplicaciones significativas de
2. Comparar críticamente las ideas del curso con las
inversas en tablas y fórmulas dadas
proporcionalidad, porcentaje y regla de tres
correspondientes a las de cursos de la secundaria
como proporciones o mediante la
diseñadas adecuadamente
constante de proporcionalidad
3. Participar en desarrollos constructivos de temas
3. Describir la regla de tres directa y
la inversa simples
4. Utilizar sensatamente la calculadora de bolsillo o
4. Describir los tres problemas típicos
del porcentaje
5. Caracterizar
software para algunos procesos operativos
5. Describir entre número racional e irracional en
a
los
números
irracionales
6. Describir
selectos en actividades grupales
base a su representación decimal
6. Diseriminar
el
números reales
conjunto
de
los
3. Regular
el
comportamiento
en
el
grupo
académico con los acuerdos adoptados en este
4. Examinar crítica y respetuosamente los diversos
puntos de vista que se susciten en las actividades
académicas, particularmente en las que se
efectúan por equipos
24
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
La importancia del presente tema descansa en dos cualidades suyas, por un lado es uno de los terrenos más aptos para las aplicaciones prácticas.
Por otro lado, el pensamiento proporcional abunda en elementos teóricos valiosos, entre ellos: históricamente ha sido un modelo de los números
racionales, incluye el concepto geométrico de variación continua lineal, es la base de la trigonometría del triángulo y se le encuentra en el la base
del cálculo diferencial. Al lado de su importancia se encuentran dificultades que hay que tener en mente: la proporción es una comparación de
comparaciones, lo que constituye una relación compleja; cuando entre sus elementos hay cantidades irracionales la dificultad de su comprensión se
multiplica, por lo que aquí excluimos ese caso; por otro lado, el tema en la secundaria prácticamente se reduce a la regla de tres, cuya naturaleza es
puramente mecánica, pero su simpleza acrecienta la actitud reacia de los estudiantes a aceptar el estudio y el uso de la proporción. Cabe mencionar
que el carácter práctico de la proporción se desperdicia si el profesor no recorre textos de física, química, ciencias médicas, etc. En busca casos
representativos de ella
25
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos
II.1 Razones y proporciones
Descripción de los temas
Comentarios y estrategias didácticas
Los conceptos de razón y proporción
La comparación de dos cantidades puede realizarse
Las partes de una proporción
de dos formas: por diferencia y por cociente. En
Las propiedades de la proporción
este curso se trabajará la comparación por cociente
Calculo del término de una proporción que
(razón geométrica). Reconocimiento, lectura y
escritura de una razón.
pueda faltar
Reconocimiento, lectura y escritura de los términos
de una proporción
Aplicaciones de las propiedades fundamentales de
las proporciones con ejemplos numéricos
Calculo del término desconocido en una proporción
II.2Proporcionalidad directa e inversa.
Establecimiento
de
la
relación
de Reconocimiento de magnitudes directamente
magnitudes de proporcionalidad directa e proporcionales e inversamente proporcionales
inversa entre magnitudes
La constante de proporcionalidad
II.3 Regla de tres
Regla de tres simple directa
Resolución de problemas de regla de tres simple
Magnitudes inversamente proporcionales
directa con números y datos explícitos
Regla de tres simple inversa
Resolución de problemas de regla de tres simple
directa con números y datos no explícitos
Reconocimiento
de
magnitudes
inversamente
proporcionales
Resolución de problemas de regla de tres simple
26
inversa con números y datos explícitos
Resolución de problemas de regla de tres simple
inversa con números y datos no explícitos
II.4 Porcentaje
Concepto de porcentaje
Reconocimiento e identificación de porcentajes
Expresión escrita
Utilización escrita de tanto por ciento y calculo de
Calculo de porcentajes de una cantidad
% de una cantidad
Tanto por ciento que representa una
Identificación del porcentaje que representa una
cantidad sobre otra
cantidad sobre otra
Resolución de problemas directos en los que se
calcula el tanto por ciento
Resolución de problemas inversos en los que se
conoce el tanto por ciento.
Resolución de problemas de porcentajes con datos
no explicitados.
II.5 Los números irracionales
El
concepto
de
número
irracional, A partir de ejemplos numéricos, el alumno
mencionando sus características decimales
diferenciará un número racional de un irracional en
base a su representación decimal
II.6 El conjunto de los números reales.
Definición de los números reales
Se trata de hacernos de una definición más de los
Representación en la recta numérica
números reales, así como también, una
representación de estos.
27
MAPA CONCEPTUAL DE LA TERCERA UNIDAD:
Números Reales (R)
agregamos
Variable
Constante
Dominio
Incógnita
Sistema de
los enteros
de
Polinomios
sus
obtenemos
Álgebra
Un tema central
Operaciones
Ecuación
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
28
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD III
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA MÍNIMA Y OPERACIONES BÁSICAS CON
4 utc
15 utc
POLINOMIOS
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES
OBJETIVOS PROCEDIMENTALES
OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al término de la unidad, el alumno
Al término de la unidad, el alumno estará capacitado Al término de la unidad, el alumno estará
estará capacitado para:
para:
capacitado para:
1. Dadas expresiones algebraicas en 1. Calcular dominios de letras en expresiones y en 1.
contextos dados, identificar las
constantes y las variables
2. Describir la noción de dominio de
una letra
contextos dados.
Hacer sugerencias didácticas para desarrollar
temas del curso.
2. Traducir en lenguaje algebraico frases o 2.
Regular el comportamiento en el grupo
proposiciones dadas en lenguaje cotidiano y
académico con los acuerdos adoptados en este.
recíprocamente
3. Distinguir en un conjunto de 3. Evaluar expresiones algebraicas
3.
Examinar
crítica
y
respetuosamente
los
diversos puntos de vista que se susciten en las
expresiones algebraicas dadas las 4. Participar en desarrollos constructivos de temas
actividades académicas, particularmente en las
que son polinomios y su grado
que se efectúan por equipos
selectos de la unidad en actividades grupales.
5. Efectuar sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones de polinomios
6. Simplificar expresiones que contengan símbolos
de agrupación
7. Utilizar sensatamente un software para verificar
resultados de operaciones con polinomios.
29
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
En lo general, el álgebra elemental consiste en operar con expresiones formadas, mediante operaciones, con números reales y letras que
representan números reales y en resolver ecuaciones algebraicas (incluidos sistemas de ellas) de grado 1 y 2. En esta unidad los alumnos
empiezan a interactuar con los principales ingredientes de todo ello, las constantes y las variables (a su tiempo también las incógnitas y antes lo han
hecho con los reales). Pero el primer objeto típico de esta álgebra es el polinomio –cuya naturaleza es equiparable a la del número entero en
aritmética- y la primera actividad igualmente típica es la de operar estas entidades, este es el núcleo de la unidad; pero acompañada de otras
actividades en buena parte lingüísticas, como la de aprender vocablos característicos y hacer traducciones de lenguaje materno a lenguaje
algebraico y viceversa
30
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos
III.1 Introducción a la terminología
Descripción de los temas
Comentarios y estrategias didácticas
A partir de expresiones algebraicas dadas, el
Dominio de las letras.
alumno identificará el dominio de las letras
algebraica
involucradas en las mismas y en contextos dados.
Traducción recíproca de la lengua materna
y el lenguaje algebraico.
El docente ejemplificará y realizará ejercicios en
clase y de tarea se darán expresiones en lenguaje
materno para traducir a lenguaje algebraico y
Vocabulario algebraico simple.
viceversa.
Se darán los diferentes conceptos básicos que se
requieren
algebraica,
en
el
álgebra,
variable,
como:
constante,
expresión
coeficiente
numérico, exponente, término algebraico, etc. En
seguida se darán ejemplos para identificar
El
expresiones Se le pedirá al alumno que escriba expresiones
algebraicas para determinados valores de algebraicas, dándole valores numéricos a las
III.2 Operaciones básicas con polinomios.
valor
numérico
de
las letras
variables para que determine su valor numérico.
Las reglas para operar con polinomios.
El docente da la definición de polinomio y cita
ejemplos, luego a partir de una serie de expresiones
algebraicas, que el alumno identifique cuales de
ellas son polinomios
31
Por medio de ejercicios se le explicará al alumno
como
realizar
operaciones
multiplicación
y
posteriormente
se
división
le
de
de
dejarán
suma,
resta,
polinomios
ejercicios
y
que
aumenten gradualmente su grado de dificultad,
buscando ser mas eficientes.
III.2.1 Suma y resta.
Para los ejercicios recomendamos el aumento
Definición de términos semejantes.
Suma
y
resta
de
monomios,
con gradual del número de términos ( monomios,
binomios, etc ).
coeficientes enteros y racionales
Suma
y
resta
de
polinomios,
con
Invitar a los profesores a ser efectivos y no
excederse en el uso de símbolos de agrupación.
coeficientes enteros y racionales
Colocación y eliminación de signos de
agrupación
III.2.2 Multiplicación
Propiedades
x.x.x….x=xn
de
la
y
multiplicación: Se sugiere que se trabaje con exponentes naturales
xn . x m = x n + m
Empezar con multiplicaciones de literales, usando
la
Multiplicación
de
monomios,
con
propiedades
de
los
exponentes
Multiplicación de un monomio por un
multiplicación, seguido de multiplicaciones con
Destacar la importancia de la propiedad distributiva
polinomio, con coeficientes enteros y en la multiplicación de un monomio por un
racionales
polinomio y en la generalización
de
polinomios,
la
coeficientes y literales.
coeficientes enteros y racionales
Multiplicación
en
con
32
coeficientes enteros y racionales
Multiplicación de dos o más polinomios
Eliminación de símbolos de agrupación
III.2.3. División
Propiedades de la división
xm
xn
1
x m n ; x. =1
x
Se recomienda el trabajo con exponentes
naturales y tener cuidado en el grado de los
polinomios para que el cociente siempre este
con exponentes naturales
División de monomios, con coeficientes La definición de división se hará en términos
enteros y racionales
División de un polinomio entre un
monomio, con coeficientes enteros y
racionales
División de polinomios, con coeficientes
enteros y racionales
del algoritmo
33
MAPA CONCEPTUAL DE LA CUARTA UNIDAD:
Números Reales (R)
agregamos
Variable
Constante
Dominio
Incógnita
Sistema de los
racionales
obtenemos
Álgebra
de
Fracciones algebraicas
su
apoyo
Equivalencia y
transformaciones
Identidades
algebraicas
sus
Operaciones
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
34
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD IV
4 utc
OBTENCIÓN DE PRODUCTOS POR SIMPLE INSPECCIÓN,
22 utc
FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES
Al término de la unidad, el alumno
estará capacitado para:
1. Explicar la noción de identidad y
su papel en la sustitución
2. Describir la idea de factorización
y la diferencia entre un “producto
notable” y la multiplicación
usual, así como su carácter de
procesos inversos
3. Describir las nociones de mcd de
monomios y mcm de polinomios
4. Reconocer en un conjunto dado
de expresiones algebraicas las
que son fracciones racionales
5. Comparar la evaluación de una
fracción con la evaluación de su
simplificación
OBJETIVOS PROCEDIMENTALES
OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al término de la unidad, el alumno estará Al término de la unidad, el alumno estará
capacitado para:
capacitado para:
1. Dado un conjunto de igualdades algebraicas 1. Hacer sugerencias didácticas para desarrollar
conjeturar, mediante evaluaciones, cuáles son
temas del curso.
identidades y cuáles ecuaciones
2. Comparar críticamente las ideas del curso con
2. Manejar los casos típicos de productos notables,
las correspondientes a las de cursos de la
incluyendo variantes respecto a sus esquemas
secundaria.
usuales de presentación
3. Regular el comportamiento en el grupo
3. Manejar los casos típicos de factorización,
académico con los acuerdos adoptados en este.
incluyendo variantes respecto a sus esquemas 4. Examinar crítica y respetuosamente los
usuales de presentación
diversos puntos de vista que se susciten en las
4. Calcular mcd de monomios y mcm de polinomios
actividades académicas, particularmente en las
dados
que se efectúan por equipos
5. Simplificar, sumar, restar, multiplicar, potenciar,
dividir fracciones racionales
6. Participar en desarrollos constructivos de temas
selectos en actividades grupales.
7. Utilizar sensatamente algún software para
comprobar algunas operaciones.
35
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
En su forma típica, los productos notables y su proceso gemelo, la factorización, son simplemente una extensión del estudio de los polinomios y
su primera aplicación amplia es el manejo de las fracciones racionales, por ello conviene poner ambos temas en la misma unidad. Las fracciones
racionales son el análogo de las fracciones numéricas, en el mismo sentido que los polinomios lo son de los enteros, hay pocos elementos
conceptuales qué abordar (al menos al nivel que nos ocupa), por lo que podemos concentrar la atención en el aspecto operativo
36
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos
IV.1 La identidad
Descripción de los temas
Comentarios y estrategias didácticas
Dar una serie de igualdades y que el alumno
Distinción entre identidad y ecuación
identifique cuales son identidades y cuales son
ecuaciones.
IV.2 Concepto de producto notable y
factorización
Casos de productos notables y factorización En este tema se definirán los conceptos de
producto notable y factorización
que se verán:
Se explicará con ejercicios los diferentes casos de
productos notables y su respectiva factotrización.
La propiedad distributiva y el factor
El mcd.
común.
El
Por asociación de términos
cuadrado
de
un
binomio
y
la
factorización de un trinomio cuadrado
perfecto.
La
multiplicación
de
dos
binomios
conjugados y la factorización de una
diferencia de cuadrados.
Multiplicación de dos binomios con un
término común y la factorización de
trinomios de la forma:
x2
bx c y ax 2
bx c .
Multiplicación de un binomio por un
37
trinomio de la forma:
a b a2
ab b 2
a b a2
ab b 2
y
Un binomio a la potencia n, (solo por
triángulo de Pascal).
IV.3 Fracciones algebraicas
Fracción algebraica.
Se dará el concepto de fracción algebraica y
posteriormente el alumno a partir de expresiones
algebraicas dadas identificará cuales de ellas son
fracciones algebraicas. Se destaca el cuidado en los
dominios de los denominadores.
Fracciones algebraicas equivalentes.
Simplificación de fracciones algebraicas
Se explicará cuando dos o más fracciones
algebraicas son equivalentes
Se le hará hincapié al alumno de que para
simplificar fracciones algebraicas siguiendo el
mismo principio que en la simplificación de
fracciones aritméticas
IV.4 Operaciones con fracciones algebraicas
Multiplicación.
Luego de la resolución de ejercicios explicada por
el docente, los alumnos trabajando en equipo,
División.
Suma y resta.
Fracciones compuestas
realizarán ejercicios de suma, resta, multiplicación
y división de fracciones algebraicas
38
MAPA CONCEPTUAL DE LA QUINTA UNIDAD:
Álgebra
Apoyo para ecuaciones
Introducción a los
Noción de
función
Radicales
y sus
operaciones
Gráficas en dos
dimensiones
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
39
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD V
4 utc
EXPONENTES Y RADICALES, FUNCIONES Y GRÁFICAS
25 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES
OBJETIVOS PROCEDIMENTALES
OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al término de la unidad, el alumno Al término de la unidad, el alumno estará capacitado
Al término de la unidad, el alumno estará
estará capacitado para:
capacitado para:
para:
1. Escribir las leyes de exponentes 1.
Aplicar las leyes de exponentes positivos a
enteros positivos sobre producto
casos que conduzcan a resultados indefinidos
y cociente de potencias de la
en su campo de aplicación
misma base, potencia de un 2.
Transformar con
producto y de un cociente y
exponentes negativos a las equivalentes con
potencia de una potencia
positivos y los fraccionarios a radicales, y
2. Generalizar
a
partir
de
las
destreza expresiones con
recíprocamente
1. Hacer sugerencias didácticas para desarrollar
temas del curso.
2. Comparar críticamente las ideas del curso con
las correspondientes a las de cursos de la
secundaria.
3. Regular el comportamiento en el grupo
académico con los acuerdos adoptados en este.
definiciones de raíz cuadrada y 3.
Transformar radicales dados a su “forma más
cúbica la noción de raíz n−esima
simple”
diversos puntos de vista que se susciten en las
y explicar las condiciones para su 4.
Reducir radicales semejantes, multiplicar y
actividades académicas, particularmente en las
aplicación
dividir radicales
que se efectúan por equipos
3. Explicar la definición a 0
1 ; la 5. Comprobar con calculadora y evaluaciones la
del exponente negativo y la del
equivalencia de expresiones con exponentes y
fraccionario, sus propósitos y
radicales, en particular las simplificaciones
aplicaciones
4. Examinar
crítica
y
respetuosamente
los
40
6.
4. Identificar en diagramas, tablas,
Utilizar sensatamente algún software para
comprobar algunas operaciones
gráficas, fórmulas polinomiales y 7.
Escribir algebraicamente reglas de funciones
racionales,
se
dadas en lengua materna, evaluar funciones con
funciones
reglas dadas mediante fórmulas para valores
pueden
aquellas
considerar
que
(continuas) y sus dominios
dados de la variable y mostrar el elemento
5. Modelar por medio de funciones,
situaciones
geométrico que representa la imagen en una
problemáticas
habituales
gráfica
8.
6. Interpretar las posibilidades de
Representar
en forma tabular, algebraica o
gráfica relaciones funcionales cotidianas dadas
interpolación en tablas dadas de 9.
Graficar
datos
interpolación, explicando cuándo esta última no
que
dependencias
representen
funcionales
de
situaciones familiares
7. Estimar en gráficas dadas
funciones
por
tabulación
e
procede
10. Participar en procedimientos constructivos de
los
temas selectos desarrollados colectivamente
valores del dominio para los que 11. Participar en un proyecto interdisciplinario
la imagen es cero, máxima o
mínima, si existen
anual
41
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
En Particular tenemos aquí otro enfoque de ciertos tipos de fracciones racionales y de potencias perfectas, pero en general es un contacto con
expresiones irracionales, semejante al que se tiene con los números irracionales, y al igual que entonces se da principalmente a nivel de
manipulación simbólica, más que de forma significativa, sin excluir del todo a esta, por la misma razón hay que limitar la dificultad de los
ejercicios y problemas
Las funciones son un tema presente en muchas partes de la matemática, incluida el álgebra, pero distan de ser un objeto de estudio propiamente
algebraico, hay mejores lugares para abordar el tema; pero también hay razones para tocarlo aquí, entre ellas que facilita el enfoque gráfico de
otros temas, se presta a las aplicaciones significativas y el hecho de que los aspirantes a ingresar en ciertas facultades tendrán pocas oportunidades
de encontrar este tópico en la preparatoria, los objetivos propuestos intentan mediar entre estas situaciones, de ahí que estén ausentes ciertos
aspectos típicos del estudio de las funciones
42
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos
V.1 Exponentes
Descripción de los temas
Exponentes con números naturales
Comentarios y estrategias didácticas
El profesor y los alumnos hacen un resumen de las
leyes de los exponentes enteros y para la definición
Exponentes con números enteros
de x0, en seguida realizan ejercicios de
simplificación con las propiedades de los
Reducción de expresiones que contienen
exponentes
exponentes a formas más simples
V.2 Radicales
Exponentes fraccionarios y su notación con La práctica de pasar de notación de exponente a la
radicales.
notación radical y viceversa. Y para reforzar, se
realizan ejercicios
Reducción de expresiones con radicales a
Sacar y meter un número o letra del signo radical.
expresiones más simples
Entendemos
como
expresiones
más
simples,
cuando no hay número o letra que se pueda sacar
del radical en forma perfecta, cuando no hay
divisiones dentro del radical,
cuando no hay
exponentes negativos.
V.3 Operaciones básicas con radicales
Suma y resta de radicales.
Aplicando propiedades de los radicales, se realizan
ejercicios
Multiplicación de radicales.
División de radicales
43
V.4 Racionalización
Racionalización del denominador
Los ejercicios a realizar se sugiere sólo con
monomios y binomios
V.5 Funciones
Situaciones problemáticas que conllevan al
A partir del comportamiento de las variables de un
concepto de función
conjunto de datos, relacionados a problemas de la
vida cotidiana en áreas, como: física, química,
biología, etc, se obtendrán modelos funcionales, así
como sus representaciones graficas en el dominio
El concepto de función
de los reales.
Al revisar el concepto de función, se debe
reconocer todos los elementos de la función, como:
variable independiente, variable dependiente,
dominio, contradominio, rango o imagen
Se formarán equipos de trabajo a quienes se les
proporcionan ejemplos de relaciones y funciones
para que identifiquen cuales de ellas representan
funciones
V.5.1 Representación de una función
La tabla de valores
El conjunto de pares ordenados
La representación grafica
En el caso de la grafica, construir el sistema de
coordenadas y hablar de sus elementos, como: la
abscisa, la ordenada, los cuadrantes y las
44
características de los puntos en cada cuadrante, la
independencia de escalas en los ejes, etc.
En la representación de graficas, utilizar funciones
constantes, lineales y cuadrática.
La interpolación y extrapolación en base a
una relación funcional
La fórmula
Dado un numero en el eje X, hallar su respectivo
valor de f(x) en la grafica.
Y para el caso de la representación como fórmula o
ecuación, realizar la evaluación de funciones
45
MAPA CONCEPTUAL DE LA SEXTA UNIDAD:
Álgebra
Ecuación
Ecuación
polinómica
Ecuación
racional
Enriquece a la
Número de incógnitas
Grado de la Ecuación
Tr. Fundamental del algebra
aplicaciones
Noción de
función
Indicación: Los elementos punteados representan los conocimientos previos o los subsecuentes a la unidad
46
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD VI
4 utc
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
30 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES
OBJETIVOS PROCEDIMENTALES
OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al término de la unidad, el alumno
Al término de la unidad, el alumno estará capacitado
Al término de la unidad, el alumno estará
estará capacitado para:
para:
capacitado para:
1. Reconocer cuando una expresión
1. Utilizar el concepto de ecuación equivalente 1. Hacer sugerencias didácticas para desarrollar
algebraica
representa
una
ecuación
2. Clasificar a las ecuaciones por su
grado y por su número de
incógnitas.
para resolver ecuaciones
2. Resolver
ecuaciones
temas del curso
utilizando
diferentes 2. Comparar críticamente las ideas del curso con las
métodos de solución
correspondientes a las de cursos de la secundaria.
3. Plantear y resolver problemas que conlleven a 3. Regular
ecuaciones de primer y segundo grado
el
comportamiento
en
el
grupo
académico con los acuerdos adoptados en este.
4. Participar en procedimientos constructivos de 4. Examinar crítica y respetuosamente los diversos
temas selectos desarrollados colectivamente
puntos de vista que se susciten en las actividades
5. Participar en un proyecto interdisciplinario
académicas, particularmente en las que se
anual
efectúan por equipos
47
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos
VI.1 Ecuaciones
Descripción de los temas
Comentarios y estrategias didácticas
Situaciones problemáticas que llevan a la Con la coordinación del docente revisar el axioma
necesidad de plantear modelos de solución
fundamental de las ecuaciones y las reglas que
derivan, en seguida se dan ejemplos que los ilustren
Clasificación de los modelos obtenidos y su
generalización
Concepto de ecuación
Ecuaciones equivalentes
Mediante actividades coordinadas por el docente se
realiza el reconocimiento del concepto, de las
partes y de los elementos de una ecuación
VI.2 Ecuación de primer grado con una
incógnita
Resolución de la ecuación de primer grado Luego de una exposición del docente, el alumno
con una incógnita
resolverá ecuaciones de primer grado con una
incógnita, con y sin denominadores,
Resolución de ecuaciones de primer grado
con una incógnita, con expresiones
fraccionarias
con y sin paréntesis, siendo los denominadores
números naturales
Para quitar denominadores es muy conveniente que
multipliquen todos los términos de la ecuación por
el MCM de los denominadores, simplificando
Problemas que se resuelven con ecuaciones
de primer grado
después pero sin hacer la multiplicación
directamente, sino dejándola indicada y
realizándola en el paso siguiente.
48
En los problemas debe insistirse en este curso en
los pasos a seguir: datos, preguntas, ecuación
y comprobación. Es más importante asimilar bien el
proceso que hacer muchos problemas, que tendrán
tiempo de resolver en cursos posteriores
En el planteamiento de problemas, hay que ser
sistemáticos y la presentación gradual de dificultad
VI.3 Sistemas de ecuaciones lineales.
Situaciones problemáticas que conllevan al Una posible justificación, el crecimiento en un
planteamiento de un sistema de ecuaciones
problema del número de incógnita y la necesidad de
un dato más para encontrar posible solución
Sistemas de ecuaciones de 2x2.
Métodos de solución
Luego de una exposición del docente, los alumnos
realizarán ejercicios en los siguientes métodos:
Método de suma o resta.
Método de sustitución
Método de determinantes.
Método grafico.
Problemas que se resuelven con sistemas de En esta sección, hay que priorizar el proceso de
ecuaciones de 2x2.
plantear el modelo más que el método de solución
Sistemas de ecuaciones de 3x3.
La justificación podría ser parecida al sistema de
2x2, y dejar abierta la posibilidad del crecimiento
del número de incógnitas y del número de
ecuaciones para que un sistema tenga solución
49
Métodos de solución.
Luego de una exposición del docente, los alumnos
realizarán ejercicios en los siguientes métodos:
Suma o resta, sustitución y determinantes
Problemas que se resuelven con sistemas de
ecuaciones de 3x3.
En el planteamiento de problemas, priorizar el
proceso de comprensión y la presentación gradual
de dificultad
VI.4 Ecuaciones de segundo grado con una
incógnita
Situaciones problemáticas que conllevan al
planteamiento de una ecuación de segundo
grado
Concepto de ecuación de segundo grado
Ecuaciones completas e incompletas.
Métodos de solución.
a) Método de factorización.
Exposición del docente seguida de ejercicios en
relación a los siguientes métodos de solución
b) Método de completar un trinomio cuadrado
perfecto.
c) Método por fórmula general(hay que completar
su estudio)
Problemas que se resuelven con ecuaciones
de segundo grado
En el planteamiento de problemas, priorizar el
proceso de comprensión y la presentación gradual
de dificultad
OPTATIVOS:
Ecuaciones de segundo grado con
expresiones fraccionarias y/o con radicales
50
ORIENTACIÓN DIDÁCTICO–PEDAGÒGICA
1. Ambientes
Salón de clases, biblioteca
Laboratorio de cómputo
Museo de ciencias
Sala audiovisual
2. El ambiente es concebido como construcción diaria, reflexión cotidiana, singularidad permanente que asegure la diversidad y con ella la
riqueza de la vida en relación; la expresión ambiente educativo induce a pensar el ambiente como sujeto que actúa con el ser humano y lo
transforma. De allí se deriva que educa la ciudad, la calle, la escuela, la familia, el barrio y los grupos de pares, entre otros; involucra
acciones, experiencias, vivencias por cada uno de los participantes, así como actitudes, condiciones materiales y socio afectivas, múltiples
relaciones con el entorno y la infraestructura necesaria para la concreción de los propósitos culturales que se hacen explícitos en toda
propuesta educativa. En el salón de clases, se trata de propiciar un ambiente que posibilite la comunicación y el encuentro con las
personas que participen en el proceso, dando lugar a materiales y actividades que estimulen la curiosidad, la capacidad creadora y el
diálogo, y donde se permita la expresión libre de las ideas, intereses, necesidades y estados de ánimo de todos y sin excepción.
Enlistamos las siguientes líneas de trabajo a cuidar en el desarrollo del curso:
El entorno escolar ha de facilitar a todos y a todas el contacto con materiales y actividades diversas que permitan abarcar un amplio
abanico de aprendizajes cognitivos, afectivos y sociales.
El medio ambiente escolar ha de ser diverso, debiendo trascender la idea de que todo aprendizaje se desarrolla entre las cuatro paredes
del aula. Deberán ofrecerse escenarios distintos, -ya sean construidos o naturales- dependiendo de las tareas emprendidas y de los
objetivos perseguidos.
Establecer una interacción comunicativa efectiva y circular entre el maestro, el estudiante y el grupo, considerando las diferencias
individuales.
Fortalecer el autoconcepto y autoestima de los estudiantes y del maestro.
El carácter ético del entorno escolar.
Incorporar la lúdica en los ambientes educativos. Este punto da lugar a los procesos de construcción de identidad y pertenencia.
cognitiva.
51
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
A continuación presentamos algunas de las estrategias de enseñanza que el docente puede emplear con la intención de facilitar el aprendizaje
significativo de los alumnos
El docente:
al inicio de cada tema, escribirá en el pizarrón él o los objetivos a lograr
al final del desarrollo de un tema, realizará un resumen de la información relevante, donde se enfatizan conceptos clave
debe ubicar cada tema, de tal manera que cuide la continuidad de los conceptos y la presentación sistemática de la simbología
en la medida de lo posible, utilizará elementos visuales de los conceptos (interpretaciones) con la finalidad de facilitar su comprensión
insertará preguntas, ejercicios y problemas en el desarrollo de los temas, que permitan mantener la atención del estudiante y que al
mismo tiempo informe al profesor sobre el alcance de los objetivos
dará algunos pistas o señalamientos a los estudiantes que conlleven en la solución de ejercicios y problemas
presentará a los estudiantes el mapa conceptual de la unidad, con el fin de que ellos visualicen los conceptos importantes, la
organización, la estructura y sus interrelaciones
planteará problemas, su diseño y su solución
a través de trabajos, desarrollará la capacidad analítico-sintética de investigación
promoverá el trabajo en equipo, la toma de decisiones y el planear el trabajo
a través del planteamiento y resolución de ejercicios y problemas, desarrollará habilidades y destrezas
desarrollará la capacidad del razonamiento lógico-matemático
hará manejo de la tecnología informática y del lenguaje digital
Educación mediante descubrimiento guiado bajo el enfoque del constructivismo sociocultural.
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RECURSOS DIDÁCTICOS
Salones adecuados (iluminación, ventilación, pizarrón y sillas)
Notas para el estudiante
Calculadora
Software
Libros de texto suficientes en la biblioteca ( los sugeridos en el programa)
Computadora con cañón en el salón de clase
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CRITERIOS DE EVALUACIÓN
La evaluación es un aspecto integral del proceso enseñanza-aprendizaje. El profesor deberá evaluar de manera continua para asegurar que
los alumnos estén logrando los objetivos del programa. Se sugiere que al detectar una deficiencia, el profesor retroalimente el aprendizaje en horas
de asesoría, o bien, dedique tiempo adicional durante la clase para aclarar cualquier concepto que no se domine adecuadamente. El profesor habrá
de propiciar que los alumnos participen activamente en las actividades y en los ejercicios, para lograr un aprendizaje significativo y tener éxito en
el curso.
La calificación de cada unidad temática se integrará de la siguiente manera:
1. Participación en clase:
15 %
2. Tareas y trabajos:
15 %
3. Examen escrito al final de la unidad:
70 %
Los aspectos a evaluar en cada caso son los siguientes:
1. Participación
La nota de participación se debe considerar para las sesiones normales de clase y debe incluir los siguientes criterios:
Las preguntas que hacen los alumnos al desarrollar un tema.
La preparación de la clase del tema en cuestión.
Las respuestas y comentarios sobre los conocimientos previos, a lo largo del tema y en general del curso.
La participación en la discusión de un tema.
El análisis y reflexión sobre el tema.
La participación activa en las actividades de clase.
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La nota de participación constituye un 15 % de la calificación de la unidad correspondiente.
2. Tareas y trabajos
Otro aspecto importante a evaluar son las tareas y trabajos, dichas actividades se evaluarán de acuerdo a los objetivos planteados, y se
sugiere incluir criterios tales como:
La creatividad que se desarrolle en los trabajos de investigación y tareas.
El manejo de información en tal o cual tema.
La reflexión generada por el trabajo.
Las estrategias o procedimientos matemáticos utilizados.
La calidad de la presentación final.
Los puntos evaluados en esta parte constituyen un 15 % de la calificación de la unidad correspondiente.
3. Examen escrito al final de la unidad:
El propósito de este examen es explorar en que medida han alcanzado los alumnos los objetivos de aprendizaje propuestos para la unidad
Este examen constituye un 70 % de la calificación final de cada unidad, siempre y cuando la calificación del examen sea aprobatoria.
La calificación final del curso será el promedio de las calificaciones obtenidas en las unidades temáticas, siempre y cuando se tengan aprobadas
más del 50 % de estas
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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
1. Cuellar Carvajal Juan Antonio, Matemáticas I para Bachillerato. México, Editorial Mc Graw Hill Interamericana, 2005,
ISBN: 970-10-4342-1
2. Aceved Vitaliano, Valadez, Marco Antonio, Vargas Eusebio, Matemáticas I, Álgebra, México, Editorial Grupo Patria Cultural, 2003,
ISBN: 970-10-2963-1
3. Stanley A, Smith, Randall I, Charles, et al, Álgebra, E:U:A:, Addison Wesley Iberoamericana, S:A:, 1997, ISBN: 0-201-68102-8
4. Salazar Guerrero Ludwing, Álgebra, México, Editorial Grupo Patria Cultural, 2005, ISBN: 970-24-0680-3
5. Fuenlabrada De La Vega Samuel, Aritmética y Álgebra, México, Editorial Mc Graw Hill Interamericana, 2000, ISBN: 970-10-2963-1.
ELABORACIÓN
AUTORES:
FECHA:
ACADEMIA GENERAL DE MATEMÀTICAS
11 DE ENERO DE 2007