Download Trabajo Practico Nº1: Números Complejos

1er cuatrimestre (2008)
Álgebra 1
Trabajo Práctico Nº 1: “Números Complejos”
1) Escribir la expresión en la forma a + b i , donde a y b son números reales.
b)
 5  7 i    4  9 i 
 3  8 i   2  3i 
c)
2  3 i    i  1
a)
d) 
e)
9
2

h) i 45
i 225 2  i 
i)
i 159
4
n

in
j) n61
im

3 i 1
3
 2  4i
m 1
2  5i
3i
4
1
g) 
n 1 n i
k)
f)
l)
1  i 4  4 i 2
2 i 7
i 49  5  3 i    3  3 i 
 1  i 4
2) Resolver los siguientes problemas:
a) La parte real es el doble de la parte imaginaria y la suma de tales partes es 6, ¿cuál es el
complejo?
b) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos
complejos?
c) El producto de un complejo con su conjugado es 80. Si la componente real es 4, ¿cuál es la
otra componente?
3) Demostrar las siguientes propiedades, si z es número complejo:
f) z . w  z . w
a) z  z

b) z 2  z
2
z z
g)   
 w w
c) z  w  z  w
h) z . z  z
d) z  w  z  w
(observe que z . z es siempre
un número no negativo)
e) z  z  z  R
4) Demostrar que: si z  0 , entonces z 1 
2
z
z
2
5) Graficar z ,  z , z ,  z , si z  5  3 i . ¿Qué relación geométrica existe entre ellos?
1
1er cuatrimestre (2008)
Álgebra 1
6) Representar geométricamente los siguientes números complejos. Expresar en forma
trigonométrica, con 0    2
2
2
3 1

i
 i
a) 1  i
e) 
i) 
2
2
2 2

2
2 
b) 2-2 i
f) 2i
j)  3 2 i  

i 
2
2


c) 7
g) 4  4i
k) 3  i 1  i 


d) -1- i
h) -25
l)


1 i
1 i
7) Determinar el valor de x, para que z   3  2 i 3  x i  , sea un número real. Expresar z en
forma trigonométrica.
8) Expresar en forma canónica a+bi, donde a y b son números reales, los siguientes números
complejos:


7
7 


 sen 
a) 4  cos  i sen 
b) 5 cis 
c) 8  cos
4
4
4
4 


9) Usar la forma trigonométrica para calcular z1 .z 2 y
z1
. Expresar el resultado en forma canónica
z2
(o binómica) y en forma trigonométrica (o polar).
a) z1  1  i
b) z1  3 i
z 2  1 i
z2  2 i
c) z1  4  4 3 i
z2  4 i
10) Usando el teorema de De Moivre, expresar el resultado en forma binómica.
 

 
a)  2  cos  isen 
3
3 
 
b) 1  i 
12

2
2 
c)  

i
2 
 2
30



d) 4 cos  i sen 
4
4

e)
15
1 
3i
26

5

3 i 

f) 1 

2


12
11) Representar gráficamente el conjunto de números complejos z tales que:
a) z  a  bi con a  0
f) 3  z  5
b) z  a  bi con b  0
g) z  r cis  con  
c)
z 1
h) z  r cis 

,r R
4

3
con   
,r R
6
2
2
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Álgebra 1
d) z  2
e)
i)
zz
j) z   z
z 1
12) Demostrar:
1
cis   
r
b) El Teorema 1 parte 2, sobre la forma trigonométrica de productos y cocientes de números
complejos.
a) Si z  r cis  , su inverso multiplicativo es z 1 
13) Encontrar:
a) Las dos raíces cuadradas de la unidad. Graficar.
b) Las seis raíces sextas de la unidad. Graficar.
c) Si se encuentra las n raíces, n-ésimas de la unidad, ¿qué figura forman todas ellas?
14) Hallar todas las soluciones complejas de las siguientes ecuaciones:
1
i
z
b) i z  1  i 1  i 
a)
c)
3i
z i
3i
d) 1  i   z  i
z 2  z 1  0
e) z 4  4
i)
f) z 6  64  0
j) z 2  z  4  0


g) z 2  1  3 i  0
k) z 3  3 z  0
h) z 3  i  1
l)
z
3


 216 1  2 z  2 z 2  0
Físicos y Electrónicos
15) Un estudiante de ingeniería electrónica
se interesó en conocer el funcionamiento
de las computadoras en cuanto a cómo
pueden mostrar un reloj de agujas en la
pantalla. Investigando, descubrió que el
reloj podía ser representado en el plano
cartesiano y que, para cada instante, la
posición del minutero representa un
número complejo.
Por ejemplo, suponiendo que la aguja
mide 1 (es decir, el módulo del número es
1), 0 minutos representa al número i, 15
minutos representa al número 1, 30
minutos representa al número -i, y -1
representa 45 minutos.
a) ¿Por qué número complejo se debe multiplicar a i para pasar de 0 minutos a 15 minutos? ¿Y
para pasar de 0 minutos 45 minutos?
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Álgebra 1
b) ¿Cuántos minutos después de cero están representados por los números complejos
y 
2
2

i
2
2
2
2

i?
2
2
16) La impedancia compleja de un circuito eléctrico constituido por un resistor R, un capacitador C
y
un
inductor
L
conectados
en
serie
está
dada
por
la
siguiente
expresión:

1 
 , donde j equivale a la unidad imaginaria i, R, L y C son constantes positivas
z  R  j   L 
 C 

para un circuito dado, y  es una variable real y se le llama pulsación angular de la señal aplicada:
a) Determine  >0 tal que Im (z) = 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito se
comporta como resistivo puro.
b) Determine  >0 tal que Im (z) > 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s
comporta como inductivo.
c) Determine  >0 tal que Im (z) <0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s
comporta como capacitivo.
d) Determine  >0 tal que Re (z) = Im (z).
Nota: En electrónica se reemplaza la unidad imaginaria i por j, puesto que el símbolo i es
empleado para denotar intensidad de corriente.
17) Los ingenieros electricistas utilizan con frecuencia la forma trigonométrica de los números
complejos, para descubrir la intensidad de la corriente I, el voltaje V y la resistencia R de circuitos
eléctricos con corriente alterna. La resistencia es la oposición al paso de la corriente en un circuito.
V
La relación entre esas tres cantidades es I  . Calcular en cada caso la cantidad desconocida:
R
(a) Determinación de Voltaje

I  10 cis 35º 
R  3 cis  
9
(b) Determinación de Resistencia

V  8 cis 5º 
I  115 cis  
4
(c) Módulo de la Resistencia: el módulo de resistencia R representa la oposición total al
flujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms. Calcular R , si R  14  13 i .
(d) Voltaje real. La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato eléctrico,
en volts. Calcule aproximadamente ese voltaje cuando:

I  4 cis
R  18 cis  78º 
2
4