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Termodinámica de Agujeros Negros
Roberto Troncoso*
17 de diciembre de 2004
Resumen
En este trabajo revisaremos las principales propiedades y analogı́as
entre la fı́sica de los agujeros negros y la termodinámica. Es decir, como se aplica el formalismo de la termodinámica a los agujeros negros
y sus concecuencias en la comprensión de la 2da y 3era ley de la termodinámica.
1.
Introducción
Existe un grán número de similitudes entre la fı́sica de agujeros negros y
la termodinámica. Por ejemplo el comportamiento entre el área y la entropı́a
del agujero negro, ó el choque de estos e irreversibilidad.
Los tradicionales metodos del formalismo termodinámico son aplicados en el
estudio de la dinámica de agujeros negros, tales como choques, estabilidad,
cambios de fase, etc..
En este trabajo revisaremos estas similitudes y las bases de la termodinámica
para agujeros negros, junto con resultados y una eventual violación de la 3era
ley. Daremos ademas una pequeña vista a las propiedades fı́sicas relevantes
de agujeros negros, luego, procesos que permitan un equilibrio isotérmico y
estudiaremos la estabilidad para agujeros negros.
Discutiremos la generalización de la 2da ley (por Bekenstein), y finalmente,
la validez de la 3era ley y la equivalencia con la hipotesis del censor cósmico.
*
rtroncoso@zeth.ciencias.uchile.cl
1
2.
Fı́sica de Agujeros Negros
En la etapa final de la evolución de una estrella, esta comienza a carecer
de combustible, es decir, mediante reacciones nucleares a consumido todo el
hidrógeno y otros elementos que componen a la estrella. Esto conlleva inevitablemente a que predomine la atracción gravitacional por sobre la presión
del gas, induciendo una disminución en el tamaño de la estrella y por consiguiente un aumento de la presión del gas. De esta manera la estrella se
estabilizará cuando se equiparen la presión del gas con la fuerza gravitacional. Sin embargo la estabilidad de la estrella (mencionada anteriormente) va
a depender de su masa inicial. Subrayaman Chandrasekhar [1] en 1928 encontró que una estrella frı́a (ej. estrella en su etapa final de evolución) de
más de aproximadamente 1, 5M 1 no serı́a capaz de soportar su propia gravedad. A esta masa se le conoce como el el lı́mite de Chandrasekhar. Esto
tiene fuertes implicaciones en el destino último de las estrellas masivas. Si
una estrella posee una masa inferior al lı́mite de Chandrasekhar, puede finalmente cesar de contraerse y estabilizarse en un posible estado final como
una Enana Blanca2 . Por el contrario, si la masa de la estrella es superior al
lı́mite de Chandrasekhar, y en particular (> 8M ) la estrella termina por
colapsar gravitacionalmente.
Oppenheimer 3 en 1939 planteó lo siguiente: sabemos de la Relatividad
General, que un campo gravitacional desvı́a las trayectorias de la luz en el
espacio-tiempo. En particular en una estrella masiva los conos de luz 4 se
inclinan ligeramente hacia adentro. Finalmente cuando una estrella masiva
colapsa gravitacionalmente se contrae hasta un cierto radio crı́tico, creando
un campo tán intenso que los conos de luz se inclinan de tal forma que la luz
no es capaz de escapar de esta región, y por consiguiente ningun otro objeto lo podrá hacer. A tal región de sucesos, del espacio-tiempo, la llamamos
“Agujero Negro” y su frontera se denomina “horizonte de sucesos”.
Un agujero negro se caracteriza por contener una singularidad, es decir un
punto de densidad y curvatura del espacio-tiempo infinita. Roger Penrose
1
1M ≡Una masa solar.
Estrella frı́a estable, mantenida por la repulsión debida al principio de exclusión entre
electrones.
3
Fı́sico norteamericano coordinador del grupo de creación de la bomba atómica
4
Superficie en el espacio-tiempo que marca las posibles direcciones para los rayos de
luz que pasan por un suceso dado
2
2
5
entre 1965 − 1970 propuso que las singularidades producidas por colapso
gravitacional solo pueden existir dentro de un agujero negro. Esta hipótesis
es conocida como la ”hipótesis del censor cósmico”. Las singularidades que
no se encuentran ocultas por un horizonte de sucesos, se conocen como singularidades desnudas.
Una caracteristica relevante de los agujeros negros, es que su tamaño y
forma dependen solo de su masa M , momentum angular J y carga Q. Este
resultado se conoce como “teorema del no pelo” y tiene una gran implicancia
en el estudio de agujeros negros, ya que restringe notablemente los tipos
posibles de agujeros negros.
Existen diversas familias de agujeros negros en 3+1 dimensiones6 , en términos
de los parámetros A, J y Q que corresponden a un conjunto de soluciones de
las ecuaciones de la relatividad general de Einstein dada una cierta métrica7 .
Por ejemplo si consideramos un objeto con simetrı́a esférica obtenemos la
métrica de Schwarzschild,
2M
(dt)2
2
2
ds = 1 −
(dt) −
− r2 (dθ)2 + (dϕ)2 sin(θ)2 .
r
1 − 2M/r
.
Las familias de agujeros negros y sus respectivas propiedades más relevantes son:
5
Matemático norteamericano.
3 + 1 ≡ 3 dimensiones espaciales más 1 temporal
7
Métrica: Describe la distancia entre dos puntos cercanos
6
3
Tipos
Schwarzschild
Kerr
Descripción Fı́sica
(a) Sin Momentum
Angular J
(b) Sin carga Q
(c) Imposibilidad de
extraer energı́a
Descripción Matemática
(a) Momentum Angular J
(b) Sin Carga Q
(c) Posibilidad de
extraer energı́a,
mediante reducción de J
√
r+ = M + M 2 − a2
M 2 = Mir2 + L2 /4Mir2
2
A = 4π(r+
+ a2 )
Rg = 2GM/c2
M 2 = Mir2
A = 4πRg2 = 16πM 2
A = 4π
Reissner-Nordstrom (a)Sin Momentum Angular J
(b)Posee Carga Q
(c)Posibilidad de
extraer energı́a,
mediante reducción de Q
M+
√
M 2 − a2 + a2
p
r+ = M + M 2 − Q2
2
M 2 = Mir2 + (Q2 /4Mir )
2
A = 4π(r+
)
2
p
A = 4π M + M 2 − Q2
Kerr-Newmann
(a)Momentum Angular J
(b)Posee Carga Q
(c)Posibilidad de
extraer energı́a,
desde J y Q
p
r+ = M + M 2 − Q2 − a2
2
M 2 = Mir2 + (Q2 /4Mir )
+L2 /4Mir2
2
A = 4π r+
+ a2
= 4π
M+
p
M 2 − Q2 − a2
+a2 ]
donde Mir corresponde a la masa irreductible del agujero negro. Es decir,
luego de un proceso de extracción de energı́a (proceso que explicitaremos
más adelante), el mı́nimo valor de la masa está dado por A/16π ≡ Mir . Una
caracterı́stica relevante que podemos destacar es el proceso de extracción de
energı́a. Por ejemplo el proceso de Penrose[2] en un agujero negro de Kerr,
4
2
que consiste en el ingreso de una partı́cula en la ergoesfera8 con energı́a
Eo > 0, esta se divide en dos, una con energı́a E1 < 0, que es capturada
por el agujero negro y la otra con E2 > 0 sale expulsada de la ergoesfera.
Este proceso genera una disminución en la masa de éste y por lo tanto una
disminución de la energı́a, al igual que el momentum angular.
Considerando el teorema del área[3], “La extensión superficial nunca disminuye con algún proceso”, podemos pensar en la cantidad máxima de energı́a
posible de extraer. El área de un agujero negro de Kerr con J = 0 es
A = 8πG2 M 2 /c4 ,
aplicando el teorema del área Af ≥ Ai ⇒ Mf2 ≥ 12 Mi2 , en el caso extremo(J =
√
0), la masa final corresponde a (1 − 1/( 2)) = 29 % de la masa inicial.
3.
Termodinámica de Agujeros Negros[4]
3.1.
Fundamentos básicos y Primera ley
La relación fundamental de la termodinámica en la cual se contiene toda
la información acerca del estado termodinámico de la materia de Agujeros
Negros clásicos, viene dada por la relación de Smarr[5]:
1
1
1
M 2 = (A/4π) + (4π/A)(J 2 + Q4 ) + Q2 .
4
4
2
(1)
Nuestro interés radica en la relación entre el área del horizonte de eventos A
y la entropı́a del agujero negro Sbh ,
Sbh =
kB
A,
4
(2)
donde kB es la constante de Bolzmann. En termodinámica de agujeros negros
llamaremos a los parámetros S, Q, J, extensivos. Usualmente la energı́a interna de un sistema es una función homogénea de primer orden. Sin embargo
éste no es el caso debido a que si consideramos dos agujeros en colisión el
8
Ergoesfera: región alrededor de un agujero negro, dentro de la esfera fotónica y fuera
del horizonte de sucesos.
Esfera fotónica:La esfera fotónica es el área donde la luz se ve arrastrada hacia una órbita
inestable
5
área del agujero resultante no es la suma de las áreas de los agujeros iniciales, ademas se satisface la relación (M1 + M2 )2 ≥ M12 + M2 , con M1 y M2
las masas de los respectivos agujeros negros. Según la relación (1) la energı́a
total es una función homogénea de orden 1/2, sobre los parámetros S, J y
Q2 , luego la ecuación fundamental es por tanto
1
1
1
M = M (S, J, Q) = ((2S) + (1/8S)(J 2 + Q4 ) + Q2 ) 2 ,
4
2
(3)
tomando a kB = 1/8π. Usualmente consideraremos la forma invertida de
M (S, J, Q)
1
1
1
1
S = M 2 − Q2 + M 2 [1 − Q2 /M 2 − J 2 /M 4 ] 2
4
8
4
(4)
Escribamos la 1era Ley de la Termodinámica para agujeros negros: “para
algún cambio en la energı́a del sistema esta se conserva”. Si M cambia en
una cantidad infinitesimal dM , entonces:
dM = T dS + ΩdJ + ΦdQ.
Las cantidades T , Ω y Φ son obtenidas a través de
J 2 + 14 Q2
∂M
−1
T =
=M
1−
,
∂S
16S 2
(6)
∂M
J
=
,
∂J
8M S
(7)
∂M
Q(Q2 + 8S)
=
,
∂Q
16M S
(8)
Ω=
Φ=
(5)
correspondiendo a los parámetros “intensivos” donde Ω es la velocidad angular del horizonte de eventos9 , asociada al momento angular J y Φ el potencial
eléctrico asociado a la carga Q. T es la temperatura asociada con la entropı́a
S,(o también llamada tensión superficial efectiva).
Si escribimos M en función de los parámetros (S, J, Q2 ), entonces M es
homogénea de orden 1/2 en los parámetros extensivos, y aplicando el teorema
9
ver segunda sección
6
de Euler afirmamos que, “la masa puede ser expresada en términos de las
mismas cantidades en una simple forma bilineal[5]”
M = 2T S + 2ΩJ + 2ΘQ2 = 2T S + 2ΩJ + ΦQ,
(9)
con
Θ=
Φ
Q2 + 8S
=
2Q
32M S
(10)
relación original de Smarr (1973). Diferenciando (9) y usando la primera ley
de la termodinámica, ecuación (5), obtenemos
1
− dM = SdT + JdΩ + Q2 dΘ,
2
(11)
con
∂M
∂T
= −2S,
Ω,Θ
∂M
∂Ω
= −2J,
T,Θ
∂M
∂Θ
= −2Q2 .
(12)
Ω,T
Esta es la versión para agujeros negros de la conocida relación termodinámica de Gibbs-Duhem.
3.2.
Transiciones de Fase, Estabilidad y Segunda ley
Uno de los logros centrales de la termodinámica, usando la segunda ley, es
la habilidad de predecir las condiciones de equilibrio estable. Este tratamiento
también puede ser aplicado con éxito a agujeros negros, basándonos en la
segunda ley generalizada “GSL” propuesta por Jacob Bekenstein[6] en 1973.
Bekenstein establece con fundamentos en base a entropı́a de información, que
para una región que contiene un agujero negro, el cambio de entropı́a total
del sistema ∆ST es
∆ST = ∆Sbh + ∆Sn > 0,
(13)
en contacto con una reserva de calor, fuente de energı́a, etc.. Donde ∆Sn es
la entropı́a de la región exterior al horizonte de sucesos.
Para la estabilidad local se deben satisfacer las relaciones
∂2S
∂2S
∂2S
<
0,
<
0,
< 0.
∂M 2
∂J 2
∂Q2
7
Como ejemplo mencionaremos las condiciones de estabilidad para un agujero negro de Kerr. Para un agujero negro de Kerr tenemos que S(M, J), por
lo tanto se deben cumplir las relaciones
∂2S
∂2S
<
0,
< 0,
∂M 2
∂J 2
∂2S
∂M 2
∂2S
∂J 2
−
∂2S
∂M ∂J
2
> 0.
Debido a que no se satisfacen las condiciones de estabilidad local para la
familia de agujeros negros Kerr-Newmann, estos experimentan transiciones
de fase. Inspeccionando la ecuación (4) revela que, para alguna masa dada,
la entropı́a se maximisa para J = Q = 0. Esto es que, en sı́, el agujero
negro desea estar con momentum angular bajo y descargado. Este resultado,
despues de una simplificación, queda
∂S
8M S 2 T
CJ,Q = T
= 2 1 4
,
(14)
∂T J,Q J + 4 Q − 8T 2 S 3
reescribiendo lo anterior
CJ,Q =
M ST
.
2 − T (2M + ST )
(15)
Analizando las cantidades
∂Ω
∂T
=
J
∂Φ
∂T
∂S
∂J
=
Q
T
∂S
∂Q
16S 3 ΩT + 2JS
=
,
J 2 − 8T 2 S 3
=
T
QS
,
− 2S
3 2
Q
4
(16)
(17)
obtenidas con relaciones de Maxwell, vemos que tienen discontinuidades
infinitas, lo cual induce a una transición de fase.
3.3.
Singularidades desnudas y Tercera ley
En su forma original, la tercera ley de la termodinámica debido al teorema
de Nernst[], la diferencia de entropı́a entre un estado y otro que pueden ser
8
conectados por un proceso isotérmico debe desaparecer cuando T → 0.
Es decir
lı́m S(T, xi ) − S(T, x∗i ) ,
(18)
T →0
para cualquier xi y x∗i .
Esto requiere que
lı́m S(T, xi ) → cte = 0.
T →0
(19)
Según el postulado de Planck, “existe solo un estado asociado con el estado
de T = 0(S = 0)” .
Si aplicamos esto a agujeros negros, tenemos según (6) que para T → 0
1
J 2 + Q2 < 16S,
4
(20)
es decir marca una cota inferior para el valor de S, para algún M.
Este quiebre en la descripción termodinámica es la condición para que
la familia de soluciones Kerr-Newmann describan un agujero negro y no
singularidades desnudas10 . En otras palabras, la imposibilidad de alcanzar el
cero absoluto, es equivalente a la hipótesis del censor cósmico11 .
Inspeccionando las ecuaciones
∂J
∂S
8M 2 SΩ
=
=−
,
∂T Ω
∂Ω T
4M 3 Ω2 + T S
∂Q
∂T
=
Φ
∂S
∂Φ
T
1
=− ,
T
revelan que
∂S
∂Ω
10
11
∂S
∂Φ
→−
T
2S
= −M 3 a T → 0,
Ω
(21)
2M
→ ∞ a T → 0,
T
(22)
→−
T
Ver sección, Fı́sica de Agujeros Negros
Ver sección, Fı́sica de Agujeros Negros
9
es decir, la cantidad isotermal α (coeficiente de expansión térmica), no se
anula cuando T = 0, en posible contradicción con el postulado de NernstPlanck.
Además
CJ,Ω → 0 a T → 0,
y
CΩ → 0 a T → 0.
Esta situación es usualmente aceptada como una violación a la 3era ley de la
Termodinámica. Según esto un proceso reversible puede, en un número finito
de procesos, ser usado para enfriar el sistema a T = 0. Sin embargo debemos
observar con cautela, que exista un proceso termodinámico de convertir un
agujero negro a una singularidad desnuda.
Por ejemplo mientras CΦ permanece constante a T = 0
∂S
CΦ ≡ T
= −2S,
∂T Φ
en aparente violación con la tercera ley, no es posible enfriar a T = 0, a lo
largo de Φ constante.
4.
Conclusiones
En este trabajo hemos mostrado una serie de analogı́as formadas entre
las ecuaciones de la termodinámica y la dinámica de agujeros negros.
Se analizó la estabilidad de los agujeros negros en particular el de Kerr y los
cambios de fase que experimentan.
Finalmente, la manera en como el formalismo es aplicable, las ventajas de
este y como falla en un caso, 3era ley, siendo consistentemente equivalente
con la hipotesis del censor cósmico. A mi juicio uno de los resultados mas
bellos del formalismo.
Referencias
[1] S.W.Hawking, ”Historia del tiempo”,1996.
10
[2] J.D.Bekenstein, “Extraction of Energy and Charge from a Black Hole”.
Phisical Review D, 1973.
[3] Robert M.Wald, “Espacio Tiempo y Gravitación”. 1977.
[4] P.C.W.Davies, “The thermodinamic theory of a black holes”. 1977.
[5] L.Smarr, “Mass Formula for Kerr Black Holes”. Physical Review Letters,
1973
[6] J.D.Bekenstein, “Generalized second law of thermodynamics in blackholes physics”.Phisical Review D, 1974.
11