Download ANÁLISIS DIMENSIONAL [ ] [ ] ] [ ] [ ]

FÍSICA
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Es un procedimiento que permite comprobar la
consistencia dimensional de cualquier ecuación.
1. Ecuación Dimensional
Es una igualdad que exhibe las dimensiones de
las magnitudes fundamentales de un sistema de
unidades. Es de la forma:
[X] = La.Mb.Tc…
[X] se lee “dimensión de la magnitud derivada X”
a,b,c, …números enteros o fracciones de enteros.
04. La siguiente expresión es dimensionalmente
correcta y homogénea:
2
K.F = m.v
donde: F=Fuerza, m=masa, v=velocidad.
¿Qué magnitud representa K?
a) Longitud
d) Fuerza
05. En la siguiente fórmula física:
KX 2
BP 2
 Ad 
2
2
2. Propiedades
a) [número real] = 1,
b) [X.Y] = [X].[Y] ; [c.X] = [X], (c es número real)
X 
-2
X 
 
Donde: K = constante física (MT ), X = d = longitud,
-1
P = momento lineal (MLT ).
Hallar que magnitud representa A.B.
n
Solución. Por P.H.D.:
2
2
[1/2].[K].[X] = [A].[d] = [1/2].[B].[P]
(1)
(2)
-2
De (1): [A] = MT L
-1
De (2): [B] = M
-2
De donde: [A.B] = LT representa una aceleración.
c)   
Y  Y
n
d) [X ] = [X]
e)
b) Masa
c) Tiempo
e) Densidad
 X  Y    X   Y 
n
n
n
3. Principio de homogeneidad dimensional (P.H.D.)
“Todos los términos de una ecuación que
representa una ley física son dimensionalmente
iguales”.
06.
En la siguiente fórmula física:
A continuación se resuelve un ejercicio y se
deja otro parecido para que tú lo resuelvas.
E  AV 2  BP
Donde: E = Energía, V = Velocidad, P = Presión.
Determinar qué magnitud representa A/B.
EJERCICIOS DE EXTENSIÓN 01
01. En la siguiente fórmula física:
P.K  m.g.h
donde: P = Potencia, m = masa,
g = aceleración, h = altura.
¿Qué magnitud representa K?
Solución. Por propiedades:
[P.K] = [m.g.h]
[P]. [K] = [m].[g].[h]
2
-3
-2
2 -2
L .M.T .[K] = M. L.T .L = M.L .T
[K] = T ; K representa un tiempo.
02. La siguiente es una fórmula física correcta:
K.F = m.v
donde: m=masa, F=Fuerza, v=velocidad
Determinar qué magnitud representa K.
a) Longitud
d) Área
b) Masa
c) Tiempo
e) Volumen
03. La siguiente expresión es dimensionalmente
correcta y homogénea:
2
K.V = m.c .A
donde: V=Volumen, m=masa, C=velocidad,
A=área.
Determinar que magnitud representa K
Solución. Por propiedades:
2
[K.V] = [m.c .A]
2
[K].[V] = [m].[c] .[A]
3
2 -2 2
4 -2
[K]. L = M.L T .L = M.L .T
-2
[K] = M.L.T ; K representa una fuerza.
a) Masa
d) Fuerza
07.
b) Tiempo
e) Longitud
c) Densidad
La posición de una partícula móvil sobre el eje x está
dada por:
K T2
X  K1  K 2T 
3
2
donde: X = distancia, T = tiempo.
Hallar:
 K22 


 K1 K 3 
Solución. Por P.H.D.:
[X] = [K1] = [K2T] = [K3T2]
2
L = [K1] = [K2]T = [K3]T
(1)
(2)
(3)
De (1): [K1] = L
De (2): [K2] = LT-1
De (3): [K3] = LT-2
Entonces:
 K 2 2  L2T 2
 1  M 0 L0T 0


2
K
K
LLT
 1 3
Prof. Dennis Ysla Ureta
FÍSICA
08. La siguiente fórmula es dimensionalmente
correcta y homogénea:
E = A.W 2 + B.V2 + C.P
Donde: E = Energía, W = Velocidad angular,
V = Velocidad lineal, P =Presión.
B.C
A
a) Longitud
b) Masa
c) Fuerza
d) Tiempo
e) Aceleración
Hallar:
Solución. Por propiedades:
[P] = [K].[R]x.[W]y.[D]z
2 -3
M.L .T = 1.(L)x.(T-1)y.(ML-3)z = Mz.Lx-3z.T-y
De donde:
1=z
……. (1)
2 = x – 3z ....... (2)
-3 = -y
…… (3)
De (1): z = 1 ; de (3): y = 3.
Resolviendo (2): 2 = x – 3(1)
x =5
10. La siguiente es una fórmula física
dimensionalmente correcta y homogénea:
P = K Dx g y h z
Siendo: K = adimensional ; D = densidad ;
g = aceleración de la gravedad ;
h = altura ; P = presión.
Hallar (x + y + z).
a) -1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
11. En la siguiente expresión dimensionalmente
correcta. Hallar las dimensiones de K.
2Kb
A2 cos
( b2 x 2 x )2
m
Siendo: A=área; b, x = longitudes; α = 53°,
m = masa.
Solución. Por propiedades y por el P.H.D., se
tiene:
2 . K .L
M
( L2
L2
L)2
……(1)
Empero: [cos53°] = [2] = 1;
L2
L2
L
L2
L
L
L
L
Reemplazando en (1) y pasando “M” al primer
miembro, se tiene:
4
L .M = [K].L.L
2
→
P.tg 2 . A Z 2
W2
siendo: P = presión, A = velocidad lineal, α=45°
W= trabajo.
x
a) ML4T-2
d) ML-3
09. La potencia que requiere la hélice de un
helicóptero viene dada por la siguiente fórmula:
P = K Rx W y Dz
Donde K es un número, R es el radio de la hélice
en m, W es la velocidad angular de la hélice en
rad/s, y D es la densidad del aire en kg/m3. Hallar
x,y,z.
(L2 )2 cos53
12. En la siguiente ecuación dimensionalmente
correcta. Hallar [x]
b) M3L
e) M-1L-4T2
c) M3L-3
13. Determinar las dimensiones de “Q” en la ecuación
homogénea siguiente:
A
(K.P Q)sen 30
z.tg 45
B
Sabiendo que: A = área; B = velocidad.
Solución. Por homogeneidad:
[K.P] = [Q] ; [Q]sen30° = [A/B] = [z.tg45°]
Por propiedades:
[Q]1/2 = [A] / [B] = L2 / LT-1 = L.T
Elevando al cuadrado ambos miembros, se tiene:
[Q] = L2.T2
14. Si la ecuación:
JUANJUI = SIEMPREES + EL + MAS + GRANDE
es dimensionalmente homogénea.
Siendo: M = masa, L = longitud y E = (metro) 2.
Determinar: [A.S]
a) L7M-1
b) L5M-1
c) L3M-1
d) L M-1
15. Determinar las dimensiones que debe tener Q para
que la expresión propuesta W sea dimensionalmente
correcta:
W = 0,5 m.vα + A.g.h + B.P ;
Q A . B
Siendo: W = trabajo, m = masa, v = velocidad lineal,
g = aceleración de la gravedad.
P = potencia, h = altura, α = exponente desconocido,
A y B : son dimensionalmente desconocidas.
Solución. Determinamos [A] y [B] aplicando el principio
de homogeneidad:
[W] = [0,5][m][v]α = [A][g][h] = [B][P]
L2MT-2 = MLαT-α = [A].LT-2.L = [B].L2M.T-3
1
2
3
4
De (1) y (2): α = 2
De (1) y (3): L2MT-2 = L2[A]T-2 → [A] = M
De (1) y (4): L2MT-2 = [B].L2M.T-3 → [B] = T
Finalmente: [Q] = M2 √T = M2 T1/2
16. La ecuación:
DW 

A  B  CW  2 
t 

4/5
es dimensionalmente homogénea donde W es el
trabajo y t es el tiempo. Determine α+β+ϴ, si:
 C 0,2 B 
  

M LT
 D 
[K] = L.M
a) -5/6
b) -1/2
c) -6/5
d) -3/2
Prof. Dennis Ysla Ureta