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Problemas del capítulo rectas paralelas
Rectas: intersección, paralelas y oblicuas
Trabajo en clase – Utiliza la imagen 1
̅̅̅̅ :
1. Nombra todos los segmentos paralelos a 𝐺𝐻
̅̅̅̅
2. Nombra todos los segmentos oblicuos a 𝐺𝐻 :
3. Nombra los segmentos que se intersectan con ̅̅̅̅
𝐺𝐻 :
̅̅̅̅ y 𝐵𝐴
̅̅̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.
4. Los segmentos 𝐺𝐻
5. Los segmentos ̅̅̅̅
𝐺𝐻 y ̅̅̅̅
𝐵𝐹 son coplanares? Explica tu respuesta.
¿Cada enunciado es verdadero siempre, algunas veces o nunca?
6. Dos rectas que se intersectan son oblicuas.
7. Dos rectas paralelas son coplanares.
8. Dos rectas en el mismo plano son paralelas.
9. Dos rectas que no se intersectan son paralelas.
10. Dos rectas oblicuas son coplanares.
Rectas: Intersección, paralelas y oblicuas
Trabajo en casa - Utiliza la imagen 1
11. Nombra todos los segmentos paralelos a ̅̅̅̅
𝐹𝐸 :
̅̅̅̅ :
12. Nombra todos los segmentos oblicuos a 𝐹𝐸
13. Nombra todos los segmentos que se intersecten con ̅̅̅̅
𝐹𝐸 :
̅̅̅̅
̅̅̅̅
14. ¿Los segmentos 𝐹𝐸 y 𝐶𝐷 son coplanares? Explica tu respuesta.
̅̅̅̅ y 𝐻𝐷
̅̅̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.
15. ¿Los segmentos 𝐹𝐸
Imagen 1
Indica cuales de las siguientes afirmaciones son siempre, algunas veces o nunca verdaderas:
16. Dos rectas coplanares son oblicuas.
17. Dos rectas que se intersectan están siempre en el mismo plano.
18. Dos rectas del mismo plano son paralelas.
Rectas y Transversales
Clasifica cada para de ángulos como alterno interior, alterno exterior, interior del mismo lado,
exterior del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de éstos.
19. ∠11 y ∠16 son
20. ∠12 y ∠2 son
21. ∠14 y ∠8 son
22. ∠6 y ∠16 son
23. ∠7 y ∠14 son
24. ∠3 y ∠16 son
Geometría – Rectas Paralelas
~1~
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Clasifica cada para de ángulos como alterno interior, alterno exterior, interior del mismo lado,
exterior del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de éstos.
25. ∠7 y ∠12
26. ∠3 y ∠6
27. ∠6 y ∠11
28. ∠7 y ∠11
29. ∠4 y ∠10
30. ∠14 y ∠16
31. ∠2 y ∠3
32. ∠2 y ∠10
Rectas paralelas y demostraciones
Trabajo en clase
Une cada expresión/ecuación con la propiedad utilizada para llegar a la conclusión.
33. AB = AB
34. Si m∠A = m∠B y m∠B = m∠C, entonces
m∠A = m∠C.
35. Si x + y = 9 e y = 5, entonces x + 5 = 9.
36. Si DE = FG, entonces FG = DE.
a) Propiedad sustitutiva de igualdad
b) Propiedad transitiva de igualdad
c) Propiedad reflexiva de igualdad
d) Propiedad simétrica de igualdad
Preguntas de muestra para la prueba tipo PARCC:
37. Prueba de ángulos exteriores alternos: Completa la prueba completando con el “banco de
razones” de más abajo.
Dado: recta m || recta k
Probar: ∠2 ≅ ∠8
Enunciados
1. recta m || recta k
2. ∠2 ≅ ∠6
Razones
1.
2.
3. ∠6 ≅ ∠8
3.
4. ∠2 ≅ ∠8
4.
a)
b)
c)
d)
Banco de razones
Propiedad transitiva de congruencia
Si 2 rectas paralelas se cortan de
formar transversal, entonces los
ángulos correspondientes son
congruentes.
Los ángulos verticales son
congruentes.
Dado
Geometría – Rectas Paralelas
~2~
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Preguntas de muestra para la prueba tipo PARCC:
38. Prueba de ángulos interiores del mismo lado: Completa la prueba completando las
razones faltantes con las razones del “banco de razones” de abajo. Algunas razones
pueden utilizarse más que una vez.
Dado: recta m || recta k
Probar: ∠5 y ∠4 son suplementarios
Enunciados
1. Recta m || recta k
2. ∠1 ≅ ∠5
3. m∠1 = m∠5
4. ∠1 & ∠4 son suplementarios
5. m∠1 + m∠4 = 180
6. m∠5 + m∠4 = 180
7. ∠5 y ∠4 son suplementarios
Razones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Banco de razones
a) Los ángulos que forman un par lineal
son suplementarios.
b) Propiedad sustitutiva de igualdad.
c) Definición de ángulos suplementarios
d) Si 2 rectas paralelas se cortan por una
transversal, los ángulos
correspondientes son congruentes.
e) Definición de ángulos congruentes.
f) Dado
Rectas paralelas y pruebas
Trabajo en casa
Para N°39-42 une la descripción de la izquierda con el nombre de la propiedad de la derecha.
39. ∠A ≅ ∠B y ∠B ≅ ∠C, entonces ∠A ≅ ∠C.
40. Si bc = 77 y b = 11, entonces 11c = 77.
41. Si ∠P ≅ ∠M, entonces ∠M ≅ ∠P.
42. QR = QR
Geometría – Rectas Paralelas
a) Propiedad sustitutiva de igualdad
b) Propiedad transitiva de congruencia
c) Propiedad reflexiva de igualdad
d) Propiedad simétrica de congruencia
~3~
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Preguntas tipo PARCC:
43. Prueba de ángulos alternos interiores: Completa la prueba completando las razones
faltantes con el “banco de razones” de abajo.
Dado: recta m || recta k
Probar: ∠3 ≅ ∠5
Enunciados
1. recta m || recta k
2. ∠3 ≅ ∠7
3. ∠7 ≅ ∠5
4. ∠3 ≅ ∠5
Razones
1.
2.
3.
4.
a)
b)
c)
d)
Geometría – Rectas Paralelas
~4~
Banco de razones
Ángulos verticales son congruentes.
Dado.
Propiedad transitiva de congruencia.
Si 2 rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
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Preguntas tipo PARCC:
44. Prueba de ángulos exteriores del mismo lado: Completa la prueba completando las
razones faltantes con las razones del “banco de razones” de abajo. Algunas razones
pueden ser utilizadas más de una vez.
Dado: recta m || recta k
Probar: ∠1 & ∠8 son suplementarios
Enunciados
1. recta m || recta k
2. ∠1 ≅ ∠5
3. m∠1 = m∠5
4. ∠5 y ∠8 son
suplementarios
5. m∠5 + m∠8 = 180
6. m∠1 + m∠8 = 180
7. ∠1 y ∠8 son
suplementarios
Razones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Banco de razones
a) Definición de ángulos suplementarios
b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
c) Dado
d) Definición de ángulos congruentes.
e) Ángulos que forman un par lineal son
suplementarios.
f) Propiedad sustitutiva de igualdad
Propiedades de rectas paralelas
Trabajo en clase
Utiliza el diagrama dado para responder a los problemas N°33-41.
Si m∠9 = 54°, entonces hallar los siguientes ángulos:
45. m∠1=
46. m∠2=
47. m∠4=
48. m∠5=
49. m∠15=
Geometría – Rectas Paralelas
~5~
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Si m∠2 = (12x-54)° y m∠10 = (7x+26)°, entonces halla los siguientes ángulos:
50. m∠6=
51. m∠11=
52. m∠9=
53. m∠16=
Encuentra los valores de las variables desconocidas en cada figura. (N° 54-58)
54.
55.
56.
57.
Geometría – Rectas Paralelas
58.
~6~
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Halla el valor de cada uno de los siguientes ángulos:
59. m∠1=
60. m∠2=
61. m∠3=
62. m∠4=
63. m∠5=
Indica cuales segmentos (si hay) son paralelos.
64.
65.
66.
Resuelve las incógnitas
67.
68.
Geometría – Rectas Paralelas
~7~
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Propiedades de rectas paralelas
Trabajo en casa
Si m∠9 = 62°, entonces halla los valores de los siguientes ángulos:
69. m∠1=
70. m∠2=
71. m∠4=
72. m∠5=
73. m∠15=
Si m ∠2 = (14x-24)° y m ∠10 = (6x+72)°, entonces hallar los valores de los siguientes ángulos:
74. m∠6=
75. m∠11=
76. m∠9=
77. m∠16=
Halla los valores de las variables desconocidas en cada figura. ( N°78-82)
78.
81.
Geometría – Rectas Paralelas
79.
80.
82.
~8~
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Halla las medidas de los siguientes ángulos:
83. m∠1=
84. m∠2=
85. m∠3=
86. m∠4=
87. m∠5=
Indica cuales segmentos (si hay) son paralelos.
88.
D
C
124°
124°
A
B
90.
89.
91.
Geometría – Rectas Paralelas
92.
~9~
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Construyendo rectas paralelas
Trabajo en clase
93. Construye una recta m que sea paralela a la recta / que pase por el punto C utilizando el
método indicado.
Ángulos correspondientes
94. Análisis de error: Una persona construyó la recta n que pasa por el punto D de modo tal
que es paralela a la recta / utilizando el método de ángulos alternos interiores. Utilizando sus
marcas indica su error.
95. Utiliza las técnicas de plegado de papel para construir rectas paralelas.
Geometría – Rectas Paralelas
~10~
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Construyendo rectas paralelas
Trabajo en casa
96. Análisis de error: Una persona construyó una recta n que pasa por el punto D de modo
tal que es paralela a la recta / usando el método de ángulos alternos exteriores. Usando sus
marcas indica su error.
.
97. Construye rectas paralelas utilizando una regla y un compás usando ángulos alternos
interiores.
98. Construye rectas paralelas utilizando una regla y un compás usando ángulos alternos
exteriores.
Geometría – Rectas Paralelas
~11~
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Preguntas tipo PARCC:
99. La figura muestra la recta j, los puntos C y B están sobre la recta j y el punto A no está
sobre la recta j. También se muestra la recta AB.
A
j
B
C
Parte A:
A
j
C
F
G B
Considera la construcción parcial de una recta paralela a j que pase por el punto A. ¿Cuál
sería el paso final en la construcción?
a) Dibuja una recta que pase por los puntos B y F
b) Dibuja una recta que pase por los puntos C y F
c) Dibuja una recta que pase por los puntos A y F
d) Dibuja una recta que pase por los puntos A y G
Parte B:
Una vez que esté completa la construcción ¿cuál de las siguientes razones listadas
contribuye a proveer la validez de la construcción?
a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
b) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
alternos externos son congruentes.
c) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
interiores del mismo lado son suplementarios.
d) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
alternos internos son congruentes.
Geometría – Rectas Paralelas
~12~
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Preguntas tipo PARCC:
100. La figura muestra la recta p; los puntos H, K, y M están sobre la recta p, y el punto J no
está sobre la recta p. También se muestra la recta JK.
J
p
H
K
M
Parte A:
N
p
H
J
K
M
Considera la construcción parcial de una recta paralela a p que pasa por el punto J. ¿Cuál
sería el último paso en la construcción?
a) Dibuja una recta que pasa por los puntos K y N
b) Dibuja una recta que pasa por los puntos J y N
c) Dibuja una recta que pasa por los puntos H y N
d) Dibuja una recta que pasa por los puntos M y M
Parte B:
Una vez que la construcción esté completa ¿cuál de las siguientes razones listadas
contribuye a proveer la validez de la construcción?
a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
b) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
alternos externos son congruentes.
c) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
interiores del mismo lado son suplementarios.
d) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
alternos internos son congruentes.
Geometría – Rectas Paralelas
~13~
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Revisión de rectas paralelas
Opción múltiple
1. Nombra el segmento paralelo a ̅̅̅̅
𝐺𝐻 y oblicuo a ̅̅̅̅
𝐸𝐴.
̅̅̅̅
a. 𝐹𝐵
̅̅̅̅
b. 𝐷𝐴
̅
c. 𝐽𝐼
̅̅̅̅
d. 𝐻𝐷
̅̅̅̅ y oblicuo a 𝐸𝐼.
̅̅̅̅
2. Nombra el segmento paralelo a 𝐵𝐶
̅̅̅̅
a. 𝐹𝐵
b. ̅̅̅̅
𝐷𝐴
̅
c. 𝐽𝐼
̅̅̅̅
d. 𝐻𝐷
3. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos:
Dos rectas oblicuas son coplanares.
a. Siempre
b. Algunas veces
c. Nunca
4. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos:
Dos rectas que se intersectan son coplanares
a. Siempre
b. Algunas veces
c. Nunca
5. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos:
Dos rectas que no se intersectan son oblicuas.
a. Siempre
b. Algunas veces
c. Nunca
6. Determina la relación entre ∠1 y ∠10.
a. Alterno interior
b. Interior del mismo lado
c. Ángulos correspondientes
d. Ninguno de los anteriores
7. Determina la relación entre ∠5 y ∠15.
a. Alterno Exterior
b. Alterno Interior
c. Interior del mismo lado
d. ninguno de los anteriores
Geometría – Rectas Paralelas
~14~
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8. Dado en el diagrama de la derecha, m∠2=3x-10 y m∠15=2x+30 , ¿Cuál es m∠12?
a. 32o
b. 40o
c. 86o
d. 110o
9. Dado en el diagrama de la derecha,
m∠5= (7x+2)° y m∠11=(5x+14)°, ¿Cuál
es m∠14?
a. 6°
b. 44°
c. 46°
d. 136°
En 10-11, usa el diagrama de la derecha.
10. Dado ∠2 ≅ ∠6, que justifica que k || m.
a. Conversar sobre Teorema de ángulos
alternos internos
b. Conversar sobre Teorema de ángulos alternos exteriores
c. Conversar sobre Teorema de ángulos correspondientes
d. No hay suficiente información de paralelismo
11. Dado n || p , que justifica ∠1 ≅ ∠12
a. Teorema de ángulos internos alternos
b. Teorema de ángulos exteriores alternos
c. Teorema ángulos correspondientes
d. No hay suficiente información para realizar el enunciado
Respuesta de construcción extendida
1. Completa la prueba completando las razones
faltantes con el “banco de razones” de la derecha.
Algunas razones pueden utilizarse más de una vez.
Dado: ∠1 ≅ ∠3; ̅̅̅̅̅
𝑀𝑁 || ̅̅̅̅
𝑃𝑄
Probar: ∠2≅∠3
M
1
3
P
Enunciados
1. ∠1 ≅ ∠3
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ || 𝑃𝑄
2. 𝑀𝑁
3. ∠1 ≅ ∠2
4. ∠2≅∠3
Razones
1.
2.
3.
4.
Geometría – Rectas Paralelas
N
2
Q
Banco de razones
a) Propiedad transitiva de congruencia
b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos interiores
alternos son congruentes.
c) Dado
~15~
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2. Completa la prueba completando en las razones
faltantes con el “banco de razones” de la derecha.
Algunas razones pueden utilizarse más de una vez.
Dado: n || p, k || m
Probar: ∠2 y ∠13 son suplementarios
Enunciados
1. n || p, k || m
2. ∠2 ≅ ∠12
3. ∠12 ≅ ∠14
4. ∠2 ≅ ∠14
5. m∠2 = m∠14
6. m∠13 & m∠14 son
suplementarios
7. m∠13 + m∠14 = 180°
8. m∠13 + m∠2 = 180°
9. ∠2 &∠13 son suplementarios
Razones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Banco de razones
a) Propiedad transitiva de congruencia
b) Definición de ángulos suplementarios
c) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los
ángulos interiores alternos son congruentes.
d) Definición de ángulos congruentes
e) Dado
f) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los
ángulos exteriores alternos son congruentes.
g) Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios.
h) Propiedad sustitutiva de igualdad
3. Usando un compás y una regla, construye líneas paralelas. Puedes utilizar cualquier
método de tu elección.
Geometría – Rectas Paralelas
~16~
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Respuestas
̅ ,𝐹𝐸
̅̅̅̅ , ̅̅̅̅
1. Segmentos 𝐽𝐼
𝐵𝐴, ̅̅̅̅
𝐶𝐷
̅̅̅̅
̅̅̅ ,𝐼𝐸
̅̅̅ , 𝐹𝐵
̅̅̅̅, 𝐸𝐴
Segmentos 𝐽𝐹
̅̅̅, 𝐺𝐹
̅̅̅̅ , 𝐺𝐶
̅̅̅̅ ,
2. Segmentos 𝐺𝐽
̅̅̅̅ , 𝐻𝐸
̅̅̅̅ , 𝐻𝐷
̅̅̅̅
𝐻𝐼
3. Sí, porque los segmentos son
paralelos
4. No, son rectas oblicuas,
entonces no son coplanares.
5. Nunca
6. Siempre
7. Algunas veces
8. Algunas veces
9. Nunca
̅̅̅̅ , 𝐵𝐴
̅̅̅̅, 𝐶𝐷
̅̅̅̅
̅ , 𝐺𝐻
10. Segmentos 𝐽𝐼
̅̅̅, 𝐶𝐺
̅̅̅̅ , 𝐷𝐻
̅̅̅̅ , 𝐺𝐽
̅̅̅̅
11. Segmentos 𝐻𝐼
̅̅̅̅ , 𝐹𝐵
̅̅̅̅, 𝐹𝐽
̅̅̅, ̅̅̅̅
12. Segmentos 𝐹𝐺
𝐸𝐴,
̅̅̅̅
𝐹𝐵, ̅̅̅̅
𝐸𝐻 , ̅̅̅
𝐸𝐼
13. Sí, porque son paralelas
14. No, son rectas oblicuas, por lo
tanto no son coplanares
15. Nunca
16. Siempre
17. Algunas veces
18. Interior del mismo lado
19. Ninguna de éstas
20. Interior alterno
21. Correspondiente
22. Interior del mismo lado
23. Ninguno de estos
24. Correspondiente
25. Mismo lado
26. Alterno interior
27. Correspondiente
28. Correspondiente
29. Interior mismo lado
30. Ninguno de estos
31. Ninguno de estos
Geometría – Rectas Paralelas
32. c. Propiedad reflexiva de
igualdad
33. b. Propiedad transitiva de
igualdad
34. a. Propiedad sustitutiva de
igualdad
35. d. Propiedad simétrica de
igualdad
36. Las razones de prueba
deberían ser:
Enunciados
Razones
1. recta m || recta k 1. d.
2. b.
2. ∠2 ≅ ∠6
3. c.
3. ∠6 ≅ ∠8
4. a.
4. ∠2 ≅ ∠8
37. Las razones de prueba
deberían ser:
Enunciados
Razones
1. recta m || recta k 1. f.
2. d.
2. ∠1 ≅ ∠5
3. e.
3. m∠1 = m∠5
4. a.
4. ∠1 & ∠4 son
suplementarios
5. c.
5. m∠1 + m∠4 =
180°
6. b.
6. m∠5 + m∠4 =
180°
7. c.
7. ∠5 & ∠4 son
suplementarios
38. b. Propiedad transitiva de
congruencia
39. a. Propiedad sustitutiva de
igualdad
40. d. Propiedad simétrica de
congruencia
41. c. Propiedad reflexiva de
igualdad
~17~
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42. Las razones de la prueba
deberían ser:
Enunciados
Razones
1. line m || line k
1. b.
2. d.
2. ∠3 ≅ ∠7
3. a.
3. ∠7 ≅ ∠5
4. c.
4. ∠3 ≅ ∠5
62. 136°
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅
63. Los segmentos 𝐴𝐷
𝐵𝐶 son
paralelos
̅̅̅̅y 𝑅𝑆
̅̅̅̅son
64. Los segmentos 𝑂𝑃
paralelos
65. Ninguno de estos
66. x=9 y y=8 y z=7
67. x=8 y y=7
68. 62°
69. 118°
70. 118°
71. 62°
72. 62°
73. 144°
74. 36°
75. 36°
76. 144°
77. x=55°
78. x=86° y y=7
79. x=9; y=6; z=7
80. x=15; y=10; z=8
81. x=25; y=3
82. 41°
83. 106°
84. 33°
85. 33°
86. 129°
87. No puede determinarse
88. Los segmentos ̅̅̅̅̅
𝑁𝐾 y ̅̅̅̅
𝑀𝐿son
paralelos
89. Los segmentos ̅̅̅̅
𝑄𝑃 y ̅̅̅̅
𝑇𝑆 son
paralelos
90. x=6; y=12; z=7
91. x=18; y=7
92. Ver el trabajo del estudiante
93. hecho en el mismo interior del
mismo lado
94. Ver el trabajo del estudiante
43. Las razones de prueba
deberían ser:
Enunciados
Razones
1. recta m || recta k 1. c.
2. b.
2. ∠1 ≅ ∠5
3. d.
3. m∠1 = m∠5
4. e.
4. ∠5 & ∠8 son
suplementarios
5. a.
5. m∠5 + m∠8 =
180
6. f.
6. m∠1 + m∠8 =
180
7. a.
7. ∠1 & ∠8 son
suplementarios
44. 54°
45. 126°
46. 126°
47. 54°
48. 54°
49. 138°
50. 42°
51. 42°
52. 138°
53. x= 144°
54. x= 64° y y= 49/4
55. x=6; z=2
56. x=24, y=11; z=22/5
57. x=33; y=2
58. 44°
59. 107°
60. 29°
61. 29°
Geometría – Rectas Paralelas
~18~
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suplementarios
7. m∠13 = m∠14 = 180°
8. m∠13 + m∠2 = 180°
9. ∠2 & ∠13 son
suplementarios
95. Realizar ángulos congruentes
que deberían ser
suplementarios.
96. Ver el trabajo del estudiante
97. Ver el trabajo del estudiante
98. Parte A: c y Parte B: d
99. Parte A: b y Parte B: b
7. b
8. h
9. b
3. Ver el trabajo del estudiante
Revisión de opción múltiple
1. c
2. b
3. c
4. a
5. b
6. c
7. a
8. c
9. d
10. c
11. d
RESPUESTA DE CONSTRUCCIÓN
EXTENDIDA
1.
Enunciados
∠1 ≅ ∠3
̅̅̅̅̅
𝑀𝑁 || ̅̅̅̅
𝑃𝑄
∠1 ≅ ∠2
∠2≅∠3
Razones
c. Dado
c. Dado
b. Teorema
de ángulos
alternos
internos
a. Propiedad
transitiva de la
congruencia
Enunciados
1. n || p, k || m
2. ∠2≅∠12
3. ∠12≅∠14
4. ∠2≅∠14
5. m∠2+m∠14
6. ∠13 & ∠14 son
Geometría – Rectas Paralelas
Razones
1. e
2. f
3. c
4. a
5. d
6. g
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