Download 13.3 lugares geométricos. ejercicios resueltos

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
13.3 LUGARES GEOMÉTRICOS. EJERCICIOS RESUELTOS.
Ilustración N° 1
Hallar todos los puntos del plano 𝜋 que se encuentran a una distancia 𝑑 de una recta ℓ
contenida en el plano 𝜋.
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̅̅̅̅) = 𝑑 con ̅̅̅̅
Sean: ℓ ⊂ 𝜋; ̅̅̅̅
𝐴𝐵 tal que 𝑚(𝐴𝐵
𝐴𝐵 ⊥ ℓ y en consecuencia 𝑑(𝐴, ℓ) = 𝑑
Figura 269
Descripción de la construcción y justificación.
1. Por A se traza ⃡𝐴𝑊 ∥ ℓ, única por el V.P.E.
2. El teorema 37 en su corolario 1 nos permite concluir que todos los puntos de ⃡𝐴𝑊
equidistan de ℓ.
̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅′ ⊥ ℓ con 𝐵𝐴′
3. Pero por simetría se levanta 𝐵𝐴
𝐴𝐵 y por procedimiento análogo se
′
⃡
determina 𝐴 𝑊′ ∥ ℓ
⃡
Se concluye que las rectas ⃡𝐴𝑊 y 𝐴′𝑊′
corresponden a la solución del problema
planteado.
Generalización al espacio.
Si el problema se plantea en el espacio, el conjunto solución corresponde a la superficie
cilíndrica con eje en la recta ℓ y radio 𝑅 = 𝑑. La justificación es inmediata.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1. Hallar todos los puntos del plano 𝜋, tales que su distancia a una recta ℓ sea igual a su
distancia a una circunferencia 𝐶(0, 𝑅), cuando la recta es secante a la circunferencia.
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̅̅̅̅) = 𝑑, siendo 𝑑 la distancia señalada.
Sean: 𝐶(0, 𝑅) ⊂ 𝜋; ℓ secante a 𝐶(0, 𝑅); 𝑚 (𝐴𝐵
Figura 270
Descripción de la construcción y justificación.
1. Se trazan las rectas 𝑡 y 𝑡′ que equidistan de ℓ por el problema 1.
2. Teniendo en cuenta el teorema 62 en el cual se plantea la distancia desde un punto a
una circunferencia, se traza la 𝐶(0, 𝑅 + 𝑑).
3. Se designan por 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , 𝑃4 los intersectos de 𝐶(0, 𝑅 + 𝑑) y las rectas 𝑡 y 𝑡′
respectivamente.
Se concluye que {𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , 𝑃4 } es la solución al problema planteado. ¿Por qué?
Ilustración N° 2
̅̅̅̅ de longitud constante se desplaza de tal forma que sus extremos
Un segmento 𝐴𝐵
siempre están ubicados sobre dos rectas perpendiculares y fijas. Hallar el lugar
geométrico descrito por el punto medio de ̅̅̅̅
𝐴𝐵.
Sean: ℓ1 , ℓ2 rectas dadas, ℓ1 ⊥ ℓ2 , ̅̅̅̅
𝐴𝐵 dado, 𝑀: punto medio de ̅̅̅̅
𝐴𝐵.
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 271
Descripción de la construcción y justificación.
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅
1. Se trazan inicialmente los segmentos 𝐴
1 𝐵1 , 𝐴2 𝐵2 , 𝐴3 𝐵3 , 𝐴4 𝐵4 con las condiciones
̅̅̅̅̅̅6 , ̅̅̅̅̅
𝑂𝐵5 , ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝐵6 cumpliendo también como
planteadas en el problema y ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝐴5 , 𝑂𝐴
situaciones extremas, las condiciones planteadas.
2. Se determinan como 𝑀1 , 𝑀2 , … . . 𝑀8 los puntos medios de los segmentos trazados.
3. Se tienen en particular los triángulos rectángulos: ∆ 𝑂𝐴1 𝐵1 , ∆ 𝑂𝐴2 𝐵2 , ∆ 𝑂𝐴3 𝐵3 ,
∆ 𝑂𝐴4 𝐵4 y revisando las propiedades en las relaciones métricas del triangulo, el
corolario del teorema 39, esto es del teorema de la paralela media, permite concluir
que la mediana asociada a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa. En
consecuencia. Todos los puntos medios equidistan del punto O.
Se concluye que la circunferencia 𝐶 (𝑂,
𝐴𝐵
) corresponde
2
a la solución del problema
planteado.
Ilustración N° 3
Hallar el lugar geométrico descrito por los puntos medios de todos los segmentos
correspondientes a las cuerdas trazadas desde un punto fijo de una circunferencia.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Sean: 𝐶(0, 𝑅). 𝑃 punto fijo de 𝐶(0, 𝑅), desde el cual se determinan todas las cuerdas de
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dicha circunferencia con un extremo en él.
Figura 272 a
Figura 272 b
Descripción de la construcción y justificación.
̅̅̅̅̅2 , … . ̅̅̅̅̅
1. En la 𝐶(0, 𝑅) de la figura 272 a, se trazan las cuerdas ̅̅̅̅̅
𝑃𝐴1 , 𝑃𝐴
𝑃𝐴6 y ̅̅̅̅
𝑃𝐵 en
particular cuerda diametral y se determinan los puntos medios de cada una,
designados por 𝑀1 , 𝑀2 , … . . 𝑀6 y 𝑂 respectivamente.
2. Una primera observación grafica permite conjeturar que los puntos medios ilustrados
parecen pertenecer a una semicircunferencia de diámetro 𝑂𝑃.
3. En la 𝐶(0, 𝑅) de la figura 272 b, buscando realizar la conjetura expuesta, se analizan en
detalle dos de los siguientes triángulos; ∆ 𝑂𝑃𝐴1 y ∆ 𝑂𝑃𝐴5 que son isósceles y las
condiciones señaladas permite concluir que ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀1 y ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀5 son medianas respectivas en
estos triángulos.
4. El teorema 20 corresponde a las Propiedades de los segmentos notables en el
triángulo isósceles, permite concluir que ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀1 y ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀5 son alturas de sus triángulos y
como consecuencia se concluye así que ∆ 𝑂𝑀1 𝑃 y ∆ 𝑂𝑀5 𝑃 son rectángulos, con
̅̅̅̅.
hipotenusa común en 𝑂𝑃
5. Lo propio ocurre con todos los triángulos con vértice en cualquiera de los puntos
medios y lado común en ̅̅̅̅
𝑂𝑃.
Se concluye en consecuencia por lo establecido en el corolario 2 del teorema 72,
que el lugar descrito por los puntos medios, corresponde a la semicircunferencia de
cuerda diametral ̅̅̅̅
𝑂𝑃. Por simetría se concluye lo mismo para todas las demás cuerdas
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
con extremos en la otra semicircunferencia y se concluye que la circunferencia de
cuerda diametral ̅̅̅̅
𝑂𝑃 corresponde a la solución al problema planteado.
Ilustración N° 4
Situación problema 1
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El petróleo que se extrae en un pozo 𝐻, debe ser procesado en una refinaría 𝑃, que por
condiciones técnicas debe ser construida a la orilla de un rio que corre en un trayecto en línea
recta, como se ilustra en la figura siguiente. De la refinería, el petróleo debe ser transportado a
una ciudad C. Se adelantan dos estudios sobre el lugar en el cual debe ser construida la
refinería. El primero recomienda construirla en un punto equidistante del pozo y de la ciudad.
El segundo recomienda hacerlo en un punto tal que la suma de las distancias desde la
refinería al pozo y de la refinería a la ciudad sea la mínima posible.
Figura 273 a
Determinación de la solución para el primer estudio.
̅̅̅̅ en el plano de la figura.
1. Se determina la mediatriz ⃡𝑀𝐾 de 𝐻𝐶
Por propiedad de la mediatriz de un segmento, todo punto de ⃡𝑀𝐾 equidista de 𝐻 y
de C.
⃡ y la línea correspondiente a la rivera del
2. Se designa por 𝑃 la intersección entre 𝑀𝐾
rio.
Se concluye que 𝑃 corresponde a la solución propuesta en el estudio.
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Figura 273 b
Determinación de la solución para el segundo estudio.
En este problema la solución no se presenta en forma sencilla como en el caso anterior y nos
obliga a tener en cuenta además de las propiedades de la mediatriz un principio que primó en
la demostración de los teoremas de desigualdades en el triángulo del Capítulo 7 y que el lector
puede identificar nuevamente.
Figura 273 c
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1. Se designa por ℓ, la recta correspondiente a la rivera del rio.
2. Desde 𝐻 se baja la perpendicular única a ℓ en el plano de la gráfica. Se designa por A el
punto de intersección de ambas rectas.
̅̅̅̅̅′ ≅ 𝐴𝐻
̅̅̅̅ ; de esta forma ℓ es mediatriz de
3. En la semirrecta opuesta a 𝐴𝐻 se toma 𝐴𝐻
′
̅̅̅̅̅̅. Es obvio que 𝐻 y 𝐻’ están en semiplanos opuestos respecto a ℓ.
𝐻𝐻
̅̅̅̅̅ que intersecta a ℓ en un punto único 𝑃 (Axioma de separación del plano).
4. Se traza 𝐻′𝐶
Se concluye que 𝑃 es el punto correspondiente a la solución propuesta en el
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estudio.
Justificación de lo afirmado.
Se toma cualquier punto 𝑄 ∈ ℓ, 𝑄 ≠ 𝑃 y debe demostrarse que: 𝐻𝑃 + 𝑃𝐶 < 𝐻𝑄 + 𝑄𝐶.
En efecto, 𝐻𝑃 + 𝑃𝐶 = 𝐻 ′ 𝑃 + 𝑃𝐶 ¿por qué?
𝐻 ′ 𝑃 + 𝑃𝐶 = 𝐻 ′ 𝐶 por propiedad de la medida entre segmentos.
A su vez 𝐻𝑄 + 𝑄𝐶 = 𝐻 ′ 𝑄 + 𝑄𝐶 Teorema de la desigualdad triangular en el
∆ 𝐻 ′ 𝑄𝐶.
Luego por transitividad se concluye que 𝐻𝑃 + 𝑃𝐶 < 𝐻𝑄 + 𝑄𝐶.
Es fundamental en esta demostración destacar que cualquiera que sea el punto 𝑄
perteneciente a ℓ, 𝑄 ≠ 𝑃, entonces, se garantiza la existencia del ∆ 𝐻 ′ 𝑄𝐶 y por tanto se puede
aplicar el teorema citado.
Ilustración N° 5
Situación problema 2.
Como continuación del problema anterior y en lo que puedo describir como una ilustración
de una situación integradora, se plantea el siguiente problema.
En la figura se indican las posiciones de un pozo de petróleo 𝑃 y una ciudad 𝐶.
Se requiere construir sobre la orilla del rio 𝑅1 una refinería 𝑅 y sobre la orilla del rio 𝑅2 un
puerto de embarque A con el objetivo de que un oleoducto que tendrá la siguiente trayectoria:
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parte de 𝑃, llega a 𝑅, de 𝑅 continua hasta 𝐴 y de 𝐴 se dirige a la cuidad 𝐶, cumpla que la
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trayectoria sobre la poligonal 𝑃𝑅𝐴𝐶, sea la mínima posible.
Figura 274
Determinación de la solución y justificación
Como en el problema anterior, en el segundo estudio se resolvió una situación de suma
mínima de distancias, aprovecharé este resultado para llegar a la solución del problema
propuesto.
1. Determino un punto 𝐾 sobre la rivera del Rio 𝑅1 de tal forma que la suma de las
distancias 𝑃𝐾 + 𝐾𝐶 sea mínima, justificado en el problema anterior.
2. Análogamente se procede determinando un punto 𝑇 sobre la rivera del Rio 𝑅2 de tal
forma que la suma de las distancias de 𝐶𝑇 + 𝑇𝑃 sea mínima.
3. Se concluye que los puntos 𝐾 y 𝑇 corresponden a las localizaciones respectivas de la
refinería 𝑅 y el puerto de embarque 𝐴. En consecuencia la ruta de mínima distancia
corresponde a 𝑃𝐾 + 𝐾𝑇 + 𝑇𝐶.
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 275
Justificación de lo afirmado.
Figura 276
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Sean: 𝑅 ′ ∈ ℓ1 , 𝑅 ′ ≠ 𝑅, 𝐴′ ∈ ℓ2 , 𝐴´ ≠ 𝐴.
Debe probarse que 𝑃𝑅 + 𝑅𝐴 + 𝐴𝐶 < 𝑃𝑅 ′ + 𝑅 ′ 𝐴′ + 𝐴′ 𝐶
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Se deja la prueba al lector.