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Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
DEPARTAMENTO ELECTROENERGÉTICA
TRABAJO DE DIPLOMA
“Materiales complementarios y aplicación del Matlab
y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos
eléctricos con amplificadores operacionales ideales.”
Autor: Dennis Ordaz Quintana
Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart
Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio
Santa Clara, Cuba
2013
"Año 55 de la Revolución"
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Circuitos Eléctricos
TRABAJO DE DIPLOMA
“Materiales complementarios y aplicación del Matlab
y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos
eléctricos con amplificadores operacionales ideales.”
Autor: Dennis Ordaz Quintana
dennis@uclv.edu.cu
Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart
avertanoh@uclv.edu.cu
Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio
jcurbelo@uclv.edu.cu
Profesores de Circuitos Eléctricos de la facultad de Ing. Eléctrica
Santa Clara, Cuba
2013
"Año 55 de la Revolución"
Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad
Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la
especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por
la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como
total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin
autorización de la Universidad.
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según
acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos
que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
Firma del Autor
Firma del Jefe de
Departamento donde se
defiende el trabajo
Firma del Responsable de
Información Científico-Técnica
I
PENSAMIENTO
PENSAMIENTO
“Para abrir nuevos caminos, hay que inventar; experimentar; crecer, correr riesgos, romper
las reglas, equivocarse y divertirse”.
Mary Lou Cook
II
DEDICATORIA
DEDICATORIA
A mi madre Marvy y a mis abuelas Tere y Melba por ser realmente las verdaderas
protagonistas de este sueño.
III
AGAGRADECIMIENTOS
AGRADECIMIENTOS
Mis sinceros agradecimientos a Miguel Díaz-Canel Bermúdez por aprobar las resoluciones
que renovaron la universidad, sin él hubiera sido imposible la realización de esta tesis en el
presente año.
A mis tutores Dr. Avertano Hernández Stuart y Msc. Juan Curbelo Cancio por sus
valiosos consejos.
A mí querida madre Marvy a quien agradezco con mucho amor todos los sacrificios y
esfuerzos que ha hecho y hace por mí.
A mi padre Denis por su constante preocupación y apoyo.
A mis abuelas, Tere y Melba por su gran apoyo y amor desde siempre.
A mi novia Yenisley que desde el principio se tomó esta tesis como una meta de ambos, por
su amor y entrega, también a su familia por lo maravillosa que han sido conmigo durante
todo este tiempo.
A mis tíos Maité y Carlos que siempre han estado muy atentos de mí en todo momento.
A mis primos Alejandro Y Ana Laura.
A Orlando Ismael Ojeda por su dedicación y horas extras de estudios.
A Luis Orlando Hernández que aún no sé qué fue lo que hice para ganarme un amigo tan
valioso como él. Gracias por estar presente en los momentos más difíciles.
A todos ustedes y sin que pierda el menor ápice su significado: Muchas Gracias
IV
TAREA TECNICA
TAREA TECNICA
Plan de Trabajo:
 Revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente
acerca de la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con amplificadores
operacionales ideales.
 Actualizar los contenidos teóricos usando textos básicos y materiales de
estudio publicados en Internet.
 Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación
Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar los
conocimientos del estudiante en el área de la programación y simulación.
 Resolver,
de
forma
analítica,
ejercicios
típicos,
adecuadamente
seleccionados, que ilustren de manera coherente el tratamiento de este
tema en las asignaturas Circuitos Eléctricos I, II y III. Llevar a cabo la
solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas
elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos,
utilizando el simulador Simulink.
 Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño
metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las
orientaciones y normas aprobadas por el MES.
Firma del Autor
Firma del Tutor
V
RESUMEN
RESUMEN
Se propone un Material complementario para la solución de ejercicios de circuitos
eléctricos con los amplificadores operacionales ideales a través de la aplicación
del Matlab y Simulink. Se abordaron temáticas conceptuales acerca del análisis y
solución de los amplificadores operacionales ideales utilizando la teoría de los
circuitos eléctrico. Se profundizó en el estudio de los contenidos fundamentales
del lenguaje de programación Matlab y Simulink, para su implicación en la solución
de dichos ejercicios, estos fueron resueltos de forma analítica en los diferentes
Circuitos Eléctricos, luego se solucionan dichos ejercicios, mediante el Matlab y
finalmente se comprueban los mismos con el uso del simulador Simulink.
VI
TABLA DE CONTENIDO
TABLA DE CONTENIDO
PENSAMIENTO.................................................................................... I
DEDICATORIA .................................................................................... II
AGRADECIMIENTOS ........................................................................ III
TAREA TECNICA............................................................................... IV
RESUMEN ........................................................................................... V
INTRODUCCIÓN ................................................................................. 1
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA........................................ 5
1.1. Origen y evolución. ..................................................................... 5
1.2. Propiedades fundamentales. ..................................................... 7
1.3. Características técnicas del A.O. ............................................... 8
1.4. Características de un A.O ideal................................................ 10
1.5. El modelo equivalente del A.O. ............................................... 11
1.6. Diferentes configuraciones del amplificador operacional. .... 13
1.6.1. Comparador. ........................................................................... 13
1.6.2. Seguidor de voltaje. ............................................................... 14
1.6.3. Configuración inversora. ....................................................... 15
1.6.4. Amplificador no inversor. ...................................................... 16
1.6.5. Amplificador sumador. .......................................................... 17
1.6.6. Amplificador diferencial. ....................................................... 18
TABLA DE CONTENIDO
VII
1.6.7. Convertidor de tensión a corriente y convertidor de
corriente a tensión. .......................................................................... 19
1.6.7.1. Convertidor de tensión a corriente. ................................... 20
1.6.7.2. Convertidor de corriente a tensión. ................................... 20
1.6.8. Amplificador integrador......................................................... 21
1.6.8.1. Integrador inversor con condensador flotante. ................ 21
1.6.8.2. Amplificador Integrador no inversor. ................................ 22
1.6.9. Amplificador Derivador.......................................................... 23
1.6.9.1. Amplificador Derivador Inversor. ....................................... 24
1.6.9.2. Amplificador Derivador no Inversor. ................................. 25
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS. ......................................... 26
2.1. Introducción al MATLAB y Simulink. ....................................... 26
2.2. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos I.
.......................................................................................................... 27
2.2.1. Ejemplo 1. ............................................................................... 27
2.2.2. Ejemplo 2. ............................................................................... 30
2.2.3. Ejemplo 3. ............................................................................... 32
2.2.4. Ejemplo 4. ............................................................................... 34
2.3. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos II.
.......................................................................................................... 36
2.3.1. Ejemplo 1 ................................................................................ 36
2.3.2. Ejemplo 2. ............................................................................... 40
TABLA DE CONTENIDO
VIII
2.3.3. Ejemplo 3. ............................................................................... 44
2.3.4. Ejemplo 4. ............................................................................... 49
2.4. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos III.
.......................................................................................................... 52
2.4.1. Ejemplo 1. ............................................................................... 52
2.4.2. Ejemplo 2. ............................................................................... 56
2.4.3. Ejemplo 3. ............................................................................... 61
2.4.4. Ejemplo 4. ............................................................................... 65
CONCLUSIONES .............................................................................. 69
RECOMENDACIONES ...................................................................... 70
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................. 71
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
La mayor parte del control y medida de los procesos industriales se realizan
mediante circuitos electrónicos, en los cuales el amplificador operacional (A.O) es
un módulo básico de dichos circuitos de control. Aunque cada vez más, el
procesamiento de la información y la toma de decisiones del sistema se realiza
con circuitos digitales o sistemas basados en microprocesadores, la conversión de
las variables medidas (temperatura, presión, velocidad, etc.) en variables
eléctricas: corriente o tensión (en los sensores), o la conversión inversa (en los
actuadores analógicos), requiere de circuitos analógicos, donde el amplificador
operacional juega un papel fundamental.
Una de las razones de la popularidad del (A.O) es su versatilidad. Aún de mayor
importancia, el (A.O) de circuito integrado (CI) presenta características que por
muy poco alcanzan el que se considera ideal. Esto implica que es bastante fácil
diseñar circuitos utilizando el (A.O) de (CI).
Debido a la complejidad interna de un (A.O), una comprensión detallada de sus
características de funcionamiento, potencialidades y limitaciones, requieren de un
alto grado de habilidad, en técnicas de análisis de circuitos, reconocimiento de
configuraciones funcionales típicas, técnicas específicas de realimentación, etc.
Sin embargo, la gran mayoría de las aplicaciones pueden ser resueltas (ya sea
tarea de análisis o un problema de diseño) en base a consideraciones
simplificadas, traducidas en un “modelo ideal”
Teniendo en cuenta la factibilidad del amplificador operacional dentro de los
circuitos eléctricos se determinó crear un material complementario que recoja una
serie de ejercicios de las asignaturas de Circuitos Eléctricos I, II y III con la
aplicación del software Matlab y Simulink los cuales son utilizados en la Facultad
de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central “Marta Abreu de las Villas” en
varias de las asignaturas impartidas, entre ellas, las mencionadas con
anterioridad.
INTRODUCCIÓN
2
El uso del MATLAB y el Simulink, en la solución de ejercicios de circuitos
eléctricos, ayuda al estudiante a una mejor comprensión de los contenidos
estudiados en esta asignatura ya que a través de este, se optimizan recursos y se
muestran soluciones gráficas que de otra forma serían difíciles de obtener.
Además MATLAB posee un ambiente gráfico agradable, es fácil de utilizar y
mediante él se puede obtener soluciones en tiempo real, lo cual es de vital
importancia para estudiantes y profesionales que se dediquen al desarrollo de la
solución de problemas de este tipo. Por tanto ya que no existe en la Facultad de
Ingeniería Eléctrica, un material complementario para la solución de ejercicios de
Circuitos Eléctricos con los amplificadores operacionales ideales a través de la
aplicación del Matlab y Simulink, el problema que ocupa a la presente
investigación es:
¿Cómo diseñar un material complementario para la solución de ejercicios de
circuitos eléctricos con los amplificadores operacionales ideales a través de la
aplicación del Matlab y Simulink?
Partiendo del problema científico planteado, se puede establecer como objetivo
general de la investigación el siguiente:
Proponer un material complementario que contenga un conjunto de ejercicios
resueltos que ilustren de manera coherente la aplicación del Matlab y Simulink en
la asignatura de Circuitos Eléctricos con amplificadores operacionales ideales.
Para el logro del objetivo general se dará cumplimiento durante el proceso
investigativo a los siguientes objetivos específicos:
1. Determinar los referentes teóricos fundamentales, acerca del análisis y solución
de los diferentes circuitos eléctricos con amplificadores operacionales ideales
2. Sistematizar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación
Matlab y Simulink, para su implicación en la solución de ejercicios de circuitos
eléctricos con amplificadores operacionales ideales.
INTRODUCCIÓN
3
3. Elaborar un material complementario que ilustre de forma analítica la solución
de ejercicios de amplificadores operacionales ideales en los diferentes Circuitos
Eléctricos, con la implicación del Matlab y finalmente comprobar los resultados
haciendo uso del simulador Simulink.
Dentro de la bibliografía consultada para la investigación se encontró una gran
cantidad de artículos referentes a los amplificadores operacionales, en los cuales
se hace énfasis en la importancia del estudio de este dispositivo por su
versatilidad y gran utilidad práctica.
Entre los aportes del presente trabajo de diploma, se pueden destacar el diseño
de un material complementario que contenga soluciones de ejercicios de circuitos
eléctricos con amplificadores operacionales ideales a través del empleo creativo
del Matlab y Simulink. Se pretende que este estudio sirva como antecedente
teórico para futuras investigaciones ya que consta de una recopilación de
elementos teóricos sobre métodos de solución de los amplificadores operacionales
en su primer capítulo. Además servirá de apoyo en la docencia de la asignatura
Circuitos Eléctricos I, II y III que se imparte en la carrera, para contribuir a la
formación del Ingeniero Eléctrico competente en esta rama al permitirles
interactuar con una herramienta tan utilizada como el MATLAB.
El trabajo de diploma quedó estructurado de la siguiente forma:
Capítulo 1: Recoge los fundamentos teóricos que sustentan los aspectos
relacionados con los métodos de solución de las diferentes configuraciones de los
amplificadores operacionales a través de la teoría de los Circuitos Eléctricos.
Capítulo 2: Muestra la solución de forma analítica de los ejercicios seleccionados
con anterioridad, corroborando las soluciones a través del MATLAB y el Simulink.
En su contenido se incluyen también las conclusiones, recomendaciones y
referencias bibliográficas.
INTRODUCCIÓN
Organización del informe
Este trabajo de diploma consta de las siguientes partes:
Pensamiento
Dedicatoria
Agradecimientos
Tarea técnica
Resumen
Introducción
Capítulo 1 Revisión Bibliográfica.
Capítulo 2 Ejemplos Resueltos.
Conclusiones
Recomendaciones
Referencias bibliográficas
4
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
5
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
1.1. Origen y evolución.
El amplificador operacional (A.O) surge por la necesidad de crear circuitos que
fueran capaces de resolver operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación,
integración y derivación lo cual era vital para las investigaciones de desarrollo en
las áreas de computación analógica e instrumentación en la década del 40 durante
la segunda guerra mundial.(Hayt et al., 2003)
El término amplificador operacional (A.O), tiene su origen en su primitiva
aplicación, la cuál era la de conformar circuitos que efectuaban operaciones
matemáticas.(Hayt et al., 2003)
Suele pensarse erróneamente, que el A.O nació con los circuitos integrados, sin
embargo los conceptos básicos del amplificador operacional que manejamos hoy
en día, tienen su origen en la época de las válvulas electrónicas. Se le atribuye su
autoría a John R. Ragazzini en 1947.(Galiano, 2001)
El primer A.O producido en masa lo introdujo George A. Philbrick en 1948, el K2W como el mostrado en la figura 1, su costo era en los años cincuenta de $22
USD.(Galiano, 2001)
Figura 1: El Primer Amplificador Operacional “real”, el K2-W.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
6
Estos A.O, formando parte de circuitos electrónicos, permitían la simulación de
sistemas físicos y se usaron ampliamente, para la investigación y desarrollo de
dichos sistemas. (Galiano, 2001)
En ese entonces, su utilización estaba sumamente restringida a las áreas de
computación analógica e instrumentación, que eran las únicas que justificaban el
importante aumento en la cantidad de válvulas electrónicas, necesarias para
operar bajo este principio.(Galiano, 2001)
La aparición en el mercado de A.O moduladores en los comienzos de 1960,
expande su uso por su bajo precio y resistencia, no obstante se trata siempre de
módulos armados a base de componentes discretos.
Hacia el final de 1960, la introducción de los circuitos integrados monolíticos, logra
que se reduzcan notablemente los costos, y se inicia la etapa del desplazamiento
de los circuitos discretos, el cual fue acentuándose a través del tiempo hasta
nuestros días.
El primer amplificador operacional monolítico data de los años 1960, era el
Fairchild μA702 (1964), diseñado por Bob Widlar. Le siguió el Fairchild μA709
(1965), también de Widlar, y que constituyó un gran éxito comercial. Más tarde
sería sustituido por el popular Fairchild μA741 (1968), de David Fullagar, y
fabricado por numerosas empresas, basado en tecnología bipolar.(Galiano, 2001)
Actualmente, los amplificadores operacionales son circuitos integrados que
contienen transistores, diodos, resistencias y capacitores, fabricados sobre una
pequeña pastilla de silicio. Las operaciones matemáticas señaladas anteriormente,
se logran adicionando externamente diversos elementos como resistores,
capacitores, etc.(Bogart, 1992)
Con la posibilidad de producción en masa que proporcionan las técnicas de
fabricación de circuitos integrados, los amplificadores operacionales integrados
estuvieron disponibles en grandes cantidades, lo que, a su vez contribuyó a
rebajar su costo. Hoy en día, el precio de un amplificador operacional integrado de
propósito general, con una ganancia de 100 dB, un voltaje offset de entrada de 1
7
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
mV, una corriente de entrada de 100 nA y un ancho de banda de 1 MHz. es
inferior a 1 Euro.
El amplificador, que era un sistema formado antiguamente por muchos
componentes discretos, ha evolucionado para convertirse él mismo en un
componente discreto, una realidad que ha cambiado por completo el panorama del
diseño de circuitos lineales.(Galiano, 2001)
Dentro de los usos específicos de los A.O, se pueden mencionar las siguientes
aplicaciones: Amplificadores de Corriente Continua., Amplificadores de Corriente
Alterna,
Comparadores,
Osciladores,
Multivibradores,
Filtros
Activos,
Amplificadores de Instrumentación, transmisión y acondicionadores de señal, etc.
Por otro lado ente las aplicaciones más comunes están: las Operaciones
matemáticas
(procesamiento
de
señales):
Sumadores,
Integradores,
Diferenciadores, Amplificadores Logarítmicos, etc.
1.2. Propiedades fundamentales.
El A.O es un amplificador diferencial (amplifica la diferencia entre dos señales) de
elevada ganancia, con dos entradas, una inversora y la otra no inversora y una
salida.(Hayt et al., 2003)
Uno de los símbolos más usado para representar el A.O, es el que se presenta en
la figura 2:
Figura 2: Símbolo del amplificador Operacional.
Es costumbre en los diagramas de circuitos no indicar los terminales de
alimentación por razones de simplicidad del dibujo, pero conviene recalcar aunque
8
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
parezca obvio, que el A.O como cualquier circuito electrónico no funciona sin
alimentación (sin polarización) y que en cualquier práctica su correcta conexión es
lo primero que debiera verificarse.
El A.O se alimenta de una fuente de corriente directa (CD), la cual le entrega dos
voltajes referidos a tierra, uno de +V y otro de -V (generalmente los valores de los
voltajes de alimentación son de +15 V y -15 V), lo que permite que la señal a la
salida del A.O pueda variar de polaridad (entre +V y -V), sin que se requiera
emplear acoplamiento capacitivo o inductivo entre el A.O y la carga conectada a
su salida, tal como se muestra en la figura de la derecha. Los terminales de la
fuente de alimentación de corriente directa (+V, -V), no siempre aparecen
representados en el símbolo mostrado. También hay A.O que se alimentan entre +
V y tierra.(Hernández, Nilsson and Riedel, 2011)
El terminal de entrada identificado por el signo (-) es la entrada inversora y el
voltaje V1 está definido entre la entrada inversora y tierra. El voltaje V2 se define
entre la entrada no inversora (+) y tierra. A la salida se obtiene (entre el terminal
de salida y tierra) el voltaje Vi = (V1 - V2) amplificado y desfasado 180º respecto a
la entrada (Vo). Si V2 = 0, entonces V1 aparece amplificado y desfasado 180º a la
salida. Si V1 = 0, entonces V2 aparece amplificado a la salida pero sin desfase.
La ganancia o amplificación de este dispositivo está en el orden de
diferentes tipos de A.O, siendo su valor típico de
a
para
. Es conocida como ganancia
de lazo abierto y se representa por Av.(Nilsson and Riedel, 2011)
1.3. Características técnicas del A.O.
El número de características técnicas que definen a un amplificador operacional es
muy amplio. En general, cada dispositivo se diseña con alguna de estas
características optimizadas para un conjunto de aplicaciones específicas. Se
agrupan en: características de entrada, de salida y de transferencia. Un conjunto
de las más usuales que hay que tener en cuenta en el diseño de un circuito con
este tipo de dispositivo es el siguiente: (Hayt et al., 2003)
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
9
Impedancia de entrada: Cuantifica que parte de la señal que proporciona la etapa
anterior al amplificador operacional, en realidad llega a la entrada de éste. Cuanto
mayor sea el valor de esta impedancia, mayor será la relación entre la señal
proporcionada y la que llega a la entrada del amplificador. La más importante a
efectos prácticos es la impedancia de entrada en modo diferencial, que es la que
se puede medir entre los dos terminales de entrada del amplificador operacional
cuando una de éstas se conecta a masa.
Tensión diferencial máxima: Máxima diferencia de tensión que puede existir entre
las dos entradas del amplificador operacional, sin que se produzca la saturación.
Tensión de entrada en modo común: Es un rango de valores que delimita el
margen de la media aritmética entre las dos tensiones de entrada para las cuales
no se produce la saturación del amplificador.
Tensión de compensación o tensión de offset: Es la diferencia de tensión que hay
que aplicar a las entradas del amplificador operacional para que la tensión de
salida sea nula. El parámetro correspondiente a la variación de la tensión de
compensación en función de la tensión de alimentación se denomina relación de
rechazo de la tensión de alimentación (SVRR).
Corriente de compensación: Se define como la diferencia entre las intensidades de
corriente continua que es necesario suministrar a los terminales de entrada de un
amplificador operacional para obtener una tensión nula a la salida si la tensión de
entrada es nula y la tensión de offset está compensada. Esta diferencia se
incrementa con la temperatura, la tensión de alimentación y el tiempo de
funcionamiento, y dicho incremento se denomina deriva de corriente de
compensación.
Impedancia de salida: Es la impedancia que puede medirse entre el terminal de
salida y masa cuando la tensión y la corriente a la salida son nulas. Cuanto menor
sea este valor, menor será la caída de tensión debido a la existencia de esa
impedancia a la salida y, por tanto, mayor será el aprovechamiento de la ganancia
del amplificador.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
10
Slew-rate: Es el valor máximo de la relación que existe entre el cambio de tensión
de salida y el tiempo necesario para realizar dicho cambio.
Corriente de salida: Es el valor de la intensidad máxima de salida que puede
proporcionar el amplificador operacional cuando su terminal de salida se conecta a
masa. Este parámetro está estrechamente vinculado a la impedancia de salida.
Ganancia en bucle abierto: Es la relación entre la tensión diferencial de entrada y
la tensión de salida cuando el circuito no está realimentado. Para muchas
aplicaciones es importante que este valor sea lo más elevado posible.
Factor de rechazo en modo común: También expresado como CMRR, es un
parámetro que indica cuánto más se amplifica la tensión diferencial de entrada que
el nivel común de tensión (ruido) que llega a las entradas del amplificador
operacional. Es muy importante tener en cuenta este parámetro en las
aplicaciones en las que el amplificador operacional se usa básicamente como
amplificador diferencial, con una de las dos señales de referencia.
Ancho de banda: También expresado con las siglas BW (del inglés Band Width),
se define como el valor de frecuencia para el cual la ganancia en bucle abierto del
operacional se reduce en un factor raíz de dos. Este parámetro describe el margen
de frecuencias para el cual las características del amplificador operacional se
mantienen con una aceptable invariabilidad.
Tiempo de respuesta: Es el tiempo que transcurre desde el momento en que se
aplica una señal a los terminales de entrada del amplificador operacional hasta
que se obtiene, a la salida, una respuesta de acuerdo a la señal aplicada.
1.4. Características de un A.O ideal.
- Impedancia de entrada infinita, entre los dos terminales de entrada y entre cada
terminal de entrada y masa.
- Impedancia de salida nula.
- Ganancia sin realimentación infinita.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
11
- Factor de rechazo en modo común infinito.
- Ancho de banda infinito.
- Corrientes y tensiones de compensación nulas.
- Derivas de temperatura nulas: sus propiedades deben mantenerse estables a
cualquier temperatura.
1.5. El modelo equivalente del A.O.
El modelo equivalente del A.O está compuesto básicamente por una fuente de
voltaje dependiente de voltaje (AvVi) y resistores, tal como aparece en la figura 3.
La fuente dependiente aparece en los terminales de salida del A.O y el voltaje de
control (Vi) se aplica a los terminales de entrada.(Galiano, 2001)
Figura 3: Circuito equivalente del A.O.
El voltaje aplicado a la carga será:
La curva de voltaje transferencial ideal es la que se muestra en la figura 4. La
curva no está a escala, pues sería casi vertical, debido a la ganancia infinita de Av.
12
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
Figura 4: Curva de transferencia de voltaje ideal
El A.O presenta una resistencia de entrada (Ri) muy alta (de
a
) por lo
que idealmente Ri se representa por un circuito abierto. Una fuente de voltaje
dependiente de voltaje, suministra un voltaje de salida igual a AvVi (el valor de Av
es de alrededor de
), idealmente Av puede considerarse que tiende a infinito.
La resistencia de salida (Ro) del A.O, es tan pequeña (alrededor de 75 Ω), que
puede considerarse idealmente igual a cero.(Galiano, 2001)
Por ejemplo, un AO típico, como el A741, presenta los siguientes parámetros: Ri
= 2 M , Ro = 75
y Av = 2x
La alta ganancia de lazo abierto del A.O determina que una señal de entrada de
unas pocas decenas de µV (cuando el A.O está en lazo abierto), lo lleven a
saturación, lo que significa que Vo sea +V o -V. Esta es la causa por la que
generalmente se usa en combinación con componentes externos, para disminuir la
ganancia de voltaje con realimentación (Avf) a valores razonables.(Galiano, 2001)
Si en el análisis de los circuitos con amplificadores operacionales se emplean las
suposiciones del amplificador ideal, surgen importantes simplificaciones.
Al ser la impedancia de entrada infinita, cualquier corriente que circule en los
terminales de entrada no puede penetrar en el amplificador, por lo que deberá
seguir otro camino. Debido a que la ganancia en bucle abierto es infinita, para
13
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
obtener cualquier tensión a la salida no se requiere diferencia de potencial entre
los terminales de entrada. La tensión de offset nula implica que si la tensión de
salida es cero, la tensión diferencial de entrada es nula. En estos casos, los
efectos debidos a frecuencia y temperatura se ignoran, por lo que todas las
características ideales de los amplificadores se cumplen independientemente de la
frecuencia y de la temperatura a las cuales trabajen.(Boylestad, 2000)
Las aplicaciones lineales utilizan el dispositivo retroalimentado en forma negativa
(una muestra de la señal de salida se “retroalimenta” hacia la entrada inversora);
esto se hace para que el amplificador operacional no esté saturado y podamos
controlar la tensión de salida; en estas condiciones el funcionamiento del A.O. se
resume en: (Hayt et al., 2003)
I. La salida se ajusta (automáticamente) a un valor tal que hace nula la diferencia
de voltaje entre ambas entradas; en consecuencia de asumir ganancia
infinita,
y demostrable en base a tal consideración.
II. No circula corriente por las entradas (equivalente a la característica de
impedancias infinitas en las entradas).
1.6. Diferentes configuraciones del amplificador operacional.
1.6.1. Comparador.
En la figura 5 se muestra un amplificador operacional ideal como comparador.
Figura 5: Amplificador operacional como comparador.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
14
La salida del A.O será igual a +V, si la señal aplicada a la entrada no inversora, es
más positiva que la señal aplicada a la entrada inversora y será igual a -V, si
ocurre lo contrario (siempre que el producto AvVi sea mayor que V ).(Galiano,
2001)
Este A.O permite comparar dos señales de voltaje, variando el voltaje de salida,
entre +V (voltaje de saturación positivo) y -V (voltaje de saturación negativo),
cuando las señales de entrada difieren entre sí. La salida de este circuito puede
ser empleada para accionar una alarma, el punto de disparo puede ser establecido
variando el cursor de la resistencia R. El Amplificador operacional como
comparador también es usado en circuitos generadores de ondas cuadradas con
ancho de pulso variable (modulador de ancho de pulso).(Galiano, 2001)
1.6.2. Seguidor de voltaje.
El circuito seguidor de voltaje de la figura 6, se considera ideal. Se ha conectado
directamente una señal de entrada Vent en el terminal no inversor, por ello V2 =
Vent.
Figura 6: Seguidor de voltaje.
Un cortocircuito conecta directamente la salida con la entrada inversora
(realimentación negativa) por lo que Vsal = V1. Como V1 = V2, entonces Vsal =
Vent. Por eso se dice que el voltaje de salida “sigue” al voltaje de entrada
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
15
(seguidor de voltaje). La ganancia de voltaje con realimentación (Avf) del seguidor
de voltaje es de 1.
La ventaja de este amplificador de ganancia unitaria es que por la entrada existe
una corriente y potencia despreciable (en un A.O real) suministrada desde Vs,
mientras que puede entregarse a la carga conectada a la salida, corrientes
razonables de 10 a 20 mA y potencias de 100 a 500 mW (esta potencia es
entregada por la fuente de alimentación de corriente directa), de esta forma, la
carga prácticamente no afecta a la fuente de señal. Por esta razón, el seguidor de
voltaje es conocido como amplificador “Buffer” (Aislador). La resistencia de
entrada (resistencia vista por la fuente de señal) es infinita y la resistencia de
salida es cero, lo que permite acoplar circuitos que presentan resistencias de
salida o de entrada diferentes, sirviendo de enlace (adaptador de resistencias)
entre dichos circuitos.(Nilsson and Riedel, 2011)
1.6.3. Configuración inversora.
En la figura 7 se muestra el esquema de un amplificador operacional en
configuración inversora.
Figura 7: Amplificador operacional en configuración inversora.
La corriente en los terminales de entrada del amplificador operacional es cero, por
lo que la corriente I que circula por R1 es la misma que pasa por Rf.
16
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
Como el terminal no inversor está conectado directamente a tierra y V1 = V2,
entonces V1 también está a potencial de tierra (tierra virtual)
Aplicando el teorema de los nodos:
Al ser:
Quedaría:
Despejando:
Como se puede apreciar en la formula si:
se dice que el circuito amplifica
la tensión de entrada. De igual manera si:
se dice que el circuito atenúa la
señal de entrada. También se aprecia que la tensión de salida tiene un signo
negativo de ahí su nombre “amplificador inversor”.(Boylestad, 2000)
1.6.4. Amplificador no inversor.
En la figura 8 se muestra el esquema de un amplificador operacional en
configuración no inversora.
Figura 8: Amplificador operacional en configuración no inversora.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
17
Una simple inspección a esta configuración hace denotar que la fuente está
conectada a la parte no inversora del A.O.
Aplicando el teorema de los nodos:
Teniendo en cuenta que:
Quedaría:
Despejando:
De lo antes desarrollado se deduce que se trata de un amplificador con Av > 0, la
ganancia viene dada por la relación entre las resistencias de realimentación, la
impedancia de entrada es teóricamente infinita, pues la corriente de entrada es
cero y que al ser la ganancia independiente de la carga, la tensión de salida es
independiente de la carga; por tanto, la impedancia de salida es cero.(Davis, 1998)
1.6.5. Amplificador sumador.
En la figura 9 se muestra el esquema de un amplificador operacional sumador.
Figura 9: Amplificador operacional sumador.
18
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
Procedemos a su análisis a través del teorema de los nodos de la siguiente
manera:
Despejando la ecuación y teniendo en cuenta que
0; quedaría:
De lo antes desarrollado se deduce que la salida es la inversa de la suma de las
tensiones de entrada, de igual manera se aprecia que la entrada no inversora está
a masa, por lo que al tener realimentación negativa la entrada inversora estará
virtualmente a 0 voltios y que desde cada una de las entradas circula una corriente
hacia la entrada inversora, que no tiene otro camino de salida que dirigirse a la
salida del amplificador a través de la resistencia de realimentación.(Decarlo and
Lin, 1995)
1.6.6. Amplificador diferencial.
El circuito restador de tensión es denominado habitualmente amplificador
diferencial en modo común. Este circuito es la combinación de un amplificador
inversor con uno no inversor. El amplificador operacional se realimenta
negativamente, alimentándose las entradas con tensiones diferentes. La tensión
de salida corresponde a la diferencia entre las dos tensiones de entrada: la que se
aplica a la entrada positiva, menos la que se aplica a la entrada negativa,
multiplicada por un factor de ganancia que está determinado por la resistencia de
realimentación y la conectada a la entrada inversora del amplificador. Toda
diferencia de tensión entre las dos entradas será amplificada, mientras que
cualquier señal común a los dos terminales de entrada no será amplificada; por
esta razón, los amplificadores diferenciales son ampliamente utilizados en la
instrumentación electrónica, como es el caso de los sensores de determinadas
magnitudes físicas: termopares, galgas extensiométricas, etc.(Hayt et al., 2003)
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
19
En la figura 10 se muestra el esquema de un amplificador diferencial.
Figura 10: Amplificador operacional diferencial.
Procedemos a su análisis a través del teorema de los nodos de la siguiente
manera:
Despejando Vsal:
Teniendo en cuenta que:
por divisor de voltaje se tiene que:
1.6.7. Convertidor de tensión a corriente y convertidor de corriente a tensión.
Los convertidores de corriente a tensión y de tensión a corriente también se
suelen denominar fuente de tensión controlada por corriente y fuente de corriente
controlada por tensión respectivamente. En el primer caso, la tensión de salida es
20
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
directamente proporcional a la corriente de entrada y, en el segundo, la corriente
de salida es directamente proporcional a la tensión de entrada.(Boylestad, 2000)
1.6.7.1. Convertidor de tensión a corriente.
En la figura 11 se muestra el esquema de un amplificador convertidor de tensión a
corriente diferencial.(Boylestad, 2000)
Trataremos, mediante una tensión suministrada por una fuente de tensión, hacer
que por una resistencia Rf circule una corriente independiente del valor de Rf.
Figura 11: Amplificador convertidor de tensión a corriente diferencial.
La intensidad I que circula por Rf será
. Vemos que la intensidad
que circula por Rf es independiente del valor de la misma.
1.6.7.2. Convertidor de corriente a tensión.
En el convertidor de corriente a tensión que se muestra en la figura 12, en el cual
mediante la corriente suministrada por una fuente de tensión se logra tener una
tensión en bornes de la resistencia RL independiente del valor de dicha
resistencia.(Boylestad, 2000)
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
21
Figura 12: Amplificador convertidor de corriente a tensión.
Por la resistencia R1 no circula corriente y el voltaje de salida vendría siendo
. Se puede apreciar que el valor de la tensión en RL no depende de
la misma.
1.6.8. Amplificador integrador.
El circuito integrador es capaz de obtener a la salida una tensión que es
proporcional a la integral, con respecto al tiempo, de la tensión de entrada. Este
circuito es igual al amplificador inversor, pero en este caso la realimentación
negativa se realiza a través de un condensador y no a través de una resistencia.
La principal aplicación de estos circuitos es generar rampas de tensión que se
controlan mediante la tensión de entrada. El integrador presenta una configuración
de amplificador inversor; por tanto, si la tensión de entrada es positiva, la rampa
de salida tiene pendiente negativa, si la tensión de entrada es negativa, la rampa
de salida tiene pendiente positiva, y si la tensión de entrada es cero, la salida será
un valor de tensión constante.(Davis, 1998)
1.6.8.1. Integrador inversor con condensador flotante.
En la figura 13 se muestra el esquema de un amplificador integrador con
condensador flotante.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
22
Figura 13: Amplificador integrador con condensador flotante.
Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, vemos que:
;
Quedaría:
para
Despejando:
1.6.8.2. Amplificador Integrador no inversor.
En la figura 14 se muestra el esquema de un amplificador integrador no inversor.
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
23
Figura 14: Amplificador integrador no inversor.
Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, vemos que:
Donde:
Finalmente:
Su tensión de salida es proporcional a la integral en el tiempo de la tensión de
entrada. Es útil en instrumentación, por ejemplo, un acelerómetro nos devuelve
una señal proporcional a la aceleración de un objeto. Aplicada a un integrador, se
obtiene la velocidad de dicho objeto. Volviendo a integrar se obtiene la
posición.(Galiano, 2001)
1.6.9. Amplificador Derivador.
La construcción de un circuito derivador es muy similar a la de un integrador. La
realimentación negativa se realiza a través de una resistencia y la tensión de
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
24
entrada se aplica a la entrada inversora a través de un condensador, sustituyendo
a la resistencia que aparece en el amplificador inversor. Este circuito obtiene a la
salida la derivada de una tensión de entrada.(Galiano, 2001)
Su análisis es similar al del inversor, únicamente que la intensidad de entrada es
la correspondiente al condensador teniendo en cuenta que la diferencia de tensión
a la que está sometido es la de entrada menos la tierra virtual. Su salida es
proporcional a la derivada en el tiempo de la tensión de entrada.(Galiano, 2001)
1.6.9.1. Amplificador Derivador Inversor.
En la figura 15 se muestra un amplificador derivador inversor.
Figura 15: Amplificador Derivador Inversor.
Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, tenemos que:
CAPITULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
1.6.9.2. Amplificador Derivador no Inversor.
En la figura 16 se muestra un amplificador derivador no inversor.
Figura 16: Amplificador Derivador no Inversor.
Para encontrar una expresión para el voltaje de salida, tenemos que:
Teniendo en cuenta que:
Despejando
25
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
26
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
2.1. Introducción al MATLAB y Simulink.
MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un
programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso
particular puede también trabajar con números escalares tanto reales como
complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más
complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia
variedad de gráficos en dos y tres dimensiones.
MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio. MATLAB es un gran
programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones es muy rápido,
cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños más
adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. En otras
aplicaciones resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en
C/C++ o Fortran. En cualquier caso, el lenguaje de programación de MATLAB
siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones
técnicas, fácil de utilizar y que aumenta significativamente la productividad de los
programadores respecto a otros entornos de desarrollo. MATLAB dispone de un
código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes).
Aunque el origen de MATLAB estuvo íntimamente ligado a la manipulación y
computación de y con matrices, durante los últimos años ha evolucionado de
forma que hoy se puede considerar como un software de propósito general para
todas las ramas de la matemática y la ingeniería desde el punto de vista numérico
y computacional. También es posible el cálculo simbólico con MATLAB siempre
que se disponga del toolbox apropiado; en este caso el Symbolic toolbox. Existen
muchos otros toolboxes que, sobre la base del núcleo de MATLAB, proporcionan
funciones específicas para el cálculo numérico de ciertas partes concretas de la
matemática, la ingeniería y otras ciencias.
MATLAB posee un simulador propio, el Simulink, el cual es una extensión gráfica
de MATLAB, destinado a la modelación y simulación de sistemas lineales y no
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
27
lineales. En el Simulink los sistemas se dibujan en la pantalla como diagramas de
bloque.
La construcción de un modelo, se simplifica, con el empleo los numerosos bloques
pertenecientes a diferentes librerías. El Simulink está integrado con MATLAB y los
datos pueden ser transferidos fácilmente entre los programas
En los medios universitarios MATLAB se ha convertido en una herramienta básica,
tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como una
importante herramienta para el dictado de cursos universitarios, tales como
sistemas e ingeniería de control, álgebra lineal, procesamiento digital de
imágenes, etc. En el mundo industrial MATLAB está siendo utilizado como
herramienta de investigación para la resolución de complejos problemas
planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería.
2.2. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos I.
2.2.1. Ejemplo 1.
Dado el circuito de la figura 17, hallar el voltaje de salida (Vsal) y su ganancia (Hv).
Figura 17: Amplificador operacional ideal en configuración inversora.
R:
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
R. MATLAB:
>>M=solve('(V1-2.5)/(5*10^3)+(V1V3)/(10*10^3)=0','V1=0','V3/(10*10^3)+V3/(1*10^3)+((V3-Vsal))/(2*10^3
)=0','V1,V3,Vsal')
M=
V1: [1x1 sym]
V3: [1x1 sym]
Vsal: [1x1 sym]
>> Vsal=M.Vsal
Vsal =
-16.0
>> Vent=2.5
Vent =
2.5000
>> Hv=Vsal/Vent
Hv =
-6.4
28
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
R. SIMULINK:
Figura 18: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal en configuración
inversora.
Figura 19: Circuito equivalente del amplificador operacional ideal.
Figura 20: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
29
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
30
Figura 21: Parámetros generales de la fuente de voltaje.
2.2.2. Ejemplo 2.
Dado el circuito de la figura 22, hallar el voltaje de salida (Vsal) y su ganancia (Hv).
Figura 22: Amplificador operacional ideal en configuración no inversora.
R:
)
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
(
)
R. MATLAB:
>> V=solve('(V3-10)/1+(V3-Vsal)/2+(V3-Vsal)/3=0','(Vsal-V3)/2+Vsal/4=0','V3,Vsal')
V=
V3: [1x1 sym]
Vsal: [1x1 sym]
>> Vsal=V.Vsal
Vsal =
120/23
>> Vsal=120/23
Vsal =
5.2174
>> Vent=10
Vent =
10
31
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
32
>> Hv=Vsal/Vent
Hv =
0.5217
R. SIMULINK:
Figura 23: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal en configuración no
inversora.
2.2.3. Ejemplo 3.
Dado el circuito de la figura 24, hallar el voltaje de salida (Vsal).
Figura 24: Amplificador operacional ideal sumador.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
R:
)
)
R. MATLAB:
>> A=[41 -1;21 -1]
A=
41
-1
21
-1
>> b=[80;0]
b=
80
0
33
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
34
>> V=A\b
V=
4.0000
84.0000
R. SIMULINK:
Figura 25: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal sumador.
2.2.4. Ejemplo 4.
Dado el circuito de la figura 26 hallar el voltaje de salida (Vsal) y su ganancia (Hv).
Figura 26:Amplificador operacional ideal inversor junto a uno no inversor.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
R:
(
R.MATLAB:
>> M=solve('V1=0','(V1-2.5)/1+((V1-V3))/2+(V1Vsal)/3=0','V4=4/(4+5)*Vsal','V3=V4','V3,V4,Vsal,V1')
M=
V1: [1x1 sym]
V3: [1x1 sym]
V4: [1x1 sym]
Vsal: [1x1 sym]
>> Vsal=M.Vsal
Vsal =
35
36
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
-4.5
>> Hv=Vsal/2.5
Hv =
-1.8
R.SIMULINK:
Figura 27: Archivo .mdl de un amplificador operacional ideal inversor junto a uno
no inversor.
2.3. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos II.
2.3.1. Ejemplo 1
En el circuito mostrado en la figura 28, considere ideal el amplificador operacional.
Determine
si
.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 28: Amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal.
R:
Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias:
Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia:
Figura 29: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
Por LKC:
Ordenando la ecuación:
37
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Por tanto:
R. MATLAB:
>> format
>>Vo=solve('((-sqrt(-1)*6-Vo)/2+(-sqrt(-1)*6-Vo)/(-sqrt(-1)*2)+(-sqrt(1)*6)/1=0)','Vo')
Vo =
- 12*i - 6
>> Vo=-12*i-6
Vo =
-6.0000 -12.0000i
>> magnitudVo=abs(Vo)
magnitudVo =
13.4164
>> anguloVo=angle(Vo)*180/pi
anguloVo =
-116.5651
R. SIMULINK:
38
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 30: Archivo. mdl para el análisis del amplificador operacional ideal.
Excitación sinusoidal.
Figura 31: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
39
40
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 32: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal.
Figura 33: Señales de entrada
y de salida v
amplificador operacional.
del circuito con
2.3.2. Ejemplo 2.
El circuito mostrado en la figura 34 es un integrador con un resistor de
realimentación. Calcular
si
.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 34: Amplificador operacional como integrador. Excitación sinusoidal.
R:
Este circuito puede ser considerado también como un amplificador inversor.
Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias:
Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia:
Figura 35: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
41
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Por tanto:
R. MATLAB:
>> Vs=2
Vs =
2
>> Zi=50*10^3
Zi =
50000
>> Zc=1/(j*4*10^4*10*10^-9)
Zc =
0 -2.5000e+003i
>> Zf=((100*10^3)*Zc)/(100*10^3+Zc)
Zf =
6.2461e+001 -2.4984e+003i
>> Vo=-Zf/Zi*Vs
Vo =
-0.0025 + 0.0999i
>> magVo=abs(Vo)
magVo =
0.1000
>> anguloVo=angle(Vo)*180/pi
anguloVo =
91.4321
42
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
R. SIMULINK:
Figura 36: Archivo .mdl para el análisis del amplificador operacional como
integrador. Excitación sinusoidal.
Figura 37: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
43
44
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 38: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal.
Figura 39: Señales de entrada
y de salida
amplificador operacional.
del circuito con
2.3.3. Ejemplo 3.
En el circuito mostrado en la figura 40, considere ideal el amplificador operacional.
Determine
si
.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 40: Amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal.
R:
Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias:
Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia:
Figura 41: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
En la entrada inversora:
45
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Ordenando la ecuación:
(1)
En el nodo V1:
Ordenando la ecuación:
Sustituyendo (1) en (2):
Ordenando la ecuación:
Por tanto:
R. MATLAB:
>> M=solve('V1/2+Vo/(-sqrt(-1)*2)=0','(V1-4*(cos(-30*pi/180)+sqrt(-1)*sin(30*pi/180)))/1+V1/(-sqrt(-1)/2)+V1/2+(V1-Vo)/2=0','V1,Vo')
M=
V1: [1x1 sym]
Vo: [1x1 sym]
>> Vo=M.Vo
Vo =
46
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
3^(1/2)*((16*i)/25 + 12/25) + 16/25 - (12*i)/25
>> Vo=3^(1/2)*((16*i)/25 + 12/25) + 16/25 - (12*i)/25
Vo =
1.4714 + 0.6285i
>> magnitudVo=abs(Vo)
magnitudVo =
1.6000
>> anguloVo=angle(Vo)*180/pi
anguloVo =
23.1301
R. SIMULINK:
Figura 42: Archivo .mdl para el análisis del amplificador operacional ideal.
Excitación sinusoidal.
47
48
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 43: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
Figura 44: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal.
Figura 45: Señales de entrada
y de salida
amplificador operacional.
del circuito con
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
49
2.3.4. Ejemplo 4.
En el circuito mostrado en la figura 46, considere ideal el amplificador operacional.
Determine
si
.
Figura 46: Amplificador operacional ideal. Excitación sinusoidal.
R:
Representando la fuente en forma fasorial y los elementos por sus impedancias:
Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia:
Figura 47: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
Por LKC en el nodo Vo:
(1)
Por LKC en el nodo V:
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
(2)
Sustituyendo (1) en (2):
V
Por tanto:
V
R. MATLAB:
>>M=solve('(Vo-V)/1+Vo/((-sqrt(-1)/5))=0','(V-3)/(1/2)+(V-Vo)/1+(V-Vo)/(-sqrt(1)/5)=0','V,Vo')
M=
V: [1x1 sym]
Vo: [1x1 sym]
>> Vo=M.Vo
Vo =
- (45*i)/377 - 69/377
>> Vo=- (45*i)/377 - 69/377
Vo =
-0.1830 - 0.1194i
>> magnitudVo=abs(Vo)
magnitudVo =
0.2185
>> anguloVo=angle(Vo)*180/pi
anguloVo =
-146.8887
50
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
R. SIMULINK:
Figura 48: Archivo .mdl para el análisis del amplificador operacional ideal.
Excitación sinusoidal.
Figura 49: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
51
52
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 50: Parámetros de la fuente de voltaje sinusoidal.
Figura 51: Señales de entrada
y de salida
amplificador operacional.
del circuito con
2.4. Ejercicios resueltos para la asignatura Circuitos Eléctricos III.
2.4.1. Ejemplo 1.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 52 es ideal, encontrar
si
.
Figura 52: Circuito con amplificador operacional ideal.
R:
Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s:
Figura 53: Circuito equivalente en el campo s.
Aplicando LKC en la entrada inversora:
Ordenando la ecuación:
53
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Aplicando LKC:
Ordenando la ecuación:
Sustituyendo (1) en (2):
Despejando
Donde:
R. MATLAB:
:
54
55
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
>> M=solve('(Vc+Vo)/2+Vo/6=0','(Vc+Vo-1/s)/1+(Vc+Vo)/2+Vc/(8/s)=0','Vc,Vo')
M=
Vc: [1x1 sym]
Vo: [1x1 sym]
>> Vo=M.Vo
Vo =
-6/(s^2 + 3*s)
>> Vo=ilaplace(Vo)
Vo =
2/exp(3*t) - 2
Aunque la respuesta anterior es correcta, su forma difiere de la obtenida
analíticamente. Mediante las siguientes transformaciones se obtiene la respuesta
deseada:
R. SIMULINK:
Figura 54: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional.
.
56
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 55: Circuito equivalente del amplificador operacional ideal.
Figura 56: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
Figura 57: Gráficas de voltaje de entrada
y voltaje de salida
contra
2.4.2. Ejemplo 2.
Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 58 es ideal, encontrar
si
.Suponga que el voltaje en el capacitor inicialmente era de
4V.
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 58: Circuito con amplificador operacional ideal.
R:
Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s:
Al ser
se tiene que:
Figura 59: Circuito equivalente en el campo s.
Aplicando LKC en la entrada inversora:
57
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Sustituyendo (1) en (2):
Ordenando la ecuación:
Donde:
De esta manera
es:
R. MATLAB:
>> M=solve('Vs=1/(s+3)','Vs/2+1+Vo/(4/s)=0','Vs,Vo')
M=
Vo: [1x1 sym]
Vs: [1x1 sym]
>> Vo=M.Vo
Vo =
-(4*s + 14)/(s^2 + 3*s)
>> Vo=ilaplace(Vo)
Vo =
58
59
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
2/(3*exp(3*t)) - 14/3
Ajustando la expresión:
R. SIMULINK:
Figura 60: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional.
.
Figura 61: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
60
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 62: Menu del Powergui y la herramienta de este para la introducción de las
condiciones iniciales
Figura 63: Gráficas de voltaje de entrada
y voltaje de salida
contra
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
61
2.4.3. Ejemplo 3.
Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 64 es ideal, encuentre
si
.
Figura 64: Circuito con amplificador operacional ideal.
R:
Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s:
Figura 65: Circuito equivalente en el campo s.
Aplicando divisor de voltaje:
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Aplicando LKC en el nodo V:
Ordenando la ecuación:
Sustituyendo (1) en (2):
Despejando
:
Donde:
Finalmente
:
R. MATLAB:
>> M=solve('Vo=(5/s)/(1+5/s)*V','(V-1/s)/1+(V-Vo)/1+(V-Vo)/(1/s)=0','V,Vo')
62
63
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
M=
V: [1x1 sym]
Vo: [1x1 sym]
>> Vo=M.Vo
Vo =
5/(s^3 + 2*s^2 + 5*s)
>> Vo=ilaplace(Vo)
Vo =
1 - (cos(2*t) + sin(2*t)/2)/exp(t)
Organizando la expresión:
R. SIMULINK:
Figura 66: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional.
.
64
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 67: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
Figura 68: Gráficas de voltaje de entrada
y voltaje de salida
contra
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
2.4.4. Ejemplo 4.
Asumiendo que el amplificador operacional de la figura 69 es ideal, encontrar
si
.
Figura 69: Circuito con amplificador operacional ideal.
R:
Transformando el circuito del dominio del tiempo al campo s:
Al ser
se tiene que:
Figura 70: Circuito equivalente en el campo s.
Aplicando LKC:
65
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Sustituyendo (1) en (2):
Al ser:
V
Entonces:
R. MATLAB:
>> M=solve('Vs=1/(s+4)','Vc=8*Vs/(s+4)','Vo+Vc=0','Vc,Vs,Vo')
M=
Vc: [1x1 sym]
Vo: [1x1 sym]
Vs: [1x1 sym]
>> Vo=M.Vo
Vo =
-8/(s^2 + 8*s + 16)
>> Vo=ilaplace(Vo)
Vo =
-(8*t)/exp(4*t)
Acomodando la expresión quedaría:
Vo =
66
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
67
R. SIMULINK:
Figura 71: Archivo .mdl para el análisis del circuito con amplificador operacional.
Figura 72: Parámetros generales para ejecutar la simulación.
68
CAPITULO 2. EJEMPLOS RESUELTOS.
Figura 73: Gráficas de voltaje de entrada
y voltaje de salida
contra
69
CONCLUSIONES
CONCLUSIONES
1. El MATLAB y Simulink son software que están a la altura de la compresión
de los usuarios para solucionar Circuitos Eléctricos con Amplificadores
Operacionales Ideales, porque permiten un ambiente de resultados gráficos
de fácil comprensión y análisis.
2. El material complementario diseñado constituye una guía eficaz para la
solución de Circuitos Eléctricos con Amplificadores Operacionales Ideales
en MATLAB y Simulink.
3. La utilización del MATLAB y el Simulink, en la
solución de Circuitos
Eléctricos con Amplificadores Operacionales Ideales, sirve de apoyo a otras
investigaciones referentes al tema, donde se requiera resolver problemas
de mayor complejidad.
70
RECOMENDACIONES
RECOMENDACIONES
1. Hacer uso del material complementario diseñado, permitiendo la consulta
del mismo a través de los sitios creados para este propósito.
2. Resolver, en futuros trabajos, ejercicios que abarquen los Amplificadores
Operacionales Ideales y que permitan dar solución a las problemáticas de
la práctica profesional.
71
BIBLIOGRAFÍA
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