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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA
Departamento de Fı́sica
FIS120
1er Semestre 2011
CONTROL 2 - FIS120 - PAUTA.
NOMBRE:
RUT:
PROFESOR:
INSTRUCCIONES: I. Tiempo: 45 minutos. II. Sea lo más claro posible, justificando claramente los
conceptos utilizados para responder cada pregunta y obtener cada uno de los resultados. III. Las preguntas
(1) y (2) sólo se consideraran correctas si tanto la respuesta como la justificación lo están.
(1) (20pts.) “La navidad se adelantó”. Suponga que usted tiene un juego de luces de navidad que puede
conectar a una fuente continua de 12[V]. El juego de luces tiene 10 ampolletas cada una con valores
nominales (12[V ], 5[W ]).
Entonces, para cada una de las siguientes aseveraciones determine si es verdadera o falsa.
I: Se forma un circuito con las 10 ampolletas en serie y se conecta a la fuente, entonces podemos asegurar
que la potencia efectiva en cada ampolleta es 5[W ].
Respuesta
Falso. Los valores nominales, (12[V ], 5[W ]), nos indican que si la ampolleta tiene un caı́da de potencial de
12[V ], su potencia disipada será de 5[W ]. Entonces, si las 10 ampolletas están en serie con una fuente de
12[V ] (la suma de las caı́das de potencial es igual al potencial de la fuente 12[V ]), cada una tendrá una
caı́da de potencial menor a 12[V ] (especı́ficamente 1, 2[V ]) con lo cual su potencia disipada será menor a
5[W ] (en este caso 0,05[W]).
II: Se forma un circuito con las 10 ampolletas en paralelo y se conectan a la fuente. Si una de las ampolletas
se quema, entonces todas las otras ampolletas se apagarán.
Respuesta
Falso. Al estar las ampolletas conectadas en paralelo y quemarse una de ellas, el circuito de corriente se
corta por la rama donde está la ampolleta, pero las otras siguen conectadas a la fuente, por lo tanto siguen
prendidas y con el mismo brillo.
(2) (20pts.) La figura adjunta muestra el circuito “ε−R1 −
R2 − C” y el ciclo de carga del condensador (carga en
función del tiempo), en el gráfico se especifican tres
tiempos, t1 , t2 y t3 , donde t1 < t2 < t3 . Inicialmente
el condensador tiene una carga 0, 2Q, donde Q corresponde a su nivel de carga luego de largo tiempo. El
interruptor (S1 ) se cierra en t = 0 y comienza el ciclo
de carga.
S
R1
Q (t)
Q
ε
+
--
R2
C
0,2Q
tiempo
t1
t2
t3
Entonces, para cada una de las siguientes aseveraciones determine si es verdadera o falsa.
I: Si comparamos la potencia disipada en la resistencia R2 en los instantes t1 y t2 , entonces podemos decir
que será mayor en el instante t1 .
Respuesta
V2
Falso. La potencia disipada en la resistencia R2 se puede determinar como P2 = i22 R2 = R22 , donde V2
es la diferencias de potencial es la resistencia 2. Como la resistencia 2 y el condensador están en paralelo,
sus diferencias de potencial son iguales en todo instante de tiempo. Entonces: Sabemos que VC = qCC , del
gráfico vemos que la carga en t2 es mayor que en t1 , por lo tanto VC (t2 ) > VC (t1 ), lo que indica que
V2 (t2 ) > V2 (t1 ) ⇒ P2 (t2 ) > P2 (t1 ).
II: Si ambas resistencias fueran iguales (R1 = R2 ), entonces podrı́amos decir que la carga del condensador
en el instante t3 es Q = 0, 5Cε.
Respuesta
Verdadero. En el instante t3 observamos del gráfico que el condensador ya se encuentra cargado, por lo tanto
la corriente que circula por él es cero (pendiente del gráfico). Dado lo anterior, las dos resistencias quedan
en serie, al ser ambas iguales y circular por ellas la misma corriente, su diferencia de potencial es la misma
(iR1 = iR2 ). Entonces, una ley de malla en el circuito: ε − V1 − V2 = 0, donde V1 = V2 , reemplazando en la
ecuación: V2 = 0, 5ε, como la resistencia 2 y el condensador están en paralelo: Q = CVC (t3 ) = CV2 (t3 ) =
0, 5Cε
1
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S1
R
(3) La figura muestra un circuito con dos baterı́as iguales (ε), 8 resistencias iguales (R)
y dos condensadores de igual capacidad
(C). Inicialmente los 4 interruptores se encuentran abiertos y los dos condensadores
descargados.
Sea I(t) al corriente que pasa por la baterı́a de la derecha, como se indica en la
figura.
S2
R
ε
+
R
+
R
R
ε
C
I(t)
S1
R
R
S2
R
C
En t = 0 se cierran los dos interruptores denominados S1 , manteniendo abierto los dos S2 .
En t = t1 se vuelven a abrir los dos interruptores S1 y se cierran los dos S2 .
a. (20pts.) ¿Cuál es la corriente I(t), para 0 < t < t1 ?
Respuesta
Al cerrar los interruptores S1 y mantener abiertos S2 , el circuito relevante es:
R
R
I
I
+
ε
R
+
R
ε
+
ε
+
R/2
I(t)
ε
I(t)
R
R
Reduciendo el equivalente de las dos resistencias en paralelo y aplicando las leyes de Kirchhoff:
ε − I2
R
2
= 0
(1)
R
− I1 R = 0
2
I1 + I(t) − I2 = 0
(2)
ε − I1 R − I2
De (1) tenemos I2 =
2ε
R,
(3)
reemplazando en (2):
ε − I1 R −
Luego si I1 = 0, entonces de (3) I(t) = I2 =
2ε R
− I1 R = 0
R 2
I1 = 0
2ε
R
b. (20pts.) Justo después de t1 ¿Cuál es la corriente I(t)?
Respuesta
Justo después de t1 el circuito relevante es:
R
+
ε
I(t)
R
R
R
C
C
+
R
ε
R
R
R
+
R
I(t)
ε
I(t)
R
R
+
ε
Req
I(t)
Como tomamos un tiempo muy pequeño, donde los condensadores comienzan su ciclo de carga, el funcionamiento de los condensadores es equivalente a un cable. Entonces, el circuito se puede reducir encontrando
un equivalente de las resistencia en paralelo y luego en serie como muestra a figura. Finalmente la resistencia
2ε
equivalente es Req = 3R
2 , con lo cual la corriente es I(t) = 3R .
c. (20pts.) Luego de un tiempo largo después de t1 . Determine la suma de las cargas en ambos condensadores (como función de ε y C)
Respuesta
Luego de un largo tiempo después de t1 , podemos considerar que los condensadores ya están cargados, luego
el circuito relevante es:
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R
+
ε
I(t)
R
R
R
C
C
+
R
ε
I(t)
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R
R
R
V
V
+
R
ε
I(t)
R
R
+
ε
Req
I(t)
ε
Al reducir el circuito equivalente, llegamos a que la resistencia equivalente es Req = 3R, luego I(t) = 3R
.
Para determinar la carga en cada condensador necesitamos su diferencia de potencial. Aplicando la ley de
malla al segundo circuito tenemos:
ε − I(t)R − V1 = 0
(4)
V2 − I(t)R = 0
(5)
Reemplazando el valor de I(t) calculado anteriormente y despejando:
ε
2ε
V1 = ε − I(t)R = ε −
R=
3R
3
ε
ε
R=
V2 = I(t)R =
3R
3
2Cε
Q1 = CV1 =
3
Cε
Q2 = CV2 =
3
Q = Cε
3
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)