Download conjuntos numéricos

2014
Escuela Normal 9-002”Tomás Godoy Cruz” Nivel Superior
Ingreso Profesorado de Educación Inicial y Educación Primaria 2014
Profesoras: María Loreto Calot, Silvina Fondere y Flavia Minatelli
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
Alderete, J. y otros. (1995)”Matemática para la Educación Básica Serie Roja: El mundo de
los números y la aritmética”
Dicesare Mirta, Caruso Susana, Fondere, Silvina apuntes de clase: “Nociones de
Geometría del plano”,
Revista 17–noviembre 2008 – SECCIÓN MATEMÁTICA Y CURRICULUM: “Los números decimales
en la EGB”. www.mendomatica.mendoza.edu.ar
Revista 17–noviembre 2008 – SECCIÓN TEMAS DE MATEMÁTICA: “Los números decimales”.
www.mendomatica.mendoza.edu.ar
Revista Nº 18 – Abril 2009 – Sección Currículum y Matemática 12
www.mendomatica.mendoza.edu.ar
Revista Nº 18 – Abril 2009 – Sección Currículum y Matemática 9
www.mendomatica.mendoza.edu.ar
María Cristina Bisbal de Labato, y otros. Serie Horizontes. Ciclo Básico de Educación
Secundaria. Escuelas Rurales. “MATEMÁTICA. CUADERNO DE ESTUDIO 1 Y 2”.
LIBROS DE LOS EJERCICIOS
Liliana Laurito y otros. Editorial Puerto de Palos: “MATEMÁTICA 8 Activa”
Adriana Berio y otros. Editorial Puerto de Palos. MATEMÁTICA 8 3º E.S.B. en estudio Luis Garaventa y otros. Editorial Aique: “CARPETA DE MATEMÁTICA 8”.
Mariana Aragón y otros. Editorial Estrada. “MATEMÁTICA Carpetas de actividades 8”.
SELECCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO
Profesoras:
Loreto Calot,
Silvina Fondere
Flavia Minatelli
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PRESENTACIÓN DEL MATERIAL
ESTIMADO ALUMNO
El material que encontrarás a continuación contiene tres bloques temáticos,
el primer bloque presenta una selección de contenidos de Sistemas Numéricos, el
segundo bloque presenta una selección de contenidos de Geometría (nociones del
plano) y finalmente el tercer bloque presenta algunos problemas para resolver con
interpretación, lectura y análisis de gráficos de funciones, tablas, enunciados y
fórmulas.
Esta selección procura fomentar la actividad de lectura comprensiva, que
conlleva al alumno a trabajar en Matemática con el razonamiento, las distintas formas
de comunicación y los problemas, la Matemática es mucho más saber hacer que
meramente saber.
Cada bloque comienza con una serie de actividades que puedes emprender
con los instrumentos que ya dominas, hay ejemplos en el marco teórico que te
ayudarán a internalizar los diferentes conceptos y a continuación encontrarás
numerosos problemas con complejidad creciente.
Te pedimos que leas comprensivamente los textos presentados y que
resuelvas los problemas de cada bloque. En los encuentros de febrero podremos
trabajar sobre las temáticas del cuadernillo para que aclares dudas o reafirmes tus
conclusiones a través de las explicaciones que recibirás del profesor especializado a
cargo
 La excelencia te convierte en una persona de éxito, determinada, que sabe todo lo
que hace y todo lo que quiere, porque el lugar donde hoy estás no es tu llegada sino
tu lugar de partida hacia el cumplimiento de tu sueño.
BERNARDO STAMATEAS
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MARCO TEÓRICO
 Esfuérzate, sé valiente y te darás cuenta de que cuando empieces a moverte, todo lo
que hagas va a tener resultados extraordinarios.
BERNARDO STAMATEAS
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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.
Para designar al conjunto de los números naturales utilizamos el símbolo lN. Si definimos a este
conjunto por extensión (haciendo abuso de la notación), será:
lN = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Habrás notado que algunos autores excluyen el cero del conjunto de los naturales. Debes entender
que se trata de una convención. En nuestro caso adoptamos la otra, justificada por el hecho de que al
considerar el cero como número natural, (0ϵ IN), la relación “menor o igual que” (≤) definida en el
conjunto IN, resulta ser una relación de orden.
Para hacer referencia a los números naturales no nulos, tenemos un símbolo: IN *  1,2,3,... , es decir
IN *  IN  0 .
Cuando hablamos de los números naturales es conveniente observar que se trata de un conjunto, y se
presentan ordenados en un una sucesión
Algunas características de los naturales son:
 Se parte de un elemento especial: el cero.
 Tampoco se cierra sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después
del 12 sigue el número 1, de partida.
 Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.
 No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, es discreto. En
otras palabras entre dos números naturales existe un número finito de números
naturales.
Para los niños, estas características pueden partir, hasta quinto año, de la observación guiada e
informal y en ejercicios que las evidencien, y darse en forma explícita en sexto de la siguiente manera:
 Tiene primer elemento: el cero.
 Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.
 Todo número tiene antecesor y sucesor, menos el cero que sólo tiene sucesor
Recta numérica.
Resulta muy útil tener una imagen geométrica para IN, esto es, asociar a cada número natural un
punto de una recta en la cual previamente se fijó una escala. Entre dos puntos naturales existen
infinitos puntos de la recta a los cuales no les corresponde ningún número natural. La recta numérica
se irá completando con números de otra naturaleza.
OPERACIONES DEFINIDAS EN lN.
Adición.
Es una operación definida en lN y es: a + b = c donde a, b y c son números naturales.
Los números que intervienen reciben los siguientes nombres:
372 + 421=
SUMANDOS
793
SUMA
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Propiedades fundamentales:

Asociativa: ( a , b , c )( a , b , c  IN ) :  a  b  c )  ( a  b   c  a   b  c 
Para toda terna a, b, c de números naturales se cumple que
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa: ( a , b )( a , b  IN ) :  a  b  b  a 
Para todo par a y b de números naturales, se cumple que a + b = b +a

Existencia del elemento neutro:
Es el 0 (cero) porque a + 0 = 0 + a = a. Esto se cumple para todo número natural a.
Todas las propiedades que se mencionaron son demostrables, sin embargo a lo largo de la escuela
primaria y la secundaria inclusive, las aceptaremos simplemente como válidas y las verificaremos con
ejemplos numéricos. Atención!!: Demostrar y verificar son cosas totalmente diferentes.
Multiplicación.
Es la operación definida de lN en lN, llamada producto entre a y b, donde a y b son números
naturales y b ≠ 0 no es otra cosa que la suma reiterada de a, b veces. Esto es:
a x b = a + a + a + ........
b veces el sumando a
La definición de producto queda completa estableciendo que a x 0 = 0 x a = 0.
Los números que intervienen en la multiplicación se llaman:
372 x 2=
FACTORES
744
PRODUCTO
Propiedades fundamentales :

Asociativa: ( a , b , c )( a , b , c  IN ) :  a  b  c )  ( a  b   c  a   b  c 
Para todo a, b, c naturales, es a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

Conmutativa: ( a , b )( a , b  IN ) :  a  b  b  a 
Para todo a y b de lN, es: a x b = b x a

Existencia del elemento neutro:
Es el 1 (uno) porque a x 1 = 1 x a = a . Esto se cumple para todo natural.

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:
( a , b , c )( a , b , c  IN ) :  a  b   c   a  c    b  c 
Sean a, b, y c números naturales cualesquiera, es (a + b) x c = a x c + b x c
Potenciación
La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación.
an = a x a x a x ...
n me indica el número de veces que multiplico el número a
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Los números que intervienen en la potenciación se llaman:
exponente
an = b
base
potencia
En estas escrituras hay algunas convenciones:

Cuando a es un número natural diferente de cero: a0= 1

Cuando a es un número natural cualquiera: a1 = a
Además recordemos que:
 a2 se lee “a elevado a la dos” o “a elevado al cuadrado”
 a3 se lee “a elevado a la tres” o “a elevado al cubo”
¿Te preguntaste de dónde aparecen estas expresiones?
La primera de ellas, por ejemplo, se explica por el hecho de calcular el área de un cuadrado cuyo
lado tiene longitud a; en cuanto a la segunda nos permite expresar el volumen de un cubo con arista
de longitud a.
Recuerda que cuando un número se representa como una potencia, se dice que está escrito con
“notación exponencial”.
ORDEN – COMPARACIÓN.
En el conjunto de los IN (naturales), la igualdad: a  x  b nos sugiere una condición: a  b , que se lee “
a es menor o igual que b”.
En efecto: decimos que un número natural a es menor o igual que otro b, si y solo sí, existe un
número natural x, tal que sumado a a da como resultado b.
  a , x , b )   a . x .b  IN  : a  x  b  a  b
Cuando comparamos dos números naturales por ≤ estamos diciendo que hay dos posibilidades
(excluyentes una de la otra):
a  b o a=b
En el caso a ≤ b, con b ≠ a, también se dice que “a es menor estrictamente que b”.
Análogamente a ≥ b, que se lee: “a es mayor o igual que b” nos permite indicar a  b o a=b
Ten en cuenta que es lo mismo decir:
a b
6 9
o
o
ba
96
Lo importante es que dados dos números naturales a, b se verifica una y sólo una de las
siguientes afirmaciones: a<b ; a>b ; a=b (en este caso estamos indicando que a y b representan
el mismo número).
También se dice que todo número natural siempre se puede comparar por la condición a  b o a  b .
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La siguiente lista consigna todas las posibilidades que podemos tener en cuenta.
a < b; a > b;
a ≤ b; a ≥ b; a < b; a > b; a ≤ b; a ≥ b; a ≠ b;
a=b
La recta numérica facilita la interpretación de cada una de las situaciones que figuran en la lista, por
cuanto nos suministran información referente a la posición relativa de los dos puntos correspondientes.
Observando la posición relativa de la representación gráfica de dos números naturales en la recta
numérica nos damos cuenta que:
Si x< y, entonces el punto asociado a x queda, en la recta de números, a la izquierda del
correspondiente a y.
Si x>y, entonces el punto asociado a x queda, en la recta de números a la derecha de del
correspondiente a y.
Mediante la condición x ≤ y, definimos una relación que es un orden.
x
y
Posibles cálculos en IN
Sustracción
Dados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia a  b
a un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.
Es evidente que hay una restricción porque en la definición se habla de número natural c, si existe,
que puede o no existir. Es necesario que el minuendo no sea menor que el sustraendo. Ahora si es
a≥b en tonces:
abc  cba
Recordemos los nombres de los números que intervienen en la sustracción:
3 7 2
-
Minuendo
1 5 2
Sustraendo
2 2 0
Resta o diferencia
¿Por qué nos salteamos la resta a la hora de definir las operaciones?
Porque la sustracción no es una operación dentro del conjunto de los naturales, aunque sí es un
cálculo.
¿Cuál es el resultado de restar 5 – 8? ¿La cuenta tiene solución si trabajamos con los números
naturales?
Sabemos que la suma de dos números naturales existe y siempre es única; lo mismo podemos
afirmar del producto entre dos números naturales. Sin embargo no pasa lo mismo cuando hablamos
de la resta entre números naturales como pudimos observar en el ejemplo mencionado. Es por ello
que no podemos decir que la resta en una operación sino sólo un cálculo.
En síntesis: para hablar de una operación es necesario que el cálculo este definido para todo
número que pertenezca al conjunto numérico en el que estamos trabajando.
Aunque no sea una operación en el conjunto IN, hay que saber calcular restas y manejar el
vocabulario que corresponde.
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Observa el análisis de la suma 3+4 y la diferencia 7- 4:
3
+
4
=
7
la suma o adición.
Los términos
7
-
4
la diferencia o resta.
=
3
Por todo lo dicho resulta que expresiones como:
a  x  b, con a y b de IN,
Llamadas ecuaciones aditivas en x, tienen a veces, su conjunto solución vacío.
Ejemplo:1) x+1200=1720. ¿Cuál es el valor de x?
+1200
x
1720
-1200
2) x+8=6. ¿Cuál es el valor de x? Ninguno. S  
División.
Dados dos números naturales a y b , con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, se
llama cociente a/b a un número natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica por
el divisor.
Esto es:
Recordemos:
a / b  c significa que a  c  b
divisor
dividendo
3251
051
resto
8
406
3
cociente
El cociente a/b también es posible expresarlo a : b o
Lo mismo que en la sustracción, la división no es operación dentro de los naturales.
División entera – división exacta
División exacta es aquella donde el cociente es un número entero y el resto es igual a cero. Ejemplo:
12 :4 =3
División entera: es aquella donde el cociente es entero y el resto es igual o mayor que cero y menor
que el divisor.
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Esto es:
Si
D
d
r
c
D  d c  r
y
0rd
El genio es un uno por ciento de inspiración, y un noventa y nueve por
ciento de transpiración. Thomas Alva Edison (1847-1931).
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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
Sólo haremos una mención superficial respecto de estos números.
Si bien los números enteros recién fueron usados por los matemáticos con la
misma categoría que los números naturales en el siglo XVlII, te lo
presentamos en segundo término porque para encarar el tema de conjuntos
numéricos elegimos partir de los números naturales y por sucesivas ampliaciones llegar a los enteros,
decimales y racionales.
ℕ⊂ℤ⊂
⊂ℚ⊂ℛ
   
0
Para designar al conjunto de los números enteros utilizamos la letra ℤ. El mismo está formado por los
enteros positivos ( Z  ), el cero y los enteros negativos ( Z  ).
 
Por extensión, y haciendo abuso de la notación, este conjunto será:
  3; 2; 1;0; 1;2; 3; 4;...
Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Para expresar un número negativo utilizamos el
signo “–“ que tiene un significado diferente al signo negativo que expresa una sustracción. Lo mismo
ocurre con el signo “+”, aunque, por convención, cuando un número es positivo el signo no se coloca.
Los números enteros resuelven el problema de la sustracción y de las ecuaciones del tipo:
a  x  b con a  b . Ejemplo: 6  x  4 ; dentro de los naturales 4  6  no tiene solución, sin embargo
en el conjunto de los enteros es 4  6  2
Además este nuevo conjunto numérico permite interpretar diversas situaciones: fechas anteriores al
nacimiento de Cristo; distancias bajo el nivel del mar; saldo deudor; las pérdidas de una empresa;
temperaturas bajo cero etc.
Por ser una ampliación de los naturales, en este nuevo conjunto siguen vigentes las operaciones
válidas en el conjunto de los naturales, lo mismo que sus propiedades características.
A las propiedades conocidas, se le agregan:
Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tal que la suma del número y su opuesto es
cero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es –3 entonces 3 + (-3) =0. De la misma forma el opuesto de –4 es
4, entonces (-4) + 4 = 0
Con esta última propiedad se ha ganado una operación: la sustracción.
Características:
 No hay ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito.
 No existen números enteros intercalados entre los de la sucesión: es no denso o
discreto.
 Todo número tiene antecesor y sucesor.
 Todo número tiene su opuesto.
 El cero es negativo y positivo a la vez.
Recta numérica.
En la recta numérica se representan el cero, los números enteros negativos (a la izquierda) y los
números enteros positivos (a la derecha). Recuerda que la recta esta graduada.
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-3
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero.
La distancia que existe entre un número y el cero se llama módulo o valor absoluto. Por lo tanto los
números opuestos tienen el mismo módulo.
Para expresar el módulo de un número se utilizan las barras de valor absoluto.
Ejemplo:
l3l=3
y
l –3 l = 3
El 3 y el –3 están a una distancia de tres unidades del cero.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.
Adición.
Para adicionar números enteros tendremos en cuenta las siguientes indicaciones:
 Si los dos tienen igual signo (son los dos positivos o los dos negativos), sumamos sus módulos y
al resultado le colocamos el mismo signo que tienen los sumandos.
Ejemplos:
12 + 4 = 16
-12 + (-4) = -16
 Si los sumandos tienen distinto signo resto sus módulos y al resultado le colocamos el signo del
que tiene el sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
15 + (-3) = 12
-15 + 3 = -12
 La adición en Z cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del
elemento neutro, existencia del elemento inverso aditivo u opuesto.
Propiedades de la adición
Propiedad
conmutativa
El
orden
de
los
sumandos no altera la a + b = b + a
suma.
Propiedad asociativa:
Dados dos o más
números
enteros
la
suma final no varía si se a + b + c = (a + b) + c = a +( b + c)
reemplazan
varios
sumandos por su suma
ya efectuada.
Ley
del
neutro
elemento Existe en el conjunto Z,
el elemento cero que a + 0= 0 + a = a
sumado
a
cualquier
número entero, no altera
la suma.
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Ley
del
opuesto
elemento Todo
elemento
del
conjunto Z, admite un
opuesto, tal que sumado a + (-a)= (-a) + a = 0
al número dado, da por
resultado cero.
Multiplicación.
Cuando multiplicamos dos números enteros debemos respetar las siguientes reglas de los signos:
 Al multiplicar dos factores de igual signo (los dos positivos o los dos negativos) el resultado es
positivo.
 Al multiplicar dos factores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negativo) el resultado es
negativo.
  
  
  
   
La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del
elemento neutro, distributiva con respecto a la adición y sustracción. (Ver cuadro de propiedades.)
Propiedades de la multiplicación
Propiedad
conmutativa
El orden de los factores no a . b = b . a
altera el producto.
Propiedad
asociativa:
Dados dos o más números
enteros el producto final no
varía si se reemplazan varios a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)
factores por su producto ya
efectuado.
Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el
elemento
uno
que
neutro
multiplicado
a
cualquier 1 . 0= 1 . a = a
número entero, no altera el
producto.
Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el
elemento
cero
que
absorbente
multiplicado
a
cualquier a . 0= 0. a = 0
número entero, da por
resultado cero.
Propiedad
El producto de un número
distributiva de la entero
por
una
suma d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c
multiplicación
algebraica,
puede
ser
respecto
de
la obtenido calculando la suma (a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d
suma y la resta
de los productos de cada
término de la suma por el
factor considerado.
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Sustracción.
La sustracción no es más que un caso particular de la adición.
 Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.
a – b = a + (- b)
Ejemplos:
200 – (-150) = 200 + (+150) =350
- (+150) = 100 + (-150) = - 50
Suma algebraica.
Se denomina suma algebraica a la sucesión de adiciones y sustracciones.
Para resolver una suma algebraica se procede así: a la suma de los números precedidos por el signo
“+” se le resta la suma de los números precedidos por los signos “-”
Ejemplos:
-17 – 8 - 5 + 3 + 21 – 12 + 5 =
(21 + 3 ) – (17 + 8 +12) =
24
-
37
= -7
Si un mismo número está sumando y restando en el mismo miembro lo puedo cancelar.
Supresión de paréntesis.
Recuerda :
 Todo paréntesis precedido del signo + se pueden eliminar sin cambiar el signo de los términos que
están encerrados en él.
a)
2 + (11 - 4) = 2 + 11 - 4
2+
7
= 13 - 4
9 = 9
 Todo paréntesis precedido del signo - se pueden eliminar cambiando el signo de todos los
términos que están encerrados en él.
b)
12 - (11 - 4) = 12 - 11 + 4
12 - 7
=
1 +4
5
= 5
Si en el ejercicio aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se suprimen en ese orden, aplicando las
mismas reglas de supresión de paréntesis.
POSIBLES CÁLCULOS CON ENTEROS
División.
Para dividir números enteros, dividimos sus módulos y al cociente le colocamos el signo que
corresponde según la regla de los signos de la multiplicación.
 : 
 : 
 : 
 :  
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Operaciones combinadas.
Para resolver cálculos con operaciones combinadas debemos respetar este orden.
(+6) . (-5) – (7+2) : (-3) – 3 + 4 =
(-30) - 9 : (-3) – 3 + 4 =
(-30)
-30
+
(-3)
3
- 3+4=
- 3 +4=
-30
+ 4 = -26
 Se separa en términos.
 Se resuelven las operaciones indicadas entre
paréntesis.
 Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
 Cuando dos términos son números opuestos,
se pueden cancelar.
 Se resuelven las sumas y las restas.
Potencias de números enteros.
Una vez más recordamos que el conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de
los números naturales. Por lo tanto todo lo que ya sabíamos para el conjunto de los naturales se
cumple en el conjunto de los enteros.
Veamos el significado de las potencias de exponente positivo en el conjunto de los enteros, para ello
presentamos distintas situaciones.
1) Si a es un número estrictamente positivo, entonces a x a x a x.....x a , n veces, se escribe an
2) Si a es un número estrictamente negativo, entonces  a  x  a  x  a  x.....x  a  , n veces,
n
 
se escribe a . La base es  a  y el exponente es n.
3) Si a es 0 y n>0, entonces: 0n  0 .
4) Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces a0  1
5) Si a es un entero cualquiera, y n=1, entonces a1  a
Regla de los signos:
 si la base es positiva el resultado es positivo.
 Si la base es negativa el resultado depende del exponente:
- si es par el resultado es positivo.
- si es impar el resultado es negativo.
+par = +
-
par
+impar = +
-
=+
impar
Para tener en cuenta:
 2 2  ( 2) 2
 4  4
Si una potencia tiene base negativa, esta
se debe encerrar entre paréntesis.
Radicación.
Es la operación inversa de la potenciación.
Índice
n
a  r
raíz
radicando
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=-
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Regla de los signos:
 Si el índice es par y el radicando es positivo, la raíz es positiva.
 Si el índice es par y el radicando es negativo, no se puede calcular.
 Si el índice es impar, la raíz resulta del mismo signo del radicando
par
impar
par
 
impar
 
  no tiene solucción
 
Recuerda: cualquier raíz de cero es cero: n 0  0
La mejor forma de librarse de un problema es resolverlo.
Brendan Francis
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES
En este apunte vamos a tratar sobre los números Decimales y sus operaciones, es decir vamos a
tratar nociones referentes al Sistema de numeración decimal.
Recordemos primero con el siguiente diagrama la cadena de inclusión de los distintos conjuntos
numéricos.

ID
IN

0
1 2
-1 -3 -15
0,2
-
5
3

7
0,3
6
-1,5
2
7
5
-26
-0,333
25,4 3,25

1,26
El diagrama nos otorga la siguiente información: IN Z IDQ
Donde:
 IN es el conjunto de los números naturales: 0; 1; 2; …

Z (del alemán Zahl) es el conjunto de los números enteros … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …
 ID es el conjunto de los números decimales que como ya nos explayaremos más adelante
2
5
3
2
acepta dos formas de escritura, la posicional y la fraccionaria … ;0,4;  ; 1,5;0;1; 5
5
3
 Q es el conjunto de los racionales :  ; 0;
 1

4
; 0, 3;  ; 1, 26; 3...
2
4
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
A partir de este diagrama surgen las primeras dudas: ¿qué diferencias hay entre 0, 3 y 0, 3 que
justifiquen que aparezcan en diferentes conjuntos numéricos? ¿No todo número provisto con coma es
un número decimal?
¿Cuál es la diferencia? En los números decimales hay un número finito de cifras después de la coma.
Sin embargo algo tienen en común. Cualquiera de ellos aparece por división de dos números enteros
a, b con b≠0.
Veamos las siguientes situaciones:
105
35
0
5
10
20
2, 0
0
20
20
7
15
4
1,25
7
0,666…
2
105=7 x 15
15 es el cociente de 105 por 7.
Se escribe 105:7=15
5=4 x 1,25
1,25 es el cociente de 5 por 4.
Se escribe 5: 4= 1,25
La división de 2 por 3 “no se termina”.
El cociente de 2 por 3 no es un decimal.
0,666 es un valor aproximado de ese cociente.
Lo que tienen en común las tres situaciones es que dados dos números enteros a y b, se buscó el
número x, tal que b  x  a .
Decimos que los cocientes son números decimales, cuando al dividir a por b, llegamos al resto
cero.
Los decimales forman un conjunto, se denota con la letra ID.
Si bien es cierto que los números enteros no tienen coma, también son decimales, porque se pueden
obtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otra parte nada nos
impide que los escribamos con coma. Así por ejemplo
6  6, 0  6, 00  6, 000....
OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NÚMEROS DECIMALES
Un número es un decimal, si y solo si, puede escribirse bajo la forma d  n 10 p donde n y p son
números enteros.
Si p es positivo, el decimal d  n 10 p es un entero. Clarifiquemos con un ejemplo:
 200 es un entero pues 200  2  102 , o –3 es un entero pues 3  3  100
Si p es negativo, el decimal d  n 10 p es un decimal, por ejemplo:
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 0,25 es un decimal pues 0,25  25  102  25 
1
1
 25 
 0,25 ,
2
100
10
 como lo es también 2,5 pues 2,5  25  101  25 
1
1
 25   2,5
1
10
10
Los números decimales pueden darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma
decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una escritura decimal. Con esa escritura, los
algoritmos desarrollados en  , con respecto a las operaciones enteras, se extienden naturalmente a
ID. Por otra parte, ambos tienen la misma estructura algebraica, a partir de la suma y la multiplicación;
por lo tanto todo lo que se sabe de  , se aplica naturalmente a ID. También cabe destacar la similitud
entre IN y
, por lo que lo aprendido en IN, se extiende a
.
La característica fundamental de ser un sistema posicional es que, a cada cifra que forma parte del
numeral de un número hay que reconocerle dos valores: un valor absoluto (propio o intrínseco) y un
valor relativo que depende de su posición.
Entre las distintas variantes que podemos emplear para representar un número, recordemos dos de
ellas:
Escritura multiplicativa (mixta): 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 3 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1
Escritura expandida: 1 x 104 + 2 x 103+ 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100
Entre ambas no hay grandes diferencias, en la exponencial, se pone en evidencia lo siguiente:
 Toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades del orden
inmediato superior, y cada unidad de un determinado orden es igual a 10 unidades del orden
inmediato inferior.
 Toda cifra escrita, escrita inmediatamente a la derecha de otra, representa unidades del orden
inmediato inferior.
Se trata de continuar ese mismo convenio, para representar números decimales con escritura
posicional, es decir, dados mediante escritura condensada, en la cual, el uso de la coma, distingue la
parte entera decimal, o sea la parte fraccionaria del número decimal.
134,256
Parte
entera
Coma
Parte
decimal
¿Cuáles son las unidades de los diversos órdenes decimales?
Algunos son:
DÉCIMOS
Se escribe 0,1
CENTÉSIMOS
Se escribe 0,01
MILÉSIMOS
Se escribe 0,001
10
10
Ejemplo
CENTENAS DECENAS UNIDAD
1
3
4
1
10
1
100
1
1000
10
DÉCIMOS CENTÉSIMOS MILÉSIMOS
,
2
5
6
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Escritura multiplicativa (mixta):
134,256  1  100  3  10  4  1  2  0,1  5  0,01  6  0,001
Escritura expandida
134,256  1  102  3  101  4  100  2  10 1  5  10 2  6  10 3
a
con a, b enteros y b  0 . Nos
b
explayaremos sobre esta forma de escritura cuando hablemos del conjunto de los racionales.
Los números decimales también admiten representación fraccionaria
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
Adición
La suma o adición en los
, como ya lo anticipamos, prolonga la suma o adición en los IN. Por lo
tanto tiene las mismas propiedades que en naturales. Luego,
 es asociativa.
 el cero es elemento neutro para la adición,
 es conmutativa.
Por otra parte siendo ℤ una parte de ID, es natural pensar que la suma cumpla las mismas
propiedades que en este conjunto numérico.
Propiedades de la adición
Propiedad
conmutativa
El orden de los sumandos no
altera la suma.
a+b=b+a
Propiedad
asociativa:
Dados dos o más números
decimales la suma final no varía
si se reemplazan varios
sumandos por su suma ya
efectuada.
a + b + c = (a + b) + c = a +( b + c)
Existe en el conjunto ID, el
elemento cero que sumado a
cualquier número entero, no
altera la suma.
a + 0= 0 + a = a
Todo elemento del conjunto ID,
admite un opuesto, tal que
sumado al número dado, da por
resultado cero.
a + (-a)= (-a) + a = 0
Ley del elemento
neutro
Ley del opuesto
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Al igual que ocurre con los números enteros, la sustracción enriquece la adición. Por lo que cualquiera
sean los decimales a y b,
a  b  a   b 
Recuerda entonces para sumar y/o restar los números decimales, debes colocar los números uno
debajo del otro de manera que los diversos órdenes de unidades se correspondan, esto se consigue
haciendo que las comas de los distintos números queden en columna.
Por ejemplo:
1
3 2 ,
5 3
+
9 ,
4 2 ,
8
3 3
Intuitivamente aceptamos que la sustracción de decimales siempre existe y su resultado es único, por
lo que la sustracción en decimales es una operación.
Multiplicación
De igual forma la multiplicación en decimales positivos prolonga la multiplicación en IN y ℤ , porque
cumple con las mismas propiedades.
Cuando uno quiere multiplicar los números decimales positivos acepta la siguiente regla práctica: se
multiplican como si fueran enteros positivos, separando en el producto tantas cifras decimales como
tengan los factores. Por ejemplo: 0,3  12  3, 6
La multiplicación en ID es una ampliación de la multiplicación en
por lo que operamos de la misma
manera y por ser además una ampliación de la multiplicación en ℤ cuando tenemos que multiplicar
decimales de igual y distinto signo lo resolvemos de manera similar:
Cuando los números decimales a y b, son del mismo signo, el producto ab es positivo.
Cuando los números decimales a y b, son de distinto signo, el producto ab es negativo.
Ejemplo: 0,3  12  3, 6
 0,3  2,5  7,5
Las propiedades que tiene la multiplicación en ID son las mismas que tiene la multiplicación en
enteros.
Propiedades de la multiplicación
Propiedad
conmutativa
El orden de los factores no altera el
producto.
Propiedad
asociativa:
Dados dos o más números
decimales el producto final no varía
si se reemplazan varios factores
por su producto ya efectuado.
Ley del elemento
neutro
Existe en el conjunto ID, el
elemento uno que multiplicado a
cualquier número entero, no altera
el producto.
a.b=b.a
a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)
1 . 0= 1 . a = a
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Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el
elemento cero que multiplicado a a . 0= 0. a = 0
absorbente
cualquier número entero, da por
resultado cero.
Propiedad
distributiva de la
multiplicación
respecto de la suma
y la resta
El producto de un número decimal
d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c
por una suma algebraica, puede
ser obtenido calculando la suma de
los productos de cada término de
(a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d
la suma por el factor considerado.
El trabajo con la potenciación y la radicación y sus propiedades se trabajaran con el conjunto de los
racionales.
Un elemento importante a considerar en la construcción de los números decimales, es que están
asociados con el concepto de medida, así como los números naturales lo están con la noción de
contar. Tanto en uno como en el otro se trata de determinar la cantidad de veces que un objeto dado
está presente dentro de un conjunto de objetos similares. Pero hay una diferencia. Contar está
relacionado con el campo de los objetos discretos, mientras que medir lo está con el campo de los
objetos continuos.
En síntesis debe comprender que medir es la estrategia desarrollada para contar lo continuo, por lo
tanto contar y medir están íntimamente relacionados y que, en el hecho de medir, aparecen
conceptos como “precisión”, “truncamiento”, “aproximación”, “encuadramiento” que son necesarios ya
que la media absoluta, sin error no existe. Todo aparato de medición y el ojo humano provocan errores
insalvables y acotables.
ORDEN – COMPARACIÓN – VALOR ABSOLUTO
Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.
 Todo número decimal tiene su lugar en la recta numérica. (Más adelante te mostraremos
un procedimiento para ubicarlos)
 Si a es un número decimal positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es
negativo su opuesto es positivo.
 0 es el único decimal que es igual a su opuesto.
 Recuerda que se llama “valor absoluto” o “módulo” de un número a, y se expresa “| |” a
la distancia que existe de dicho número al cero.
 El valor absoluto de cero es 0: | | =
Para comparar números decimales aplicamos las reglas similares a las que usábamos con los
números enteros:
(1) Si los dos son positivos comparamos la parte entera, el que tenga mayor parte entera será el
mayor.
Ejemplo: 12,5 < 18,87
65,125 > 50, 235
(2) Si los dos son positivos e igual la parte entera, comparamos la parte decimal prestando atención
a las unidades de distinto orden.
Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50<18,87
18,5 y 18,87 como 5<8 tengo 18,50<18,87
(3) Cuando los números a comparar tienen diferente signo entonces

Si a  b significa que  b  a ID ,
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
por el contrario si a  b significa que a  b ID
Ejemplo: 2,35  2,37. En efecto, 2,37  2,35  0,07 y 0,07  ID
3,6  2,1. En efecto , 2,1   3,6   5,7 y 5,7  ID 
APROXIMACIONES
En diversas ocasiones y por diferentes motivos, es frecuente utilizar en vez del valor exacto una
aproximación de la cantidad. Existen dos formas de aproximación: por redondeo o por truncamiento.
Truncar es cortar la expresión en una determinada cantidad de decimales. (Omitimos las cifras
ubicadas a la derecha de la última que nos interesa)
Ejemplo: 4,5825
Trunco a los centésimos
Trunco a los décimos
4,5825  4,58
4,5825  4,5
Redondear es aproximar la expresión al valor más cercano, con el siguiente criterio: además de omitir
las cifras ubicadas a la derecha de la última que nos interesa, a ésta la aumentamos en uno si la cifra
siguiente es igual o mayor que cinco y la dejamos igual, si es igual o menor que cuatro.
Ejemplo:
Esto es:
4,5825
Redondeo a los centésimos 4,5825  4,58 (2<5, luego se deja como estaba)
Redondeo a los décimos
4,5825  4,6 (8>5, luego se suma 1 a la cifra de las decenas)
Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas, lo que haces lo aprendes.
Proverbio chino
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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números nos permiten expresar la medida de cantidades. Muchas veces,
como mencionamos anteriormente, aparecen situaciones en las que con
números enteros no es posible expresar una cantidad o simplemente no es lo
más apropiado.
Veamos algunos ejemplos:
De las 3000 calorías recomendadas para
un crecimiento sano en niños de 11 a 15
1
de ellas deben provenir de
2
1
1
hidratos de carbono, de lípidos y de
3
6
años,
proteínas.
Necesidades diarias de
vitaminas
A
B
C
D
E
0,5 mg
1,5 mg
1,5 a 2,0 mg
70 mg
0,03 mg
Todos los números que figuran en estos ejemplos son racionales.
Todo número (positivo o negativo) que puede ser expresado como cociente de dos números enteros a
y b, siendo b≠0, y que satisfacen la ecuación b  x  a es un número racional.
Resulta de esta definición que el número x es racional si: x 
a
significa b  x  a
b
Es decir, los números racionales admiten representación fraccionaria b/a con a, b enteros y b ≠ 0, tal
como vimos para los racionales decimales.
: ℚ=
∈ ℚ,
∈ ℚ,
≠0
Todo número racional también puede darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma
decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una expresión o representación decimal.
El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q (de Quotient palabra inglesa que en
español significa cociente o razón).
CONVENCIONES DE NOTACIÓN
El conjunto Q contiene los números racionales positivos y los números racionales negativos.
 Q+ es el conjunto de los racionales positivos y Q- el de los racionales negativos.
 Q* es el conjunto de los números racionales sin el cero, es decir Q* = Q – {0}
 Q +* es el conjunto de los números racionales estrictamente positivos es decir, de los números
positivos sin el cero.
 Q -* es el conjunto de los números racionales estrictamente negativos es decir, de los números
negativos sin el cero.
Entonces ten presente
 a y b son números enteros y b  0.
 Puesto que para todo entero a, a  a 1 , se puede escribir a 
es un número racional.
a
; entonces el número entero a
1
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254
. Entonces como con todo número decimal puedo
10
proceder de la misma manera (multiplicándolo por una potencia de diez), los números
decimales son racionales.
 25, 4  10  254 por lo tanto 25,4 
 Todo número natural, entero o decimal es racional pero existen número racionales que no son
2
de ninguna de estas categorías de números. Es el caso de
por ejemplo, ya que no podemos
3
escribirlo bajo la forma de un número decimal, en efecto el resto de la división no es cero.
    ID  
¿RECUERDAS?
 Todo número racional admite distintas escrituras: la posicional y la fraccionaria.
 La escritura
a
(que se lee “a sobre b”) se llama fracción de numerador a y denominador b”
b
a
b
Numerador
Numera, cuantifica
¿Cuántos son? ¿1 de cinco, dos de cinco?
Denominador
Denomina, da nombre.
¿Qué son? ¿Tercios, medios, quintos?
 Hay que tener cuidado en no identificar un número fraccionario con una fracción. En efecto, un
número fraccionario o racional es un elemento del conjunto Q. En cambio una fracción es una
notación, una escritura del tipo a/b, que tiene diferentes interpretaciones según el contexto.
Sólo cuando a y b son números enteros, y b es no nulo, esa escritura representa un número
fraccionario.
Por ejemplo
2 
o son fracciones pero no son números racionales.
4
2
DOS ESCRITURAS DISTINTAS PARA UN MISMO NÚMERO RACIONAL
La escritura decimal de los números racionales expresados como fracciones:
Para obtener la escritura posicional de un número decimal hay que dividir el numerador de la fracción
por el denominador hasta obtener resto cero; en el caso de no obtener resto cero, es un racional no
decimal. Por ejemplo:
5
 2,5 Racional decimal
2

14
 4,6666.... luego se escribe 4,6
3

16
 0,1777.... luego se escribe 0,17
90
15
 3,75 Racional decimal
4
Racional no decimal
Racional no decimal
La escritura fraccionaria de un número decimal:
Para expresar como fracción un número decimal (es decir aquellas con un número finito de cifras
decimales) se coloca en el numerador el número sin la coma y en el denominador la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.
2,5 
25
10
0,54 
54
100
12,5 
125
10
0,005 
5
1000
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Cómo escribir un número racional no decimal con su escritura posicional en escritura
fraccionaria:
1243  124 1019
1,24333...  1,243ˆ 

900
900
Numerador
El número dado sin la coma
menos la parte no periódica.
Denominador
El número con tantos nueves
como cifras tenga el período,
seguidos de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal no
periódica
32  3 29
Otro ejemplo: 3,222...  3,2ˆ 

9
9
DENSIDAD
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier
par de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no está
presente en los números naturales y en los números enteros. Por eso se dice que los números
racionales son densos en la recta de los números reales.
O sea, el conjunto Q es denso en el conjunto IR de los números reales, porque entre dos números
racionales existe otro racional.
Fácil es intercalar, por ejemplo, un número racional entre los números
4  7 11
11
4 7
luego el racional
está entre y

7  9 16
16
7 9
4 7
y
7 9
OTROS CONCEPTOS
Recordemos algunos conceptos relacionados con la escritura fraccionaria:
 FRACCIÓN DECIMAL: es toda fracción cuyo denominador es una potencia de diez o una fracción
12
equivalente a ella. Corresponde a la escritura fraccionaria de un número decimal. Ejemplo:
o
10
15 15  25 375
ya que
.


4
4  25 100
 NÚMERO MIXTO: toda fracción mayor que la unidad puede ser expresada como número mixto.
7
1
Ejemplo:  2
3
3
 FRACCIÓN IRREDUCIBLE: el numerador y el denominador son coprimos.
 FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más fracciones son equivalentes si representan al mismo
número racional. Para obtener fracciones equivalentes se puede multiplicar (o dividir, si es posible)
27 9 90
numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo:
 
12 4 40
 FRACCIÓN PROPIA: fracción menor que la unidad. (El numerador es menor que el denominador).
1 5
Ejemplo: ;
3 9
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 FRACCIÓN IMPROPIA: fracción mayor que la unidad. (El numerador es mayor que el
7 12
denominador). Ejemplo: ;
3 5
 FRACCIÓN APARENTE: fracción que al dividir el numerador por el denominador se obtiene un
16 3
número entero. (El numerador es múltiplo del denominador). Ejemplo:
;
4 3
ORDEN EN Q. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.
 Todo número racional tiene su lugar en la recta numérica.
 Si a es un número racional positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es negativo
su opuesto es positivo.
 0 es el único racional que es igual a su opuesto.
Comparación de números fraccionarios:
Hay varios métodos. Recordemos los más usados.
Método A
Método B
Dividimos el numerador por el Aplicamos la siguiente propiedad:
denominador y comparamos las
a c
si  , entonces a  d  b  c
escrituras decimales que resultan
b d
a c
7 3
  a:b  c :d
 pues 7  5  3  20
b d
20 5
7 3
7
3
35 < 60
 pues
 0,35 y  0,6
20 5
20
5
La recta numérica.
Para representar en la recta numérica debemos recordar qué indican el numerador y el denominador.
Para representar racionales negativos recordamos lo que ya sabemos de los enteros: positivos a
derecha del cero, negativos a izquierda.
5 2
1 1
Representa en la recta numérica:  ; ;  ;
3 6
2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Con los números racionales no se completa la recta numérica.
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
En Q están definidas dos operaciones internas: adición y multiplicación. Ello significa que, si se suman
o se multiplican dos números racionales, el resultado siempre existe y es un único número racional.
También está definida la sustracción, que se ganó, recordemos en los enteros cuando se definió el
opuesto de cada elemento.
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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
 Para sumar o restar números fraccionarios de igual
denominador, sumamos y restamos los numeradores y
dejamos el mismo denominador.
Ejemplo:
2 5 1 6
   2
3 3 3 3
 Para sumar o restar números fraccionarios de distinto denominador, existen dos
procedimientos posibles:
 MÉTODO A
 Buscamos la fracción equivalente de cada sumando
de manera que tengan igual denominador.
 sumamos y restamos los numeradores y dejamos el
mismo denominador.
1 3 2
  
6 4 3
2 9 8

 
12 12 12
3 1


12 4
 MÉTODO B
Ejemplo:
 Colocamos como denominador el m.c.m. de los
números que figuran en el denominador.
1 3 2 298 3 1
 Dividimos el denominador común por cada
x
  


denominador y multiplicamos este cociente por cada
6 4 3
12
12 4
numerador.

 Operamos con los términos que obtuvimos y luego
si es posible simplificamos.
La adición de números racionales prolonga la adición en ID, porque cumple con las mismas
propiedades.
La adición de números racionales cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa,
existencia del elemento neutro (0) y existencia del elemento opuesto (inverso aditivo).
MULTIPLICACIÓN.
 Para multiplicar números fraccionarios se simplifica
siempre que sea posible cualquier numerador con
cualquier denominador.
 Se multiplican los numeradores y los denominadores
entre sí.
2 9 1
  
3 5 4
2 9 3 1
3
 

3 5 4
10
2
Recapitulemos las propiedades de la multiplicación: conmutativa, asociativa, existencia del
elemento neutro (0); existencia del elemento absorbente y distributiva respecto de la adición y
sustracción.
En el conjunto de los racionales, se agrega una propiedad: la del inverso multiplicativo.

PROPIEDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO: Todo elemento del conjunto  , admite un
inverso multiplicativo ( a 1 ), tal que multiplicado al número dado, da por resultado uno.
Ejemplos:
4 4

5  5 
1

4 5
 1
5 4
1
a  a 1  a   1 .
a
1
8  81  8   1
8
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Con esta nueva propiedad casi queda resuelto el problema de la división. ¿Por qué casi? Porque la
división en el conjunto de los racionales tendrá siempre un resultado posible con la única excepción
del denominador nulo.
DIVISIÓN
6 8 6 3 13 39
:



25 13 25 8 4 100
 El cociente entre dos números racionales es otro número racional que
se obtiene multiplicando la primera fracción por el inverso multiplicativo
de la segunda.
POTENCIACIÓN
2
 Para elevar un número racional a un exponente positivo, lo escribimos
como número fraccionario y aplicamos la propiedad distributiva de la
potenciación respecto de la división.
2
 1  12 1
0,5

  2  2  4
  2
2
 Para elevar un número racional distinto de cero, a un exponente
negativo, invierto el número fraccionario y la elevo al opuesto del
exponente (es decir al exponente positivo).
RADICACIÓN
 Para calcular las raíces de un número fraccionario aplicamos la
propiedad distributiva de la radicación respecto de la división.
2
2
 3  32 9

3
2  2  4
 
  2
9
9 3


4
4 2
Respecto a los signos aplicamos las reglas de los signos ya vistas para el conjunto de los números
enteros.
El que no se equivoca nunca es porque nunca hace nada. Mahoma
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y DE LA RADICACIÓN
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
1
 Potencia de exponente negativo
a n 
 Potencia de otra potencia (los exponentes se multiplican)
anm  anm
 Producto de potencias de igual base (los exponentes se suman).
an  am  an m
 Cociente de potencias de igual base (los exponentes se restan).
an : am 
 Distributiva respecto de la multiplicación.
a  bn  an  bn
an
a0
an
am
 anm
a : bn  an : bn
 Distributiva respecto de la división.
n
an
a
   n
 b
b
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PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.
n
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario:
 Raíz de raíz (los índices se multiplican)
nm
 Distributiva respecto de la multiplicación.
n
 Distributiva respecto de la división.
a  n.m a
ab  n a n b
n
a:b  na :nb
n
a

b
n
a
n
b
1
a  an
 Simplificación de los índices (divido índice y exponente por el mismo número)
n m
a

n:r m:r
a
r 0
Ejemplos:
4
52  5
 Eliminación del radical
6
6
8  23  2
x4  x2
n n
a  a  n es impar
n n
a  a  n es par
Ejemplos: 25  5 2  5  5
4
4
16  2 4  2  2
3
3
27  3 3  3
3
 27  3 ( 3 )3  3
 Amplificación de índices (multiplico índice y exponente por el mismo número)
n p
a 
nr pr
a
con r  0
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Trabajo
Práctico
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ACTIVIDADES DE CONJUNTOS NUMÉRICOS
1- Se busca un número
Descubre el o los números que te indican las pistas.
Inventa una tarjeta con no más de 4 pistas de manera que la respuestas
sea un único número.
A
 Tiene una docena de decenas.
 Sus cifras forman una serie
ordenada.
 Tiene tres cifras.
D
 La cifra de las unidades
coincide con la de las decenas.
 Tiene exactamente 11
centenas.
 La cifra de las decenas supera
en dos a la de las centenas.
 Todas sus cifras son impares
B
 Está entre 10 000 y 20 000.
 Tiene exactamente 132
centenas.
 La cifra de las decenas es un
número mayor que 3 y menor
que 7.
E
 Tiene más de 98 centenas.
 Tiene cuatro cifras.
 Al agregarle 5 decenas, pasa
a tener 5 cifras.
 La cifra de las unidades es 0.
C
 Es mayor que 9.999 y menor
que 11.000.
 Es impar.
 La cifra de las centenas es 5.
 Tiene dos cifras iguales.
 La suma de sus cifras es 15.
2- Ubica aproximadamente los siguientes acontecimientos históricos sobre la línea del tiempo.
 Primer Reino babilónico (1792 a.C.)
 Descubrimiento de América (1492)
 Caída del imperio romano de Occidente (476)  Creación del Virreinato del Río de la Plata
(1776)
 Nacimiento de Cristo.
 Invasión de los dorios a Grecia (1200 a.C.)
 Caída de Constantinopla (1453)
 Instalación de la República romana (509a.C.)
- 2000
- 1500
- 1000
- 500
0
500
1000
1500
2000
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A partir de la línea de tiempo responde:
a) ¿Cuánto tiempo pasó desde la instalación de la República romana hasta la caída del Imperio
Romano de Occidente?
b) ¿De los mencionados, cuál es el acontecimiento más antiguo?
c) ¿Cuánto tiempo pasó desde el descubrimiento de América hasta la creación del Virreinato del Río
de la Plata?
d) ¿Cuántos años han transcurrido desde la caída de Constantinopla?
3- A partir de la lectura del gráfico responde.
a) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima que se registraron?
b) ¿Cuál ha sido la variación de temperatura entre las 17 y las 20 horas?, ¿y entre las 13 y las
15?, ¿y entre las 22 y las 24?
c) ¿Entre qué horas la temperatura ha aumentado 3°?
d) ¿Entre qué horas el cambio de temperatura fue de –17°?
e) ¿A qué horas no ha cambiado la temperatura?
f)
¿A qué horas se dio la mayor variación de temperatura?
4- Dados los siguientes números: -4 ; -7 ; -6 ; -2 ;
4 ;
-9 ; -7; 1 ; 0.
a) Ordena en forma creciente.
b) Indica los números opuestos
c) ¿Qué números están en la recta numérica a la derecha de 1?
d) ¿Qué números están en la recta numérica a la izquierda de (-2)?
e) ¿Quién tiene mayor módulo?
5- Representa en la recta numérica los números enteros que cumplan con la condición pedida.
Utiliza una recta distinta para cada caso.
a)
b)
c)
d)
Que sean mayores que –2 y menores o iguales que 3.
Que sean menores que –5 y mayores o iguales que –10.
Que tengan módulo 4
Que tengan módulo menor que 3.
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6- Los números a y b representados en la recta son números enteros.
-a
a
m
a) Ubica en las misma recta el cero y –m.
b) Ordena de menor a mayor los números enteros a; m; v; p y f teniendo en cuenta que:
 a, v y p son positivos.
v < m y v > a
 f es negativo y mayor que –a.
7- Completa el cuadro con los valores correspondientes.
NÚMERO
OPUESTO
MÓDULO
SIGUIENTE
ANTERIOR
-5
-8
7
-9
8- Completa la tabla e inventa los ejemplos que faltan.
a
-a
-5
b
c
8
-4
-8
21
-2
a   a 
abc
bac
b0
7
-3
-15
b  4a  3c
1c
-8
4
A partir de observar la tabla responde.
a) ¿Qué columna te resultó más fácil llenar? ¿por qué?
b) ¿Qué obtenemos en la última columna.
c) ¿Qué propiedades se evidencian?
9- Completa con SIEMPRE – AVECES- o NUNCA según corresponda.
a) La sustracción de números naturales tiene solución en naturales.
………………………….
b) El producto de dos números naturales es un número decimal.
………………………….
c) La sustracción de dos números enteros es positiva.
………………………….
d) La adición de dos números enteros es un número entero.
………………………….
e) El cuadrado de un número entero es positivo.
………………………….
f) Si a es un número entero par, su mitad es mayor.
………………………….
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g) La división de dos números enteros es otro número entero.
………………………….
h) La resta de dos números enteros es un número natural:
………………………….
10- Halla:
a) El producto entre el opuesto de 8 y el opuesto de -4.
b) La diferencia entre el opuesto de 5 y el valor absoluto de -8.
c) El cociente entre el opuesto de 24 y el opuesto de 4.
11- Escribe  o  según corresponda teniendo en cuenta que m; n; p; q; r; u; a y t son números
enteros . En caso de que sea igual escribe si es posible, el nombre completo de la propiedad
que se aplicó.
a) (-4) + 6 +5 ....... 5 + 6 +(-4)
b) 2 + 6 + 3 – 2 ....... 6 + 3
c) 7 - 4 + 3 ........ 7 + 3 – 4
d) 36 : (6 – 4) ....... 6 – 9
e) m + n – [(-p) + q] ....... m + n + p – q
f) (r + u) : p ....... r : p +u : p
g) (-a) + p + (-a) ........ p
h) m – (-p) + p + t ...... m + t
12- Completa y escribe en cada caso la propiedad que aplicaste.
3
a) m 2   m ....... por la propiedad ……………………………………………………………………………
b) f 5 : f 8  f ...... por la propiedad ……………………………………………………………………………
c)
3
a2 
9
a .....
por la propiedad ………………………………………………………………………
13- Calcula las siguientes potencias y raíces
53=………..
(-5)2=………..
3
(-5) =………..
4
(-3) =………..
4
-3 =
………..
5
(-3) =………..
0
13 =………..
-30=………..
4
3
3
81  .................
27  .................
 27  .................
81  .................
14- Aplica propiedades para que los cálculos resulten más simples. (Resuelve en tu hoja)
a) 12 + 5 + 105 + 3 =
b) 3 . 5 . 6 . 10 =
c) 20 + 8 + 5 + 12 =
d) 9 . 5 . 4 . 10 =
e) 99 + 76 + 101=
f) 5 . 31 . 4 . 100 =
15- Resuelve las siguientes situaciones
I.
II.
III.
La era de los romanos empieza en el año 754 a.C. la de los musulmanes en el año 622 d.C.
¿Cuántos años transcurrieron desde el comienzo de la era romana hasta el comienzo de la era
musulmana?
Entre las 7 de la mañana y el mediodía, la temperatura subió 12º C. Si a las 7 de la mañana la
temperatura era de -5 ºC, ¿qué temperatura indicaba el termómetro al mediodía?
¿Qué distancia hay entre el suelo del pozo de una mina que está situado a 518 metros de
profundidad y el tejado de una casa que está a una altura de 19 metros?
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IV.
V.
VI.
El ascensor de un edificio llega al sótano -3 después de bajar 7 pisos, ¿En qué planta estaba el
ascensor?
Un globo está en el aire. Desciende 90 metros, luego 70 metros y después sube 100 metros. Al
final está a una altura de 800 metros. ¿Cuál era la altura inicial del globo?
Hace dos años una empresa obtuvo unos beneficios por valor de 180.000 euros. El año pasado
tuvo pérdidas de 75.000 euros. ¿Cuál es el balance de la empresa en los dos últimos años?
16- La recta numérica de la figura está dibujada sobre papel cuadriculado para poder leer
subdivisiones de la unidad que, como ves, abarca diez lados de cuadraditos.
Respondé en tu carpeta las preguntas que siguen.
En la recta:
a) ¿Qué fracción representa 1 cm?, ¿y 1 mm?
1
2
1
4
c) ¿Qué longitud en cm tiene ? ¿y
?
5
20
b) ¿A qué distancia de 0, en cm, está ?, ¿y
3
4
d) ¿A qué distancia de 0 está  ? ¿y 
2
?
4
9
?
12
17- Usa tu regla para averiguar qué número fraccionario corresponde a cada uno de los puntos M,
N, P, Q y R. Escríbelos en tu carpeta, exprésalos con más de una fracción, usando fracciones
equivalentes.
18- Observa las siguientes rectas,
a) ¿Qué fracciones equivalentes encuentras? Escribe al menos tres pares de ellas.
b) Expresa el dos como una fracción:
de denominador 5 …………………..
de denominador 6 ………………………..
c) Busca en las rectas una fracción equivalente a -3: ………………………..
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19- En una representación de las temperaturas sobre la recta numérica, si nos trasladamos de
izquierda a derecha, ¿las temperaturas aumentan o disminuyen? Responde en tu carpeta y
explica por qué.
20- Observa los siguientes pares de números y escribí el signo que corresponde. (Recordá que “<”
se lee“es menor que”, “>” se lee “es mayor que”.)
3,5 ºC ……… –6 ºC
–2,7 ºC ……… 0 ºC
1,5 ºC ……… 0,5 ºC
–0,5 ºC ……… -1.5
21- Decide si las siguientes desigualdades son falsas o verdaderas y escribe poniendo en el
recuadro F (falso) o V (verdadero) según corresponda.
–1,5 > 0,495
0,495 < 0
1,5 < –3,8
–3,8 > –0,150
-1,5 < –1,18
10,50 < 10,8
22- Ordenando racionales.
a) Copia y completa con <, > o = según corresponda.
b) Escribí las siguientes expresiones completando cada afirmación con un número racional de
modo que resulte verdadera.
c) ¿Cuántos números racionales podés elegir en cada caso? Responde caso por caso.
23- Escribe V o F cada afirmación. Justifica.
a)
2 es un número racional. …………
b)

c)
-3 es un número natural. ………..
d)
5 es un número racional ………..
e)
Algunos números enteros son racionales ………..
f)
g)
Todo número racional puede expresarse como fracción ………..
18,6 es un número racional …………
h)
ˆ
1,3
3
es un número racional ………..
4
es un número decimal ………….
24- ¿Todos estos dibujos representan
1
? Explica tu respuesta.
4
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25- Marca con una cruz cuáles de las siguientes fracciones son decimales
26- Marca con una cruz cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números decimales
5
;
4
5
;
10
2
;
3
12
;
4
44
;
6
12,5 ;
27- Expresar los siguientes números en escritura posicional
6
14
 .................
 .................
100
1000
19
218
 .................
 .................
10
100

0,3 ;
8
28- Escribir en forma de fracción
a) 59,73 = ………………………
b) 45,9= ………………………
c) 0,37 = ………………………
d) 0,0037= ………………………
29- Calculando con números racionales.
a) Fijate que a y b tienen los valores indicados en las primeras columnas. Para completar la última
fila elegí vos un valor.
b) Observa el cuadro y responde en tu carpeta:
i.
¿Qué operación da siempre el mismo resultado que a – b?
ii.
¿Cuál es el resultado de sumar 0 a un número racional?
iii.
¿Cuál es el resultado de una resta en la que el minuendo es 0?
iv.
¿Cuál es el resultado de una resta en la que el sustraendo es 0?
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30- Al repartir 6 pizzas en partes iguales entre 4 amigos uno decía que a cada uno le tocaba
6
;
8
3
1
1
y algunos decían que le tocaba
y . ¿Quiénes tienen razón?
4
2
4
1
1
31- Con una botella de 2 y , ¿Cuántas botellitas de se pueden llenar?
4
4
1
32- El café se vende en paquetes de , ¿cuántos paquetes hay que comprar para tener medio
4
otro decía
kilo?
33- Calcular:
a) 3,6 + 4,7 =
c) 9,3 + 5,7 + 3,2 =
b) 43,6 + 39,7 + 23,86 =
d) 0,7 + 0,56 =
34- Efectuar:
a) 4,7 - 3,2 =
b) 9,36 - 4,59
c) 45,6 - 23,80=
35- ¿Cuál es la suma de cuatro números si el primero es 538,243 y cada uno de los siguientes es
igual al anterior más 23,86?
36- De un depósito con agua se sacan 36,6 litros y después 23,86 litros; finalmente se sacan 9,6
litros. Al final en el depósito quedan 239 litros. ¿Qué cantidad de agua había en el depósito?
37- Hallar las fracciones irreducibles de los siguientes decimales.
a) 0,64
b) 0,47
c) 4,5
d) 6,3
e) 5,8
38- Hallar las fracciones irreducibles de las siguientes expresiones.

a) 0,24

b) 0,25

c) 0,46

d) 2,34

4,478
39- Si solo tenés monedas de $1; de 50 centavos; de 25 centavos; de 10 centavos y de un
centavo, escribí con cuáles formarías la suma de $3,87. ¿Cómo podés pagar la misma
cantidad si no tenés monedas de $1? Si hay más de una posibilidad, escribe al menos tres
diferentes.
40- ¿Qué número se forman con un entero, 25 décimos y 4 centésimos?
41- Buscá dos fracciones entre
qué?
3 4
y . ¿Podrías haber encontrado más? ¿Cuántas más? ¿Por
5 5
42- Armá el número 4,035 con los valores 0,1; 0,01; 0,001. ¿Cuántos de cada uno necesitas?
¿hay una sola manera de responder a la pregunta? Explica por qué.
43- Sin hacer la división escribí dos fracciones no equivalentes que puedan expresarse como una
expresión decimal finita, y otras dos con una expresión decimal periódica.
44- Nicolás dice que el siguiente de 2,325 es 2,326. ¿Tiene razón? ¿Por qué?
45- Intercala seis números racionales entre los siguientes valores:
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a) 1,089 y 1,1 ........................................................................
b) 2,21 y 2,211 ........................................................................

c) 1,6 y 7
........................................................................
46- Indica entre que números enteros consecutivos se encuentran los siguientes números.
7
 .......
3

.......  3, 4  .......
....... 
9
 .......
2
12
.......  
 .......
5
....... 
6
 .......
5
22
....... 
 .......
4
.......  
47- Los valores que aparecen en el siguiente cuadro se refieren a un grupo de 300 personas que
fueron encuestadas sobre temas diversos. Completa los datos que faltan.
Expresión coloquial
Una de cada cuatro personas votarán al candidato Astuto.
……………………………………………………..… mujeres.
……………..…. de cada cuatro personas probaron la
bebida Deliciosa
Una de cada ………………. No saben a quién votarán.
……………………………………………………….... usan
celular.
Todos tienen celular.
Fracción
del total
1
4
1
2
porcentaje
Cantidad de
personas
25%
75
75%
10%
60
2 de cada 10 personas utilizan internet.
48- En cada ítem, pinta con el mismo color las expresiones que son equivalentes.
A
La mitad de x
50% de x
B
El doble de x
La quinta parte de
x
20% de x
49- Escribe la fracción que corresponde a cada letra de la recta numérica.
m
a
c
d
-1
0
1
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MARCO TEÓRICO
Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.
(Aristóteles)
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NOCIONES GEOMÉTRICAS
PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO
Punto, recta, plano y espacio son los objetos matemáticos que consideramos inicialmente. Se
trata de términos no definibles, son ideas o conceptos primitivos.
La matemática no se preocupa por definirlos, nos indica simplemente cómo se usan y cuáles
son sus propiedades y relaciones.
El punto
Ya se dijo que es imposible establecer una definición de punto en el sentido geométrico. Sin
embargo, como estamos acostumbrados a asociar las cosas físicas con las ideas geométricas,
vinculamos la idea de punto con la de la punta del alfiler, de una aguja o de un lápiz.
Convendremos en representar los puntos por la marca que deja la punta del lápiz o de la tiza,
por una pequeña cruz o por un círculo pequeño, colocando junto a cada uno, una letra minúscula
cursiva o imprenta y así no tendremos dificultades para nombrarlos, sea al hablar o al escribir.
Ejemplo:
.a
xb
punto a
punto b
El espacio
El conjunto de todos los puntos geométricos es el espacio.
El concepto de espacio es no definido. Se trata de otra abstracción lo mismo que el punto.
Como existen tantos puntos como se quiera, el espacio resulta un conjunto infinito de puntos.
El plano
Los puntos del espacio están agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos
llamados planos.
Si bien podemos afirmar que “Plano es un conjunto infinito de puntos”, no debemos
interpretar esto como una definición.
Podemos materializar un plano a través de una hoja de papel, la cara del pizarrón, el piso,
dando la idea de que continúa en toda dirección y sentido. El plano geométrico es ilimitado, es decir no
tiene borde o frontera
Cuando necesitamos representar un plano, dibujamos una porción de él con un borde o
frontera irregular.

plano
Observamos que hemos designado al plano utilizando una letra griega.
Las letras griegas que utilizaremos frecuentemente
 alfa
 épsilon
 beta
 omega
 gamma
 pi
 delta
Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos la
necesidad de representar algunos puntos de un plano.
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Gráficamente, la situación quedará expresada así:
*c
*b

Interpretamos que: b y c son dos puntos cualesquiera que pertenecen al plano .
Abreviadamente, es conveniente emplear estas expresiones:
En símbolos:
c  “ c pertenece a  “ o “ contiene a c “
b   “ b pertenece a  “ “ o “ “ contiene a b “
Si indicamos a  b estamos significando que nos referimos al mismo punto.
ab
se lee
“a coincide con b”
En cambio si indicamos que los puntos c y d, no coinciden;
anotaremos
c ≠d.
LA RECTA
A su vez, podemos agrupar los puntos de cada plano o del espacio, en otros conjuntos
parciales que denominaremos RECTA.
Una materialización de una recta está dada por un rayo luminoso o el borde de una regla.
Pero, una recta geométrica se extiende sin límite en ambos sentidos. No comienza ni termina.
Si deslizamos la punta de un lápiz sobre el papel siguiendo el borde de una regla, podemos
dibujar trozos de recta.
Convengamos en designar las rectas generalmente con letras mayúsculas imprenta.
R
Q
recta Q
recta R
Establecimos al comienzo que hay infinitos puntos.
Ahora decimos que las rectas son conjuntos infinitos de puntos.
Conclusión:
hay infinitas rectas
Si en algunas ocasiones necesitamos representar algún punto de una recta visualizaremos la
situación así:
R
●
a
●
b
a y b son puntos de la recta R
En símbolos: “a  R“ y “ b  R”
A la recta R dibujada también podemos anotar Rab (se lee recta R que contiene a los puntos a y b )
Tengamos presente que la expresión R  S está indicando que se trata de la misma recta.
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Para R ≠ S significa que son distintas es decir, existe al menos un punto que pertenece a R y
no a S.
Prestemos atención a las maneras que hemos convenido en utilizar para notar las figuras.
En otros textos tal vez encontremos otra forma de hacerlo. Son convenciones por eso nos
pondremos de acuerdo.
Nombremos
con:
Los puntos
Los planos
Las rectas
letras minúsculas imprentas o cursivas.
letras griegas.
letras mayúsculas imprentas.
RELACIONES ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
A continuación consideraremos algunas relaciones importantes que vinculan los puntos, las
rectas y los planos.
Ubiquemos el borde de la regla de manera de poder trazar todas las rectas posibles entre dos
puntos a y b distintos.
●
a
R
●
b
Solamente podemos dibujar una recta.
Probemos con otros pares de puntos distintos.
La conclusión es siempre la misma y muy importante:
Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta que los contiene.
También se enuncia:
Dos puntos distintos determinan una recta a la que pertenecen.
Si a  b y b  R también diremos que R pasa por a y por b.
Diremos que 3 o más puntos están alineados sí y sólo sí pertenecen a una misma recta.
Ejemplo:
● c
● b
R
● a
a, b y c están alineados.
a, b y d no están alineados
● d
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Existen otras líneas que no son rectas, a ellas las llamaremos curvas y se clasifican en:
SIMPLE
CRUZADA
ABIERTA
CERRADA
Entre todas las curvas la recta es abierta simple.
Es corriente decir que una recta está incluida en un plano.
Con la palabra incluida admitimos que la recta es una parte del plano, es decir todo punto de la
recta pertenece al plano.
Se puede anotar:
R
Sea la recta R y el plano :

T
Diremos que dos o más rectas son coplanares sí y sólo sí están incluidas en un mismo plano.
De acuerdo con el dibujo anterior: R y T son coplanares.
Encontramos ya la manera “intuitiva” de distinguir una superficie plana de cualquier otra
superficie.
Siempre, un plano incluye a toda recta determinada por cualquier par de puntos distintos que
pertenecen a él.
En otras superficies no ocurre lo mismo.
● b
●
a
R
Estas superficies no planas también son conjuntos de puntos.
Llamaremos figura a todo conjunto de puntos.
Recordemos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, podemos concluir:
Dos figuras son iguales si y sólo si tienen los mismos puntos.
.
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS COPLANARES
Si A y B son rectas incluidas en un plano , pueden presentarse únicamente las situaciones
indicadas a continuación:
B
A
A
a
A
B
A
(1)
(2)
B
B
A // B
(3)
A=B
Que se puede resumir así:
(1) A y B tienen un único punto en común, entonces las llamamos secantes.
(2) A y B no tienen ningún punto en común, entonces las llamamos paralelas disjuntas.
(3) A y b tienen todos sus puntos comunes, entonces las llamamos paralelas coincidentes.
Concluyendo:
(1) Dos rectas coplanares son secantes si y sólo si tienen un único punto común.
En símbolos de acuerdo con el gráfico:
(2) (3) Dos rectas coplanares son paralelas si y sólo si no son secantes, es decir no tienen
ningún punto común (paralelas disjuntas) o tienen todos sus puntos comunes (paralelas
coincidentes).
En símbolos de acuerdo con el gráfico:
Para el trazado de paralelas:
Con una regla y una escuadra, como se observa en la figura, podemos dibujar rectas paralelas.
A
A`
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO
Dado dos planos cualesquiera  y  puede ocurrir:
(1)
(2)

R
( 3)




( 1 )  y  tienen en común sólo los puntos de una recta, son planos secantes.
( 2 )  y  no tienen puntos en común, son planos no secantes o paralelos disjuntos.
( 3 )  y  tienen todos sus puntos comunes, son planos no secantes o paralelos coincidentes
Es decir:
Dos planos son secantes si y sólo si tienen en común únicamente los puntos de una recta
llamada recta de intersección.
En símbolos (de acuerdo con el gráfico):
Dos planos son paralelos si y sólo si no son secantes, es decir no tienen ningún punto en
común (paralelos disjuntos) o tienen todos sus puntos comunes (paralelos coincidentes)
En símbolos (de acuerdo con gráfico):
En símbolos de acuerdo con el gráfico:
POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Dadas dos rectas del espacio, existe la posibilidad de que estén incluidas en un mismo
plano o no.
Cuando están incluidas en un mismo plano pueden cortarse como la recta A y B de la figura, o
ser paralela como B y A. Pero si no son coplanares como C y D, por ejemplo, ni son secantes ni son
paralelas, a estas rectas del espacio no incluidas en un mismo plano las llamaremos rectas alabeadas.
A
D
B
C

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Por consiguiente, las posiciones relativas de dos rectas cualesquiera del espacio son las
siguientes:
Rectas paralelas.
Rectas secantes.
Rectas alabeadas.
Paralelismo de recta y plano
Dada una recta A y un plano  puede ocurrir:
1) Que la recta A y el plano  se corten en un único punto. Decimos que A es secante con
el plano.
A

2 ) Que la recta A esté incluida en  . Diremos que A es paralela a .

A
3 ) Que la recta A y el plano  no tengan ningún punto común. Diremos que la recta A es
paralela al plano .
A

Subconjuntos:
Recordando que un conjunto A es subconjunto o parte de otro B si y sólo si todos los
elementos de A pertenecen a B. Diremos:
Una recta es un subconjunto de un plano.
Un plano es un subconjunto del espacio.
Las figuras son subconjuntos del espacio.
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El conjunto A del gráfico es una figura plana, porque todos sus puntos pertenecen a un
mismo PLANO. Las figuras planas son subconjuntos del plano. Para ello podemos tener en
cuenta tres situaciones:
-
-
considerar el conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior (zona
rayada) o al borde o frontera (línea continua), FIGURA CERRADA.
-
considerar el conjunto formado únicamente por los puntos del borde, FRONTERA.
considerar el conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior
solamente, FIGURA ABIERTA.
A
El conjunto B dibujado es una figura del espacio.
Todos sus puntos no pertenecen a un mismo plano.
Las figuras del espacio no son subconjuntos de un plano, son subconjuntos del espacio.
B
Sobre figuras podemos recordar que dos figuras son iguales si tienen los mismos puntos.
Así la figura F1
y
F2:
F1
F2
Son distintas pues no tienen los mismos puntos.
F1  F2
En cambio diremos que F1 es congruente con F2 y anotemos F1  F2. Podemos expresar
que una figura A es congruente con otra B si y sólo si existe un movimiento que a A le hace
corresponder B (intuitivamente al superponerlas coinciden).
Ejemplos de figuras congruentes:
Son los 4 lados de un cuadrado (que no son iguales), las 6 caras de un cubo (que no son
iguales).
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La recta como conjunto ordenado.
Consideremos una recta R y los puntos a, b, c, y d del gráfico.
R
● d
● c
● b
● a
Es evidente que podemos relacionar dichos puntos por la relación “  “ (es anterior a) así:
a  b,
a  c,
a  d,
b  c,
b  d,
c  d.
La recta es un conjunto de puntos totalmente ordenado por “  “.
De acuerdo con lo anterior:
Si
xR
e
yR
se cumple una y sólo una de estas afirmaciones:
x  y
( x es anterior a y )
x  y
( x es posterior a y )
x  y
( x es coincidente con y )
Si los puntos de una recta están ordenados, sólo pueden sucederse en uno de los dos
sentidos: de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda.
Relación entre
Dados los puntos p y q de la recta R, siendo “ p “ anterior o coincidente con “q” (p  q) diremos
que el punto “ a “ de R está entre p y q si y sólo si se cumple que “a” es posterior o coincidente con “p”
(p  a) y “a” es anterior o coincidente con “q” (a  q).
En símbolos:
Sean p, q, a puntos de la recta R: p  a  q 
p  a  a  q.
Ejemplo.
R
●
p
●
a
●
b
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Otras consideraciones:
En la recta no existe ni primero ni último punto. Esto significa que dado un punto existen
infinitos otros que le preceden e infinitos que le siguen. Esto expresa que la recta es un CONJUNTO
ABIERTO.
Por otra parte dados dos puntos distintos, existen infinitos puntos entre ambos, es decir la recta
es un conjunto DENSO.
Segmento
Dados los puntos a y b de una recta R tal que “a“ es anterior o coincidente con “ b “
(a b)
Llamaremos segmento de extremos “a“ y “b“ al conjunto formado por los puntos de
R que están entre “a“ y “b“.
En símbolos:
Gráficamente:
Sean los puntos a y b de R: Seg. ab=ab   x / x  R  a  x  b
R
a R, p R, b  R.
●
p
●
a
●
b
Los puntos a y b son los extremos del segmento.
Los infinitos puntos que están entre “a” y “b”, distintos de “a” y “b”, son los puntos interiores del
seg. ab.
Puede ocurrir que a = b. A este segmento especial lo llamaremos segmento nulo.
En símbolo es: Seg. aa=aa
Si un segmento es nulo es un conjunto unitario (formado por un solo punto).
Segmentos colineales
Llamaremos segmentos colineales a los que están incluidos en una misma recta.
Con respecto al gráfico:
A
●
a
●
b
●
c
●
d
●
e
●
f
B
ab y cd son colineales pues, ab  A y cd  A.
ef es colineal con ef pues, ef  B.
ab y ef no son colineales pues, ab  A y ef  B y A  B.
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Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos si y sólo si tienen un extremo común y
ningún otro punto común.
.
Con respecto al gráfico:
b
c
a
p
ab y bc son consecutivos pues, ab  bc  b .
n
no son consecutivos pues tienen un
punto común pero no es extremo de ambos.
m
q
Dados tres o más segmentos distintos tomados en un cierto orden, diremos que son
consecutivos si y sólo si cada uno es consecutivo al anterior, excepto el primero, por su extremo libre.
b
a
c
d
e
ab , bc , cd y de son consecutivos
Poligonal
Se llama poligonal a la FIGURA UNIÓN de segmentos consecutivos no colineales.
.
Con respecto al gráfico
d
a
b
ab  bc  cd  poligonal abcd
c
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Tipos de poligonales:
ABIERTA
CERRADA
SIMPLE
CRUZADA
Dada una poligonal cerrada simple incluida en un plano quedan determinadas tres partes del
plano :
a) El borde o frontera ( poligonal cerrada simple )
b) El conjunto de los puntos interiores
c) El conjunto de los puntos exteriores.
Borde
Región interior
Región exterior
El conjunto de los puntos interiores es una figura abierta.
El conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior o los de la frontera es
una figura cerrada.
Figura convexa
Una figura es convexa si y sólo si para TODO par de puntos distintos que pertenecen
a ella el segmento que ellos determinan está incluido en ella.
Ejemplos gráficos
F
F es una figura convexa
●
p
R
●
q
R es una figura convexa
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Una figura es cóncava si y sólo si EXISTE al menos un par de puntos distintos que
pertenecen a la figura y el segmento que ellos determinan NO está incluido en la figura.
Ejemplos gráficos:
A
B
p
D
p
q
p
q
q
A es cóncava
B es cóncava
D es cóncava
Semirrecta
Dado un punto “o”, que pertenece a una recta R y los puntos “a” y “b” de R, siendo
“a” anterior a “o” (a  o) y “b” posterior a “o” (o  b) llamaremos, SEMIRRECTA DE
ORIGEN “o” QUE CONTIENE a “b” (
) al conjunto formado por los puntos de R
posteriores o coincidentes con “o” y SEMIRRECTA DE ORIGEN “ o “ QUE CONTIENE
A “a” (
)al conjunto formado por los puntos de R anteriores o coincidentes con “o“.
En símbolos:
Sean o, a, b de R, a<o;o<b:
Gráficamente:
Sob   x / x  R  o  x
Soa   x / x  R  x  a
R
●
a
●
b
●
o
Una semirrecta es una figura convexa.
De acuerdo con el concepto de semirrecta y figura convexa:
Podemos afirmar que un segmento es la intersección de dos semirrectas incluidas en una
misma recta de distintos sentidos tal que el origen de una pertenezca a la otra. Además, un segmento
es una figura convexa.
Gráficamente:
R
●
b


Sab  Sba  ab
●
a
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Semirrectas opuestas
Dos semirrectas son opuestas si y sólo si tienen igual origen, están incluidas en una misma
recta y son de distintos sentidos.
Gráficamente :
R
●
a
●
b
●
o
Separación del plano
Sea  un plano y R una recta incluida en el mismo. Dicha recta determina una partición de 
formada por R, S1 y S2. A S1 y S2, los llamaremos semiplanos abiertos de frontera R. Si la recta está
incluida en cada semiplano se llama semiplano cerrado y los anotaremos Spl  R ; a  (semiplano cerrado
de frontera R que contiene a “a“, siendo “a“ un punto de S y Spl  R ; b  (semiplano cerrado de frontera
R que contiene a “b“, siendo “ b “ un punto de S2. De ahora en más trabajaremos con semiplanos
cerrados.
Gráficamente:
S1
R
●a
S2
●b
●b
S2
Los semiplanos cerrados son figuras convexas.
Separación del espacio
Dado un plano  del espacio E, quedan determinadas 3 partes de dicho espacio sin puntos
comunes, ninguna vacía y la unión de ellas es E. Estas partes son: el plano  y las regiones E1 y E2
llamadas semiespacios abiertos de borde o frontera  .
Llamamos semiespacios cerrados a la figura unión de un semiespacio abierto y el plano
frontera.
De ahora en más trabajaremos con los semiespacios cerrados, y se pueden nombrar indicando
el plano frontera y un punto del semiespacio abierto.
Gráficamente:
E1
●a

E2
●b
Semiespacio (;a)
Semiespacio (;b)
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Ángulo
A) Ángulo convexo:
Es la figura INTERSECCIÓN de dos semiplanos incluidos en un mismo plano de fronteras
secantes.
Ejemplo gráfico:
A

a
b
B
o
p
q


A las semirrectas Soq y Sop las llamaremos lados del ángulo y el origen común “o” es el
vértice.
El ángulo determinado es una figura convexa ya que resulta de la intersección de semiplanos
que son figuras convexas.
B) Ángulo cóncavo:
Es la figura UNIÓN de semiplanos incluidos en un mismo plano de fronteras secantes.
Gráficamente:
A

a
b
B
o
p
q


A las semirrectas Sob y Soa las llamaremos lados del ángulo y el origen común “o” es el
vértice.
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Ángulo nulo
Llamaremos ángulo nulo a toda semirrecta. Un ángulo nulo es una figura convexa.
Gráficamente:
a
●
o
●
ˆ nulo
aoa
Ángulo llano
Llamaremos ángulo llano a todo semiplano. Un ángulo llano es una figura convexa.
Cualquier punto de la frontera puede ser el vértice.
*p
a
o

ˆ (p) "ángulo llano aob que contiene a p.
aob
b

Sus lados Sob y Soa son semirrectas opuestas.
Ángulo pleno
Llamaremos ángulo pleno a todo plano. Este ángulo es una figura convexa.
a
●
o
●
ˆ ángulo pleno
aoa
Ángulos consecutivos
Dos ángulos son consecutivos si sólo si tienen al menos un lado común y ninguno está
incluido en el otro.
Gráficamente:
a
c
b
ˆ y dbc
ˆ son consecutivos
1) abc
d
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a
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ˆ (cóncavo) y abc
ˆ (convexo) son consecutivos
2) abc
c
b
a
ˆ (cóncavo) y abc
ˆ (convexo) son consecutivos
3) abd
c
b
d
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes si y sólo si son consecutivos y la unión de ellos es un
semiplano.
Gráficamente:
d
a
b
ˆ y dbc
ˆ son adyacentes
abd
c
Ángulos opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice si y sólo si los lados de uno son semirrectas
opuestas de los lados del otro y ninguno está incluido en el otro.
Gráficamente:
d
1)
c
a oˆ b y coˆd son opuestos por el vértice.
o
a
b
2)
c
d
o
a
b
ˆ ( cóncavo ) y cob
ˆ ( cóncavo) son opuestos
aod
por el vértice.
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Rectas perpendiculares
Dadas dos rectas coplanares, secantes, diremos que son perpendiculares si y sólo si
determinan 4 ángulos convexos congruentes que llamaremos RECTOS.
Gráficamente:
1
T
2
3
4
M
1
2
4
T M
M
3
ˆ 2;
ˆ 3;
ˆ 4ˆ ( convexos) son rectos.
1;
T
Trazado de perpendiculares
Para resolver el problema geométrico de trazar una o más perpendiculares a una recta dada
utilizaremos LA ESCUADRA.
Las figuras que siguen nos muestran como trazar una perpendicular a una recta dada que
contenga a un punto determinado.
a
A  B y aA
B
A
La perpendicularidad entre recta y plano
Una recta R es perpendicular a un plano  en un punto
perpendicular a las infinitas rectas incluidas en  que pasan por “a”.
Gráficamente:
“a” de

si y sólo si, es
R

a
B
A
A; B ;
A  B= a
R  A; R  B  R  
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La perpendicularidad entre planos
Un plano  es perpendicular a otro plano , si sólo si, cada uno de ellos incluye una recta
perpendicular al otro.
Gráficamente:


  


Polígono convexo
Dado tres o más puntos distintos que pertenecen a un mismo plano, tal que dos de ellos
determinan una recta que deja a los restantes en un mismo semiplano abierto, la intersección
de esos semiplanos cerrados es una figura llamada polígono convexo cuyos vértices son los
puntos considerados.
A   ; B   ; A  B= a
R  A; R  B ; R  
Spl  R1 , a   Spl  R2 , c   Spl  R3 , e   Spl  R4 , b   Spl  R5 , d   polígono abcde
Los segmentos ab; bc ; cd ; de; ea; son los lados del polígono.
Los extremos de un mismo lado son vértices consecutivos
Ejemplo: a y b, b y c, c y d, d y e, e y a.
Los vértices que no son extremos de un mismo lado no son consecutivos.
Ejemplo: a y c, a y d, b y d, b y e, c y e.
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Los segmentos que tienen por extremos vértices no consecutivos se llaman diagonales del
polígono.
Ejemplos: ac ; ad ; bd ; be; ec
ˆ ; bcd
ˆ ; dea
ˆ ; cde
ˆ ; eab
ˆ , son los ángulos interiores del polígono y se
Los ángulos convexos abc
cumple la siguiente relación:
ˆ
polígono abcde  abc
ˆ
polígono abcde  bcd
ˆ
polígono abcde  cde
ˆ
polígono abcde  dea
ˆ
polígono abcde  eab
ˆ  bcd
ˆ  dea
ˆ  cde
ˆ  eab
ˆ  polígono abcde
También podemos anotar: abc
La figura unión de los lados de un polígono es una POLIGONAL que llamaremos FRONTERA
del polígono.
Todos los puntos de un polígono convexo que no pertenecen a su frontera forman un conjunto
llamado región interior de mismo ( I )
Podemos definir a algunos POLÍGONOS como la figura UNIÓN de una poligonal simple
cerrada y la región interior que ésta determina.
De acuerdo con este último concepto observamos que existen polígonos que son figuras
a
cóncavas.
e
b
c
d
poligonal cerrada abcde  I  polígono abcde(cóncavo)
a
e
b
d
c
poligonal cerrada abcde  I  polígono abcde(convexo)
NOTA: Distingue el dibujo de una poligonal del de un polígono mediante el sombreada
Poligonal
Polígono
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Clasificación de los polígonos convexos según el número de lados y ángulos
NÚMERO DE LADOS O
DE ÁNGULOS
NOMBRE
3
Triángulo-trilátero
4
Cuadrángulo- cuadrilátero
5
6
7
GRÁFICO
Pentágono- pentalátero
Hexágono- hexalátero
Heptágono- heptalátero
8
Octógono- octalátero
9
Eneágono- enelátero
10
Decágono- decalátero
11
Undecágono- undecalátero
Clasificación de los triángulos
a ) SEGÚN SUS LADOS:
a 1) ISÓSCELES : es el que tiene al menos dos de sus lados congruentes.
a 2) ESCALENO: es el que tiene sus tres lados congruentes.
NOTA: A los ISÓSCELES que tienen sus tres lados congruentes los llamaremos EQUILÁTEROS.
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Profesoras: María Loreto Calot, Silvina Fondere y Flavia Minatelli
Gráficamente:
a1)
a 2)
ISÓSCELES
EQUILÁTERO
ESCALENO
b ) SEGÚN SUS ÁNGULOS:
b1 ) ACUTÁNGULO : Es el que tiene sus tres ángulos interiores agudos.
b2 ) OBTUSÁNGULO : Es el que tiene un ángulo interior obtuso.
b3 ) RECTÁNGULO : Es el que tiene un ángulo interior recto.
b1 )
b2 )
b3 )
TIPOS DE CUADRILÁTEROS : ( tal que cada tipo herede las propiedades del tipo anterior)
RECTÁNGULO
TRAPECIO
PARALELOGRAMO
CUADRADO
ROMBO
SEMIRROMBOIDE
ROMBOIDE
TRAPECIO: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.
PARALELOGRAMO: cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.
SEMIRROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados consecutivos congruentes.
ROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos dos pares de lados consecutivos congruentes.
RECTÁNGULO: cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos congruentes.
ROMBO: cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes.
CUADRADO: cuadrilátero con sus cuatro lados y cuatro ángulos congruentes.
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PROPIEDADES DE LOS LADOS, ÁNGULOS Y DIAGONALES DE LOS
CUADRILÁTEROS
ROMBOIDE
Dos pares de
lados opuestos
congruentes
Lados
consecutivos
congruentes
X
Un par de
ángulos
opuestos
congruentes
X
PARALELOGRAMO
RECTÁNGULO
ROMBO
CUADRADO
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Dos pares de
ángulos
opuestos
congruentes
X
X
X
X
Diagonales que
se cortan
mutuamente en
partes
congruentes
X
X
X
X
Diagonales
congruentes
X
X
Diagonales
perpendiculares
X
X
X
Una diagonal es
bisectriz de un
par de ángulos
opuestos
X
X
X
X
X
Cada diagonal es
bisectriz de un
par de ángulos
opuestos
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EJEMPLOS GRÁFICOS DE ALGUNOS CUADRILÁTEROS
SEMIRROMBOIDE
ROMBOIDE
PARALELOGRAMO
ROMBO NO CUADRADO
TRAPECIO
RECTÁNGULO NO CUADRADO
ROMBO CUADRADO
Mediatriz de un segmento
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a la recta del segmento en el punto medio
de éste.
Gráficamente:
b
M
M mediatriz de ab
a
Bisectriz de un ángulo
Bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior del ángulo que lo parte en dos ángulos
congruentes.
Gráficamente:
o
b
p

ˆ
Sop bisectriz aob
a
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Amplitudes de los ángulos en el sistema sexagesimal
TIPO
AMPLITUD
NULO
0º
AGUDO
Mayor que 0º y menor que 90º
RECTO
90º
OBTUSO
Mayor que 90º y menor que 180º
LLANO
180º
CÓNCAVO
Mayor que 180º y menor que 360º
PLENO
360º
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus amplitudes es 90º.
En símbolos:
Sean ̂ y ̂ , dos ángulos cualesquiera:
̂
y
̂ son complementarios  ampl. ̂ + ampl. ̂ = 90º
Gráficamente:


ampl. ̂ = 60º
ampl. ̂ = 30º
̂
y
̂ son complementarios pues:
60º + 30º = 90º
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus amplitudes es 180º
En símbolos:
Sean ̂
y
̂
̂
y
̂ son suplementarios  ampl. ̂ + ampl. ̂ = 180º
ángulos cualesquiera:
Gráficamente:
̂
̂
ampl. ̂ = 60º
ampl. ̂ = 120º
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̂
̂ son suplementarios pues: 60º + 120º = 180º
y
Propiedad de los ángulos opuestos por el vértice
Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes (tienen igual amplitud).
En símbolos:
Sean ̂ y ̂ ángulos cualesquiera:
̂ y ̂
son opuestos por el vértice  ̂  ̂
Gráficamente:
c
*
b

*
o
*d

* a
̂
coˆ d ( cóncavo )  boˆd ( cóncavo )

̂
Propiedad de los ángulos adyacentes
Si dos ángulos son adyacentes entonces son suplementarios.
En símbolos:
Sean ̂ y ̂ ángulos cualesquiera :
̂
y
̂ son adyacentes  ampl. ̂ + ampl. ̂ = 180º
Gráficamente:
̂


y
̂ adyacentes , luego:
ampl. ̂
+ ampl. ̂ = 180º
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Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo
La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
En símbolos:
Sean ̂ , ̂ , ŷ , ángulos:
̂ , ̂ , y ŷ son ángulos interiores de un triángulo  ampl. ̂ + ampl. ̂ + ampl. ŷ = 180º
Gráficamente:
abˆc , b aˆ c y b cˆa ángulos interiores
a
del abˆc , luego:
ampl. abˆc + ampl. b aˆ c + a
mpl. b cˆa = 180º
c
b
Sistema Métrico Legal Argentino
La medición es una necesidad básica ya desde el comienzo de los tiempos. La humanidad necesita
medir diferentes cosas para saber por ejemplo cuantos días va a tardar en desplazarse de un lugar a
otro, cuantas semillas necesita para poder sembrar un terreno, etc.
Era común utilizar partes del cuerpo humano como unidades para medir: las longitudes de los
antebrazos, pies, manos o pulgadas. Y así, las distintas tribus, pueblos o naciones tomaron como
patrones los tamaños del cuerpo humano de sus respectivos reyes. El problema era que, por ejemplo
el rey de un lugar no tenía la misma talla de pie que el rey vecino y para colmo, cuando el rey moría o
era sucedido, cambiaba el tamaño de la unidad, pero no el nombre.
Eran variables de una ciudad a la vecina, lo que suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes,
ciudadanos y los funcionarios del fisco.
El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y racionalización de las unidades de medición, y de
sus múltiplos y submúltiplos. Fue el resultado de las muchas reformas aparecidas durante el período
de la Revolución Francesa, entre 1789 y 1799.
Ningún otro aspecto de la ciencia aplicada afectó tanto al curso de la actividad humana tan directa y
universalmente.
En 1863 nuestro país adoptó por la ley Nº 52 el Sistema Métrico Decimal. La ley Nº 845 del año
1877 lo declara de uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohibe el uso de otros sistemas.
A partir de 1960, el Sistema Métrico pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades, (conocido
como S.I.). Argentina lo adopta con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.L.A.)
Es el constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del SISTEMA
INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) y las unidades ajenas al S.I. que se incorporan para satisfacer
requerimientos de empleo en determinados campos de aplicación.
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El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único sistema de unidades de uso
autorizado en Argentina.
Se parte de 7 unidades bases a saber:
Las unidades derivadas que veremos son:
MAGNITUD
NOMBRE
Superficie
Masa
Volumen
SÍMBOLO
m2
metro cuadrado
gramo
metro cubico
g
m3
Múltiplos y submúltiplos
Medidas de longitud
km
Hm
dam
m
dm
cm
mm
Medidas de peso
t
q
Mg
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
cl
ml
Medidas de capacidad
Kl
hl
dal
l
dl
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Medidas de superficie
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Medidas de volumen
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Medidas agrarias
hm2
dam2
m2
Hectárea
área
centiárea
De equivalencia entre capacidad, volumen y masa
Capacidad
Volumen
Peso
1kl
1m3
1t
1l
1dm3
1 kg
1 ml
1cm3
1g
Medidas de tiempo
1 día = 24 horas...1 hora = 60 minutos...1 minuto = 60 segundo
Otras unidades son:
la semana: 7 días
el año común: 365 días
la década: 10 años
la quincena: 15 días
el año bisiesto: 366 días
el siglo: 100 años
el mes : 30 días
el lustro: 5 años
el milenio: 1000 años
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FÓRMULAS DE ALGUNAS FORMAS DEL PLANO
FIGURA
ÁREA (medida de la
superficie)
Cuadrado
A  l2
Triángulo
A
Rombo
A
Romboide
A
Rectángulo
Paralelogramo
Trapecio
Polígono regular de n lados
Circunferencia
A
Dd
2
Dd
2
P  l  l  l  l  l 4
P  l1  l2  l3
P  l  l  l  l  l 4
P  l1  2  l2  2   l1  l2   2
A  bh
P  l1  2  l2  2   l1  l2   2
A  bh
P  l1  2  l2  2   l1  l2   2
A
Trapezoide
bh
2
PERÍMETRO
B  b  h
2
n l  a 1
 P a
2
2
π . r2
P  l1  l2  l3  l4
P  l1  l2  l3  l4
P  l n
π . diámetro
Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.
(Aristóteles)
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SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE LOS CUERPOS
CUERPOS
CUBO
SUPERFICIE
LATERAL (SL)
SUPERFICIE TOTAL
(ST)
l2  4
l2 6
l3
perímetro de la base  h
SL  Sup. de las 2 bases
Sup. de la base  h
PRISMA
perímetro de la base  h
PARALELEPÍPEDO
PIRÁMIDE
SL  Sup. de las 2 bases
perímetro  apotema
2
SL  Sup. de la base
  d  h    2r  h
SL  2    r 2
 r  g
SL    r 2
VOLUMEN (V)
SL  Sup. de la base
o
l arg o  alto  ancho
sup. de la base  h
3
 r2 h
CILINDRO
 r2 h
3
CONO
ESFERA
4   r 2
4
3
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Trabajo
Práctico
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1) Mariela quiere colocarles puntillas a 15 mantelitos rectangulares. Cada mantelito mide 25 cm de
ancho y 50 cm de largo. ¿Cuánta puntilla debe comprar?
2) Pablo es el dueño de un terreno rectangular que mide 12 metros de frente y 15 metros de fondo.
a) Quiere alambrar el terreno con dos vueltas de alambre. ¿cuántos metros de alambre tiene que
comprar?
b) En la mitad del terreno quiere colocar césped. ¿cuántos m2 de césped necesita?
2
3) Un triángulo tiene la misma base y altura que un rectángulo de 15 m .
Calcula el área del
triángulo.
4) Una caja con forma de cubo contiene 200 gramos de caramelos.
Si construyo otra caja
duplicando las medidas de la caja anterior, ¿cuántos gramos de caramelos iguales a los primeros
puedo poner en la caja nueva?
5) ¿Se puede guardar una pelota esférica de 5 cm de radio adentro de una caja cúbica de 7 cm de
arista? Explica tu respuesta.
6) Marta camina todas las mañanas 10 km. Si cada cuadra mide 100 m y las calles que cruza
tienen un ancho de 2 dam. ¿es cierto que caminando 20 cuadras con sus cruces, ida y vuelta,
consigue su objetivo? Si no es así, ¿cuánto le falta caminar?
7) Los chicos de 6° colocan sogas alrededor de un sector del patio de la escuela para dedicarlo a
jugar a la rayuela. Si usaron 34 metros de soga y el sector que delimitaron es cuadrado. ¿cuál
es la medida d elos lados de ese sector?
8) a) Nacho dibuja varios cuadrados. Completa la tabla.
b) Irene dibuja cuadrados cuyos lados son 6 cm más largos que los de Nacho. Completa la tabla
9) Matías dibuja un rectángulo y luego otro en el que cada lado mide el doble de las medidas
originales. Completa las tablas
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10) Con una cuerda de 90 cm de largo Ariel puede formar el borde de diferentes rectángulos.
Completa la tabla.
11) Indica el área de cada figura usando el cuadradito negro como unidad de medida y responde:
a)
b)
c)
d)
¿cuál de las figuras tiene mayor área.
¿cuál de las figuras tiene menor área?
Nombra dos figuras que tengan igual área.
¿cuál de las figuras tiene menor perímetro?
A
B
C
D
12) Para saber cuántos dal son 25 cl, Juan pensó lo siguiente:
Explica usando la idea de Juan:
a) ¿cuántos dal hay en 120 l?
b) ¿cuántos dal hay en 12,5 cl?
c) ¿cuántos hl hay en 50 dl?
13) Un auto consume 30 litros de nafta para hacer 330 kilómetros y otro auto consume 2000 mililitros de
nafta para hacer 25000 metros. ¿cuál de los dos consume menos? Escribe lo que haces para
responder el problema.
14) A los números que aparecen en las siguientes frases se les borró la coma. Coloca una coma en
cada uno, para que las medidas sean reales:
a) El peso de una lapicera es de 1250 gramos.
b) La capacidad de una pileta de natación es de 25000 hl.
c) El peso de una manzana es de 1255 gramos.
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15) Completa escribiendo la unidad de capacidad que corresponde para indicar la cantidad total:
16) Cada cuerpo está formado por cubitos de 1 cm de arista.
a) ¿cuántos cubitos de 1 cm de arista forman cada cuerpo??
b) ¿cuál ocupa más espacio? ¿por qué?
17) Lean los ingredientes de la receta y respondan:
a) Si hay 250 gramos de harina de mandioca, ¿qué cantidad de harina es la que falta para los
chipás?
b) ¿qué cantidad de queso provolone hay que comprar si en la heladera hay 400 gramos?
18) En un almacén hay 12 botellas de agua mineral de 1,5 litros cada una.
a) ¿cuántos litros faltan para legar a tener 1 hectolitro de agua mineral?
b) ¿cuántos vasos de 30 cl de capacidad se pueden llenar con esas 12 botellas?
c) ¿cuántas botellas de 1 litro de agua mineral y cuántas de ¾ l harían falta para tener la misma
capacidad?
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19) Esta caja se va a llenar con la arena que entra en de un cubo de 1cm3. ¿cuántas veces debe
vaciar el cubo dentro de esta caja? ¿se logra llenar la caja? ¿por qué?
20) El contenido de un bidón con 5 litros de detergente se fraccionó en cuartos de litro y cada cuarto
fue diluido con dos litros de agua. ¿cuántos litros de agua se necesitaron mara diluir el contenido
del todo el bidón?
21) Una pileta de natación tiene 5 m de ancho, 10,5 m de largo y 2 m de profundidad.
a) ¿cuántos metros cúbicos de agua entran en una pileta?
b) Si quieren poner una guarda cerámica alrededor del borde de la pileta, ¿cuántos metros de
guarda deben comprar?
c) Para pintar la pileta es necesario calcular el área de las paredes y del piso, ¿cuál es el área
que debe pintarse?
d) Si 1 m3 de agua equivale a 1000 litros, ¿cuántos litros de agua entran en esa pileta?
22) Combinando figuras: calcula el área de las figuras sombreadas:
c
b
a
d
e
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23) Federico tiene que envasar 15 kg de mermelada de durazno y 12 kg de mermelada de frutilla. Se
utiliza envases de vidrio de 450 gr, de ¼ de kg, de 12500 cg, de 1 kg y de ½ kg.
a) Escribe la cantidad de envases que necesita de cada tipo, para la mermelada de durazno,
sabiendo que utiliza un envase de 12500 cg.
b) Escribe la cantidad de envases que necesita de cada tipo para la mermelada de frutilla,
sabiendo que utiliza 8 envases de 1 kg.
24) Con la cuarta parde de la cantidad de jugo de una jarra se sirvieron hasta la mitad 3 vasos de 250
ml de capacidad.
a) ¿Qué cantidad de jugo había en la jarra?
b) ¿qué cantidad de jugo se utilizó para llenar los vasos?
25) Un bebé perdió 180 gr del peso que tenía al nacer, durante sus primeros 5 días. Al cumplir un
mes pesaba 3,710 kg, 640 gr más de lo que pesaba en su quinto día de vida.
a) ¿cuánto pesó al nacer?
b) Si durante su primera quincena de vida aumentó 50 gr con respecto al peso que tenía al
nacer, ¿cuánto llegó a pesar en esa quincena?
26) Lisandro tiene que tomar una medida de 7,5 ml de medicamento.
¿para cuántas dosis le
alcanza un frasco de 15 dl?
27) De un rollo de alambre de 24 metros se cortan 20 trozos iguales. ¿cuántos centímetros mide
cada trozo?
NOCIONES DEL PLANO
1)
Dibuja, si fuera posible, la (o las) figura que cumpla la condición enunciada. Si no fuera posible
explica por qué.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
polígono romboide y paralelogramo.
Dos semirrectas con igual origen incluidas en la misma recta u opuestas, pero no ambas.
Cuadrilátero convexo con diagonales congruentes y no rectángulo.
Es triángulo equilátero y con sus tres lados distintos.
Dos segmentos colineales y no consecutivos.
Un triángulo rectángulo y equilátero.
Paralelogramo no rectángulo.
rombo no cuadrado.
cuadrado no rectángulo.
Cuadrilátero convexo regular o de diagonales que se cortan mutuamente en partes
congruentes, pero no ambas.
2) Escribe diferencias y similitudes entre los siguientes pares de formas del plano.
FORMA DEL PLANO
SIMILITUDES
DIFERENCIAS
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3) Responde :
a) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiláteros?
b) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiángulo
c) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiláteros y equiángulos?
4) Construyan un cuadrilátero convexo para cada una de las siguientes condiciones.
a) Los cuatro lados congruentes.
b) Cuyos lados opuestos no sean paralelos.
c) Con un ángulo recto y un par de lados opuestos paralelos.
¿Es única la respuesta para cada uno de los casos?
5) Decide para cada una de las siguientes afirmaciones si es SIEMPRE, A VECES O NUNCA ,
verdadera.
En caso de ser “ a veces” verdadera, dé un ejemplo con un dibujo en el que sea otro en el que no lo
sea.
 Un rombo es trapecio. ( ................... )
 Un polígono es un figura convexa. ( ................... )
 Un cuadrado es un semirromboide. ( ................... )
 Un paralelogramo es rectángulo. ( ................... )
 Un trapecio es rombo. ( ................... )
 Un semirromboide es paralelogramo. ( ................... )
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 Un polígono de 7 lados es cóncavo. ( ................... )
 Un cuadrilátero que tiene sus diagonales congruentes es rombo. ( ................... )
 Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes es romboide.
( ...................)
6) Completa:
a) Si un paralelogramo es romboide entonces es ...................................
b)
Si un rombo es rectángulo entonces es..............................................
c)
Si un cuadrilátero tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes entonces es……………….
7) Completa la frase en cada caso con a veces, siempre o nunca, según corresponda.
a) Dos ángulos suplementarios………………..son adyacentes.
b) Dos ángulos adyacentes………………….son consecutivos.
c) Dos ángulos consecutivos………………..adyacentes.
d) Dos ángulos adyacentes de igual amplitud…………………..son llanos.
e) Dos ángulos opuestos por el vértice…………………..son complementarios.
f) Dos ángulos opuestos por el vértice suplementarios…………………..son rectos.
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Marco teórico
y
Trabajo
Práctico
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ACTIVIDAD 1
Correspondencias entre medidas de figuras
En esta actividad te mostramos las figuras A, B, C y D dibujadas sobre un papel cuadriculado con
cuadrados de 1 cm2, o sea de 1 cm de lado.
a) ¿Cuál es el área y cuál el perímetro de cada figura? Completa con los resultados la siguiente tabla.
FIGURA
A
B
C
D
E
ÁREA en cm
2
PERÍMETRO en cm
b) Imagina que las mismas figuras se hubieran hecho sobre un papel tramado con cuadrados de 2 cm
de lado. Dibuja esas nuevas figuras. ¿Crees que el área y el perímetro resultan el doble de los que
figuran en el cuadro de la consigna a? Anota en tu carpeta qué te parece
c) Calcula las áreas en cm2 y los perímetros en cm de las figuras que dibujaste en la consigna b. Con
los resultados de los cálculos construí una tabla como la anterior y comprueba si tu predicción resultó
cierta.
d) Averigua ahora cómo varían el área y el perímetro de las figuras si se las dibuja en papel tramado
con cuadrados de 3 cm de lado, y luego, de 4 cm de lado. Haz los cálculos y anota los resultados en
una tabla.
e) Reúnete con otros compañeros y distribuyan las figuras A, B, C y D del primer ejercicio. Cada uno
deberá completar dos tablas como la siguiente para cada una de las figuras que le toque.
Medida del Lado del
cuadrado de la
trama en cm
1
2
3
4
Área de la figura en
cm2
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Los datos reunidos en tablas como estas también pueden representarse mediante gráficos
cartesianos. Seguramente ya tuviste oportunidad de observar que estos gráficos se construyen
de la siguiente manera.
1. Se trazan dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto considerado 0 u origen. El eje
vertical se denomina y o eje de ordenadas, y el horizontal es el x o eje de abcisas.
2. Sobre ellos se marcan graduaciones con valores numéricos ordenados de manera que
aumentan hacia la derecha en x y hacia arriba en y, partiendo del punto 0. Así se pueden
encontrar puntos en el plano por la asociación de un par ordenado de puntos, como los pares que
surgen de las tablas anteriores.
• Recuerda que los números de la primera columna en la tabla son las abscisas y se representan
sobre el eje x. Los de la segunda son las ordenadas y se representan sobre el eje y.
f) Toma los datos de cada tabla que completaste en el punto anterior y representa los puntos
correspondientes en un gráfico cartesiano. Recuerda hacerlo sobre papel cuadriculados.
Observa los gráficos y responde las preguntas.
1. ¿Puedes asegurar que los gráficos de algún grupo representan correspondencias directamente
proporcionales? ¿E inversamente proporcionales? ¿Y no proporcionales? Justifica las respuestas.
2. Escribe en tu carpeta cómo varían las áreas y los perímetros de las figuras cuando se duplica,
triplica y cuadriplica la longitud del lado del cuadrado de la trama sobre la que se dibujan las figuras.
ACTIVIDAD 2
Imágenes y dominio de una correspondencia
En varias oportunidades has usado las palabras “correspondencia” y “corresponde”.
Toda tabla que asocie valores de una cierta clase a valores de otra clase o de la misma, establece dos
correspondencias: una que se lee de izquierda a derecha y otra que se lee en sentido contrario.
En la tabla de la actividad a, la correspondencia 1, de izquierda a derecha, asocia los perímetros a las
áreas, y la correspondencia 2, inversa, de derecha a izquierda, asocia las áreas a los perímetros.
Ambas correspondencias también se pueden mostrar mediante pares ordenados de números y, a su
vez, esos pares se pueden representar en gráficos cartesianos.
a) Elige una de esas correspondencias y expresa con palabras qué pares de elementos se
corresponden.
b) Escríbelos como pares ordenados de la forma (x; y). Por ejemplo, en la figura a el par (x; y) sería
(20; 24).
Cuando un valor de y corresponde a un valor de x, se dice que ese valor de y es una imagen
del valor de x.
Por ejemplo, en la correspondencia 1 (en símbolos C1), los valores 20 y 28 son imágenes de
13; 20 es imagen de 24.
c) ¿Cuál es la imagen de 24 en la correspondencia 1?
¿De qué valores es imagen 4 en la correspondencia 2?
d) Escribí todos los pares de la correspondencia 2 entre los perímetros y las áreas de las figuras y
responde las preguntas.
1. ¿Cuántas imágenes tiene 8 en esa correspondencia?
2. ¿Cuántas imágenes tiene 20?
3. Representa la correspondencia 2 en un gráfico cartesiano y observa cómo se ubican los
puntos que representan dos áreas correspondientes a un mismo perímetro.
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Se llama dominio de una correspondencia al conjunto de valores que toma la variable x.
Por ejemplo: cada correspondencia de la consigna a tiene un dominio que se puede enunciar
explícitamente: el dominio de la correspondencia 1 es el conjunto formado por 4, 13, 24..
e) Escribe el dominio de la correspondencia 2.
f) Elige dos de las tablas que construiste el punto a de la actividad 1, indica el dominio de cada una y
escribe como pares ordenados los pares de valores que se corresponden.
Como viste, existen diferentes tipos de correspondencias. En la siguiente actividad vas a usar estos
dos elementos: dominio e imagen para caracterizar un tipo especial de correspondencias: las
funciones.
ACTIVIDAD 3
¿Qué correspondencias son funciones?
a) Escribe el dominio y el conjunto de imágenes de cada una de las correspondencias de las
tablas.
b) Observa las tablas en cada correspondencia y responde: ¿hay algún elemento de la columna “x”
(conjunto de partida) con más de una imagen? Si es así, indica cuál es. ¿Hay algún elemento que es
imagen de varios elementos del dominio? Si lo hubiera, indica cuál es.
c) Revisa las correspondencias 1 y 2 de la actividad anterior.
1. ¿Hay alguna en la que se puede afirmar que “a cada elemento del dominio le corresponde una
única imagen”? Si es así, indica cuál es la correspondencia.
2. Si alguna de esas correspondencias no cumple la afirmación, decí en qué falla.
d) Buscá en tu carpeta las representaciones en coordenadas cartesianas de las correspondencias de
la actividad 1 y observa cómo se puede reconocer en un gráfico de correspondencias cada una de las
siguientes propiedades:
1. A cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen.
2. A algún elemento del conjunto de partida le corresponde más de una imagen.
e) Escribí tus observaciones
Una correspondencia es función cuando a cada elemento del dominio le corresponde una y
sola una imagen
.
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FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICOS FUNCIONALES
ACTIVIDAD 4
El lenguaje de las funciones
El objetivo de esta actividad es trabajar el significado de algunos términos matemáticos que están
relacionados con el estudio de las funciones tales como: correspondencia, variables independientes y
dependientes, dominio e imagen de una correspondencia y función.
a) observa las agrupaciones triangulares de puntos y agrega otra agrupación más que tenga 6 filas de
puntos
b) 1. Observa el número de puntos que está en la fila de la base de cada una de las agrupaciones y,
a partir de tus observaciones, completa la tabla con los datos de todos los triángulos.
.
Tal como surge de la observación de la tabla anterior, los números de la columna de la
izquierda así como los de la derecha toman distintos valores: por esta razón se denominan
variables
2. Observa la tabla y responde:
2. 1. Según la posición que los números ocupan en la tabla, ¿cuál es la variable independiente y cuál
es la variable dependiente?
2. 2. En Matemática, ¿qué letras se usan para designar, en general, a esas variables?
2. 3. Pensá si la correspondencia que muestra tu tabla es una función y explicá por qué.
En general, para indicar una función numérica se utiliza la siguiente notación, f : A  B, que se lee
“función de A sobre B, con dominio A e imagen B” o bien y = f(x) que se lee “función de x con variable
independiente x y variable dependiente y”. En el lenguaje simbólico de las funciones es lo mismo
escribir y que f(x).
Las funciones más frecuentes en Matemática son aquellas en las que a cada número de un dominio le
corresponde otro número del conjunto imagen. Por ejemplo, la función …“siguiente de” …, tiene
dominio en el conjunto de los números naturales y a cada número natural le hace corresponder otro
número del mismo conjunto que es su siguiente.
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En general, para indicar una función numérica se utiliza la siguiente notación, f : A  B, que se
lee “función de A sobre B, con dominio A e imagen B” o bien y = f(x) que se lee “función de x
con variable independiente x y variable dependiente y”. En el lenguaje simbólico de las
funciones es lo mismo escribir y que f(x).
Las funciones más frecuentes en Matemática son aquellas en las que a cada número de un
dominio le corresponde otro número del conjunto imagen. Por ejemplo, la función …“siguiente
de” …, tiene dominio en el conjunto de los números naturales y a cada número natural le hace
corresponder otro número del mismo conjunto que es su siguiente
c) Analiza la siguiente situación y anota todos los datos que necesiten para poder resolverlo.
Pensá en una familia de rectángulos que tengan la misma altura y ancho variable. Por ejemplo, la
altura constante es de 3 unidades y el ancho x variable. La fórmula del área de esos rectángulos es
Área = 3 x.
Si el dominio de x fueran todos los números reales (racionales e irracionales) comprendidos entre 1,2
y 2,5.
1. ¿Es posible construir una tabla con todos los posibles valores x y los respectivos valores del
área; es decir 3 x?
2. ¿Por qué?
Actividad 5
Función Afín
a) Observa estos tres gráficos que corresponden a diferentes funciones.
1. Perímetro de pentágonos
regulares en función del lado.
2. Alto de rectángulos de perímetro 20 dm
en función del ancho.
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3.
y = x + 3 es una función afín no proporcional
b) 1. Selecciona la fórmula que representa cada función y cópiala debajo del gráfico.
2. Indica cuál es el dominio y cuál es el conjunto imagen.
3. Analiza cada caso y decide si se trata, o no, de una función de proporcionalidad directa. Justifica
tus decisiones.
Las funciones cuyos puntos [x,y] están alineados sobre una recta se denominan funciones AFINES.
c) Lee las siguientes características de las funciones afines y fíjate si se cumplen en los ejemplos
mencionados anteriormente. En cada caso define cuál es el dominio de la función.
c1. En las ecuaciones correspondientes a las funciones afines, las variables x e y están
elevadas a la primera potencia.
c2. Si el dominio de una función afín es discontinuo (por ejemplo, los números enteros) la
función no se representa por un trazo continuo, sino por puntos alineados.
Habrás podido observar que en esos tres ejemplos el exponente de las variables x e y no se
escribe porque se trata de la primera potencia y por lo tanto las ecuaciones que corresponden
a esas funciones son ecuaciones de primer grado. Si definiste el dominio de la función en el
conjunto de los números enteros, ese dominio es discontinuo y en ese caso la función
quedará representada por puntos. En cambio, si en el dominio se incluyen todos los números
reales, racionales e irracionales, la representación es un trazo recto continuo.
Actividad 6
Elementos de las funciones afines
En esta actividad estudiarás otras características de las funciones afines. Para realizarla te conviene
trabajar sobre papel cuadriculado.
a) Grafica en un par de ejes cartesianos la función afín =
+
Por tratarse de una función afín es suficiente que determines el valor de y para dos valores
cualesquiera de x, por ejemplo 1 y 7, y traces las respectivas coordenadas. Verás que los dos
puntos que obtengas te permitirán trazar la recta que grafica la función.
b) A partir del trazado de la recta, ha quedado determinado un triángulo rectángulo de vértices
(1,4) (7,6) y (7,4).
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Observa tu gráfico y resuelve lo que se pide en cada consigna:
* Marca en el gráfico el ángulo que forma la recta con el eje x. Llámalo .
* Fíjate cuánto mide cada uno de los catetos y anótalo en el gráfico.
Si trabajaste bien, tu gráfico será como este:
La resta (diferencia) entre las
ordenadas (6 - 4) se representa por
el símbolo
(Δ es la letra griega
delta mayúscula). La resta
(diferencia) entre las abscisas
(7 – 1) se representa por el símbolo
.
c) Observa el siguiente gráfico. Podrás comprobar que entre dos puntos cualesquiera que pertenezcan
a la recta, se puede trazar un triángulo rectángulo.
Tal como surge del gráfico, la razón de los catetos de cada triángulo tiene siempre el mismo valor, en
este caso . Esa razón se llama pendiente de la recta (m).
En símbolos:
=
donde m es el número que indica la razón entre las dos diferencias
yΔ .
Δ
Observa que para un mismo valor de Δ la pendiente m depende directamente de . Si
es un
número pequeño, la recta estará poco inclinada con relación al eje x, en cambio, si
es mayor,
también es mayor m y la recta tendrá mayor inclinación.
d) Calcula el valor que toma y en la ecuación =
+
cuando la variable independiente x vale 0.
Es decir, calcula qué valor tiene la ordenada en el punto de abscisa 0.
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Ten en cuenta que a una función lineal le corresponde en símbolos la ecuación de una recta, por
ejemplo, =
+ . Cuando la variable independiente x vale 0, la ordenada tiene el valor del
término independiente, es decir, del término que no tiene x, en este ejemplo es
, y el punto de
coordenadas (0, ) pertenece a la gráfica de la función. Para el punto (0,y) en el que la variable
independiente x tiene valor 0, se dice que y es la ordenada al origen.
Se llama ordenada al origen al valor que toma la función para x = 0.
En la ecuación de la recta, la ordenada al origen es el término independiente.
Para recordar!!!!
Por ejemplo, en la ecuación de la recta = 2 + 3, la variable dependiente es , la variable
independiente es , el término independiente es 3 y la pendiente es 2.
Ya el matemático griego Euclides (siglo IV a.C.) estableció que dos puntos de un plano determinan
una única recta a la que pertenecen. Cuando se conoce la ecuación de una recta, para graficarla no es
necesario construir una tabla de valores, sino que es suficiente con determinar dos puntos de ella, o
bien un punto y la pendiente, es decir, el ángulo que forma la recta con la dirección horizontal.
Por ejemplo, si se conoce un punto como la ordenada al origen y la pendiente de la recta, esos dos
elementos son suficientes para graficarla.
De este modo, para graficar la recta y = 3 x + 1, en la que la pendiente es 3, y la ordenada al origen es
1, conviene marcar primero 1 unidad hacia arriba en el sentido positivo del
porque b = 1 es
positiva. Ese punto de coordenadas (0,1) pertenece a la recta. A partir de ese punto se marcan 3
unidades hacia arriba y una hacia la derecha porque m = 3 es el cociente entre
=3
= 1.
e) Representa la recta
= −
– 2. Luego responde.
1. ¿En qué sentido sobre el eje y marcaste la ordenada al origen? ¿Por qué?
2. ¿Cómo usaste el valor de la pendiente para determinar las coordenadas de otro punto de la
recta?
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Si una función lineal tiene pendiente positiva, la función es creciente, vale decir que si x2 toma un valor
mayor que x1, entonces y2 es mayor que y1.
Si una función lineal tiene pendiente negativa, la función es decreciente, vale decir que si x2 toma un
valor mayor que x1, entonces y2 es menor que y1.
ACTIVIDAD 7
Posiciones relativas de dos rectas
En la actividad anterior aprendiste a representar una función lineal a partir del conocimiento de su
ecuación. Ahora verás cómo identificar, mediante el análisis de las pendientes, pares de rectas
paralelas y pares de rectas perpendiculares.
a) Representa en un mismo gráfico las rectas
=
+
=
+ , .
¿Qué elementos de ambas ecuaciones indican que las dos rectas son paralelas?
b) Representa en un mismo gráfico las rectas
= −
–
=
− .
¿Qué elementos de ambas ecuaciones indican que las dos rectas son perpendiculares?
c) Dadas las siguientes funciones lineales (todas ellas con dominio en los números racionales).
I.
1( ) =
− 2
II.
III.
IV.
2( ) = −
f3 ( ) = 6
4( ) = 6
− 3
+ 2
1. Indica la ordenada al origen y la pendiente de cada una de ellas.
2. Observando las ecuaciones, ¿puedes anticipar qué diferencia habrá en la representación de las
funciones 1
2?
3. ¿Y en las de las funciones 3
4?
d) Escribe las ecuaciones de dos rectas que sean perpendiculares y tengan distintas ordenadas al
origen.
e) Escribe las ecuaciones de dos rectas paralelas que sean decrecientes.
ACTIVIDAD 8
Comportamiento de funciones
En las siguientes tablas de funciones, elegí dos elementos distintos del dominio, teniendo en cuenta
que el primero sea menor que el segundo. Compara los respectivos valores correspondientes.
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Habrás observado que en estas funciones, siempre que se toman dos
valores del dominio de modo que uno sea menor que el otro, entre
las imágenes se mantiene el mismo sentido de la desigualdad.
Por ejemplo si a y b son elementos del dominio de la función g(x)
y a es menor que b, entonces g(a) es menor que g(b).
Por ejemplo, la función:
f: Z → Z / f(x) = 2x + 2 es función creciente
porque al crecer los elementos del dominio también crecen las
respectivas imágenes.
Por lo tanto se puede afirmar:
Una función es creciente cuando para todo par de elementos a y b del dominio se verifica que si a es
menor que b, entonces la imagen de a es menor que la imagen de b.
En símbolos: a < b f(a) < f(b)
Por el contrario, una función es decreciente cuando para todo par de elementos a y b del dominio se
verifica que si a es menor que b, entonces la imagen de a es mayor que la imagen de b.
En símbolos: a < b → f(a) > f(b).
ACTIVIDAD 9
Continuamos analizando funciones
a) Representa la recta correspondiente a la función que le asigna como imagen a cualquier número
racional el número 5, es decir f: Q → Q; f (x) = 5.
1. ¿Qué valor tiene la pendiente de la recta?
2. ¿Cuál es la ordenada al origen de esa recta?
3. La gráfica, ¿corresponde a una función creciente? ¿Por qué?
Como acabas de comprobar:
Si una función está definida por la ecuación de una recta: y = f(x) = a0 (siendo a0 una constante), se
verifica que para todo par a y b del dominio, si a < b es f(a) = f(b) = a0.
La gráfica de esta función corresponde a una recta paralela al eje x, ubicada a0 unidades por encima o
por debajo del eje x dependiendo de que el signo de a0 sea positivo o negativo.
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Por ejemplo, al representar la velocidad
de una partícula en función del tiempo (
),
si se desplaza con una velocidad constante
de 2 (
), la gráfica que se obtiene es
una semirrecta paralela al eje x ubicada a 2 unidades
de distancia de ese eje.
Una función es constante si a todos los elementos del dominio les asigna la misma imagen a < b es
f(a) = f(b). Una función constante no es creciente ni decreciente.
b) Escribe tres funciones lineales que no sean constantes y sus correspondientes ecuaciones de
rectas.
1. Señala en cada ecuación la pendiente y la ordenada al origen.
2. Representa las tres rectas.
3. Indica, en cada caso, cuál es el valor de y que corresponde al valor x = 0.
Se llaman ceros de una función f a los valores x del dominio que satisfacen a la ecuación f(x) = 0.
c) Grafica la función f(x) = 2 x + 1 indicando pendiente y ordenada al origen.
1. Busca la intersección de la recta y = 2 x +1 con el eje x, reemplazando y por 0. Verifícalo en el
gráfico que hiciste.
2. Los pares (2, 5); (-1, 3), (- 1 , 0) ¿son algunas de las posibles soluciones de la ecuación y = 2x
+ 1? ¿Por qué?
d) Escribe pares de valores que sean soluciones de cada una de las ecuaciones de las rectas que
elegiste en la consigna b. ¿En qué punto cortan, cada una de esas rectas, el eje de las abscisas? ¿Y
el eje de las ordenadas?
e) ¿Se pueden hallar los ceros de las funciones observando su gráfico sin usar la fórmula? Justifica tu
respuesta
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ACTIVIDADES PARA RESOLVER
1) Este gráfico muestra la temperatura que se registró en Buenos Aires el 21 de junio de 2008.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2)
¿qué información brinda el punto A?
¿cuál fue la temperatura mínima ese día? ¿a qué hora se produjo?
¿A qué hora se registró la temperatura mínima?
¿en qué horarios la temperatura se mantuvo constante?
¿Qué temperatura hacía a las 6 de la tarde?
¿En qué horas la temperatura fue de 14°??
¿En qué horas la temperatura superó los 12°?
¿Entre qué horas la temperatura fue bajando?
Este gráfico representa la distancia recorrida por Marta y Juana durante los distintos momentos de
una carrera.
a)
b)
c)
d)
¿cuántos kilómetros tiene la carrera?
¿cuánto tarda cada competidora en llegar a la meta?
¿en algún momento Marta va delante de Juana?
¿cuál es la velocidad media de cada competidora?
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3) Determina en cuál de estos gráficos se puede observar una evolución positiva en la situación que
analizan.
4) El director de una escuela contrato a un detective para que estudiara el caso del alumno Papo. Se
comenta que participó del susto que le dieron a Lalo al salir de su casa. Por eso lo observa desde
hace varios días. Papo hace una vida bastante rutinaria: va todos los días al colegio, que queda a
12 km de su casa. Permanece un tiempo allí y luego regresa. Por alguna circunstancia puede ser
que se detenga en el camino de ida o de vuelta, pero esto rara vez ocurre. Papo va a la escuela
caminando o en colectivo, o combina ambas posibilidades. El detective ha representado sus
observaciones en un sistema de ejes cartesianos, que indica las horas del día en el eje horizontal y
la distancia a la casa de Papo en el eje vertical. Estos son los gráficos correspondientes a los dos
primeros días.
Indica para cada día:
a) ¿a qué hora sale Papo de su casa?
b) ¿a qué hora llega a la escuela?
c) ¿va en colectivo, caminando o combina ambas posibilidades?
d) ¿a qué hora vuelve a su casa?
e) ¿cuánto tiempo permanece en la escuela?
f) ¿vuelve caminando o en colectivo?
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5) El empleado de una remisería comienza a trabajar a las 9 de la mañana y anota en un gráfico la
distancia a la que se encuentra en cada momento del día respecto de su casa. Éstos son los
gráficos que presentó en el trabajo:
a) Describe lo que pasó en cada día.
b) ¿qué sucede el segundo día a las 15.30 horas? ¿cómo pueden interpretar ese gráfico?
6) Una empresa que se dedica a la reparación de electrodomésticos cobra $ 15 por la visita
domiciliaria, más $ 10 por cada hora de trabajo adicional. Respondan a las siguientes consignas:
a) Plantea una ecuación o fórmula que permita calcular el dinero que debemos pagar (y), en
función de las horas trabajadas (x).
b) Representa gráficamente la ecuación propuesta.
c) Si el técnico permanece 5 horas en el domicilio, ¿cuánto se deberá abonar?
d) Teniendo en cuenta el gráfico, ¿cuánto le cobraría a una persona por haberse acercado a la
casa sin haber reparado ningún electrodoméstico?
7) Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por
el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre.
Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuación
de la función que determina la altura (h) del agua después de transcurridas t horas?
8) Si una empresa que transporta valijas establece sus tarifas de la siguiente manera: $ 8 por km
recorrido y $ 12 por cada valija transportada, ¿cuánto costará trasladarse 100 km con una valija?,
¿y 200 km?
Expresen la fórmula de la función que relaciona la distancia en kilómetros (km) y el valor del traslado.
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