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UNED. ELCHE.
TUTORÍA DE ÁLGEBRA II (C. FÍSICAS)
e-mail: imozas@elx.uned.es
http://www.telefonica.net/web/imm
MATRICES DE JORDAN DE ALGUNOS ENDOMORFISMOS AFINES NOTABLES
r
Sea X un espacio afín de dimensión n, X su espacio vectorial asociado y ε el sistema de
referencia canónico. Se definen los siguientes endomorfismos:
r
r
Traslación τ vr de vector v .- τ vr (a ) = a + v , ∀a∈X
r
r
Matriz de Jordan: añadamos a v n–1 vectores hasta completar una base de X y
consideremos el sistema de referencia ε’ formado por un punto cualquiera e' 0 como origen y
1 0



dicha base. Entonces M ε ' (τ vr ) = J = 1 1



I

n −1 
siendo In–1 la matriz unidad de orden n–1, completándose con ceros el resto de J.
Homotecia h de centro C y razón ρ.- h(a) = C + ρ Ca , ∀a∈X
Matriz de Jordan: Construimos el sistema de referencia ε’ tomando como origen el
r
centro de homotecia C y una base cualquiera de X . Entonces
1


M ε ' (h ) = J = 
 ρI n 
siendo In la matriz unidad de orden n, completándose con ceros el resto de J.
Dilatación.- Es una traslación o una homotecia. Si h es homotecia de centro C y razón ρ
r
y τ vr es una traslación de vector v , puede comprobarse que h τ vr es homotecia de centro
1 r
ρ r
v y razón ρ, mientras que τ vr h es homotecia de centro C+
v y razón ρ
1− ρ
1− ρ
r
Proyección π de base B y dirección D .- (B es subespacio afín de X, de dimensión r, y
r
r
r r r
D es subespacio vectorial de X , de dimensión n–r, debiéndose cumplir que B ⊕ D = X ).
r
π(a) = a + D ∩ B , ∀a∈X
Matriz de Jordan: Construimos el sistema de referencia ε’ tomando como origen un
r
r
r
punto cualquiera de B y como base de X , ε Br ∪ ε Dr , siendo ε Br y ε Dr bases de B y D
C+
(
)
respectivamente. De esta forma,
1



M ε ' (π) = J =  I r


0 n − r 

siendo Ir la matriz unidad de orden r, 0n–r la matriz nula de orden n–r, completándose con ceros
el resto de J.
r
r
Simetría σ de base B y dirección D .- (B y D cumpliendo las mismas condiciones
que en la proyección)
σ(a) = π(a ) + aπ(a ) , ∀a∈X
r
donde π es la proyección de base B y dirección D .
Matriz de Jordan: Construimos el sistema de referencia ε’ de idéntica forma a como se
construyó para la proyección. Se tiene entonces:
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Matrices de jordan de algunos endomorfismos afines
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1



M ε ' (σ ) = J =  I r


− I n − r 

siendo Ir la matriz unidad de orden r, In–r la matriz unidad de orden n–r, completándose con
ceros el resto de J.
r
r
Deformación f de base B, dirección D y razón ρ.- (B y D cumpliendo las mismas
condiciones que en la proyección)
f(a) = π(a ) + ρπ(a )a , ∀a ∈ X
r
donde π es la proyección de base B y dirección D .
Matriz de Jordan: Construimos el sistema de referencia ε’ de idéntica forma a como se
construyó para la proyección. Se tiene entonces:
1



M ε ' (f ) = J =  I r


ρI n − r 

siendo Ir la matriz unidad de orden r, In–r la matriz unidad de orden n–r, completándose con
ceros el resto de J.
v
El producto de una deformación por una traslación de vectror perteneciente a B es una
r
deformación con deslizamiento. Si el vector de traslación es v y elegimos el sistema de
r
referencia ε’ de idéntica forma a como se construyó para la proyección de forma que v ∈ ε Br se
tiene entonces:
1 0



1 1


M ε ' (f ) = J =
I r −1



ρI n − r 

siendo Ir–1 la matriz unidad de orden r–1, In–r la matriz unidad de orden n–r, completándose con
ceros el resto de J.
r
Transvección f de base H (hiperplano) y dirección v // H .a , ∀a ∈ H
f(a) =  r
a + v, ∀a ∈ X − H
(
)
r r
Matriz de Jordan: Construimos el sistema de referencia ε’ = e' 0 , u , v, e' 3 ,...., e' n , siendo
r r r r
r
r r
u ∉ H y v, e' 3 ,...., e' n una base de H. Puede comprobarse que entonces f (u ) = u + v . Así
(
)
pues:
1 0 0



0 1 0


M ε ' (f ) = J =
0 1 1


I n − 2 

siendo In–2 la matriz unidad de orden n–2, completándose con ceros el resto de J.
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Matrices de jordan de algunos endomorfismos afines