Download Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial

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Créditos teóricos:
Créditos prácticos:
2007/08
FAC. CC. EXPERIMENTALES
INGENIERÍA QUÍMICA (99)
ÁLGEBRA LINEAL
46991101
1º
1º
1º
TRONCAL
4,5
1,5
Área:
Departamento:
Descriptores:
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO
ÁLGEBRA LINEAL. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL ÁLGEBRA
TEMARIO
TEMA 1.- INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial. Sistemas incompatibles,
compatibles determinados y compatibles indeterminados. Sistemas equivalentes: Método de
Gauss. Método de Gauss-Jordan. Interpretación geométrica de la solución de un sistema de
ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
TEMA 2.- MATRICES Y DETERMINANTES.
Matrices. Operaciones con matrices. Tipos especiales de matrices: matrices inversibles,
matrices simétricas, antisimétricas, ortogonales, matrices escalonadas. Operaciones elementales
de fila. Equivalencia por filas. Matrices elementales y forma canónica por filas. Cálculo de la
inversa mediante operaciones elementales de fila. Dependencia e independencia lineal: rango de
una matriz. Determinante de una matriz: desarrollo de Laplace. Propiedades de los
determinantes. Cálculo del determinante mediante el método de Gauss. Cálculo del rango
mediante determinantes. Cálculo de la matriz inversa mediante adjuntos. Teorema de RouchéFrobenius. Fórmula de Cramer. Soluciones de un sistema compatible indeterminado.
TEMA 3.- ALGUNAS APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y
LAS MATRICES.
Ajuste de reacciones químicas. Distribución de las temperaturas en equilibrio.
Ecuaciones lineales y redes eléctricas. Ecuaciones en diferencias: movimientos de poblaciones y
cadenas de Markov. Interpolación polinomial. Aproximación polinomial por mínimos
cuadrados.
TEMA 4.- MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
Comparación de la complejidad computacional de los diferentes métodos para resolver
sistemas de ecuaciones lineales. Teoría de errores. Métodos directos de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales: Técnicas de pivotación en el método de Gauss, métodos de factorización LU,
Doolittle, Crout y Cholesky. Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
Método de Richardson, método de Jacobi y método de Gauss-Seidel. Sistemas mal condicionados.
Número de condición de una matriz.
TEMA 5.- ESPACIOS VECTORIALES.
Definición y ejemplos. Subespacios vectoriales. Subespacio generado por un conjunto.
Independencia lineal. Bases, coordenadas y dimensión. Ecuaciones del cambio de base.
Ecuaciones paramétricas y cartesianas de subespacios. Operaciones con subespacios: suma,
intersección y suma directa. Subespacio suplementario.
TEMA 6.- ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR.
Definición de producto interior y ejemplos. Normas y distancias. Desigualdad de
Cauchy-Schwarz. Ángulo, ortogonalidad y proyección ortogonal. Bases ortonormales. Método
de ortogonalización de Gram-Schmidt. Descomposición QR de una matriz. Mejor aproximación
por mínimos cuadrados.
TEMA 7.- APLICACIONES LINEALES.
Definición y ejemplos. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Matriz asociada a una
aplicación lineal. Fórmula de las dimensiones. Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos.
Isometrías.
TEMA 8.- FORMAS CANÓNICAS DE MATRICES.
Valores y vectores propios de una matriz. Polinomios mínimo y característico.
Teorema de Cayley-Hamilton. Teorema de Diagonalización. Diagonalización ortogonal. Forma
canónica de Jordan. Cálculo numérico de valores y vectores propios: Método de la potencia,
método de la potencia inversa, Teoremas de Schur y Gershgorin. Análisis de la evolución de
modelos lineales de migración de poblaciones y cadenas de Markov. Aplicaciones de la
diagonalización a las ecuaciones diferenciales.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA RECOMENDADA
-
H. ANTON. Introducción al Álgebra Lineal(3ª edición). Ed. Limusa Wiley, 2004.
M. ANZOLA, J. CARUNCHO. Problemas de Álgebra, Vol. 3. Madrid, 1981.
R. BURDEN, J. DOUGLAS. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamericana.
D.C. LAY. Álgebra Lineal y sus aplicaciones (segunda edición). Prentice Hall, 2001.
S. LIPSCHUTZ, Álgebra Lineal (segunda edición). Ed. MacGraw-Hill, 1996.
J.R. GARCÍA ROZAS, L. OYONARTE ALCALÁ. Problemas Resueltos de Álgebra Lineal. Servicio de
publicaciones de la UAL, 1999.
M. GASCA, Cálculo Numérico. Ed. UNED.
S.I. GROSSMAN. Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill, 1995.
E. HERNÁNDEZ. Álgebra y geometría. Ed. Addison-Wesley, 1998.
J. ROJO, I. MARTIN, Ejercicios y problemas de Álgebra Lineal. Ed. MacGraw-Hill, 1996.
C. RORRES, H. ANTON, Aplicaciones de Álgebra Lineal. Ed. Limusa, 1979.
A. VERA LÓPEZ, F. VERA LÓPEZ. Álgebra abstracta aplicada. Editorial Ellacuria, 1986.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Examen teórico-práctico al final del cuatrimestre.