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PROBLEMAS DE ALGEBRA DE SAM LOYD (I)
La resolución de problemas es la culminación del
proceso de aprendizaje del álgebra. Es, resolviendo
problemas como tiene que quedar claro, las
ventajas de la simbolización y de la utilización de
las letras.
Samuel Loyd (1841-1911) fue sin duda el más
grande creador de acertijos y problemas lógicos de
los Estados Unidos.
En el libro Cyclopedia of Puzzles de Sam Loyd, editada por su hijo y
publicada póstumamente en 1914, se encuentran numerosos problemas, que
se resuelven con álgebra. Entre los miles de pasatiempos que ideó, ya hemos
presentado anteriormente los ejemplos de "Balanzas" y de "Tirar la cuerda".
En esta entrada hemos seleccionado otros acertijos donde es necesario
traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje simbólico, utilizando unas
tablas para llegar a escribir una ecuación sencilla que se debe después
resolver.
Los acertijos pertenecen a la recopilación que hizo
Martín Gardner: Nuevos Acertijos de Sam Loyd
No hemos querido cambiarles nada, a pesar de que
todos tienen aspecto antiguo y hablan de
situaciones que pasaron hace mucho, porque nos
parecía que cambiar era hacer que perdiesen parte
de su atractivo.
El segundo ejemplo es particularmente difícil
para nuestros alumnos.
Objetivos
- Trabajar la resolución de problemas de enunciados.
- Resolución de ecuaciones sencillas.
Estrategias implicadas:
- Organizar la información en tablas para su traducción al álgebra
Nivel: 3º, 4º de la E.S.O
Actividad:
En estos ejemplos aparecen unas historias, sacadas de un libro de
matemáticas recreativas de Sam Loyd. Busca por tu cuenta información sobre
este importante creador de acertijos matemáticos
Ejemplo 1:. Los tres mendigos
Una caritativa dama se encontró con un pobre hombre al que dio un centavo
más que la mitad del dinero que llevaba en su bolso. El pobre hombre, que era
miembro de la Asociación de Mendicantes Unidos, se las arregló, mientras
agradecía a la dama, para marcar con tiza en las ropas de su benefactora, el
signo de la organización que la distinguiría como "buena cliente". Como
resultado, la señora se encontró, con muchísimas oportunidades de ejercer la
caridad en el transcurso de su marcha. Al segundo mendigo le dio dos
centavos más que la mitad de lo que le quedaba. Al tercero le dio tres centavos
más que la mitad de lo que tenía en ese momento. Le quedó un solo centavo.
¿Con cuánto dinero salió de su casa?
Ten en cuenta que se trata antes que nada de traducir las historias al lenguaje
del Algebra, el lenguaje de las letras, la x, etc..
AYUDA
Para ayudarte a traducir frase a frase la historia de
los tres mendigos, utiliza una tabla como ésta.
Frase
La dama caritativa sale de su casa con "x"
centavos.
Le da un centavo más que la mitad de su dinero
Al primer mendigo
Da
x
Le queda
x
+1
2
x
−1
2
Al segundo mendigo le dio dos centavos más
que la mitad de lo que le quedaba.
Al tercero le dio tres centavos más que la
mitad de lo que tenía en ese momento
….
Cuando acabes de rellenar la tabla, la expresión de la celda sombreada es
igual a un centavo. ¡Ya tienes tu ecuación!
Ejemplo 2: Los repartidores de periódicos
Cinco repartidores de periódicos se asociaron y juntaron sus periódicos para
tener entre todos un buen número de existencias que repartían como si fuera
pasteles recién salidos del horno. Luego de un agotador día de trabajo hicieron
el siguiente recuento:
» Tom Smith vendió un periódico más que un cuarto del total de periódicos.
» Billy Jones repartió un periódico más que un cuarto de lo que quedaba.
» Ned Smith vendió un periódico más un cuarto de ese resto.
» Charly Jones vendió un periódico más del cuarto de lo que quedó.
A esta altura del juego los Smith llevaban 100 periódicos de ventaja sobre los
Jones, pero el pequeño Jimmy Jones, el más pequeño de los cinco, vendió
todos los que quedaban y en este feliz último reparto,¿por cuánto ganaron los
hermanos Jones?
AYUDA
Aquí también, para ayudarte a traducir frase a frase
la historia de los cinco vendedores, utiliza una tabla
como ésta.
Frase
Juntan entre todos "x" periódicos
Tom Smith vendió un periódico más que un
cuarto del total de periódicos
Vende
x
Queda
x
+1
4
3x
−1
4
Billy Jones repartió un periódico más que un
cuarto de lo que quedaba
Ned Smith vendió un periódico más un cuarto
de ese resto
Charly Jones vendió un periódico más del
cuarto de lo que quedó
A esta altura del juego los Smith llevaban 100
periódicos de ventaja sobre los Jones
El pequeño Jimmy Jones, vendió todos los que
quedaban
….
0
SOLUCIÓN
Ejemplo 1: Los tres mendigos
Vamos traduciendo cada frase en una expresión en función de "x", el dinero
inicial de la dama caritativa.
Frase
La dama caritativa sale de su
casa con "x" centavos.
Le da un centavo más que la
mitad de su dinero
Al primer mendigo
Al segundo mendigo le dio
dos centavos más que la
mitad de lo que le quedaba.
Al tercero le dio tres
centavos más que la mitad
de lo que tenía en ese
momento
Da
x
Le queda
x
+1
2
1 x 
 − 1 + 2
2 2 
1 x 5 
 − +3
2 4 2
x
−1
2
x 5
−
4 2
x 17
−
8 4
x 17
x 21
− = 1 ⇒ = ⇒ x = 42 centavos
8 4
8 4
La caritativa dama tema 42 centavos al comienzo de su paseo.
Ejemplo 2: Los cinco vendedores de periódicos
CUIDADO: Este ejemplo resulta bastante más complicado que el anterior.
Vamos traduciendo cada frase en una expresión en función de "x", el número
total de periódicos de los cinco vendedores.
Frase
Juntan entre todos "x"
periódicos
Tom Smith vendió un
periódico más que un
cuarto del total de
periódicos
Billy Jones repartió un
periódico más que un
cuarto de lo que quedaba
Ned Smith vendió un
periódico más un cuarto
de ese resto
Charly Jones vendió un
periódico más del cuarto
de lo que quedó
A esta altura del juego
los Smith llevaban 100
periódicos de ventaja
sobre los Jones
Queda
x
+1
4
3x
−1
4
9x 7
1  3x 
3x 3
−
−
1
+
1
=
+


16 4
4 4
16 4

27x 37
1  9x 7 
9x 9
−
−
+
1
=
+


64 16
4  16 4 
64 16
81x 175
1  27x 37 
27x 27
−
−
+
1
=
+


256 64
4  64 16 
256 64
 x   9x 9 
 3x 3   27x 27 
+ 
 + 1 +  +  − 100 =  +  + 
4
64
16
16
4
256
64 

 


 
El pequeño Jimmy
Jones, vendió todos los
que quedaban
Los hermanos Jones ganaron por
periódicos.
Vende
x
25x 6375
=
⇒ x = 1020
256
64
81x 175
−
256 64
81x 175
−
− 100
256 64
0
que corresponden a 220