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1º BCNySyT - 10. Cálculo de derivadas
Derive
PASO A PASO
1. Calcula la derivada de:
x2 +1
y=
x −1
Solución:
En la Entrada de Expresiones escribe:
(x^2 + 1)/(x – 1)
Introducir Expresión.
Pulsa
Elige
Hallar una derivada y haz clic
en el botón Simplificar.
x 2 − 2x − 1
( x − 1) 2
2. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función:
y = x3 – 6x
Represéntala para comprobarlo.
Solución:
Halla la primera derivada
3x2 – 6
Elige
Resolver o despejar, activa el
botón de opción Real y haz clic en el botón
Resolver.
x=– 2 ∨x= 2
Selecciona la función inicial, elige
Sustituir variables, en el cuadro de texto Nuevo Valor introduce 2 y haz clic en el
botón Simplificar.
–4 2
Se obtiene el punto A( 2 , – 4 2 )
Haz lo mismo con el valor x = – 2
Se obtiene el punto B(– 2 , 4 2 )
Calcula la segunda derivada:
6x
Se ve mentalmente que al sustituir x = 2
es positivo, luego A( 2 , – 4 2 ) es un
mínimo relativo, de igual forma B(– 2 ,
4 2 ) es un máximo relativo.
Incrusta la imagen en la ventana Álgebra.
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3. Determina la curvatura de la función:
x
y= 2
x −1
Represéntala para comprobarlo.
Solución:
Halla la primera derivada:
x2 +1
– 2
( x − 1) 2
Vuelve a derivar para obtener la segunda
derivada:
2x ( x 2 + 3)
( x 2 − 1) 3
Estando seleccionada la segunda derivada
en la ventana Álgebra, pulsa la tecla F3
para que la copia en el barra de Entrada de
Expresiones, a continuación escribe > 0,
quedará:
2x(x^2 + 3)/(x^2 – 1)^3 > 0
Pulsa
Introducir Expresión.
Resolver o despejar, activa el
Elige
botón de opción Real y haz clic en el botón
Resolver.
–1<x<0∨x>1
Escribe en el cuaderno donde es cóncava:
Cóncava (∪) = (– 1, 0) ∪ (1, + ∞)
Haz lo análogo para convexa, resuelve:
2x(x^2 + 3)/(x^2 – 1)^3 < 0
Se obtiene:
x<–1∨0<x<1
Escribe en el cuaderno donde es convexa:
Convexa (∩) = (– ∞, – 1) ∪ (0, 1)
Representa la función y comprueba visualmente la curvatura.
Incrusta la imagen en la ventana Álgebra.
ASÍ FUNCIONA
Cálculo de derivadas
Se hace clic en
Hallar una derivada. Se abre una ventana en la que se puede elegir el orden
de la derivada. Se debe tener cuidado cuando se elige un orden de derivada mayor que uno,
porque queda seleccionada para opciones posteriores.
Sustitución de variables
Sustituir variables, en el cuadro de texto Nuevo Valor se introduce el valor
Se hace clic en
y se hace clic en el botón Simplificar.
Resolver ecuaciones e inecuaciones
Se hace clic en
Resolver o despejar se elige la variable y el botón de opción Real, si solo
se quieren las soluciones reales, y se pulsa el botón Resolver.
PRACTICA
4. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones:
ex
a) y =
b) y = 3x 2 − 5
sen x
5. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones:
b) y = ex L x
a) y = etg x
6. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones:
b) y = L cos3 x
a) y = e x cos x
2
7. Calcula los máximos y los mínimos
relativos y determina la monotonía de
las siguientes funciones:
a) y = 2x3 – 3x + 4
x4
b) y =
– x3 + x2
4
Representa la gráfica para comprobarlo.
8. Calcula los máximos y los mínimos
relativos y determina la monotonía de
de las siguientes funciones:
x
x2 + 4
b) y =
a) y =
x
4 − x2
Representa la gráfica para comprobarlo.
9. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de de las siguientes
funciones:
a) y = x3 – 6x2 + 9x
b) y = x4 – 2x2 + 1
Representa la gráfica para comprobarlo.
10. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de de las siguientes
funciones:
x
6
b) y = 2
a) y = 2
x −1
x +3
Representa la gráfica para comprobarlo.
11. Calcula y clasifica los puntos críticos
de las siguientes funciones:
a) y = x3 – 6x2 + 12x – 7
b) y = – x4 + 4x3 – 6x2 + 4x + 2
Representa la gráfica para comprobarlo.
Con ayuda del Derive resuelve los siguientes problemas.
12. Halla la ecuación de la recta tangente a
las siguientes funciones en el punto que
se indica:
a) y = x2 – 6x + 11 en x = 2
b) y = x4 – 2x3 en x = 1
En cada una de ellas representa la función y
la recta tangente para comprobarlo.
13. Calcula los máximos, mínimos, puntos
de inflexión y determina la monotonía
y la curvatura de las siguientes funciones:
3x
x2 x4
−
b) y = 2
a) y =
2 16
x −1
Representa las gráficas para comprobarlo.
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