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Matemáticas Avanzada II
Ing. Romeo Altúzar Meza
2010
www.romeoaltuzarmeza.jimdo.com E-mail: altuzar26@gmail.com
Matemáticas Avanzada II
2010
 Matemáticas Avanzada II 
Unidad I. Probabilidad
1.1. Probabilidad subjetiva
1.2. Probabilidad como frecuencia
1.3. Espacio Muestral
1.4. Eventos
1.5. Eventos mutuamente independiente, regla de la multiplicación y regla de la adición
1.6. Tablas de la probabilidad conjunta
1.7. Probabilidad marginal y condicional
1.8. Independencia estadística
1.9. Teorema de bayes
Unidad II. Estadística Descriptiva
2.1. Tabulación de Datos
2.2. Distribución de Frecuencia
2.3. Representación grafica de datos
a. Histogramas
b. Ojivas
c. Diagramas de Barras
2.4. Medidas de tendencia central
2.5. Medidas de dispersión
2.6. Teorema de Chebysheb y regla empirica
Unidad III. Estadística Inferencial
3.1. Teoría del muestreo.
3.2. Distribución muestrales y el teorema central de limite
3.3. Estimación de Parametros.
Unidad IV. Prácticas en el Laboratorio de Informática
4.1. Prácticas utilizando software estadístico.
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Unidad I. Probabilidad
1.1.- Probabilidad subjetiva
Definición de Probabilidad
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos
llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles,
pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por
ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento
de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos
distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades
experimentales o estadísticas.
Probabilidad subjetiva:
La probabilidad o juicio personal es una forma de cuantificar, por medio de factores de
ponderación individuales, la probabilidad de que ocurra cierto evento, cuando no es posible
cuantificarlo de otra manera más confiable.
La formula básica de la probabilidad es la siguiente: en ella, el número de eventos exitosos
puede ser 0, 1, 2, etc., por lo que la probabilidad será siempre igual o mayor que cero, es decir, Pi
≥0
La probabilidad puede expresarse en términos de porcentajes, lo cual puede resultar más
comprensible.
Por ejemplo:
Si la probabilidad de un evento es de 0.1875 puede multiplicarse por 100 para obtener el
porcentaje de probabilidad:
P(A)= 0.1875 * 100 = 18.75%
Cuando utilizamos porcentaje de probabilidad decimos que la suma de todas las probabilidades
será igual a 100.
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Otras consideraciones importantes es que la probabilidad de que ocurra un evento se denota por
p y la probabilidad de que no ocurra se denota por q por lo tanto
p+q=1
de aquí p = 1 - q
Donde:
p es probabilidad de éxitos
q es la probabilidad de fracaso
1.2.- Probabilidad como frecuencia
La probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencias relativas define a la probabilidad como la
relación entre el número de eventos favorables obtenidos, respecto al total intentos.
Por ejemplo:
Si de una caja que contiene manzanas y naranjas se han tomado 80 frutas y de éstas 15 han sido
manzanas, se deduce que, al sacar una fruta de esa caja, la probabilidad de que sea manzana es:
1.3.- Espacio Muestral
Definición:
Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto
de todos los resultados posibles de dicho experimento.
Por ejemplo
1.- Al lanzar una moneda, el espacio muestral es:
E = {sale águila, sale sol} ó E = {a, s}.
2.- Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
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E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3.- Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
E = {(a,a), (a,s), (s,a), (s,s)}.
4.- Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es
E = {(a,a,a), (a,a,s), (a,s,a), (a,s,s), (s,a,a), (s,a,s), (s,s,a), (s,s,s)}
1.4.- Eventos
Definición:
Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.
Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes
son eventos:
1. Obtener un número primo
A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par
B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
Los eventos se pueden clasificar de la siguiente forma:




Mutuamente excluyentes o disjuntos
Independientes
Dependientes
No excluyentes entre sí
a.- Mutuamente excluyentes o disjuntos. Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden
ocurrir en forma simultánea o al mismo tiempo.
Por ejemplo:
1.- Que un billete sea de $10 y de $100.
2.- Que una persona chifle y coma pinole
b.- Mutuamente no excluyentes entre sí: Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que
suceda también otro.
Por ejemplo:
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Que una persona sea doctor y que tenga más de 35 años.
c.- Dependientes: Cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro.
Por ejemplo:
Si un trabajo se hace descuidadamente, es más probable que resulte mal.
1.5.- Eventos mutuamente independientes, regla de la multiplicación y regla de la adición
Definición:
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene
ningún efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro evento. En otras palabras los eventos
mutuamente independientes no se ven afectados por otros.
Por ejemplo:
El color de mis zapatos y la probabilidad de que llueva hoy en la tarde.
Regla de la adición:
La regla de la adición se emplea cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un
evento u otro (o ambos) en una sola observación (los eventos tienen que ser mutuamente
excluyentes). Simbólicamente, podemos representar la probabilidad de que ocurra el evento A o el
evento B con (A o B). En el lenguaje de la teoría de conjuntos como la unión de A y B, y la
probabilidad se designa como P(A U B) (“Probabilidad de A unión B”).
P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de
los dos eventos se resta de la suma de las probabilidades simples de los dos eventos.
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
Regla de la Multiplicación:
La regla de la multiplicación se refiere a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia
conjunta de A y B. Esto se refiere a la intersección de A y B, que en el lenguaje de la teoría de
conjuntos se conoce como la intersección A y B. La regla de la multiplicación para eventos
independientes es:
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P(A y B) = P(A  B) = P(A) P(B)
Cuando dos eventos son dependientes se emplea el concepto de probabilidad condicional que se
verá más adelante
1.6.- Tablas de la probabilidad conjunta
Una tabla de probabilidades conjuntas es una tabla en la que todos los posible valores ( o
resultados) de una variable se registran como encabezados de líneas, todos los posibles eventos
de una segunda variable se registran como encabezados de columnas y el valor incluido en cada
celda de la tabla representa la probabilidad de cada ocurrencia conjunta. A menudo, las
probabilidades de tablas de este tipo se basan en frecuencias observadas de ocurrencias conjuntas
que pueden servir de base para la elaboración de una tabla de probabilidades conjuntas y se le
llama tabla de contingencias.
Ejemplo:
La tabla 1: Es una tabla de contingencia en la que se describe por géneros y edad a 200 personas
visitantes de una tienda de ropa.
Tabla de contingencias de
Clientes de una tienda de ropa
Genero
Edad
Total
Masculino
Femenino
Menor de 30
60
50
110
Mayor de 30
80
10
90
Total
140
60
200
Tabla No. 1
En la siguiente tabla 2. Muestra la tabla de probabilidad conjunta correspondiente a la tabla de
contingencias de clientes de una tienda de ropa.
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Tabla de probabilidades conjuntas de
Clientes de una tienda de ropa
Genero
Edad
Total
Masculino(M) Femenino(F)
Menor de 30 (Mn)
0.30
0.25
0.55
Mayor de 30 (My)
0.40
0.05
0.45
Probabilidad
Marginal
0.70
0.30
1.00
Tabla No. 2
1.7.- Probabilidad condicional
La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A
se llama Probabilidad condicional y se denota por P(B|A). El símbolo P(B|A) por lo general se lee
“La probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A” o simplemente “la probabilidad de B, dado
A”
La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B|A), se define como
Ejemplo:
La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) = 0.83; la
probabilidad de que llegue a tiempo es P(A)= 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo
es P(D  A)= 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión
a. Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.
b. salió a tiempo, dado que llegó a tiempo.
a. La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:
b. La probabilidad de que un avión saliera a tiempo, dado que llegó a tiempo es:
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1.8.- Independencia estadística
Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia
relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es
decir:
Para todo i, j
Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística.
1.9.- Teorema de Bayes
Tomas Bayes matemáticos Inglés (1702 – 1761) desarrollo una fórmula que puede simplificar el
cálculo de las probabilidades condicionales.
La formula de Bayes, en su forma más sencilla, permite calcular la probabilidad de que ocurra el
evento B, si se sabe que ya ocurrió el evento A, esto es, P(B|A). Para ello se requiere conocer la
probabilidad simple de que ocurra el evento A, o sea P(A); la probabilidad siempre de que ocurra
el evento B, es decir, P(B); y la probabilidad de que ocurra el evento A, si se sabe que ya ocurrió el
evento B, o sea, P(A|B).
Lo anterior puede expresarse por medio de la siguiente formula, la cual se aplica a continuación.
Ejercicios Resueltos.
Regla de la adición 
Al extraer un naipe de un mazo, los eventos As (A) y Rey (R) son mutuamente excluyentes, la
probabilidad de extraer un As o un Rey en una sola extracción es:
Regla de la multiplicación 
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Si una moneda se lanza dos veces, la probabilidad de que ambos lanzamientos den por resultado
una Sol es:
Teorema de Bayes 
1.- El 55.26% de los automóviles de un estacionamiento son de 4 puertas. Los automóviles blancos
son el 21.27% del total, y los automóviles de 4 puertas escogidos de entre los blancos son el
59.77%. Determine el porcentaje de autos blancos escogidos de entre los de 4 puertas.
Solución.
Sea
A = Porcentaje de autos de 4 puertas
B = Porcentaje de autos blancos
A|B = porcentaje de autos de 4 puertas que son blancos
Los datos del problema son:
P(A) = 55.26% = 0.5526
P(B) = 21.27% = 0.2127
P(A|B)= 59.77% = 0.5977
El porcentaje deseado es: P(Autos Blancos que son de 4 puertas), lo cual puede obtenerse
aplicando la formula de Bayes para probabilidades condicionales.
2.- La máquina A de una fábrica de alfileres produce el 58% de la producción total de la fábrica,
mientras que la maquina B produce el 42% del total. La maquina A produce con un porcentaje de
alfileres defectuosos del 2%, en tanto que la maquina B produce con un 4% de defectuosos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tomar al azar un alfiler, este sea defectuoso?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tomar al azar un alfiler defectuoso, este provenga de la
maquina B.
Solución:
La probabilidad de obtener una artículo defectuoso es el promedio del porcentaje de defectuoso
que produce cada máquina, ponderado por su porcentaje de participación en la producción total
de la fábrica, esto es:
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a. Probabilidad (defectuosos) = 0.02 * 0.58 + 0.04 * 0.42 = 0.0284 = 2.84%
b. Para calcular la probabilidad de que, al tomar al azar un alfiler defectuoso, este haya sido
fabricado por la maquina B, puede aplicarse la formula de Bayes:
Sean
P(A) la probabilidad simple de obtener un alfiler defectuoso, P(A) = 2.84%
P(B) la probabilidad simple de obtener un alfiler de la maquina B, P(B) = 42%
P(A|B) la probabilidad condicional de obtener un alfiler defectuoso, si proviene de la
maquina B en este caso P(A|B) = 4%
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Unidad II. Estadística Descriptiva
2.1.- Tabulación de Datos
La tabulación consiste en presentar los datos estadísticos en forma de tablas o cuadros.
Partes de una tabla
 TITULO de la tabla, que debe ser preciso y conciso
 CONTENIDO, con la fila de encabezamiento o cabecera (títulos de las columnas) la
columna matriz, con las modalidades o clases de la variable columnas de parámetros
 NOTAS EXPLICATIVAS (opcional), como fuente de los datos, abreviaturas, etc.
Forma de tabular
a. Variables cualitativas
Pueden representarse:
 La frecuencia absoluta (símbolo: f ó n), que es el nº de veces que aparece cada modalidad
(resultado del recuento). La frecuencia total, de todas las modalidades juntas, se
representa por N.
 la frecuencia relativa (fr) o proporción se obtiene dividiendo la frecuencia de cada
modalidad entre el total de datos. fr = f / N. Los valores posibles oscilan entre 0 y 1. Suele
expresarse con 3 decimales. La suma de todas las fr tiene que dar 1 ó un número muy
cercano al 1, si ha habido redondeos.
 el porcentaje (P o %), que es la frecuencia relativa multiplicada por 100. P = fr * 100 ó % =
(f*100)/N. Suele expresarse con 3 dígitos. La suma de todos los porcentajes debe dar 100
o un número muy próximo, si ha habido redondeos.
 las frecuencia acumuladas (Sf ó Sn ) que se obtienen sumando la frecuencia de cada
modalidad a las frecuencias ya acumuladas anteriormente. En la primera modalidad no
hay nada acumulado de antes y por tanto su frecuencia acumulada será su misma
frecuencia. La última modalidad tiene que dar una frecuencia acumulada igual a N.
 las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes acumulados se obtienen de forma
similar
 En las variables nominales las modalidades pueden ponerse en el orden que se quiera,
pero en las ordinales hay que respetar el orden lógico.
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Residencia Sanitaria S.S. de Castellón
Ingresos en Pediatría. Marzo 1980
Sección
f
fr
%
∑f
∑fr
∑%
Neonatología
25
0.125
12.5
25
0.125
12.5
Lactantes
95
0.475
47.5
120
0.6
60
Preescolar
80
0.4
40
200
1
100
Total
200
1
100
En la tabla definitiva no se presentan todos estos parámetros, sino los más adecuados en cada
caso concreto.
b. Variables cuantitativas
 Los datos se agrupan según la frecuencia de los valores. Es lo que se denomina
Distribución de frecuencias. La forma de tabular depende del nº de datos. (se verá mas
adelante)
 Si son pocos (la mayoría de autores pone el tope en 30), se hace una tabla simple de forma
similar a lo visto para las variables CL. Cada dato equivale a una modalidad. Al final nos
quedaremos con la f de cada número y si se prefiere también con él %. Los números se
ordenan de menor a mayor o de mayor a menor. La tabla puede hacerse en sentido
vertical u horizontal.
Ejemplo: Si x = ( 4 , 1 , 7 , 2 , 2 , 9 , 7 , 2 , 2 , 9 , 7 , 1 , 4)
 Si son muchos se agrupan en clases, que son intervalos sucesivos de valores. Los datos se
asignan a la clase que les corresponde y se cuentan los datos de cada clase, que está
representada por el punto medio o centro de clase (pm ó c). Esta agrupación es arbitraria
con dos condiciones esenciales: que las clases sean mutuamente excluyentes y que todos
los datos puedan se asignados a una clase. Ahora bien, la experiencia ha ido introduciendo
una serie de normas, que permiten hacer esta agrupación de la forma más racional posible
(que se verá en distribución de frecuencias).
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2.2.- Distribución de Frecuencia
Una distribución de frecuencias es una tabla que presenta el número de elementos que
pertenecen a cada una de las clases o categorías en las que se halla dividido para su estudio un
grupo de datos.
Una distribución de frecuencias son la forma más común de organizar un gran número de
datos, por ejemplo. Las calificaciones de los alumnos de primer semestre y a partir de ellas lograr
conclusiones que no eran visibles originalmente, un estudio que se puede hacer es la
concentración de calificaciones en sus niveles bajo. Medio y alto; incluso permiten definir líneas
de decisión, como los precios al mayoreo de cierto artículo, las tarifas de agua potable para una
ciudad, o las tablas de impuesto sobre la renta.
Pasos para elaborar una tabla de distribución de Frecuencias
1. Calcular el RECORRIDO ( R ) , (a veces mal llamado Rango)
R = (límite real superior del dato mayor – límite real inferior del dato menor)
O si se prefiere: R = (valor tabulado máximo – valor tabulado mínimo) + 1
2. Calcular el Nº DE CLASES (NC).
Es función de N (tamaño de la muestra) y no hay reglas fijas. En general: “entre 4 y 20”.
Pero se puede calcular con las relaciones matemáticas: NC = 1+ 3,32*logN ó 1+1,44*Ln(N)
3. Calcular la AMPLITUD de las clases ó INTERVALO (i) : i = R / NC
Si i no es número entero, se redondea al número entero superior para que NC*i _ R y así
queden englobados todos los datos. Como probamos con 2 ó 3 opciones, conviene elegir
una i que sea impar, pues así el punto medio de la clase (pm ó c) tendrá una cifra menos.
4. Ver si hay SOBRAS, que son la diferencia entre NC*i y R. Se reparten lo mejor posible entre
ambos extremos de la distribución fijando así los límites definitivos de la tabla.
5. Construir el esquema de la tabla, poniendo columnas de:









CLASES ó LIMITES TABULADOS
LIMITES REALES
PUNTO MEDIO (pm ó c)
FRECUENCIA ( f ó n)
FRECUENCIA RELATIVA ( fr)
PORCENTAJE (P o %)
FRECUENCIAS ACUMULADAS ( fa )
FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS (fra)
PORCENTAJES ACUMULADOS (%a)
6. Hacer el RECUENTO de datos y rellenar las casillas correspondientes
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7.
Escribir la TABLA DEFINITIVA. Son obligadas las clases y la frecuencia absoluta, pudiendo
añadir otros parámetros, si se considera que mejoran la información. Una tabla
excesivamente prolija resulta más difícil de leer. Por tanto la norma es: poner todo lo
necesario, pero no más de lo necesario. Algunos de éstos parámetros son los mismos que
se han visto para las variables CL. Otros precisan una aclaración:
 Los límites de las clases son los valores inferior y superior de cada clase. (Límite
inferior y límite superior). Hay que distinguir entre los límites tabulados (LT) y los
límites reales (LR). Los límites tabulados son los datos originales que abren y
cierran una clase. Los límites reales son el límite real inferior del primer valor (LRI)
y el límite real superior del último (LRS).
 El punto medio o centro de la clase (pm ó c) representa a la clase cuando se hacen
operaciones matemáticas. Es la media de los límites. Da lo mismo tomar los límites
reales que los tabulados, ya que ambos dan el mismo resultado.
 En una distribución con todas las clases de la misma amplitud las diferencias entre
los puntos medios, los límites inferiores y los límites superiores de dos clases
consecutivas valen lo mismo y son igual a la amplitud de la clase (i). Esto facilita la
construcción de la tabla.
 Una clase es abierta cuando carece de un límite. Sólo pueden ser abiertas la
primera clase (p.e. <10 ; no tiene límite inferior)) y la última (p.e. >100 ; no tiene
límite superior). No deben usarse, a no ser que no haya otro remedio.
Ejemplo:
Tabular los 70 valores siguientes:
Datos Originales (N = 70)
40 55
45 15
50 33
20 23
39 27
32 34
52 50
19
21
25
25
37
57
49
51
31
16
29
23
56
42
62
13
61
29
24
35
43
15
44
14
59
58
35
46
20
41
14
58
27
54
40
44
43
59
54
28
36
39
60
51
59
50
57
43
31
60
35
59
49
32
46
48
Pasos de la tabulación





Dato mayor: 62, cuyo LRS es 62.5
Dato menor: 13, cuyo LRI es 12.5
Recorrido (R): 62.5-12.5 = 50 ó (62-13)+1 = 50
Nº de clases (NC): 7 u 8
Amplitud (i):
Si NC = 7, i = 50/7 = 7.18 (par)
Si NC = 8, i = 50/8 = 6.27 (impar)
 Nos quedamos pues con NC = 8 de amplitud 7, que es impar
 Sobras: (8*7) – 50 = 6 , que repartimos así: 3 abajo y 3 arriba
La 1ª clase empezará en 10 (13-3)
La última terminará con el 65 (62+3)
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 Ya se puede construir el esquema de la tabla (clases, LR y punto medio) y proceder
al recuento de los datos que corresponden a cada clase, para completar las otras
columnas
2.3.- Representación grafica de datos
Los gráficos son útiles porque ponen en renombre y aclaran las tendencias que no se captan
fácilmente en la tabla, ayudan a estimar valores con una simple ojeada y brinda una verificación
gráfica de la veracidad de las soluciones.
Histogramas
Un histograma de frecuencias es un gráfico que se forma levantando rectángulos sobre cada uno
de los Límites Reales de cada intervalo, con una altura equivalente a la frecuencia absoluta de
cada clase.
El histograma se utiliza para representar datos que corresponden a los valores de una variable
cuantitativa continua. Para indicar esta continuidad de la variable no se dejan espacios entre las
barras.
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Polígono de frecuencias.
Un polígono de frecuencias es sólo una línea que conecta los Puntos Medios de todas las barras de
un histograma. En el polígono de frecuencia como en el histograma, el valor de la variable aparece
en el eje horizontal y la frecuencia absoluta o relativa en el eje vertical. La diferencia con respecto
al histograma es que el polígono sólo toma en consideración los Puntos medios de clase como
representativo de cada clase o intervalo.
Ojivas o polígonos de frecuencia acumulada
La gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas se conoce como ojiva Una distribución
de frecuencias acumuladas nos permite ver cuántas observaciones son menores o igual a un valor
específico, en lugar de hacer un mero registro del número de elementos que hay dentro de los
intervalos. El intervalo (o el límite superior del intervalo) aparece en el eje horizontal y la
frecuencia absoluta acumulada o relativa acumulada en el eje vertical. Esta gráfica facilita la
comparación dos grupos de datos de forma visual y de manera mucho más efectiva que el
polígono de frecuencia, puesto que permite comparar los porcentajes acumulados de dos
distribuciones con respecto al mismo intervalo.
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Ejemplo de graficas de Histograma, polígono de frecuencia y ojiva
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27,
47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
Pasos de la tabulación





Dato mayor: 48, cuyo LRS es 48.5
Dato menor: 3, cuyo LRI es 2.5
Recorrido (R): 48.5-2.5 = 46 ó (48-3)+1 = 46
Nº de clases (NC): 6 u 10
Amplitud (i):
Si NC = 6, i = 46/6 = 7.68
Si NC = 10, i = 46/10 = 4.65
 Nos quedamos pues con NC = 8 de amplitud 6, que es par
 Sobras: (5*10) – 46 = 4 , que repartimos así: 1 abajo y 1 arriba
La 1ª clase empezará en (3-1)= 2
La última terminará con el (48+1)= 49
clases
(limites tabulados
3
7
7
11
11
15
15
19
19
23
23
27
27
31
31
35
35
39
39
43
43
47
Punto
limites
medio
reales
c
2.5
6.5
4.5
6.5
10.5
8.5
10.5 14.5
12.5
14.5 18.5
16.5
18.5 22.5
20.5
22.5 26.5
24.5
26.5 30.5
28.5
30.5 34.5
32.5
34.5 38.5
36.5
38.5 42.5
40.5
42.5 46.5
44.5
Ing. Romeo Altúzar Meza
f
fa
fr
%
Grados
1
1
3
3
2
3
4
7
8
4
2
1
2
5
8
10
13
17
24
32
36
38
0.025
0.025
0.075
0.075
0.05
0.075
0.1
0.175
0.2
0.1
0.05
2.5%
2.5%
7.5%
7.5%
5.0%
7.5%
10.0%
17.5%
20.0%
10.0%
5.0%
9
9
27
27
18
27
36
63
72
36
18
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2010
Matemáticas Avanzada II
48
52
46.5
50.5
12
5%
11
10 5%
10%
48.5
suma
2
40
40
Gráfica de Pastel
0.05
1
1
2%
5.0%
100%
18
360
2
2%
3
4
7%
8%
5
5%
9
20%
6
8%
8
18%
7
10%
Frecuenecia Acumulada
Ojiva
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Nombre de la Clase
Diagramas de Sectores o Pastel
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente
para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de
cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente:
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos
Ej e mp l o
Ing. Romeo Altúzar Meza
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2010
Matemáticas Avanzada II
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el
resto no practica ningún deporte.
Alumnos
Ángulo
Baloncesto
12
124°
Natación
3
36°
Fútbol
9
108°
Sin deporte
6
72°
Total
30
360°
Calculo
Grafica de Pastel
2.4.- Medidas de tendencia central
Una medida de posición es un valor calculado de un grupo de datos que sirven para describir a
éstos de alguna manera. Lo común es que nos interese que este valor sea representativo de todos
los valores del grupo, motivo por el cual es de desear cierto tipo de promedio. Un promedio es una
medida de la tendencia central de una serie de datos o valores.
Ing. Romeo Altúzar Meza
Página 20
Matemáticas Avanzada II
2010
2.5.- Medidas de dispersión
Asdasdasdasdsa.
2.6.- Teorema de Chebysheb y regla empírica
asd
Ing. Romeo Altúzar Meza
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