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Numerical Simulation of Electromagnetic Oil Heating Process by integrating The Maxwell Equations and Fourier Transport Model Using FDTD E.A. Muñoz, P. Del Pino and A. Zozaya Abstract— This paper presents a methodological approach to estimate temperature variations in oil due to electromagnetic power absorption. In order to do this, it have been simulated an oil heating process using the FDTD method for several frequency values. The simulation has been carried out solving the Maxwell equation through the Yee algorithm based on finite differences in time domain and the Fourier heat transport model. Keywords— Oil Heating, Yee algorithm, Heat Transport Model, FDTD. I. INTRODUCCION L OBJETIVO del proceso de calentamiento de petróleo usando radiación electromagnética es mejorar el desplazamiento del mismo mediante la disminución de su viscosidad, para facilitar el proceso de extracción y/o recuperación en yacimientos [1,2]. Se ha reportado que la radiación de microondas como fuente de energía resulta relevante en cuanto al ahorro de energía y de tiempo para procesos de calentamiento en comparación con otros métodos convencionales [3]. E Para el desarrollo de esta investigación es de interés estimar variaciones en los niveles de temperatura en un arreglo experimental de petróleo, producto de la absorción de energía electromagnética al ser irradiado con microondas. Hasta el presente, han sido reportados varios trabajos de investigación donde se han realizado estimaciones de calentamiento de petróleo debido a la absorción de potencia electromagnética por diversas técnicas [4][5][6][7]. En este trabajo se propone realizar la estimación de forma numérica a partir de la solución de las Ecuaciones de Maxwell para el Electromagnetismo y de la ecuación de transporte de calor de Fourier de forma simultánea mediante la técnica de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) basada en el modelo electromagnético de Yee [8]. II. FDTD Y EL MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE YEE La propagación de microondas en un medio disipador, es bien modelada a partir de las ecuaciones de Maxwell [10]. En este sentido la solución de las ecuaciones de Maxwell permite determinar el campo electromagnético asociado a la onda electromagnética en cualquier medio y deducir la expresión para la densidad de potencia absorbida por éste [11]. El modelo electromagnético de Yee consiste en discretizar tanto las Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo, así como también el dominio espacial de observación, aproximando las derivadas parciales por relaciones en diferencias finitas. A partir de estas relaciones puede despejarse el valor actual de uno de los campos, eléctrico E o magnético H , para cada punto del espacio como una función de su propio valor en un instante anterior y de los valores actuales del otro campo en los puntos adyacentes al de observación. Con relación a la discretización del dominio temporal, Yee propone una estrategia conocida como salto de rana, según la cual, los instantes de tiempo de cómputo de los campos se entrelazan tal como se aprecia en la Fig. 1, En la que en el eje horizontal se muestra el desplazamiento de los campos sobre la grilla espacial, mientras que en el vertical la evolución temporal de los campos. El análisis de Yee es llevado a cabo considerando como unidad de tiempo la mitad de un paso temporal, el cual comprende la relación espacial instantánea entre el campo eléctrico y magnético [12]. La principal ventaja de usar la técnica de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD); es que, a diferencia de otros métodos numéricos, FDTD permite resolver las ecuaciones de Maxwell para cada instante de tiempo y de este modo obtener la variación temporal de energía y el cambio de temperatura en cada punto del dominio computacional definido para los efectos de la simulación [9]. 1 1 E. A. Muñoz, Instituto Espacial Ecuatoriano, Quito,Ecuador, erith7@gmail.com P. Del Pino, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo (UC), Carabobo,Venezuela, pdelpi@uc.edu.ve A. Zozaya, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo (UC), Carabobo,Venezuela, azozaya@uc.edu.ve Figura 1. Representación gráfica conceptual sobre el algoritmo de Yee en una dimensión. El salto de rana consiste en que, los valores calculados para las componentes de E son almacenados y luego usados para determinar H en un instante de tiempo intermedio al próximo valor de tiempo en el que se requiere determinar E . Ese valor de H permite luego determinar a E en el siguiente instante de tiempo y este ciclo se repite durante el resto de la observación o simulación. Las Ecuaciones de Maxwell para un problema unidimensional bajo la asunción de que los campos se desarrollan en forma de una onda plana homogénea son: ∂E x σ 1 ∂H y =− − E ε r ε 0 ∂z ε r ε 0 x ∂t ∂H y 1 ∂E x =− ∂t μ 0 ∂z (1) (2) Donde ε r es la permitividad eléctrica relativa del petróleo, ε 0 vacío. Para el caso del análisis unidimensional se ha postulado que el campo E se orienta en la dirección del eje x, mientras que H en dirección del eje y. Ahora bien, al sustituir las derivadas parciales en las Ecuaciones (1) y (2) por su equivalente aproximación en diferencias finitas centrales se tiene para la Ley de Ampere que: A n −1 / 2 Ex (k ) B 1 − [ H yn ( k + 1 / 2) − H yn ( k − 1 / 2)] 2 .B (3) A = 1 − (Δt.σ / 2.ε r .ε 0 ) (4) (5) Mientras que para la Ley de Faraday: H yn +1 (k + 1 / 2) = H yn (k + 1 / 2) − 1 n +1 / 2 [ E x (k + 1) − E xn +1 / 2 (k − 1)] 2 ∂U = − F .ds ∂t ∂e = −∇.F ∂t (7) (6) En las ecuaciones 3 y 6 los campos son calculados en referencia al k-esimo punto del dominio espacial de la grilla, también conocida como la ubicación actual del campo eléctrico haciendo referencia al instante de tiempo actual de cómputo denotado por el superíndice “n”. La implementación numérica de estas dos ecuaciones permite conocer el campo eléctrico y magnético en el dominio de simulación para cada paso temporal Δt , y a partir de dichos campos determinar la densidad de potencia electromagnética absorbida en cada punto. (8) De la Ecuación (8), se tiene que en un medio conservativo la rapidez de transferencia de densidad de energía térmica es opuesta al flujo térmico neto en el medio. De este modo es posible estimar el cambio de temperatura en el petróleo asociado a variaciones en la densidad de energía térmica, si se considera la siguiente ecuación: Q = m.c p .ΔT Donde: B = 1 + (Δt.σ / 2.ε r .ε 0 ) La propagación de calor en el petróleo puede modelarse a partir de la definición del flujo térmico F , el cual, es la rapidez de transferencia de energía térmica U por unidad de área s , cuya ecuación se muestra a continuación [14]: Ahora bien, el flujo térmico puede expresarse, además, en términos de la densidad de energía térmica “e” asociada a la propagación de calor, usando el teorema de divergencia, resulta: es la permitividad eléctrica del vacío, σ es la conductividad eléctrica del medio y μ 0 es la permeabilidad magnética del E xn +1 / 2 ( k ) = III. MODELO TERMODINÁMICO (9) La Ecuación (9) muestra que el calor neto Q asociado a un cuerpo de masa m y calor específico cp es proporcional al cambio de temperatura ΔT que el mismo experimenta [15]. A partir de la Ecuación (9) puede deducirse una expresión analítica que muestra que la variación temporal de densidad de energía térmica es proporcional al cambio de temperatura en el medio, para ello se toma la derivada temporal y por unidad de volumen a esta expresión, y se obtiene: ∂e ∂T =γ ∂t ∂t (10) Aquí se ha usado γ = m.(cp/V), donde V es el volumen de petróleo al que se asocia la variación de temperatura ΔT. Sustituyendo la Ecuación (10), en la Ecuación (8), se tiene que la variación de temperatura en el medio material es proporcional y opuesta al flujo de calor en el medio, lo cual implica, que efectivamente la estimulación de un flujo de calor implica variaciones de temperatura, tal como lo indica la siguiente ecuación: γ ∂T = −∇.F ∂t (11) Ahora bien, asumiendo que el flujo térmico esta dado por la conducción térmica en el petróleo, entonces se utiliza la ley de Fourier para la conducción térmica como modelo para la transferencia de calor en el petróleo; dicha ley establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección y se obtiene mediante la sustitución, en la Ecuación 11, de la fuente de Flujo de Calor [14, 16]: γ ∂T = −∇.(κ∇T ) ∂t (12) La Ecuación (12), representa la conservación de densidad volumétrica de energía en una aproximación de difusión en ausencia de fuentes y sumideros de energía térmica, donde κ es la conductividad térmica del medio. Para considerar la energía absorbida por el petróleo a partir de las microondas se hace la siguiente modificación en la Ecuación (12): γ ∂T 1 = −∇.(κ∇T ) + σE 2 ∂t 2 (13) En la ecuación (13), se ha añadido la densidad de potencia electromagnética debido a la presencia de microondas en el petróleo. Esta ecuación también permite determinar la temperatura en cada punto del arreglo de petróleo para cada paso temporal, con este fin se aplica FDTD sobre la misma y se despeja la Temperatura, obteniendo: Tkn +1 / 2 = [ κ γ κ .Δz 2 (Tkn+1 − 2Tkn + Tkn−1 ) σ E2 + k k ] * Δt + Tkn −1 / 2 2γ k (14) Mediante la ecuación (14) se estima la temperatura, para el instante de tiempo actual denotado por “n”, en cada punto “k” del dominio computacional de cálculo. Esto se lleva a cabo mediante la determinación del campo eléctrico en el punto “k” y tomando como referencia las temperaturas de los puntos vecinos más cercanos, tanto en el tiempo actual como en el anterior inmediato. IV. METODOLOGÍA EXPERIMENTAL Para hacer las estimaciones de cambio de temperatura, se selecciona una columna cuadrada de área transversal unitaria y a partir de la propagación de una onda electromagnética plana en esa columna de petróleo, se realiza el análisis de Potencia, transferencia de calor y cambio de temperatura. Para llevar a cabo la simulación del proceso de calentamiento del petróleo, se seleccionó una fuente de microondas de tipo sinusoidal, la cual genera la onda electromagnética que se hace incidir sobre el dominio de petróleo. La expresión analítica asociada al campo eléctrico generado por dicha fuente, está dada como: E x = E0 sin(2π . f .t ) (15) En la Ecuación (15) Eo es la amplitud pico del campo eléctrico, f es la frecuencia de la radiación y t es el tiempo. Para generar el campo eléctrico Eo, se considera un generador ideal de onda plana que entrega potencia infinita al medio. Es importante destacar que conceptualmente se dispone de una región que contiene un volumen infinito de petróleo y que se selecciona una región confinada de petróleo de sección transversal rectangular unitaria, de tal forma que la potencia P0 por unidad de superficie, que es entregada a esta región de interés es una fracción de la potencia total entregada por el generador, y se establece en referencia a valores nominales de equipos con los cuales fue realizada la caracterización electromagnética del petróleo (5kW y 10kW). La ecuación (16) muestra la relación entre la potencia entregada y la amplitud de campo eléctrico incidente. P0 = E 02 / 2.Z c (16) Donde Zc es la impedancia intrínseca del petróleo. Con el objetivo de estimar las variaciones de temperatura en el petróleo se simulan 10 días de calentamiento, usando como muestra computacional petróleo de 31 grados de gravedad API, que de acuerdo a la clasificación del Instituto Americano de Petróleo (API, por sus siglas en Ingles) para la clasificación de crudos según su viscosidad, este petróleo es de tipo ligero. Ahora bien, para llevar a cabo la simulación del proceso de calentamiento se estableció una temperatura inicial de 300K , y realizar experimentos de irradiación de microondas para frecuencias de 140MHz, 300MHz, 600MHz, 915MHz, suministrando potencias de 5Kw y 10Kw en cada caso. En referencia al proceso de simulación es importante destacar que se desarrolló un algoritmo basado en el modelo electromagnético de Yee, para estimar las variaciones de temperatura a partir de la absorción de energía, tras irradiar el petróleo con microondas. En la Fig. 2 se muestra el diagrama de bloques del algoritmo diseñado para la simulación numérica, en el que la primera etapa consiste en la inicialización de las variables de entrada. Las variables iniciales son la temperatura y los valores del campo eléctrico y del campo magnético. en todos los puntos para t=0, y en las fronteras para todo t. La fuente, por otro lado, entregará, en un experimento, 5kW, y en otro, 10kW. En la etapa de inicialización se definen también las propiedades electromagnéticas intrínsecas del petróleo. Definido el valor de potencia entregada por la fuente, se determina la amplitud de campo eléctrico incidente mediante la ecuación (16). Este resultado es utilizado como valor de actualización dentro del ciclo principal de FDTD. En el ciclo principal FDTD se realizan los cálculos de estimación del campo eléctrico y magnético mediante FDTD siguiendo el modelo de Yee, así como también se calcula la potencia electromagnética disipada por el petróleo y se actualiza en valor de temperatura en términos de la energía electromagnética absorbida y el transporte de calor en el medio. Figura 2. Diagrama de flujo del proceso de simulación numérica de calentamiento electromagnético de petróleo. La propagación de la onda electromagnética con amplitud de campo eléctrico Eo que ingresa en el dominio computacional de petróleo, es modelada numéricamente a partir de las ecuaciones discretizadas de Ampere y Faraday (ecuaciones (3) y (6)), las cuales permiten determinar los campos eléctricos y magnéticos en cada punto del dominio usando el algoritmo electromagnético de Yee. Una vez conocidas las variaciones del campo electromagnético en cada punto del medio disipador, se determina la variación de temperatura en cada punto del arreglo a partir de la potencia electromagnética absorbida, usando la ecuación de transporte de calor de Fourier-Maxwell (ecuación 14), la cual modela el flujo termodinámico en el petróleo. Este ciclo se repite de forma continua durante todo el proceso de simulación. Finalmente, las salidas son almacenadas en archivos de texto plano y posteriormente se generan gráficos de los perfiles de temperatura para cada día de simulación en el experimento. En la Fig. 2 el criterio de parada se define como el número de días de calentamiento a simular. V. RESULTADOS Los valores de temperaturas estimados para cada punto del dominio de cómputo en las diversas simulaciones, reflejaron una clara tendencia de aumento en conformidad a la magnitud de densidad de potencia electromagnética absorbida. A continuación se muestran las gráficas obtenidas para cada uno de los experimentos llevados a cabo, en las cuales se observa la temperatura de cada punto del dominio de cómputo para los diez días de calentamiento. Los resultados mostrados comprenden los experimentos para los 4 valores distintos de frecuencias; 140MHz, 300MHz, 600MHz, 915MHz, así como también los dos valores de potencia suministrada por la fuente de microondas, esto es 5kW y 10kW. En primer lugar se presentan resultados para el calentamiento de petróleo a 140MHz, donde los perfiles de temperatura pueden observarse en la Fig. 3 para cada día de calentamiento. Se aprecian valores máximos de temperatura para las celdas más cercanas a la fuente de microondas y disminución de la temperatura conforme aumenta la distancia entra las celdas y la fuente. En este orden de ideas, la Fig. 4, muestra la variación de temperatura cuando la fuente entrega 10kW de potencia al dominio de cómputo, a frecuencia de 140MHz. Comparando con la Fig. 3, se puede inferir que, si bien es cierto que la temperatura máxima alcanzada es mayor con el aumento de la potencia de la fuente, también se observa que la dinámica asociada a la transferencia de energía no evidencia cambios relevantes. Figura 3. Calentamiento a 140MHz y 5KW. Es importante resaltar que el hecho de duplicar la potencia suministrada por la fuente de microondas se tradujo en un aumento de 80 ºK en la temperatura, para las celdas más cercanas a la fuente, transcurridos los diez días de calentamiento respecto a su similar a 5kW. Ahora bien, en la Fig. 5 se aprecian los perfiles de temperatura para 5kW de potencia a una frecuencia de 300MHz, donde se aprecia un aumento superior a 10K de temperatura en comparación con el caso análogo de 140MHz, mientras que en la Fig. 6 se muestra la simulación a una potencia de 10kW, donde se observa un aumento notable de la temperatura respecto al caso de 5kW. para cada día de calentamiento a una frecuencia de 600MHz con una potencia de 10kW. Se aprecia claramente el incremento de temperatura en comparación con el caso de 5kW de potencia, obteniendo temperaturas máximas por encima de 575K . Figura 4. Calentamiento a 140MHz y 10kW. De igual modo en la Fig. 6 se tiene un máximo de temperatura por encima de 555K, lo cual representa un aumento superior a 87K respecto al máximo de temperatura observado en el calentamiento a 5kW para 300MHz de frecuencia. Figura 6. Calentamiento a 300MHz y 10kW. Figura 7. Calentamiento a 600MHz y 5kW. Figura 5. Calentamiento a 300MHz y 5kW. Por otra parte, en la Fig. 7 es posible observar los resultados obtenidos para la simulación de calentamiento a 600MHz, donde resalta un valor de temperatura máxima superior a los 480K, utilizando tan solo una potencia de 5kW. También cabe destacar que la temperatura es elevada aproximadamente unos 280K en 10 días de calentamiento para las primeras celdas que conforman el arreglo. En base a este resultado se deduce que existe un alto nivel de absorción de densidad de energía electromagnética por parte del petróleo, considerando que la temperatura disminuye 346K a 310K en las ultimas 2000 celdas del arreglo. En la Fig. 8, se muestran respectivamente los perfiles de temperaturas En la Fig. 9, se muestran los perfiles de temperatura asociados a calentamiento con potencia de 5kW y una frecuencia de 915 MHz. Es notable el rápido aumento de la temperatura considerando que se aprecia una temperatura máxima de 500K, representando este valor el máximo de todos los valores de temperatura obtenidos en los experimentos para 10 días de calentamiento a 5kW de potencia. Por otra parte, en la Fig. 10, se reportan resultados para calentamiento a 10kW de potencia manteniendo la frecuencia a 915MHz, donde se hace notable el rápido aumento de la temperatura al presentar un valor de temperatura máxima de 600K, representando este valor el máximo de todos los valores de temperatura obtenidos en los experimentos para 10 días de calentamiento a 10kW de potencia. Ahora bien, la idea principal de hacer experimentos de calentamiento con microondas a diferentes valores de frecuencia es analizar la respuesta del petróleo ante diferentes formas de excitaciones electromagnéticas. Por esta razón en la Fig. 11 se muestran los perfiles de temperatura de todos los experimentos a 5kW. a la fuente y la celda ubicada a 400m de la fuente es 18K, para 300MHz es de 42K, para 600MHz de 96K y para 915MHz es de 201K. Figura 11. Día 10 de Calentamiento a 5kW de potencia para los 4 valores de frecuencias. Figura 8. Calentamiento a 600MHz y 10kW. También se observa que a medida que se aumenta la frecuencia las celdas más cercanas a la fuente de microonda absorben mayor cantidad de energía, lo cual provoca que las celdas más alejadas de la fuente reciban menor cantidad de energía y por lo tanto se calienten menos, ciertamente este comportamiento se da igualmente en el caso de 140MHz, pero es más notable a medida que se aumenta la frecuencia. Figura 9. Calentamiento a 915MHz y 5kW. Figura 10. Calentamiento a 915MHz y 10kW. En la Fig. 11, se muestra la temperatura de los primeros 400m del dominio computacional de petróleo, para el día 10 de calentamiento a 5kW de potencia. Se tiene que para 140MHz la diferencia de temperatura entre las celdas cercanas Por otro lado, en la Fig. 12, se muestra la temperatura de los primeros 400m del dominio computacional de petróleo, para 10 días de calentamiento a 10kW de potencia. Se tiene que para 140MHz la diferencia de temperatura entre las celdas cercanas a la fuente y la celda ubicada a 400m de la fuente es de 27K, para 300MHz es de 62K, para 600MHz de 146K y para 915MHz es de 309K. Para el caso de calentamiento a 10kW se aprecia igualmente mayor calentamiento a frecuencias altas en correspondencia de las celdas más cercanas a la fuente, mientras que las celdas más alejadas se calientan más a baja frecuencia. Esto ocurre porque a menor frecuencia la energía electromagnética penetra más profundamente en el petróleo. Considerando que la disminución de la viscosidad a partir del calentamiento permite acelerar el proceso de extracción, es conveniente entonces, tener una idea del comportamiento de la viscosidad del petróleo para los diferentes valores de frecuencia utilizados. En la Fig. 13 y 14 se muestran las curvas de viscosidad para cada frecuencia y para 5kW y 10kW de potencia, respectivamente, cuyos perfiles han sido elaborados utilizando la ecuación de Andrade [13]. Figura 12. Día 10 de Calentamiento a 10kW de potencia para los 4 valores de frecuencias. Figura 13. Viscosidad para 10 días de calentamiento a 5kW. Figura 14. Viscosidad para 10 días de calentamiento a 10kW. VI. CONCLUSIONES El modelo de propagación electromagnética de Maxwell desarrollado mediante el algoritmo de Yee, en conjunto con el modelo de transporte de calor por conducción de FourierMaxwell permite simular de forma numérica el calentamiento de petróleo mediante microondas. Por otro lado, se ha constatado que el modelo utilizado describe un decrecimiento de los niveles de temperatura alcanzados por el petróleo, a medida que se aumenta la distancia desde las celdas observadas respecto a la fuente de microondas. También, resultaron notables las variaciones en los niveles de temperaturas observados en los experimentos realizados como función de la frecuencia y la potencia irradiada. En este trabajo se observó que la absorción de densidad de potencia electromagnética de las celdas de petróleo aumenta a medida que se aumenta la frecuencia de las microondas. Son claramente observables las diferentes respuestas del petróleo ante cada una de las frecuencias de microondas aplicadas. Las variaciones de viscosidad fueron estimadas usando la ecuación de Andrade, se observó que las celdas más alejadas del origen del arreglo absorben menos energía y por lo tanto se calientan menos, de tal manera que existe un número importante de celdas cuya temperatura no varía y en consecuencia no se modifica la viscosidad de estas. Esto era de esperarse porque la profundidad de penetración de los campos disminuye con la frecuencia. En este orden de ideas, se tiene que aproximadamente para los primeros 110m del dominio de petróleo, la energía requerida para reducir la viscosidad es mayor a frecuencias altas que a bajas y que luego de ésta frontera, la capacidad para bajar la viscosidad a alta frecuencia se ve seriamente limitada. Este resultado es realmente satisfactorio ya que permite discriminar en función de las características de un eventual yacimiento la frecuencia a aplicar para facilitar un proceso de extracción determinado. En base a los resultados mostrados se concluye que la técnica FDTD permite el análisis temporal de las variables asociadas con el proceso de calentamiento de petróleo mediante microondas, como lo es el caso de la temperatura, campo eléctrico, campo magnético y viscosidad. Es importante mencionar que el criterio para la selección de los valores de frecuencia utilizados para las simulaciones mostradas en este trabajo, estuvo limitado al hecho de que solo a estos valores de frecuencias se conocían los parámetros electromagnéticos constitutivos del petróleo, así como sus respectivas dependencias con la temperatura. La caracterización electromagnética fue realizada por un equipo que disponía de una fuente que podía operar tanto en 5kW como 10kW, por este motivo estas fueron las potencias de referencias usadas para los experimentos numéricos, y la finalidad de emplear ambos niveles de potencia consiste en detectar una posible correlación lineal entre el comportamiento de la temperatura y la potencia entregada, sin embargo dicha correlación no fue observada. REFERENCIAS [1] CARRIZALES, M.A. LAKE, L.W., JOHNS, R.T. Production Improvement of Heavy-Oil Recovery by Using Electromagnetic Heating. Paper SPE 115723 Presented at the 2008 SPE Annual Technical Conference and Exhibition held in Denver, Colorado, USA, 21-24 Septrember 2008. [2] MOTOHIKO, T., MOTOYASU S. Microwave Heating of Water, Ice and Saline Solution: Molecular Dynamics Study. Coordinated Research Center, National Institute for Fusion Science, Toki 509-5292, Japan. Sep- 2006 [3] BENITO, P. LABAJOS F.M. y RIVES V (2004). Incidencia de la radiación microondas en la cristalinidad de materiales laminares. Dpto. Química Inorgánica. Universidad de Salamanca. Salamanca España. [4] CARRIZALES, M.A. LAKE, L.W., JOHNS, R.T. Production Improvement of Heavy-Oil Recovery by Using Electromagnetic Heating. Paper SPE 115723 Presented at the 2008 SPE Anual Technical Conference and Exhibition held in Denver, Colorado, USA, 21-24 Septrember 2008 [5] SAHNI, A. KUMAR, M., KNAPP, R.B. Electromagnetic Heating Methods for Heavy Oil Reservoirs. Paper SPE 62550 presented at the 2000 SPE/AAPG Western Regional Meeting held in Long Beach. California, 19-23 June 2000 [6] OVALLES, C., FONSECA, A., LARA, et al. 2002. Oportunities of Downhole Dielectric Heating in Venezuela: Three Case Studies Involving Medium, Heavy and Extra-Heavy Crude Oil Reservoirs. Paper SPE 78980 presented at the 2002 SPE International Thermal Operations and Heavy Oil Symposium and International Horizontal Well Technology Conference held in Calgary, Alberta. Canada, 4-7 November 2002. [7] HU,Y., JHA, K. N., CHARMA, A., Heavy-Oil Recovery from Thin Pay Zones by Electromagnetic Heating, Energ Sources, 21, 63 (1999). [8] YEE, K. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media, IEEE Trans. Antennas Propagat.,vol. 14, no. 5, pp. 302-307, 1966 [9] TAFLOVE, A. Ed., Finite Difference Time Domain Methods for Electrodynamics Analyses,, Artech House, NY, 1995 [10] BALANIS, C.(1989). Advanced Engineering Electromagnetics. Universidad de Arizona. JOHN WILEY and SONS [11] STRATTON, J.(1941). Electromagnetic Theory.McGRAW-HILL BOOK COMPANY. NEW YORK and LONDON [12] JIANG Y. et al, NumericalThe Influence of Different Grid Length to the FDTD Calculation, The IEEE International Conference on Industrial Informatics (INDIN 2008)DCC, Daejeon, Korea July 13-16, 2008 [13] DAS, D.K. NARELA, S and KULKARNI, D. (2007) Thermal Properties of Petroleum and Gas-to-liquid Products, Petroleum Scienci and Technology, 25:4,415-425. [14] HOLMAN,J.P.,(1999) Transferencia de Calor, MC GRAW HILL BOOK COMPANYINC. [15] INCROPERA, F. P., DE WITT, D.P. (1996), Fundamentos de Transferencia de Calor ,Pearson Education. [16] WHITAKER, S. (1977). Simultaneous Heat, Mass and Momentum Transfer in Porous Media:A Theory of Drying, Adv. Heat Tranfer,13,119. E. Muñoz. es Licenciado en Física graduado de la Universidad de Carabobo, Bárbula, Edo. Carabobo, Venezuela en 2007, MSc Ingeniería Eléctrica, de la misma Universidad en 2012, y graduado en 2014 de MSc. en aplicaciones espaciales en alerta y respuesta temprana a emergencias por la Universidad Nacional de Córdoba y el Instituto de Altos Estudios Espaciales “Mario Gulich” de la Comisión Nacional de Actividades Espaciales (CONAE), Córdoba, Argentina. Desde 2013 se desempeña como investigador en sensores remotos y modelaje numérico en el Instituto Espacial Ecuatoriano (IEE), Quito, Ecuador. Sus áreas de interés son: electromagnetismo computacional, técnicas de teledetección, física computacional, sistemas complejos, computación de alto desempeño. P. Del Pino. es Ingeniero electricista mención Electrónica y Comunicaciones egresado de la Universidad de Carabobo, Bárbula, Edo. Carabobo, Venezuela, en el año de 1988, y MSc Ingeniería Eléctrica, de la misma Universidad en el año 2004. Desde el año 2002, se desempeña como profesor en el Departamento de Electrónica y Comunicaciones de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Carabobo, y como Jefe del Departamento de Electromagnetismo y Radiación de la escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones de la misma Universidad. Sus áreas de interés son: el electromagnetismo computacional, con particular atención en FDTD y MoM, Microondas, Antenas y Compatibilidad Electromagnética P. Del Pino es miembro del Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA) de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela. A. J. Zozaya. es Ingeniero electrónico mención comunicaciones egresado del Instituto Politécnico de las Fuerzas Armadas Nacionales de Venezuela (I.U.P.F.A.N.), Maracay, Edo. Aragua en 1991, y Doctor por la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), España, en el área de Teoría de la Señal y Comunicaciones (2002). Desde 1994 se desempeña como profesor en el Departamento de Electrónica y Comunicaciones de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela. Sus áreas de interés general son: el electromagnetismo computacional, el procesamiento digital de la señal y el control adaptativo. A. Zozaya es miembro del grupo de investigación de Control, Monitorizado y Comunicaciones (CMC) del Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones (TSC) de la UPC, Cataluña, España, y coordinador del Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA) de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela.