Download Razones y Proporciones

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ET31RT4
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ÉLITE CATÓLICA
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2.
Calcular:
V=
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
CUADRANTALES
2 Sen 90  3 Cos 360
4 Sen 270  2 Cos 0
3.
Hallar el valor de E:
E = (a2 + b2) . Cos (270° – x) – (a + b)2 . Cos (4x);
si x = 90°.
4.
Hallar:
E=
Sen 30 . Cos 60 . Sen 45
Cos 0 . Cos180 . Cos 45
2
Sec 60 . Sen 90
Sen 30
Analicemos los ángulos en un Sistema de Coordenadas
Rectangulares.
90°
IIC
(Segundo
Cuadrante)
IC
(Primer
Cuadrante)
180°
Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en
establecer una equivalencia entre las razones
trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud y las
razones trigonométricas de un ángulo agudo. Cabe resaltar
que dicha equivalencia es posible debido al carácter
periódico de las funciones trigonométricas, es decir, que
estas van repitiendo sus valores conforme varía el
cuadrante, alterando simplemente su signo.
0°, 360°
IVC
(Cuarto
Cuadrante)
IIIC
(Tercer
Cuadrante)
270°
Ahora aprenderemos a memorizar los valores completando
el siguiente cuadro, donde tú analizas cada ángulo:
Cuadrantes
Ángulos
F. T.
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
IC
0°
IIC
90°
IIIC
180°
IVC
270°
360°
Antes de empezar con el desarrollo de cada caso, es
necesario recordar el siguiente cuadro:
Y
(+)
Seno
Cosecante
II C.
Preguntas:
1. El valor máximo y mínimo del seno y coseno es: +1 y
–1.
2. El seno es creciente en el: ------------------3. El coseno es creciente en el: -------------------
1.
Con este fin, es menester establecer los siguientes casos
de reducción al primer cuadrante:
Para ángulos positivos menores de una vuelta.
Para ángulos positivos mayores de una vuelta.
Para ángulos negativos.
Calcular:
E = 5 Sen 90° + 4 Cos 180° – 3 Sen 270°
III C.
Tangente (+)
Cotangente
Todas
(+)
I C.
IV C.
Coseno (+)
Secante
X
Preguntas :
a) ¿En qué cuadrante o cuadrantes el seno es (+)?
b) ¿En qué cuadrante o cuadrantes la tangente y
cotangente tienen el mismo signo?
c) ¿En qué cuadrante se cumple que: Seno > 0, mientras
Coseno < 0?
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) /
 261 - 8730
I.
REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS
MENORES DE UNA VUELTA
POSITIVOS
90° Y
x
x
Para reducir este tipo de ángulos, es necesario
expresar dichos ángulos en términos del ángulo cuadrantal
más cercano. Veamos:
X
x
x
270°
A)
Para ángulos de la forma (180°  x) ó (360°  x)
f.t. (180°  x) =

f.t.(x)
f.t. (360°  x) =

f.t.(x)
Observación: El signo depende de la razón
trigonométrica inicial, y del cuadrante al cual pertenece el
ángulo antes de reducirlo.
Por ejemplo:
a) Reducir: Sen 150°
Y
b)
x
x
180°
x
360°
Reducir: Sec 225°
X
Ejemplos:
Observación: El signo depende de la razón
trigonométrica inicial, y del cuadrante al cual pertenece el
ángulo antes de reducir.
Reducir:
2.
En un cuadrilátero los ángulos internos miden , , 2,
Ctg 240
2. Hallar Sen ( + )
Por ejemplo:
a) Reducir: Sen 300°
b)
Sen 150.Cos150
1.
3.
Según el gráfico mostrado, calcular:
A=
Sen (  2)
Cos(2  ) Tg (4  3)
Reducir: Sec 210°
Ejemplos:

1.
Calcular: Tg 150° , Tg 135° + Tg 120°
2.
Si ,  y  son ángulos de un triángulo, indicar
verdadero (V) o falso (F), según corresponda a las
siguientes proposiciones:
I.
Sen( + ) = Sen 
II.
Cos  = –Cos(+ )


NOTA
 Las equivalencias anteriores, presentadas inicialmente
para ángulos medidos en el sistema sexagesimal,
también se pueden utilizar para ángulos medidos en el
sistema radial. Por ejemplo:
f. t. (180°  x) =  f. t. (x)
ó también
III. Tg  = –Tg( + )
f. t. (  x) =  f. t. (x)
3.
............ (  180°)
Si A y B son ángulos suplementarios, reducir:
M=
B)

Sen ( A  B  30). Cos( A  2B)

Cos(2A  3B)
Además, en forma más general, el ángulo “x” utilizado
no necesariamente debe ser agudo, porque aún en el
caso que éste no lo sea, pero procediendo como si
éste lo fuese la igualdad se mantendría.
Para ángulos de la forma (90°  x) ó (270°  x)
f.t. (90°  x) =

CO – f.t.(x)
f.t. (270°  x) =

CO – f.t.(x)
Por ejemplo:
Sen(180° + x) = –Sen x (Dicha igualdad se mantiene a
pesar de no conocer la
magnitud de “x”)
-2-
II. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS MAYORES DE
UNA VUELTA
Sen (–x)
Cos (–x)
Tg (–x)
Ctg (–x)
Sec (–x)
Csc (–x)
Para este caso bastará con dividir la variable angular
entre 360°, para finalmente tomar la misma función
trigonométrica al residuo. Si el residuo no pertenece al
primer cuadrante, se deberá proceder como en el caso
anterior.
=
=
=
=
=
=
–Sen x
Cos x
–Tg x
–Cot x
Sec x
–Csc x
f. t. () = f. t. (360°k + ) = f. t. (), k 
Por ejemplo:
a) Reducir: Sen 1860°
Por ejemplo:
a) Reducir: Sen (–300°)
b)
b)
Reducir: Tg 2000°
Ejemplos:
1. Calcular:
Sen(–45°) Cos(–120°) Csc(–210°)
Ejemplos:
a 2Sen1350  b 2Sen 2010
, con a + b  0
1.
Reducir:
2.
Calcular “x”, si: Tg 2040° – Tg 2460° = 2Tg x, con “x”
agudo.
(a  b)
2.
Simplificar:
K=
Observación El proceso de dividir entre 360°, también lo
podemos pensar así: “Expresar el ángulo como la suma de
un número entero de vueltas mas un ángulo menor de una
vuelta, y quedándonos con éste último” (es decir se
“elimina las vueltas”).
3.
Reducir: Cos (–2000°)
3.
Sen (a) Tg (90  a) Csc(a)
Ctg (a)
Reducir:
 3

 a  b  + Sen (12 – a + b)
Cos 
 2

Reducir: Tg(450° + x) . Ctg(540° – x)
NOTA
 De la misma forma como expresamos un ángulo en
grados sexagesimales como un número entero de
vueltas mas un ángulo de menor de una vuelta,
también lo podemos realizar con un ángulo que está
en radianes.
Por ejemplo:
1.
Simplificar:
A = 5 cos 90° + 3 sen 90° – 5 cos 0° + 6 cos 360°
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) N.A.
2.
Simplificar:
Q=
 25 
 24  
 
Sen 
  Sen 
3
 3 
 3


 Sen  8   ,
3

3.

3
 25 
luego: Sen 
=
 = Sen
 3 
3
2
4.
En este último caso pasaremos del cálculo de f. t. de
ángulos negativos al cálculo de f. t. de ángulos positivos.
Para esto, tendremos en cuenta lo siguiente:
-3-
5 cos 0  3sen90  2 cos 90  6sen180
A) 0
B) 2
Reducir:
Siendo:
E=L+I
L = 3 tan 180° – 3 cos 180° – sen 270°
I = 2 sen 90° + 4 ctg 270° – sec 180°
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 4
III. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS NEGATIVOS
3sen90  2 cos180  sen270  4 cos 360
C) 3
D) 8
E) N.A.
Simplificar:
R = (a + b)2 . cos 0° + a2 . sen 0° + b2 . cos 270°
+ (a – b)2 . sen 270°
A) a + b
C) ab
E) N.A.
B) a – b
D) a/b
5.
6.
7.
Siendo:
E = a2 . sen290° + b2 . cos 0° – 2ab . sen 270°
L = a2 . sen290° + 2ab . cos 180° + b2 . cos3360°
Calcular: C = E – L
A) 2ab
C) 3ab
E) N.A.
B) 4ab
D) 6ab
B) (2 + 3 ) / 2
D) – 3 / 2
3 /2
E)
1  x2 / x
D)
1
16. Si: cos 350° =
x
; hallar: cot 260°
1 K2
2 /2
D) 3/4
E)
B) –K
A) 1/K
D) –1/K
C) K
E) 1
17. Si:  = 72° ;  = 15°
3
Hallar:
sen 210 . sec 225 . tg 240 . cos 157
V=
A) 2
sen(2  3)
cos (3  3)
B) 4
C) 3

tg (5  4)
tg (10  2)
D) 1
E) 0
cos 300 . csc 315 . cos 337 . cot 330
B) –1
A) 1
D) –2
C) 2
18. Si: sen 50° = c, tg 28° = a ; ctg 39° = b. Calcular:
E) 1/2
(sen130  tg 208) . [cos (40)  ctg 242]
V=
Calcular el valor de:
E = cos 10° + cos 30° + cos 50° + ...... + cos 170°
A) 0
B) 1
C) –1
D) 2
E) –2
A)
sen(50) . tg 152 . ctg 219
(a  c )2
D)
abc
10. Calcular:
V = tg

12
A) –2
B) –1
+ tg
5
+ tg
12
C) 2
7
+ tg
12
D) 1
11
B)
12
E) 0
c 2  a2
a2  b2
bc 2
19. Reducir:
+ sen (90° – ) . sen (360° – )
A) –sen 
C) cos 
B) sen 
D) –cos 
sen(270  a) . tg(180  b)
E) 1
ctg(270  b) . cos(360  a)
A) –1
12. Simplificar:
cos ()
sen(90  )
A) 2
B) 1
13. Reducir:
M=
cos 
b 2c
abc
E = sen(360° + ) + cos  . cos (90° – )
sen 
c 2  b2
c 2  ab 2  a 2
11. Simplificar:
2
E)
abc
C)
A)
E) 2
E) x2
C) 1/x
3
Calcular:
V=
D) –2
C) 1
15. Si: sen 12° = x; hallar cot (–1992°)
Hallar “tg ” si:  = 225/7 [sen 397° + cos (–37°)]
C)
tg ( / 4)
B) –1
A) 0
B)
C)
B) –1
csc ( / 2)  sen
A) – 1  x 2 / x
A) (2 – 3 ) / 2
E=
9.
C=
Si V = sen 480° + cos 480°
E = tg 585° . cot 585°
Hallar el valor de: (V + E)2
A) 1
8.
14. Calcular:

cot (180  )
tg (90  )

C) –1
20. Sea:
sec(270  )
csc ()
D) –2
B) tg  (1 + sen )
E) –3
cos 
C) 1
D) 2
E) 3
F(x) = (4 – cosx) (4 + cosx)
Hallar: Fmax  Gmin
A) 1
B) –1
1
C) 0
) (senx +
1
)
4
D) 16
21. Calcular el equivalente a:


 3

sen  x   cos 
 x
2

 2

D) sec  (1 – cos )
sen2 
cos(1620  c ) .tg(180  a)
4
csc(  )
E)
cot( 450  a) . sen(270  c )
G(x) = (senx –
tg (  )  sen(2  )
(1 + cos )
B) 0

A) sen x + cos x
B) sen x – cos x
C) cos x – sen x
(1 – cos )
C) sen2  (1 + cos )
-4-
D) –sen x – cos x
E) 0
E) N.A.
22. Simplificar:
sen(180  x)
sen(x)

tg (90  x)
A) 0
B) 1
23. Reducir:
=
cot x

cos x
sen(90  x)
C) –1
sen(180  x)
cos (180  x)
C) –2tan x
D) 2cot x
A) 0
B) 2tan x
32. Dadas las condiciones:
A = tan 400° + cos 810°
B = cot 760° . sen 450°
C = tan 1125° . sec 720°
Calcular el valor de A.B.C
A) 4
B) 3
C) 2
E) –3
D) 3

sen(360  x)
cos (360  x)
33. Reducir:
E) –2sec x
M=
sen( x  y)
senz
A) 1

B) 2
A) –1
cos ( y  z)
34. Hallar:
D) –1
A) 1
E) 0
35. Calcular:
25. En un triángulo ABC hallar:
Q=
tan ( A  B)
tan C
A) 0

B) –1
cos (B  C)
A=
A)
C) 0
E) F.D.
D) –2
E) 0
sen(90  x)
cos (180  x)
C) –1
B) 2
E = tg (–1200°)
3
3
C)
E) N.A.
2
cos A
C) –2
D) 
tg (x)
B) 1
cos x
C) –2
E) 0
tg x
24. x + y + z = 180°. Hallar:
S=
D) 1
D) 1
E) 2
B) – 3
D) –
3
2
26. Si x + y + z = 
sen x + sen y cos z = 0
Calcular:
J = 2 tan y + tan z
A) 1
B) 2
C) 3
27. Si: sen  =
36. Obtener:
A) 4/5
D) –1
37. Siendo: x + y = 180°, señale V o F en:
I. sen x = sen y
II. cos x = cos y
III. tg x = –tg y
A) VVV
B) VFV
C) FVF
D) FFV
  IIC
3
Hallar la extensión de “a”
C) 3, 5
B) 2, 3
D) 2, 5
28. Calcular:
A) 0
29. Si: cos  =
E) N.A.
C) –1
sen  =
  IVC
6
Hallar la extensión de “a”
C) 0, 10
B) 0, 8
D) 0, 11
E) FFF
2m  3
5
E) 1
D) 2
a5
A) 0, 5
E) N.A.
38. Hallar los límites de “m” si:
sen 1° . sen 2° . sen 3° ………
B) 1
D) 1/2
E) 0
a2
A) 1, 2
R = sen 4733°
B) 3/5
C) 3/4
A) –1, 4
C) [–1, 4
B) –1, 4]
D) [–1, 4]
E) [–1, 1]
39. Para qué valores de “a” se verifica la igualdad:
sen x = 2a – 3
E) 5, 11
A) a  3
C) –1  a  1
B) 1  a  2
D) 0  a  2
E) N.A.
cos 2x
30. Hallar el máximo y el mínimo valor de: y =
A) 1 y 0
C) 1 y 1
E) N.A.
B) 1 y –1
D) 0 y 2
40. Indicar verdadero (V) o falso (F) las siguientes
proposiciones:
31. Indicar el cuadrante donde el coseno y la tangente
tienen igual signo.
A) I y II
C) I y IV
E) II y IV
B) I y III
D) II y III
I.
sen(+x) = sen x
II.
cos(/2+x) = –senx
III. tg(3/2–x) = cotx
A) VFF
B) FFV
-5-
C) VVF
D) FVF
E) FVV