Download Examen Junio 2003

Universidad de Navarra
Nafarroako Unibertsitatea
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniarien Goi Mailako Eskola
ASIGNATURA GAIA
TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
NOMBRE IZENA
1º TC
FECHA DATA
18 Junio de 2003
PROBLEMA 1
En el régimen permanente de corriente alterna sinusoidal plantear las ecuaciones de equilibrio del
circuito de la figura sobre la base de tensiones (método de los nudos).
NOTA: Para su resolución el circuito original debe reducirse a un circuito equivalente constituido por
únicamente un nudo independiente (el nudo A). Aplicar para ello, entre otros, el teorema de
traslación de fuentes ideales.
Los generadores independientes son:

e(t) = 100·cos(1000·t)

i(t) =5·cos(1000·t+/4)
k = 0.5
10  100 F
10 mH
A
80 mH
B
10 
+
+
i(t)
+
e(t)
10 mH
v1
0.5·v1
Ref
Puntuación
(8)
OPCIONAL
Obtener la expresión temporal de la tensión en el nudo A.
(+1)
Duración: 60 minutos
RESOLUCIÓN
Por ser un problema en el régimen permanente de corriente alterna sinusoidal, en primer lugar, hay
que obtener el circuito complejo equivalente que, como se sabe, está caracterizado porque:

Las corrientes y tensiones son fasores

Los elementos pasivos son impedancias complejas
Generadores independientes. Tomando como origen de fases la fase de e(t) …
e( t )  E  100 0
i( t )  I  5 45
Impedancias complejas. Sabiendo que la frecuencia angular de las dos fuentes independientes es de
1000 rad/s …
1
100 F 
 10 j
Cj
10 mH  Lj  10j
Inductancia mutua. Representación circuital en el régimen sinusoidal permanente …
L1  10 mH  L1j  10 j
k = 0.5
L 2  80 mH  L 2 j  80 j
10
mH
80 mH
i1
i2
B
M  K L1  L 2  10 2 mH  Mj  10 2 j
- -
+
v1(t)
10 j
+
v2(t)
10 2 j I2 10 2 j I1
80 j
B
+
I1
- -
+
I2 +
+
Circuito complejo equivalente …
10(1-j)
10 j
10 2 j I2 10 2 j I1
A
I1
80 j
I2
B
+
+
10
+
+
+
1000
10 j
V1
0.5·V1
545
Ref
donde,
V1 
VA
 10 j
10(1  j)
[1]
I2  5 45
Duración: 60 minutos
Aplicando la translación de fuentes ideales al generador dependiente 0.5V1 el nudo B desaparece y el
circuito original queda reducido a un circuito con un sólo nudo independiente (nudo A) …
10(1-j)
10 j
10 2 j I2 0.5·V1
0.5·V1 10 2 j I1
80 j
I2
A
I1
+
+
+
+
10
+
+
1000
10 j
545
V1
Ref
Ref
Aplicando el método de los nudos al nudo A se tiene …
 1
100 0
10 2 I2  0.5V1
1
1 




  VA 
10(1  j)
10 j
10(1  j) 10(1  j) 10 j 
Finalmente, sustituyendo [1] en esta expresión y operando …
1
1 
0.25
(1  j)  VA  VA  133 .3 90
 
  VA  5 2 45  5 2 45 
10
10
j
10


Esta expresión fasorial se corresponde con la siguiente expresión temporal para la tensión en el
nudo A:
vA(t)=133.3·cos(1000t+/2)
Duración: 60 minutos
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TEORÍA DE CIRCUITOS
CURSO KURTSOA
NOMBRE IZENA
FECHA DATA
1º TC
18 Junio de 2003
PROBLEMA 2
Del circuito de la figura, funcionando en régimen permanente de corriente alterna, se conoce la
siguiente información:

e(t) = 400·cos(1000·t + /2)

Z1 (carácter inductivo) consume 1000 W y 3000 VAr.

Z2 (carácter capacitivo) consume 1000 W y 1000 VAr.
I
I1
I2
Z1(i)
Z2(c)
+
E 0

P1 =1000 W
P2 =1000 W
Q1 = 3000 VAr
Q2 = 1000 VAr
Tomando como origen de fases la tensión del generador independiente e(t). Se pide:
1) Impedancia equivalente del circuito Zeq (La constituida por Z1 y Z2).
(2)
2) Expresión fasorial de I.
(1)
3) Valores complejos de las impedancias Z1 y Z2.
(2)
4) Expresiones fasoriales de las intensidades I1 e I2.
(1)
5) Expresiones temporales de las intensidades I, I1 e I2.
(2)
Duración: 40 minutos
RESOLUCIÓN
e(t)  Fasor E  200 2 0 (Valor eficaz)
Z1 inductiva
 S1  1000  3000 j
Z 2 capacitiva
 S2  1000  1000 j
STotal  2000  2000 j  Zeq carácter inductivo
Impedancia compleja equivalente y Fasor de Intensidad I
S Tot 


2
Vef2
200 2
 Z eq 
 20 2 
Z eq
2000 2
PTot  S Tot  cos  eq  cos  eq
I
Z eq  20 2 45  20  20 j
2

  eq  45 
2
E
200 2 0

 10 45
Z eq 20 2 45
Cálculo de Z1


2
E2
200 2
S1 
 Z1 
 8 10 
Z1
1000 10
1
P1  S1  cos 1  cos 1 
  eq  71 .56 
10
Z eq  8 10 71.56  8  24 j
Análogamente para Z2 …


2
E2
200 2
S2 
 Z2 
 40 2 
Z2
1000 2
Z eq  40 2  45  40  40 j
2
P2  S 2  cos  2  cos  2 
  eq  45 
2
Fasores de Intensidad I1 e I2
E
200 2 0
I1 

 5 5 71.56
Z1 8 10 71.56
I2 
E
200 2 0

 5 45
Z 2 40 2 45
Expresiones temporales de los fasores I, I1 e I2
 

i( t )  10 2  cos(1000 t   )  10 2 cos(1000 t  )
2 4
4

71 .56
i1( t )  5 10  cos(1000 t   2
)  5 10  cos(1000 t  0.1  )
2
360
 
3
i 2 ( t )  5 2  cos(1000 t   )  5 2  cos(1000 t 
)
2 4
4
Duración: 40 minutos
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18 Junio de 2003
PROBLEMA 3
El circuito resonante paralelo con bobina real de la figura se encuentra funcionando a su frecuencia
de resonancia. A dicha frecuencia se sabe lo siguiente:

La intensidad eficaz que circula por la capacidad es 10 mA.

La tensión eficaz (Vout) en la resistencia es 50 V.

El factor de calidad de la bobina es Qb = 10 (>5).
A
+
r
200 pF
2 mA
Vout
50 k
L
B
Nota: La corriente del generador está en valor eficaz
Se pide:
1) Factor de calidad del circuito.
(1)
2) Frecuencia de resonancia.
(2)
3) Valores r y L de la bobina.
(2)
Suponiendo que la bobina es ideal (r=0),
4) ¿cuál sería en este caso la nueva frecuencia de resonancia?.
(1)
Duración: 20 minutos
RESOLUCIÓN
Al transformar la bobina real por su equivalente paralelo (Rp, Lp) a la frecuencia de resonancia se
tiene el circuito B de la figura (circuito de la derecha) el cual es un circuito resonante paralelo ideal.
A
A
10 mA
+
10 mA +
10 mA
1 mA
2 mA
r
200 pF
2 mA
50 k
Vout
2 mA
Lp
200 pF
Req
[50 k // Rp]
50 V
L
-
-
B
B
IMPORTANTE: Los fasores de intensidad de 1 mA y 10 mA no están en fase sino desfasados 90º
entre sí. Por ello, no se pueden sumar sus módulos directamente.
Operando en el circuito B se tiene …

A la frecuencia de resonancia en el circuito B se cumple que IL  IC  Q  IR  Q 

50  2  10 3 R eq  R eq  25 k
Como …

Q  R eq Co  o  10 6 rad / s
Otra forma … 50  IC
10 mA
5
2 mA
1
1
1


 R p  50 k
3
R eq 50  10
Rp
1
 o  10 6 rad / s
Co
Utilizando ahora expresiones correspondientes al circuito resonante paralelo práctico …
2
Lo
r
  10 5
r
L

Qb 

Otra forma …
o2 
o2 
1 r
1
  
 1.01  10 2  L  4.95 mH ; r  495 
LC  L 
LC
1
 L p  5 mH
LpC
R p  (1  Q b ) 2  r  r  495 

1
L p  1  2
 Q
b

Si r=0 entonces … 'o 
1

  L  L  4.95 mH


 1.005  10 6 rad / s
LC
Duración: 20 minutos
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CURSO KURTSOA
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FECHA DATA
18 Junio de 2003
PROBLEMA 4
En el sistema de transmisión que se muestra en la figura (parte superior) se pretende comunicar, a
una frecuencia de 100 Mrad/seg, una estación base con un receptor situado a cierta distancia.
Para ello se dispone de un generador de señal de valor eficaz 200 V (figura, parte inferior).
37 dBi/75
75
75
43 dBi/75
50
98 dB
7 dB
50
6 dB
75
Generador
Amplificador
20 dB
Amplificador
30 dB
Atenuador
5 
10 
5 
+
E
200V
3 H
50 
Este generador proporciona una potencia tan elevada que el primer amplificador de la cadena es
incapaz de operar correctamente. Con el objetivo de reducir la potencia a niveles aceptables, entre
generador y amplificador, se introduce un atenuador en . En esta nueva situación se desea, en
primer lugar, maximizar la transmisión de potencia desde el generador de señal hasta la antena de
transmisión. Se pide:
1) Mediante células adaptadoras sin pérdidas, insertar tanto a la entrada como a la
salida de la célula en  cuantos elementos sean necesarios de cara a lograr el deseado
efecto. NOTA: Diseñar las redes de adaptación eligiendo la rama en paralelo como
capacitiva.
(3)
2) Una vez efectuada la adaptación, máxima potencia que suministrará el conjunto
generador-atenuador a la entrada del primer amplificador.
(2)
3) Pérdidas de transmisión e inserción del conjunto adaptador-atenuador.
(2)
Insertadas las células adaptadoras sin pérdidas correspondientes, se pide:
4) Potencia en dBm detectada por el analizador de espectros.
(2)
5) Expresar dicha potencia en dBV/200 y en dBV/75 .
(1)
6) En caso de ser posible, ¿qué elementos y en qué lugar deberían introducirse dentro de
la cadena, si se quiere recibir una potencia máxima en el analizador de espectros?.
NOTA: No es necesario calcular los valores.
(1)
7) Valor de dicha potencia máxima expresada en dBm.
(1)
Duración: 90 minutos
RESOLUCIÓN
La adaptación de la etapa de transmisión debe realizarse tal y como muestra el circuito de la figura
Red
adaptadora
sin pérdidas
5 
E
200V
Red
adaptadora
sin pérdidas
5 
+
10 
- j Xc
3 H
50 
1
Amplif.
2
APARTADO 1
La impedancia del generador debe hacerse puramente resistiva para lo cual hay que insertar una
impedancia puramente capacitiva en paralelo con la inductancia del generador …
0.3 H  Lj  0.3  10 -6  100  10 6 j  30 j  - X C j 
1
 30 j
C
Cálculo de las impedancias imagen del atenuador en 


En primer lugar, por tratarse de una red simétrica, se sabe que R 01 y R02 son iguales
10  5
15  5
Z sc1 
Z sc 2 
10  5
15  5
R 01  R 02  Z sc1  Z sc 2  3.54 
X2(i)
La célula 1 debe adaptar impedancias de entrada y salida
de 50  y 3.54 , respectivamente. Por tanto…

X1=-13.80  (Puramente capacitiva)

X2=12.82  (Puramente inductiva)  L2=0.128 H

Agrupando Xc y X1 en una sola capacidad…
50
X1(c)
3.54
XTot = Xc // X1  XTot=-9.45   CTot=1.058 nF
X2(i)
La célula 2 debe adaptar impedancias de entrada y salida
de 3.45  y 75 , respectivamente …

X1=-16.69  (Puramente capacitiva)  C1=599 pF

X2=15.90  (Puramente inductiva)  L2=0.159 H
3.54
X1(c)
75
Duración: 90 minutos
APARTADO 2
Tras la adaptación el circuito que se tiene es el de la figura:

0.159 H
599 pF
5 
10 
5 
0.128 H
1.058 nF
+
E
200V
3 H
50 
Amplif.
En dicho circuito el generador transmite al resto del circuito su máxima potencia, que en este
caso es
200 2
 200 W que equivale a 23.01 dB W
4  50
En las células adaptadoras 1 y 2 no hay pérdidas de transmisión
En la red atenuadora en  sí hay pérdidas de transmisión. Además, como la célula en  tiene
conectadas tanto a su entrada como a su salida sus impedancias imagen, estas pérdidas de
transmisión coincidirán con las pérdidas de atenuación. Es decir, …
P


Th  
Z sc1

Z oc1
8
     1.76
9
Pérdidas de atenuación
p1
 e 2  33 .97 o también 15.31 dB
p2
Puesto que hasta llegar a la entrada de la red atenuadora no hay pérdidas, la potencia que llega a
su entrada es precisamente 200 W (p1 = 200 W). Sabiendo que la relación de potencia p 1/p2 en esta
célula es 33.97, entonces … p2 = 5.89 W o también 7.7 dBW.
La célula adaptadora 2 tampoco tiene pérdidas. Es por ello que la potencia transmitida a la entrada
del amplificador será íntegramente p2. Por tanto, después de la adaptación la potencia máxima
transferida desde el generador a la entrada del amplificador será: 5.89 W o 7.7 dBW.
APARTADO 3
Pérdidas de transmisión: 15.31 dB
Pérdidas de Inserción:
50 
+
~
E
200V
Aplicando Millman en el circuito de la figura …
200
50
VA 
 60(1  j)  60 2 45
1
1
1


50 75 30 j
p 20 
75 
Al conectar directamente el generador y la impedancia de 75 ,
es decir, la impedancia imagen a la entrada del amplificador, la
potencia transmitida a esta última es p20=96 W.
3 H

VA2
 96 W
75

Tal y como se ha calculado anteriormente, después de la inserción la potencia transmitida a la
entrada del amplificador es p2=5.89 W.

Por tanto, las pérdidas de inserción serán: 10 log
p 20
 12 .12 dB
p2
Duración: 90 minutos
APARTADO 4
Primero hay que hallar las pérdidas por desadaptación que tienen lugar tanto a la entrada como a la
salida del amplificador situado en el circuito receptor. En ambos casos resultan ser 0.178 dB.
Con ello, la potencia detectada en el analizador de espectros expresada en dB W será …
7.7dBW + 20dB -7dB + 37dB -98dB + 43dB - 6dB - 1.178dB + 30dB - 0.178dB = 26.34dBW o
también 56.34dBm.
APARTADO 5
Existen diferentes métodos. Este es uno de ellos …

Cambio de dBm a Watios. 56.35 dB m  10  log

Transformar P en dBV/200. 10  log

Transformar P en dBmV/75. 10  log
P
10 
10 3
 P  430 .53 W
 169 .35 dB V/200 
6 2
200
P
10 
P (W )
 105 .09 dB mV/75 
3 2
75
APARTADO 6
Para detectar una máxima potencia en el analizador de espectros habría que eliminar las pérdidas
por desadaptación que tienen lugar en la etapa receptora tanto a la entrada como a la salida del
amplificador. Para ello habría que introducir los siguientes elementos:

Célula adaptadora sin pérdidas entre antena y amplificador cuyas impedancias imagen de
entrada y salida serían, respectivamente, 75  y 50 .

Célula adaptadora sin pérdidas entre amplificador y analizador de espectros con impedancias
imagen de entrada y salida de 50  y 75  ,respectivamente.
APARTADO 7
Al introducir estas dos células adaptadoras las pérdidas por desadaptación desaparecen, con lo que
la potencia detectada por el analizador de espectros será máxima y expresada en dB m valdrá …
56.34dBm + 0.178dB + 0.178dB = 56.696dBm
Duración: 90 minutos
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18 Junio de 2003
TEORÍA. PREGUNTA 1
+
iL
iC
100 F
50 mH
En el circuito de la figura se sabe que empleando para la resistencia
R valores de 5  y 100 , se obtienen dos respuestas diferentes,
resultando una de ellas subamortiguada y la otra sobreamortiguada.
VO
K
-
1) ¿Con qué valores de R se corresponde cada una de ellas?. NOTA: Razone la respuesta de forma
cualitativa.
Al aumentar R, en el límite R=, el circuito se reduce a un circuito LC el cual oscila
permanentemente. Por tanto, cuanto mayor sea el valor de R más fácil es que se produzcan
oscilaciones en la respuesta transitoria.
R = 5.
Respuesta sobreamortiguada
R = 100.
Respuesta subamortiguada
2) Expresiones literales de cada una de estas dos respuestas
Caso sobreamortiguado:
v( t )  A  es1t  B  es2t
Caso subamortiguado:
v( t )  e t  A  cos(t )  B  sen(t )
Para R=100 , en un instante determinado, denominado t=0, se abre el interruptor K. En t=0- se
sabe que vo=100 V e iC=1 A.
3) Energía almacenada en el circuito en t=0-.
En t=0- la corriente que circula por la inductancia es i L = -2 A y la tensión en la capacidad es de
100 V. Por tanto, la energía almacenada por el circuito en este instante será:
E
1 2 1
LiL  CVC2  0.1  0.5  0.6 J
2
2
4) Expresión temporal de la corriente i L para t>0.
Al abrir el interruptor K el circuito se transforma en un circuito RL sin fuente de alimentación.

En t=0+ la corriente en la inductancia es i L = -2 A

En t= la corriente en la inductancia es 0 (No hay fuentes de alimentación)

La constante de tiempo  del circuito es L/R = 0.5 ms
Con esto, la expresión temporal de la corriente i L es por tanto: iL ( t )  2  e 2000 t
Duración: 15 minutos
+
e(t)

100
2.00
75
1.50
50
1.00
25
0.50
0
0.00
-25
-0.50
-50
-1.00
-75
-1.50
-100
-2.00
1) Frecuencia de las señales.
1 ms
El período es 1 ms, por lo que la frecuencia será: f = 1/T = 1000 Hz,  = 2·f = 2000 rad/s
2) ¿Cuál se corresponde con la señal de intensidad y cuál con la de tensión? Razone la respuesta.
Ángulo de desfase entre ambas señales.
Por tratarse de un circuito RC la impedancia equivalente tiene carácter capacitivo. Ello significa
que la tensión e(t) debe estar retrasada con respecto a la intensidad i(t). Observando en la figura
las dos señales y teniendo en cuenta lo dicho anteriormente se tiene que i(t) es la señal marcada
con una línea suave, mientras que e(t) es la marcada con una línea más gruesa.
Además, el desfase entre estas dos señales será: 2
125  10 6


3
4
1000  10
3) Expresiones temporales de cada una de estas dos señales.
e( t )  100  sen(2000 t   )
4
i( t )  1.5  sen(2000 t )
4) Valor de la impedancia equivalente del circuito. Potencias activa y reactiva que suministra la
fuente de alimentación.
Z eq 
P
100  4
1.5 0
 200 


 3   4
E I
100  1.5

cos  
cos  37.5 2 W; Q  -P  -37.5 2 VAr
2
2
4
5) Definición de respuesta frecuencial de un circuito.
Es el estudio del comportamiento de un circuito en el régimen permanente de corriente alterna
sinusoidal cuando en la fuente de alimentación independiente se varía su frecuencia pero se
mantiene invariable su amplitud
6) Representar gráficamente de forma cualitativa cómo sería la respuesta frecuencial de la tensión
en la capacidad para este circuito.

Cuando   0

Cuando   
VC  E  100 0
VC  0  2
Duración: 20 minutos
Intensidad (Amperios)
En el circuito RC de la figura,
funcionando en el régimen permanente de corriente alterna, se
muestran las señales de tensión e
intensidad correspondientes ambas al generador.
Tensión (Voltios)
i(t)
125 s
TEORÍA. PREGUNTA 2
TEORÍA. PREGUNTA 3
Z1
Sea la red de dos puertas en T de la figura.
Z2
Z3
1) Obtener su matriz de parámetros Z.
Z  

Z1  Z 3
Z3


Z2  Z3 
Z3
2) ¿Es una red recíproca? ¿Por qué?
Sí, pues Z12 = Z21 = Z3
3) ¿Es una red simétrica? ¿Por qué?
No, pues Z11  Z22
4) Se quiere realizar una conexión serie a la entrada y paralelo a la salida con otra red en T.
Teniendo en cuenta que no cumple el Test de Brune, dibuje cómo debería realizarse el
conexionado para cumplir con dicho Test.
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TEORÍA. PREGUNTA 4
Definir en una red de dos puertas los siguientes parámetros indicando los esquemas de conexión
correspondientes a cada definición.
1) Pérdidas de transmisión
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2) Pérdidas de atenuación
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3) Ganancia de inserción
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4) Pérdidas de transductor perfecto.
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