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GUÍA DE APRENDIZAJE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
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1. IDENTIFICACIÓN
DESARROLLO DE PROPUESTA CONSTRUCTIVA DE ACUERDO A NORMAS Y
ESPECIFICACIONES TÉCNICAS; EN ZONA DE RIESGO POR FENÓMENOS DE
REMOCIÓN DE MASAS EN LA LOCALIDAD DE CIUDAD BOLÍVAR CON ÉTICA
RESPONSABILIDAD SOCIAL Y AMBIENTAL
1.1 NORMA DE COMPETENCIA:
Georeferenciar proyectos de ingeniería de acuerdo a normas y especificaciones.
1.2 ELEMENTO DE COMPETENCIA:
Referenciación geográfica
1.3 RESULTADOS DE APRENDIZAJE:
Realizar levantamientos geodésicos según especificaciones técnicas y procedimientos
establecidos
Calcular coordenadas georeferenciadas de acuerdo al tipo de levantamiento
1.4 MODALIDAD DE FORMACIÓN:
Blended Learning – Aprendizaje Combinado (B-Learning)
1.5 DURACIÓN:
Trimestral
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2. INTRODUCCIÓN
La visión esférica del Universo es una imagen que surge de forma natural al observar las
estrellas en una noche despejada.
Fijándonos detenidamente en el cielo
vemos que se asemeja al hemisferio
de una esfera que tiene como centro
el lugar en el cual nos encontramos,
de tal forma que los cuerpos celestes
observados podrían considerarse
situados en una superficie esférica.
Análogamente sucede cuando se
considera la superficie de la Tierra
como una esfera. Aunque este
planteamiento se utiliza sobre todo en
Navegación y en proyecciones
topográficas e hidrográficas, en
Geodesia sólo será válido como una
primera aproximación.
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La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, es de gran
importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en la geodesia. Estudia
triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas
contenidos en la superficie de una esfera. El concepto de triángulo esférico se introduce a
partir de la definición del triedro, en tanto que geométricamente se obtendrá como la
intersección de un triedro con la superficie de una esfera cuyo centro coincide con el
vértice del triedro.
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Al realizar la caracterización de los grupos de aprendices que ingresan al SENA, en el
CTCM, se observa la falta de desarrollo de sus competencias matemáticas, las cuales no
se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje
enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten
avanzar a niveles de competencia más complejos. Es por ello que para la introducción de
contenidos básicos de la trigonometría esférica, cabe preguntarse ¿Cómo puede el
aprendiz resolver con eficiencia y pertinencia, problemas relacionados con la aplicación
de los conocimientos de trigonometría esférica, requeridos en su lugar de desempeño?
4. JUSTIFICACIÓN
Es necesario proveer conocimientos, habilidades y destrezas en el uso y manejo de las
matemáticas como una herramienta para la vida, la educación matemática debe
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Imagen tomada de http://grupodetopografian6.blogspot.com/2011/07/topografia.html
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responder a nuevas demandas globales y nacionales, como las relacionadas con el uso y
manejo de los postulados de la trigonometría esférica y sus aplicaciones en las área de la
construcción, como fundamento para el desarrollo de las competencias necesarias
definidas en los programas de formación.
5. OBJETIVOS
5.1 Conocer y comprender los conceptos básicos de la Geometría sobre la esfera
aplicándolos en diferentes situaciones problema.
5.2 Adquirir destreza en la manipulación de las ecuaciones de resolución de triángulos
esféricos y su aplicación en casos reales del área de desempeño.
6. ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA
Para el docente:





Explicación – demostrativa.
Propuestas de situaciones problema.
Formulación de preguntas.
Entrevistas personales, que le permitan planear, ejecutar y controlar su trabajo de
orientador y facilitador del proceso de aprendizaje del alumno.
Aplicación de instrumentos de evaluación.
Para el aprendiz:

Análisis y resolución de problemas que requieran la utilización de la trigonometría
esférica.
 Propuestas, consultas y socialización de situaciones problema alrededor del tema.
6.1 TIEMPO HORAS:
30 Horas presenciales
10 Horas Virtuales
6.2 CONCIENTIZACIÓN:
SABER:
Trigonometría plana.
• Definiciones
• Resolución de triángulos.
Geometría sobre la superficie esférica.
• Definiciones
• Triángulos esféricos. Triangulo polar.
• Propiedades de los triángulos esféricos
• Superficie de un triángulo esférico
Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.
• Fórmulas de Bessel
 Teorema del coseno
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


Teorema del seno
Teorema de la cotangente
Teorema del coseno para los ángulos
Funciones del ángulo mitad
Analogías de Gauss-Delambre
Analogías de Neper
Distancia esférica entre dos puntos
Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros.
• Triángulos esféricos rectángulos
• Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos
• Triángulos esféricos rectiláteros
SABER HACER:


Realizar mediciones sobre una superficie esférica.
Realizar cálculos aplicando las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos
esféricos y rectiláteros.
SER:


Reconocer y valorar la importancia de los conocimientos adquiridos, en la ejecución
de los proyectos.
Desarrollar habilidades para el trabajo en equipo.
6.3 CONCEPTUALIZACIÓN:
El instructor facilita en su clase una información organizada en la plataforma Blackboard,
(hilos conductores), secuencial, presentando detalles importantes y solicitando
retroalimentación de lo comprendido sobre trigonometría esférica.
 Descargue y realice la lectura de las presentaciones, plana.ppt y esférica.ppt. de
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Trigono
metria/index1.htm
Se prescriben los recursos, lecturas, vídeos según características individuales y culturales
de los aprendices.
 Realice las simulaciones propuestas en:
http://www.educaplus.org/cat-4-p1-Geometría_Matemáticas.html
http://www.educaplus.org/cat-73-p1-Trigonometría_Matemáticas.html
http://www.walter-fendt.de/m14s/sphertriangle_s.htm
Se promueve el análisis, el pensamiento divergente, la crítica y se facilita una visión en la
cual la experiencia y el concepto se integren.
 Analice los ejercicios propuestos en:
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Ejercicios/esferica
/soluciones/sol-esferica.pdf
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Mediante actividades creativas se integra lo emocional, con lo cognitivo.
6.4 CONTEXTUALIZACIÓN:
El aprendiz hace propuestas de situaciones reales en las cuales se aplican los conceptos
de trigonometría esférica.
En la carpeta de evidencias del aprendiz se organiza un archivo de las siguientes
actividades:
1. Un mapa conceptual donde se presenten los conceptos básicos de la trigonometría
esférica.
2. Un cuadro donde se clasifiquen los triángulos planos y esféricos.
3. Los ejercicios de resolución de triángulos planteados por el instructor.
4. Con referencia en la lectura de las presentaciones, plana.ppt y esférica.ppt., debe
realizarse una síntesis de las lecturas realizadas para ser socializada en sesión plenaria.
5. Las demás actividades (cronograma de proyecto, matrices y listas de cotejo) asignadas
por el instructor.
6. Evidencias de la participación activa en el foro virtual propuesto en la plataforma
Blackboard para cada semana, asumiendo una actitud crítica y con ideas fruto de su
propia reflexión.
7. Los aprendices participan activamente
emprendimiento y humanística programadas.
en
las
jornadas
de
cultura
física,
7. AMBIENTES DE APRENDIZAJE
Aula de clase
Cancha Múltiple del
Parques aledaños
Plataforma Blackboard
Simuladores Virtuales
8. EVALUACIÓN
8.1 CRITERIOS DE EVALUACIÓN
 De conocimiento:
Prueba escrita
Prueba oral: formulación de preguntas y situaciones problema sobre los
conocimientos incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.

De Desempeño:
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Realización y desarrollo de ejercicios y problemas prácticos.
•
De Producto:
Entrega de evidencias de los ejercicios y problemas propuestos, debidamente
resueltos.
9. GLOSARIO DE TÉRMINOS
Circunferencia máxima o ciclo: es la intersección de una esfera con un plano que pasa
por su centro.
Circunferencia menor: es la intersección de una esfera con un plano que no pasa por su
centro.
Distancia esférica entre dos puntos de una superficie esférica: Es la longitud del
menor arco de circunferencia máxima entre dos puntos.
Ángulo esférico entre dos ciclos: Es el ángulo formado por las tangentes a las
semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto.
Polos de un ciclo: Son los extremos de un diámetro perpendicular al plano de un ciclo
trazado por el centro de la esfera.
Triángulo esférico: Es la porción de superficie esférica comprendida entre tres arcos de
ciclo que se cortan dos a dos.
Triedro: si se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera, se
obtiene un triedro.
Triángulo esférico: es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro.
Dos triángulos esféricos entre sí pueden ser:
• Adyacentes: si tienen un lado común.
• Simétricos: si los vértices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vértices
del otro.
• Opuestos por el vértice: si tienen un vértice común.
Tipos de triángulos esféricos:
1. Equilátero: si tiene los tres lados iguales.
2. Isósceles: si tiene dos lados iguales.2. Isósceles: si tiene dos lados iguales.
3. Rectángulo: si tiene uno o más ángulos rectos.
4. Un triángulo esférico se llama rectilátero: si tiene al menos un lado recto.
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Polígono esférico: es la porción de superficie esférica comprendida entre una poligonal
cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia máxima.
Fórmulas de Bessel: teorema del coseno para lados, teorema del seno, teorema de la
cotangente, teorema del coseno para ángulos.
Fórmulas de Briggs. Analogías de Gauss--Delambre. Analogías Delambre. Analogías de
Neper.
10. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS.
Madrid, Septiembre de 2008. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA.
Webgrafía
Serie Pensadores de la Esfera en:
http://www.youtube.com/watch?v=78DlEUUB46s
http://www.youtube.com/watch?v=UcqMe6OTZdE
http://www.youtube.com/watch?v=QNw9qKZAvI0
http://www.youtube.com/watch?v=7MeKjYENZ0k
http://www.youtube.com/watch?v=uwYH6ThiNrs
http://www.youtube.com/watch?v=qLOrmq4aGNk
Cibergrafía
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS.
Madrid, Septiembre de 2008. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA.
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Trigonom
etria/Trigonometria%20Esferica.pdf
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA. kepler ck ikastegiaesfericos.2001
http://www.euskalnet.net/pasku/trigono.pdf
LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA. CARLOS S. CHINEA.
MARCHENA. Diciembre 2002. http://casanchi.com/mat/formulaesferica.pdf
Universidad de Cádiz. NOTAS Y APUNTES DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA. Y
ASTRONOMÍA DE POSICIÓN. Laboratorio de Astronomía y Geodesia.
http://rodin.uca.es:8081/xmlui/bitstream/handle/10498/9873/teap.pdf?sequence=1
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Resolver los siguientes ejercicios, de acuerdo con las condiciones dadas:
1. Razonar si puede, al menos, existir un triángulo esférico con los elementos siguientes:
a = 30º 53’ b = 31º 09’ A = 87º 34’
2. Se conocen tres lados y se quieren conocer los tres ángulos. Datos: a = 39º 27’ 42’’; b =
71º 13’ 15’’; c = 54º 02’ 02’’ Incógnitas: A, B, C.
3. Se conocen tres ángulos y se quiere calcular los tres lados. Datos: A = B = 52º 14’ 24’’;
C = 82º 12’ 03’’ Incógnitas: a, b, c.
4. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido. Datos: a = 73º 58’ 58’’; b = 38º 45’ 00’’;
C = 46º 33’ 41’’ Incógnitas: A, B, c.
5. Se conocen dos ángulos y el lado comprendido. Datos: A = 40º 30’; B = 109º 20’;
c = 120º 10’ Incógnitas: C, a, b.
6. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Datos: a = 42º 42’ 12’’;
A = 37º 45’; b = 65º 36’ Incógnitas: B, C, c
7. Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Datos: C = 42º 12’ 20’’;
B = 83º 34’ 15’’; b = 74º 18’ 02’’ Incógnitas: a, c y A.
8. Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre
el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo.
9. Se conocen dos catetos y el ángulo recto A Datos: b = 75º 47’, c = 102º 38’ Incógnitas:
a, B y C.
10. Se conocen la hipotenusa a y un cateto. Datos: a = 112º 42’ 36’’, b = 76º 44’ 15’’,
A = 90º Incógnitas: c, B y C.
11. Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C. Datos: b = 41º 52’ 14’’; C = 59º 0’
12’’; A = 90º Incógnitas: B, a y c.
12. Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C. Datos: a = 60º 07’ 13’’; C = 59º 00’ 12’’;
A = 90º Incógnitas: b, c y B.
13. Se conocen tres ángulos A, B y C. Datos: A = 90º, B = 50º 20’ 01’’y C = 59º 00’ 12’’
Incógnitas: a, b y c.
14. Resolver el triángulo esférico a = 90º, A = 36º 25’ 08”, c = 102º y calcular la superficie
que ocupa él y su triángulo polar sobre una esfera de radio 1.
15. Calcular la distancia en km, entre Madrid y Málaga, siendo las coordenadas de Madrid
longitud 3º 41’ Oeste y latitud 40 24’30” Norte, y las de Málaga 0 49’55” Oeste y
36 43’13” Norte.
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16. Sea el triángulo esférico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyos vértices son el
Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas: B (longitud: 120º Este, latitud: 40º Norte),
C (longitud: 30º Oeste, latitud: 60º Norte)
Se pide:
a) Resolver el triángulo.
b) Calcular la superficie del triángulo.
17. Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud 42º ¿Cuál es
la longitud del punto de llegada?, si:
a) Parte de la longitud 125º O.
b) Parte de la longitud 160º E.
(Tomar como radio de la tierra 6370 km).
18. De un triángulo esférico trazado en una superficie esférica cuyo radio es 10 dm se
conocen: A = 71º 20´; B = 119º 25´; C = 60º 45´.
Se pide:
a) Resolver el triángulo.
b) Hallar su área.
c) Hallar el volumen de la pirámide esférica cuyo vértice es el centro de la esfera y su
base el triángulo dado.
19. Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden 87° 16’, 108° 34’, 126° 23’,
150° y 156° 48’ en una esfera de 16 dm de radio.
20. Calcular la superficie del triángulo esférico que tiene por vértices las siguientes
ciudades Rio de Janeiro (Brasil) (latitud: 22º54’0’’ S; longitud:43º13’59’’ O)
Atenas (Grecia) (latitud: 37º58’40’’ N; longitud: 23º43’40’’ E)
Kingston (Jamaica) (latitud: 17º59’0’’ N; longitud: 76º48’0’’ O)
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La metodología de Aula Invertida me parece muy pertinente para el desarrollo de
la investigación dirigida, pues provee los elementos didácticos y de planificación
de la sesión de clase, para el desarrollo colaborativo del proceso de enseñanza
aprendizaje.
Por mi parte, sí implementaría esta metodología en el aula de clase, pues trabajo
con personas que por situaciones personales, están obligadas a trabajar y
estudiar, lo cual les implica una disponibilidad de tiempo menor para sus labores
académicas, por lo que The Flipped Classroom, es una alternativa para la
optimización del tiempo de estudio.
En el contexto Colombiano, en el cual el tiempo para estudiar es tan limitado, por
la falta de programas, con subsidios económicos que favorezcan el aprendizaje
así como la adquisición de conocimiento y no sólo aseguren las cuotas
electorales, como por ejemplo “Familias en Acción”, se hace necesaria la
implementación de una metodología como la de Aula Invertida, que favorezca la
profundización y globalización de las temáticas propuestas en la escuela mediante
una verdadera planificación didáctica de los diseños curriculares de las
Instituciones Educativas.
Una propuesta muy interesante de enseñanza se fundamenta en la construcción
de Unidades Didácticas de Enseñanza por Investigación Dirigida,
complementadas con las Tic como recurso didáctico, el cual pude abordar en un
curso de física y que puede ser referenciado en Tesis Doctoral; “El diseño de
Unidades didácticas basadas en la estrategia de enseñanza por investigación:
Producción y experimentación de un material didáctico multimedia para la
formación del profesorado.” Disponible en http://fondosdigitales.us.es/tesis/tesis/872/elElb. Lic. Nelson Velandia
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