Download Ep gravitatoria

5.-
Campo gravitatorio terrestre
Concepto de campo
La fuerza gravitatoria es una fuerza a distancia ya que las masas que interaccionan no están en
contacto. Para explicar las fuerzas a distancia es necesario introducir el concepto de campo.
Campo: perturbación del espacio de manera que a cada punto del espacio se le asigna el valor de una
magnitud
 Campo escalar: si la magnitud asignada es escalar (ej.: campo de temperaturas)
 Campo vectorial: si la magnitud asignada es vectorial, es un vector (ej.: campo de fuerzas)
Campo de Fuerzas: perturbación del espacio de manera que a cada punto del espacio se le asigna el
valor de una fuerza. Al situar un cuerpo en un punto del espacio actúa una fuerza sobre él.
 Campo de fuerza central: si las fuerzas convergen en un mismo punto (centro del campo)
Campo gravitatorio
Perturbación creada en el espacio por un cuerpo por el hecho de tener una masa “ M ”.
Cualquier otra masa “ m ” situada en un punto del campo interacciona con dicho campo y
experimenta una fuerza de atracción gravitatoria.
Para describir un campo gravitatorio se utilizan dos magnitudes:
 Intensidad del campo gravitatorio ( g ) en cada punto del espacio (magnitud vectorial)
 Potencial gravitatorio (V) en cada punto del espacio (magnitud escalar)
Intensidad del campo gravitatorio
A cada punto del campo gravitatorio se le asigna un vector ( g ) definido como la fuerza que
actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto
g
F
M
 G 2 ur
m
r
Z
r
 El módulo de la intensidad del campo
gravitatorio es:
M
g G 2
r
 La dirección del campo gravitatorio ( g ) es la
m  1 kg
g
ur
M
Y
X
de la recta que contiene al vector de posición ( r )
 El sentido del campo gravitatorio ( g ) es opuesto al vector de posición ( r ); y como es un campo
central, hacia el centro del campo ( M )
El campo gravitatorio es central y las unidades de la intensidad del campo gravitatorio (g) en el SI
son N/kg.
La fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa
“m” situada en un punto del campo creado por la
masa “M” es:
Z
r
m
Fg
ur
F  F g  mg
M
siendo g la intensidad del campo gravitatorio en
dicho punto
Y
X
El campo gravitatorio creado en un punto por varias masas es la suma en dicho punto de los
campos debidos a cada una de las masas, de acuerdo con el Principio de Superposición.
g  g1  g 2  ...
Campo gravitatorio terrestre
Si la masa que crea el campo gravitatorio no es una masa puntual sino un planeta, más concretamente
la Tierra, considerado como una esfera con su masa homogéneamente distribuída, se mantienen todos
los resultados anteriores pero las distancias se miden ahora desde el centro de la esfera
La intensidad del campo gravitatorio terrestre en cualquier punto exterior a la superficie del
planeta es:
M
g   G 2T u r
r
r
M
g  G 2T
r
RT
ur
MT
g G
( RT  h) 2
m  1 kg
g
r
h
MT
RT
La intensidad del campo gravitatorio depende de la altura
“ h ”, siendo inversamente proporcionales
En la superficie de la Tierra ( h  0 ), el módulo de la intensidad del campo gravitatorio g o es:
g o G
MT
2
RT
N m2
, M T  5,97 1024 kg y RT  6,37  106 m
kg 2
N
m
5,97 1024
g o  9,8
 9,8 2
g o 6,673 1011
6 2
kg
s
(6,37 10 )
Sustituyendo los valores G  6,673 1011
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio terrestre coincide con el valor de la aceleración de la
gravedad en dicho punto. Este resultado se comprende ya que la fuerza que actúa sobre los cuerpos en
caída libre es la fuerza de atracción gravitatoria (su peso)
Despejando la aceleración en la expresión de la segunda ley de Newton:
a
donde “m” es la masa del cuerpo que cae libremente bajo la fuerza gravitatoria
F
m
F G
MT m
r2
Y sustituyendo, se obtiene:
a
G
MT m
r2
m
a
G MT m
mr2
aG
MT
g
r2
La intensidad del campo gravitatorio g en un punto P del interior de un planeta, a una distancia
“ r  R i  RT ” es debida sólo a la masa contenida en una esfera cuyo centro es el del planeta y que
pasa por el punto P
g i G
Mi
R 2i
RT
MT
Mi
P
gi
Donde M i es la masa de una esfera con el mismo centro que la
MT M i

 cte
VT
Vi
R 3i
MT
RT3
g i G
R 2i
g i G
MT R i
RT2 RT
Siendo la expresión vectorial:
MT
4
 RT3
3

M
i
4
 R 3i
3
g i G
R 3i M T
RT3 R 2 i
g i  go
Ri
RT
g i   go
VT
Vi
La densidad de la Tierra es constante, por tanto, se cumple:

Ri
O ur
Tierra y radio R i
MT M i
 3
RT3
Ri
g i G
M i
R 3i
MT
RT3
R i MT
RT3
Ri
ur
RT
g
Las siguientes expresiones muestran el comportamiento del
campo gravitatorio terrestre en todo el espacio:
g i
go
Ri
RT
g o G
MT
N
 9,8
2
kg
RT
g G
MT
r2
g o  9,8
O
 Ri

RT
1
r2
r
La intensidad del campo gravitatorio, dentro de la esfera terrestre, crece linealmente con la distancia al
N
centro de la Tierra “  R i ”, adquiere su valor máximo “ g o  9,8 ” en la superficie y decrece en el
kg
1
exterior del planeta al alejarnos según “  2 ”
r
Peso de un cuerpo
El peso de un cuerpo de masa “ m ” situado en cualquier punto es la fuerza con que la Tierra lo
atrae:
M m
M
P  Fg  G T2  G 2T m
r
r
P  mg
El peso de un cuerpo varía según el punto donde se mida,
mientras que la masa de dicho cuerpo es constante
g
P
RT
r
h
MT
El peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es:
m
RT
P  m go
6.-
Campos conservativos. Energía potencial
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realiza la fuerza del campo para trasladar
una partícula, desde un punto A a otro punto B, no depende de la trayectoria seguida y sólo
depende de los puntos inicial A y final B (sólo depende del valor de una cierta función en dichos
puntos)
WAB  f ( A)  f ( B)
Propiedades de un campo conservativo:
a) El trabajo realizado por las fuerzas
del campo en una trayectoria cerrada
es nulo
WABA  WI  WII
B
I
II
WI  f ( A)  f ( B)
WII  f ( B)  f ( A)
WABA  0
A
b) El trabajo realizado por las fuerzas del campo puede expresarse como la variación de una
magnitud cuyo valor sólo depende del punto considerado, a dicha función se la llama energía
potencial ( Ep )
WAB  Ep ( A)  Ep ( B)  Ep ( B)  Ep ( A)  Ep
 La Energía potencial (magnitud escalar) es una forma de energía en que se almacena el
trabajo realizado contra las fuerzas del campo
 La expresión de la energía potencial depende de la fuerza del campo
Ep gravitatoria
Mm
Ep   G
r
Ep eléctrica
Qq
Ep  K
r
Ep elástica
1
Ep  k x 2
2
 El origen de la energía potencial es arbitrario ya que sólo tiene sentido físico la variación de
energía potencial que se corresponde con un trabajo realizado
7.-
Conservación de la Energía mecánica en campos conservativos
Teorema de las fuerzas vivas: “el trabajo que realiza cualquier fuerza para trasladar una
partícula desde el punto A al punto B es igual a la variación de su energía cinética
WF  Ec ( B)  Ec ( A)  Ec
En un campo conservativo la energía mecánica se conserva:
WF Conservativa  Ec
Ec  Ep  0
 Ep  Ec
Ec  Ep  0
Em  0
EmB  EmA  0
EmA  EmB
8.-

Em  cte
Potencial gravitatorio
Si acercamos una masa “m” a otra masa “M” fija, las fuerzas del campo gravitatorio realizan un
trabajo, independiente del camino seguido por la masa “m”, que se puede expresar como la variación
de la energía potencial de dicha masa entre los puntos inicial y final.
WAB  Ep( A)  Ep( B)
La diferencia de energía potencial gravitatoria entre dos puntos A y B es igual al trabajo
realizado por las fuerzas del campo gravitatorio para trasladar dicha masa “m” desde A hasta B.
Se puede demostrar que la energía potencial gravitatoria en un punto es:
Ep   G
Mm
K
r
si tomamos como origen arbitrario de la energía potencial “ Ep  0 ” cuando las dos masas están
separadas una distancia infinita “ r   ”
Ep   G
Mm
 K  0  0 K  0 

K 0
Por lo que el valor de la energía potencial gravitatoria de una masa “m” en un punto es:
Ep   G
Mm
r
La energía potencial gravitatoria de una masa “m” en un punto del espacio es el trabajo
realizado por las fuerzas del campo gravitatorio para trasladar la masa “m” desde dicho punto
hasta el infinito:
WA   Ep( A)  Ep()  Ep( A)  0  Ep( A)
Ep( A)  WA 
La energía potencial es, por tanto, una medida de la capacidad de realizar un trabajo que tiene
una partícula susceptible de moverse bajo la acción de las fuerzas del campo, por el hecho de
estar en un punto de dicho campo
Si el trabajo realizado por las fuerzas del campo
Si el trabajo realizado por el campo es
es positivo (proceso espontáneo)
negativo (proceso no espontáneo)
( WAB  Ep  0  Ep  0 )
( WAB  Ep  0  Ep  0 )
la masa “ m ” se desplaza por acción de las
la masa “ m ” se desplaza por acción de
fuerzas del campo gravitatorio, de manera que fuerzas exteriores al campo gravitatorio, de
las masas se acercan y la masa “ m ” disminuye su manera que las masas se alejan y la masa
“ m ” aumenta su energía potencial
energía potencial
La variación de energía potencial de una partícula de masa “m” que pasa de una posición situada sobre
la superficie de la Tierra hasta un punto situado a una altura “h” por encima de ella, tomando como
origen de energías potenciales la superficie de la Tierra, es:
Ep  Ep f  Epo  mgo h  mgo 0  mgo h
Ep  Ep f  Epo  G
Mm
Mm
Mm
Mm
1
1
 (G
)G
G
 GM m (

)
RT  h
RT
RT
RT  h
RT RT  h
Ep  G M m (
RT  h  RT
R T ( R T  h)
)  GM m (
h
h
)  GM m ( 2
)
R T ( R T  h)
R T  hR T
Como h  R T , el segundo sumando del denominador es despreciable frente al primero, es decir,
R T2  hR T  R T2
Ep  G M m
Ep 
h
R T2
GM
mh
R T2
Ep  mgo h
El potencial gravitatorio (magnitud escalar) es la energía potencial por unidad de masa colocada
en un punto del campo gravitatorio o es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la
unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito
Ep
V 
m
V
G
Mm
r
m
V  G
M
r
La diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por el
campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa de A a B
VA  VB 
Ep A EpB Ep A  EpB


m
m
m
VA  VB 
WAB
m
La unidad en el SI del potencial gravitatorio y de la diferencia de potencial gravitatorio es el J/kg
Si en lugar de la unidad de masa se traslada una masa “m” del punto A al punto B, el trabajo
realizado por el campo gravitatorio es:
WAB  m V A  VB 
La relación entre la energía potencial de una masa “m” en un punto del espacio con el potencial
es:
Ep  m V
El potencial gravitatorio en un punto debido a varias masas es la suma (algebraica) de los
potenciales debidos a cada una de las masas en dicho punto, de acuerdo con el Principio de
Superposición.
V  V1  V2  ...
9.-
Movimiento de satélites artificiales y otras consecuencias de la interacción gravitatoria
 Velocidad de escape de un cohete
El estudio de los cohetes ha pasado al primer plano de la actualidad científica en los últimos años:
lanzamiento de satélites artificiales en torno a la Tierra y los viajes interplanetarios
Para conseguir que un cohete lanzado desde la superficie de la Tierra salga del campo gravitatorio
terrestre habrá que comunicarle una gran velocidad
Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima que debe adquirir un cohete, en la
posición en la que esté, para escapar del campo gravitatorio del planeta en el que se encuentre
o alrededor del cual orbite
Esta velocidad se comunica al cohete de forma progresiva mediante la combustión de propelentes
durante toda la trayectoria de escape del cohete
La velocidad de escape se puede calcular considerando que el cohete debe llegar al infinito
(punto en el que la interacción gravitatoria se anula) con velocidad nula. A medida que el
cohete se aleja del planeta, aumenta su energía potencial a costa de la disminución de su
energía cinética, de forma que la energía mecánica se conserve.
Por tanto, considerando nulos los rozamientos y aplicando el principio de conservación de la
energía mecánica entre el punto de lanzamiento (la superficie del planeta) y el infinito:
EmA  Em
EcA  EpA  Ec  Ep
1
Mm
1
Mm
m ve2  ( G
)  m v2  ( G
)
2
R
2

Como el cohete llega al infinito con velocidad nula v  0
1
Mm
m ve2  ( G
)0
2
R
1
Mm
m ve2  G
0
2
R
1
Mm
m ve2  G
2
R
ve2  G
2M m
mR
ve2  G
2M
R
ve 
2G M
R
ve  2
GM
R
R2
Siendo “ M ” la masa del planeta y “ R ” su radio
ve  2 go R
Siendo “ g o ” la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta (lugar desde donde se
efectúa el lanzamiento)
La velocidad de escape de un proyectil desde la superficie de la Tierra es:
ve  2  9,8  6370 103  11200
m
km
 11,2
s
s
Consideraciones sobre la velocidad de escape:
- La velocidad de escape es independiente de la masa del proyectil que se lanza (una nave
espacial necesita la misma velocidad de escape que una molécula)
- Para escapar del campo gravitatorio, el proyectil debe llegar al infinito (donde la energía
potencial es nula) con velocidad nula (energía cinética nula), por lo que su energía mecánica en
el infinito será nula y, como la energía mecánica se conserva, a un proyectil que se le imprime
una velocidad de lanzamiento igual a la velocidad de escape tiene una energía mecánica
inicial nula
- Si la velocidad de lanzamiento es mayor que la velocidad de escape, llegará al infinito (energía
potencial nula) con cierta velocidad distinta de cero, por lo que su energía mecánica en el infinito
será positiva (mayor que cero) y, como la energía mecánica se conserva, a un proyectil que se le
imprime una velocidad de lanzamiento mayor a la velocidad de escape tiene una energía
mecánica inicial positiva
- Si la velocidad de lanzamiento es menor que la de escape, el cuerpo quedará ligado al
campo gravitatorio del planeta y su energía mecánica inicial será negativa
- La velocidad de escape depende de la posición del punto de lanzamiento. Si se lanza desde
una altura “ h ”, la velocidad de escape será:
2G M
ve 
Rh
- La velocidad de escape explica por qué algunos planetas tienen atmósfera y otros no: si la
velocidad de las moléculas del aire es mayor que la de escape, escaparán del planeta
- La velocidad de lanzamiento de un cohete desde la superficie terrestre para que alcance una
altura “ h ” (con velocidad nula):
Ecsup  Epsup  Ech  Eph
Emsup  Emh 
1
M m
1
M m
m vL2  ( G T )  m vh2  ( G T )
2
RT
2
RT  h
1
M m
M m
m vL2  ( G T )   G T
2
RT
RT  h
1 2
M
MT
vL  G T   G
2
RT
RT  h
vL2  2 (G
MT
MT
G
)
RT
RT  h
vL2  2 G M T (
1
1

)
RT RT  h
vL  2 G M T (
1
1

)
RT RT  h