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2016-02-22
Electricidad y Magnetismo
María Luz Aida Sabogal
Pablo Alfonso Corzo 000285656
María Camila Rozo
Juan Sebastián Silva
DINÁMICA DE UN ELECTRÓN EN UN CAMPO UNIFORME C= 3,2
Introducción o resumen
En la hipótesis se plantea que toda partícula cargada que entra a un campo eléctrico
uniforme con una trayectoria perpendicular al campo, se deflactará, describiendo una
trayectoria parabólica en dicho campo.
Mediante esta practica se buscará analizar la incidencia de un campo eléctrico uniforme
sobre una partícula, se buscará identificar si realmente este campo que induciremos será
capaz de deflactar la trayectoria del electrón que se desprenderá por medio de un efecto
termoiónico, si esto se llegará a cumplir, la hipótesis planteada será confirmada.
En cuanto a los resultados se espera que concuerden con la teoría, que se cumplan las
relaciones directas que poseen algunas cantidades como el campo, el diferencial de
potencial entre las placas y la velocidad en y.
Para entender el proceso que se aplicara en la practica podemos responder a estas
preguntas.
¿ de donde sacar las partículas cargadas par el experimento?
Inicialmente se hará uso del efecto termoiónico, se cargan dos placas paralelas con forma
de disco, una de ellas hace contacto con una resistencia conectada a la corriente alterna lo
que hace que esta se caliente y así el cátodo perteneciente a las placas de forma circular se
caliente, gracias al efecto joule se desprenden los electrones, los cuales ajustándolos,
inicialmente describen una trayectoria rectilínea uniforme ( antes de activar el campo
deflector).
¿cómo acelerar estas partículas cargadas obtenidas?
Sabemos que para acelerar una partícula con carga basta con aplicarle un fuerza eléctrica, y
por ende un campo, generado por otras cargas. En este caso, para simular la situación que
se quiere analizar y el fenómeno que se quiere ver, sabemos que la partícula hay que
acelerarla por medio de un campo eléctrico uniforme, generado por dos placas paralelas
cargadas por medio de una fuente de DC.
¿cómo generaremos este campo uniforme?
Como ya se dijo antes se hará uso de una fuente DC donde una de las placas se cargará por
contacto ánodo y cátodo, este campo variara ya que para fines del experimento el voltaje
aplicado es variable, y así veremos que ocurre en la trayectoria al variar el voltaje y por
ende el campo eléctrico.
¿cómo visualizar el cambio de trayectoria?
Para esta practica emplearemos una pantalla recubierta de fosforo, la cual refleja un punto
de luz al momento en que los electrones chocan con la pantalla, este dato nos permitirá
hallar todos los resultados necesarios para plantear correctamente la trayectoria de la
partícula tanto cuantitativa como cualitativamente.
¿ como se prueba la hipótesis de manera cualitativa?
De manera cualitativa se comprueba la hipótesis simplemente, observando el fenómeno en
el laboratorio, se ve como el punto de choque de los electrones (punto de luz) se desplaza, a
medida que el voltaje se modifica, por lo que se dan todas las característica cualitativas
necesarias para imaginarnos una trayectoria parabólica debida al campo.
¿ como se prueba la hipótesis de manera cuantitativa?
Mas adelante plasmaremos los datos recogidos en una tabla, haciendo una correcta
interpretación y un buen análisis de estos podemos confirmar nuestra hipótesis con el
sustento de datos numéricos.
En general esperamos concluir que la hipótesis sea cierta, que el electrón adquiera también
velocidad en dirección del campo y por ende tome una trayectoria parabólica, además,
esperamos identificar que a medida que se aumente el diferencial de potencial, aumentará el
campo eléctrico y la deformación de la trayectoria del electrón será mayor.
Modelo teórico
Para poder comenzar con nuestro experimento debimos de proporcionarnos con los
elementos necesarios para la realización del mismo, los cuales fueron electrones acelerados,
La forma en la que se consiguieron los electrones acelerados fue con un método
termoiónico, y dos placas planas paralelas cargadas de forma uniforme con CD.
El método termoiónico consiste en desprender los electrones de una de las placas, se usó un
cableado en el cual la CA llega hasta un filamento (resistencia), la cual estuvo en contacto
con una de las placas, y por el efecto joule (calentamiento de la resistencia) el cual afectó
de igual manera nuestra placa, dicha placa desprendió electrones.
Figura1. Efecto joule
Una vez se consiguieron los electrones, se procedió instantáneamente a acelerarlos, el modo
en que se hizo fue haciendo un campo eléctrico entre las placas, ya que sabemos que para
acelerar una partícula se necesita una fuerza; este campo se hizo posible porque se a través
de un voltaje continuo en CD se cargaron las dos placas; la placa que fue alterada con el
efecto joule se le asigno el cátodo de la conexión y a la otra placa el ánodo, de este modo
entre las placas paralelas se genera un campo eléctrico.
Figura 2. Campo eléctrico a partir de una CD en conexión en serie relacionada con placas
paralelas.
El efecto joule desprende los electrones y el campo eléctrico los acelera, aunque no por ello
signifique que sea útil para nuestro experimento, para la realización del experimento
necesitamos que los electrones únicamente se desplazaran el dirección horizontal, y sin
componentes verticales, y para ello usamos un lente electrostático para poder redirigir los
electrones únicamente en forma horizontal.
Figura 3. Funcionamiento de un lente electrostático.
Una vez obtenida esta información se pudo conseguir los datos de la rapidez del electrón
(ya que el lente electrostático enfocó todos los electrones en dirección horizontal sin
componentes verticales), y como el medio no posee fuerzas no conservativas se concluye
que el electrón no va parar y su rapidez será siempre la misma a no ser que efectúe colisión;
por lo tanto se pudo hallar la rapidez con la que el electrón se desplaza por el método
escalar
𝛥𝐸 = 0; 𝛥𝐸 = 𝛥𝐸𝑘 + 𝛥𝑈𝑒 = 0
(1)
donde 𝐸𝑘 es la energía cinética del electrón y 𝑈𝑒 es la energía potencial eléctrica generada
por la placas
1
𝛥𝐸𝑘 = 2 𝑚𝑣 2
(2)
𝛥𝑈𝑒 = 𝑞𝛥𝑉;
𝛥𝑈𝑒 = −𝑒𝛥𝑉
(3)
y por lo tanto,
2|−𝑒|𝛥𝑉
𝑣𝑥 = √
𝑚
(4)
con la ecuación 4 podemos determinar la rapidez del electrón, y por ende su velocidad.
El electrón lleva una velocidad constante y al encontrarse una fuerza perpendicular (𝑈𝑒 ) se
verá afectada la trayectoria del electrón (La 𝑈𝑔 no se toma en cuenta porque la masa del
electrón es muy pequeña), dejando de describir una trayectoria rectilínea por una
parabólica.
Para efectos del experimento se hizo que en cierto punto luego de que el electrón fuera
acelerado y tuviera una velocidad en dirección deseada, se hallasen dos placas planas
paralelas deflectoras, que al igual que la placas iniciales también se cargaran como ánodo y
cátodo a diferencia de que el voltaje aquí si va variar.
Figura 4. Placas deflectoras
El electrón sufre una fuerza eléctrica con intensidad constante al entrar al campo entre las
placas que se puede calcular como
𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ , o sea
𝐹⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗
(5)
por efectos de la práctica el electrón va pasar por la mitad entre las placas deflectoras, ya
sabiendo esto podemos decir que al entrar en el espacio perturbado el electrón sufrirá un
efecto donde se acercará a una placa, suponiendo que la velocidad inicial del electrón al
entrar es tanta y la intensidad del campo eléctrico es tan poca, que el electrón no
colisionará con la placa, podemos concluir que no al salir del campo perturbado el electrón
ya tendrá componentes verticales.
Usando el método vectorial podemos encontrar la componente de la velocidad vertical
∑ 𝐹 = 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗
(6)
como la única fuerza que afecta verticalmente el electrón es la eléctrica (la fuerza de
gravedad se desprecia por el poco peso del electrón) concluimos
|−𝑒|
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑦 =
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑦
(7)
𝑚
recordando la definición de voltaje y usando las ecuaciones de cinemática en movimiento
parabólico llegamos a la conclusión de que
𝑉 = ∫ 𝐸⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗
dS
(8)
𝑉
𝐸= 𝑆
(9)
y
𝑣𝑓 = 𝑣𝑜+ 𝑎𝑡
(10)
𝑣𝑦 = 𝑎𝑡
(11)
por lo tanto
|−𝑒|𝑉𝑑
𝑣𝑦 = (
𝑚𝑑
𝑙
) (𝑣 )
𝑥
(12)
El experimento se realiza en un tubo de rayos catódicos, por lo tanto hay una distancia entre
las placas deflectoras y una pantalla; al efectuar el campo eléctrico en la pantalla hubo un
desplazamiento de los electrones en dirección del ánodo, y se puede relacionar
matemáticamente con el teorema de Tales de mileto, y con la tangente del ángulo
𝑣𝑦
tan 𝜃 = 𝑣
(13)
𝑥
Figura 5. Teorema de Tales de mileto.
Usando las ecuaciones anterior se puede encontrar una ecuación teórica que relacione el
voltaje acelerador (Va) (entre cátodo y ánodo), el voltaje deflector (Vd), (entre las placas
deflectoras), y las dimensiones geométricas del tubo.
𝐿𝑙
𝑙
𝑉𝑎 ∗ 𝐷 = [(2𝑑) (1 + 𝑙] 𝑉𝑑
(14)
1.0
Desarrollo experimental
Inicialmente se hace calentar un filamento mediante una fuente V5 y se hace efecto joule
con la placa ánodo, se hizo una conexión en serie para poder usar el voltaje acelerador, el
cual siempre fue de 380V en el experimento, las placas tienen forma de disco con un
orificio en el centro el cual permite el paso de los electrones, y mediante un lente
electrostático se reordeno el paso de los electrones en dirección horizontal.
Una vez se tenían los electrones acelerados se procedió en cargar las placas deflectoras
con otra fuente de energía, una fuente V4, y ya aquí fue donde controlamos en voltaje de
las placas deflectoras, para observar el desplazamiento de los electrones a medida que
aumenta y disminuye el voltaje.
En la recolección de datos obtuvimos:
Va (v) = 380 ; l (cm) = 2
; d (cm) = 1,25
; L (cm )= 10
Vd (V)
9
14
21,8
28,8
35,6
42,2
-9
-14
-21,8
-28,8
-35,6
-42,2
E (V/m)
-720
-1120
-1744
-2304
-2848
-3376
720
1120
1744
2304
2848
3376
Vy (m/s)
2,20
x
10^5
3,4
5,32
x 10^5 x
10^5
7,04
x
10^5
8,70
x
10^5
1,03
x
10^6
-2,20
x
10^5
-3,4
x
10^5
-5,32
x
10^5
-7,04
x
10^5
-8,70
x
10^5
-1,03
x
10^6
D (mm)
3
6
9
12
15
18
-3
-6
-9
-12
-15
-18
Va*D
(vm)
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
4.75
Para el calculo del campo usamos la formula :
−𝛥𝑉 = 𝐸𝑑
donde sabemos que d es la separación entre las placas, en este caso 1,25 cm, así se calculó
inicialmente el campo, ya que esta ecuación facilita el calculo del campo particularmente
para campos generados de esta manera. Con esto, llenamos la segunda línea de la tabla.
Para hallar la velocidad de y usamos esta formula: donde l es la longitud de las placas, d la
separación entre estas, m masa del electrón y e es la carga del electrón
𝑉𝑑
𝑙
)( )
𝑚𝑑 𝑣𝑥
y 𝑣𝑥 se halla por medio de: donde el 𝛥𝑉 es el voltaje usado en la primera parte del
experimento, en la cual los electrones se desprenden del cátodo
𝑣𝑦 = (𝑒
2𝑒𝛥𝑉
𝑣𝑥 = √
𝑚
hallando reemplazando obtenemos que 𝑣𝑥 es igual a : 1,15 x 10^7 m/s
y donde reemplazando todos estos valores que ya se tienen, obtenemos esta ecuación
empírica, donde se demuestra que el voltaje inducido en las placas es proporcional a la
velocidad en y que adquiere el electrón, y como ya se había dicho que el voltaje inducido
era proporcional al campo generado por las placas, por lo tanto se puede decir que el
campo también es directamente proporcional a la velocidad adquirida en y por el electrón.
Veámosla: 𝑣𝑦 = 𝛥𝑉 (24322.82)
Por último podemos decir que la dirección con la que sale el electrón variará para cada
valor de voltaje que se le apliquen a las placas por lo que esta será diferente en cada
ocasión, este valor del ángulo no tiene su espacio en la tabla sin embargo se dejará la
formula con la que resulta muy sencillo hallar la dirección de la velocidad con la que el
electrón choca con la pantalla recubierta de fosforo. ( resaltamos que no se le da mucha
importancia a esta cantidad ya que resulta muy sencillo su calculo cuando se tienen las
componentes x y y de la velocidad del electrón.
tan 𝜃 =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
Como se puede ver se han obtenido muchas cosas interesantes, lo cual se analizará a
continuación.
0.8
Análisis de la práctica
Inicialmente podemos decir que la hipótesis planteada al inicio de la práctica se cumplió ya
que, al momento en el que la partícula entró al campo eléctrico uniforme, su trayectoria se
transformó. Esto se vio reflejado en el papel recubierto de fósforo el cual mostraba un
punto verde, como el choque de los electrones con la pantalla.
Observamos que este se desplazó al momento en el que encendimos la fuente que cargaba
las placas y se generaba el campo uniforme. Esta es una descripción cualitativa pero
también podemos observar esto de manera cuantitativa, por medio de las formulas y la
teoría vistas en clase y gracias a la tabla que ya fue mostrada anteriormente.
Como se ve en la tabla, al aumentar el potencial en las placas, y por en de el campo
eléctrico, se identifica un desplazamiento del punto verde plasmado en la pantalla de
fosforo, el cual hace referencia a la trayectoria de la partícula, se ve como a medida que el
campo aumenta la deformación es mayor, la distancia con respecto al origen cero
plasmado, el cual es cero aumenta.
De todo esto podemos concluir que tanto el campo como la distancia en y son directamente
proporcionales al voltaje deflector inducido en las placas.
Se observa también que al invertir el voltaje se obtiene el mismo capo eléctrico pero en
dirección contaría lo que causa que el electrón se deforme pero en dirección contraria,
vemos que al aplicar un voltaje deflector negativo el punto verde se desplaza exactamente
la misma cantidad de milímetros que con un voltaje positivo, solo que en dirección
contraria de todo esto podemos también decir que en este caso también se cumple la
relación planteada anteriormente, es decir que tanto el campo como la velocidad en y son
directamente proporcionales al voltaje deflector.
Este asunto de la proporcionalidad se pude confirmar ya que tanto en el campo como en la
velocidad en y con la que sale el electrón del campo se distingue un aumento progresivo y
escalonado (proporcional) a medida que el voltaje inducido aumenta.
En cuanto a los resultados anómalos podemos decir que en realidad no son comunes en
nuestra practica ya que esta muy bien diseñada y posee poco margen de error, sin embargo
podemos establecer que algunas imprecisiones se pueden presentar en la medición de los
milímetros que se desplaza el punto verde de su posición inicial gracias a la deflexión de
los electrones, también podemos ver que esta distancia al medirla, no tiene una relación fija
con respecto al potencial que se le aplica a las cargas. En otras palabras el aumento de esta
distancia no es proporcional al voltaje de las placa, esto posiblemente se da por pequeñas
imprecisiones en la medición de los datos.
Así podemos decir que posiblemente seguramente si hay proporcionalidad entre el
potencial de las placas y la distancia de deflexión en y, la del punto de verde, pero por
posibles error de medición en milímetros no se confirma que sean directamente
proporcionales, como si lo son realmente.
Como recomendaciones, podemos decir que no hay casi ninguna, ya que el equipo esta muy
bien montado, y la practica como tal excluye muchos posibles errores, no se presentan casi
imprecisiones, y se logra observar y entender perfectamente el fenómeno de deflexión de
un electrón debido a un campo eléctrico, la única imprecisión que se puede presentar en la
practica es al medir el desplazamiento de el punto o indicador verde, sin embargo no hay
una forma clara y sencilla de hacerlo mas exacto, ya que se miden cifras muy pequeñas.
Después de todo este análisis podemos decir que el fenómeno se logra comprender
completamente y también se logra visualizar el efecto de deflexión del electrón, por ende
podemos reiterar que la hipótesis establecida al inicio de la practica se cumplió, esto lo
vimos tanto cualitativa como cuantitativamente.
1.0
Conclusiones
-
Se confirma que efectivamente un campo eléctrico puede generar la deflexión de la
trayectoria de una partícula, en este caso la de un electrón.
-
Se puede ver que un campo eléctrico uniforme es capaz de acelerar una partícula en
dirección del campo( si la partícula es positiva ) o en dirección contraria el campo(si
la partícula posee carga negativa), de esta forma la partícula puede ganar velocidad
estando inicialmente en reposo debido a la acción del campo.
-
Nacen pocas recomendaciones en torno a esta practica ya que, en general, todos los
implementos que se usan, son muy apropiados para la observación del fenómeno de
deflexión del electrón, por ende se concluye que son casi mínimas las
modificaciones que se le deben hacer al montaje de la practica.
-
Se pudo identificar que todos los datos de la tabla van muy relacionados entre sí, es
decir, todos poseen una proporcionalidad relacionada, por lo que si se aumenta el
potencial de las placas, se aumentará proporcionalmente, el campo eléctrico
producido por estas, la velocidad en y con la que el electrón abandona el campo y la
distancia que se desplaza el choque del electrón con la pantalla de fosforo, con
respecto al origen( lo cual no se vio en los datos pero si por medio de formulas).
-
No siendo mas podemos concluir que se hizo un muy buena practica y que se
afianzaron completamente los conceptos que construían la base del experimento,
principalmente la fundamentación teórica de potencial eléctrico, se logró visualizar
claramente el fenómeno y se confirma nuestra hipótesis.
0,5