Download Ejemplo 1. 7. Sean los eventos

Curso: inferencia Estadística
Profesor: Gigliola Oyarzo
Técnicas de conteo
En muchas situaciones la clave para la solución de un problema consiste en llevar
a cabo algún tipo de conteo y por tanto el éxito o fracaso en la solución depende
de lo bien o mal que se haga el conteo.
Los conteos en las probabilidades que se pueden dar al considerar una serie de
alternativas u opciones relacionadas con una circunstancia particular, se
fundamentan en dos principios que son: principio de multiplicación y principio de
la adición.
Principio de multiplicación
Supongamos que una primera acción puede concluir de n 1 formas diferentes; una
segunda acción puede concluir de n2 formas diferentes y así sucesivamente hasta
una acción k que puede concluir de nk formas diferentes; entonces, las k acciones
pueden concluir conjuntamente (simultáneamente) por:
n1*n2*…*nk formas diferentes
Ejercicios
1. Suponga que se desea formar una terna para elegir presidente,
vicepresidente y secretario de una junta directiva. Hay tres candidatos para
presidente, 5 para vicepresidente y 4 para secretario ¿ De cuantas formas
se puede elaborar la terna?
2. Una profesora de pedagogía desea exibir tre carteles en el vestíbulo del
colegio uno a continuación del otro ¿DE cuantas formas puede colocar los
carteles?
3. El club de teatro de la ciudad realiza ensayos para una obra que se
montará en primavera. Si 6 hombres y 8 mujeres ensayan para los papeles
principales ¿De cuantas formas el director puede elgir a la pareja principal?
4. En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de 5
cifras que se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún
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dígito. ¿Cuántas bolitas hay al interior de la bolsa?, ¿Cuantas bolitas hay
con un número par? ¿Cuántas bolitas hay con un número menor que 20
000?
5. ¿Cuántas placas de automóviles diferentes se pueden formar que constan
de 2 letras seguidas por 4 dígitos?
6. ¿Cuántas placas de automóviles diferentes se pueden formar que constan
de 2 letras seguidas por 4 dígitos sin que se repita alguna letra o algún
digito?
7. Una familia desea adquirir una vivienda en un balneario y se le presentan
las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede
ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuantos tipos posibles de vivienda tiene a
disposición?
Principio de la adición
Suponga que una primera acción se puede realizar de n 1 formas diferentes; una
segunda acción de n2 formas diferentes y así sucesivamente hasta llegar a una
acción k que puede realizarse de nk formas diferentes.
Si sólo una de estas k acciones se puede realizar entonces el número de
formas como puede concluir la primera o la segunda ,..., k esima acción está
dada por
n1+n2+…+nk formas diferentes
Ejercicios
1. Una persona puede viajar de una ciudad a otra por tres carreteras
disponibles o por dos líneas férrea ¿ De cuantas formas esta persona puede
hacer el viaje entre estas dos ciudades?
2. La Biblioteca de una universidad tiene 40 libros de Sicología y 50 de
antropología ¿De cuantas formas un estudiante puede elegir alguno de
estos textos?
El análisis estadístico se hace con base en datos. Se debe tener atención a
la forma como sean recolectados o la manera en que pueden estudiarse:
ordenados, no ordenados, con repetición o sin repetición.
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Por el principio de la multiplicación hay 4 modalidades como pueden
recolectarse los datos:

Ordenados con repetición (n upla)

Ordenados sin repetición ( permutación)

No ordenado sin repetición (combinación)

No ordenado con repetición
Muestras ordenadas con repetición (n-upla)
Se obtienen cuando cada observación puede darse tantas veces como sea
posible, bien porque la unidad observada se retorna a la población o porque hay
un número grande de unidades que poseen la misma medida y el orden en que
suceden tales observaciones es de importancia.
Este tipo de muestra se llama n-upla
El número de observaciones ordenadas con repetición está dada por:
Nn
N: número de elementos distintos disponibles (población)
n: número de elementos escogidos
Ejercicios
1. Un examen de tipo verdadero y falso es respondido por una persona que
carece de todo conocimiento sobre el tema.
Si la persona debe responder 10 preguntas ¿de cuantas formas distintas
puede responder el examen?
2. Cuantos resultados posibles se pueden obtener al lanzar 3 dados?
Muestras ordenadas sin repetición ( Permutación)
Resulta cuando cada observación solo se da una vez porque cada unidad
una vez observada no se retorna ala población. Este tipo de muestras se llaman
permutaciones. El número de observaciones ordenadas sin repetición esta dada
por:
N: Numero de elementos disponibles
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K: número de elementos escogidos
Ejercicios
1. Un conferencista dispone de 8 temas sobre los que puede disertar. Se le
pide que presente una serie de 5 conferencias¿ De cuantas formas puede
organizar sus disertaciones?
2. De cuantas maneras se pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 8
personas, suponiendo que cada una no puede recibir mas de un premio?
3. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco personas en una fila de ocho
sillas?
4. Van a asignarse asientos contiguos en una mesa de banquete a las 5
personas invitadas a una fiesta
a. Determinar el número de arreglos distintos que son posibles para 5
personas
b. Suponga que sólo 3 de los 5 invitados asisten a la fiesta Cuantos
arreglos distintos son posibles en la mesa considerando que pueden
llegar 3 personas cualquiera de entre las 5?
5. Los números de teléfono de la empresa tienen un prefijo seguido de cuatro
cifras, como por ejemplo 678-XXXX. La empresa necesita instalar 10 001
teléfonos. ¿Tendrá números suficientes para asignar uno diferente a cada
teléfono?
Muestras no ordenadas sin repetición ( Combinación)
Se obtiene cuando cada observación seda solo una vez y el orden en que
aparecen no es de importancia.
Este tipo de muestreo se llama combinación
El número de observaciones no ordenadas sin repetición esta dada por
Donde:
n: Número de elementos disponibles
k: número de elementos escogidos
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Ejercicios
1. Suponga que hay 20 personas para formar un comité de 3 ¿De cuantas
personas se puede formar este comite?
2. Suponga que en un departamento hay 10 hombres y 5 mujeres y que se
necesita un grupo se cuatro personas para llevar a cabo un proyecto.
Determine.
a) El numero de formas como se puede elegir 2 hombres y dos mujeres
para dicho grupo
b) El número de formas para elegir sea 4 hombres, sea 4 mujeres.
Muestras no ordenas con repetición
A veces se presenta el caso de hacer permutaciones a partir de elementos;
cuando esto sucede el n° de permutaciones está dado por
𝑵!
𝒏𝟏 ! 𝒏𝟐 ! … 𝒏𝒌 !
Donde N: Cantidad total
nk : Cantidad de cada repetición
Ejercicio
1. Cuantas permutaciones distintas se pueden hacer a partir de la palabra
ABRACADABRA
Observación: Se llama permutación a una secuencia
ordenada de elementos.
Si no importa el orden, solo los elementos que componen
un conjunto o grupo, entonces se habla de combinación.
Experimentos aleatorios
Un experimento es aleatorio cuando:
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• Se puede repetir indefinidamente pudiéndose obtener resultados distintos en
cada repetición.
• En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de todos los
resultados posibles del experimento.
• Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede predecir el
resultado que se obtendrá.
Ejemplos de experimentos aleatorios
1. Lloverá la próxima semana
2. Lanzar una moneda al aire
3. Lanzar 5 monedas al aire
4. Extraer una carta de una baraja inglesa
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Probabilidades en estadística
Pueden proveer modelos que ayuden a la toma de decisiones en situaciones con
incertidumbre.
“Al estudiar probabilidades consideramos experimentos aleatorios” Cada
experimento termina en un resultado que no puede predecirse con certeza antes
de la realización del experimento.
Sin embargo el experimento es tal que se puede hacer una lista de cada uno de
los resultados posibles; esta colección de todos los resultados posibles recibe el
nombre de Espacio muestral U
Ejercicios
1. Determina el espacio muestral de:
a) Lanzar una moneda
b) Lanzar dos monedas
c) Lanzar 3 monedas
d) Lanzar un dado
e) Lanzar dos dados
f) Sacar una carta de una baraja inglesa.
Definición
Un espacio muestral U, asociado a un experimento aleatorio, es un conjunto que
para ser un modelo útil debe cumplir las condiciones siguientes:
1. Cada elemento u de U representa un resultado del experimento.
2. Cada resultado del experimento tiene 1 y sólo 1 representante en el espacio
muestral U.
Sucesos
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un subconjunto de
resultados elementales del experimento aleatorio:
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
Suceso elemental, suceso simple es cada uno de los resultados
posibles del experimento aleatorio luego los sucesos elementales son
subconjuntos de E con sólo un elemento

Suceso compuesto es aquel que consta de dos o más sucesos
elementales

Suceso seguro, cierto o universal es aquel que consta de todos los
sucesos elementales del espacio muestral E, es decir, coincide con E. Se le
denomina seguro o cierto porque ocurre siempre

Suceso imposible es aquel que no tiene ningún elemento del espacio
muestral E y por tanto no ocurrirá nunca. Se denota por Ø

Sucesos mutuamente excluyentes:· Dos sucesos A y B son
mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la
ocurrencia del otro.
P(A∩B)=P(AyB)=P(AB)=0
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad de un evento A está dada por:

La condición necesaria para aplicar esta regla es que el espacio muestral
asociado al experimento sea equiprobable.

Cuando usamos esta regla para calcular probabilidades, las técnicas de
conteo resultan de mucha utilidad
.
Ejercicios
1. Se lanzan dos dados legales y se observa la suma de los números que
aparecen. Calcular la probabilidad de los eventos siguientes:
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a)
A={La suma es siete}.
b)
B={La suma es mayor que ocho}.
c)
C={Los números que aparecen son diferentes}.
d)
D={La suma es un número par mayor que siete}
2. En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial con
los hábitos de fumar, se reúnen los siguientes datos de 180 individuos.
Si se selecciona un individuo al azar, encuentra la probabilidad de que la
persona sea no fumador es :
3. En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de 5
cifras que se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún
dígito.
a) ¿Cuántas bolitas hay al interior de la bolsa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número par?
c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número menor
que 20 000?
d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número que
termine en 1 ó en 5?
4. En una encuesta realizada en una escuela para conocer las actividades
programadas por los alumnos al término de los cursos, se obtuvo la
siguiente información:
Actividades
Hombres Mujeres
Total
(H)
(M)
Trabajar (T)
60
48
108
Descansar (D)
22
25
57
9
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Estudiar (E)
18
17
35
Total
100
100
200
Si se selecciona un alumno al azar, encontrar la probabilidad de que éste tenga
programado para sus vacaciones:
a)
Trabajar
b)
Que sea mujer y tenga programado estudiar
5. Una urna contiene tres canicas amarillas y siete verdes. Si se extrae una
canica al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarilla?
Álgebra de Eventos
Diagrama de Venn
Al trabajar con relaciones y operaciones de conjuntos, es útil disponer de un
sistema gráfico de representación que permita visualizar lo que ocurre e interpretar
mediante diagramas las deducciones lógicas correspondientes.
El diagrama de Venn, es un dibujo mediante el cual se pueden ilustrar las
relaciones y operaciones que hay entre los eventos.
En las aplicaciones de la teoría de probabilidades trataremos más frecuentemente
con dos o más eventos relacionados entre sí, que con un solo evento
independiente, por lo que es conveniente ver las siguientes relaciones.
Evento Unión
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Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La unión de los
eventos A y B es el evento que consta de los elementos que pertenecen tanto
a A como a B y se representa por (A
B).
La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la unión es:
Ejemplo 1. 3. En el experimento de lanzar un dado, la unión de los
eventos
por lo que
y
es el evento
.
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,
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Ejemplo 1. 4. Sea el espacio muestral formado por los dígitos y sean los
eventos
y
. La unión
de los eventos A y B será
.
Ejemplo 1. 5. Sea el evento A formado por las vocales {a, e, i, o, u} y el B por las
letras {a, b, e}, entonces
.
Evento Intersección
Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La intersección de
los eventos A y B es el evento que contiene los elementos que simultáneamente
pertenecen a A y a B y se represente por (A
B).
La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la intersección
es:
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Ejemplo 1. 6. Si el evento B está formado por los aficionados al basquetbol y el
conjunto C por los aficionados al ciclismo, el evento (B
C) estará formado por los
que sean aficionados a los dos deportes.
Ejemplo
1.
7. Sean
entonces
los
eventos
y
,
.
Ejemplo 1. 8. Sea el experimento que consiste en lanzar un dado legal. Si
tenemos
entonces
los
eventos
y
,
.
Ejemplo 1. 9. Se lanzan dos dados y se registra la suma de los resultados. Si
definimos
entonces
los
eventos
.
Eventos Mutuamente Excluyentes
13
y
,
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Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, o ajenos, o disjuntos,
si no tienen ningún elemento en común, esto es, si
.
Se representa en el diagrama de Venn como.
Ejemplo 1. 10. Si se lanza un dado y establecemos los eventos
y
, entonces
. En consecuencia, los eventos A y B son
mutuamente excluyentes.
Ejemplo 1. 11. En un recipiente se tienen canicas blancas y rojas y definimos los
eventos
entonces
y
,
, por lo que B y R son eventos mutuamente excluyentes.
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Evento Complemento
El complemento del evento A es el evento de aquellos elementos que no
pertenecen a A y se simboliza por
.
Lo podemos expresar de la forma siguiente
y su
representación gráfica es:
Ejemplo 1. 12. Si en una urna tenemos canicas blancas, rojas y azules y
definimos
, entonces
que no son blancas, o sean las rojas y las azules.
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es el conjunto de canicas
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Ejemplo 1. 13. Si S es el espacio muestral de todos los países del mundo y O es
el evento de los países que pertenecen a la Organización de Países Exportadores
de Petróleo (OPEP), el evento
está formado por todos los piases que no
forman parte de la OPEP.
Ejemplo 1. 14. Sea el espacio muestral de los médico de un hospital y L el evento
de los médicos que usan lentes. El evento
está formado por los médicos de
ese hospital que no usan lentes.
Ejemplo 1. 15. Sea el espacio muestral que está constituido por los dígitos. Si
tenemos
el
evento
será
,
entonces
complemento
de
B
, o sean los dígitos nones.
Ejemplo 1. 16. Sea el espacio muestral
y
el
, entonces
y
y los eventos
.
Diferencia de Eventos.
Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La diferencia de los
eventos es el evento que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B.
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La
como
diferencia
de
eventos
.
El
que
se
álgebra
representa
de
conjuntos
y
expresa
nos
dice
y su representación gráfica es:
Ejemplo 1. 17. Sea A = {a, e, i, o, u} y B = {b, c, d, e, u}. La diferencia A-B es el
evento formado por aquellos elementos de A que no pertenecen a B, por lo que
(A-B) = {a, i, o}.
Otras Operaciones con Eventos
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Existen otras operaciones cuyas propiedades se incluyen en la tabla
resumen que se reporta a continuación.
Sean A, B, C eventos cualesquiera no vacíos del espacio de eventos.
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Identidad
Idempotencia
Complemento
Conmutativa
Asociativa
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Distributiva
Ley de De Morgan
Ejemplo 1. 18. Sean los eventos A = {personas que tienen los ojos negros}, B =
{personas que usan lentes}, C = {personas que pesan menos de 75 kilogramos}.
Describir los siguientes eventos:
a)
(A
C)
b)
(A
C)
c)
d)
Solución
a)
(A
C) son las personas que tienen los ojos negros y pesan menos de 75 kg.
b)
(A
C) son las personas que tienen los ojos negros o pesan menos de 75 kg.
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c)
son las personas que tienen los ojos negros y usan lentes, o
pesan menos de 75 kg.
d)
son las personas que tienen ojos negros, usan lentes y pesan
menos de 75 kg.
Definición de probabilidad mediante axiomas y teoremas
Los primeros trabajos sobre una construcción axiomática de la teoría de
probabilidades fueron desarrollados en 1917 por S. N. Bernstein. Posteriormente
A. N. Kolmogorov hizo una presentación diferente, la cual relaciona la teoría de
probabilidades con la teoría de conjuntos. Los principios de tal construcción se
originan en la definición clásica de probabilidad y de frecuencia relativa.
Dado un experimento con espacio muestral S y un espacio de eventos a, la
probabilidad del evento A, representada por P(A), será el valor numérico que debe
cumplir con los 3 axiomas de Kolmogorov:
Axioma 1. Para cualquier evento A se cumple que P(A 1)
Axioma 2. Para el espacio muestral S, se cumple que P(S)=1
Axioma 3. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes de S,
entonces
Este
axioma
Sea
se
puede
donde
generalizaren
son
excluyentes. Entonces
20
la
forma
eventos
siguiente:
mutuamente
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Basándose en los axiomas anteriores, se pueden establecer los teoremas
necesarios para desarrollar una teoría axiomática de probabilidades.
Teorema 1. Sea f el conjunto vacío, entonces
Teorema 2. Si A es cualquier evento en el espacio de eventos S,
entonces
Teorema
3.
Si
A
y
B
son
dos
espacio muestral S, tales que A
eventos
cualesquiera
B, entonces P(A)
S se cumple que 0 P(A) 1
Teorema
dos
Si
A
y
B
son
eventos
mismo
del
mismo
P(B)
Teorema 4. Para cualquier evento A
5.
del
cualesquiera
espacio muestral S, entonces
Teorema 6. Si A y B son dos eventos cualesquiera del mismo espacio muestral S,
entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
Teorema 7: Si A y B son mutuamente excluyentes P(A∩B)=P(AyB)=P(AB)=0
Probabilidad Condicional
La probabilidad de que un evento
evento
ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un
se llama probabilidad condicional y se denota por
que por lo
general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta
probabilidad se define como:
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Ejercicios probabilidades
1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado.
2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos
dados.
3. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e”
aparezca la primera y la “o” la última.
4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que
contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?
5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?
7. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al
azar y se desea saber:
a.
b.
c.
d.
e.
La probabilidad de que las tres sean rojas.
La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.
La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.
La probabilidad de que todas sean de distinto color.
La probabilidad de que todas sean del mismo color.
8. En un curso el 45% de los estudiantes suspende matematicas, el 60%
suspende física y el 30% suspende ambas.
Se selecciona al azar 1 alumno
a) Si suspende Física, ¿Cual es la probabilidad que suspenda matemática?
b) Si suspendió matemática ¿Cuál es la probabilidad de que suspenda Fisica?
9. Tenemos una urna con 5 bolas rojas y 4 bolas negras y extraemos 2 bolas
¿Cuál es la probabilidad de que las 2 bolas sean rojas?¿Cual es la
probabilidad de una roja y una negra? ( Con reemplazo, sin reemplazo,
simultáneamente)
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