Download Las operaciones fundamentales con los números reales.

mateg1-Matemáticas I
Tema #2.
Operaciones fundamentales con los números
reales
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Las operaciones fundamentales con los números reales.
Las operaciones fundamentales son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la
potenciación y la radicación.
Propiedades de la suma o adicción
1.-Conmutativa.
El resultado de sumar dos números reales es otro número real. (esta propiedad señala
que el orden de los sumandos no altera la suma ; es decir
a + b= b + a (cualesquiera que sean los números reales a y b)
Ejemplo:
5+3=3+ 5
15 +8= 8 +15
2.-Asociativa:
Esta propiedad señala que si se requiere efectuar la suma de los números reales a, y c
sin cambiar el orden de los sumandos se tienen dos opciones. Una consiste en hallar
primero a +b y sumar el resultado con c, es decir, hallar (a+b)+c la otra opción es efectuar
la suma de a con el resultado de la suma de b y c, es decir, a+(b+c). En general, si a, b y
c son tres números reales, entonces:
a + b + c= (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
6 + 4 + 8= (6 +4) +8 = 6 + (4 + 8) = 18
3. Elemento neutro:
La suma de un numero real a y el cero es igual a dicho números
a+0=a
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Ejemplo:
4+ 0 = 4
0+5=5
4. existencia del inverso aditivo
Si se considera un numero real a entonces existe otro número real (-a) tal que la suma de
ellos es igual a
Ejemplo:
a + (-a) = 0 el número (-a) se llama por este razón el inverso aditivo del numero a y
viceversa.
1. 4 + (-4)= 0
2. -8 + 8= 0
Geométricamente, los inversos aditivos se presentan en la recta numérica por puntos
situados a la misma distancia del origen pero en direcciones opuestas.
Si se tiene el número real –a, su inverso aditivo es –(-a) = a; en general.
Para cualquier número real a; -(-a) = a
Ejemplo:
1. -(-7)=7
2. –(-2)=2
Suma de números reales
Al sumar números reales se pueden presentar las siguientes situaciones: la suma de
números todos positivos; la suma de números todos negativos y, por último, la suma de
números tanto positivos como negativos.
Regla de los signos cuando se suman números de igual signo
Cuando se suman dos o más números reales de igual signo se suman sus valores
absolutos y tal resultado le corresponde el signo común de dichos números; es decir, se
suman como en la aritmética y al resultado de le antepone el signo común de los
sumandos.
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Ejemplo:
1.
2.
3.
4.
5+3=8
– 4 + (-2) = -6
- 8 + (-5) = -13
-14 – 6 = -20
Regla de los signos cuando se suman dos números de signo diferente
En la suma de dos números con signo diferente se resta el valor absoluto del número
menor del valor absoluto del número mayor y al resultado se le antepone el signo del
número que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplo:
1. 20 + (- 15) = 5
porque |20| = 20 y |-15| = 15 y 20 – 15 =5, y como el signo de
20, que es el que tiene mayor valor absoluto, es positivo, el resultado tendrá signo
positivo
2. 8 + (-14) = -6
porque |8| = 8 y |-14| = 14 y 14 - 8 = 6, y a la diferencia se le
antepone el signo del numero que tiene valor absoluto que es el |-14|.
Resta o sustracción de números reales
La sustracción o resta es la operación inversa de la adicción o suma porque permite,
conocida la suma de dos números y el valor de uno de ellos, encontrar el valor del otro
sumando; por ejemplo, la diferencia 17 – 9 es auqel numero que sumado con 9 da 17, es
decir, el numero 8 similarmente:
9 – (2) = 7 porque 7 + 2 = 9
12 – (8) = 4 porque 4 + 8 = 12
Ahora observa los siguientes ejemplos en los que intervienen números negativos:
1. 12 – (-6) = 18 porque 18 + (-6) = 12
2. 15 – (-1) = 16 porque 16 + (-1) = 15
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Así, puede concluirse que la operación de restar un numero negativo es equivalente a la
de sumar un numero positivo del mismo valor absoluto: es decir, si a y b son dos números
reales entonces:
a – (-b) = a + b
En general, la operación de sustraer un numero de otro puede expresarse en términos de
la operación de suma aplicando la siguiente regla:
a – b = a + (-b)
Ejemplo:
1.
2.
3.
4.
15 – (4) = 15 + (-4) = 15 – 4 = 11
18- (-2) = 18 + 2 = 20
14 – 14 = 14 + (-14) = 0
16 – (-16) = 16 + 16 = 32
Signos de agrupación
Estos signos se utilizan para separar diversas operaciones.
Estos son:
1. paréntesis ( )
2. corchetes [ ]
3. llaves
{ }
Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la operación un ejemplo
es, las operaciones que están entre paréntesis son las que se realizaran primero,
posteriormente las que se encuentran entre corchetes y por último las que se encuentran
entre llaves.
Ejemplo:
1. {2*2[2+2(4+2)]} = 96
Primeramente realizaremos la operación entre
paréntesis, en este caso sería 4+2=6 {2*2[2+2(6)]} posteriormente la que se
encuentra entre los corchetes en este caso es una suma con multiplicación
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
2+2=4*6 {2*2[24]} como ves el paréntesis ha desaparecido ahora vamos con la
que se encuentra entre llaves2*2=4*24 {96} han desaparecido los corchetes por
tanto el resultado es 96.
La multiplicación
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dados dos números llamados
factores, hallar un número llamado producto.
Si a y b representan dos números reales, entonces el producto de a y b se puede denotar
por cualquiera de las siguientes formas:
a٠b
a (b)
(a)(b)
ab
a X b (esta notación por lo general no se utiliza en algebra)
Propiedades de la multiplicación
Ley de uniformidad o unicidad: el producto tiene un valor único; por ejemplo, el
producto de 5(4) = 20 y no puede ser otro
Propiedad conmutativa: esta propiedad establece que el orden de los factores no altera
el producto ; ejemplo 3(5) = 5(3)
Propiedad asociativa: si tenemos el producto de tres números, por ejemplo 2, 9 y 4
primero se puede multiplicar 2(9) y el resultado multiplicarlo por 4, o bien multiplicar
inicialmente 9(4) y el resultado multiplicarlo por 2; es decir:
2 x 9 x 4 = (2x9) x 4 = 18 x 4 = 72
O bien
2 x 9 x 4 = 2 x (9x4)= 2 x 36 = 72
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Elemento neutro de la multiplicación: el elemento neutro de la multiplicación es el
numero 1; porque el producto de todo numero por 1 es igual a dicho numero.
1xa=a
1 (6) =6
1 (-8) = -8
Propiedad multiplicativa del cero: si se multiplica cualquier número real por cero,
entonces su producto es igual a cero
7(0) = 0
a(0) = 0
(7m) 0 = 0
0(-9x) = 0
Inverso multiplicativo
Para todo número real a distinto de cero, existe un numero b, también real, tal que a٠b = 1
el número b no es otro que 1/a y se le llama inverso multiplicativo de a. los números a y
1/a son inversos multiplicativos uno respecto del otro.
Ejemplos:
El inverso multiplicativo de:
7
9
1/4
1/5
2/5
-7/4
Es
1/7
1/9
4
5
5/2
-4/7
Porque
7٠1/7 = 1
9٠1/9 = 1
1/4٠4 = 1
1/5٠5 = 1
2/5٠5/2 = 1
-7/4٠(-4/7) =1
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Regla de los signos de multiplicación
1. si se multiplican dos números de igual signo, entonces el producto es un numero
real positivo.
(-) (-) = +
(+) (+) = +
2. Si se multiplican dos números reales de signo diferente, entonces el producto es el
número real negativo.
(+) (-) = (+) (-) = -
Ejemplos:
1. 8(4)= 32
2. (-4)(-6) = 24
3. 8(-5) = -40
4. 5(-4)(-2) = 40
5. (-6)(-2)(-1)= -12
6. (-3)(-2)(-5)(-4)(-1)= -120
La división
La división es la operación inversa de la multiplicación y permite, dado el producto de dos
factores, uno (llamado dividendo) y otro (llamado divisor) hallar un resultado, la cual se le
llama cociente.
Si se divide 36(dividendo) entre 4(divisor) (36/4) el resultado (cociente) es 9 porque 9(4) =
36.
Ejemplos:
1. 15/3 = 5 porque 5(3) = 15
2. 40/ 8 = 40 porque 8(5) = 40
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
3. 8/0 = no tiene solución (no es posible realizar la operación 8/0 porque no existe
ningún número real que multiplicado por cero sea igual a 8. Es decir, la división
entre cero no está definida.
Propiedades de la división
1. Ley de la informalidad o unicidad
El cociente de dos números reales es único; por ejemplo, el resultado de
8/2 es 4 y no otro valor.
2. Propiedad distributiva de la división con respecto a la suma.
a+b=a+b
c
c c
3. Propiedad distributiva de la división con respecto a la resta
a-b=a-b
c
c c
Falta cierre
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011
Para aprender más
Para tener más información sobre el tema; números reales y conocer algunas de
sus aplicaciones en el mundo real, puedes revisar al siguiente autor.
Juan Antonio C.C. (2007). Álgebra.
México: LA&GO Ediciones, S.A de C.V
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/index.html
TODOS DERECHOS RESERVADOS A BRAINET ® 2011