Download aplicaciones de ecuaciones diferenciales ingeniería industrial

2011
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
INGENIERÍA INDUSTRIAL
ANGELA PAOLA CARRILLO GARCIA 2094110
LAURA CAMILA ORTIZ GUTIERREZ 2094019
MAYERLY JAIMES ORTIZ 2094017
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE
SANTANDER
SEDE MÁLAGA
PROBLEMA
Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una
población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se entera
del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son
conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído hablar del
producto. ¿Cuántos han oído hablar de él por el final de 2 años?
SOLUCIÓN
En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:
y : es el número en millones de personas (clientes potenciales).
t : tiempo que han oído hablar del producto.
(1-Y): es el número de personas que no han oído de este.
dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.
dt
En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.
dy = k (1- y)
dt
Ecuación Diferencial
Esta ecuación significa que la tasa
de cambio de y, es proporcional a
la diferencia entre 1 y y.
Para resolver la ecuación diferencial:
1. Separamos las variables:
dy = k (1 - y) dt
Forma Diferencial
dy
= k dt
(1 - y)
2. Integramos a ambos lados de la igualdad.
ʃ
dy = ʃ k dt
(1 - y)
- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1
Ln |1 - y | = - kt + C1
Multiplicamos por -1
1 – y = ℮^- kt + C1
Aplicamos propiedad de los logaritmos y asumimos que y < 1
Y = 1 - C℮^(- kt)
Y = 1 - C℮^(- kt) Solución General
Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del
problema a la solución general, es decir:
y = 0 cuando t = 0, por tanto C = 0
y = 0.5 cuando t = 1, por tanto k = ln 2 = 0.693
0.5 = 1 - ℮^(- k)
Y = 1 - ℮^(- 0.693t) Solución Particular
En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha
transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el total de
personas que lo conocen hasta el momento.
Y = 1 - ℮^(- 0.693(2))
Y = 0.75 o 750000 Personas Respuesta
RTA: Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal)
son 750000.
GRÁFICA QUE SATISFACE EL PROBLEMA
Clientes potenciales (en millones)
CONCIENCIA PUBLICITARIA
Tiempo (en años)
CONCLUSIÓN: Notamos que la curva asciende a medida que avanza el tiempo. Esto significa que
los clientes potenciales aumentan cuando pasa el tiempo.