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SISTEMAS LINEALES PARA AUTOMATIZACION: Números Complejos
Septiembre de 2011
Materia: Sistemas Lineales para Automatización
Unidad 1: Números complejos
Tema: Aplicaciones con Números Complejos
Mtro. Jorge Adalberto Barreras Gracia.
Ejemplo 1. Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circula una corriente de 𝐼 = 2 sin
500𝑡 Amp. Obtener la magnitud de la impedancia equivalente del circuito y el ángulo de
desfasamiento entre la corriente y el voltaje.
Solución.
1. En este caso 𝜔 = 500. El número complejo que representa a la impedancia equivalente
es:
2. 𝑍𝑒𝑞 = 10Ω + (20𝑚𝐻 × 500𝐻𝑧) = 10Ω + (20 × 10−3𝐻 × 500𝐻𝑧)j= 10Ω + 10j. Ω
3. De esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es:
Ι𝑍𝑒𝑞Ι = √102 + 102 = √100 + 100 = √200 = 14.14Ω.
4.
El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia equivalente:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 ( ) = tan−1 (10 ∕10) = tan−1 (1 )= 𝜋∕4 𝑟𝑎𝑑.
5. Conclusión. Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la
frecuencia de entrada.
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Ejemplo 2. Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente, obtener la impedancia total
𝑍 si:
𝑅1 = 2 Ω, 𝑅2 = 6Ω, 𝑋𝐶 = 4Ω, 𝑋𝐿 = 2Ω.
Solución.
1. En este caso:
𝑍1 = 𝑅1 − 𝑋𝐶 j = 2 – 4j;
𝑍2 = 𝑅2 − 𝑋𝐿 j = 6 + 2j.
2. Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:
1∕𝑍=1∕𝑍1+1∕𝑍2
3. Esto implica que:
𝑍 =(𝑍1𝑍2)∕(𝑍1 + 𝑍2) =(2 – 4j)( 6 + 2j)∕(2 – 4j) + (6 + 2j) =(20 – 20j)∕(8 – 2j)
= ((10-10j)∕(4 – j))x((4 + j)∕(4 + j)) = (50 – 30j)∕17 = 2.9 − 1.8j
4. La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:
Θ = - 31.82⁰
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CONTINUACION: Impedancia Compleja.
Ahora, consideremos el circuito RL de la siguiente figura, al que se le aplica una tensión de:
V(t)= Vmejwt, esta función se descompone en términos de la tensión Seno y Coseno, Vmcoswt
+ jvmsenwt. Aplicando la segunda ley de kirchoff a la malla, se tiene:
Esta ecuación diferencial es de primer orden y su solución particular es de la forma, i(t)= kejwt,
sustituyendo esta función de corriente, tenemos:
De donde,
La relación entre funciones de tensión y de la intensidad de corriente ponen de manifiesto que
Z, es un número complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es wL:
Considerando un circuito en serie RC, con la misma aplicada V(t)= Vmejwt, tenemos que:
Haciendo, i(t)= kejwt, y sustituyendo en la ecuación anterior, nos queda que:
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De donde:
Por lo tanto:
Diagramas de Impedancias
a)
b)
b)
d)
La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia
inductiva XL se representa por un punto del eje imaginario positivo, mientras que una
capacitancia o reactancia capacitiva XC estará representada por un punto sobre el eje
imaginario negativo. En general, una impedancia compleja se encontrara sobre el primero y el
cuarto cuadrante, según los elementos que integran al circuito.
El argumento según lo dicho está comprendido entre ±90⁰ ó ±π ∕ 2 rad.
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Ejemplo 1: A un circuito RL con R= 5Ω y L= 2mH, se le aplica una tensión v= 150sen5000t volts.
Hallar su impedancia compleja.
Datos
v= 150sen1500t voltios
w= 5000rad/s
R= 5Ω
L= 2mL
Solución:
1) La reactancia inductiva es : XL= wL;
XL= 5000(2 x 10-3H)= 10Ω
2) Como Z= R+jwL, entonces:
Z= 5+10Ω
3) En forma polar:
 |Z|= √[(5)2+(10)2]= 11.18Ω → Amplitud ó modulo (r)
 θ= tg-1(y/x)= 10/5= 2 → θ= tg-1(2)= 63.43⁰.→ Argumento.
Z= 11.18∟63.43⁰
Ejemplo 2: A un circuito en serie RC, con R= 20Ω, C= 5μf, se le aplica una tensión v=
150cos10000t volts. Hallar su impedancia compleja.
Datos
v= 150cos10000t voltios
w= 10000 rad/s
R= 20Ω
C= 2μf
Solución:
1. Calcular la reactancia capacitiva XC= 1 ∕ wC= 1 ∕ 10000x10-6= 20Ω.
2. Como Z= R-j1/wC, entonces:
Z= 20Ω-j20Ω
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3. En forma polar:
 |Z|= √[(20)2+(20)2]= 28.28Ω → Amplitud ó modulo (r)
 θ= tg-1(y/x)= -20/20= -1 → θ= tg-1(-1)= 45⁰.→ Argumento.
Z= 28.28∟45⁰
Ejemplo 3: En un circuito, la frecuencia angular es 10x103 rad/s, un inductor de 5mH está en
serie con un capacitor de 100μf.Encuentre la impedancia equivalente, como la suma de las
impedancias individuales.
Datos
w= 10x103 rad/s
L= 5mH
C= 100μf
Solución:
1. Cálculo de las impedancias individuales:
ZC= 1/ jwC= 1/ j(10000) (100x10-6)= 1/j1= -jΩ
ZL= jwL= j(10000)(5x10-3)= j50Ω
Nota: 1/j= -j
2. Obtener la impedancia equivalente total del circuito (ZeqT)
ZeqT= ZL+ZC= j50 + (-j1)= j49Ω
Ejemplo 4: Del circuito anterior, ahora con cada elemento en paralelo, calcular la impedancia
equivalente.
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Nota: En todos los circuitos, excepto en aquellos que tienen solo elementos resistivos puros, la
impedancia equivalente compleja es una sola función de la pulsación w, ya que tanto la
impedancia de inductores (XL, ZL), como la impedancia de capacitores (XC, ZC), son funciones
de w. Por ello cualquier impedancia compleja solo es válida para aquella frecuencia a la que fue
calculada.
Ejercicio de práctica 1, para entregar el día del examen
Determinar la impedancia equivalente de la siguiente red, la cual produce una pulsación de
operación de 5 rad/s; realizar los diagramas obtenidos.
FASORES
Fasor: Es el vector radical, que tiene magnitud constante (longitud) con un extremo en el
origen, cuando se aplica a circuitos eléctricos.
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Una corriente o una tensión senoidal a una frecuencia determinada se caracteriza por solo dos
parámetros: Amplitud y ángulo de fase. La representación compleja de la tensión o la corriente
se caracteriza también por ambos parámetros, por ejemplo, supóngase una respuesta de
corriente y voltaje:
1). Función senoidal: Im Cos(wt+θ);
VmCoswt = VmCos(wt+0⁰)
2). Función Compleja: Imej (wt+θ);
Vmej (wt+θ)
Una vez que se especifican Im y θ la corriente se define de manera exacta.
Forma fasorial de la corriente y la tensión senoidal
Donde Vm, Im o V, I son valores rms (√2) y V, I son valores rms efectivos (1√2 o 0.707)
Equivalente fasorial de la ley de ohm
Llamada también Forma compleja o forma vectorial
Graficas de funciones senoidales y funciones fasoriales
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Pasos mediante los cuales una tensión o una corriente senoidal se transforman en un fasor
(transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia).
1. Una corriente (voltaje) senoidal real
i(t)= ImCos(wt+θ)
2. Expresar como la parte real de una cantidad compleja al recurrir a la forma de Euler.
i(t)= Re{Imej(wt+θ)}
3. Se representa la corriente como una cantidad compleja mediante la eliminación de la
Re{}, con lo cual se suma una componente imaginaria a la corriente sin afectar la
componente real; además se logra una simplificación adicional y se suprime el factor ejwt
I= Imejθ
4. Se escribe el resultado en forma polar (es la representación fasorial).
I= Im∟θ
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Ejemplos 1: Transformar la tensión en el dominio del tiempo v(t)= 100Cos(400t - 30⁰)volts, al
dominio de la frecuencia.
Solucion:
a) v(t)= 100Cos(400t - 30⁰)
b) v(t)= Re{vmej(400t-30⁰)}
c) V= 100e-j30⁰
d) V= 100∟-30⁰
Ejemplo 2: Transformar la tensión del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo, si w=
500rad/s y V=115∟-45⁰.
1. V=115∟-45⁰
2. V= 115e-j45⁰
3. v(t)= Re{vmej(500t-45⁰)}
4. v(t)= 115Cos(400t - 30⁰)
Ejemplo 3: Convierta lo siguiente: del dominio del tiempo al dominio del factor. Utilizar los
valores efectivos rms √2, 1/√2 o 0.707 y justifique la respuesta
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
1. √2(50)Sen(wt+0⁰)
R= 50∟0⁰
2. 69.6Sen(wt+72⁰)
R= (0.707)(696)∟72⁰= 49.21∟72⁰
3. 45Cos (wt+90⁰).
R= (0.707)(45)∟90⁰= 49.21∟90⁰
Ejemplo 4: Escriba la expresión senoidal para los fasores de I y V, cuando la frecuencia es de
60 Hz,
Dominio del fasor
I= 10∟30⁰
Dominio del tiempo
i(t)= √2(10)Sen(2π60+30⁰)
o i(t)= 14.14Sen(377t+30⁰
V= 115∟-70⁰
v(t)= √2(115)Sen(2π60-70⁰)
o v(t)= 14.14Sen(377t-70⁰)
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Ejercicio Practico: Representar la tensión en el dominio del tiempo v(t)= 4Sen(1000t + π/4), al
dominio de la frecuencia.(R= 2.828∟45⁰; 2+j2).
Ejemplo 5: Construir los diagramas fasoriales y de impedancias, determinando las constantes
del circuito para la tensión y corrientes siguientes:
v(t)= 150Sen(5000t+45⁰)volts
;
i(t)= 3Sen(5000t-15⁰)amps.
Solución:
El modulo del fasor es 1/√2 (0.707)
a) Convertir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia la tensión de corriente
(Puede ser también primero la corriente).
 v(t)= 150Sen(5000t+45⁰)volts
 v(t)= Re{150ej(5000t+45⁰)}
 V= 150ej45⁰
 V= 150∟45⁰
 Como la conversión es al modo de frecuencia se utiliza el valor especifico 1/√2
(0.707), de la siguiente manera.
V= (.0707)150∟45⁰= 106∟45⁰
b) Convertir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia la intensidad de corriente
(Puede ser también primero la tensión).
 i(t)= 3Sen(5000t-15⁰)amps.
 v(t)= Re{3ej(5000t-15⁰)}
 I= 3e-j15⁰
 I= 3∟-15⁰
 Como la conversión es al modo de frecuencia se utiliza el valor especifico 1/√2
(0.707), de la siguiente manera.
I= (.0707)3∟-15⁰= 2.12∟-15⁰
c) Para encontrar las constantes de los componentes del circuito aplicamos el equivalente
fasorial de la ley de ohm: I= V/Z (página 8).
 I= V/Z, despejamos Z, quedando Z= V/I, y sustituimos los valores de V e I;
Z= 106∟45⁰/2.12∟-15⁰= 50∟45⁰-(-15⁰)= 50∟60⁰
d) Convertimos a forma rectangular:
 Z= 50∟60⁰; x= 50Cos 60⁰= 25Ω; y= 50Sen 60⁰= 43.30Ω
 Z= 25Ω+j43.30Ω
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e) Construcción de los diagramas fasorial y de impedancias
f)
Como se observa en las graficas, la corriente está retrasada respecto al voltaje con un
ángulo de 60⁰, lo cual indica que se trata de circuito en serie RL, donde wL = j43.3Ω y
R= 25Ω, calculando el valor de L, el valor de cada componente será:
 Como ZC= wL, despajamos L; L= ZC/w, sustituyendo valores:
L= 43.3/5000= 0.00866x1000= 8.66mH.
Ejercicio de Practica 2, para entregar día del examen
Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias y determinar las constantes del circuito en serie,
suponiendo que tiene dos elementos, la tensión y la corriente se expresan en voltios y en
amperes respectivamente:
v(t)= 50Sen(2000t-25⁰)volts
;
i(t)= 8Sen(2000t+5⁰)amps.
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