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ANGULOS DE REFERENCIA
Para el cálculo de los valores de las funciones trigonométricas de cualquier número (o
ángulo), basta con conocer las que corresponden a un número que esté en el intervalo
, (ángulos agudos).
Para realizar este proceso se utiliza un ángulo llamado ángulo de referencia. Un ángulo de
referencia
para
, es el ángulo agudo que forman el lado final de
y el eje
.
Para calcular los valores de las funciones de un ángulo no cuadrantal
, usando los
ángulos de referencia, se hallan las que corresponden al ángulo de referencia y se hace la
relación teniendo en cuenta el cuadrante al cual pertenece el ángulo dado.
La siguiente tabla resume las conclusiones sobre los ángulos de referencia (θR)
CUADRANTE
ÁNGULO DADO
I
0° < θ < 90°
ÁNGULO DE
REFERENCIA
θR= θ
II
90° < θ < 180°
θR= 180° - θ
III
180° < θ < 270°
θR= θ- 180°
IV
270° < θ < 360°
θR= 360°- θ
EJEMPLOS
Si
Si
Sen 135° = Sen 45°
Cos 135° = - Cos 45°
Tan 135° = - Tan 45°
Si
Como
Si
,
,
Sen t = - Sen (3.5 – π)
Cos t = - Cos (3.5 – π)
Sen t = - Sen

3
Cos t = Cos

3
Tan t = - Tan

3
Tan t = Tan (3.5 – t)
Funciones trigonométrica de un ángulo negativo
Hasta ahora se ha analizado la manera de calcular las funciones trigonométricas de
cualquier ángulo positivo. Ahora falta determinar las funciones trigonométricas de un
ángulo negativo. Para ello compararemos las funciones del ángulo negativo con las
funciones del mismo ángulo pero positivo.
En palabras, decimos lo siguiente:
1. EL SENO de un ángulo negativo es y el seno del mismo ángulo positivo tienen
IGUAL VALOR NUMÉRICO pero DISTINTO SIGNO: Sen (-θ) = - Sen θ
2. EL COSENO de un ángulo negativo y el coseno del mismo ángulo positivo tienen
IGUAL VALOR NUMÉRICO e IGUAL SIGNO: Cos (-θ) = Cos θ
3. LA TANGENTE de un valor negativo y la tangente del mismo ángulo positivo
tienen IGUAL VALOR NUMÉRICO pero DISTINTO SIGNO. Tan (-θ) = - Tan θ
Esto también se cumple cuando el lado final del ángulo negativo este en otro cuadrante.
EJEMPLOS:
Sen (-243°) = - Sen 243°
Cos (-1342°) = Cos 1342°
Tan (-856°) = - Tan 856°
LAS SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Existen seis funciones trigonométricas fundamentales, de las cuales conoces SENO,
COSENO y TANGENTE. Las otras son: COSECANTE, SECANTE y COTANGENTE,
las cuales definiremos como los inversos multiplicativos (o recíprocos) del seno, coseno y
tangente respectivamente:
Cosecante = Csc
Secante = Sec
Cotangente = Cot
Entonces:
Csc (θ) =
1
;
Sen( )
con Sen (θ) ≠ 0
Sec (θ) =
1
;
Cos( )
con Cos (θ) ≠ 0
Cot (θ) =
1
;
Tan( )
con Tan (θ) ≠ 0
En consecuencia:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la
hipotenusa:
Sen 
Cateto Opuesto
Hipotenusa
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud
de la hipotenusa:
Cos 
Cateto Adyacente
Hipotenusa
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del
adyacente:
Tan 
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del
opuesto:
Cot 
Cateto Adyacente
Cateto Opuesto
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto adyacente:
Sec 
Hipotenusa
Cateto Adyacente
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud
del cateto opuesto:
Csc 
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Ver ejemplos:
http://es.scribd.com/doc/198853/Razones-trigonometricas
http://www.youtube.com/watch?v=-fNkaIF1o6k
Ejemplo.
En el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm, calcular el seno, el
coseno y la tangente de los ángulos agudos.
Solución:
AB
4
  0 .8
BC
5
AC
3
x
  0 .6
BC
5
AB
4
x
  1 .3
AC
3
AC
3
y
  0. 6
BC
5
AB
4
y
  0. 8
BC
5
AC
3
y
  0.75
AB
4
sen x 
cos
Tan
sen
cos
Tan
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
La resolución de triángulos rectángulos tiene por finalidad averiguar el valor de los
ángulos y de sus lados a partir de dos datos conocidos. En los siguientes
ejercicios ponen algunos casos de resolución de triángulos rectángulos.
Hacemos la observación de que cualquier triángulo que consideremos, los lados a,
b, c son opuestos, respectivamente, a los ángulos A, B, C.
Ejemplo
1. En el triángulo ABC se conocen el lado b = 20 m El ángulo A = 30°. Calcular
los lados a y c y el ángulo B.
Solución:
A + B = 90°
B = 90 - 30 = 60°
20 m
cos 30 
C
20m
C
 23.09 m
0.866
a
sen30 
23.09
a  0.5  23.09  11.54 m
EJEMPLO
2. En el triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa c = 30 m. y el ángulo
A. = 43°.
Calcular la medida del cateto a
Solución
a
c
a
0.682 
30 cm
sen 43 
a  0.682  30 cm  20.46 cm
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
RELACIÓN ENTRE EL SENO Y EL COSENO.
Aplicando e! teorema de Pitágoras al triángulo OAB
AB2 + OB2 = OA2
Sustituyendo sus valores: AB = Sen x , OB = Cos x, OA=1, Por ser el radio.
sen2 x + cos2 x = 1
La suma del seno al cuadrado y del coseno al cuadrado es igual a la unidad.
Ejemplo
El seno de un ángulo agudo x vale 0,766 (en un triángulo rectángulo). Calcular el
coseno y la tangente
Solución:
sen2 x + cos2 x = 1
cos2 x = 1 - sen2 x
cos2 x = 1 – (0,766)2 = 0,4132
cos x  0,4132
Cos x = 0,642
tg x 
sen x 0.766

 1.19
cos x 0.642
Identidad fundamental de la trigonometría:
sen ²  cos ²  1
De esta obtenemos otras dos identidades fundamentales importantes:
tan ²  1  sec ²
cot ²  1  csc ²
Demostremos la primera:
1) partimos de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen ²  cos ²  1
2) Divido a ambos lados de la igualdad por Cos.
sen ² cos ²
1


cos ² cos ² cos ²
sen 2
sen
cos ²
 tan  ; por lo tanto
= 1;
 tan 2  y
2
cos 
cos ²
cos 
1
1
 sec  , por lo tanto:
 sec 2  , nos queda
además sabemos que
cos 
cos 2 
que:
3) Como sabemos que
tan ²  1  sec ²
Para resolver una identidad se parte de cualquiera de los dos lados de la igualdad,
de izquierda a derecha o de derecha a izquierda y a través de operaciones
matemáticas, algebraicas y reemplazos lógicos (identidades fundamentales) se
llega al otro lado de la igualdad.
Ejemplo:
cos ²  sen ²  2 cos ² 1
Puedo probarlo de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, en este segundo ejemplo
vamos a resolverlo de derecha a izquierda, reemplazando el 1 por la ecuación fundamental,
así.
cos ²  sen ²  2 cos ²  (cos ²  sen ² )
cos ²  sen ²  2 cos ²  cos ²  sen ²
Restamos
cos ²  sen ²  cos ²  sen ²
Otro ejemplo:
sec ²  tan²  2tan² 1
Probémoslo de izquierda a derecha.
Recuerde por las identidades fundamentales que
sec ²  tan²  1
Reemplazo sec²
tan²  1  tan²  2tan²  1
Efectuo la suma y obtengo
2tan²  1  2tan²  1
Recordemos las
resumámoslas así:
identidades
trigonométricas
que
hemos
trabajado
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
y
RECÍPROCAS
1
sen 
csc 
Por lo tanto:
1
csc  
sen
1
cos  
sec 
Por lo tanto:
1
sec  
cos 
1
tan  
cot 
Por lo tanto:
1
cot  
tan 
POR COCIENTE
tan  
sen
cos 
PITAGÓRICAS
sen 2  cos 2   1
sec 2   tan 2   1
cot  
cos 
sen
csc 2   cot 2   1
IDENTIDADES DE SIMETRÍA
Varias identidades se hallan a partir de la simetría
de la circunferencia unitaria con centro en (0, 0). Si
(x, y) es el punto de la circunferencia que
determina el ángulo  rad, entonces
(x, -y) es
el ángulo que determina (-  ) rad.
Esto nos lleva a concluir que sen (-  ) = -y = -sen (
 ) y que cos (-  ) = x = cos (  ).
Estas funciones son llamadas PARES e
IMPARES. De forma similar, podemos verificar
que las funciones tangente, cotangente y cosecante son impares, mientras que la
secante es par. Las identidades de este tipo son llamadas IDENTIDADES DE
SIMETRÍA.
sen( )   sen( )
cos(  )  cos( )
tan(  )   tan( )
csc(  )   csc( )
sec(  )  sec( )
cot(  )   cot( )
Ejemplo:
Verificar la identidad de simetría tan(  )   tan( ) para cualquier  .
Solución:
sen( )
sen
, entonces tan(  ) 
cos 
cos(  )
Y usando las identidades de simetría para las funciones seno y coseno,
Como tan  
tan(  ) 
Tenemos que:
 sen( )
  tan( )
cos( )
Q.E.D.
Hemos pues verificado que tan(  )   tan( ) y por lo tanto que la función tangente
es impar.
Otras identidades especiales
cos     cos  cos   sensen
cos     cos  cos   sensen .
sen     sen cos   cos sen
sen     sen cos   cos sen
tan   tan 
tan     
1  tan  tan 
tan   tan 
tan     
1  tan  tan 
Ejemplo:
Demostremos que
Sen  Cos .Tan
 2Tan
Cos
Solución:
Como el denominador del primer miembro tiene un solo término, ensayemos
escribiendo dicha expresión como una suma de fracciones; así:
Sen  Cos .Tan Sen Cos .Tan


Cos
Cos
Cos
= Tan θ + Tan θ
= 2 Tan θ
Por lo tanto:
Sen  Cos .Tan
 2Tan
Cos
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita es el ángulo
de una función trigonométrica
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
2Sen²x + sen x = 0
2 sen ² x  sen x  0
sacamos factor común sen x
sen x( 2 sen x  1)  0
sen x  0
x  0,180
o
2senx  1  0
sen x  - 1/2
x  210,330
Otro ejemplo
cos 2  0 para     2
Solución :
cos 2  0  1  2 sen 2   0
 sen 2  
1
2
 sen   
1
2

2
2
2
 3
;   , 10. y 2 0. cuadrante 
2
4 4
2
5 7 
b) sen   
; 
, 3o. y 4o cuadrante 
2
4 4
  3 5 7  
s   , , , 
4 4 4 4 
a ) sen   
BIBLIOGRAFÍA
BALDOR, Aurelio. Álgebra Editorial mediterránea, Madrid España
LUDWING, Gustavo. Inteligencia Lógico Matemática 10.
URIBE, Julio. Matemática, una propuesta curricular 10°. Editorial Bedout
CIBERGRAFÍA





www.elprisma.com
www.monografias.com
www.matematicas.com
http://bitacoraed.wordpress.com/2007/05/20/angulo-central-y-angulo-inscritoen-una-circunferencia-1º-eso/
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/triangulos/generalid
ades.asp