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SOLUCIONES EJERCICIOS DE DINÁMICA 4º ESO.
1º. Sobre un cuerpo se ejercen las siguientes fuerzas: F1 = ( 3, 5 ), F2 = ( 4, - 1 ) ; F3 = ( 2, 0 ),
todas ellas medidas en Newton. Calcular el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo
se mueva con velocidad constante.
Sobre el cuerpo se ejercen 3 fuerzas distintas, por lo que debemos hallar la resultante de las
fuerzas y a continuación aplicar la 1ª ley de Newton sobre el sistema.
R = RX i + RY j ( a partir de aquí los vectores se escribirán en negrita).
RX = F1X + F2X + F3X + Fx
RY = F1Y + F2Y + F3Y + FY
Como en el enunciado se dice que el cuerpo se mueve a velocidad constante, la aceleración del
sistema será nula, y como dice la primera ley de Newton, la fuerza resultante sobre el sistema
será 0.
RX = 0 → 3 + 4 + 2 + FX = 0 → FX = -9 N
por lo tanto F = ( - 9, - 4 ) N
RY = 0 → 5 - 1 + 2 + F Y = 0 → F Y = - 4 N
2º. Sobre un cuerpo de 2 kg de masa y que se mueve con una velocidad de 2 m/s se aplica
durante 3 segundos una fuerza de 8 N. Tomando x(0) = 0 m, Calcular:
a) Si la fuerza se aplica en la misma dirección y sentido a la velocidad inicial , hallar la
velocidad de éste al cabo de esos 3 segundos y su posición.
b) Hallar también la posición al cabo de 8 segundos.
c) Si la fuerza se aplica en la misma dirección y sentido opuesto a la velocidad inicial,
hallar la velocidad y posición del cuerpo a los 3 segundos.
Hallar la posición también al cabo de 8 segundos.
En este ejercicio hay dos tipos de movimientos. Durante los 3 primeros segundos hay una
fuerza sobre el cuerpo por lo que habrá aceleración y el movimiento será rectilíneo
uniformemente acelerado. A partir del tercer segundo no hay ninguna fuerza, por lo que el
movimiento será uniforme.
a) Se aplica la 2ª ley de Newton para hallar la aceleración:
F = m·a → 8 = 2 · a → a = 4 m·s-2
Se aplica las ecuaciones de mrua para hallar la velocidad al cabo de los 3 segundos:
v = v0 + a·t → v = 2 + 4·3 →
v = 14 m·s-1
x = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → x = 0 + 2·3 + 0’5·4·32 →
x = 24 m
b) A partir del instante t = 3 segundos el cuerpo se mueve a velocidad constante.
Aplicamos la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme a partir del tercer segundo.
x = x0 + v·t → x(8) = x(3) + 14· (8-3) →
x(8) = 94 metros
c) Si la fuerza se aplica en sentido contrario habrá que cambiar el signo de ésta. Hallamos
la aceleración aplicando la 2ª ley de Newton:
F = m·a → - 8 = 2 · a → a = - 4 m·s-2.
Aplicamos las ecuaciones del mrua.
v(3) = - 10 m·s-1
v(t) = v0 + a·t → v(3) = 2 – 4·3 →
x(t) = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → x(3) = 0 + 2·3 + 0’5·(- 4 )· 32 → x(3) = - 12 metros
d) A partir del tercer Segundo es un mru.
x(8) = x(3) + v(3)·(8-3) →
x(8) = -62 metros
3º. Un cuerpo de 10 kg de masa que se encuentra sobre una superficie cuyo coeficiente de
rozamiento es 0’1, se le aplica una fuerza de 20 N durante 5 segundos. Calcular:
a) Aceleración del cuerpo
b) Velocidad al cabo de esos 5 segundos si parte desde el reposo.
c) Posición del cuerpo a los 5 s si la posición inicial era 10 metros
Lo primero que se debe hacer es hacer un esquema donde se vean todas las fuerzas
aplicadas sobre el cuerpo.
N
F
FROZ
Peso
A continuación se halla la resultante de las fuerzas sobre el eje X y sobre el eje Y:
RX = F - FROZ
→ Rx = m·a
→
F – FROZ = m·a
RY = N – Peso
→ RY = 0
→
N = peso
→
N = 10· 9’8
→ N = 98 N
Conociendo el valor de N podemos hallar el valor de la fuerza de rozamiento:
FROZ = µ·N
→
FROZ = 0’1·98
→
FROZ = 9’8 N
Por lo que sustituyendo en la resultante de fuerzas en el eje X
20 – 9’8 = 10·a →
a = 10’2/10
→
a = 1’02 m·s-2
b) v = v0 + a·t
v = 0 + 1’02 · 5 →
v = 5’1 m·s-1
→
c) x = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 →
x = 10 + 0·5 + 0’5·1’02·52
→
x = 22’75 m
4º. Un cuerpo de 5 kg de masa se mueve a velocidad constante sobre una superficie
horizontal cuyo coeficiente de rozamiento es de 0’2. Calcular la fuerza motora que se ha de
aplicar al cuerpo.
Se dibuja en primer lugar el esquema de fuerzas
N
F
FROZ
Peso
A continuación se halla la resultante de las fuerzas sobre el eje X e Y.
RX = F – FROZ
→
RX = m·a
→
F – FROZ = m·a
RY = N – Peso
→
RY = 0
→
N = Peso
→ N = 5 · 9’8
→N = 49 N
Conociendo el valor de N y el coeficiente de rozamiento se puede hallar el valor de la fuerza de
rozamiento: FROZ = µ·N →
FROZ = 0’2·49 →
FROZ = 9’8 N
Como se mueve a velocidad constante, la aceleración será igual a 0, por lo que RX será nula:
F – FROZ = 0
→
F – 9’8 = 0
→
F = 9’8 N
5º. Sobre un cuerpo en reposo de masa 5 kg se aplican 4 fuerzas cuyos valores y direcciones
son: F1 = 10 N y forma un ángulo de 30º con la horizontal, F2 = 5 N y forma un ángulo de –
30º con la horizontal, F3 = 8 N y forma un ángulo de 130º con la horizontal y F4= 7 N y
forma un ángulo de 0º . Hallar:
a) Reacción del suelo contra el cuerpo.
b) Fuerza de rozamiento si los coeficientes de rozamiento dinámico y estático contra el
suelo valen ambos 0’25
c) Resultante de las fuerzas sobre el eje X.
d) Aceleración del cuerpo y velocidad del cuerpo al cabo de 5 segundos.
e) Velocidad media en los primeros 5 segundos.
f) Espacio total recorrido en esos 5 segundos.
En primer lugar se descomponen todas las fuerzas en sus coordenadas en los ejes X e Y.
F1X = 10.cos30º
→
F1X = 8’66 N
F1Y = 10.sen30º
→
F1X = 5 N
F2X = 5.cos- 30º
→
F2X = 4’33 N
F2Y = 5.sen -30º
→
F2Y = - 2’5 N
F3X = 8.cos130º
→
F3X = - 5’14 N
F3Y = 8.sen 130º
→
F3Y = 6’13 N
F4X = 7 N
a) Para hallar la reacción del suelo contra el cuerpo se debe hallar en primer lugar la
resultante de las fuerzas en el eje Y.
RY = F1Y + F2Y + F3Y – Peso + N
→ RY = 0, por lo tanto:
0 = 5 – 2’5 + 6’13 – 49 + N
→
b) FROZ = µ · N
→
N = 40’37 N
FROZ = 0’25 · 40’37
c) RX = F1X + F2x + F3X + F4X - FROZ
→
FROZ =10’09 N
→ RX = 8’66 + 4’33 – 5’14 + 7 – 10’09 →
d) RX = m·a → 4’76 = 5 · a → a = 4’76/5 →
RX = 4’76 N
a = 0’95 m·s-2
e) vMEDIA = (x(5) – x(0))/5 Hay que hallar las posiciones en los instantes t= 0 y t = 5.
x(0) = 0; x(5) = x0 + v0·t + 0’5·a·t2 → x(5) = 0 + 0·5 + 0’5· 0’95 · 52 → x(5) = 11’88
vMEDIA = 11’88 / 5
vMEDIA = 2’38 m·s-1
→
f) Hallado en el apartado anterior.
6º. Un cuerpo de 100 kg de masa tiene una velocidad de 120 km/h y se frena en 10 segundos.
Calcular:
a) Aceleración de frenada.
b) Fuerza de frenada.
c) Espacio recorrido en la frenada.
En primer lugar se transforma los km/h en m/s
𝑣 = 120
𝑘𝑚
1ℎ
1000 𝑚
·
· 1 𝑘𝑚
ℎ 3600 𝑠
≫ 33′ 33𝑚 · 𝑠 −1
Se aplican las ecuaciones del mrua: v = v0 + a·t → 0 = 33’33 + a·10 →
b) Se aplica la segunda ley de Newton: F = m·a → F = 100·(3’33) →
a = - 3’33 m·s-2
F =- 333’33 N
c) Se aplica la ecuación de posición en el mrua x = x0 +v0·t + 0’5·a·t2
x = 0 + 33’33·10 + 0’5·(-3’33)·102 →
7º. Sea el sistema de la figura:
x = 166’67 m
45º
Calcular:
a) Masa del cuerpo suspendido.
T1
30º
T2
b) Valor de T1 y T2
20 N
a) En primer lugar se dibujan todas las fuerzas y se descomponen en los ejes X e Y.
45º
30º
T2Y
T1
T1Y T2
T1X
T2X
T
T
20 N
m = 2’04 kg
a) Peso = m·g → 20 = 9’8·m → m = 20/9’8 →
b) El sistema está en equilibrio, por lo que la fuerza total es nula. Por lo tanto, la
resultante en x y en y deben ser nulas:
RX = T2X – T1X → T2·cos 30º - T1·cos 45º = 0
RY = T1Y + T2Y – T → T1·sen 45º + T2·sen30º - T = 0
Sobre el cuerpo → T – 20 = 0 → T = 20 N
0’866 T2 – 0’707T1 = 0
0’866T2 – 0’707T1 + 0’707T1 + 0’5T2 – 20 = 0 → 1’366T2 = 20
0’707 T1 + 0’5T2 – 20 = 0
T2 = 14’64 N
0’866·14’64 – 0’707 T1 = 0 → 12’68 = 0’707 T1 →
T1 = 17’93 N
8º. Sea el sistema de la figura:
N1
N2
m2 = 2 kg
F
m1 = 3 kg
µ2 = 0’2
µ1 = 0’1
Calcular:
a) La fuerza necesaria para que el sistema se mueva a velocidad constante.
b) La fuerza necesaria para que el sistema se mueva con aceleración 1 m/s2
c) La tensión de la cuerda que une ambos cuerpos en ambos casos.
Dibujamos el sistema y colocamos las fuerzas que actúan sobre él.
m2 = 2 kg
FROZ2
µ2 = 0’2
P2
T
T
FROZ1
m1 = 3 kg
µ1 = 0’1
P1
F
F
R1X = F – T - FROZ1 → F – T – FROZ1 = m1·a
R1Y = N1 – P1 → N1 = P1 → N1 = 3·9’8 → N1 = 29’4 N
R2X = T – FROZ2 → T – FROZ2 = m2·a
R2Y = N2 – P2 → N2 = P2 → N2 = 2 ·9’8 →N2 = 19’6 N
Se puede hallar FROZ1 y FROZ2;
FROZ1 = µ1·N1 → FROZ1 = 0’1·29’4 →FROZ1 = 2’94 N; FROZ2 = µ2·N2 →FROZ2 = 0’2·19’6 → FROZ2 = 3’92 N
Como en el enunciado se dice que se debe mover a velocidad constante, la aceleración del
sistema debe ser nula. Por lo tanto:
F – T – FROZ1 = 0 → F – T – 2’94 = 0
T – FROZ2 = 0
→ T – 3’92 = 0 →
T = 3’92 N
Sustituyendo en la ecuación de arriba: F – 3’92 – 2’94 = 0 →
F = 6’86 N
Para que se mueva a una aceleración de 1 m·s-2, debemos sustituir ese valor en la ecuación de
la resultante en el eje X.
F – T – FROZ1 = 3·1 → F – T – 2’94 = 3
T – FROZ2 = 2·1
→ T – 3’92 = 2 →
T = 5’92 N
Sustituyendo en la ecuación de arriba: F – 5’92 – 2’94 = 3 →
T = 11’86 N
EJERCICIOS PRESIÓN
1º. Calcular la presión que ejerce un prisma rectangular de un material de densidad 2500
kg·m-3 de dimensiones 3x4x5 metros sobre cada una de las caras del prisma.
SOLUCIÓN
3 metros
A
Primer paso: Hallar la masa del cuerpo, conociendo la densidad.
Se debe hallar en primer lugar el volumen del cuerpo:
4 metros
Volumen = lado x lado x lado Volumen = 3x4x5 → V = 60 m3
C
B
5 metros
Segundo paso: Hallar el peso del cuerpo, que será la fuerza que se ejercerá sobre cada una de las
caras:
Peso = masa · g → Peso = 1’5·105 · 9’8 , por lo tanto: peso = 1’47·106 N
Tercer paso: Hallar las presiones ejercidas sobre cada superficie: 𝐏𝐫𝐞𝐬𝐢ó𝐧 =
𝐅𝐮𝐞𝐫𝐳𝐚
𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞
Hallamos la superficies: SA = 3x5→ SA = 15 m2; SB= 4x3→SB= 12m2; SC= 4x5→ SC = 20 m2
PA =
1′ 47 · 106
1′ 47 · 106
1′ 47 · 106
→ PA = 9′ 8 · 104 Pa; PB =
→ PB = 1′225 · 104 Pa PC =
→ PC
15
12
20
4
= 7′35 · 10 Pa
2º. En un brazo de un tubo en U, se coloca un líquido A, de densidad 2000 kg/m3, y en el
otro un líquido de densidad desconocida. Si el primer líquido tiene una altura de 0’7 metros y
el 2º tiene una altura de 1’2 metros, hallar la densidad del segundo líquido.
1’2 m
0’7 m
La presión en los puntos del líquido que ocupan la línea discontinua en
ambos brazos deben ser iguales. Ambas son presiones hidrostáticas,
una debida al líquido A y otra al líquido B:
3º. Se utiliza un tubo en U para conocer la presión que ejerce un gas. Se introduce en el
interior del tubo un líquido A de densidad 2000 kg·m-3 y se conecta un extremo del tubo al
recipiente con el gas. El otro extremo está al aire. Se observa que en el líquido sube 20 cm.
Calcular la presión que ejerce el gas.
La presión en los puntos del líquido que están a la misma altura en
ambos brazos deben ser iguales. En un lado es debido a la presión
atmosférica +la presión hidrostática de la columna de altura Δh:
A
4º. Un cuerpo de 50 litros de volumen se introduce en un líquido de densidad 1500 kg/m3 y se
observa que se sumergen 40 litros. Se saca del líquido y se introduce en otro líquido de
densidad desconocida y se observa que el volumen sumergido es de 30 litros. Calcular:
a) La densidad del cuerpo.
b) La densidad del líquido desconocido.
Si se introduce el cuerpo en otro líquido de densidad desconocida, se observa que se hunde
por completo, siendo su peso aparente de de 400 N. Calcular la densidad de este líquido.
SOLUCIÓN
En el primer experimento, se observa que el cuerpo flota
sobre el líquido, permaneciendo en una situación de reposo.
Por lo tanto, la fuerza total que sufre el cuerpo debe ser nula
Empuje – peso = 0
Empuje
Peso
𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝜌𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 · 𝑉𝑆𝑈𝑀𝐸𝑅𝐺𝐼𝐷𝑂 · 𝑔 ≫ 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 1500
𝑘𝑔 ′
𝑁
3
′
·
0
04
𝑚
·
9
8
𝑚3
𝑘𝑔
Hay que pasar en primer lugar los litros a m3, ya que la densidad está en
kg
m3
Empuje = 588 N.
𝑝𝑒𝑠𝑜 = 𝜌𝐶𝑈𝐸𝑅𝑃𝑂 · 𝑉𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 · 𝑔 ≫ 𝑝𝑒𝑠𝑜 = 0′ 05 · 9′ 8 · 𝜌𝐶𝑈𝐸𝑅𝑃𝑂 ≫ 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 0′ 49 · 𝜌𝐶𝑈𝐸𝑅𝑃𝑂
588 = 0′ 49 · 𝜌𝐶𝑈𝐸𝑅𝑃𝑂 ≫≫ 𝛒𝐂𝐔𝐄𝐑𝐏𝐎 = 𝟏𝟐𝟎𝟎
𝐤𝐠
𝐦𝟑
b) En el segundo experimento, se conoce ya la densidad del cuerpo, por lo que a partir de este
dato, se puede hallar la densidad de otro líquido en el que el cuerpo flota.
Empuje – peso = 0 𝜌𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 · 𝑉𝑆𝑈𝑀𝐸𝑅𝐺𝐼𝐷𝑂 · 𝑔 = 588 ≫ 𝜌𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 · 0′ 03𝑚3 · 9′ 8
𝝆𝑳Í𝑸𝑼𝑰𝑫𝑶 = 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝑁·
𝑘𝑔−1
= 588
𝒌𝒈
𝒎𝟑
En el tercer experimento, se introduce el cuerpo en un líquido de densidad menor a la de éste,
por lo que se hunde.
El peso aparente del cuerpo será la diferencia entre el peso real y el empuje:
Peso aparente = peso real – Empuje
400 = 588 – Empuje → Empuje = 188 N
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝜌𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 · 𝑉𝑆𝑈𝑀𝐸𝑅𝐺𝐼𝐷𝑂 · 𝑔 ≫ 𝜌𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 =
𝛒𝐋Í𝐐𝐔𝐈𝐃𝐎 = 𝟑𝟖𝟒
𝐤𝐠
𝐦𝟑
188
0′ 05 · 9′ 8
≫
EJERCICIOS DE ENERGÍA
1º. La fuerza de fricción entre las ruedas de un coche de 1300 kg y el suelo es de 220 N. Si el
coche se mueve por una pista horizontal a una velocidad de 110 km/h y se deja en “punto
muerto”, ¿qué distancia recorrerá hasta que se detenga por completo?.
En primer lugar se pasan las unidades a sistema internacional:
𝑣 = 110
𝑘𝑚
1ℎ
1000 𝑚
·
·
ℎ 3600 𝑠
1 𝑘𝑚
→ 𝑣 = 30′ 56𝑚 · 𝑠 −1
W = Δ EC → Δ EC = ECF – EC0 → ΔEC = 0 – 0’5·1300·30’562 → ΔEC = - 607044 J
W = - 220·d, entonces - 607044 = - 220·d →
d = 2759’3 metros
2º. Sobre un cuerpo de 750 g que se mueve con una velocidad de 2’5 m/s actúa una fuerza
de 15 N en la misma dirección y sentido de la velocidad durante 10 s. Calcula:
a) El trabajo realizado por la fuerza.
b) La energía cinética final del cuerpo
c) La velocidad final que alcanza
a) W = F·r·cos 00. Se debe hallar el desplazamiento mediante las ecuaciones del mrua
r = v0·t + 0’5·a·t2. Se debe hallar el valor de la aceleración aplicando la 2ª ley de Newton.
F = m·a → a = F/m → a = 15/0’75 → a = 20 m·s-2. Ahora se halla el desplazamiento:
r = 2’5·10 + 0’5·20·102 → r = 1025 metros.
W = 15·1025·1 →
W =15375 J
b) W = ΔEC → W = ECF – E0C → 15375 = ECF – 0’5·m·v2 → 15375 = ECF – 3’125
ECF = 15378’125 J
c) 0’5·m·v2 = 15378’125 →
v = 202’51 m·s-1
3º. Se deja caer un objeto de 2 kg desde 100 m de altura. Calcula:
a) Su energía potencial inicial
b) Su energía potencial cuando se encuentre a 50 m del suelo.
c) Su velocidad y su energía cinética a 50 m de altura.
La suma de ambas energías a esa altura.
a) EP0 = m·g·h0 → EP0 = 2·100·9’8 →
b) EP = m·g·h → Ep = 2·50·9’8
→
c) Primer paso, hallar v
EP0 = 1960 J
EP = 980 J
y = y0 + v0·t + ½ a·t2 → 50 = 100 + 0 – 4’9·t2 → t = 3’19 s. Sustituimos en la expresión de
la velocidad:
v = v0 + a·t → v = 0 -9’8·3’19 →
la energía cinética.
v = - 31’3 m·s-1
EC = ½ · m·v2 → EC = ½ · 2 · (- 31’3)2 →
d) EP + EC = 960 + 960 →
Se sustituye en la expresión de
EC = 980 J
EP + EC = 1960 J
Por lo tanto se comprueba que se conserva la energía mecánica.
4º. Una fuerza constante de 15 N actúa durante 12 s sobre un cuerpo de 2’5 kg de masa.
Este tiene una velocidad inicial de 1’5 m/s en la misma dirección y sentido de la fuerza.
Calcula:
a) La energía cinética final.
b) La potencia desarrollada.
Principio de las fuerzas vivas: ΔEC = W y ΔEC = ECF – EC0, siendo W = F·r·cos 00
Habrá que hallar en primer lugar r, y con los datos que se tienen se debe utilizar las ecuaciones
del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la 2ª ley de Newton para poder hallar la
aceleración del cuerpo.
F = m·a → a = F/m → a = 15/2’5 → a = 6m·s-2
r = v0·t + 0’5·a·t2 → r = 1’5·12 + 0’5·6·122 → r = 450 m. Entonces
W = F·r·cos 00 → W = 15·450·1 → W = 6750 J
Aplicando el principio de las fuerzas vivas para hallar ECF: ECF = W + EC0
E𝐶0 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣02 → EC0= 0’5·2’5·1’52 → EC0= 2’8125 J → ECF = 6752’8125 J
b) Potencia = W/t → Pot = 6750/12 →
Pot = 562’5 W