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G
O
Guía
Generalidades de los números reales
A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder
el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas
más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu
profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.
Ejercicios PSU
1. 2. Sean p un número entero positivo y m el inverso aditivo del sucesor de p. ¿Cuál(es) de las
siguientes operaciones resulta(n) siempre en un número positivo?
I)
II)
III)
El cuociente entre el inverso aditivo de p y el inverso multiplicativo de m.
La diferencia entre la mitad de p y el antecesor de m.
El producto entre el inverso multiplicativo de p y el sucesor de m.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
Sean a, b y c tres números enteros distintos de cero y distintos entre sí. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
II)
a
pertenece a los números enteros.
b
a ∙ (b + c) = c ∙ (a + b)
III)
a + (b + c) = (a + b) + c
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
GUICEG020EM31-A17V1
I)
La expresión
Cpech 1
MATEMÁTICA
3. Sean k un elemento cualquiera del conjunto P = {0, 1, 2} y m un elemento cualquiera del conjunto
Q = {– 2, – 1}. Una operación cuyos resultados están siempre dentro del conjunto P ∪ Q es
I)
II)
III)
k+m
k•m
k–m
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo I y II.
solo I y III.
ninguna de ellas.
4.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
Todo número irracional es un número real.
Todo número entero es un número racional.
Todo número imaginario es un número complejo.
A)
B)
C)
Solo II
Solo III
Solo I y III
5.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
D)
E)
Solo II y III
I, II y III
I)
En los números enteros positivos no existe el neutro de la adición.
II) En los números enteros no existe el neutro de la multiplicación.
III) En los números racionales, el recíproco del neutro de la adición es igual al neutro de la
multiplicación.
A)
B)
C)
Solo I
Solo II
Solo III
D)
E)
Solo I y II
I, II y III
6.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
0,341343434..., es un número irracional.
9
II) = 0
0
225
III) es un número entero.
15
2
Cpech
A)
B)
C)
Solo I
Solo II Solo III
D)
E)
Solo I y II
I, II y III.
Guía
7.
Si n es un número entero positivo, ¿cuál de las siguientes secuencias está formada siempre por
números impares consecutivos?
A)
n, (n + 2), (n + 4), (n + 6), (n + 8)
B)(n + 1), (n + 3), (n + 5), (n + 7), (n + 9)
C) 2(n + 1), 2(n + 3), 2(n + 5), 2(n + 7), 2(n + 9)
D)(2n + 1), (2n + 3), (2n + 5), (2n + 7), (2n + 9)
E)(2n + 1), (2n + 2), (2n + 3), (2n + 4), (2n + 5)
8.
Sea n un número entero positivo par y m un número entero positivo impar, tal que n + 1 = m + 2.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
n es sucesor de m. B)
n es antecesor de m.
C) (n + 1) es el sucesor par de m.
9.
D)
E)
(n – 1) es el sucesor impar de m.
(n + 2) es el sucesor impar de (m + 1).
Sea n un número entero positivo menor que 5. ¿Qué valores puede tomar la distancia entre n y
su opuesto en la recta numérica?
A)
B)
C)
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4
0, 2, 4, 6, 8
D)
E)
2, 4, 6, 8
2, 4, 6, 8, 10
10. Sean n un número par y m un número impar. ¿Cuál de los siguientes productos es siempre
impar?
A)
nm
B)
n(m + 1)
C) (n – 1)m
D)(n + 1)(m – 1)
E) (n + 1)(m + 1)
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
11.
I)
II)
III)
La suma de cuatro números enteros consecutivos resulta un número par.
El cuadrado de un número entero es positivo.
La suma entre el antecesor y el sucesor de un número entero es igual al doble de dicho
número.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Cpech
3
MATEMÁTICA
12. ¿Qué resultado se obtiene si al inverso aditivo de
( 34 ) se le resta el sucesor de (– 3)?
13
4
16
B)
3
10
C)
3
– 11
D) 4
A)
E)
5
4
Considerando los números enteros, se obtiene un número par siempre que se
13.
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
suman dos números pares y luego se le resta un número impar.
resta un número par del producto entre un número impar y un número par.
multiplica un número impar por la suma entre dos números impares.
solo II.
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
14. Sea p un número real tal que su inverso aditivo es un número racional positivo NO entero. Un
valor posible para el inverso multiplicativo de p es
4
Cpech
A) – 0,333…
B)
2
C) – 1,5
D) – 0,5
E)
1,333…
Guía
15. Sean a y b números enteros positivos. Se puede determinar que (a + b + 3) es un número impar, si:
(1)
b es un número impar.
(2)(a · b) es un número impar.
A)
B)
C)
(1) por sí sola.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
(2) por sí sola.
E) Se requiere información adicional.
Ambas juntas, (1) y (2).
Estrategia de síntesis
Completa cada una de las oraciones presentadas a continuación con uno de los siguientes
conceptos: enteros positivos, racionales, inverso aditivo, inverso multiplicativo,
múltiplo, divisor, par e impar.
i)
12 es ________________ de 72, ya que el cociente entre 72 y 12 es 6.
ii)
El ________________ de 0,2 es 5, debido al valor que se obtiene a partir del
producto entre estos números.
iii)
Si n es un número entero, entonces (4n + 3) es siempre un número
________________.
iv)
El conjunto de los números naturales se conoce también como el conjunto de los
________________.
4
1
16. Sean k y m dos números enteros positivos, tales que
m = k . ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
k es divisor de 4.
II)5m es múltiplo de 10.
III)(m – k) es divisor de 6m.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Cpech
5
MATEMÁTICA
17. Un grupo de amigos participan en un juego matemático de manera que, al dictar un número
Matías le suma 2, Fernanda le suma 4 y Martina le suma 6, anotando el resultado solo si es un
número primo. Si los números dictados fueron 5, 11 y 13, entonces es correcto afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
los tres amigos tienen la misma cantidad de números anotados.
Martina tiene más números anotados que cada uno de los otros dos amigos.
Fernanda tiene la menor cantidad de números anotados, mientras que sus amigos tienen
la misma cantidad.
ninguno de los amigos tiene tres números anotados en su lista.
existe un número común que está anotado en las listas de los tres amigos.
18. La suma entre todos los números primos mayores que 7 y menores que 23 es divisible por
I)
6
II)10
III)15
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
ninguna de ellas.
19. Mariela descubrió que su edad actual es un número primo formado por dos dígitos, los cuales
también son primos. Además, notó que si intercambiaba la posición de los dígitos, se formaba
otro número primo. La edad actual de Mariela podría(n) ser
6
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
Cpech
17 años.
37 años.
53 años.
solo I.
solo II.
solo I y II.
D) solo II y III.
E) I, II y III.
Guía
20. Sea el conjunto S, formado por los números enteros positivos pares menores que 9 y el conjunto
T, formado por los números enteros positivos impares menores que 8. Entonces, se puede afirmar
que
el conjunto T está formado solo por números primos.
el conjunto S NO contiene números primos.
el conjunto S y el conjunto T NO tienen elementos en común.
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
solo II.
solo III.
solo I y II.
D) solo I y III.
E) ninguna de ellas.
21. Si a es un múltiplo de 18 y b es un múltiplo de 15, entonces el producto (a · b) siempre es divisible
por
I)27
II)36
III)45
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
solo I.
solo II.
solo I y III.
D) solo II y III.
E) I, II y III.
22. Si m es un número par positivo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)(6m + 12) es un número divisible por 4.
(
)
7m + 2
es un número entero.
B)
2
C) 3(m + 1) es un número impar.
D)
(5 – 3m) es un número negativo.
E)2(2m + 2) es un número divisible por 6.
Cpech
7
MATEMÁTICA
23. Sandra escribe números en la cuadrícula adjunta de la siguiente manera: en la primera columna
escribe el 5, el 6 y el 7, de arriba hacia abajo; en la segunda columna escribe el 8, el 9 y el 10,
de abajo hacia arriba; en la tercera columna escribe el 11, el 12 y el 13, de arriba hacia abajo; en
la cuarta columna escribe el 14, el 15 y el 16, de abajo hacia arriba; y así sucesivamente, hasta
completar toda la cuadrícula.
Con respecto a las tres filas que se forman (superior, media e inferior), es correcto afirmar que
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
la mitad de los números que forman la fila superior son números primos.
la fila media NO tiene números primos.
los números primos de la fila inferior forman una secuencia cuya diferencia es seis.
solo I.
solo II.
solo I y II.
D)
E)
solo II y III.
I, II y III.
24. Sean a y b dos números primos tales que a + b = 50, con a < b. ¿Cuál de los siguientes valores
de b produce el menor valor para la expresión (b – 40) • (9 – a)?
A)31
B)41
C) 47
D)37
E)43
25. Sean p y m dos números enteros tales que 1 < m < p. Se puede afirmar que p es un múltiplo de m, si:
8
(1) El doble de p es un múltiplo de 6m.
(2)(p + m) es un múltiplo de m.
A)
B)
C)
D)
E)
Cpech
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Guía
E)
I, II y III
Torpedo Números
Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para
comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te
podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Conjuntos numéricos
Naturales (ℕ): {1, 2, 3, 4,…}
Enteros (ℤ): {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Racionales (ℚ): son aquellos
escribirse como fracción.
que
pueden
Irracionales (ℚ*): son aquellos que no pueden
escribirse como fracción.
Reales (ℝ): unión entre el conjunto ℚ y ℚ*.
Imaginarios (𝕀): son de la forma bi, con b un
número real e i la unidad imaginaria.
Complejos (ℂ): son de la forma a + bi, con a y b
números reales e i la unidad imaginaria.
Conceptos claves
Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m.
es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el de dos o más números enteros positivos
corresponde al menor de los múltiplos que
inverso aditivo de a es – a, ya que a + (– a) = 0.
tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y
Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un 12 es 24, ya que 8 • 3 = 24 y 12 • 2 = 24.
número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Divisores de un entero: son aquellos números
b
a
Ejemplo: el opuesto multiplicativo de
, ya enteros que dividen exactamente a un cierto
es
a
b
entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los
b
a
•
que
= 1 , con a y b distintos de cero.
a
b
divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Números pares: son de la forma 2n, con n un
Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D.
número entero ({…, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}).
de dos o más números enteros positivos
Números impares: son de la forma (2n – 1), con n un corresponde al mayor de los divisores que
número entero ({…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}).
tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12
Múltiplos de un entero: son aquellos que se y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3.
obtienen al multiplicar un cierto número entero por Números primos: son aquellos números
otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, enteros positivos que solo tienen dos divisores:
20, 24, 28, 32, …}.
el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, …}.
Cpech
9
MATEMÁTICA
Regla de los signos
Adición: al sumar dos números con igual signo,
se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto
signo, se calcula la diferencia entre los números
y se mantiene el signo del que tiene mayor valor
absoluto. Ejemplos: – 3 + (– 5) = – 8 ; – 7 + 9 = 2 Prioridad en las operaciones.
Sustracción: la diferencia entre dos números es
igual a la suma entre el minuendo y el inverso 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores.
aditivo del sustraendo. Es decir, a – b = a + (– b).
2º Potencias.
Ojo: a – (– b) = a + b.
Ejemplos: 5 – 9 = 5 + (– 9) = – 4 ; 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 3º Multiplicación y división, de izquierda a
derecha.
Multiplicación y división: se calcula el producto
o cociente entre los números. El resultado será 4º Adición y sustracción, de izquierda a
positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado derecha.
será negativo si ambos tienen distinto signo.
Ejemplos: – 7 • (– 2) = 14 ; – 20 : 5 = – 4
Amplificación y simplificación de fracciones
Multiplicar o dividir el numerador y el Ejemplos:
denominador por el mismo número, sin
15 : 5
5
5•3
15 15
3
=
= • =
;
=
alterar el valor de la fracción.
20 : 5
9
9 3
27 20
4
Operaciones en los racionales
Suma y resta de fracciones: si dos Ejemplos:
fracciones tienen igual denominador,
7–5
7
5
2
=
–
=
los numeradores se suman o se restan
13
13
13
13
dependiendo de la operación. En el caso
contrario, se amplifican de modo que
4•2
4
5
5•3
8
15
23
8 + 15
+ • =
+
=
+
=
=
tengan igual denominador.
9•2
9
6
6 3
18
18
18
18
Multiplicación
de
fracciones:
se Ejemplo:
multiplican ambos numeradores y ambos
–3
denominadores.
8
•
– 3 • 4 – 12 – 12 : 12 – 1
4
=
=
=
= •
8 15 120
15
10
120 : 12
División de fracciones: se obtiene Ejemplo:
invirtiendo el divisor, para así obtener un 10
10
5
:
=
producto de fracciones.
9
9
12
10 Cpech
•
12
8
10 • 12
120 120 : 15
=
=
=
=
5
3
9•5
45 : 15
45
Guía
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad estimada
1
Comprensión
2
Comprensión
3
ASE
4
ASE
5
ASE
6
ASE
7
Comprensión
8
Comprensión
9
Comprensión
10
Comprensión
11
Comprensión
12
Aplicación
13
ASE
14
ASE
15
ASE
16
Comprensión
17
Aplicación
18
Aplicación
19
ASE
20
ASE
21
ASE
22
ASE
23
ASE
24
ASE
25
ASE
Media
Fácil
Media
Fácil
Media
Media
Media
Media
Media
Media
Fácil
Fácil
Media
Media
Media
Media
Difícil
Media
Media
Media
Media
Media
Difícil
Difícil
Media
Cpech 11
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Directora Académica
Paulina Núñez Lagos
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Pamela Martínez Fuentes
Vania Muñoz Díaz
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para utilizar
las distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones a
través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.