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Números Reales. Teoría
Matemáticas
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Números Reales. Teoría
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1.- Los números reales
¿Cuáles son los números reales? Los números reales son todos los números racionales y
todos los números irracionales. El conjunto de los números reales se designa con el símbolo ℝ.
Fíjate en que los números reales contienen los números racionales y los irracionales.
1.1 Los números racionales

El conjunto de números racionales está formado por los números enteros y las fracciones de
números enteros. Se pueden expresar como una fracción, como un decimal finito o como un
decimal infinito periódico.
Para identificar los números racionales, conviene recordar cuál es la clasificación general de
los números:
Recuerda
Los números reales (ℝ) pueden ser de distintos tipos:


Los racionales (ℚ): que, a su vez, se distinguen entre:

Los enteros (ℤ): los números naturales (ℕ) y los enteros negativos.

Los decimales exactos e infinitos periódicos.
Los irracionales.
Los números racionales son todos los números que se pueden representar como fracciones
de números enteros. También se pueden representar como números decimales exactos o
finitos, o como decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales se
designa con el símbolo ℚ.
ℚ = {‒5, ‒¼, ‒½, ‒1, 0, ¼, ½, ¾, 1, 6, ...}
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Los números racionales comprenden:

Los números enteros:

Los números naturales: son los números que usamos para contar.El conjunto de los
números naturales se designa con el símbolo ℕ.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Sus opuestos, es decir, los números negativos: ‒3, ‒2, ‒1, ..

Por último, el 0.
El conjunto de los números enteros se designa con el símbolo ℤ.
ℤ = {‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, ...}
Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar cifras decimales, por
2
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ejemplo se puede escribir 0,4. Cualquier fracción se puede escribir como un número decimal
y cualquier numero racional decimal se puede escribir en forma de fracción, a esa fracción se
le llama fracción generatriz de un número decimal.
Existen distintos tipos de números decimales:
1. Decimal exacto: La parte decimal de un número decimal exacto está
compuesta por una cantidad finita de términos.
Para hallar la fracción generatriz escribimos una fracción que tiene como numerador el
número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga.
Ejemplo:
2. Periódico puro: La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.
Ejemplo:
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número
dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por
tantos nueves como cifras tenga el período.
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3. Periódico mixto: Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y
una parte periódica o período.
Ejemplo:
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número
dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y
por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período,
seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
4. No exactos y no periódicos: Hay números decimales que no pertenecen a
ninguno de los tipos anteriores, este tipo de números se llaman irracionales y
tienen infinitas cifras decimales y no se pueden expresar en forma de fracción
Ejemplo:
√2
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2.- Operaciones con números reales
La suma y resta

Recuerda
Para resolver la operación de suma o resta con números reales, si estos están expresados
en forma de fracción y los denominadores son diferentes, tenemos que aplicar el mínimo
común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores.
Por ejemplo:
38 − 15 = 38 + (−15)
2 5
8
15
23
+ =
+
=
3 4
12 12
12
La multiplicación
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales es igual para los
números reales:
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Por ejemplo, el producto de dos o más fracciones es una fracción que tiene como numerador el
producto de los numeradores de las fracciones dadas y, como denominador, el producto de los
denominadores.
La división
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del
divisor.
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Para dividir una fracción entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda. Por
ejemplo, en el caso de la división de dos números racionales:
Por ejemplo:
−5 1
−5 ∙ 4
−20
−10
∶ =
=
=
6 4
6 ∙1
6
3
La potenciación

Para hallar la potencia de un número real, hay que aplicar la siguiente fórmula:
Donde a y b ∈ R (recordemos que b puede ser 1, en caso de que no esté representado como
fracción).
Las propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación de los números reales son las siguientes:

La potencia 0: todo número elevado a la potencia cero dará como resultado 1.

La potencia 1: todo número elevado a la potencia 1 dará como resultado el mismo número.

El producto de potencias con la misma base: se copia la misma base y se suman los
exponentes.

La división de potencias con la misma base: se copia la misma base y se restan los
exponentes.

La potencia de una potencia: se copia la misma base y se multiplican los exponentes.

El producto de potencias con el mismo exponente: se multiplican las bases y se copia el
mismo exponente.
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
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El cociente de potencias con el mismo exponente: se dividen las bases y se copia el
mismo exponente.

Para resolver una potencia negativa de números reales, bastará con invertir el número y
elevarlo a la misma potencia pero positiva.
3.- Radicales
Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un número a, al número
que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que
bn = a:
𝑛
√𝑎 = 𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑛 = 𝑎
Ejemplo:
3
Resuelve √216
1. descomponemos el radicando en factores
primos:
216
108
54
27
9
3
1
2. Como es una raíz cúbica, intentamos agrupar
los factores en tres grupos iguales:
216 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 =
3
(2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 6
2
2
2
3
3
3
3
Como 6 = 216
3
√216 = 6
Los resultados que podemos obtener al calcular una raíz n-ésima dependen de si el índice de la
raíz es par o impar.
3.1.- Producto y división de radicales
A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expresiones que nos
permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice fraccionario:
𝑛
1
√𝑎 = 𝑎 𝑛
y
𝑛
𝑚
√𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛
Ejemplo:
3
Resuelve √11 ∙ √115
1. Expresamos los radicales como potencias de
exponente fraccionario:
2. Resolvemos aplicando las propiedades de las
potencias:
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√11 ∙ √115 =
1
113
∙
1
1 5
17
5
+
3
3
2
2
11 ∙ 11 = 11
= 11 6
Podemos expresar el resultado en forma de
radical:
5
112
6
√1117
3.2.- Extracción de factores de un radical
Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar
determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz.
3
5
3 2
3
2
2
√115 = 113 = 113+ 3 = 113 ∙ 113 = 11 ∙ 113
En algunas ocasiones tendrás que descomponer el radicando para averiguar qué factores
primos lo forman.
Ejemplo:
Resuelve √180
1. Descomponemos el radicando en factores
primos:
2
2
2. Extraemos los factores fuera de la raíz cuadrada
√180 = 2 ∙ 3 ∙ √5 = 6 ∙ √5
180 = 2 ∙ 3 ∙ 5
En resumen, cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz n-ésima podemos
sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz.
3.3. Suma y resta de radicales
Ejemplo:
Resuelve √45 + 3 √20 − 11 √63
1. Descomponemos todos los radicandos en
factores primos:
2
45 = 3 ∙ 5
2
20 = 2 ∙ 5
2
63 = 3 ∙ 7
2. Extraemos todos los factores que sea posible en
cada radical:
√45 = 3 √5
√20 = 2 √5
√63 = 3 √7
Solo podemos sumar radicales si al extraer factores de ellos resultan ser el mismo radical
multiplicando por distintos números. Si esto no es así y los radicales son distintos, lo único que
podemos hacer es dejar la operación indicada.
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4.- La recta real
Podemos representar el conjunto completo de los números reales mediante una recta que
denominamos recta real.
La recta real se construye en torno al 0, situando los números positivos a si derecha u los negativos a la
izquierda. Cada número real está representado en esta recta mediante un punto. También podemos
seleccionar partes de la recta real formando los denominados intervalos y semirrectas.
3.- 1 Intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales que forman un segmento de la recta real.
Si los números que limitan dicho segmento están incluidos en el intervalo, este se denomina cerrado.
Para representar un intervalo cerrado se utilizan los corchetes.
Ejemplo: El intervalo formado por todos los números comprendidos entre 2 y 6, ambos inclusive, sería
[2,6]
Por el contrario, so los extremos del segmento no están incluidos en el intervalo se denomina abierto.
Los intervalos abiertos se representan utilizando paréntesis.
Ejemplo: El intervalo formado por todos los números comprendidos entre 2 y 6, sin incluir los extremos,
sería (2,6)
También existe la posibilidad de que el intervalo incluya solo uno de los extremos. En ese caso se llama
intervalo semiabierto.
Ejemplo: El intervalo (3,10] es un intervalo semiabierto que incluye el 10 pero no el 3.
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4.2.- Semirrectas
Las semirrectas de forman seleccionando todos los números menores o mayores que uno dado.
Un extremo de la semirrecta será un número que puede estar o no incluido en ella. El otro extremo se
representa con los símbolos +∞ 𝑜 − ∞, designamos infinito o menos infinito y que indican que el
intervalo contiene números tan grandes o pequeños como queramos.
Ejemplo:


El intervalo (2, ∞) incluye todos los números mayores que 2, pero no el 2
El intervalo (−∞, 7] incluye todos los números menores que 7, incluido el 7
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