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GUÍA PARA EL MAE STRO Matemáticas 1 SECUNDARIA PRIMER GRADO Matemáticas 1 Guía para el maestro SECUNDARIA PRIMER GRADO Primera edición: noviembre de 2014 Segunda edición: diciembre de 2016 Matemáticas 1 Guía para el maestro Texto: Milosh Santiago Trnka Rodríguez, Carlos Alberto Aguilar Ramírez y Roberto Carlos Flores Martínez Subdirección editorial: Tania Carreño King Gerencia de secundaria: Fabián Cabral Coordinación de secundaria: Mónica Noble Diseño de interiores y portada: Gustavo Hernández Edición, diagramación y pruebas: Letra Cardinal Supervisión editorial: Blanca Luz Torres Supervisión de diseño: Mónica López Coordinación de imagen: Teresa Leyva Supervisión de imagen: Sergio López Coordinación de operaciones de diseño: Gabriela Rodríguez Cruz Subdirección de logística y producción: Carlos Olvera Coordinación de producción: Ulyses Calvillo Todos los derechos reservados. D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Castillo ® es una marca registrada Insurgentes Sur 1886, Col. Florida, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01030, México, D.F. Tel.: (55) 5128-1350 Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899 Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan www.grupomacmillan.com www.edicionescastillo.com infocastillo@grupomacmillan.com Lada sin costo: 01 800 536 1777 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 3304 Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor. Presentación La práctica docente exige diferentes recursos para lograr una educación de calidad. Conscientes de ello, en Ediciones Castillo queremos contribuir desde nuestras posibilidades a que su trabajo sea más sencillo. Como una muestra de ese compromiso, hemos renovado la guía para el maestro de nuestros títulos de la serie Explora: se trata una herramienta que facilitará su trabajo diario en el aula porque incluye sugerencias y respuestas, página a página, para el libro del alumno. Además de brindar las recomendaciones para instrumentar el trabajo en el aula, esta nueva guía Explora incluye: • El solucionario correspondiente a las evaluaciones Ponte a prueba ENLACE y Ponte a prueba PISA que contiene el libro del alumno • Avance programático bimestral La nueva guía que ponemos a su alcance tiene como objetivo acompañarlo en cada etapa del proceso de trabajo con las secuencias didácticas, señalando elementos de utilidad: conceptos, habilidades, actitudes, propósitos de las actividades, así como cada momento de las secuencias (Inicio a partir de lo que sé, Resuelvo y aprendo y Consolido mis aprendizajes). Los que participamos en la elaboración de esta nueva guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida. Los editores © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Índice Estructura de la guía El trabajo con secuencias didácticas Evaluación Recursos digitales para el docente Avance programático Bloque 1 S1. Dos maneras de escribir el mismo número Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S2. Fracciones, decimales y la recta numérica Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S3. Fracciones más, fracciones menos Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S4. ¿Cuál sigue? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S5. Fórmulas y figuras © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 4 8 9 10 11 18 18 18 23 24 24 25 28 29 29 30 32 33 33 33 37 38 Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S6. Con regla, escuadra y compás Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S7. Rectas y puntos notables del triángulo Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S8. El que parte y reparte Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S9. Juguemos un poco Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 38 39 42 43 43 43 48 49 49 50 56 57 57 57 60 62 62 63 66 Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé 67 70 72 73 Bloque 2 S10. ¿Divide o no? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S11. Divisores y múltiplos que se comparten Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S12. Cuando las fracciones y los decimales se combinan Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S13. Fracción de una fracción Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S14. A la misma distancia Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S15. Marcos de madera de lados iguales Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 76 76 77 79 81 81 81 85 86 86 87 88 90 90 91 93 94 94 95 99 100 100 101 105 S16. Si una cambia, ¿la otra también? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 106 106 107 110 Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé 111 114 116 117 Bloque 3 S17. Los decimales de cada día Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S18. Entre decimales te verás Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S19. El número desconocido Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S20. ¿Cómo lo construyo? 120 120 121 124 125 125 126 129 130 131 131 134 135 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S21. Áreas y perímetros de polígonos regulares Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S22. Ampliar o reducir Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S23. La anticipación de resultados Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S24. Lectura de la información Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 135 136 140 141 141 141 145 146 146 147 150 151 151 151 156 157 157 157 162 Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé 163 166 168 169 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Bloque 4 S25. Hacia adelante o hacia atrás Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S26. Pistas para trazar circunferencias Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S27. Longitud de la circunferencia y el área del círculo Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S28. Donde hay tres, hay cuatro Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S29. ¿De qué tamaño era? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S30. ¿De cuántas formas...? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo 172 172 173 176 177 177 178 181 182 182 182 186 188 188 188 192 193 193 194 197 198 198 198 Consolido mis aprendizajes S31. Información en gráficas Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 203 204 204 205 208 Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé 209 212 214 215 Bloque 5 S32. Enteros más, enteros menos Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S33. Notación científica: lo grande y lo pequeño Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S34. ¿Cuánto mide el lado? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 218 218 219 221 223 223 223 227 228 228 229 233 S35. ¿Cuál es la regla? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S36. Problemas de área y perímetro del círculo Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S37. Cambia aquí y cambia allá Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes 234 234 235 239 240 240 241 245 246 246 247 250 Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé 251 253 255 256 Guía rápida de GeoGebra Bibliografía 257 259 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Estructura de la guía Avance programático Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula atendiendo los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar (por temas o secuencias didácticas), además de las semanas y horas sugeridas para abordarlos. Avance programático Bloque 1 Semanas Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico 1 1y2 2y3 3y4 5y6 6y7 Forma, espacio y medida 4y5 Manejo de la información 7y8 8y9 9 y 10 Tema Secuencia 1. Dos maneras de escribir el mismo Números y sistemas de número numeración 2. Fracciones, decimales y la recta numérica Problemas aditivos Páginas 18-23 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. 24-28 29-32 3. Fracciones más, fracciones menos Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. 4. ¿Cuál sigue? Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. 33-37 5. Fórmulas y figuras Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. 38-42 Patrones y ecuaciones Figuras y cuerpos Contenido Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. 6. Con regla, escuadra Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego y compás de geometría. 43-48 7. Rectas y puntos Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, notables del triángulo mediatrices y bisectrices en un triángulo. 49-56 Proporcionalidad y funciones 8. El que parte y reparte Resolución de problemas de reparto proporcional. 57-61 Nociones de probabilidad 9. Juguemos un poco Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. 62-66 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 67-73 11 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Bloque 3 13 14 14 y 15 15 y 16 16 y 17 Contenido Páginas Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. 76-80 11. Divisores y múltiplos que se comparten Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 81-85 Problemas aditivos Patrones y ecuaciones 12. Cuando las fracciones y los decimales se combinan Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. 86-89 Problemas multiplicativos 13. Fracción de una fracción Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. 90-93 Figuras y cuerpos 14. A la misma distancia Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. 94-99 Medida 15. Marcos de madera de lados iguales Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. 100-105 Números y sistemas de numeración Proporcionalidad y funciones 16. Si una cambia, ¿la otra también? Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 12 Semanas 17 y 18 18 y 19 19 y 20 20 y 21 21 y 22 22 23 106-110 24 111-117 24 y 25 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Secuencia 10. ¿Divide o no? Forma, espacio y medida 12 y 13 Manejo de la información 11 y 12 Tema Manejo de la información Eje 10 y 11 Forma, espacio y medida Semanas Sentido numérico y pensamiento algebraico Bloque 2 Tema Problemas multiplicativos Secuencia Contenido Páginas Resolución de problemas que impliquen 17. Los decimales de la multiplicación de números decimales cada día en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. 120-124 18. Entre decimales te verás Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Patrones y ecuaciones 19. El número desconocido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c, números naturales, decimales o fraccionarios. 130-134 Figuras y cuerpos 20. ¿Comó lo construyo? Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. 135-140 Medida 21. Áreas y perímetros de polígonos regulares Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. 141-145 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. 146-150 Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad 22. Ampliar o reducir 23. La anticipación de resultados Análisis y 24. Lectura de la representación de datos información Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 125-129 151-156 157-162 163-169 13 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 4 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Bloque 1 • Conoce y utiliza las convenciones • Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente. Inicio de bloque Al inicio de cada bloque encontrará los aprendizajes esperados, las competencias que se favorecen y un resumen de los conocimientos que se estudiaron. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de los estudios de la escuela primaria, en el primero y el segundo contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas que emplean números fraccionarios. Por otra parte, el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige un nivel mayor de abstracción para el estudiante. La simbolización comienza con el contenido en el que las literales corresponden a números generales. Aprendizajes esperados • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. Competencias que se favorecen para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. Conceptos principales S1S1Fracción Fraccióndecimal, decimal,fracción fracciónirreducible, irreducible, número número decimal periódico. periódico, S2truncamiento, Recta numérica, redondeo. escala, fracciones intercaladas. S2S3Recta Sumanumérica, y resta de fracciones. unidad como referencia de medida, densidad S4numérica. Sucesiones, elemento de una sucesión, progresión aritmética, S3 Suma progresión y restageométrica. de fracciones. S4S5Sucesiones, Literales, operaciones elemento decon unaliterales, sucesión,expresión consecutivo algebraica, en una suceárea, sión, perímetro. progresión aritmética, progresión geométrica. S5S6Fórmulas Triángulos, de cuadriláteros. perímetros y áreas de figuras geométricas, literal. S6S7Triángulos, Alturas y medianas cuadriláteros, de unregla, triángulo, compás, mediatrices transportador, y bisectrices escuadra.en S7 Alturas un triángulo; y medianas ortocentro, de un baricentro, triángulo, mediatrices circuncentroyebisectrices incentro. en S8unProporción, triángulo; ortocentro, reparto proporcional. baricentro, circuncentro e incentro. S8S9Proporción, Juegos de reparto azar, procesos proporcional. aleatorios. S9 Juegos de azar, procesos aleatorios. Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados al trazado de las figuras más elementales y al de las líneas y puntos notables del triángulo, construcciones que, por sí mismas, son importantes dentro de la geometría pero que, además, resultan prácticas e indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques. Manejo de la información. En este bloque los contenidos son introductorios a los temas de este eje: por una parte, la proporcionalidad se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y práctica de juegos sencillos de azar. Los juegos de azar son juegos en los que ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador. 16 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA S34 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. Antecedentes • Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Ideas erróneas 1. Es posible que el estudiante no sepa exactamente cuál es el significado de exponente y piense vagamente que afecta la base. Puede suponer que es lo mismo elevar un número a una potencia que multiplicar la base por la potencia. 2. Puede también pensar que es verdadera la expresión m m 2m. Inicio a partir de lo que sé Página 228 34 BLOQUE 5 Inicio a partir de lo que sé (Continúa de la página 228) 2. Respondan las preguntas a partir de la figura 34.3. Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema. Resuelvo y aprendo Julián colocará losetas en pisos cuadrados con las dimensiones que se muestran en la figura 34.1. Potenciación Fig. 34.1 1. Puntos en la base Fig. 34.3 C B A a) ¿Cuántos cubos pequeños hay en cada arista? 2 3 . b) ¿Cuántos cubos pequeños caben en el cubo grande? 7.5 m 9m 10.4 m Piso A = Piso B = Piso C = 4 . c) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar este último . resultado? a) ¿Cuál es el área que debe cubrir en cada uno de los pisos? 3. Cierto producto se distribuye en cajas como las de la figura 34.4. La potenciación es una operación en la que se multiplica un mismo número dos o más veces. Por ejemplo, 3 3 3 3 = 34. Los elementos de una potenciación son: b) Si cada loseta mide 30 30 cm, ¿cuántas debe comprar para cada piso? Piso A = Piso B = Paquete con 6 piezas. Piso C = Resuelvo y aprendo Fig. 34.4 Exponente Potenciación 34 = 81 Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas a) 56.25 m2, 81 m2, 108.16 m2. b) 625, 900, 1 202. a) ¿Cuántas piezas en total contiene la caja grande? . Base b) ¿Cómo obtuvieron el resultado? 1. Completen la tabla de acuerdo con la figura 34.2. . c) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el resultado? Sugerencia didáctica. Pida a los estudiantes que analicen las cantidades que están comparando: longitudes, áreas, volúmenes, etcétera. Así observarán qué cantidad de una (loseta) cabe en cierta cantidad de otra (piso). Al tener la medida de las áreas de los pisos se darán cuenta de que necesitan la de las áreas de las losetas. Conviene que mencione que para que sea posible compararlas se deben presentar en las mismas unidades: cm2, m2, etcétera. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 17 ¿Cuánto mide el lado? Sugerencias didácticas En cada etapa de la secuencia hallará algunas sugerencias didácticas. 17 17 16 . Puntos en la base 2 3 4 5 6 b) ¿Cómo obtuvieron el resultado? totales de la figura con 4 puntos en la base? . b) ¿Y para una figura con 16 puntos en la base? c) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el resultado? . . . 228 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 228 9 a) 4 4 b) 16 16 Página 229 2. a) 4 b) 64 c) 4 4 4 Sugerencia didáctica. En este ejercicio se retoma lo que se planteó al principio: ¿cuánto (o qué cantidad) de un objeto de un tipo cabe en otro objeto del mismo tipo (cantidad)? En la situación inicial se comparan metros cuadrados con metros cuadrados, y en este caso cubos con cubos. 3. a) 1 296 b) R. M. Multiplicando 6 por sí mismo cuatro veces. c) 6 6 6 6 4. a) 63 b) Multiplicando 2 por sí mismo cinco veces, más 2 por sí mismo cuatro veces, más 2 por sí mismo tres veces, más 2 por sí mismo dos veces, más 2 más 1. c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 63 a) Si el mensaje fue repetido 5 veces, ¿cuántos alumnos hay en el grupo? . Puntos totales a) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el número de puntos 4 16 25 36 Potencia donde el exponente indica el número de veces que la base se toma como factor. La expresión se lee "tres elevado a la cuarta potencia". 4. Rocío comentó a dos compañeros que el próximo jueves habrá un examen. Cada compañero le avisó a otros dos y así sucesivamente hasta que todos se enteraron. Fig. 34.2 Puntos totales 5 6 229 229 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Solucionario Se han incluido las respuestas a las actividades del libro del alumno. Encontrará la leyenda R. L. (respuesta libre) cuando sea el caso, o bien, si se trata de respuesta modelo aparecen las iniciales R. M. 5 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Habilidades digitales Hacia el final del bloque se presentan sugerencias didácticas y las respuestas de esta sección. BLOQUE 3 BLOQUE 3 Habilidades digitales Habilidades digitales Página 165 Página 163 Construcción de un pentágono a partir de círculos A (fig. 3.H.7)? Sugerencia didáctica. Indique que, siguiendo el procedimiento para trazar un pentágono, exploren cómo podrían construir un hexágono a partir de círculos y si es posible hacerlo con otros polígonos regulares. Traza una recta AB y una recta perpendicular a ella en el punto. Después, dibuja dos circunferencias con radio AB; una con centro en A y otra con centro en B (fig. 3.H.1). Respuestas b) ¿Qué polígono se forma uniendo los puntos A, B, J, I, K y b) Un pentágono regular. a) 540° b) Para seguir teniendo un pentágono regular, los otros lados deben cambiar con la misma modificación. c) Los ángulos siguen teniendo la misma medida. . Respuestas • El punto E en la imagen. • Perpendicular a AB. Fig. 3.H.7 Fig. 3.H.1 Traza la recta que pasa por las intersecciones C y D. Marca la intersección E (fig. 3.H.2). Oculta todos los objetos que no forman parte del polígono y obtén las medidas de sus lados y sus ángulos internos (fig. 3.H.8). Contesta: ¿Cuál es el punto medio entre A y B? Contesta: . ¿Qué tipo de recta es la CD? a) ¿Cuánto da la suma de sus ángulos internos? . . b) Si modificas un lado, ¿qué ocurre con los otros lados? Fig. 3.H.2 . Fig. 3.H.8 c) ¿Y qué ocurre con los ángulos internos? . Marca la intersección F y traza un círculo de radio EF con centro en E. Marca la intersección H (fig. 3.H.3). Fig. 3.H.3 165 163 163 Ponte a prueba PISA Incluye las respuestas a la sección Ponte a Prueba PISA. 165 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. BLOQUE 2 Ponte a prueba PISA Lee la situación y el texto 1 y responde las preguntas correspondientes. Respuestas 1. Número de envases Número de envases Sabor 1 200 Piña 700 Mango 400 Fresa Número de envases 100 por caja Sabor 1 200 Piña 700 Mango 400 Fresa Número de envases 8 por caja 2. a) Coincidirán de nuevo a los 24 m. b) Coincidirán de nuevo a los 7 200 s, es decir, a las 2 h. 3. a) Se pueden hacer 21 bolsas. b) R. M. La maestra Lourdes de Español le propuso a su grupo realizar un proyecto de investigación. El tema que entredetodos fueque el sexismo el sabores español diferentes, y definierondebe estoselegir subtemas: 1. Sexismo, 2. Sexismo y lengua 1.eligieron Una fábrica yogur, produceen tres entre dos opciones de producción de y 3. una El español, Se propusieron si nuestra es o no sexista. misma ¿sexista? presentación de envase, descubrir de modo que cumplalengua las siguientes condiciones de empaque: se debe ocupar el mínimo número de cajas posible; cada caja debe contener envases de un solo sabor, y todas las cajas deben contener la misma cantidad de envases, sin que sobre ninguno. Para cada opción, indica la cantidad Definicióndedeenvases sexismoque lingüístico habría en cada caja y marca con una la opción en la que será posible acomodar la mayor cantidad de envases por caja. Un hablante incurre en sexismo lingüístico cuando emite un mensaje que, debido a su forma (es decir, debido a las palabras escogidasNúmero o al modo de enhebrarlas) y no a su fondo, resulta Númerodiscriminatorio por razón de sexo. Por Sabor Sabor envases el contrario, cuando ladediscriminación se debe al fondo del mensajedeyenvases no a su forma, se incurre en sexismo social. 1200la realidad, sexista Piña o no, puede describirse 1224 Una misma situación de con un mensajePiña sexista o no. Sexismo social y sexismo lingüístico están entre sí pero no deben identificarse. 700relacionados Mango 512 Mango Ejemplos: Quien diga que son menos inteligentes que los 400 Las mujeresFresa 128hombres incurrirá Fresa en sexismo social pero no en sexismo lingüístico; inteligentes por igual, no incurre en Númeroendecambio, envasesla frase Los varones y las hembras Número son de envases sexismo social pero por sí en sexismo lingüístico, por emplear la voz hembras caja por caja en vez de mujeres. La frase A la manifestación acudieron muchos funcionarios y también muchas mujeres describe una situación no sexista con 2.una Al frase completar unaenvuelta enlauna pista la distancia recorrida es depor 1500 m. varones En esa pista corredordescribe sexista; cambio, frase El consejo estaba compuesto once y treselmujeres una A da una situación sexista una fraseBno ensexista. 8 min y un ciclista completa una vuelta en 150 s. Los tres parten del mismo vuelta en 6 min,con el corredor punto en el mismo sentido y al mismo tiempo. Responde lo siguiente y justifica tus respuestas. Álvaro García Meserguer, “El español, una lengua no sexista”, http://ddd.uab.cat/pub/elies/elies_a2002v16/ Garcia.html a) ¿Cuándo será la siguiente vez que coincidan los corredores A y B en el mismo punto? . b) ¿Cuándo volverán a coincidir después del inicio los corredores y el ciclista? Rollo de ate Gloria Cocadas 42 126 105 Alegrías Muéganos 115 Fruta cristalizada 84 Página 115 4. Un escultor quiere poner, como parte de su obra, una escalera como se muestra en el bosquejo siguiente. Ponte a prueba PISA Página 114 . 3. Jessica y Fabián harán una fiesta y regalarán bolsas surtidas de dulces tradicionales mexicanos. Las cantidades que compraron se muestran en la siguiente tabla. 210 Rollo de ate Glorias Cocadas Alegrías Muéganos Fruta cristalizada 70 200 160 110 85 215 Respuestas 4. a) No podrá formarlos. La altura de la obra es de 2 3 m ... ... cada escalón debe ser de 1 m, pero 13 3 2 5 m 5 sólo puede poner 13 escalones. 2 4 5 m 1 a) El escultor decide que el alto de cada escalón debe ser de 5 m y requiere 14 escalones según su obra. ¿Podrá formarlos? ¿Por qué? . 1 b) El escultor decide que quiere más escalones, así que reduce la altura de los mismos a 10 m. Si no cambia la altura, ¿cuántos escalones podrá formar el escultor? . 5 1 5 5 13 m y 5 13, entonces b) 26 escalones 5. a) El pozo de agua, el corral, la casa y el poste de luz forman un cuadrado, por lo que la bisectriz y la diagonal coinciden. b) Las bisectrices y mediatrices de un cuadrado intersecan en un punto. Además, el segmento de recta formado por los árboles frutales y la bodega, y el formado por el pozo de agua y el poste de luz, miden lo mismo y son paralelos, entonces las mediatrices de ambos coinciden. 5. Observa el croquis de abajo, el cual representa la distribución que hay en una finca. A partir de la información que muestra, justifica por qué las siguientes afirmaciones son correctas. a) Al trazar un segmento de recta que sea bisectriz del ángulo formado por el pozo de agua, el corral y la casa, coincidirá con el poste de luz. . b) Al trazar la mediatriz del segmento de recta formado al unir los árboles frutales y la bodega, ésta coincide con el cruce de las bisectrices del cuadrado formado por el corral, la casa, el poste de luz y el pozo de agua. . a) En cada bolsa, Jessica pone 2 rollos de ate, 6 glorias y 5 cocadas. Luego, Fabián, pone 5 alegrías, 4 muéga- Corral 20 m Pozo de agua Árboles frutales Poste de luz Bodega nos y 10 frutas cristalizadas. ¿Cuántas bolsas se pueden hacer con las cantidades mencionadas? . b) Completa la tabla que sigue con las cantidades que deben comprar para hacer las bolsas con las cantidades 20 m del inciso a) sin que sobre algún dulce. Rollo de ate Glorias Cocadas Alegrías Muéganos Fruta cristalizada Casa 30 m 115 114 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 6 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 114 115 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. BLOQUE 5 Ponte a prueba ENLACE 1. La solución a la operación 7 a) 8.125 b) 8.75 c) 9.25 d) 9 5 8 1.75 es: Ahora sé En esta sección se proponen algunas sugerencias para trabajar esta autoevaluación. AHORA SÉ Ponte a prueba ENLACE Ahora sé Página 255 Página 256 Respuestas Sugerencia didáctica. En esta última evaluación pida a los alumnos que revisen los comentarios y sugerencias hechos en los bloques anteriores para observar el avance que tuvieron durante el año escolar. Respecto de los contenidos de difícil comprensión, haga un repaso de sumas y restas con números enteros, problemas de proporcionalidad y cálculo de áreas y perímetros de figuras, incluido el círculo. También es importante pedir a los alumnos que evalúen el trabajo docente en el aula, ya que la responsabilidad del proceso enseñanza-aprendizaje es compartida. 1. a. 2. a. 3. a. 4. a. 5. d. 2. ¿Cuál es el perímetro y el área de una circunferencia cuyo radio mide 1.5 cm? a) P = 3 cm, A = 2.25 cm2 b) P = 1.5 cm, A = 2.25 cm2 c) P = 3 cm, A = 1.5 cm2 d) P = 1.5 cm, A = 1.5 cm2 Ahora sé Autoevaluación Marca con una la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y responde la pregunta. ¿Lo logré? Aprendizaje esperado Sí No ¿Cómo puedo mejorar? Resuelvo problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Uso la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Resuelvo problemas que implican el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. Obtengo la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Uso la fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Resuelvo problemas de proporcionalidad múltiple. 1 3. El siguiente cuadrado tiene un área de 36 cm2 y el vértice a del triángulo azul se encuentra a 3 de la medida del lado correspondiente del cuadrado. La base y la altura, en cm, del triángulo verde son, respectivamente: a) 6 y 4 b) 2 y 6 c) 6 y 2 d) 4 y 6 Coevaluación La siguiente tabla es para evaluar a cada uno de tus compañeros de equipo. Anota su nombre y responde sí o no a los indicadores propuestos. Es muy importante que seas objetivo, pues tus comentarios deben servir para que tu compañero mejore su desempeño. a Nombre de mi compañero 4. La regla que define la sucesión numérica 7, 12, 17, 22,… es: a) 5n 2 b) 5n 2 c) 4n 3 d) 4n 3 Indicador No Tú le recomiendas… Con tu maestro Revisen con su maestro, las tablas. Después, en grupo y con el apoyo de su maestro elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su desempeño en equipo. 255 255 256 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 256 GUÍA RÁPIDA DE GEOGEBRA GUÍA RÁPIDA DE GEOGEBRA GeoGebra es un software libre de Matemáticas que te permite trazar una gran variedad de figuras geométricas, al tiempo que estudias sus propiedades, pues los trazos se pueden modificar de manera dinámica. Descárgalo sin costo en www.geogebra.org/cms/ Exploración de GeoGebra Idioma. Abre la ventana de GeoGebra; si los menús se encuentran en inglés, selecciona la siguiente secuencia de la barra de menús: Options, Language, R-Z y Spanish. Una ventana de GeoGebra se ve de la siguiente forma: Barra de herramientas Vista algebraica Guía rápida de GeoGebra Página 261 Página 260 Sugerencia didáctica. Para conocer y familiarizarse con el software también pida que revisen el menú principal. Ahí encontrarán las opciones que tienen al trabajar con los archivos, como crear uno nuevo, guardar, imprimir. Además hay otras herramientas como el teclado virtual o tamaño de letra. Haga notar que ahí también se muestran los comandos de teclado con los que pueden realizarse funciones como copiar, pegar o deshacer, entre otras, que son de gran utilidad al trabajar. Sugerencia didáctica. Antes de realizar actividades con el software de geometría dinámica permita a los estudiantes que exploren algunas de las funciones. Pida que observen cómo cambia el área de trabajo al elegir alguna de las opciones del botón “Apariencias” que está en el costado derecho. Pida que que abran la lista de funciones que hay en cada botón y observen qué efecto realiza cada una. Además de explorar los botones de herramientas, solicite que hagan cambios en la “Vista gráfica”, por ejemplo, quitar y poner ejes o cambiar la escala de proporción entre ellos, etcétera. Este botón sirve para colocar un punto en cualquier lugar de la vista gráfica. Al dar clic en el triángulo pequeño invertido encontrarás herramientas para construir puntos libres, puntos de intersección y puntos medios. En éste se localizan todas las herramientas que te permiten construir rectas, segmentos de recta, semirrectas y vectores. En particular, al presionar este botón se puede trazar una recta. Este botón sirve para trazar rectas perpendiculares a otra, o a un segmento, o a una semirrecta. También cuenta con un menú que contiene rectas paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices y otros tipos de rectas. En éste se encuentran las herramientas que sirven para hacer polígonos regulares e irregulares. Por su parte, de este botón se despliega un menú que contiene las herramientas para construir circunferencias, semicircunferencias, arcos y sectores circulares. Vista gráfica En cambio, con este botón puedes construir una elipse a partir de tres puntos. Además, en su menú hay herramientas para construir otros tipos de curvas. Este botón muestra las herramientas que permiten medir longitudes, ángulos, áreas. Este botón sirve para reflejar un objeto en una recta. Con el menú que tiene se pueden trasladar las figuras, rotarlas o reflejarlas. Vista Gráfica. Esta vista será tu zona de trabajo. Aquí es donde se construyen figuras geométricas, se colocan puntos, se hacen rectas y segmentos de recta, se trazan ángulos, etcétera. Este botón tiene como función insertar texto. Algunas de las herramientas que encontrarás son: “Insertar imágenes” o “Lápiz”. Vista Algebraica. En esta sección se encuentra la representación algebraica de todos los elementos de la vista gráfica. Con este botón se puede insertar un deslizador en la vista gráfica. Y con las herramientas del menú que contiene podrás agregar botones, campos de texto y agregar o quitar texto. Barra de herramientas. A continuación se muestran los botones de algunas herramientas de GeoGebra, cada una tiene un triángulo pequeño invertido: si das clic en alguno, aparecerán otras herramientas. Con este botón puedes mover la hoja de trabajo. Además de que aquí se encuentran las herramientas para alejar o acercar las figuras. Guía rápida de GeoGebra Incluye algunas sugerencias didácticas para comenzar a explorar el software de geometría dinámica. Otros botones que se encuentran en la barra de herramientas y que suelen ser muy útiles son: Las funciones de los botones que aparecen en la barra de herramientas son: Deshacer y rehacer acciones. Con este botón se pueden seleccionar y mover elementos dentro de la zona de trabajo. Al dar clic en el triángulo pequeño invertido encontrarás las herramientas que permiten mover elementos, rotarlos o registrar valores en una hoja de cálculo. 257 260 Sí Se integró el equipo y mantuvo una actitud participativa Asistió a todas las reuniones acordadas por el equipo. Mostró entusiasmo en clases y reuniones del equipo. Cumplió en tiempo y forma con las tareas asignadas. Aportó ideas originales y creativas para la realización de las actividades. Comunico en forma clara y cordial al equipo sus ideas respetando las opiniones de sus compañeros y estableciendo sus propios puntos de vista. 5. Un comerciante que vende chocolates compra 20 cajas de 100 unidades en $1500. ¿Cuánto paga por 5 chocolates y cuántos recibe por $3? a) Por 5 chocolates paga $3.50 y por $3 recibe 3 chocolates. b) Por 5 chocolates paga $3.75 y por $3 recibe 3 chocolates. c) Por 5 chocolates paga $3.50 y por $3 recibe 4 chocolates. d) Por 5 chocolates paga $3.75 y por $3 recibe 4 chocolates. Guía rápida de GeoGebra Ponte a prueba ENLACE Contiene las respuestas a los reactivos de esta evaluación. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Propiedades. Ayuda para conocer el funcionamiento de las herramientas. Explora las herramientas de GeoGebra. Practica tus conocimientos de geometría con este programa. 258 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 261 7 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. El trabajo con secuencias didácticas U na secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje. Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares relacionados con dicho aprendizaje. En esta fase es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen los libros. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de nuevos conocimientos. En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro del aprendizaje esperado. De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados. 8 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Evaluación La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA. En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar. Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial. En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas. 9 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Recursos digitales para el docente L a propuesta de Ediciones Castillo tiene en cuenta que los docentes requieren una diversidad de recursos para la enseñanza y, por esto, presenta una oferta variada y flexible en distintos soportes. Así, para apoyarlo en sus tareas de planeación y evaluación, le sugerimos el uso de los siguientes Recursos digitales para el docente: • Planificador editable por libro. Es la versión digital del “Avance programático” incluida en la guía del maestro. Su formato permite personalizar los datos de la escuela, el grupo y la asignatura. Funciona en cualquier sistema operativo y puede guardarse en su equipo e imprimirse. Adicional a la articulación entre el contenido de los libros, la dosificación y el currículo de secundaria, se incluyen sugerencias didácticas y recomendaciones de libros, películas y páginas de internet. Al presentar estos elementos de manera vinculada, se facilita la labor del docente, puesto que se ven el contenido, el aprendizaje esperado, el tiempo aconsejado, las páginas del libro, las sugerencias didácticas y las recomendaciones de otros recursos, por bloque. • Generador de exámenes. Genera exámenes bimestrales y finales para cada asignatura, lo que brinda otros medios para evaluar a los alumnos y los familiariza con dicha evaluación. De manera sencilla, el docente puede generar exámenes seleccionando los reactivos que considere adecuados para el grupo. En éstos se incluye un espacio para que los alumnos registren su nombre, grupo y la fecha. Pueden imprimirse en dos versiones: para el alumno y para el maestro, en la que se marca la respuesta correcta de cada reactivo. Además, los Recursos digitales para el docente incluyen el primer bloque del libro del alumno en formato digital para que el profesor revise su estructura y conozca la propuesta didáctica; la Guía para el maestro puede descargarse e imprimirse para trabajar en clase las sugerencias incluidas, y recomendaciones de ligas vinculadas con los contenidos de cada bloque. Visite el Centro de Recursos Digitales para docentes; donde encontrará las herramientas anteriores y otras más: www.edicionescastillo.com/CRD_secundaria.html 10 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Avance programático Bloque 1 2y3 3y4 4y5 5y6 6y7 7y8 8y9 9 y 10 Sentido numérico y pensamiento algebraico 1y2 Forma, espacio y medida 1 Eje Manejo de la información Semanas Tema Secuencia 1. Dos maneras de escribir el mismo Números y sistemas de número numeración 2. Fracciones, decimales y la recta numérica Problemas aditivos Contenido Páginas Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. 18-23 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. 24-28 3. Fracciones más, fracciones menos Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. 29-32 4. ¿Cuál sigue? Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. 33-37 5. Fórmulas y figuras Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. 38-42 Patrones y ecuaciones 6. Con regla, escuadra Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego y compás de geometría. 43-48 7. Rectas y puntos Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, notables del triángulo mediatrices y bisectrices en un triángulo. 49-56 Proporcionalidad y funciones 8. El que parte y reparte Resolución de problemas de reparto proporcional. 57-61 Nociones de probabilidad 9. Juguemos un poco Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. 62-66 Figuras y cuerpos Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 67-73 11 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Eje 10 y 11 12 y 13 13 14 14 y 15 15 y 16 16 y 17 Manejo de la información 11 y 12 Forma, espacio y medida Semanas Sentido numérico y pensamiento algebraico Bloque 2 Tema Secuencia Contenido Páginas 10. ¿Divide o no? Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. 76-80 11. Divisores y múltiplos que se comparten Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 81-85 Problemas aditivos Patrones y ecuaciones 12. Cuando las fracciones y los decimales se combinan Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. 86-89 Problemas multiplicativos 13. Fracción de una fracción Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. 90-93 Figuras y cuerpos 14. A la misma distancia Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. 94-99 Medida 15. Marcos de madera de lados iguales Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. 100-105 Proporcionalidad y funciones 16. Si una cambia, ¿la otra también? Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. 106-110 Números y sistemas de numeración Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 12 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 111-117 Bloque 3 19 y 20 20 y 21 21 y 22 22 23 24 24 y 25 Sentido numérico y pensamiento algebraico 18 y 19 Forma, espacio y medida 17 y 18 Eje Manejo de la información Semanas Tema Problemas multiplicativos Secuencia Contenido Páginas Resolución de problemas que impliquen 17. Los decimales de la multiplicación de números decimales cada día en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. 120-124 18. Entre decimales te verás Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. 125-129 Patrones y ecuaciones 19. El número desconocido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c, números naturales, decimales o fraccionarios. 130-134 Figuras y cuerpos 20. ¿Comó lo construyo? Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. 135-140 Medida 21. Áreas y perímetros de polígonos regulares Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. 141-145 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. 146-150 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. 151-156 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. 157-162 Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad 22. Ampliar o reducir 23. La anticipación de resultados Análisis y 24. Lectura de la representación de datos información Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 163-169 13 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Eje 25 y 26 26 y 27 27 y 28 Forma, espacio y medida Semanas Sentido numérico y sistemas de numeración Bloque 4 29 y 30 30 y 31 31 32 Manejo de la información 28 y 29 Tema Secuencia Números y sistemas de 25. Hacia adelante o numeración hacia atrás Contenido Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Páginas 172-176 Figuras y cuerpos 26. Pistas para trazar circunferencias Medida Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la 27. Longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). circunferencia y el Explicitación del número (pi) como la razón entre la longitud área del círculo de la circunferencia y el diámetro. 182-187 28. Donde hay tres, hay cuatro Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. 188-192 29. ¿De qué tamaño era? Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. 193-197 30. ¿De cuántas formas...? Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. 198-203 31. Información en gráficas Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la epresentación gráfica más adecuada. 204-208 Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 14 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 177-181 209-215 Semanas Eje 32 y 33 Sentido numérico y pensamiento algebraico Bloque 5 33 y 34 34 y 35 Problemas aditivos Problemas multiplicativos 32. Enteros más, enteros menos Contenido Páginas Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. 33. Notación científica: lo Uso de la notación científica para realizar cálculos en los grande y lo pequeño que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. 218-222 223-227 228-233 Patrones y ecuaciones 35. ¿Cuál es la regla? Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. 234-239 36. Problemas de área y perímetro del círculo Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. 240-245 37. Cambia aquí y cambia allá Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. 246-250 Forma, espacio y medida Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. 36 y 37 Medida 37 y 38 Proporcionalidad y funciones 38 Secuencia 34. ¿Cuánto mide el lado? Manejo de la información 35 y 36 Tema Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé. 251-256 15 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Bloque 1 Competencias que se favorecen • • • • Resolver problemas de manera autónoma. Comunicar información matemática. Validar procedimientos y resultados. Manejar técnicas eficientemente. Aprendizajes esperados • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. Conceptos principales S1S1Fracción periódico, Fraccióndecimal, decimal,fracción fracciónirreducible, irreducible, número número decimal periódico. redondeo. S2truncamiento, Recta numérica, escala, fracciones intercaladas. S2S3Recta unidad como referencia de medida, densidad Sumanumérica, y resta de fracciones. S4numérica. Sucesiones, elemento de una sucesión, progresión aritmética, S3 Suma y restageométrica. de fracciones. progresión S4S5Sucesiones, elemento decon unaliterales, sucesión,expresión consecutivo en una suceLiterales, operaciones algebraica, área, sión, progresión aritmética, progresión geométrica. perímetro. S5S6Fórmulas de cuadriláteros. perímetros y áreas de figuras geométricas, literal. Triángulos, S6S7Triángulos, cuadriláteros, compás, transportador, escuadra.en Alturas y medianas de unregla, triángulo, mediatrices y bisectrices S7 Alturas y medianas de un baricentro, triángulo, mediatrices un triángulo; ortocentro, circuncentroyebisectrices incentro. en triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro. S8unProporción, reparto proporcional. S8S9Proporción, proporcional. Juegos de reparto azar, procesos aleatorios. S9 Juegos de azar, procesos aleatorios. Los juegos de azar son juegos en los que ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador. 16 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 16 Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de los estudios de la escuela primaria, en el primero y el segundo contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas que emplean números fraccionarios. Por otra parte, el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige un nivel mayor de abstracción para el estudiante. La simbolización comienza con el contenido en el que las literales corresponden a números generales. Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados al trazado de las figuras más elementales y al de las líneas y puntos notables del triángulo, construcciones que, por sí mismas, son importantes dentro de la geometría pero que, además, resultan prácticas e indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques. Manejo de la información. En este bloque los contenidos son introductorios a los temas de este eje: por una parte, la proporcionalidad se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y práctica de juegos sencillos de azar. 17 17 17 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. S1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Antecedentes • Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales mediante la notación decimal. Ideas erróneas 1. Algunos alumnos podrían pensar equivocadamente que cualquier fracción puede expresarse como una fracción decimal equivalente y de esa manera hacer la conversión a su escritura decimal. Inicio a partir de lo que sé Página 18 Primera báscula: 85 kg 100 Segunda báscula: 6 kg 10 a) 0.5 kg Inicio a partir de lo que sé Organícense en parejas para subrayar la fracción que corresponde al peso que se muestra en cada báscula de la figura 1.1. • 85 kg 10 • 85 kg 100 • 6 10 kg 6 • 100 kg • 85 kg 1000 6 • 1000 kg Fig. 1.1 1 a) ¿Qué cantidad aparecería en la pantalla si se pesara 2 kg de tortilla? . Compartan sus resultados con otras parejas. Resuelvo y aprendo De fracción decimal a notación decimal y viceversa 1. En equipos resuelvan los siguientes incisos. a) En la figura 1.2 se muestra la cantidad promedio de lluvia que cayó durante un día en diferentes regiones de un estado. Conviertan cada fracción decimal a notación decimal (pueden auxiliarse de una calculadora). Resuelvo y aprendo De fracción decimal a notación decimal y viceversa 1. a) 13 = 0.13 L 100 111 = 1.11 L 100 1 Dos maneras de escribir el mismo número SECUENCIA 13 = 1.3 L 10 9 = 0.09 L 100 65 = 0.65 L 100 • El denominador indica cuántas veces se mueve el punto decimal hacia la izquierda. Si éste es 10, el punto se mueve un lugar hacia la izquierda. Si es 100, dos lugares, etcétera. Educación ambiental para la sustentabilidad La cantidad de lluvia que cae en una región se mide como la altura que tendría el agua precipitada sobre 1 m2. Aprovechar el agua de lluvia en el jardín, inodoro y lavado de ropa puede reducir hasta 50 % el uso del agua potable en un hogar. Fuente: http:// www.edutics.mx/49Y (8/11/13). 18 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 18 13 100 L 13 10 L 65 100 L 111 100 L 9 100 L Fig. 1.2 t ¿Qué relación hay entre cada denominador de las fracciones y las correspondientes cifras decimales que obtuvieron? . BLOQUE 1 Una fracción decimal es aquella que su denominador es 10, 100, 1000, etcétera. b) Expresen cada medida de la figura 1.3 como fracción decimal (simplifíquenla cuando sea posible). 3.29 m = m 15.9 m = 0.06 m = m m 0.053 m = m Integración 2. a) Para convertir una fracción decimal a un número decimal se escribe el numerador y se recorre el punto a la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador. b) Para convertir un número decimal a una fracción se toma como numerador el número decimal y como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. . Integración 2. En grupo, con ayuda del docente, completen los siguientes procedimientos. a) Para convertir una fracción decimal a un número decimal, se escribe el y se a la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador. b) Para convertir un número decimal a una fracción, se toma como el número 3. a) • 7 = 0.7 10 un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. 3. En equipos resuelvan los siguientes incisos. t b) • 4 = 8 = 0.8 • 3 = 75 = 0.75 • 7 = 35 = 0.35 20 5 4 100 100 10 = t ¿Qué tipo de fracciones obtuvieron? . b) Completen las fracciones equivalentes y obtengan los respectivos números decimales. t • 101 = 0.101 1 000 Sugerencia didáctica. Indique que las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Si se les expresa como número decimal son mayores que 0 y menores que 1. a) Realicen las multiplicaciones indicadas y conviertan las fracciones resultantes a notación decimal. t 4 = = 5 10 • 73 = 0.73 100 • Se obtuvieron fracciones decimales. Validen la actividad 1 a partir de los procedimientos que acaban de completar. 7 = = 2!5 73 = = t 2!2!5!5 101 = t 2!2!2!5!5!5 0.06 = 6 = 3 100 50 53 0.053 = 1 000 100 Fig. 1.3 decimal y como b) 3.29 = 329 100 159 15.9 = 10 • Los numeradores se obtienen al multiplicar el número decimal por un múltiplo de 10 de tal modo que no tenga una parte decimal. El denominador será el múltiplo de 10 que se utilizó. Por ejemplo: 3.29 × 100 ζ 329, por tanto, 3.29 = 329 ; 100 0.06 × 100 = 6, de ahí que 0.06 = 6 . t ¿Cómo obtuvieron los numeradores de las fracciones decimales? recorre el Página 19 3 = 75 = 4 t 7 = = 20 100 Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, pero se escriben distinto. 19 19 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 1 Página 20 c) Simplifiquen las siguientes fracciones hasta donde sea posible. t 14 = 35 t 12 = 90 t 12 = 21 Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para simplificar algunas de las fracciones, indíqueles que inicialmente dividan entre valores pequeños y que repitan el procedimiento hasta obtener una fracción irreducible. c) • • • • 14 7 =2 5 35 7 12 2×3 = 2 15 90 2×3 12 3 =4 7 21 3 9 2 1 . , y 20 5 8 6 2×3 • 48 2×3 14 2 • = 12 2 18 2 = • 40 2 t t 6 = 48 14 = 12 18 = 40 t ¿En cuáles de las fracciones que obtuvieron los denominadores pueden expre- = 1 sarse como una multiplicación de factores 2 y/o 5 solamente? 8 . t ¿Cuáles de las fracciones que obtuvieron pueden expresarse como fracciones decimales? 7 6 . Integración 4. En grupo, con ayuda del docente, completen el siguiente enunciado. 9 20 Una fracción irreducible es aquella que no puede simplificarse. Para que una fracción no decimal irreducible sea equivalente a una fracción decimal, es necesario que su denominador pueda expresarse como la multiplicación de factores 5. En equipos obtengan en notación decimal las longitudes de cada tubo realizando las divisiones hasta que el residuo sea 0 (fig. 1.4). 8 = 5 a) 2 = 4 , 1 = 125 , 9 = 45 . 1 000 20 100 5 10 8 0 Integración 4. 2 o 5. 0.35 b) 7 = 0.35 m 20 7.00 20 − 60 1 00 − 1 00 0 1m 7 = 20 b) © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. m 5 8 Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos la idea errónea 1. 20 20 únicamente. Validen la actividad 3 a partir del enunciado que acaban de completar. • Las fracciones de la respuesta anterior, es decir, 1.6 5. a) 8 = 1.6 m 5 8.0 5 −5 3 − 30 0 t 2m m 20 7 0 1m Fig. 1.4 [Continúa] 20 BLOQUE 1 3 = 8 c) m Página 21 8 3 c) 3 = 0.375 m 8 0 1m Fig. 1.4 [Concluye] t ¿Cuál de las fracciones dadas puede simplificarse? . t ¿Cuál de las fracciones dadas puede expresarse como fracción decimal? • Ninguna de las fracciones se puede simplificar. • Todas las fracciones se pueden expresar como fracción decimal. • Todas. . t ¿En cuáles de las fracciones dadas los denominadores pueden expresarse como una multiplicación de factores 2 y/o 5 únicamente? 0. 3 7 5 8 3. 0 0 0 −24 60 −56 40 −4 0 0 . Integración Integración 6. 2 o 5. 6. En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y completen el enunciado. Un número decimal que tiene una cantidad limitada de cifras decimales se llama número decimal exacto. 7. a) 1 = 0.333 m 3 b) 5 = 0.833 m 6 Una fracción irreducible puede convertirse en un número decimal exacto si su denominador puede expresarse como la multiplicación de factores únicamente. Validen la actividad 5 a partir del enunciado que acaban de completar. 7. En equipos obtengan en notación decimal los diámetros de cada rueda realizando las divisiones hasta el número decimal indicado (fig. 1.5). a) Hasta milésimos b) Hasta milésimos 3 1 6 5 Las tres primeras cifras a la derecha del punto decimal corresponden a los décimos, centésimos y milésimos: 3.257 Milésimos Centésimos Décimos 1 3 m= 5 6 m= Fig. 1.5 [continúa] 21 21 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 1 Página 22 c) 3 = 0.272727 m 11 c) Hasta seis cifras decimales d) 17 = 1.416666 m d) Hasta seis cifras decimales 12 12 17 11 3 1 • Que los números de la parte decimal se repiten: en la fracción 3 se repite el número 3 y en la fracción 113 se repite la pareja de números 27. • Que los primeros números de la parte decimal no se repiten 5 pero los que siguen sí, por ejemplo, en la fracción 6 el número 8 aparece una vez en la parte decimal y después se repite el número 3, y en la fracción 17 la pareja de números 41 apa12 rece una sola vez y luego se repite el número 6. 3 11 m = 17 12 m = Fig. 1.5 [Concluye] t ¿Qué característica tienen en común las partes decimales de los números decimales correspondientes a 1 y 3 ? Integración 8. a) punto b) repiten, repiten. 3 11 . t ¿Qué característica tienen en común las partes decimales de los números decimales correspondientes a 5 y 17 ? 6 12 . Integración 8. En grupo, con ayuda del docente, analicen el siguiente texto y completen las definiciones. Los números decimales cuya parte decimal se repite siguiendo un patrón, llamado periodo, se denominan números decimales periódicos. El periodo se representa con un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo: 2 = 0.6 3 15 = 1.36 11 31 = 2.583 12 a) Se dice que un número decimal es periódico puro (por ejemplo: 0.376) cuando hay una o más cifras que se repiten inmediatamente después del Te invito a… visitar la página http:// www.edutics.mx/4LX en la que podrás reforzar los temas trabajados en esta secuencia (30/06/13). 22 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 22 . b) Se dice que un número decimal es periódico mixto (por ejemplo: 0.4713) cuando hay una o más cifras después del punto decimal que no se cifras que sí se , seguidas de una o más . Validen la actividad 7 a partir de las definiciones que acaban de completar. BLOQUE 1 Consolido mis aprendizajes Consolido mis aprendizajes De manera individual haz lo que se te pide en la siguiente actividad. 1. Escribe en la pantalla de cada báscula de la figura 1.6 los respectivos pesos en notación decimal. Página 23 Sugerencia didactica. La actividad 1 es una variante de la inicial, pero más compleja. Se espera que los alumnos hagan las conversiones utilizando los métodos estudiados. La actividad 3 no se resuelve a partir de una mera aplicación de los procedimientos aprendidos, pues en ella, para obtener el perímetro, los alumnos deberán utilizar sus nuevos conocimientos como una herramienta adicional. Fig. 1.6 2. Calculen el perímetro de los polígonos de la figura 1.7 (expresen los resultados con números decimales y con fracciones). 2.83 m 7 1 3 10 m 2 3 m 9.36 m 1 1.78 m Fig. 1.7 5 5 m 3. El señor González necesita comprar cuatro brocas con las siguientes medidas: 0.4375 pulgada 0.375 pulgada 0.0625 pulgada 0.125 pulgada Al llegar a la ferretería le muestran una plantilla con las medidas disponibles (fig. 1.8). 1 61 = 2.44 kg 17 = 0.85 kg 25 20 2. Polígono azul: 2 1 + 2 1 + 9.36 + 9.36 = 23.38666 m = 3 3 7 1 Polígono verde: 3 +5 + 2.83 + 1.78 = 13.51 m = 10 5 3. a) 0.4375 = 4 375 = 7 10 000 16 375 3 0.375 = = 1 000 8 625 0.0625 = = 1 10 000 16 1 125 0.125 = = 8 1 000 1. 9 = 1.125 kg 8 Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente. broca. Pieza metálica para hacer orificios cuando se coloca en una herramienta mecánica, como un taladro. 1 1 754 m 75 1 351 m 100 Medidas fraccionarias desde 16 hasta 2 de pulgada 1 16 13 32 27 64 25 64 3 8 5 64 3 32 7 16 23 64 7 64 1 8 29 64 11 32 9 64 5 32 15 32 21 64 11 64 31 64 5 16 3 16 19 64 13 64 1 2 9 32 7 32 15 64 pulgada. Unidad de longitud que equivale a 2.54 cm. 17 64 1 4 Fig. 1.8 a) ¿Cuáles fracciones corresponden a las medidas de las brocas que necesita el señor González? . Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos. 23 23 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. S2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Antecedentes • Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera. • Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales. Ideas erróneas 1. Es frecuente que los alumnos piensen que 1 es un número mayor 8 que 41 porque 8 es mayor que 4. 2. Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 o 7 son mayores que 6. 3. Es probable que algunos alumnos piensen que una vez definida la posición de dos números se puede determinar la de un tercero de manera arbitraria. 2 Fracciones, decimales y la recta numérica SECUENCIA Inicio a partir de lo que sé Formen parejas para marcar en la línea de la jarra medidora de la figura 2.1 los 1 1 3 5 números 2 , 4 , 0.5, 2 y 4 . a) ¿Cuáles cantidades coincidieron al marcarlas? . 7 b) ¿Entre cuáles marcas habría que colocar la de 4 ? Compartan sus resultados con otras parejas. 1 . Fig. 2.1 Resuelvo y aprendo Representación de números en la recta numérica 1. En equipos realicen lo que se les solicita. a) ¿En cuál de las siguientes rectas hay más elementos para ubicar la fracción de la figura 2.2? 3 2 0 1 0 jarra medidora. Utensilio de cocina empleado en la medida de líquidos o ingredientes en polvo. 2 tazas 2 Fig. 2.2 b) ¿Qué ventajas encuentran en la recta que eligieron respecto a la otra? . Inicio a partir de lo que sé Página 24 24 Integración 2. En grupo, con ayuda del docente, ordenen los siguientes pasos para dibujar una recta numérica. Sugerencia didáctica. Analice con los alumnos la situación inicial y pregunte cómo pueden colocar cada uno de los números dados. Para ello se puede dividir la unidad (en este caso 1 taza) en partes iguales, tantas como indique el denominador, y después colocar el valor correspondiente en el numerador. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. ) Se representan otros números tomando como escala la distancia entre el 0 y el 1. ) Se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el 0. ) Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al 1. Validen la actividad 1 a partir del procedimiento que acaban de obtener. 24 BLOQUE 1 (Continúa de la página 24) Fracciones en la recta numérica Formen equipos para resolver las siguientes actividades. 2 tazas 3. En la siguiente recta numérica el segmento que va del 3 al 5 está dividido en partes iguales. Anoten las fracciones correspondientes a los puntos señalados. 3 5 4 5 a) 1 = 0.5 2 3 2 1 Integración 0.5 = 1 4. En grupo, con ayuda del docente, utilicen las palabras numerador o denominador para completar el procedimiento. 1o Para ubicar fracciones, se divide cada entero en tantas partes como indica el 2o Se consideran las partes que indica el 1 4 . . Validen la actividad 3 a partir del procedimiento que acaban de obtener. 5. La dirección de una escuela organizó la competencia de atletismo “Mente sana en cuerpo sano”. En la competencia de salto de longitud Carlos saltó 15 m y Pedro 7 m. 4 2 Marca en la recta el punto donde cayó cada uno a partir de lo que saltaron las dos competidoras mostradas en la figura 2.3. 1 1 3 4 m 4 4 m Fig. 2.3 a) ¿Quién saltó más lejos: Carlos o Pedro? . b) ¿En cuántas partes iguales dividieron el segmento que va de 3 1 a 4 1 para ubi4 Educación para la salud Los beneficios del deporte a la salud física y mental son innumerables: aumenta la circulación sanguínea, mejora el aprovechamiento del oxígeno que le llega al organismo, contribuye a la pérdida del sobrepeso, aumenta la sensación de bienestar, disminuye el estrés… Fuente: http://www. edutics.mx/49G (8/11/13). Sugerencia didáctica. Si se presentan las ideas erróneas 1 o 2, discútanlas en grupo. b) Entre 3 y 2 tazas. 2 Resuelvo y aprendo Representación de números en la recta númerica 1. a) Respuesta libre (R. L.). En cualquiera de las dos rectas hay suficientes elementos para ubicar la fracción de la figura 2.2. b) R. L. Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos expongan ante el grupo las ventajas que encontraron en la recta que eligieron para que los demás las contrasten con las suyas. 6. Elijan en cada una de las siguientes rectas un punto distinto para el 0 y luego ubiquen las fracciones 2 y 5 . 3 0 4 . car el salto de Carlos? 2 3 Integración 2. El orden correcto, de arriba hacia abajo, es 3, 1, 2. 1 1 25 25 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 2 Página 25 a) Comparen sus resultados con los de otro equipo. ¿Marcaron las fracciones en . ¿Por qué ocurrió esto? los mismos puntos? Fracciones en la recta númerica 3. De izquierda a derecha: 3 1 , 4 1 , 4 5 . 2 6 6 . 7. Representen en la siguiente recta numérica las fracciones 7 y 5 . Comparen sus 3 2 resultados con otros compañeros. Integración 4. 1° denominador. 2° numerador. A 5. Pedro Carlos D 1 7 15 3 4 2 4 a) Carlos. b) Respuesta modelo (R. M.). En dos partes iguales. 6. R. L. a) Expliquen el procedimiento que emplearon para ubicar la fracción 7 . 41 4 3 . 8. Por medio de fracciones equivalentes ordenen de menor a mayor las fracciones 9 5 Sugerencia didáctica. Si se presenta la idea errónea 3, comente con los alumnos que una vez que se establece la unidad de medida (distancia del 0 al 1), queda determinada la separación entre cada par consecutivo de números naturales. 3 6 . 2 a) Ubiquen en la recta numérica las fracciones dadas. 0 1 2 . fracciones equivalentes? a) No necesariamente, pues existen muchas otras soluciones que también son correctas. 7. R. L. a) R. M. Un procedimiento consiste en ubicar el 0 y el 3 en la recta, después dividir ese segmento en 9 partes iguales, y luego contar 7 divisiones para ubicar la fracción. 8. Las fracciones equivalentes son 9 = 54 , 8 = 80 , 7 = 35 y 30 3 5 8 9 5 7 75 5 2 = 30 , por lo tanto, 6 < 5 < 2 < 3 . 7 6 a) 1 9 5 30 6 30 5 8 2 3 2 3 b) ¿En la recta numérica se conservó o cambió el orden que obtuvieron con las Página 26 0 , 8, 7 y 5. Comparen sus respuestas y procedimientos con otro equipo. 9. Marquen en la recta B una fracción que sea mayor que 1 pero menor que 3 2 . Luego, marquen en la recta C dos fracciones mayores que 1 pero que sean 3 3 menores que 2 . 3 Te invito a… visitar la página electrónica http:// www.edutics.mx/Zio. Elige Matemáticas 1 y ve a las preguntas 3 y 4, las cuales te ayudarán a reforzar lo trabajado en esta secuencia. Además, podrás trabajar con actividades interactivas (30/06/13). Recta A Recta B 2 6 1 3 2 3 4 6 Recta C a) ¿Hasta cuántas fracciones se pueden intercalar entre las fracciones 1 y 2 ? 3 3 Justifiquen su respuesta. 3 b) El orden fue el mismo que con las fracciones equivalentes. . 26 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 26 BLOQUE 1 (Continúa de la página 26) 3 9. Por ejemplo, en la recta B se puede colocar la fracción 6 . En la 4 recta C los recuadros morados corresponden a las fracciones 12 5 6 8 y 12 , de ahí que, por ejemplo, las fracciones y sean 12 12 4 8 mayores que 12 y menores que 12 . a) Una infinidad de fracciones, pues se puede repetir el proceso de las rectas A, B y C tantas veces como se desee. Integración 10. En grupo, con ayuda del docente, completen el siguiente párrafo. Para encontrar una fracción entre dos fracciones de valores distintos, hay que obtener fracciones equivalentes a las fracciones conocidas, pero con denominador luego elegir alguna cuyo numerador sea y que el de la fracción menor, pero que el de la fracción mayor. Validen las actividades 8 y 9 a partir del texto que acaban de completar. Página 27 Números decimales en la recta numérica Integración 10. mayor, mayor, menor. 11. Ubiquen en los tubos de vidrio, en notación decimal, las fracciones que se dan. a) b) c) 18 10 cl 4 10 cl 2 cl 1 cl d) 68 100 cl 1 cl 11. a) 4 cl b) 18 cl 10 10 616 1000 cl 0.7 cl 0.62 cl 1 cl 0.62 cl 0 cl Fig. 2.4 0.61 cl 0.6 cl e) ¿Cuál es el menor número decimal que marcaron? número decimal que marcaron? 0.68 0.616 0.4 cl 0 cl 1 cl 1 cl d) 616 68 cl 100 1 000 cl 0.7cl 0.62 cl 0.7 cl 0.6 cl 0.7 cl 0.6 cl 0 cl 2 cl 1.8 cl c) 1 cl 0 cl 0.62 cl 0.61 cl 0.6 cl 0.61 cl e) El menor es 616 = 0.616 y el mayor es 18 = 1.8. 10 1 000 0.61 cl 12. . ¿Cuál es el mayor . 12. Nicolás participó en una carrera. Cuando había recorrido 3.7 km, Ulises y Marco habían recorrido la distancia indicada en la recta. Ubiquen la posición de Nicolás en ese momento. 2.9 km Marco 2.9 km Marco 3.7 km Nicolás 4.1 km Ulises 4.1 km Ulises Fig. 2.5 27 27 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 2 Página 28 13. Ubiquen los números 1.44 y 2.13 en cada una de las siguientes rectas. 13. 2.13 1 2 1.44 1.44 1 2 1 3 2.13 1 3 a) Expliquen por qué se ven en diferente posición los respectivos números que colo- a) Porque la unidad de medida no es la misma en las dos rectas. caron en las rectas. Consolido mis aprendizajes Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual haz lo que se te pide en la siguiente actividad. 6 6 3 2 3 1. Marca 5 de taza en la jarra medidora de la figura 2.6. 1.33 m 1.21 m 2. 2 3 Luis 1.57 m Fig. 2.6 Fig. 2.7 Organizados en equipos de tres integrantes resuelvan lo siguiente. 1.33 m 1.21 m 2. Luis mide 1.57 m. Ubiquen en la figura 2.7 su estatura de acuerdo con la de sus hermanas. 3. Una pelota es lanzada desde el 0 (fig. 2.8). Ésta avanza en cada rebote la mitad de lo que avanzó en el anterior. Marquen en la recta la fracción que corresponde al cuarto rebote. 3. 1 16 0 1 2 0 1 Cuarto rebote Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos. 28 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 1 2 Fig. 2.8 28 1 Fracciones más, fracciones menos SECUENCIA 3 S3 Resolución y planteamiento de Inicio a partir de lo que sé problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Formen parejas para resolver el siguiente problema. Un carpintero apilará las tablas que se muestran en la figura 3.1. 7 12 pulgada 5 6 pulgada Antecedentes 2 3 pulgada • Fracciones equivalentes. • Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios. • Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con denominadores diferentes. • Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios. Fig. 3.1 a) ¿Qué altura tendrá la pila de tablas? . b) ¿Qué fracciones con denominador igual utilizaron para calcular la altura de la pila? . c) Si se apilara una cuarta tabla con un grosor de 7 pulgadas, ¿qué altura tendría la pila? 24 Ideas erróneas . 1. En una suma o resta de fracciones algunos alumnos pueden sumar o restar, por una parte, los valores del numerador, y por otra los del denominador para obtener los valores de cada elemento, lo cual es un procedimiento incorrecto. Compartan y comenten sus resultados con otras parejas. Resuelvo y aprendo Problemas de fracciones Formen equipos para resolver los problemas siguientes. Inicio a partir de lo que sé 1. En la figura 3.2 se muestra un terreno en el que se siembran flores de cuatro colores. 2 2 5 m Sugerencia didáctica. Para solucionar el problema es necesario hacer varias sumas, por lo que se recomienda verificar que en cada caso se efectúe correctamente la conversión necesaria para obtener el mismo denominador y poder así sumar las fracciones. Es posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador. En caso de que aparezca la idea errónea 1 será conveniente analizarla. 3 2 10 m 7 2 10 m Fig. 3.2 apilar. Colocar un objeto sobre otro. a) ¿Qué área ocupan conjuntamente las flores de color rojo y las de color rosa? 25 pulgadas 12 7 10 8 b) , y 12 12 12 c) 57 = 19 pulgadas 24 8 a) . b) ¿Qué área ocupan conjuntamente las flores rojas, blancas y rosas? . c) Si el área del terreno es de 2 m2, ¿qué área ocupan las flores amarillas? . d) Expliquen el procedimiento que emplearon para responder la pregunta anterior. . 29 29 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 3 (Continúa de la página 29) La carpa, la trucha y la tilapia son especies de peces comestibles que pueden reproducirse en ambientes controlados por los humanos. Resuelvo y aprendo Problemas de fracciones 2 2 b) 7 = 1.4 m c) 2 − 7 = 3 = 0.6 m 5 5 5 d) Se toma el área total del terreno y se le restan las demás áreas. 1. a) 1 m 2. En un estanque se cultivan tres tipos de peces de acuerdo con la distribución que se muestra en la figura 3.3. 1 Trucha: 3 2 Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que para facilitar los cálculos se puede utilizar el resultado del inciso b. Página 30 2. a) R. M. La mitad. 1 Carpa: 5 Tilapia Educación económica y financiera La producción y cultivo de peces es una alternativa para el sector pesquero, pues ayuda a disminuir la explotación de recursos marinos, además de generar nuevas fuentes de empleo. Fuente: http://www.edutics. mx/49N (8/11/13). Fig. 3.3 a) Aproximadamente, ¿qué fracción del estanque está destinada a la tilapia? . c) ¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular la fracción del estanque destinada a la carpa y a la trucha? . d) ¿Qué fracción del estanque está asignada a la tilapia? Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden obtener fracciones cercanas a la última, lo cual no es incorrecto, pues se le pide una aproximación. b) 1 + 1 = 8 c) 1 = 15 5 3 3 7 d) . R. L. 15 1 3. a) 1 + 1 = 2 , 1 + = 2 , 16 8 8 8 16 16 Tabla de figuras musicales Sonido Silencio 1 4 1 8 1 16 1 + 1 = 2 . 32 32 32 3. A partir de la tabla de figuras musicales completa las siguientes fracciones. a) = = 8 , = = 16 , = = 2 . b) Coloquen en la siguiente línea musical líneas divisorias de modo que agrupen figuras que al sumar sus valores den 4 . 4 1 32 b) 1 64 Porque, de izquierda a derecha, se tiene: 1 2 1 4 4 + 8 + 2 = 4 Comparen y comenten sus resultados y procedimientos con otro equipo. Educación artística Con la educación artística se desarrollan habilidades, actitudes, hábitos y comportamientos benéficos. Es un medio de interacción, comunicación y expresión de sentimientos y emociones, lo que propicia la formación integral de los individuos. 30 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. . ¿Coincide . 1 2 5 y 1 = 3 . 15 5 15 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 4 + 1 + 2 = 8 = 4, 8 4 8 4 16 8 8 2 8 8 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 2 + 8 16 16 4 16 16 8 16 32 1 1 4 4 2 1 1 16 = = 4, + + + + + + 16 16 16 4 16 16 16 16 16 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 2 = 4 . 4 8 2 4 4 4 4 con su aproximación? Valor 1 . b) ¿Qué fracción del estanque está asignada conjuntamente a la carpa y a la trucha? 30 4. Determinen si es posible llenar la jarra de la figura 3.4 con las dos botellas de agua. Argumenten su respuesta en su cuaderno. 65 100 L 39 50 L 1 1 2 L Fig. 3.4 BLOQUE 1 (Continúa de la página 30) 4. No es posible llenar la jarra de agua con esas dos botellas: 5. En la figura 3.5 se muestran los cambios que ha tenido un tinaco en su contenido durante tres días. a) ¿Qué fracción del tinaco quedó ocupada el miércoles? . 4 1 Fracción llenada 2 Fracción usada 2 el lunes 5 1 usada 3 Fracción el martes en miércoles Página 31 24 − 20 30 = 31 1 1 2 + 5. a) 3 − − + = 45 − 60 60 60 60 3 2 5 60 4 b) Se toma la fracción al principio de la semana ( 3 ) y se le restan 4 las fracciones que se utilizaron el lunes ( 2 ) y el martes ( 1 ). 5 3 Por último, se suma la fracción que se llenó el miércoles. Fig. 3.5 . 6. Karla va al mercado y compra la cantidad de fruta que se muestra en la figura 3.6. 4 7 kg 6 1 11 kg 1 1 8 kg 5 6 kg Fig. 3.6 6. a) Las uvas pesan un poco menos de 1 kg y las manzanas un poco más de 1 kg, de ahí que juntas pesen aproximadamente 2 kg. b) Aproximadamente 2 kg. Las fresas pesan un poco más de 0.5 kg y los mangos un poco más de 1.5 kg, de ahí que juntos pesen aproximadamente 2 kg. c) Aproximadamente 4 kg. a) Las uvas y las manzanas juntas tienen un peso aproximado de 2 kg. Justifiquen esta afirmación sin realizar la suma de los pesos. . b) Den un peso aproximado, en kilogramos, de las fresas y los mangos juntos. Justifiquen su respuesta. . c) Aproximadamente, ¿cuánto pesan en total las frutas? d) ¿Cuál es el peso total exacto de las frutas? peso aproximado que obtuvieron. Te invito a… visitar la página http:// www.edutics.mx/4L8 en la que podrás los reforzar el tema trabajado en esta secuencia (30/06/13). Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen la calculadora para responder el siguiente inciso. d) 7 531 = 4.075 kg 1 848 . . Comparen este peso con el 2 7. a) 8 3 km b) 4 km 9 7. Luis ha recorrido las distancias mostradas en la figura 3.7. a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido durante los tres días? b) ¿Cuánto le falta para recorrer 9 1 km? Martes 1 3 2 km . . 9 Lunes 65 + 39 = 65 + 78 = 143 < 150 100 100 100 50 100 100 Fracción al inicio de la semana 3 b) Expliquen su procedimiento. Miércoles 1 2 3 km 5 2 6 km Fig. 3.7 31 31 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 3 Página 32 Integración 8. En grupo, con ayuda del docente, redacten como mínimo cinco recomendaciones para resolver problemas de suma y resta de fracciones. Integración 8. Por ejemplo: • Obtener un valor estimado del resultado. • Determinar qué fracciones se suman. • Determinar qué fracciones se restan. • Realizar las operaciones con un método experto. • Sumar o restar la parte entera por un lado y la parte fraccionaria por otro. . Consolido mis aprendizajes 3 1 4 pulgada De manera individual contesta la pregunta de la siguiente actividad. 7 6 pulgada 1. En la figura 3.8 se muestran dos tablas que son fijadas con un clavo a una pared. ¿Cuántas pulgadas penetró el clavo en la pared? Consolido mis aprendizajes . 5 pulgadas 12 155 2 2. a) 84 m 1. Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente. 10 3 pulgada 2. Ramón ha pintado fracciones de una pared en diferentes momentos del día según se muestra en la figura 3.9. 155 3 126 b) No, porque 2 = 84 < 84 . 4 9 + 65 3 + 59 1 = 1817 = 259.57 < 260, 3. a) Como 78 + 55 10 5 2 7 7 1 a) Si la pared tiene una superficie de 8 4 m2, ¿cuánto le falta por pintar? el elevador sí puede cargar a las cuatro personas juntas. 4. R. L. . 13 2 6 m 18 2 7 m 3 b) Si la pintura que le queda alcanza para pintar 2 m2, ¿podrá pintar toda la pared? Justifiquen su respuesta. Fig. 3.8 5 2 3 m Fig. 3.9 Sugerencia didáctica. Verifique que los alumnos diseñen problemas en los que utilicen todas las fracciones que se presentaron en cada inciso. . 3. En la figura 3.10 se muestra un elevador cuya carga 78 47 kg máxima es de 260 kg. a) Determinen si el ascensor podrá cargar a las cuatro personas juntas. Justifiquen su respuesta. 55 109 kg . 65 3 5 kg 59 1 2 kg Fig. 3.10 4. Para cada una de las siguientes operaciones escriban en sus cuadernos un problema que se resuelva con ellas. 5 185 57 a) 19 + 19 + 19 3 3 4 b) 8 + 4 — 6 7 1 5 c) 1 12 — 3 — 4 Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos. 32 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 32 ¿Cuál sigue? SECUENCIA 4 S4 Construcción de sucesiones de Inicio a partir de lo que sé números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. En parejas respondan las preguntas correspondientes a la figura 4.1. 4a generación: Tatarabuelos 3a generación: Bisabuelos 2a generación: Abuelos 1a generación: Padres Tú Antecedentes • Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión aritmética o geométrica, así como sucesiones especiales. • Construcción de sucesiones a partir de la regularidad. • Resolución de problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética, geométrica o especial. Fig. 4.1 ascendencia. Antepasados de una persona. a) ¿Cuántos bisabuelos te corresponden en tu ascendencia? b) ¿Cuántos tatarabuelos te corresponden en tu ascendencia? . . Compartan y comenten sus resultados con otras parejas. Resuelvo y aprendo Regla general de una sucesión Una sucesión numérica es una lista ordenada de números que cumplen una regla dada y que cada uno de ellos se llama término. Entrada 1. Escriban a la izquierda de la figura 4.2 los cinco primeros términos de la sucesión numérica según la regla dada. a) 8 b) 16 Regla: El número de la posición se multiplica por 4 y al resultado se le suma 5. . a) ¿Cuál es el 9º término de la sucesión? Inicio a partir de lo que sé Posición Formen equipos para resolver lo siguiente. Salida Fig. 4.2 Resuelvo y aprendo . ¿Cómo lo obtuvieron? . b) ¿Para obtener el término 17 de la sucesión es necesario calcular los términos anteriores? Justifiquen su respuesta. Regla general de una sucesión 1. 9, 13, 17, 21 y 25. a) 41 Se multiplica 9 por 4 y al resultado se le suma 5. b) No, pues basta con aplicar la regla: (17 × 4) + 5 = 68 + 5 = 73. . 33 33 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 4 Página 34 2. 1o 2o 7o 11o 15o 26o 2. Escriban al lado izquierdo de la figura 4.3 los términos indicados. 1 4 49 121 225 676 1o 2o 7o 11o 15o 26 o Posición Entrada Regla: El número de la posición se multiplica por sí mismo. Salida Fig. 4.3 3. Escriban los primeros 5 términos de la sucesión cuyo primer número es 2 y cualquier otro número se obtiene multiplicando el anterior por 3. 3. 2, 6, 18, 54, 162. R. M. Sí, pues la regla dada no está expresada a partir de la posición del número. . ¿Para obtener el 7º término es necesario calcular los términos anteriores? Justifiquen su respuesta. Sugerencia didáctica. Tal vez los alumnos respondan que es necesario conocer los términos anteriores, lo cual hasta cierto punto es correcto ya que aún no han estudiado las potencias de un número. Si lo considera conveniente, puede indicarles que la regla de la sucesión es 2 × 3 n–1 , donde n es la posición del elemento que se quiere conocer y, así el 7o término es 2 × 3 6 = 1 458. . Comparen y comenten sus resultados con otro equipo. 4. A partir de la figura 4.4 formen una sucesión de 5 figuras de modo que cada nuevo término tenga 4 cuadrados más que el anterior, dos a los lados y los otros arriba y abajo. 4. La figura dada junto con las cuatro siguientes forman la sucesión pedida: Fig. 4.4 a) Cuenten los cuadrados que hay en cada figura y con los números que obtengan formen una sucesión numérica: a) 5, 9, 13, 17, 21. Integración 5. Una regla general de una sucesión es una ley que permite obtener los términos de una sucesión. 6. 3.4, 4.6, 5.8, 7, 8.2, 9.4, 10.6, 11.8. Integración 5. En grupo, con ayuda del docente, expliquen qué es una regla general de una sucesión y qué ventaja se tiene al conocerla. Una progresión aritmética es una sucesión en la que cualquier término, excepto el primero, se obtiene sumando o restando una cantidad fija (llamada diferencia) al término anterior. 34 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. . 34 . 6. Escriban los primeros 8 términos de la progresión aritmética en la que el número de la posición se multiplica por 1.2 y al resultado se le suma 2.2. . BLOQUE 1 a) Obtengan la diferencia entre cada pareja de términos consecutivos. b) ¿Cuál es el término 23? . . 7. Respondan las preguntas para cada regla dada. a) Regla: Al 58 se le resta 4 veces la posición del número. t ¿Cuáles son los seis primeros términos? . t ¿Qué tipo de progresión se forma? . Una progresión geométrica es una sucesión en la que cualquier término, excepto el primero se obtiene multiplicando por una cantidad fija (llamada razón) al término anterior. t ¿La progresión es ascendente o descendente? Justifiquen su respuesta. . t ¿Cuál es la diferencia o razón? . b) Regla: El primer término es 3 y cualquier otro se obtiene multiplicando el término anterior por 4. t ¿Cuáles son los seis primeros términos? . t ¿Qué tipo de progresión se forma? . t ¿La progresión es ascendente o descendente? Justifiquen su respuesta. Una sucesión es ascendente si cualquier término, excepto el primero, es mayor que el anterior. Una sucesión es descendente si cualquier término, excepto el primero, es menor que el anterior. . ¿Cuál es la diferencia o razón? . Elijan un equipo para que exponga sus resultados ante el grupo. a) La diferencia es 1.2. b) 29.8 7. a) • 54, 50, 46, 42, 38, 34. • Es una progresión aritmética. • Es descendente porque cada término, a excepción del primero, es menor que el anterior. • La diferencia es 4. b) • 3, 12, 48, 192, 768, 3 072. • Se forma una progresión geométrica. • Es una progresión ascendente porque cada término, a excepción del primero, es mayor que el anterior. La razón es 4. Obtención de una regla general de una sucesión 8. a) • Ascendente • Descendente • Ascendente • Ascendente • Ascendente b) • La diferencia es 4. • La diferencia es 6. Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos respondan que la diferencia es 6, lo cual es aceptable pues aún no han estudiado números negativos. Obtención de una regla general de una sucesión 8. Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas para las sucesiones que se dan. a) ¿La sucesión es ascendente o descendente? b) ¿Cuál es la diferencia o razón? c) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? d) ¿Cuáles son los términos 6º, 7º y 8º? e) Expresen verbalmente una regla general. t 7, 11, 15, 19, 23,… t 45, 39, 33, 27, 21,… t 4, 8, 16, 32, 64,… Página 35 • La razón es 2. 2 • La diferencia es . 6 • La razón es 3. c) • Progresión aritmética • Progresión aritmética • Progresión geométrica • Progresión aritmética • Progresión geométrica 1 5 7 3 11 , , , , ,… 2 6 6 2 6 t 2.1, 6.3, 18.9, 56.7, 170.1,… t Cada equipo elija una de las sucesiones anteriores y exponga en el pizarrón sus respectivas respuestas. 35 35 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 4 (Continúa de la página 35) d) • 27, 31, 35. • 5, 9, 3. • 128, 256, 512. 5 , 17 . • 13 , • 510.3, 1 530.9, 4 592.7. 6 2 6 e) • El primer término es 7 y cualquier otro se obtiene sumándole 4 al término anterior. • El primer término es 45 y cualquier otro se obtiene restándole 6 al término anterior. • El primer término es 4 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 2 al término anterior. 1 • El primer término es 2 y cualquier otro se obtiene sumándole 62 al término anterior. • El primer término es 2.1 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 3 al término anterior. 9. Escriban debajo de cada figura el número de puntos que la forman. Fig. 4.5 a) ¿Qué tipo de progresión se formó con los números que escribieron? . b) Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de puntos de cualquier figura. . c) ¿Cuántos puntos tendrá la 9ª figura? . 10. A partir de la siguiente sucesión de figuras completen la tabla. Página 36 9. De izquierda a derecha: 6 , 11, 16, 21. a) Una progresión aritmética. b) El primer término es 6 y cualquier otro se obtiene sumándole 5 al término anterior. c) 46 10. Posición 1a 2a 3a 4a 5a 6a Número 2 7 12 17 22 27 Diferencia 5 5 5 5 5 5 Fig. 4.6 Posición de la figura 1a 2a 3a 4a 5a 6a Número de fichas de dominó Diferencia o razón del número de fichas entre dos figuras consecutivas a) Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de fichas de cualquier figura de la sucesión. . 11. A partir de la siguiente sucesión de figuras completen la tabla. a) La primera figura tiene 2 fichas y las siguientes tienen 5 más con respecto a la anterior. 11. Fig. 4.7 Posición 1a 2a 3a 4a 5a 6a Número 1 3 9 27 81 243 Razón 3 3 3 3 3 3 Posición de la figura 1º 2º 3º 4º 5º 6º Número de triángulos rojos Diferencia o razón del número de triángulos rojos entre dos figuras consecutivas a) Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de trián- a) La primera figura tiene un triángulo rojo y las siguientes tienen el triple con respecto a la anterior. gulos rojos de cualquier figura de la sucesión. . 36 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 36 BLOQUE 1 Consolido mis aprendizajes Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual retoma la actividad inicial y determina el número de ascendentes familiares para las generaciones 9 y 13. Página 37 . 1. Generación 9: 512 Generación 13: 8 192 2. Regla 1: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. Regla 2: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. a) Las sucesiones son iguales. Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente. 2. Obtengan los primeros 10 términos de las sucesiones determinadas por las siguientes reglas: Regla 1. El primer término de la sucesión es 5 y cualquier otro se obtiene sumando 3 al término anterior. . Regla 2. El número de la posición se multiplica por 3 y al resultado se le suma 2. Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que el resultado anterior indica que una misma sucesión se puede obtener con distintas reglas de formación. . a) ¿Cómo son entre sí las sucesiones que obtuvieron en sus dos respuestas anteriores? . 3. Escriban debajo de cada figura el número de cuadrados verdes que la forman. a) ¿Qué tipo de progresión se obtuvo? b) ¿Cuál es la razón o diferencia? 3. 3, 8, 13, 18. a) Es una progresión aritmética. b) 5 c) El primer término es 3 y cualquier otro se obtiene sumándole 5 al término anterior. 4. 1, 5, 25, 125. a) Es una progresión geométrica. b) El primer término es 1 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 5 al término anterior. c) 15 625 . . Fig. 4.8 c) Expresen verbalmente una regla que permita conocer el número de cuadrados verdes que tiene cualquier figura de la sucesión. . 4. Escriban debajo de cada figura el número de pentágonos rojos que la forman. a) ¿Qué tipo de progresión se obtuvo? . Fig. 4.9 b) Expresen verbalmente una regla que permita conocer el número de pentágonos rojos que tiene cualquier figura de la sucesión. . c) ¿Cuántos pentágonos rojos tendrá la 7ª figura? . 37 37 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA Fórmulas y figuras S5 Explicación del significado de 5 fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Antecedentes • Construcción de las fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros. • Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de un rectángulo. • Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos. Ideas erróneas 1. Es posible que algunos alumnos piensen que en determinadas fórmulas sólo se pueden utilizar ciertas literales. Esto es falso, pues algunas de ellas se usan por convención o por costumbre. Inicio a partir de lo que sé Formen parejas para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cómo se calcula el perímetro del marco de la figura 5.1? . l 78 cm Fig. 5.1 Fig. 5.2 l 78 cm b) Si el marco fuera de 72 cm de lado, ¿cómo se obtendría el perímetro? . c) ¿Cómo se obtendría el perímetro si los lados midieran 57 cm? . d) ¿Cómo se representa el perímetro del marco de la figura 5.2? . Resuelvo y aprendo Perímetros Resuelvan en equipos las siguientes actividades. Inicio a partir de lo que sé 1. En la figura 5.3 se muestra una cancha de basquetbol. ¿Cuál Página 38 es su perímetro? a) Se suman las medidas de todos los lados del marco: 78 + 78 + 78 + 78. b) De la misma manera: 72 + 72 + 72 + 72. c) De la misma manera: 57 + 57 + 57 + 57. d) l + l + l + l . a) Expresen verbalmente cómo se calcula el perímetro de un rectángulo. . b) Escriban debajo de cada cancha las operaciones necesarias para calcular su perímetro. Sugerencia didáctica. No se espera que los alumnos obtenga la expresión 4l, pero sí que obtengan la suma l + l + l + l. 15 m 38 38 y P= 105 m Fig. 5.4 P= Fig. 5.3 x 68 m Fig. 5.5 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 28 m . BLOQUE 1 Resuelvo y aprendo c) Tachen las expresiones que no corresponden al perímetro de un rectángulo. t 2x + 2y t 2(x + y) t 2x – 2y t x+y+x+y Perímetros Analicen y comenten el siguiente texto. Te invito a… visitar la página electrónica http:// www.edutics.mx/Zio. Elige Matemáticas 1 y ve a las preguntas 7 y 8, las cuales te ayudarán a reforzar lo trabajado en esta secuencia. Además, podrás observar un video y trabajar con actividades interactivas (30/06/13). Una expresión algebraica es aquella que representa cantidades mediante la combinación de números, letras y signos. Con ellas podemos traducir expresiones del lenguaje habitual al lenguaje matemático. 2. Calculen el perímetro de los triángulos de la figura 5.6. 9m 7 cm 3 cm 11 dm 9m 11 dm 8 cm 9m P= P= 4 dm Fig. 5.6 P= a) ¿Cómo se obtiene el perímetro de cualquier triángulo? . b) Para cada triángulo de la figura 5.7, obtengan una expresión algebraica que represente su perímetro. Fig. 5.7 d a 1. 86 m a) 2 veces el largo más 2 veces el ancho. b) Fig. 5.4: 105 + 105 + 68 + 68 Fig. 5.5: y + y + x + x Página 39 c) 2x − 2y 2. Triángulo morado: 3 + 7 + 8 = 18 cm Triángulo rojo: 11 + 11 + 4 = 26 dm Triángulo verde: 9 + 9 + 9 = 27 m a) Se suman las medidas de los tres lados. b) Triángulo rojo: a + b + c unidades. Triángulo azul: d + d + r Triángulo naranja: m + m + m 3. Cometa de la izquierda: 72 + 72 + 35 + 35 Cometa de la derecha: a + a + b + b a) La medida de sus lados, a la del lado más largo, y b la del lado más corto. d m c m r P= b m P= P= 3. Escriban debajo de cada una de las cometas de la figura 5.8 operaciones que permitan calcular su perímetro. 35 c m bc m m ac 72 c b en la cometa de la derecha? m a) ¿Qué representan las letras a y Fig. 5.8 . 39 39 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 5 Página 40 4. Para cada papalote de la figura 5.9, escriban dos expresiones algebraicas diferentes con las que puedan calcularse los respectivos perímetros. 4. Hexágono regular: a + a + a + a + a + a = 6 × a = 6a Octágono regular: b + b + b + b + b + b + b + b = 8 × b = 8b b a Integración 5. Figura a Fórmula del perímetro Expresión verbal de la fórmula P = 2a + 2b El perímetro del rectángulo es igual a la suma del doble del ancho y el doble del largo. b P = 4l l P= P= P= P= El perímetro del rombo es igual a cuatro veces la longitud de uno de sus lados. Integración 5. En grupo, con ayuda del docente, analicen el siguiente texto y luego completen la tabla. Las expresiones 3 a, 3a y 3(a) son formas diferentes de representar tres veces a. Figura c d b P=a+b+c+d a P = 5l l Fig. 5.9 Comparen sus respuestas con otro equipo. El perímetro de un cuadrilátero es igual a la suma de las longitudes de los lados. Fórmula del perímetro Expresión verbal del la fórmula a b l El perímetro de un pentágono regular es igual a cinco veces la longitud de uno de sus lados. c d b a l Validen las actividades 1 a 4 con las expresiones que acaban de obtener. 40 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 40 BLOQUE 1 Página 41 Áreas Resuelvan en equipos las siguientes actividades. 6. Expresen verbalmente la manera de obtener el área de las puertas de la figura 5.10. Fig. 5.10 Sugerencia didáctica. En las actividades de esta sección se solicita a los alumnos que expresen en forma algebraica y en forma verbal el procedimiento o fórmula para hacer cálculos de áreas y perímetros, de esta manera se pretende que el alumno identifique las literales con números generales. También se propicia el uso de literales arbitrarias para representar cantidades. Los diferentes procedimientos para encontrar una misma respuesta dan lugar al manejo de expresiones algebraicas equivalentes. Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área de un rectángulo es A = b h, la cual proporciona la cantidad de unidades cuadradas que hay en él. h 270 cm a b Áreas 185 cm Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área de un romboide puede deducirse a partir de un rectángulo. b . . A=b h Escriban una expresión algebraica para el área de la puerta de la derecha. . 7. Escriban las operaciones necesarias para calcular el área de cada banderín (fig. 5.11). 31 cm m x 65 cm A= A= A= Integración Integración 8. c) Números. b Fig. 5.11 Comparen sus respuestas con otro equipo. h Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que las letras que representan números se llaman literales. Comente la idea errónea 1 y aclare que una literal puede ser la letra que se desee, pero algunas se utilizan más frecuentemente que otras por costumbre. Por ejemplo, se utiliza la letra h para referirse a la altura de un rectángulo, y b para su base. n y 6. Puerta café: se debe multiplicar 185 cm por 270 cm. Puerta blanca: se debe multiplicar a por b. A = ab. 31 × 65 7. Banderín de México: 2 cm2 xy Banderín de Brasil: 2 unidades cuadradas mn Banderín de Argentina: 2 unidades cuadradas Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área del triángulo puede obtenerse de otra figura cuya área sea conocida. b h A= 2 8. En grupo, con ayuda del docente, elijan la opción correcta. ¿Qué representan las letras en las fórmulas? a) Sonidos b) Operaciones c) Números h b 41 41 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 5 Consolido mis aprendizajes Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual escribe la fórmula para calcular el área de un cuadrado cualquiera y explícala con el lenguaje habitual. Página 42 1. Si el lado del cuadrado mide l, la formula es A = l × l. Multiplicar la medida de uno de sus lados por ella misma. 2. . Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente. 2. Marquen con las figuras cuyo perímetro pueda calcularse con 2a + 2b, y con perímetro pueda calcularse con 4a. Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área del trapecio puede obtenerse de otra figura cuya área sea conocida. A= (B + b) h 2 Fig. 5.12 h 3. La fórmula a) corresponde con el área del trapecio, la b) con la del rombo, y la c) con el romboide. p c) A = p × q b) A = B × b 2 q B 3. Relacionen las columnas escribiendo en cada recuadro la letra que le corresponde según la fórmula. b B a) A = (M + m) r 2 b) A = B 2 b m r M las que su a) A = (M + m) × r 2 b Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área del rombo puede obtenerse de otra figura cuya área sea conocida. c) A = p q Fig. 5.13 D d A= 2 4. a) Romboide: el área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura. b) Trapecio: el área del trapecio se calcula multiplicando la suma de la base mayor y la base menor por la altura, y el resultado se divide entre 2. c) Rombo: el área del rombo se calcula multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menor, y el resultado se divide entre 2. 4. Escriban en lenguaje coloquial el significado de cada una de las fórmulas anteriores. d a) Romboide: . D b) Trapecio: . c) Rombo: . Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos. 42 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 42 Con regla, escuadra y compás SECUENCIA 6 S6 Trazo de triángulos y Inicio a partir de lo que sé En una hoja blanca tracen con la escuadra y el cartabón un rectángulo de 12 cm de base y 7 cm de altura. Comparen sus procedimientos con otras parejas. Antecedentes Resuelvo y aprendo Trazo de triángulos Formen equipos para resolver lo siguiente. 1. Con su juego de geometría tracen sobre la figura 6.1 un triángulo ABC de modo que el lado AB mida 9 cm; el ángulo con vértice en A, 52° y el lado AC, 6 cm. • Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos. • Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría). • Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. Inicio a partir de lo que sé Página 43 A Con la escuadra y el cartabón puedes trazar rectas paralelas y perpendiculares. cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Formen parejas para resolver la siguiente actividad. Fig. 6.1 a) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice B? . b) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C? . c) Considerando la medida de los ángulos, el triángulo que trazaron es . 2. Midan los lados y ángulos de los triángulos de la figura 6.2 (escriban sobre cada triángulo las medidas que obtengan). Fig. 6.2 [Continúa] R. M. Para trazar el rectángulo primero se traza un segmento de 12 cm, después, desde uno de sus extremos se traza un segmento perpendicular. El segmento anterior se prolonga hasta medir 7 cm. Se traza otro segmento perpendicular al que mide 7 cm y en la misma dirección que el segmento inicial; este último se prolonga hasta medir 12 cm y, del punto donde termina, se traza un último segmento que forme el rectángulo. Resuelvo y aprendo Trazo de triángulos 1. a) Aproximadamente 41.7°. b) Aproximadamente 86.3°. c) Acutángulo C Notación Los grados se simbolizan con un círculo pequeño (°) que se coloca junto al valor del ángulo. 6 cm 9 cm 43 B 43 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 6 (Continúa de la página 43) Fig. 6.2 [Concluye] Sugerencia didáctica. Las respuestas pueden variar hasta por un grado pues el transportador no permite determinar décimas de grados. 2. Isósceles acutángulo Medidas aproximadas Isósceles rectángulo Medidas aproximadas 47° 45° 6 cm 7 cm 6 cm 66.5° a) Con su juego de geometría tracen estos triángulos en una hoja blanca. b) Comprueben que los triángulos que trazaron son iguales a los originales colocando la hoja blanca sobre los triángulos del libro. c) Anoten sobre cada triángulo el tipo de triángulo que es según la medida de sus lados. d) Anoten en cada triángulo el tipo de triángulo que es según la medida de sus ángulos. 5 cm 3. Escriban debajo de las figuras 6.3 a 6.6 en qué consiste cada paso. Efectúen los trazos en sus cuadernos. 90° 66.5° 45° 5 cm Página 44 Isósceles acutángulo Medidas aproximadas Escaleno rectángulo Medidas aproximadas Fig. 6.4 Fig. 6.3 67° 4.3 cm 5.7 cm 67° 46° 57° 1° 6.8 cm 2° 3.7 cm 90° 5.7 cm . 33° . 5.7 cm a) R. L. Sugerencia didáctica. Guíe a los alumnos en el procedimiento: primero se traza un lado del triángulo (de preferencia el horizontal); después, desde sus extremos se trazan los otros lados con los ángulos indicados y se prolongan hasta obtener la longitud requerida. b), c) y d) R. L. 44 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Fig. 6.6 Fig. 6.5 3° 44 4° . . a) Considerando la longitud de los lados, el triángulo trazado es . BLOQUE 1 (Continúa de la página 44) 3. 1o Se traza un segmento con la ayuda de una regla. 2o Se apoya el compás en un extremo del segmento, con una abertura igual a la longitud del segmento, y se traza un arco de circunferencia. 3o Se repite el paso 2o, pero ahora desde el otro extremo. 4o Se unen los extremos del segmento con el punto de intersección de los arcos. a) equilátero. 4. Mediante un procedimiento similar al de la actividad anterior, tracen en una hoja blanca un triángulo cuyos lados sean iguales a los siguientes segmentos. Comprueben con la regla graduada que los lados del triángulo que trazaron miden lo mismo que los segmentos originales. a) Considerando la longitud de los lados, el triángulo es . Página 45 4. 5. Ordenen las siguientes imágenes de manera que obtengan un procedimiento para copiar un ángulo. a) Es un triángulo escaleno. 5. 1 2 3 4 5 6 Figuras 6.7 a 6.12 Comprueben con el transportador el procedimiento que obtuvieron. 45 45 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 6 Página 46 6. Utilicen el procedimiento de la actividad anterior para trazar sobre el segmento AB un triángulo ABC con ángulos iguales a los ángulos dados. C 6. Fig. 6.13 A B a) 40°, aproximadamente. b) 80°, aproximadamente. c) Es un triángulo acutángulo. A 7. a) Se pueden trazar tantos triángulos como se desee. Primero se traza el segmento de 14 cm y desde uno de sus extremos se traza otro segmento que forme un ángulo de 68°. A continuación se une el extremo del último segmento con el otro extremo del segmento de 14 cm, pero el segundo que se trazó puede tener la medida que sea, entonces pueden trazarse tantos triángulos como uno desee. b) Se pueden trazar tantos triángulos como se desee. El tercer lado debe ser menor que 15.2 cm y mayor que 9.7 cm, entonces puede tener infinidad de medidas, por ejemplo, 9.8 cm, 9.9 cm o 9.85 cm. c) No, no es posible. Al tratar de unir las tiras no se unen dos de sus extremos. d) Sí, sí es posible unir todos los extremos de las tiras de papel. 46 B a) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice B? . b) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C? . c) Considerando la medida de los ángulos, el triángulo que trazaron es . Comprueben que los ángulos del triángulo que trazaron son iguales a los originales. 7. Respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas (justifiquen su respuesta). a) ¿Cuántos triángulos pueden trazarse con un lado de 14 cm y un ángulo de 68°? b) ¿Cuántos triángulos distintos pueden trazarse si se sabe que el lado mayor mide 15.2 cm y que el lado menor mide 9.7 cm? c) Corten una tira de papel de 9 cm, una de 5 cm y otra de 3 cm. ¿Es posible formar un triángulo con ellas? d) Corten una tira de papel de 9 cm, una de 5 cm y otra de 7 cm. ¿Es posible formar un triángulo con ellas? Integración 8. ( ) Cuando se conocen las medidas de sus 3 ángulos. ( ) Cuando se conocen las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. ( ) Cuando se conocen la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ( ) Cuando se conocen la medida de un lado y sus ángulos adyacentes. ( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es menor a la medida del lado restante. ( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es mayor a la medida del lado restante. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. B A Integración 8. En grupo, con ayuda del docente, marquen con las condiciones con las que se construye un único triángulo, con las condiciones con las que se puede construir más de un triángulo y deja vacío si no se puede construir ningún triángulo. ( ) Cuando se conocen las medidas de sus tres ángulos. ( ) Cuando se conocen las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. ( ) Cuando se conocen la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ( ) Cuando se conocen la medida de un lado y sus ángulos adyacentes. ( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es menor a la medida del lado restante. ( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es mayor a la medida del lado restante. Validen las actividades 1 a 7 con las condiciones anteriores. 46 BLOQUE 1 Trazo de cuadriláteros Página 47 Formen equipos para las siguientes actividades. Trazo de cuadriláteros 9. (Medidas aproximadas) 9. Midan los lados y ángulos de los cuadriláteros de la figura 6.14 (anoten sobre cada uno las medidas correspondientes). Te invito a… visitar la página http:// www.edutics.mx/4uL en la que encontrarás más información sobre el trazo de triángulos y cuadriláteros (30/06/13). 3.7 cm 73o 107o 107o 3.7 cm 7.3 cm 3.7 cm 73o 3.7 cm 67o 103o 4.2 cm 4.2 cm 103o 67o 7.3 cm a) R. L. Sugerencia didáctica. Si observa dificultad al trazar los cuadriláteros, comente con los alumnos que pueden comenzar por trazar uno de los segmentos, desde cada uno de sus extremo trazar los segmentos con los ángulos indicados y unir los otros extremos de los dos últimos segmentos que trazaron. Fig. 6.14 a) Con su juego de geometría tracen en una hoja blanca estos cuadriláteros. Comprueben que los cuadriláteros que trazaron son iguales a los originales sobreponiendo la hoja blanca al libro. 10. R. M. • Se traza un segmento y un punto P sobre él. • Con un compás y con centro en el punto P se traza un arco de circunferencia de cualquier abertura que interseque al segmento de un lado del punto, y otro arco, de la misma abertura que el anterior, que lo haga del otro lado del punto. • Luego, con centro en uno de los puntos de intersección obtenidos, se traza otro arco de circunferencia que tenga una abertura mayor a la utilizada en el paso anterior y se traza otro arco de circunferencia, con la misma abertura y con centro en el otro punto de intersección. • Los dos arcos anteriores se intersecan en dos puntos. Se traza la recta que pasa por esos dos puntos, que es perpendicular al segmento inicial. 10. Con su transportador analicen la figura 6.15 y, a partir de ella, escriban en sus cuadernos un procedimiento para trazar rectas perpendiculares. P A B Fig. 6.16 Fig. 6.15 11. Utilicen el procedimiento que obtuvieron en la actividad anterior para trazar, sobre el segmento AB de la figura 6.16, un cuadrado ABCD. 47 47 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 6 (Continúa de la página 47) 11. El procedimiento anterior se muestra en la siguiente figura. Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual traza con la escuadra y el cartabón, en una hoja blanca, los siguientes cuadriláteros. Fig. 6.17 Consolido mis aprendizajes Página 48 1. R. L. Compara tus procedimientos y trazos con los de otros compañeros. Organizados en equipos de tres integrantes realicen las siguientes construcciones. Sugerencia didáctica. Coménteles que primero deben medir los lados y los ángulos de los cuadriláteros para después poder reproducirlos. 2. Solamente con la regla y compás tracen, en una hoja blanca, un triángulo ABC con los siguientes elementos. 2. Procedimiento: sobre algún segmento, por ejemplo sobre AB, se copia el ángulo dado, de modo que el vértice A coincida. Luego, se prolonga un lado del ángulo, el que no es AB, hasta que sea igual a la medida del segmento AC. Por último se traza el lado BC. 3. a) Sólo se puede trazar un cuadrado con esas características. b) Sólo se puede trazar un rectángulo con esas características. c) Sólo se puede trazar un triángulo con esas características. d) Se pueden trazar muchos trapecios con esas características, entonces se puede agregar, por ejemplo, la condición de que la altura mida 7 cm. e) Se pueden trazar muchos triángulos escalenos con esas características; se puede agregar, por ejemplo, la condición de que el ángulo entre los segmentos dados mida 60°. 4. a) R. L. b) R. L. A B C A a) Cuadrado 27 Lado: 2 cm b) Rectángulo c) Triángulo equilátero Largo: 9.5 cm Lado: 9 cm Ancho: 6 cm d) Trapecio isósceles e) Triángulo escaleno Base mayor: 10.4 cm Lado a: 9 cm Base menor: 8 cm Lado b: 7.5 cm 4. Asignen medidas a las figuras indicadas y tracen los cuadriláteros resultantes. Sugerencia didáctica. Si el tiempo lo permite, pida a los alumnos que intercambien las asignaciones anteriores con algún compañero y trace los polígonos requeridos, de modo que cada alumno trace dos trapecios y dos romboides. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Fig. 6.18 3. Tracen en sus cuadernos las figuras con las medidas indicadas. En los casos donde pueda construirse más de una figura, agreguen una condición para que la construcción sea única. a) Trapecio isósceles de base mayor 48 A Comparen sus triángulos con otros equipos. base de cm, lados no paralelos b) Romboide con un par de lados paralelos de mm y los ángulos agudos de 48 cm y ángulos de la °. mm, el otro par de lados paralelos de °. Rectas y puntos notables del triángulo SECUENCIA 7 S7 Trazo y análisis de las Inicio a partir de lo que sé propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Formen parejas, analicen lo siguiente, tracen lo que se pide y contesten las preguntas. Una comunidad conformada por tres poblados necesita construir una escuela (fig. 7.1). Ubiquen un punto para construir la escuela de tal manera que todos los estudiantes caminen la misma distancia para llegar a ella. Antecedentes • Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. C Ideas erróneas A 1. El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una altura, dado que las otras dos coinciden con los lados. B Fig. 7.1 Inicio a partir de lo que sé a) ¿Cómo encontraron dicho punto? . Página 49 b) Los poblados forman el triángulo ABC. ¿La escuela queda dentro o fuera del triángulo? ¿Por qué? . C Resuelvo y aprendo Rectas que dividen en dos En equipos resuelvan las siguientes actividades. Fig. 7.3 Paso 1: Fig. 7.2 A B 1. Describan los pasos que se muestran en las figuras 7.2 a 7.5 para trazar una recta que divida un ángulo dado en dos partes iguales. . 49 a) Una manera de resolver el problema consiste en elegir puntos sobre el mapa y medir la distancia. En el punto que esté igualmente separado de las tres comunidades se debe construir la escuela. b) Queda fuera del triángulo ABC, porque el punto donde se debe construir la escuela está fuera del triángulo que forman los tres poblados. 49 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 7 (Continúa de la página 49) Resuelvo y aprendo Rectas que dividen en dos 1. Paso 1: Con un compás y con centro en el vértice del ángulo se trazan dos arcos de circunferencia, de modo que uno interseque a un lado del ángulo y el otro al otro lado del ángulo. Fig. 7.4 Fig. 7.5 Paso 2: Paso 3: Página 50 . Paso 2: Sin modificar la abertura del compás y con centro en uno de los puntos de intersección anteriores se traza un arco de circunferencia en la parte interna del ángulo. Después se traza otro arco de circunferencia, con la misma abertura, pero con centro en el otro punto de intersección, de modo que interseque al arco de circunferencia anterior. Paso 3: Se traza una recta que pase por el vértice del ángulo y por el punto de intersección de los arcos anteriores. . 2. Reproduzcan en sus cuadernos los trazos de la figura 7.6 para obtener la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio. C A 2. • Con un compás y con centro en el punto A se traza una circunferencia. • Sin modificar la abertura, se traza otra circunferencia pero con centro en B. • Si las circunferencias no se intersecan o se intersecan en un solo punto, se elige una abertura mayor y se repiten los dos pasos anteriores. • La recta que pasa por los dos puntos de intersección de las circunferencias es una recta perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio. Fig. 7.6 B D a) Describan en sus cuadernos el procedimiento. Integración 3. En grupo, con ayuda del docente, analicen las siguientes definiciones. Una bisectriz es una semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales. Una mediatriz es una recta perpendicular a un segmento que se traza por su punto medio. a) ¿En cuál de las actividades anteriores se trazó una bisectriz? . b) ¿En cuál de las actividades anteriores se trazó una mediatriz? . Validen las actividades 1 y 2 con regla graduada y transportador. 50 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 50 BLOQUE 1 (Continúa de la página 50) Rectas y puntos notables del triángulo 4. Identifiquen las definiciones con las rectas que les corresponden en cada triángulo. Integración 3. a) En la actividad 1. b) En la actividad 2. Rectas notables del triángulo Mediana Es el segmento que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Mediatriz Es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a éste. Bisectriz Es la recta que pasa por un vértice y divide el ángulo interno de dicho vértice en dos partes iguales. Altura Es la recta o segmento que es perpendicular a un lado o su prolongación y pasa por el vértice opuesto a dicho lado. Página 51 Rectas y puntos notables del triángulo 4. Altura Mediatriz Altura Mediatriz Fig. 7.7 Bisectriz 5. 5. En cada uno de los lados o vértices, según sea el caso, de los siguientes triángulos, dibujen las rectas que se solicitan. Mediatrices Mediana Mediatrices Bisectriz Mediana Mediatrices Mediatrices Circuncentro Circuncentro Fig. 7.8 Fig. 7.9 51 51 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 7 Página 52 Alturas Alturas Alturas Alturas Ortocentro Ortocentro Fig. 7.10 Fig. 7.11 Bisectrices Medianas Medianas Bisectrices Incentro Baricentro Sugerencia didáctica. Cada tipo de recta es única para cada lado o ángulo. Así, los trazos de los alumnos deben ser iguales a los que se indican en las figuras anteriores. Fig. 7.12 a) Las tres rectas de cada tipo siempre se intersecan en un solo punto. b) Figura 7.8: Circuncentro Figura 7.9: Circuncentro Figura 7.10: Ortocentro Figura 7.11: Ortocentro Figura 7.12: Incentro Figura 7.13: Baricentro c) El circuncentro y el ortocentro. Fig. 7.13 a) ¿Qué característica en común se observa que ocurre cuando se trazan las tres rectas de cada tipo correspondientes a cada lado del triángulo? . b) Escriban en el recuadro de cada figura el nombre del punto correspondiente de acuerdo con las siguientes definiciones. Incentro: Punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo. Circuncentro: Punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo. Ortocentro: Punto donde se intersecan las alturas de un triángulo. Baricentro: Punto donde se intersecan las medianas de un triángulo. c) ¿Cuáles de estos puntos pueden localizarse fuera del triángulo? . 52 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 52 BLOQUE 1 Página 53 6. Tracen las mediatrices y determinen el circuncentro del triángulo de la figura 7.14. 6. Fig. 7.14 a) Que la distancia del circuncentro a cada vértice es igual. b) El centro de la circunferencia se localiza en el circuncentro. a) Midan la distancia del circuncentro a cada vértice. ¿Qué resultado obtienen? 7. . b) Tracen una circunferencia que pase por vértices del triángulo. ¿Dónde se localiza el centro de dicha circunferencia? . 7. Tracen la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura 7.15. La circunferencia circunscrita a un polígono es la que pasa por todos sus vértices. a) Una vez que ya se haya trazado la circunferencia circunscrita se eligen tres puntos sobre ella para formar un nuevo triángulo, como el de la figura anterior. Fig. 7.15 a) Dibujen un triángulo que tenga el mismo circuncentro que el triángulo anterior. Expliquen su procedimiento. . 53 53 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 7 Página 54 8. a) Aproximadamente 2.2 cm cada una. b) Corresponde con el incentro del triángulo. c) R. M. Se pueden trazar algunas de las rectas notables del triángulo y ver para cuáles de ellas es el punto de intersección. d) Su centro se localiza en el incentro. 8. Midan la longitud de los segmentos punteados en la figura 7.16 y respondan las preguntas. Te invito a… visitar la página http://www.edutics. mx/4Lq en la que encontrarás una aplicación interactiva con GeoGebra relacionada con las líneas y los puntos principales del triángulo (30/06/13). Fig. 7.16 a) ¿Cuanto miden las líneas punteadas? Integración 9. b) ¿A qué punto notable del triángulo corresponde donde se intersecan las líneas punteadas? . c) ¿Expliquen en sus cuadernos el procedimiento que emplearon para resolver la pregunta del inciso anterior? Características Mediatrices Alturas Medianas Bisectrices Son perpendiculares a los lados o a las prolongaciones de éstos. Pasan por un vértice del triángulo. Cortan o tocan los lados del triángulo en sus puntos medios. Las tres rectas correspondientes a cada lado del triángulo se intersecan en un punto. El punto donde se intersecan puede estar dentro o fuera del triángulo. El punto de intersección es el centro geométrico del triángulo. Pueden no pasar dentro del triángulo pero sí tocarlo en un vértice. El punto donde se intersecan está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. d) Tracen una circunferencia que toque cada lado del triángulo. ¿Dónde se localiza su centro? . Integración 9. En grupo, con ayuda del docente, indiquen con recta. Característica la propiedad que corresponde a cada tipo de Mediatrices Alturas Son perpendiculares a los lados o a las prolongaciones de éstos. Pasan por un vértice del triángulo. Cortan o tocan los lados del triángulo en sus puntos medios. Las tres rectas correspondientes a cada lado del triángulo se intersecan en un punto. El punto donde se intersecan puede estar dentro o fuera del triángulo. El punto de intersección es el centro geométrico del triángulo. Pueden no pasar dentro del triángulo pero sí tocarlo en un vértice. El punto donde se intersecan está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. Validen las actividades 4 a 8 a partir de la tabla que acaban de completar. 54 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. . 54 Medianas Bisectrices BLOQUE 1 Página 55 10. Dibujen las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas del triángulo equilátero (fig. 7.17). 10. a) Las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas de los correspondientes lados y ángulos de un triángulo equilátero coinciden. Además, todas se intersecan en un solo punto. a) ¿Qué afirmación se puede hacer de las cuatro rectas notables en el triángulo rectángulo? . Fig. 7.17 11. En la siguiente figura las rectas amarillas son las mediatrices, las verdes son las medianas, las azules las alturas y las cafés las bisectrices. La recta roja corresponde con una recta notable de cada tipo. 11. Dibujen las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas del triángulo isósceles (fig.7.18). a) Coinciden. a) ¿Qué afirmación se puede hacer de las cuatro rectas notables correspondientes al lado desigual de un triángulo isósceles? . Fig. 7.18 12. Dibujen las alturas y mediatrices del triángulo rectángulo (fig. 7.19). 12. Las mediatrices son las rectas rojas y las alturas las verdes. a) Que dos de las alturas de un triángulo rectángulo coinciden con dos de sus lados y se intersecan en uno de sus vértices. Fig. 7.19 a) ¿Qué afirmación se puede hacer de las alturas en un triángulo rectángulo? . Sugerencia didáctica. Insista en que las mediatrices de un triángulo rectángulo coinciden en el punto medio del lado más largo del triángulo. Integración 13. En grupo, con ayuda del docente, respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas. a) ¿En qué tipo de triángulo el incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro se localizan sobre la bisectriz del ángulo diferente: isósceles o escaleno? b) ¿En qué tipo de triángulo el incentro, ortocentro, circuncentro y baricentro son el mismo punto: isósceles o equilátero? c) ¿En qué tipo de triángulo el ortocentro se localiza en uno de sus vértices: acutángulo o rectángulo? d) ¿En qué tipo de triángulo el circuncentro se localiza en el punto medio de su lado más largo: rectángulo u obtusángulo? Integración 13. a) En un triángulo isósceles. b) En un triángulo equilátero. c) En un triángulo rectángulo. d) En un triángulo rectángulo. Validen las actividades 10 a 12 a partir de las respuestas que acaban de obtener. 55 55 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 7 Consolido mis aprendizajes Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual traza el circuncentro de los puntos A, B, y C de la figura 7.20. Página 56 1. C C A A B B 2. Fig. 7.20 D Formen equipos de tres integrantes y resuelvan las siguientes actividades. E 2. Localicen un punto en la figura 7.21 desde el cual se camine la misma distancia para llegar a cualquiera de las tres avenidas. a) Expliquen cómo localizaron el punto. D E F . a) Para localizarlo se trazan dos bisectrices y se determina cuál es el punto donde se intersecan. 3. 3. Tracen la mediana correspondiente al lado AB de la figura 7.22 y calculen el área de cada uno de los triángulos que se obtienen. C F Fig. 7.21 a) ¿A qué resultados llegaron? . C b) Repitan el cálculo en sus cuadernos con dos triángulos diferentes. ¿Qué resultados obtuvieron? . c) Anoten un enunciado que describa esta pro- A 56 B a) Las áreas de los dos triángulos son iguales. b) Las áreas de los triángulos que se obtienen son iguales. c) Al trazar la mediana de un triángulo se obtienen dos triángulos que tienen la misma área. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. piedad de la mediana. Te invito a… leer el libro La matemática como una de las bellas artes, de Pablo Amstar (Biblioteca Escolar). 56 B Fig. 7.22 . Comparen sus resultados con otros equipos. A El que parte y reparte SECUENCIA 8 S8 Resolución de problemas de Inicio a partir de lo que sé reparto proporcional. Formen parejas para resolver el siguiente problema. El abuelo Juan repartirá $100 entre sus tres nietos de acuerdo con las fracciones mostradas en la figura 8.1. Escriban en los recuadros la cantidad que recibirá cada uno. 1 2 Gustavo 1 4 1 4 César Felipe $ $ Antecedentes • Resolución de problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplicación del factor constante). • Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales). • Problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural. Fig. 8.1 $ Ideas erróneas Expliquen su procedimiento. . Resuelvo y aprendo Reparto proporcional 1. Algunos alumnos pueden pensar que un reparto equitativo es un reparto justo, incluso si los índices de reparto son diferentes; otros, en cambio, pueden pensar que un reparto proporcional siempre es un reparto justo. Ambas posturas podrían, equivocadamente, no tomar en cuenta el contexto en el que se realizará dicho reparto. Formen equipos para las siguientes actividades. 1. Se van a repartir 30 juguetes entre 3 mamás de acuerdo con el número de hijos mostrados en la figura 8.2, de manera que a todos los niños les toque la misma cantidad. Señora Teresa Página 57 Señora Yolanda Señora Laura Inicio a partir de lo que sé Gustavo $50, César $25 y Felipe $25. Se puede calcular tomando en cuenta que la mitad de 100 es 50 y que un cuarto es la mitad de la mitad. Resuelvo y aprendo Fig. 8.2 Reparto proporcional a) ¿Cuántos niños hay en total? 1. a) Hay 10 niños en total. b) Cada niño recibirá 3 juguetes. c) Teresa recibirá 6 juguetes, Laura 9 y Yolanda 15. . b) ¿Cuántos juguetes recibirá cada niño? c) ¿Cuántos juguetes recibirá cada mamá para sus hijos? . . 57 57 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 8 Página 58 Sugerencia didáctica. En esta sección, la resolución de los problemas se inclina ligeramente por el uso de procedimientos informales con el fin de que los alumnos desarrollen técnicas que les ayuden a encontrar, de manera intuitiva y simple, los resultados de un reparto proporcional. PET (polyethylene terephtalate) tereftalato de polietileno. Tipo de plástico empleado frecuentemente en la fabricación de envases de bebidas. 2. Frida, Raúl y Diego recolectaron botellas de PET para juntarlas y venderlas a una planta recicladora. Las cantidades recolectadas se muestran en la figura 8.3. Frida recolectó 9 kg. Raúl recolectó 5 kg. Diego recolectó 7 kg. 2. a) 9 + 5 + 7 = 21 kg b) $4 c) $28 Sugerencia didáctica. Pregunte si la división anterior sería justa, aun cuando cada uno aportó una cantidad distinta de botellas de PET. Después, discuta la idea errónea 1. d) Frida recibiría $36; Raúl, $20 y Diego, $28. 3. a) $50 b) $200 Educación ambiental para la sustentabilidad El gran consumo de bolsas y envases de PET constituye un grave problema ecológico. En México, se consumen aproximadamente 800 000 toneladas al año, pero sólo se recicla alrededor de 15 %. Fuente: http:// www.edutics.mx/49f (8/11/13). Fig. 8.3 a) ¿Cuántos kilogramos recolectaron en total? . b) Si por todas las botellas recibieron $84, ¿cuánto se les pagó por cada kilogramo recolectado? . c) Si los tres decidieran repartirse los $84 de manera equitativa, ¿cuánto recibirían cada uno? . d) Si los tres decidieran repartirse los $84 en proporción a los kilogramos que recolectó cada uno, ¿cuánto recibirían? . 3. Cuatro amigos cooperaron para comprar un boleto de una rifa en la que resultaron ganadores. En la figura 8.4 se muestran las cantidades que aportaron y el monto del premio. Julio aportó $20. Joel aportó $8. Diana aportó $10. Alicia aportó $12. Premio $10 000 Fig. 8.4 a) ¿Cuál fue el costo del boleto? . b) ¿Qué cantidad del premio corresponde a cada peso invertido? 58 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 58 . BLOQUE 1 Página 59 c) Si decidieran repartirse el premio de acuerdo con lo que aportó cada quien, ¿cuánto recibirían? c) Alicia recibiría $2 400, Julio $4 000, Joel $1 600 y Diana $2 000. d) R. M. Primero se determina cuál es la ganancia por cada peso aportado, en este caso $200. Después, esa cantidad se multiplica por la cantidad que aportó cada quien. . d) En su cuaderno describan lo que hicieron para determinar lo que le corresponde a cada persona. Integración Integración 4. a) R. M. Repartir una cantidad de manera equitativa es repartirla en partes iguales entre el número de elementos a los que se les repartirá. Repartir de manera proporcional significa que cada quien (o cada cosa) recibirá la parte que le corresponde según la cantidad que aportó. b) R. M. La cantidad por repartir, el número de partes entre las que se repartirá y la aportación que hizo cada parte. c) R. M. Encontrar cuánto se reparte por cada unidad aportada y después multiplicarlo por las unidades aportadas por cada quien. 5. a) No. Porque cada colonia tiene un número diferente de habitantes, por lo que cada colonia requiere una cantidad diferente de agua. b) 1 005 habitantes. c) 60 L d) La Curva: 14 700 L, El Mirador: 27 360 L y La Joya: 18 240 L. e) Primero se obtuvo el número total de habitantes y se determinó cuántos litros de agua le correspondían a cada quien. Después, la cantidad anterior se multiplicó por el número de habitantes de cada colonia: Para La Curva: 60 × 245 = 14 700 L Para El Mirador: 456 = 27 360 L Para La Joya: 60 × 340 = 18 240 L 6. a) $600 b) $5 400 a César y $6 300 a Armando. c) Aproximadamente $11.48. 4. En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y respondan en sus cuadernos las preguntas. El reparto proporcional es un procedimiento de cálculo que permite repartir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números conocidos. a) ¿Cuál es la diferencia entre repartir una cantidad de manera equitativa y repartirla de manera proporcional? b) ¿Qué cantidades intervienen en un problema de reparto proporcional? c) Escriban un procedimiento para resolver problemas en los que hay que repartir una cantidad de manera proporcional. Validen las actividades 1 a 3 con el procedimiento que acaban de obtener. 5. En algunas zonas del país el abasto de agua potable se realiza por medio de pipas. Una comunidad está formada por tres colonias: La Curva, con 245 habitantes; El Mirador, con 456 habitantes y La Joya, con 304 habitantes. Cada semana se envían 60 300 L de agua a esa comunidad. a) ¿Se debe repartir el agua de manera que a las tres colonias les toque la misma cantidad? ¿Por qué? . b) ¿Cuántos habitantes hay en esa comunidad? . c) ¿Cuántos litros de agua le corresponden a cada habitante? . d) ¿Cuánta agua le deben entregar a cada colonia según el número de habitantes? . e) En su cuaderno describan el procedimiento que emplearon para contestar la pregunta anterior. 6. César, de 42 años, y Armando de 39 años, trasladaron una carga de 13 1 t de varillas 2 del Edo. de México a Mérida, y cobraron $11 700. César manejó durante 9 h y reco1 rrió 425 km, y Armando manejó 10 h y recorrió los 594 km restantes. 2 a) ¿Cuánto dinero corresponde a una hora de manejo? b) ¿Cuánto le toca a cada uno según las horas manejadas? c) ¿Cuánto dinero corresponde a un kilómetro de manejo? . . . 59 59 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 8 Página 60 d) ¿Cuánto le toca a cada uno según los kilómetros manejados? . e) ¿Cuánto le correspondería a cada uno si lo repartieran de acuerdo con la edad? d) $4 879.78 a César y $6 820.22 a Armando. e) $6 066.67 a César y $5 633.33 a Armando. f) R. M. Suponiendo que manejan a velocidades parecidas, el mejor criterio para hacer el reparto sería considerando el número de horas manejadas por cada uno: el número de kilómetros recorridos puede depender, por ejemplo, de la calidad del asfalto, entonces no sería justo tomar en cuenta ese criterio. Por otro lado, la edad tampoco es un criterio justo porque no se determina cuál de los dos trabajó más para el transporte de la mercancía. 7. a) 0.075 L b) En la lata azul debe colocar 0.525 L de solvente y en la verde 0.225 L. c) R. M. Primero se calculó el número de litros de solvente correspondiente a cada litro de pintura y luego ese valor se multiplicó por el número de litros de pintura de cada color. 8. a) $1 050 a quien trabajó 3 días, $700 a quien trabajó 2 días y $350 a quien trabajó 1 día. 9. a) El empleado que lleva trabajando ahí 15 años recibirá $14 250; el que lleva 13 años $12 350, y los dos que llevan 6 años $5 700 cada uno. 10. a) Aproximadamente $166 666.67 para cada quien. . f) ¿Cuál piensan que sea el mejor criterio para hacer el reparto? Justifiquen su respuesta. . 7. Emilio tiene dos latas de pintura para pintar el exterior de una casa, una de 3 L de pintura verde y otra de 7 L de pintura azul. Debe repartir proporcionalmente 3 de L 4 de solvente para rebajar las dos pinturas. a) ¿Qué cantidad de solvente le corresponde a cada litro de pintura? . b) ¿Qué cantidad de solvente debe colocar en cada lata? c) Describan el procedimiento que siguieron para resolver este problema. . 8. Tres personas cobraron $2100 por un trabajo que realizaron juntas. Una persona trabajó 3 días; otra, 2 y la tercera, 1. a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada persona si el reparto se realizó de manera proporcional? . Expliquen cómo obtuvieron su resultado. . 9. Una pequeña empresa repartirá $38 000 entre sus cuatro empleados de acuerdo con los años que hayan trabajado en ella. Un empleado ha trabajado ahí durante 15 años, otro durante 13 años y los otros dos, durante 6 años. Consolido mis aprendizajes Página 61 a) ¿Cuánto recibirá cada uno? 1. Aproximadamente $41.94 para César, $32.26 para Gustavo y $25.8 para Felipe. . 10. En un sorteo de la Lotería Nacional el premio mayor es de 30 millones de pesos en 3 series de 20 vigésimos, popularmente llamados "cachitos" que cuestan $150 cada uno. María, Angélica y Mauricio cooperan para comprar un “cachito”. María aporta $50, y Angélica y Mauricio aportan cada uno la mitad del resto. a) Si ganan el premio mayor de ese sorteo, ¿cómo deben repartir el premio para que a cada uno le toque según lo que invirtió? . 60 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 60 BLOQUE 1 2. Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual retoma, el problema inicial considerando que César tiene 13 años, Gustavo, 10 y Felipe 8, y que el reparto de los $100 se hará de manera proporcional a sus edades. ¿Cuánto recibirá cada uno? . Organizados en equipos de tres integrantes resuelvan lo siguiente. 2. El fondo repartible de la cooperativa escolar es de $5934, los cuales se deben distribuir por grupo. Anoten en la tabla lo que se debe entregar al profesor de cada grupo de modo que todos los alumnos reciban la misma cantidad. Número de alumnos 1º A 25 Te invito a… 1º B 24 2º A 24 2º B 23 3º A 20 3º B 22 visitar la página electrónica http://www. edutics.mx/48j en la que podrás repasar lo que has aprendido en esta secuencia (30/06/13 ). Cantidad del fondo repartible a) ¿Sería justo que a cada grupo le tocará la misma cantidad? Justifiquen su respuesta. . Colonia Número de habitantes 8411 Lázaro Cárdenas 3512 Vicente Guerrero 11 195 Guadalupe Victoria 6993 3° A 20 860 3° B Total 22 138 946 5 934 a) R. M. No, porque no hay la misma cantidad de alumnos en cada salón y entonces algunos recibirían menos dinero. 3. Colonia Número de habitantes 5 589 8 411 3 512 11 195 6 993 35 700 Número de representantes 8 12 5 15 10 50 Número de representantes 5589 Benito Juárez Cantidad del fondo repartible 1 075 1 032 1 032 989 Miguel Hidalgo Benito Juárez Lázaro Cárdenas Vicente Guerrero Guadalupe Victoria Total 3. Para integrar la comisión de 50 representantes de una comunidad, se asignan lugares a las colonias de acuerdo con su número de habitantes. Completen la tabla para saber cuántos representantes de cada colonia debe haber en esa comisión. Miguel Hidalgo Número de alumnos 25 24 24 23 Sugerencia didáctica. Para la siguiente pregunta hay varias respuestas posibles por lo que es importante verificar los argumentos que expongan los alumnos. Grupo Total 1° A 1° B 2° A 2° B Grupo Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si tiene sentido hablar de, por ejemplo, 7.8 representantes y verifique que redondeen correctamente los valores anteriores. Pídales que sumen los valores ya redondeados que obtuvieron para verificar que son exactamente 50, que es el número de representantes asignados. Total 4. Inventen un problema en el que se requiera realizar un reparto proporcional y pídanle a otro equipo que lo resuelva. 4. R. L. Sugerencia didáctica. Revise que los problemas que inventen los alumnos sean correctos. . Compartan y comenten sus resultados y estrategias con otros equipos. 61 61 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA Juguemos un poco S9 Identificación y práctica de juegos 9 de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Antecedente • Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Ideas erróneas 1. Es común que los alumnos piensen que si el resultado de un juego de azar apareció más veces que otro, seguramente siempre será así. 2. Puede ser que algunos alumnos consideren que no es importante el orden en el que aparecen los resultados de un juego de azar. Esto, por supuesto, dependerá del contexto. Inicio a partir de lo que sé Formen equipos de tres compañeros y sigan las instrucciones para jugar. En una hoja blanca dibujen un tablero similar al que se muestra en la figura 9.1. Cada uno elija tres números diferentes de las casillas y coloque una ficha en cada casilla. Por turnos, lancen dos dados usuales (fig. 9.2) y sumen los puntos obtenidos. Avanza una casilla quien haya escogido previamente el número que se obtuvo al sumar los puntos. Gana quien avance más casillas después de 30 lanzamientos, o quien llegue primero a la meta. • • • • • META 1 Inicio a partir de lo que sé 2 3 4 5 6 7 Fig. 9.1 8 9 a) ¿Qué número eligió quien ganó? 10 11 Fig. 9.2 12 . ¿Creen que en todos los equipos haya ganado quien eligió este número? Página 62 . ¿Por qué? Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, en lugar de trabajar en equipos de tres integrantes, organice equipos de seis integrantes de modo que se formen tres parejas. . b) Si repitieran el juego, ¿qué número escogerían? . ¿Por qué? . 62 a) R. L. Pero se espera que el número elegido haya sido el 7 o uno cercano a ése, como el 6 o el 8. R. L. En general sí; quien haya ganado eligió el 7 o alguno cercano a ése. R. M. Porque el 7 apareció en más resultados que los demás números. b) R. L. Se espera que respondan que el número 7 porque ése apareció más veces que los demás. c) Ninguna, porque el número más pequeño de cada dado es el número 1 entonces la suma es al menos 2. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. c) ¿Cuántas veces avanzó quien eligió la casilla con el número 1? . ¿Por qué? . Resuelvo y aprendo Los juegos que no dependen de la habilidad Formen parejas para realizar las siguientes actividades. 1. Comenten cómo se realizan los siguientes juegos: “volados”, “gato”, ajedrez, perinola, ruleta. Mencionen las reglas de cada uno y cómo se determina al ganador. 62 BLOQUE 1 (Continúa de la página 62) 2. Practiquen los siguientes juegos y anoten en cada uno si ganar depende de la suerte o de la habilidad de los jugadores. a) Echar “volados”: b) Jugar “gato”: c) Lanzar un dado: Resuelvo y aprendo . . Los juegos que no dependen de la habilidad . 1. R. M. “Volados”: en el juego hay dos participantes; uno elige una de las caras de una moneda; al otro participante le corresponde la otra cara de la moneda. Se lanza la moneda y al caer gana el participante que eligió la cara superior. “Gato”: en el juego hay dos participantes. Se juega sobre un tablero de 3 × 3 casillas. Un jugador colocará en las casillas un círculo y el otro una cruz. Los turnos se hacen alternadamente y gana quien consiga tres de sus figuras iguales en línea vertical, horizontal o diagonal. 3. Lean las reglas del siguiente juego y hagan lo que se pide. Juego A: t Se lanza una moneda al aire. t El jugador 1 gana si la moneda cae en águila. t El jugador 2 gana si la moneda cae en sol. a) Cada uno elija el número de un jugador. b) Realicen el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que vayan obteniendo. c) ¿Quién ganó más veces? . Ajedrez: en el juego hay dos participantes, uno tiene 16 piezas negras y el otro, 16 blancas, y se juega sobre un tablero de 64 casillas. Cada tipo de pieza tiene una función distinta (hay, de cada color, 1 rey, 1 dama, 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres y 8 peones) y el objetivo del juego es acorralar al rey del adversario de modo que “quede eliminado”. Gana quien lo consiga primero. Perinola: en el juego hay dos o más participantes y cada uno tiene una cantidad inicial de fichas (o semillas, monedas, etcétera). Después se gira la perinola y cuando se detiene se considera el texto de su cara superior y se realiza lo que indica, por el ejemplo “Pon 2” (el participante que la giró pone dos fichas), “Toma todo”, “Todos ponen”. Ruleta: en un tablero cada participante elige un número (o conjuntos de números como mayor o igual a 1 y menor o igual a 10, por ejemplo). Después se hace girar una rueda junto con una pequeña bola. Cuando la ruleta se tiene, la bola se queda en algún número y ese número (o conjunto de números) es el ganador. d) Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta. . 4. Ahora analicen las reglas del siguiente juego y realicen lo que se indica. Juego B: t Se lanzan dos monedas al aire. t El jugador 1 gana si las dos monedas caen en caras iguales. t El jugador 2 gana si las dos monedas caen en caras diferentes. a) Cada uno elija el número de un jugador. b) Realicen el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que vayan obteniendo. c) ¿Quién ganó más veces? . d) Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta. . 5. Lean las reglas del siguiente juego y hagan lo que se indica. Juego C: t Se lanzan tres monedas al aire. t El jugador 1 gana si las tres monedas caen en caras iguales. t El jugador 2 gana si al caer las monedas una de las caras es diferente a las otras. Página 63 a) Cada uno elija el número de un jugador. 2. a) Depende de la suerte. b) Depende la habilidad del jugador. c) Depende de la suerte. b) Hagan el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que obtengan. c) ¿Quién ganó más veces? . d) Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta. . 63 63 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 9 (Continúa de la página 63) 3. a) y b) R. L. c) R. M. El jugador 2. d) R. M. No necesariamente porque es un juego que depende de la suerte. 4. a) y b) R. L. c) R. M. El jugador 1. d) R. M. No necesariamente porque es un juego que depende de la suerte. 5. a) y b) R. L. c) R. L. Se espera que gane el jugador 2. d) R. M. No necesariamente, pero lo más seguro es que gane el jugador 2 porque el número de lanzamientos con los que puede ganar es mayor que los que corresponden al jugador 1. 6. Registren los resultados de todo el grupo. Anoten la cantidad de veces que ganó cada jugador en los diferentes juegos con las monedas. Jugador Juego 1 2 A B C a) Si volvieran a jugar con las monedas, ¿qué número de jugador escogerían en cada juego? ¿Por qué? . Integración 7. En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y respondan en sus cuadernos la pregunta. Existen algunos juegos en los que el resultado depende de la habilidad o la estrategia de los participantes. A la vez, existen juegos en los que no puede predecirse con certeza el resultado, por ejemplo, lanzar una moneda. A este tipo de juegos se les llama de azar. Página 64 6. R. L. a) R. M. En los juegos A y B cualquiera de los jugadores porque cualquiera de los dos puede ganar. En el juego C conviene elegir al jugador 2 porque es más seguro que ése gane. ¿De qué manera ayuda el registro de los resultados para tratar de predecir el resultado en un juego de azar? . Integración 7. R. M. Al registrar los resultados se puede identificar cuál o cuáles de ellos aparecen más veces y concluir cuáles conviene elegir cuando se juegue de nuevo. Análisis de resultados posibles 8. Contesten lo siguiente respecto del juego B. a) ¿En qué caras puede caer la primera moneda que se lance? Análisis de resultados posibles . b) Si la primera moneda cae en águila, ¿en qué caras puede caer la segunda? 8. a) Puede ser águila o sol. b) Puede caer en águila o sol. c) Águila y sol; sol y águila; sol y sol; águila y águila. . c) Escriban en sus cuadernos todos los posibles resultados al lanzar dos monedas. 9. Contesten las preguntas respecto del juego C. a) ¿Quién ganó más veces? ¿Por qué piensan que ocurrió así? . b) Escriban en sus cuadernos todos los posibles resultados al lanzar tres monedas. c) Según las combinaciones anteriores, ¿es posible que el jugador 1 gane más veces? ¿Por qué? . 64 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 64 BLOQUE 1 (Continúa de la página 64) 9. a) R. L. Pero se espera que el jugador 2 haya ganado más veces porque hay más casos en los que al caer las monedas una de las caras es diferente, que casos en los que las tres monedas cayeran en caras iguales. b) Águila, águila y águila; águila, águila y sol; águila, sol y águila; águila, sol y sol; sol, sol y sol; sol, sol y águila; sol, águila y sol; sol, águila y águila. c) R. M. Sí. Aunque sólo hay 2 casos de 8 en los que aparecen tres caras iguales, se trata de un juego de azar entonces no se tiene la certeza de que el jugador 1 no gane más veces. Integración 10. En grupo, con ayuda del docente, analicen y respondan la siguiente pregunta. ¿De qué manera ayuda escribir todos los posibles resultados de un juego de azar para tratar de predecir su resultado? . 11. Jueguen a lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos en cada tirada, y contesten las preguntas. a) ¿Qué números se pueden obtener como resultado de esas sumas? . b) ¿Con qué combinaciones se obtiene el 2 y el 3 como resultado de la suma? . c) Registren en la siguiente tabla todas las sumas posibles al lanzar dos dados. 2o dado 1er dado 1 2 3 4 5 Te invito a… visitar la página electrónica http:// www.edutics.mx/Zio. Elige Matemáticas 1 y ve a las preguntas 11 y 12, las cuales te ayudarán a reforzar lo trabajado en esta secuencia. Además, podrás trabajar con actividades interactivas (30/06/13). Página 65 Integración 10. R. M. Al igual que cuando se registran los resultados obtenidos, registrar todos los posibles resultados de un juego de azar permite identificar cuál o cuáles de ellos aparecen más veces y concluir cuáles conviene elegir. 11. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. b) El número 2 sólo cuando en cada dado cae el número 1. El número 3 cuando en uno de los dados cae el número 1 y en el otro el número 2. c) 1er dado 6 1 2 3 4 5 6 d) ¿Cuántos resultados posibles hay? . e) ¿De cuántas maneras se puede obtener el 6? . f) ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener el 12? 2° dado 1 . Consolido mis aprendizajes 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 . 5 6 7 8 9 10 11 b) ¿Qué estrategias seguirías para ganar si jugaras una vez más? Argumenta tu respuesta. 6 7 8 9 10 11 12 1. De manera individual responde las siguientes preguntas correspondientes a la actividad inicial. a) Si jugaras nuevamente, ¿escogerías el número 1? . ¿Por qué? . d) Hay 36 resultados posibles. e) De cinco maneras: 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 4, 1 + 5. f) De una sola manera: 6 + 6. Si en lugar de lanzar dos dados se lanzaran tres y se sumaran los puntos obtenidos: c) ¿Cuáles serían el menor y el mayor de los resultados posibles? . ¿Por qué? . 65 65 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. SECUENCIA 9 (Continúa de la página 65) d) ¿Qué estrategia elegirías para ganar? . Consolido mis aprendizajes Compara tus respuestas con otros compañeros para comprobar que son correctas. Formen parejas para realizar la siguiente actividad. 1. a) R. M. No, porque no hay manera alguna de obtener el número 1 al sumar los puntos obtenidos cuando se lanzan dos dados. b) R. M. Elegir los número 6, 7 y 8 porque hay más maneras de obtener esos números que los demás. c) El menor resultado posible es 3 y el mayor, 18. El menor número de cada dado es el 1, entonces al sumar los puntos de tres dados el menor que se puede obtener es el número 3. De manera análoga el mayor número que se puede obtener es la suma 6 + 6 + 6 = 18. 2. Analicen los pasos para hacer el siguiente juego. • Corten tres papelitos azules y tres rojos y numérenlos como se muestra en la figura 9.3. Dóblenlos para que no se vean los números y pónganlos en una bolsa. 1 Fig. 9.3 2 3 1 2 3 • Tomen al azar un papelito azul y uno rojo. • Sumen los números obtenidos, esta suma será la puntuación en cada turno. • Doblen los papelitos y colóquenlos de nuevo con los otros. Si se realiza muchas veces este juego: Página 66 a) ¿Qué número piensan que se obtenga más veces en la suma? d) R. M. Escribir todos los resultados posibles y elegir los números que tengan más maneras de obtenerse. . ¿Por qué? . b) ¿Qué pueden hacer para comprobar su respuesta anterior. 2. a) R. M. El 4 porque hay más combinaciones que suman 4. b) Para comprobar la respuesta anterior se pueden escribir todos los resultados posibles del juego de azar y elegir el que tenga más maneras de obtenerse. c) R. L. d) R. M. Sí. e) Papel rojo Papel azul 1 . c) Realicen 30 veces este juego y registren el resultado que obtengan en cada ocasión. d) ¿Se cumplió su predicción? 1 3 2 3 1 2 3 4 3 4 5 3 4 5 6 f) Se puede visualizar cuál es el resultado que más puede ocurrir en el juego. 3 f) ¿Cuál es la utilidad de esta tabla en este juego? Te invito a… leer el libro Matemáticas y la vida cotidiana, de José Antonio de la Peña (Biblioteca de Aula). 66 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 2 1 2 2 . e) Completen la siguiente tabla con los posibles resultados de este juego. 66 . Compartan y comparen sus resultados con otras parejas. BLOQUE 1 Habilidades digitales Habilidades digitales Página 67 Antes de iniciar la actividad te sugerimos explorar el programa que utilizarás con la guía rápida que incluimos en la página 260 de este libro. Sugerencia didáctica. Esta sección tiene como propósito introducir a los estudiantes en el uso de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC), que forman parte de las nuevas prácticas de aprendizaje, y con esto facilitarles su adaptación a situaciones educativas que se encuentran en permanente cambio. Es deseable que motive a los alumnos a leer la actividad y explorar la herramienta antes de desarrollar la actividad. Resuelva las dudas en plenaria con el grupo. Construcción de un cuadrado Para comenzar a construir figuras da clic en “Geometría Básica” marcada en azul en la ventana “Apariencias”, la cual mostrará una ventana de dibujo (fig. 1.H.1). Para ocultar la ventana “Apariencias” da clic en el ícono que está a su derecha. Puedes agregar una cuadrícula usando el botón marcado en la imagen. Respuestas • Perpendicular. Fig. 1.H.1 Para crear un segmento de recta entre dos puntos, elige el tercer botón de la barra de herramientas (fig. 1.H.2). Aparecerá una lista como la que puedes ver en la imagen, elige el elemento marcado en azul y traza el segmento en la “Vista Gráfica”. Si cometes un error, usa los botones de deshacer y rehacer marcados en la imagen para corregir. Fig. 1.H.2 Para insertar una recta perpendicular, da clic en el cuarto botón de la barra de herramientas (fig. 1.H.3). Después, da clic en cualquier punto del segmento AB y luego en A para que la recta quede fija en ese punto. Contesta: ¿Cómo son entre sí la recta recién construida y el segmento AB ? . 67 Fig. 1.H.3 67 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. HABILIDADES DIGITALES Página 68 Respuestas • Iguales • Iguales. Traza un círculo con centro en A y radio AB dando clic en el botón “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos” (fig. 1.H.4). Repite el paso anterior con centro en B y radio AB. Fig. 1.H.4 Obtén la intersección del círculo con centro en A y la línea vertical usando el botón “Intersección de Dos Objetos” (fig. 1.H.5). Contesta: Si la intersección está en el punto C, ¿cómo son las longitudes de AC y AB ? . Fig. 1.H.5 Traza un círculo con centro en C y radio AC y marca la intersección que hace con el círculo con centro en B (fig. 1.H.6). Contesta: Si la intersección está en el punto D, ¿cómo son las longitudes de CD y AB ? Fig. 1.H.6 68 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 68 . BLOQUE 1 Página 69 Respuestas Los puntos A, C, D y B son los que importan en esta construcción (fig. 1.H.7). Para ocultar el resto de los objetos, da clic al ícono y elige el menú “Objetos”. • Un cuadrado. Esto es porque los cuatro lados de la figura miden lo mismo y los ángulos internos son de 90°. Fig. 1.H.7 En la figura 1.H.8 puedes apreciar la ventana Preferencias” en la que aparecen, separados en categorías, los objetos creados; los círculos, por ejemplo, pertenecen a la sección “Cónica”. Selecciona los objetos y desmarca en el cuadro “Muestra Objeto” para ocultarlos. Fig. 1.H.8 Da clic en el botón “Polígono” y en cada uno de los puntos A, C, D, B, en ese orden, y de nuevo en A para cerrarlo (fig. 1.H.9). Presiona el botón , elige cualquier punto y muévelo. Contesta: ¿Qué tipo de figura obtuviste? . Justifica tu respuesta. . Fig. 1.H.9 69 69 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Ponte a prueba PISA Lee la situación y el texto 1 y responde las preguntas correspondientes. Ponte a prueba PISA Página 70 Sugerencia didáctica. El propósito de esta sección es evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes durante el bloque. Sugiera a los estudiantes que antes de responder cada pregunta, las lean con mucha atención y que en su cuaderno o en una hoja realicen los cálculos necesarios para responder, siguiendo los procedimientos que requiera cada situación, antes de leer las opciones de respuesta. Una vez finalizada la evaluación, organice una revisión en grupo de los resultados, con el fin de detectar las fallas más frecuentes y para trabajar en conjunto en su corrección. Es importante revisar los procedimientos de los estudiantes, porque en algunos casos, el procedimiento es el correcto, pero el error puede estar al hacer los cálculos u operaciones correspondientes. La maestra Lourdes de Español le propuso a su grupo realizar un proyecto de investigación. El tema que eligieron entre todos fue el sexismo en el español y definieron estos subtemas: 1. Sexismo, 2. Sexismo y lengua y 5 1.3. Para El español, hacer unos ¿sexista? bastidores, Se propusieron un carpintero descubrir utilizará si nuestra clavos lengua que miden es o 8node sexista. pulgada, de modo que al clavarlos queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de cada Definición clavo de quesexismo quedarálingüístico dentro de la madera. 2. Indica Un hablante en la incurre regla correspondiente en sexismo lingüístico la longitud cuando de emite cada un unomensaje de los clavos que, debido cuyasa su medidas forma se (es presentan decir, debido a a lascontinuación. palabras escogidas o al modo de enhebrarlas) y no a su fondo, resulta discriminatorio por razón de sexo. Por el contrario, cuando la discriminación se debe al fondo del mensaje y no a su forma, se incurre en sexismo social. Una misma situación de la realidad, sexista Clavoo no, puede describirse Longitud con un mensaje sexista o no. Sexismo social y sexismo lingüístico están relacionados entre sí pero no 3deben identificarse. de pulgada M 4 Ejemplos: Quien diga que Las mujeres son menos inteligentes que los hombres incurrirá en sexismo social pero 5 no en sexismo lingüístico; en cambio, la frase Los varones y de laspulgada hembras son inteligentes por igual, no incurre en N sexismo social pero sí en sexismo lingüístico, por emplear8 la voz hembras en vez de mujeres. La frase A la 1 manifestación acudieron muchos funcionarios mujeres describe una situación no sexista con de pulgada O y también1 muchas 4 una frase sexista; en cambio, la frase El consejo estaba compuesto por once varones y tres mujeres describe una X 1.2 cm situación sexista con una frase no sexista. Y NM 3.8 cm 7.6 cm Álvaro García Meserguer, “El español, unaZ lengua no sexista”, http://ddd.uab.cat/pub/elies/elies_a2002v16/ Garcia.html Respuestas 1. 0.525 pulgadas. 2. . Pulgadas O Pulgadas x y Centímetros z Centímetros 3. En la siguiente figura se muestra una pila de latas. a) ¿Cuántas latas habrá en una pila de 20 niveles? b) ¿Y en una de 100 niveles? 3. a) Tendrá 210 latas. b) Tendrá 5 050 latas. 70 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 70 . . BLOQUE 1 Página 71 4. Encierra el único triángulo ABC que corresponde a la siguiente descripción. Respuestas El triángulo ABC es escaleno. D es un punto dentro del segmento CE. El segmento DE es menor que el EB. EB es una mediana del triángulo ABC. El área del triángulo BCD es mayor que el área del triángulo BDE. a) b) A A 4. d. 5. a) 2.4 h b) 6 h D E C D c) B E B C d) A A E D D B C e) E B C A C D E B 5. Un tinaco de 5000 L puede ser llenado por dos tomas de agua, la primera lo llena en 6 h y la segunda en 4 h. a) Si el tinaco se encuentra vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará utilizando las dos tomas de agua de manera simultánea? . b) ¿En cuánto tiempo se llenará un tinaco vacío de 12 500 L utilizando las mismas tomas de agua de manera simultánea? . 71 71 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. PONTE A PRUEBA ENLACE Ponte a prueba ENLACE Ponte a prueba ENLACE Página 72 1. ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma posición que 0.3 en la recta numérica? Respuestas 1. c. 2. c. 3. a. 4. c. 5. c. a) b) c) d) 8 12 1 No existe tal fracción. 2. ¿Qué número le corresponde a b en la siguiente recta numérica? 0 a) b) c) 1 b 13 5 5 8 8 5 d) 1.3 3. Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de 1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le tocó medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona? a) b) c) d) $20 $25 $30 $40 4. La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto medio de uno de sus lados cuando el triángulo es… a) b) c) d) equilátero. isósceles. rectángulo. escaleno. 5 5. Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado de un litro mezcle 8 de L de la solución A y 0.1 L de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 L”. ¿Cuántos litros se necesitan de agua destilada? a) 2 8 3 b) 9 c) 11 40 15 d) 8 72 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 72 BLOQUE 1 Ahora sé Ahora sé Página 73 Autoevaluación Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la importancia de las evaluaciones, pues les permiten reflexionar sobre sus avances. Sugiera que después de completar la autoevaluación identifiquen cuál fue la secuencia en la que tuvieron mayor dificultad para resolver las actividades y propicie que discutan estrategias para mejorar. Marca con una la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y responde la pregunta. ¿Lo logré? Aprendizaje esperado Sí No ¿Cómo puedo mejorar? Convierto fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Represento números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Resuelvo y planteo problemas que implican más de una operación de suma y resta de fracciones. Construyo sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulo en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Explico el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Trazo triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Trazo y analizo las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Resuelvo problemas de reparto proporcional. Identifico y practico juegos de azar sencillos y registro los resultados. Elijo estrategias en función del análisis de resultados posibles. Coevaluación La siguiente tabla es para evaluar a cada uno de tus compañeros de equipo. Anota su nombre y responde sí o no a los indicadores propuestos. Es muy importante que seas objetivo, pues tus comentarios deben servir para que tu compañero mejore su desempeño. Nombre de mi compañero Indicador Sí No Tú le recomiendas… Se integró el equipo y mantuvo una actitud participativa Asistió a todas las reuniones acordadas por el equipo. Mostró entusiasmo en clases y reuniones del equipo. Cumplió en tiempo y forma con las tareas asignadas. Aportó ideas originales y creativas para la realización de las actividades. Comunico en forma clara y cordial al equipo sus ideas respetando las opiniones de sus compañeros y estableciendo sus propios puntos de vista. Con tu maestro Revisen con su maestro, las tablas. Después, en grupo y con el apoyo de su maestro elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su desempeño en equipo. 73 73 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Libros del alumno Código SEP: S00136 ISBN SEP: 978-607-463-937-7 ISBN: 978-607-463-938-4 Código SEP: S00149 ISBN SEP: 978-607-463-967-4 ISBN: 978-607-463-968-1 Visite el Centro de Recursos Digitales para docentes • Libro del alumno (Bloque muestra) • Guía del maestro • Planificador editable • Generador de exámenes • Ligas de interés www.edicionescastillo.com/CRD_secundaria.html
