Download Raíces de números complejos.

NÚMEROS
COMPLEJOS
U.D. 2
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
1
RADICALES EN LOS
Nºs COMPLEJOS
U.D. 2.8
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
2
POTENCIAS EN FORMA POLAR
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POTENCIAS DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
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La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que
tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento, n veces
el argumento del complejo dado.
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Ejemplos:
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Soluciones:
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FÓRMULA DE MOIVRE
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Fórmula de Moivre
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Si expresamos la fórmula
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que para r = 1, resulta:
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EJEMPLO: Comprobar la fórmula de Moivre para n = 2.
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Desarrollando
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Resultados que ya hemos visto en trigonometría.
@ Angel Prieto Benito
en forma trigonométrica:
llegamos a:
Apuntes 1º Bachillerato CT
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RAÍCES EN FORMA POLAR
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RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
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Las raíces n-ésimas de un número complejo
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complejos, que tienen de módulo la raíz n-ésima del módulo y
por argumento
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dando valores a la k (0, 1, 2, 3, … , n – 1) se obtienen todas las soluciones.
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son n números
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RAÍCES EN FORMA POLAR
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Ejemplo 1
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3
|z|=√8 = 2
α=90º
α1=(90º+2.0.180º)/3 = 30º
α2=(90º+2.1.180º)/3 = 150º
α3=(90º+2.2.180º)/3 = 270º
z2=2150º
r=2
z1=230º
z3=2270º
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RAÍCES EN FORMA POLAR
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Ejemplo 2
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3
6
|z|=√√(4+4) = √8 = √2
α=arctg 2/2 = 45º
α1=(45º+2.0.180º)/3 = 15º
α2=(45º+2.1.180º)/3 = 135º
α3=(45º+2.2.180º)/3 = 255º
z2= √2135º
z1= √215º
r=√2
z3= √2255º
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RAÍCES EN FORMA POLAR
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Ejemplo 3
4
√ -81i
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4
|z|=√81 = 3
α=270º
α1=(270º+2.0.180º)/4 = 67,5º
α2=(270º+2.1.180º)/4 = 157,5º
α3=(270º+2.2.180º)/4 = 247,5º
α4=(270º+2.3.180º)/4 = 337,5º
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z1= 367,5º
z2= 3157,5º
z3= 3247,5º
z4= 3337,5º
@ Angel Prieto Benito
z1= 367,5º
z2= 3157,5º
r=√2
z4= 3337,5º
z3= 3247,5º
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TEOREMA FUNDAMENTAL
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Teorema fundamental del álgebra
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Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos,
tiene n raíces ó soluciones.
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Ejemplos
Soluciones
a) z3 – 2.z2 + 4.z – 8 = 0
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Haciendo ecuaciones
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Encuentra una ecuación que tenga por raíces:
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1º.- z1 = 2, z2 = – 4i, z3 = + 4i
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(z – 2).(z + 4i).(z – 4i) = 0  (z – 2).(z2 – 16i2) = 0 
 (z – 2).(z2 + 16) = 0  z3 – 2.z2 + 16.z – 32 = 0
•
2º.- z1 = 1, z2 = – 1, z3 = i y z4 = – i
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(z – 1).(z + 1).(z – i). (z + i) = 0  (z2 – 1).(z2 – i2) = 0 
 (z2 – 1).(z2 + 1) = 0  z4 – 1 = 0
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3º.- z1 = 2, z2 = 1 – 4i, z3 = – 3 y z4 = 1 + 4i
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(z – 2).(z – (1 – 4i)).(z +3). (z – (1 + 4i)) = 0
(z2 + z – 6). (z – 1 + 4i).(z – 1 – 4i) = 0 
 (z2 + z – 6). (z2 – 2z + 1 + 16) = 0
z4 – z3 + 9.z2 + 29.z – 102 = 0
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10
• Encuentra una ecuación que tenga por raíces:
• 4º.- z1 = 2i, z2 = – i, y z3 = – 3i
• (z – 2i).(z + i).(z + 3i) = 0
 (z2 – zi + 2).(z + 3i) = 0
• z3 + (3i – i).z2 + (2 – 3i2).z + 6i = 0 
•  z3 + 2i.z2 + 5.z + 6i = 0
• 5º.- z1 = i, z2 = – i, z3 = 3i , z4 = – 3i , z 5 = 2
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(z – i).(z + i).(z + 3i) .(z – 3i).(z – 2) = 0 
 (z2 – i2). (z2 – (3i)2).(z – 2) = 0 
 (z2 + 1). (z2 + 9).(z – 2) = 0 
 (z4 + 10.z2 + 9).(z – 2) = 0 
 z5 + 10.z3 + 9.z – 2.z4 – 20.z2 – 18 = 0
 z5 – 2.z4 + 10.z3 – 20.z2 + 9.x – 18 = 0
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FORMA EXPONENCIAL
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Forma Exponencial o de Euler.
Un número complejo en forma trigonométrica se expresa como:
z = r(cos α + i.sen α).
Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler:
eiα = cos α + i.sen α
Nos queda:
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z = r·eiα
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Ejemplos
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z =230º
z =345º
z =160º
z =√2180º
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 z = 2.ei30º
 z = 3.ei45º
 z = ei60º
 z = √2.ei180º
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