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Vibraciones en sistemas
físicos
Autor: Tadeusz Majewski
Capítulo 12
Mecánica vibratoria
TEMARIO
I. Introducción
II. Rotación de un motor con desbalance
III. Balanceo automático
IV. Fricción con vibraciones
V. Transporte vibratorio
VI. Eliminador dinámico de las vibraciones
VII. Péndulo con vibraciones del eje
Objetivos del capítulo 12
La mecánica vibratoria permite entender y explicar
algunos fenómenos que ocurren en los sistemas
mecánicos con vibraciones, entre ellos se cuentan:
el autobalance de rotores, la disminución de la
fuerza de fricción, el transporte vibratorio, el
eliminador sincrónico de vibraciones y el cambio
de la posición de equilibrio en un péndulo.
I. Introducción
En todo sistema vibratorio existen fuerzas de inercia.
Cuando el sistema no es linear ni paramétrico, entonces
estas fuerzas pueden cambiar sus propiedades al mover
a los elementos libres continuamente a una nueva
posición en la cual pueden aumentar o disminuir las
vibraciones del sistema.
Las fuerzas vibratorias también pueden modificar una
posición estáticamente estable a una no estable en un
péndulo y viceversa.
Con ayuda de las vibraciones y de la fricción se puede
lograr el transporte vibratorio de las piezas y cambiando
las componentes de las vibraciones, se pueden controlar
la dirección y la velocidad de movimiento de las piezas.
I. Introducción
El uso de fuerzas vibratorias permite simplificar y dividir el sistema
en subsistemas y analizar más fácilmente sus propiedades bajo
la acción de las fuerzas vibratorias.
Con este método se puede explicar por qué a veces el rotor no
puede acelerar, el péndulo ocupa una posición desplazada con
respecto a la vertical, y la posición baja pierde su estabilidad o
la posición inversa es la posición estable.
En este capítulo se estudia un método para definir las fuerzas
vibratorias y se muestran algunos ejemplos donde éstas
desempeñan un papel importante.
A esta parte de la mecánica que estudia las fuerzas vibratorias se
le llama mecánica vibratoria.
II. Rotación de un motor con
desbalance
II. Rotación de un motor con
desbalance
En la diapositiva anterior se muestra un rotor con su
sistema de suspensión.
El desbalance del rotor genera vibraciones que
afectan su comportamiento, especialmente
cuando se aproxima a la condición de resonancia.
Las vibraciones generan un momento vibratorio que
frena al rotor y cuando el momento del motor no
es lo suficientemente grande, entonces el rotor
no puede acelerar.
II. Rotación de un motor con
desbalance
En la diapositiva se muestra a una masa m
situada a una distancia r con respecto al eje de
rotación O, que causa el desbalance del rotor.
La masa del rotor junto con su base es M.
El desplazamiento del rotor en dirección vertical
se define con la coordenada x.
El motor produce el torque T, la velocidad del
rotor es ω =  y su aceleración es ε = .
II. Rotación de un rotor con
desbalance
Las vibraciones del sistema se definen por las
ecuaciones:
Mx  cx x  kx  rm 2 cos( )  mr
sen( )
'
J
  c   T  mrxsen( )  T  M i
Cuya solución es:
x(t )  A cos(t   )
donde la amplitud A =
s
m
r
M
s2
(1  s 2 ) 2  (2s) 2
cx

2s
; 
; tan( ) 
;   (0,  )
o
2Mo
1 s2
II. Rotación de un rotor con
desbalance
Cuando se conoce la vibración del rotor entonces
se pueden calcular el momento vibratorio y su
valor promedio como:
1
Mi 
T
T

0
M i' dt
1 T

mrxsen(t )dt  0.5mrA  2 sen( )
T 0

El momento inercial Mi es negativo y esto significa
que siempre frena al rotor.
Con un aumento del desbalance el momento
vibratorio también aumenta.
II. Rotación de un rotor con
desbalance
Cuando el rotor está cerca de la condición de resonancia ω ≈ ωo =
√k/M, entonces el momento Mi puede adoptar un valor elevado.
Las condiciones de resonancia son ω ≈ ωo, Amáx, φ ≈ π/2.
El torque del motor T que impulsa al rotor debe ser mayor que el
momento vibratorio; T > Mi.
La diferencia M = T − Mi es el impulso que acelera al rotor.
Cuando el rotor gira con una velocidad constante ω1 entonces el motor
tiene que generar el torque.
T(ω1) +Mi(ω1) = 0
cuyo valor depende del desbalance del rotor y de la amplitud de las
vibraciones.
III. Balanceo automático
III. Balanceo automático
La diapositiva anterior muestra un rotor con un
grado de libertad que gira a velocidad
constante ω.
El centro de masa del rotor C está a la distancia
e con respecto al eje de rotación O.
Dentro del rotor se colocan algunas esferas
libres con masa m que se desplazan a lo largo
de la trayectoria circular de radio R.
III. Balanceo automático
El rotor se desplaza solo en la dirección vertical y la
posición del eje O se define con la coordenada x.
La posición de la esfera con respecto al rotor se define
con el ángulo αi.
El sistema de coordenadas xOy gira con el rotor.
La rotación del rotor con desbalance causa la vibración
x(t) que genera una fuerza inercial sobre cada esfera
que hace que ésta se desplace con respecto al rotor.
Se acepta que todas las esferas presentan resistencia
viscosa.
III. Balanceo automático
Las ecuaciones de movimiento del rotor y de las esferas
son respectivamente:
2
2
Mx  c x x  kx  Me cos(t )  mR (   i ) cos(t   i )

mRi  ci mR i  mxsen(t   i ); i  1,2,.., N
donde M es la masa total del sistema (rotor con las
esferas), k y cx son la rigidez y el amortiguamiento de
la suspensión del rotor, Me es el desbalance del
rotor, ci es el coeficiente de amortiguamiento de la
esfera en su movimiento con respecto al rotor y N es
el número de esferas.
III. Balanceo automático
Las esferas se desplazan lentamente con respecto
al rotor ( << ω, son pequeñas) y la solución
de la ecuación de movimiento del rotor es:
x(t )  aox cos(t   x ) 
N
a
ix
cos(t  1   x )
i 1
donde las amplitudes de las vibraciones y el
ángulo de fase se calculan con las relaciones:
III. Balanceo automático
( / o ) 2
( / o ) 2
m
aox  e
; aix 
R
;y
2 2
2
2 2
2
M
(1  ( / o ) )  (2 / o )
(1  ( / o ) )  (2 / o )
tan( ) 
2 / o
1  ( / o ) 2
El rotor está balanceado cuando, para cualquier
instante de tiempo, la fuerza que actúa sobre
el rotor es cero.
De la ecuación de movimiento del rotor:
Me cos(t )  mR
N
 cos(t   )  0
i
i 0
III. Balanceo automático
Esto es verdad si:
N
Me  mR
 cos(
i 0
N
if
)  0; mR
 sen(
if
)0
i 0
Para una esfera situada dentro del rotor, estas
ecuaciones se cumplen cuando la esfera
ocupa la posición αif = y su masa es m = Me/R
Para dos esferas, el sistema está balanceado
para las siguientes posiciones:
α1f = arccos(−Me/2mR) y α2f = −α1f
III. Balanceo automático
Cuando se usan más esferas, entonces sus reacciones
sobre el rotor son parecidas a las de dos esferas,
ocupando posiciones combinadas.
La siguiente diapositiva ilustra el método de balanceo
automático.
El sistema detecta el desbalance y cambia
automáticamente la posición de las esferas con
respecto al rotor dependiendo del desbalance, y
entonces las esferas ajustan las fuerzas dinámicas que
actúan sobre el rotor.
III. Balanceo automático
Método del balanceo automático
IV. Fricción con vibraciones
La fricción está presente en todos los sistemas
mecánicos; sin fricción no es posible el
movimiento de personas, animales, coches,
trenes, etc.
Por medio de la fricción se detienen los coches,
pero la fricción también produce desgaste y
pérdida de energía.
Experimentalmente, se puede demostrar que las
vibraciones disminuyen la fricción.
IV. Fricción con vibraciones
Para explicar el fenómeno de la fricción de
forma más simple, se emplea el modelo de
Coulomb donde la fuerza de fricción F se
define como una función de la fuerza normal
N así como del coeficiente de fricción μ0, y la
fuerza de fricción F es opuesta a la velocidad
relativa v entre los dos cuerpos
F = −μ0Nsign(v) = F0sign(v), v ≠ 0
IV. Fricción con vibraciones
IV. Fricción con vibraciones
La diapositiva anterior muestra un cuerpo sobre
un plano horizontal que vibra de manera
armónica y las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo (diagrama de cuerpo libre).
Como el plano vibra de manera armónica:
x0(t) = Axsen(ωt)
donde Ax es la amplitud y ω la frecuencia del
plano vibrador.
IV. Fricción con vibraciones
El movimiento del cuerpo se define con respecto
al plano y por eso es necesario introducir la
fuerza inercial Ix:
I x (t )  mx  m 2 Ax sen(t )
Del diagrama de cuerpo libre, la fuerza normal al
plano toma el valor N = mg y se obtiene la
siguiente ecuación que define el movimiento
relativo del bloque con respecto al plano:
mx  P  I x  F  S
donde P es la fuerza de empuje
IV. Fricción con vibraciones
El bloque se puede mover cuando P + Ix + F = 0 y
esta condición define el valor mínimo de la
fuerza Pmín para mover el bloque:
Pmin  F0  I xmín  0 mg  mA 2
El bloque empieza a moverse con respecto al
plano cuando P > Pmín
Sin las vibraciones el bloque se puede mover
cuando:
P0 > F0 = μ0N = μomg
IV. Fricción con vibraciones
Cuando la fuerza P se encuentra en el rango
Pє(Pmin, F0), entonces el bloque se mueve con
paros (stick-slip motion) a una velocidad
promedio constante.
El coeficiente de fricción μo se define como el
cociente de la fuerza mínima entre la fuerza
normal.
Para el caso del coeficiente de fricción con
vibraciones, se obtiene un nuevo coeficiente
de fricción: el coeficiente equivalente μeq.
IV. Fricción con vibraciones
 eq
Pmín
A 2

 o 
N
g
Este coeficiente es menor que el coeficiente μ0 y su
valor disminuye cuando la amplitud o la
frecuencia de las vibraciones de placa aumentan.
Para una gran amplitud o frecuencia de la vibración,
es posible obtener un coeficiente con valor cero y
en este caso una fuerza P pequeña puede mover
el bloque.
V. Transporte vibratorio
El transporte vibratorio se usa en diferentes
industrias para suministrar materiales en
grandes cantidades, y además el cribado de
algunos materiales, o la orientación de los
elementos en el proceso de ensamblaje.
La velocidad de los elementos y su frecuencia de
suministro es función de las vibraciones de la
pista y de la fricción entre el elemento y el
plano que vibra.
V. Transporte vibratorio
Existen diferentes tipos de transportes, algunos
generan sus vibraciones mediante un
excitador electromagnético y otros tienen
excitadores mecánicos o inerciales.
Dependiendo de los parámetros de vibración de
la pista, el elemento se desplaza cíclicamente
en la dirección positiva o a veces negativa,
pero su velocidad promedio siempre es
positiva.
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
En una banda transportadora sinfín horizontal,
como la que se ilustra en la diapositiva
anterior, la fuerza de fricción puede tener
valores positivos (Fo2) cuando se desplaza en
la dirección positiva, o valores negativos (Fo1)
cuando se desplaza en la dirección negativa.
La base vibra de forma armónica conforme a:
x0(t) = Axsen(ωt)
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la
diapositiva anterior, el movimiento de la pieza
con respecto a la base empleando la segunda ley
de Newton, se define con la ecuación:
mx  I x  F  S
donde Ix es la fuerza inercial definida como:
I x  mxo  m 2 Ax sen(t )
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
Cuando la fuerza Ix es mayor que la fuerza de fricción F (Ix >
F), entonces la pieza se mueve.
Para Ix > F02 la pieza se mueve en dirección positiva.
Para |Ix| > |F01|, ella se mueve en dirección negativa.
Si la banda transportadora vibra en dos direcciones x
(horizontal) y y (vertical), entonces se consideran dos
ecuaciones armónicas x0(t) y y0(t):
x0(t) = Axsen(ωt)
y0(t) = Aysen(ωt + ψ)
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
donde Ax, Ay son las amplitudes, ω es la frecuencia
y ψ es el ángulo de fase entre las componentes
de las vibraciones.
Las fuerzas vibratorias en ambas direcciones son:
I x  mx0  m 2 Ax sen(t )
I y   my0  m 2 Ay sen(t   )
Las fuerzas vibratorias horizontal y vertical no
actúan simultáneamente sobre la pieza (véase la
siguiente diapositiva).
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
V. Transporte vibratorio
Banda transportadora sinfín
Cuando la pieza pierde contacto con el plano
horizontal, entonces es accionada por la
fuerza vibratoria en sentido vertical.
El movimiento de la pieza a lo largo del eje x se
define con la ecuación:
mx  F  I x  S
Cuando la pieza pierde contacto, entonces su
movimiento en la dirección perpendicular a la
pista está definido por:
my  I y  mg
V. Transporte vibratorio
Por falta de espacio, no es posible mencionar
todos los aditamentos existentes que emplean
los principios del transporte vibratorio.
Se menciona brevemente al tazón vibratorio,
que se usa ampliamente en la orientación y
liberación de piezas para su ensamblaje en la
producción en masa.
Es muy común en el ensamblaje de elementos
pequeños, ya sean mecánicos o electrónicos.
V. Transporte vibratorio
Tazón vibratorio
Como las piezas que se suministran tienen masas y
rugosidades diferentes, es necesario cambiar los
parámetros de vibración según el caso.
El tazón tiene una pista en espiral en su interior por la que
viajan los elementos.
La vibración del tazón se genera con un excitador
electromagnético, y éste puede tener más pistas para
aumentar el número de piezas suministradas.
El movimiento ascendente de la masa se produce por una
diferencia entre las fuerzas inerciales y la de fricción
(véase la siguiente diapositiva).
V. Transporte vibratorio
Tazón vibratorio
VI. Eliminador dinámico de las
vibraciones
En el primer ejemplo de este capítulo se estudió el
sistema de balance automático de un rotor.
El rotor con desbalance genera vibraciones que
producen fuerzas vibratorias que desplazan a
diversos elementos libres (esferas o rodillos).
Cuando las esferas se desplazan, el desbalance total
cambia y para una combinación de su posición, las
esferas generan una fuerza opuesta al desbalance del
rotor.
VI. Eliminador dinámico de las
vibraciones
El mismo principio se aplica para eliminar las
vibraciones generadas por otros tipos de
excitación.
La siguiente diapositiva muestra un objeto con un
grado de libertad que vibra por la acción de la
fuerza armónica F(t) o por la vibración de la base
z(t).
El objeto tiene un disco que gira y dentro del cual
hay algunas esferas o rodillos libres que se
desplazan con respecto al disco.
VI. Eliminador dinámico de las vibraciones
VI. Eliminador dinámico de las
vibraciones
El disco gira con una velocidad angular ω.
La posición de las esferas se define mediante el ángulo
αi con respecto a los ejes Oxy que giran con el disco,
y el desplazamiento vertical del objeto se define con
la coordenada x.
Las ecuaciones diferenciales que definen el
comportamiento del objeto y el movimiento de las
esferas son:
VI. Eliminador dinámico de las vibraciones
N
Mx  cx  kx  F (t )  mR

(   i ) 2 cos(t   i )
[1]
i 1
mR  mxsen(t   i )  ci R i
Al igual que en el caso del balanceo automático, las
esferas eliminan las vibraciones del objeto.
Sus posiciones finales son opuestas a la de la
excitación, lo cual provoca la eliminación de las
vibraciones del objeto.
VI. Eliminador dinámico de las
vibraciones
La vibración del objeto está definida por la siguiente
ecuación, que es la solución de la ecuación [1]:
x(t )  a0 sen(t   )  a
N
 sen(t  
i
)
i 0
Si se conocen las vibraciones x(t), entonces se puede
calcular la fuerza vibratoria:
Fi 
1
T
T
 sen(t   )dt
0
i
VI. Eliminador dinámico de las
vibraciones
Fi  0.5m [a0 sen( i   )  a
2
N
 sen(
i
  j  )
i 0
Por la acción de estas fuerzas F1, F2, . . . , FN las
esferas se mueven sincrónicamente con la
excitación y finalmente ocupan las posiciones
δ1f, δ2f, . . . , δNf donde las esferas compensan a
la excitación F(t) y el objeto no vibra.
VI. Eliminador dinámico de las
vibraciones
La siguiente diapositiva muestra una aplicación de este
tipo de eliminador de vibraciones en un vehículo.
La rugosidad del camino genera vibraciones en las
ruedas y en la carrocería.
Se fijan a las ruedas anillos con esferas, las que
cambian su posición con respecto a la rueda y
eliminan las vibraciones de las ruedas.
Con este método, también se eliminan las vibraciones
de la carrocería si se cumplen ciertas condiciones.
VI. Eliminador dinámico de las vibraciones
VII. Péndulo con vibraciones del eje
VII. Péndulo con vibraciones del eje
La vibración libre de un péndulo con momento de masa
J con respecto al eje de rotación O mostrado en la
diapositiva anterior, se define por la ecuación
diferencial:
J  mgesen  0
Cuya solución es:
 (t )  C1sen(0t )  C2 cos(0t )
[1]
VII. Péndulo con vibraciones del eje
donde ω0 = √meg/J es la frecuencia natural y C1,
C2 son constantes que dependen de las
condiciones iniciales.
Si ψ = 0, la posición del péndulo es estable, es
decir, el péndulo siempre regresa a su posición
inicial.
La figura a) ilustra a un péndulo con eje fijo y la
figura b) a un péndulo con eje que vibra en la
dirección vertical.
VII. Péndulo con vibraciones del eje
Cuando el eje del péndulo vibra, entonces las
propiedades del péndulo cambian y para
algunos parámetros de excitación su posición
más baja se hace no estable o la posición más
alta se hace estable
Cuando el eje vibra en la dirección vertical, la
ecuación de esta vibración es:
x0 (t )  Ax sen(t )
Y la ecuación diferencial [1] adopta la forma:
VII. Péndulo con vibraciones del eje
J  meg  mex0
  (a  2qsen(2 ))  0
a  4meg /( J 2 ); q  2meAx / J ;  2t
A este sistema de ecuaciones se le conoce como
ecuación de Mathieu y su solución ψ(t) depende de
los parámetros a y q.
Si estos parámetros están dentro del área rayada del
diagrama de estabilidad que se muestra enseguida,
entonces la solución es estable, y en caso contrario
no lo es.
VII. Péndulo con vibraciones del eje
VII. Péndulo con vibraciones del eje
La posición de equilibro del péndulo y su
estabilidad dependen de las fuerzas
actuantes y por eso, deben estudiarse las
fuerzas vibratorias que actúan sobre el
péndulo.
En la siguiente diapositiva se muestra el
péndulo cuyo eje vibra según la armónica
ζ(t) = Asen(Ωt) en la dirección definida
por el ángulo β.
VII. Péndulo con vibraciones del eje
VII. Péndulo con vibraciones del eje
El pivote tiene una componente vertical y otra
horizontal y por esto, el péndulo puede ocupar una
posición diferente de la vertical para α0 ≠ 0, 180°.
Las fuerzas vibratorias pueden cambiar las
propiedades del péndulo.
Por ejemplo la posición más baja del péndulo, que es
normalmente
estable,
puede
cambiar
a
dinámicamente no estable y la posición superior
estáticamente no estable cambia a dinámicamente
estable.
VII. Péndulo con vibraciones del eje
La vibración del pivote cambia la posición de
equilibrio del péndulo y, por esto, la posición
inversa se puede hacer estable.
Por razones de espacio no se puede estudiar
este problema detalladamente en este
material didáctico, ya que el desarrollo
matemático es muy largo.