Download Teorema de Pitágoras.

U. D. 7 * 4º ESO E. AP.
SEMEJANZA
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
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U. D. 7.4 * 4º ESO E. AP.
TEOREMA DE PITÁGORAS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
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Teorema de Pitágoras.
•
En un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de cuadrados de los
catetos.
•
Los triángulos sagrados de los
agrimensores egipcios ya
empleaban los triángulos de lados:
3,4 y 5 nudos
y de 5,12 y 13 nudos para hallar
ángulos rectos.
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•
a
c
b
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•
Observa la figura:
Ilustra una de las pruebas más
conocidas para demostrar el
Teorema de Pitágoras
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Demostración GEOMÉTRICA
b.c / 2
b.c / 2
b.c / 2
b.c / 2
b.c / 2
b.c / 2
b.c / 2
•
Por una parte:
•
b2 + c2
•
Por otra parte:
•
4. (b.c / 2) + (b – c)2 =
•
= 2.b.c + b2 – 2.b.c + c2 =
•
= b2 + c2
•
Conclusión: El área del
cuadrado cuyo lado es la
hipotenusa, es la suma de
las áreas de los
cuadrados de los catetos.
c
b
b.c / 2
b.c / 2
Cuadrado de lado l
l = b – c  A = (b – c)2
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Verificación.
6
a2 = b2 + c2
6
6
En Azul+Rojo:
6
25 = 6+6+6+6+1
6
9
6
6
6
25 = 25
c=3
En Naranja:
b=4
6
16
6
Cuadrado de lado l
25 = 16 + 9
Efectivamente:
42 + 32 = 25
l=4–3=1 A=1
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Demostración ANALÍTICA
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A
Partimos de un triángulo rectángulo
ABC y aplicamos en el mismo el
Teorema de Tales:
El triángulo ABC es semejante al
triángulo ABD por tener los ángulos
iguales.
m c
--- = ---  m.a = c2
B
c
a
Asimismo el triángulo ABC es
semejante al triángulo ADC por
tener los ángulos iguales.
n b
--- = ---  n.a = b2
b
a
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c
b
h
m
n
a
•
•
•
•
C
D
Si sumamos las dos expresiones
obtenemos:
m.a + n.a = b2 + c2
a.(m + n ) = b2 + c2
a.a = b2 + c2  a2 = b2 + c2
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Ejemplo_1
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Comprueba que las ternas {3,4 y 5} y {5,12 y 13} utilizadas por los
agrimensores egipcios cumplen el Teorema de Pitágoras.
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•
a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2
•
Ejemplo_2
•
Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos
mide 5 cm más que el otro y la hipotenusa vale 15 cm.
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Sea x un cateto y (x + 5) el otro.
Por el T. de Pitágoras:
a2 = b2 + c2  152 = (x + 5)2 + x2 
 125 = x2 + 10.x + 25 + x2  2.x2 + 10.x – 100 = 0
Resolviendo la ecuación:
x = [– 10 ± √(100 + 800)] / 4 = [– 10 ± 30] / 4 = 5 cm y – 10 cm
Luego x = 5 cm un cateto, x + 5 = 5 + 5 = 10 cm el otro
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 52 = 42 + 32  25 = 16 + 9  25 = 25
 132 = 122 + 52  169 = 144 + 25  169 = 169
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Aplicación
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Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor.
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Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO.
Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a.
Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO.
Los tres ángulos son menores de 90º.
Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO.
Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a.
a
c
c
a
a
A<90º
c
A=90º
A>90º
b
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b
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b
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Ejercicios
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1.¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm
respectivamente?.
Resolución
El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo.
Como a2 = b2 + c2  102 = 72 + 52  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74
Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo.
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2.¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm
respectivamente?.
Resolución
El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo.
Como a2 = b2 + c2  612 = 602 + 112  3721 = 3600 + 121 
Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo.
3.¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm
respectivamente?.
Resolución
El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo.
Como a2 = b2 + c2  122 = 112 + 102  144 = 121 + 100  144 = 221  144 <
121
Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.
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Problemas de Pitágoras
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Ejemplo_1
•
Al construir un marco para una ventana
rectangular, un carpintero mide el largo y
la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm
respectivamente. ¿Qué tiene que medir el
alto para que el marco esté bien hecho?.
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Como la ventana ha de ser un rectángulo,
se debe cumplir el Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2 
h2 = 100 – 64 
h2 = 36  h = 6 dm debe medir.
La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm
Es imposible porque sólo hay longitudes
positivas.
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10 cm
h
8 cm
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Problemas de Pitágoras
•
Ejemplo_2
•
Una escalera mide 13 m de larga. La
colocamos inclinada sobre una pared, de
modo su base está separada 5 m de la
pared.
¿Qué altura alcanza la escalera en estas
condiciones?.
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•
Como pared y el suelo forman un ángulo
de 90º, podemos aplicar el Teorema de
Pitágoras:
a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2 
169 = 25 + h2 
h2 = 169 – 25 = 144
h = √144 = 12 m alcanza la escalera.
La otra solución, - 12 m , no vale.
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13 m
h
5m
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