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ESTADÍSTICA
UNIDIMENSIONAL
TEMA 11
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
1
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
TEMA 11.6 *
@ Angel Prieto Benito
1º BCS
Matemáticas Aplicadas CS I
2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
•
Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los
valores en una serie estadística respecto de la media.
•
RECORRIDO
variable.
•
DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la
serie. Pueden ser valores negativos o positivos.
La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero.
•
Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la
•
DESVIACIÓN MEDIA Es la MEDIA aritmética de la suma de valores
absolutos de todas las desviaciones de una serie.
•
•
•
•
∑ | xi - x |.fi
Dm = -----------------, que da siempre un valor positivo.
∑ fi
Se emplea para comparar dos series semejantes.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
3
•
VARIANZA
•
Es la MEDIA ARITMÉTICA de los cuadrados de las desviaciones respecto de la
media.
•
•
•
•
∑ [ (xi - x )2 . fi ]
∑ xi2. fi
V = ------------------------ = ----------- -- x2
∑ fi
∑ fi
•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
•
•
Es la raíz cuadrada de la varianza.
s = √V
Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética.
•
•
CV = s / x , que suele darse en porcentajes.
Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la
mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
4
Frecuencias relativas
Desviación Típica (σ)
El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran
entre (x-σ) y (x+σ)
68 %
x-σ
@ Angel Prieto Benito
x
x+σ
Modalidades ( valor de x )
Matemáticas Aplicadas CS I
5
Frecuencias relativas
x-3σ
68 %
x-2σ
x-σ
x
95 %
x+σ
x+2σ
x+3σ
99 %
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
6
Ejemplo_1
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
xi
fi
xi fi
|xi-x|
|xi-x|.fi
fi xi 2
3
40
120
1,80
72
360
5
30
150
0,20
6
750
7
30
210
3,20
96
1470
100
480
174
2580
•VARIANZA
•DESVIACIÓN MEDIA
•
•Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 174/100 =
∑ fi .xi 2
•V = ------------- - x 2
= 25,80 – 4,82 =
•
= 2,76
∑ fi
•DESVIACIÓN TÍPICA
•S = √V =√2,76 = 1,66
@ Angel Prieto Benito
•= 1,74
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346
Matemáticas Aplicadas CS I
7
Ejemplo_2
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
fi
xi fi
|xi-x|
|xi-x|.fi
fi xi 2
[0,5 , 3,5] 2
40
80
2,70
108
160
(3,5 , 6,5] 5
30
150
0,30
9
750
(6,5 , 9,5] 8
30
240
3,30
99
1920
100
470
216
2830
clases
xi = m.c.
•VARIANZA
•
•DESVIACIÓN MEDIA
Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 =
∑ fi .xi 2
•V = ------------- - x 2
•
∑ fi
= 28,30 – 4,72
V = 6,21
DESVIACIÓN TÍPICA
S = √V =√6,21 = 2,49
@ Angel Prieto Benito
= 2,16
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53
Matemáticas Aplicadas CS I
8
Ejemplo_3
Tamaño (en mm) de tornillos fabricados en una máquina.
clases
xi = m.c. fi
xi fi
|xi-x|.fi
fi xi 2
[9,7 , 9,8]
9,75
54
526,50
13,3974
5133,375
(9,8 , 9,9]
9,85
65
640,25
9,6265
6306,4625
(9,9 , 10]
9,95
406 4039,70
19,5286
40195,015
[10 , 10,1]
10,05
342 3437,10
17,7498
34542,855
(10,1, 10,2]
10,15
87
883,05
13,2153
8962,9575
(10,2 , 10,3]
10,25
46
471,50
11,5874
4832,875
1000 9998,10
85,1050
99973,54
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
9
•
RESOLUCIÓN EJEMPLO_3
•
•
•
•
•
MEDIA
•
DESVIACIÓN MEDIA
∑ xi.fi
9998,10
x = ---------- = ----------- = 9,9981
∑ fi
1000
•
•
•
∑ |xi-x|. fi
85,1050
Dm = -------------- = ------------ = 0,0851
∑ fi
1000
•
VARIANZA
•
•
•
∑ xi2. fi
99973,54
V = -------------- -- x2 = -------------- -- 9,99812 = 99,9735 – 99,9620 = 0,0115
∑ fi
1000
•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
S=√ 0,0115 = 0,1072
•
El 68% de los tornillos fabricados miden entre 9,89 y 10,10 mm
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
CV = s / x = 0,1072 / 9,9981 = 0,01075  1,07 %
@ Angel Prieto Benito
 x – s = 9,8909
,, x + s = 10,1053
Matemáticas Aplicadas CS I
10
Ejemplo_4
Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua.
xi
fi
hi
hi(%)
Fi
Hi(%)
fi.xi
fi.xi2
0,10
2
0,08
8
2
8
0,20
0,02
0,30
6
0,24
24
8
32
1,80
0,54
0,50
9
0,36
36
17
68
4,50
2,25
0,70
5
0,20
20
22
88
3,50
2,45
0,90
3
0,12
12
25
100
2,70
2,43
25
1
100
12,70
7,69
•DESVIACIÓN TIPICA
•Media : 0,5
•VARIANZA
•S = √V =√0,0576 = 0,24
•
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
7,69
•V = --------- – 0,5 2
•
25
@ Angel Prieto Benito
= 0,0576
•CV = s / x = 0,24 / 0,50 = 0,48
Matemáticas Aplicadas CS I
11
Ejemplo_5
Resultados de un test.
xi
fi
hi
hi(%)
Fi
Hi(%)
xi.fi
fi xi 2
0
17
0,2125
21,25
17
21,25
0
0
1
8
0,10
10
25
31,25
8
8
2
27
0,3375
33,75
52
65
54
108
3
17
0,2125
21,25
69
86,25
51
153
4
9
0,1125
11,25
78
97,50
36
144
5
2
0,025
2,5
60
100
10
50
80
1
100
159
463
•Media: 2
•VARIANZA
•VARIANZA
•
463
•V = ------ – 22
•
•s = √V =√1,78 = 1,34
80
@ Angel Prieto Benito
= 1,7875
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s/x = 1,34 / 2 = 0,67 = 67 %
Matemáticas Aplicadas CS I
12
Ejemplo_6
Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas
Clases
m.c.
ni
fi
fi(%)
Ni
Fi(%)
ni.xi
ni.xi2
[0 , 2]
1
15
0,075
7,50
15
7,50
15
15
(2 , 4]
3
50
0,250
25
65
32,50
150
450
(4 , 6]
5
75
0,375
37,50 140
70
375
1875
(6 , 8]
7
40
0,20
20
180
90
280
1960
(8 , 10]
9
20
0,10
10
200
100
180
1620
200
1
1000
5920
•
•
•
•
•
•
¿Cuántos alumnos han obtenido una nota entre 6 y 8 puntos?  40
¿Cuántos alumnos han obtenido una nota de hasta 6 puntos?  140
¿Qué porcentaje de alumnos han obtenido entre 8 y 10 puntos?  10 %
¿A cuantos alumnos corresponde una frec. acumulada del 70 %?  75
¿Cuál es la frec. relativa correspondiente a un peso de 150 puntos? 
 0,25
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Matemáticas Aplicadas CS I
13
Ejemplo_7
Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos.
clases
m.c. fi
hi
hi(%)
Fi
Hi(%)
fi.xi
fi xi 2
[1 , 3]
2
33
0,4125
41,25
33
41,25
66
132
(3 , 5]
4
12
0,15
15
45
56,25
48
192
(5 , 7]
6
15
0,1875
18,75
60
75
90
540
(7 , 9]
8
20
0,25
25
80
100
160
1280
80
1
100
364
2144
•¿Cuántos insectos han obtenido un peso entre 5 y 7 gramos?  15
•¿Cuántos insectos han obtenido un peso de hasta 5 gramos?  45
•¿Qué porcentaje de insectos han obtenido entre 3 y 5 gramos?  15 %
•¿A cuantos insectos corresponde una frecuencia acumulada del 75 %?  60
•¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a un peso de 90 gramos?  0,1875
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
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Ejemplo_8
Valoración de un político en una encuesta.
hi %
xi fi
fi.xi2
xi = m.c.
[0,0 , 2,5]
1,25
160
20
200
560
250
(2,5 , 5,0]
3,75
240
30
900
240
3375
(5,0 , 7,5]
6,25
320
40
2000
480
12500
(7,5 , 10,0] 8,75
80
10
700
320
6125
800
100
3800
1600
22250
•
•
•
•
•
•
•
fi
fi.|xi – x|
clases
¿Cuántas personas lo han valorado desfavorablemente?  20+30
¿Cuántas personas lo han valorado de 7,5 a 10 puntos  80
¿Qué porcentaje de personas lo han valorado 2,5 y 5 puntos?  30 %
¿A cuantos votantes corresponde una frecuencia del 40 %?  320
¿A qué frecuencia relativa corresponde un peso de 900 puntos?  30 %
¿Cuántos votantes presentan la máxima desviación respecto a la media?
 160, que son aquellos cuya desviación es de 560 puntos.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
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•
RESOLUCIÓN EJEMPLO_8
•
MODA
MEDIANA
•
•
•
•
•
MEDIA
•
Mo = 6,25
Md = 5
∑ xi.fi
3800
x = ---------- = ------- = 4,75
∑ fi
800
•
DESVIACIÓN MEDIA
•
VARIANZA
•
•
•
∑ |xi-x|. fi
1600
Dm = -------------- = -------- = 2
∑ fi
800
•
•
•
∑ xi2. fi
22250
V = -------------- -- x2 = ----------- -- 4,752 = 27,8125 – 22,5625 = 5,25
∑ fi
800
•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
S=√ 5,25 = 2,29
•
El 68% de los encuestados lo han valorado entre 2,46 y 7,04 puntos
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
CV = s / x = 2,29 / 4,75 = 0,48  48 %
@ Angel Prieto Benito
 x – s = 2,46
,, x + s = 7,04
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