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UNIDAD I. CONCEPTOS DE MECÁNICA. La mecánica es una teoría científica que estudia el movimiento de los cuerpos y sus causas, o bien el equilibrio, es decir, la falta de movimiento. La cinemática es la parte de la mecánica que describe el movimiento en sí, sin tener en cuenta la causa del mismo. La Dinámica es la parte de la mecánica que estudia la relación entre movimiento y las fuerzas que lo causan y las propiedades de los objetos que se mueven. PROPÓSITO DE LA UNIDAD I. Que el estudiante, adquiera conocimientos del concepto de mecánica, para aplicarlos durante las diferentes etapas y momentos de su vida, sin descuidar el significado de física, para tomar medidas preventivas para no recibir los efectos de la misma en las diferentes formas en que hacemos contacto, por ejemplo como materia o energía. Ciencia y tecnología deportiva. La ciencia y la tecnología han transformado nuestra manera de vivir, incluyendo a los deportes, que desde la antigüedad han constituido una parte importante de la actividad humana. Frente a los desafíos de esta nueva era digital, nos enfrentamos a retos que requieren mentes vivas, audaces, positivas y mentes serias, sobre todo cuando hablamos del reto que afronta el deporte ya que exige una revisión profunda y urgente de su modelo. Por mencionar algunos de los aportes que la ciencia y la tecnología han dado al deporte hablaremos de los más destacados: La industria deportiva La revolución deportiva tecnológica audiovisual La cibernética y la Informática Medicina del deporte La pedagogía y la didáctica La arquitectura Equipo de alta tecnología aplicado al deporte Fenómenos mecánicos (concepto) Son todos los movimientos de masas, es decir, siempre que algo con masa se mueve es un fenómeno mecánico, de igual forma las ondas mecánicas del sonido. Las ondas electromagnéticas y las ondas luminosas no tienen masa, por lo tanto no son fenómenos mecánicos. Corrientes de aire en el día Corrientes de aire en la noche Magnitud: es todo lo que se pueda medir con la ayuda de algún un instrumento, de manera que sea posible asignarle un valor numérico. En consecuencia, son magnitudes la longitud, el tiempo, el volumen y la dureza, por mencionar algunos ejemplos. Magnitud: Son todas las propiedades de los cuerpos que se puede medir. Por ejemplo: temperatura, velocidad, masa, peso, etc. Magnitudes a). Magnitud fundamental es aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo, longitud, etc.). b). Magnitud derivada es aquella que se obtiene mediante expresiones matemáticas a partir de las magnitudes fundamentales (densidad, superficie, velocidad). Magnitudes: Fundamentales y derivadas Alumno de segundo semestre de la U. A. Preparatoria No 6, realiza las siguientes operaciones (magnitudes fundamentales): a). Longitud (estatura) convertir 1.70 metros a centímetros Equivalencia: 1 m = 100 cm 100 𝑐𝑚 1.70 𝑚 = 𝟏𝟕𝟎 𝐜𝐦 1𝑚 b). Masa convertir de 60 kilogramos a Equivalencia: 1 kg = 1000 g 1000 𝑔 60 𝑘𝑔 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐠 1𝑘𝑔 gramos c). Tiempo (edad) convertir 15 años a segundos Equivalencia: 1 año = 365 días 1 día = 24 hr 1 hr = 60 min 1 min = 60 s 1 hr = 3600 s 15 𝑎ñ𝑜𝑠 365 𝑑í𝑎𝑠 1𝑎ñ𝑜 = 5475 días 5475 𝑑í𝑎𝑠 24 ℎ𝑟 1 𝑑í𝑎 = 131400 hr 131400 hr 3600 𝑠 1 ℎ𝑟 = 473040000 s Convertir 120 km hr cm s a Equivalencia: 1 km = 1000 m 1m = 100 cm 1 hr = 3600 s 120 𝑘𝑚 ℎ𝑟 120000 1000 𝑚 1 𝑘𝑚 𝑚 ℎ𝑟 12000000 = 120000 100 𝑐𝑚 1𝑚 𝑐𝑚 ℎ𝑟 m hr = 12000000 1 ℎ𝑟 3600 𝑠 cm hr = 3333.3333 cm s Convertir 2800 dólar a pesos mexicanos Equivalencia: 1 dólar = 13.40 pesos 13.40 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 2800 dólar = 𝟑𝟕𝟓𝟐𝟎 𝐩𝐞𝐬𝐨𝐬 1𝑑ó𝑙𝑎𝑟 Convertir 89580 pesos a dólar Equivalencia: 1 dólar = 13.40 pesos 89580 pesos 1 𝑑ó𝑙𝑎𝑟 13.40 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 = 6685.0746 dólar Actividad No. 1. En base a tu altura, masa corporal y edad, convertir ambas a centímetros, gramos y segundos. Actividad No. 2. Convertir 150 km hr 2 a Actividad No. 3. Convertir 15980 dólar a m s2 pesos ($) Cuantificación experimental de magnitudes físicas: Sistema Internacional de Unidades (S. I.) o (m.k.s.), sistema cegesimal (c.g.s.) y sistema ingles. MAGNITUD (S.I.) m.k.s LONGITUD Metro MASA Kilogramo kg TIEMPO segundo m s C.G.S INGLES Centímetros cm pie gramos g libra segundo s Segundo s ÁREA O SUPERFICIE m2 cm2 pie2 VOLUMEN m3 cm3 pie3 VELOCIDAD m s cm s pie s ACELERACIÓN m s2 cm s2 pie s2 Lb Cuantificación conceptual y matemática de magnitudes físicas. a) Magnitudes escalares: Tienen únicamente como variable un número que representa una determinada cantidad y una unidad de medida llamadas modulo. Por ejemplo la masa de un alumno ha aumentado de peso de 70 kg a 120 kg, la altura de una alumna de 1.60 m aumento a 1.70 m, los 50 alumnos, las 50 butacas, los 10 grupos de primer grado, los 28 grupos que forman la Unidad Académica: Preparatoria No. 6. Altura Tiempo Masa b) Magnitudes vectoriales: como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen dirección y sentido. Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales el desplazamiento, la velocidad, el peso, la fuerza, etc. Peso Suma de vectores por el Método gráfico y por el método analítico. Ejemplo 1. m m Encontrar el vector resultante, del vector A = 3000 y el B = 2000 s , s que se desplazan al Oeste, por el método gráfico y por el analítico. a) Método gráfico. Escala 1: 1000 m 1 cm = 1000 s A = 3000 𝑚 𝑠 B = 2000 𝑚 𝑠 1 𝑐𝑚 𝑚 1000 𝑠 1 𝑐𝑚 𝑚 1000 𝑠 3000 𝑐𝑚 = 1000 = 3 𝑐𝑚 2000 𝑐𝑚 1000 = 2 𝑐𝑚 = FIGURA DEL EJEMPLO 3 cm 2 cm B A 5 cm R R 𝐑 = 𝟓 𝒄𝒎 R = 5000 1000 𝑚 𝑠 1𝑐𝑚 𝒎 𝒔 A B = 5000 1 𝑚 𝑠 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝒔 b) Método analítico A + B = R 3000 𝒎 𝒔 5000 𝒎 𝒔 + 2000 =R R = 5000 𝒎 𝒔 𝒎 𝒔 =R Ejemplo 2. Al vector D = 38 N restarle el vector E = 98 N, el primer vector se dirige al Este y el segundo al Oeste, la suma de los dos vectores realizarla por los dos métodos (gráfico y analítico). a) Método gráfico. Escala 1: 10 1 cm = 10 N 𝐃 = 38 N 1 𝑐𝑚 10 𝑁 = 38 𝑐𝑚 10 = 3.8 𝑐𝑚 𝐄 = 98 N 1 𝑐𝑚 10 𝑁 = 98 𝑐𝑚 10 = 9.8 𝑐𝑚 FIGURA DEL EJEMPLO 9.8 cm + 3.8 cm D E 6 cm R 𝐑 = 𝟔 𝒄𝒎 R = - 60 𝐍 10 𝑁 1𝑐𝑚 = 60 𝑁 1 = 𝟔𝟎 𝐍 b) Método analítico D + (- E) = R 38 𝐍 - 98 𝐍 = R - 60 𝐍 = R R = - 60 𝐍 SUMA DE VECTORES QUE FORMAN ÁNGULOS DE 90° Ejemplo 1. Encontrar el vector resultante y el ángulo del vector resultante, por el método gráfico y por el método analítico de los siguientes vectores: B = 30 N A = 25 N a) Método gráfico. Escala 1: 10 1 cm = 10 N 𝐁 = 30 N 1 𝑐𝑚 10 𝑁 = 30 𝑐𝑚 10 𝐀 = 25 N 1 𝑐𝑚 10 𝑁 25 𝑐𝑚 = 10 = 3 𝑐𝑚 = 2.5 𝑐𝑚 FIGURA DEL EJEMPLO PARALELA DEL VECTOR A PARALELA DEL B = 3 cm VECTOR B R A = 2.5 cm 𝐑 = 𝟑. 𝟗 𝒄𝒎 R = 39 𝐍 R = 51° 10 𝑁 1𝑐𝑚 = 39 𝑁 1 = 𝟑𝟗 𝐍 b) Método analítico R= ( A) ( B) 2 2 R= ( 25 N ) 2 (30 N ) 2 R= 625 N 2 900 N 2 R= 1525N 2 R = 39.0512 N Cat .Opuesto tanR = Cat . Adyacente 30 N tanR = 25 N tanR = 1 .2 tanR = SHIFT tan Ans tanR = 50.1944 SHIFT ° ’ ’’ R = 50° 11’ 39.94’’ R = 50° 11’ 39’’ Ejemplo 2. Calcular el vector resultante y el ángulo del vector resultante, por el método gráfico y por el método analítico de los siguientes vectores: P = 350 N Q = 350 N SUMA DE DOS O MÁS VECTORES CON DIFERENTES ÁNGULOS. Ejemplo 1. Calcular el vector resultante y el ángulo del vector resultante, por el método gráfico y por el método analítico de los siguientes vectores: A=3N F=6N B=2N 40° 77° C=4N D=5N E=4N a) Método gráfico. Escala 1: 1 1 cm = 1 N 𝐀=3N 1 𝑐𝑚 1𝑁 = 3 𝑐𝑚 1 = 3 𝑐𝑚 𝐁=2N 1 𝑐𝑚 1𝑁 = 2 𝑐𝑚 1 = 2 𝑐𝑚 𝐂=4N 1 𝑐𝑚 1𝑁 = 4 𝑐𝑚 1 = 4 𝑐𝑚 𝐃=5N 1 𝑐𝑚 1𝑁 = 5 𝑐𝑚 1 = 5 𝑐𝑚 𝐄=4N 1 𝑐𝑚 1𝑁 = 4 𝑐𝑚 1 = 4 𝑐𝑚 𝐅=6N 1 𝑐𝑚 1𝑁 = 6 𝑐𝑚 1 = 6 𝑐𝑚 FIGURA DEL EJEMPLO 77° B C A R R F D E 40° 𝐑 = 𝟔 𝒄𝒎 R=6𝐍 R = 18° 1𝑁 1𝑐𝑚 = 6𝑁 1 =𝟔𝐍 b) Método analítico Fórmulas para calcular las componentes. VECTORES EJE "X" EJE "Y" A 0N +3N B -2N 0N C - 0.8998 N - 3.8974 N D 0N -5N E +4N 0N F + 4.5962 N + 3.8567 N x= + 5.6964 N y= - 2.0407 N Ax = (A)(cos) Ay = (A)(sen) Ax = (3 N)(cos 90°) Ax = (3 N)(0) Ax = 0 N Ay = (3 N)(sen 90°) Ay = (3 N)(1) Ay = 3 N Cx = (C)(cos) Cx = (4 N)(cos 77°) Cx = (4 N)(0.22495) Cx = 0.8998 N Cy = (C)(sen) Cy = (4 N)(sen 77°) Cy = (4 N)(0.9744) Cy = 3.8974 N Fx = (C)(cos) Fx = (6 N)(cos 40°) Fx = (6 N)(0.7660) Fx = 4.5962 N Fy = (C)(sen) Fy = (6 N)(sen 40°) Fy = (6 N)(0.6428) Fy = 3.8567 N R= ( x) 2 ( y ) 2 R= (5.6964 N ) 2 (2.0407 N ) 2 R= 32.4489 N 2 4.1644 N 2 R= 36.6133 N 2 R = 6.0508 N tanR = Y X tanR = 2.0407 N 5.6964 N tanR = 0.3582 tanR =SHIFT tan Ans SHIFT ' " R = 19° 42´ 35.09´´ R = 19° 42´ 35´´ Ejemplo 2. Determinar el vector resultante y el ángulo del vector resultante, por los dos método, de los siguientes vectores: F1 = 45 N 80° F2 = 25 N 60° F3 = 34 N Ejemplo 3. Encontrar el vector resultante y el ángulo del vector resultante, por los dos método, de los siguientes vectores: M=4N G=3N T=3N P=4N Relaciones entre magnitudes: a) Distancia-tiempo b) Desplazamiento-tiempo c) Velocidad-tiempo Problemas de fenómenos mecánicos e hipótesis del movimiento: a) b) c) d) e) Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento circular uniforme Movimiento circular uniformemente acelerado Movimiento parabólico y caída libre Trayectorias y magnitudes en los tipos de movimientos Generalidades acerca del movimiento: a) Movimiento rectilíneo uniforme El MRU (movimiento rectilíneo uniforme) se caracteriza por: • Movimiento que se realiza sobre una línea recta. • Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de aceleridad o rapidez. • Aceleración nula. • La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad media [velocidad] o rapidez] por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante llamado movimiento de un cuerpo. Al representar gráficamente la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa la distancia recorrida. Velocidad (Eje Y) Tiempo (Eje X) La representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad. Distancia Recorrida (Eje Y) Tiempo (Eje X) Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo. De acuerdo con la Primera Ley de Newton: “toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo”. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) es difícil encontrar la fuerza amplificada, a tiempos iguales distancias iguales. La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. La Velocidad. Es una magnitud vectorial, que para quedar definida requiere que se señale, la magnitud, dirección y sentido, o como el desplazamiento (vector) que realiza un objeto en la unidad de tiempo. Matemáticamente se representa por la fórmula. Fórmula v= d t Donde m v = velocidad s d = distancia m t = tiempo s El guepardo es el animal terrestre más veloz para recorrer distancias menores a 500 metros, y es capaz de alcanzar una rapidez máxima de 100 km/h Estrategias, para resolver problemas Física: 1. Leer las veces que sean necesarias el problema para comprender el enunciado. 2. Hacer una figura o diagrama acorde al enunciado. 3. Subrayar los datos conocidos y la (o las) incógnitas, con sus unidades de medidas. 4. Ordenar los datos con sus respectivas unidades de medidas. 5. Analizar las unidades y realizar las conversiones sí las unidades son diferentes para tener unidades iguales. 6. Seleccionar la (o las) fórmulas a utilizar para obtener el resultado correcto. 7. Despejar la (o las) incógnitas de la fórmula siempre y cuando se requiera. 8. Sustituir los valores y realizar las operaciones paso a paso según la fórmula. 9. Hacer un análisis del resultado para ver si coincide con lo solicitado en el problema. 10. Comprobar el resultado para estar seguros si el resultado es correcto. 11. Replantear y repetir el problema por otros procedimientos para comparar ambos resultados. 12. Analizar el resultado para ver las aplicaciones del problema en su contexto educativo y la vida. 13. Interpretar y redactar el procedimiento para obtener el resultado para ver si hay coherencia con el enunciado. 1 Ejemplo 1. Encontrar la velocidad de un automóvil que durante su recorrido hacia el Norte recorrió una distancia de 958 m en un tiempo de 200 s. Paso 2 3 2 Paso 4 Datos Figura Fórmula 1 V = ¿? 𝑑 𝑣= 𝑡 2 d = 958 m al Norte Sustitución 3 t = 200 s Paso 6 958 𝑚 𝑣= 200 𝑠 Paso 8 𝑚 𝑠 Paso 9 𝑣 = 4.79 𝑑 = (𝑣)(𝑡) Paso 10 𝑚 𝑑 = (4.79 )(200 𝑠) 𝑠 𝑑 = 958 m Ejemplo 2. Qué velocidad en m tiene un autobús cuyo desplazamiento es de 2 km al Este s en 9 minutos. Ejemplo 3. km Un atleta tiene una velocidad de 20 h y recorre una distancia de 49 km. Calcular el tiempo que tarda en recorrer esa distancia. Ejemplo 4. Determinar el desplazamiento en metros de un automóvil que va a una m velocidad de 77 s al Oeste, durante 0.5 minutos. b) Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado o acelerado. Movimiento que se manifiesta cuando una unidad móvil realiza cambios iguales en cada unidad de tiempo, la aceleración es constante al transcurrir el tiempo, y constantemente se realizan cambios de velocidades por diferentes causas o motivos que se dan en el recorrido que se esta realizando de un punto a otro. Aceleración. Es el cambio de velocidad (vector) que sufre una unidad móvil en la misma unidad de tiempo (escalar). Donde a = aceleración Fórmula a= a= 𝑣 𝑡 * el móvil parte del reposo. vf − vi 𝑡 * el móvil no parte del reposo. 𝑚 s2 v = velocidad 𝑚 𝑠 Vf = velocidad final 𝑚 𝑠 Vi = velocidad inicial 𝑚 𝑠 t = tiempo s Problemas y tecnologías del contexto 1 Ejemplo 1. 𝑘𝑚 Un automóvil adquiere una velocidad de 60 al Sur en 40 segundos. 3 s2 ℎ ? Paso 5 ¿Cuál es su aceleración en 𝑚 Fórmula Datos 1 V = 60 2 3 𝑘𝑚 ℎ 𝑚 16.6667 s t = 40 𝑠 𝒌𝒎 𝒉 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏𝒌𝒎 𝑚 a = ¿ 0.4167 s2 ? 𝟏𝒉 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 Paso 6 𝑣 𝑎= 𝑡 Sustitución 𝑚 16.6667 s 𝑎= 𝑠 40 1 𝑚 𝑎 = 0.4167 2 s Conversión 60 2 𝒎 = 𝟏𝟔. 𝟔𝟔𝟔𝟕 s 𝑚 s 𝑠 1 Ejemplo 2. Calcular la aceleración de un aeroplano que inició su vuelo con una 𝒎 𝒎 velocidad de 120 , después de 70 segundos su velocidad es de 200 . 𝒔 𝒔 Ejemplo 3. Determinar la velocidad final que llevará un ciclista a los 25 segundos. 𝒎 Al bajar por una pendiente logra una aceleración de 5 2 , si parte con s 𝒎 una velocidad de 10 . 𝒔 DEDUCCIÓN DE ECUACIONES O FÓRMULAS PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO O ACELERADO (M.R.U.V. o A.) 𝑣𝑚 = 𝑑 𝑡 𝑑 = (𝑣𝑚)(𝑡) 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 𝑑=( )(𝑡) 2 𝑑= 𝑎 𝑡 +𝑣𝑖+𝑣𝑖 (t) 2 𝑎 𝑡 2 + 2 (𝑣𝑖)(𝑡) 𝑑= 2 (𝑎)(𝑡 2 ) 𝒅= + (𝑣𝑖)(𝑡) 2 𝒎 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝒗𝒊 = 𝟎 𝒔 (𝑎)(𝑡 2 ) 𝒅= 2 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑓 = 𝑎 𝑡 + (vi) 𝑣𝑚 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 𝑑=( )(𝑡) 2 𝐌𝐮𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐬 𝐟ó𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚𝐬 𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2 𝑎𝑑 = ( )(𝑡) 2𝑡 𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2 𝑎𝑑 = ( ) 2 a= 𝑣𝑓 2 + vi v f - vivf -𝑣𝑖2 𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2 𝒂=( ) 2𝑑 𝑣𝑓 2 𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2 𝒅=( ) 2𝑎 2𝑎𝑑 = 𝑣𝑓 2 - 𝑣𝑖2 𝐎𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐚 𝐟ó𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚𝐬 𝑣𝑓 2 = 2𝑎𝑑 + 𝑣𝑖2 𝒗𝒇 = 2𝑎𝑑 + 𝑣𝑖 2 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝒗𝒊 = 𝟎 𝒎 𝒔 𝑡 v f + vi v f – vi D𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝒂 d vf 2𝑎𝑑 + 𝑣𝑖2 = 𝑣𝑓 2 vf − vi 𝒗𝒇 = 2𝑎𝑑 - 𝑣𝑖 2 Ejemplo 4. 𝒎 Un tren parte del reposo al Este y experimenta una aceleración de 2 s2 durante 0.72 minutos. Calcular: a) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? b) ¿Qué velocidad lleva? Ejemplo 5. Una motocicleta arranca desde el reposo y mantiene una aceleración constante de 𝒎 4 s2 . Calcular: a) ¿En qué tiempo recorre la distancia de 9 km? b) ¿Qué velocidad lleva en ese tiempo en 𝒌𝒎 ? 𝒉 Ejemplo 6. 𝒌𝒎 Un avión lleva una velocidad de 190 𝒉 al Norte, en el momento en que inicia su aterrizaje ha recorrido 4.6 km antes de detenerse. Si la aceleración es constante, determinar: a) La aceleración. b) El tiempo que emplea para detenerse. c) La distancia que recorre a los 10 segundos de haber iniciado el aterrizaje. c) Movimiento circular uniforme Es el movimiento que se presenta cuando un cuerpo describe un movimiento circular, el que se da cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación. Ejemplos, la rueda de la fortuna, engranes, poleas, discos musicales o hélices. Movimiento que se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos dimensiones. El movimiento circular tiene origen en el sistema de referencia que se encuentra en el centro de la trayectoria circular. Para estudiar este movimiento conviene recordar conceptos ya mencionados, como: desplazamiento, tiempo, velocidad y aceleración; estos son aplicados a cada una de las partículas de un cuerpo en movimiento circular. No obstante, es conveniente resaltar que las trayectorias de éstas son circunferencias concéntricas de longitud diferente y de radio igual a la distancia entre la partícula considerada y el eje de rotación, por tal motivo debemos introducir los siguientes conceptos. Ángulo. Es la abertura comprendida entre dos radios, que limitan un arco de circunferencia. Radián. Es el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio. 2 radián = 360° 1 radián = 𝟑𝟔𝟎° 𝟐𝝅 = 𝟏𝟖𝟎° 𝝅 = 57.2957° = 57° 18’ Si observamos el movimiento de un objeto colocado encima de un disco que gira, podemos precisar su posición si tomamos como origen del sistema de referencia al centro de la trayectoria circular. De esta forma el vector que nos indicará su posición para cada intervalo de tiempo se encontrara determinado por el radio de la circunferencia, mismo que permanece constante. Por lo tanto, el vector de posición tendrá una magnitud constante y su dirección será la misma que tenga el radio de la circunferencia, cuando el objeto colocado sobre el disco se desplace, su cambio de posición se podrá expresar mediante desplazamiento del vector posición, lo cuál dará lugar a desplazamientos angulares, como se demuestra en la siguiente figura. Esto es al pasar un objeto de una posición inicial A, a la posición final B, este experimenta un desplazamiento angular que se mide en radianes. La velocidad angular representa el cociente entre el desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo: 𝒘= 𝜽 𝒕 Donde W = velocidad angular = desplazamiento angular t = tiempo en que efectúa el desplazamiento 𝒓𝒂𝒅 𝑠 rad s Ejemplo 1. Un móvil con trayectoria circular recorrió 899°. ¿Cuántos radianes fueron? 1 rad = 57.3° 𝟏𝒓𝒂𝒅 𝟓𝟕.𝟑 ° 899 ° ( ) = 15.6893 radianes Ejemplo 2. ¿Cuál es la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose 15 radianes en 0.9 segundos? Datos W=¿ ? = 15 rad t = 0.9 s Fórmula 𝒘= 𝜽 𝒕 𝒘= 𝟏𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝟎. 𝟗 𝒔 W = 16.6667 𝒓𝒂𝒅 𝒔 d) Movimiento circular uniformemente variado o acelerado Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta en cada unidad de tiempo su velocidad angular en forma constante, por lo que su aceleración angular permanece constante. Velocidad angular instantánea. Esta velocidad representa el desplazamiento angular efectuado por un móvil en un tiempo muy pequeño que casi tienda a cero. Aceleración angular media. Se presenta cuando el movimiento circular de un móvil su velocidad angular no permanece constante, sino que varía, es decir sufre una aceleración angular. Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál es su aceleración angular, la cual se expresa de la siguiente manera. FÓRMULA 𝐚𝐦 = wf − wi 𝒕𝒇 −𝒕𝒊 = ∆𝑤 ∆𝑡 Donde am = aceleración media wf = velocidad angular final wi = velocidad angular inicial ∆t = tiempo en el que varía la velocidad angular en 𝐫𝐚𝐝 𝐬𝟐 𝐫𝐚𝐝 𝐬 𝐫𝐚𝐝 𝐬 s Aceleración angular instantánea. Esta aceleración se presenta cuando en el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una trayectoria circular, los intervalos de tiempo considerados son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una aceleración angular instantánea. Ejemplo 1. Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 ¿Cuál es su aceleración? Datos Fórmula W = 2512 a= a= t = 1.5 s a=¿ 𝒓𝒂𝒅 𝒔 ? w 𝑡 2512 1.5 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝑆 a = 1674.66 𝒓𝒂𝒅 𝒔𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝒔 en 1.5 segundos. Ejemplo 2. Un mezclador eléctrico incrementó su velocidad angular de 20 en 0.5 segundos. Calcular: a) ¿Cuál fue su aceleración media? b) ¿Cuál fue su desplazamiento angular en ese tiempo? b) Fórmula 𝑎𝑡 2 Datos a) Fórmula = + wit 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝒓𝒂𝒅 120 𝒔 wi = 20 wf = t = 0.5 s a) am = ¿ ? b) = ¿ ? 𝐚𝐦 = wf − wi 𝒕 𝒓𝒂𝒅 𝐚𝐦 𝒓𝒂𝒅 𝟏𝟐𝟎 𝒔 − 𝟐𝟎 𝒔 = 𝟎.𝟓 𝒔 = = 𝒓𝒂𝒅 𝐚𝐦 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎.𝟓 𝒔𝒔 𝐚𝐦 = 𝟐𝟎𝟎 𝒓𝒂𝒅 𝒔𝟐 = 2 𝑟𝑎𝑑 (200 2 )(0.5 𝑠)2 𝑠 2 𝑟𝑎𝑑 (200 2 )(0.5 𝑠)2 𝑠 + 20 2 (50 𝑟𝑎𝑑) + 2 a 120 𝑟𝑎𝑑 𝑠 (0.5 s) + 10 𝑟𝑎𝑑 2 𝑟𝑎𝑑 (200 2 )(0.25 𝑠 2 ) 𝑠 𝒓𝒂𝒅 𝒔 + 10 𝑟𝑎𝑑 = 10 𝑟𝑎𝑑 = 25 𝑟𝑎𝑑 + 10 𝑟𝑎𝑑 = 35 𝑟𝑎𝑑 𝒓𝒂𝒅 𝒔 Ejemplo 3. Una cuerda gira con una velocidad angular inicial de 18.8 𝒓𝒂𝒅 experimentando una aceleración angular de 4 𝟐 que dura 7 segundos. 𝒔 Calcular: a) ¿Qué desplazamiento angular tiene a los 7 s? b) ¿Qué velocidad angular lleva a los 7 s? Datos wi = a) Fórmula 𝒓𝒂𝒅 18.8 𝒔 = t=7s a=4 𝒓𝒂𝒅 𝒔𝟐 a) = ¿ b) wf = ¿ 𝒂𝒕𝟐 = + wit 𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝟒 𝟐 (𝟕 𝒔)𝟐 = ? ? = 𝒔 b) Fórmula wf = wi + at + 18.8 𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝟒 𝟐 (𝟒𝟗 𝒔𝟐 ) 𝒔 𝟐 𝟏𝟗𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝒔 (7 s) + 131.6 𝒓𝒂𝒅 + 131.6 𝒓𝒂𝒅 = 𝟗𝟖 𝒓𝒂d + 131.6 𝒓𝒂𝒅 = 𝟐𝟐𝟗. 𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝒓𝒂𝒅 18.8 𝒔 𝒓𝒂𝒅 46.8 𝒔 𝒓𝒂𝒅 (7 𝒔𝟐 𝒓𝒂𝒅 28 𝒔 Wf = 18.8 +4 Wf = + Wf = s) 𝒓𝒂𝒅 𝒔 c. Movimiento parabólico y caída libre Movimiento parabólico. El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero u otro jugador del equipo, o la pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal. Ejemplo 1. Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 38° con respecto al plano 𝒎 horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 25 𝒔 . Calcular: a) El tiempo que dura la pelota en el aire. b) La altura máxima alcanzada. c) El alcance horizontal de la pelota. Datos 𝑣𝑖𝑣 = (𝑣𝑖) sen ∠ 𝜽 𝒎 𝑣𝑖 = 25 𝑣𝑖𝑣 = (25 𝒔 ) sen 38° a) 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = ¿ ? 𝑣𝑖𝑣 = (25 𝒎𝒔) (0.6156) = 15.3915 𝒎𝒔 b) ℎ𝑚á𝑥 = ¿ ? 𝑣𝑖𝐻 = (𝑣𝑖) cos ∠ 𝜽 c) 𝑑𝐻 = ¿ ? 𝑣𝑖𝐻 = (25 𝒎𝒔) cos 38° ∠𝜽 = 38° 𝑚 𝑠 𝑔 = − 9.8 𝑣𝑓 = 0 𝑚 𝑠 𝒎 𝒔𝟐 𝒎 𝑣𝑖𝐻 = (25 𝒔 ) (0.7880) = 19.7002 𝒎 𝒔 a) Fórmula − 2𝑣𝑖 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑔 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = − 2(15.3915 𝒎𝒔) 𝒎 −9.8 𝟐 𝒔 − 30.7830 𝒎𝒔 𝒎 −9.8 𝟐 𝒔 𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 3.1411 𝑠 b) Fórmula ℎ𝑚á𝑥 = ℎ𝑚á𝑥 = ℎ𝑚á𝑥 = c) Fórmula (−𝑣𝑖)2 2𝑔 𝑑𝐻 = (𝑣𝑖𝐻 )(𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 ) 𝑑𝐻 = 19.7002 𝒎 𝟐 ) 𝒔 𝒎 ) 𝒔𝟐 (−15.3915 𝟐(− 9.8 −236.8982 − 19.6 𝒔𝒎𝟐 ℎ𝑚á𝑥 = 12.0866 𝑚 𝒎𝟐 𝒔𝟐 𝑚 𝑠 𝑑𝐻 = 61.8807 𝑚 𝒎𝟐 𝒔𝟐 𝒎 𝒔𝟐 (𝒎𝟐 )(𝒔𝟐 ) (𝒔𝟐 )(𝒎) 3.1411 𝑠 Ejemplo 2. 𝒎 Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 50 desde una 𝒔 altura de 50 𝒎. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad que lleva a los 2 segundos. c) La distancia a la que cae la piedra. Ejemplo 2. 𝒎 Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 50 desde una 𝒔 altura de 50 𝒎. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad que lleva a los 2 segundos. c) La distancia a la que cae la piedra. Datos 𝑚 𝑣𝐻 = 50 𝑠 ℎ = − 50 m a) 𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 = ¿ ? b) 𝑣 = ¿ ? t=2s c) 𝑑𝐻 = ¿ ? 𝒎 𝑔 = − 9.8 𝟐 𝒔 a) Fórmula 𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 = 𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 = 𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 = 2(ℎ) 𝑔 2(− 50 m) − 9.8 𝒔𝒎𝟐 −100 m) − 9.8 𝒔𝒎𝟐 𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 = 10.2040 𝑠 2 𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 = 3.1943 s b) Fórmula c) Fórmula 𝑣 = (𝑔)(𝑡) 𝑑𝐻 = (𝑣𝐻 )(𝑡𝑐𝑎𝑒𝑟 ) 𝑣 = (− 9.8 𝒎 )(2 s) 𝒔𝟐 𝑑𝐻 = (50 𝑚 )(3.1943 𝑠 𝑣 = − 19.6 𝑚 𝑠 𝑑𝐻 = 159.715 m s) Caída libre de los cuerpos. El científico Italiano Galileo Galilei, fue el primero en demostrar en el año de 1590, que todos los cuerpos ya sean grandes o pequeños, en presencia de fricción, caen a la Tierra con la misma aceleración. Cuando se dejan caer dos cuerpos de diferentes tamaños, ellos caerán exactamente al suelo en el mismo tiempo. En base a resultados, se afirma que la aceleración gravitacional produce en los cuerpos un movimiento rectilíneo uniformemente variando al caer libremente, la velocidad va aumentando constantemente, mientras la aceleración permanece constante sin sufrir ningún cambio. Al medir la aceleración de la gravedad en distintos lugares de la Tierra, se ha encontrado que está, no es igual en todas las partes, existen pequeñas diferencias; 𝒎 sin embargo, para fines prácticos, el valor aceptado es de 9.8066 𝒔𝟐 , redondeada es aproximadamente de 9.8 𝒎 . 𝒔𝟐 La aceleración de la gravedad es una magnitud vectorial, cuya dirección es hacia el centro de la Tierra, se ha señalado que, los vectores están dirigidos hacia arriba son positivos y los dirigidos hacia abajo son negativos; entonces se establece que la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo, tendrá signo negativo. Generalmente, se representa la aceleración de la gravedad con la g, y para fines 𝒎 prácticos su valor es de - 9.8 𝒔𝟐 . Para analizar problemas de caída libre de los cuerpos, se utilizarán las mismas fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Que estudiamos en el tema anterior, pero tenemos que cambiar la a de aceleración por la g de la aceleración de la gravedad y también modificamos la distancia que se representa por la d por la h de altura, esta se da en la gravedad, en forma vertical, y las fórmulas quedarían como a continuación se detallan: 𝑔 𝑣𝑓−𝑣𝑖 = 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑔 𝑡 + (𝑣𝑖) (𝑔)(𝑡 2 ) 𝒉= + (𝑣𝑖)(𝑡) 2 𝑣𝑓 2 𝒈=( − 2ℎ 𝑣𝑖 2 ) 𝒗𝒇 = 2𝑔ℎ + 𝑣𝑖 2 𝒎 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝒗𝒊 = 𝟎 𝒔 (𝑔)(𝑡 2 ) 𝒉= 2 𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2 𝒉=( ) 2𝑔 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝒗𝒊 = 𝟎 𝒎 𝒔 𝒗𝒇 = 2𝑔ℎ Ejemplo 1. De la azotea de un edificio se deja caer un libro y tarda en llegar al piso 8 segundos. Determinar: a) La altura del edificio. b) La velocidad del libro con que choca en el suelo. Ejemplo 1. De la azotea de un edificio se deja caer un libro y tarda en llegar al piso 8 segundos. Determinar: a) La altura del edificio. b) La velocidad del libro con que choca en el suelo. Datos vi = 0 a) Fórmula 𝒎 𝒔 t = 8 seg g=- 𝒎 9.8 𝟐 𝒔 a) h = ¿ ? b)Vf = ¿ ? h= h= h= b) Fórmula 𝐠𝐭 𝟐 𝟐 𝒎 (−𝟗.𝟖 𝟐 )(𝟖 𝒔)𝟐 𝒔 𝟐 𝒎 (−𝟗.𝟖 𝟐 )(𝟔𝟒 𝒔𝟐 ) 𝒔 𝟐 −𝟔𝟐𝟕.𝟐𝒎 𝟐 h= h = − 313.6 𝑚 vf = gt 𝒎 𝒔 vf = (-9.8 𝟐 )(8 s) vf = - 78.4 𝒎 𝒔
