Download potenciación de números reales

GTA 1
BIMESTRE 2
GRADO: 8º
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
PROFESOR: _____________________________
TEMA: LOS NÚMEROS REALES
NOMBRE:_________________________________________
NOTA:
1
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
NÚMEROS RACIONALES.- Se expresan como fracciones o como decimales.
Así:
RACIONALES

FRACCIÓN

DECIMAL
1
 
4
1
4
0,25
4
 
5
4
5
0,8
5
 
2
5
2
2,5
2
 
3
2
3
0,666…
5
 
6
5
6
0,8333…, etc.
Todos los números racionales forman el conjunto “Q” de los números racionales.
Así:
 1   4   5   2   5  
Q   ,  ,  ,  ,  ,...
 4   5   2   3   6  
Cualquier número racional, puede expresarse como un decimal periódico.
NÚMEROS
IRRACIONALES.-
Existen
números
cuyas
expresiones
decimales
no
son
periódicas, tales como:
2  1,4142135...
3  1,7320508...
5  2,2360679...
  3,14159265...
e  2,71828128..., etc.
Estos números se llaman números irracionales y forman el conjunto “I”, de los números
irracionales.
Así: I 
 2;

3; 5 ;  ; e;...
Números irracionales son aquellos cuya expresión decimal es infinita no periódica.
2
NÚMERO REAL.- Es cualquier número racional o irracional. La unión del conjunto “Q” de los
números racionales y el conjunto “I” de los números irracionales, forman el conjunto “R” de los
números reales.
O sea:
R=QI
De donde se deduce:
QR
O también:

I  R
R = R- {O}  R+
DIAGRAMA:
R
R
Q
R
I
{O}
R+
RO = R – {O}
El conjunto “R” sin el cero es:
Conociendo los diferentes conjuntos numéricos podemos establecer las siguientes relaciones:
NZQR

IR
Realiza el diagrama de estas relaciones.
ORDEN EN EL CONJUNTO “R”
La recta numérica para los números reales.- Sea el conjunto “R” de los números reales.


  3
  1
1
 3
R  ..., 5 ,  2, 3, 
, 2 ,  1,  , 0,  , 1, 2 ,  , 3, 2, 5 ,...
 2 
 2 
2
2


y una recta L.
Luego:
 5
(-2)
 3
 2
  3


 2 
(-1)
2
  1
 
 2 
0
1
 
2
(1)
3
3
 
2
5
(2)
3
RELACIONES “MAYOR QUE” Y “MENOR QUE” ENTRE EXPRESIONES DECIMALES
I.
RELACIÓN MAYOR QUE.- Dado dos expresiones decimales:
a)
Si tienen partes enteras distintas, es mayor la que tiene mayor parte entera.
Ejemplo:
1) 3,45
2) 15,2
b)
> 2,48
> 11,6
Si son positivas y tienen la misma parte entera, es mayor la que tiene mayor parte
decimal.
Ejemplo:
c)
1) 2,776
>
2, 775
2) 0,558
>
0,553
Si son negativas y tienen la misma parte entera, es mayor la que tiene menor parte
decimal.
Ejemplo:
1) -3,43
>
-3,45
2) -10,997
>
-10,999
II. RELACIÓN MENOR QUE.- Dado dos expresiones decimales, esta relación se establece
sustituyendo en los criterios anteriores el término mayor por el menor y viceversa.
APROXIMACIÓN Y REDONDEO
Por lo general, los cálculos en los que intervienen los decimales periódicos puros, los decimales
periódicos mixtos o los irracionales se efectúan reemplazando dichos números por números
racionales, según el grado de exactitud que deseamos.
Ejemplo 1: Redondear: 5,37261444…; hasta el orden de las milésimas.
Solución:
Nos piden redondear hasta el orden de las milésimas, esto quiere decir que solamente
debemos contar con 3 decimales, veamos:
5, 3 7 2 6 1 4 4 4 …
Como la cifra que le sigue a las milésimas (6),
es mayor que 5, entonces la cifra que ocupa el
milésimas
orden (milésimas) aumenta en una unidad.
Centésimas
Décimas
Luego: 5,372 6 1444… = 5,373
Ejemplo 2.- Redondear: 4,6385222…, hasta el orden de las milésimas.
Solución.-
4,638
5
222…, como la cifra que le sigue a las milésimas (5) es igual a 5,
entonces la cifra que ocupa el orden (milésimas) aumenta una unidad, veamos:
4,638 5 222 … = 4,639
4
Redondea: 4,6385222…, hasta el orden de las diezmilésimas.
Solución:
Ejemplo 3.- Redondea: 2,745801…, hasta el orden de las milésimas.
Solución:
2, 745801 … =
Ejemplo 4.- Redondea: 3,0743…, hasta el orden de las centésimas.
Solución: 3,0743… =
Ejemplo 5.- Redondea: 6,378378…, hasta el orden de las centésimas.
Solución: 6,378 =
6,378 378… =
RELACIÓN “MAYOR QUE” Y “MENOR QUE” DE NÚMEROS REALES
Ejemplo 1.- Establece la relación mayor que entre
2 y
4
3
2  1,4
Solución:

1 > 0
3
 0,75
4
2 
Entonces:
3
4
Ejemplo 2.- Establece la relación menor que entre 
Solución:

5
y  3
3
5
 1, 666...
3

-7 < -6
 3  1, 732...
Entonces:
 3  
5
3
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
ADICIÓN DE NÚMEROS REALES
Llamamos adición a la operación que hace corresponder a cada par (a; b) de números reales,
un tercer número real único que se denota (a + b).
Esto es:
(a; b)  a + b = c
 (2; 5; 3)  2, 5 + 3  (2; 5; 3) = 5,5
CÁLCULO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS REALES
Para hacer la suma de dos números reales expresado en forma decimal o periódica, podemos
proceder como en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1.- Halla la suma de: 6,3 y
2 , aproximada al décimo.
5
Solución:
6,3
+
2
=
=
6,30
1,41
---------------------------

6,3 +
2 =
7,71
6,3 +
2 =
7,7
Rpta.
Ejemplo 2.Halla la suma de:
3 y
Ejemplo 3.Halla la suma de:
, aproximado al centésimo.
Solución:
3
y
4
2 ; aproximando al
centésimo.
Solución:
3
3

4
 2
 

3  

3  
3
 2
4
3
 2
4
Rpta.:
Rpta.:
Ejemplo 4.Halla la suma de:
11  15 ; aproximando al centésimo.
Ejemplo 5.Halla la suma de:
19  1,6483...  2 97
Solución:
11 
Solución:
 15 
Rpta.:

11  15 
11  15 
Rpta.:
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES
Dado los números reales a y b se llama diferencia de a y b y se denota por a – b, al número
real a + b (-b).
Es decir: a – b = a + (-b)  Así:
13,4 -
3 = 13,4 + ( 3 )
La sustracción es la operación que hace corresponder a todo par (a; b) de números reales, su
diferencia.
Esto es:
(a, b)  a – b
6
Ejemplo 1.- Halla la diferencia entre
Ejemplo 2.- Halla la diferencia entre 0,36 y
7 y 0,372372…, aproximada al centésimo.
Solución:
0,14, aproximada al centésimo.
7
-0,372372
Solución:
=
7,000
0,36
=
0,363
=
0,372
- 0,14
=
0,141
---------------------------------
----------------------------
7 – 0,372372 = 6,628
7 – 0,372372 = 6,63
0,36 – 0,14 = 0,222
Rpta.
Ejemplo 3.- Halla la diferencia entre
3 y
0,36 – 0,14 = 0,22
2 aproximada al décimo.
Ejemplo 4.- Halla la diferencia de:
Solución:
5
3

Rpta.
2 
1
5

3
2 
3
2 
Solución:
5

1

5
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Se llama multiplicación a la operación que hace corresponder a cada par (a; b) de números
reales, un tercer número real único que se denota por “ab” y que se llama producto de los
reales “a” y “b”.
Se escribe:
axb=c
ó
Esto es: (a; b)  ab  así :
a.b=c
ó
ab = c
* (3, 4; 2)  3,4 x 2 = 6,8
*


5; 2 
5 .
2  10
Las reglas de los signos son las mismas que en “Z” y “Q”.
CÁLCULO DEL PRODUCTO DE DOS NÚMEROS REALES
7
Ejemplo 1.- Halla el resultado de:
Ejemplo 2.- Halla el resultado de:
3x8 ; aproximado al centésimo.
5x 5 ; aproximado al centésimo.
Solución:
Solución:
3 x 8  1,732 x 8
5x 5 =
3 x 8  13,856
3 x 8  13,86
Rpta.
Ejemplo 4.-
3
x 3 ; aproximando al
Ejemplo 3.- Resuelve
4
Efectúa:
centésimo.
Solución:
10
x
2
2
Solución:
3
x 3
4
3
x 3
4
3
x 3
4
10
x 2
2
10
x 2
2
10
x 2
2
Rpta.
DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Tal como sucede en los números racionales “Q” el cociente de dos números reales es un
número real, siempre que el divisor sea diferente de cero.
V a  R ; V b  R ; b  o ; (a; b)  R
Sabemos que:
a : b = c ; equivale a :
a=b.c
a
 c ; equivale a
b
a = bc
:
ó
CÁLCULO DEL COCIENTE DE DOS NÚMEROS REALES
centésimo.
9 : 2 : ; aproximado al Ejemplo 2.-Resuelve:
11 : 11; aproximado al centésimo.
Solución:
Solución:
Ejemplo 1.- Efectúa:
9 : 2  9 : 1,414
11 :11 = 3, 316 :11
9 : 2  6,364
11 :11 = 0, 301
9 : 2  6,36
Rpta.
11 :11 = 0, 30
Rpta.
8
Ejemplo 3.- Efectúa:
3:
3
aproximado al
4
centésimo.
Ejemplo 4:
Halla el cociente de:
5 y
3
 1,732 : 0,75
4
3
3 :  2,309
4
3
3 :  2,31
4
3
3:
Solución:
Rpta.
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
POTENCIA N-ÉSIMA DE X.- Se llama potencia n-ésima de x al número que se obtiene al
multiplicar “n” veces el factor x.
La potencia n-ésima de x se denota por xn.
Siendo:
xn = x . x . x . … . x = P

Donde:
“x” es la base; “n” es el exponente.
xn y P son las potencias.
“n” veces
I.
Si la base es positiva cualquier potencia es positiva,
Ejemplo:
(2, 4)3 = (2, 4) (2, 4) (2, 4) = 13,824
II.
Si la base es negativa y el exponente es un entero par, la potencia es positiva.
Ejemplo:
(-1,5)4 = (-1,5) (-1,5) (-1,5) (-1,5) = 5,0625
III. Si la base es negativa y el exponente entero impar, la potencia es negativa.
Ejemplo:
(-1,2)3 = (-1,2) (-1,2) (-1,2) = 1,728
IV. Si “n” es un número real mayor que cero, entonces: On = O
Ejemplos:
a) O6 = O
V.
b) O3,5 = O
Si el exponente es 1, la potencia es igual a la base: X1 = X
Ejemplos:
1
a) (3,6) = 3,6
1
b) (-1,3) = 1,3
1
2
 2
c)     
3
 3
9
VI. El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base; cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los factores.
Xm . Xn = Xm+n
Ejemplos:
a) 32 . 34 = 32+4 = 36
c) (X+1)3 . (X+1)2 = (X+1)3+2 = (X+1)5
b) X4 . X . X2 = X4+1+2 = X7
d) (X-2) (X-2) = (X-2)1+1 = (X-2)2
VII. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es la diferencia de los dos exponentes de las potencias dadas.
Xm
 X mn
n
X
Ejemplos:
a)
25
 2 53  2 2
23
b)
X9
 X 94  X 5
4
X
VIII. Si la base es diferente de cero, toda potencia de exponente cero es igual a 1.
V X  R ; X  0 ; Xo = 1
Ejemplos:
0
a) (3,4) = 1
o
;
6
b)    1
 13 
IX. Una potencia de exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo
denominador es la potencia dada pero con exponente positivo.
X n 
1
Xn
Ejemplos:
a)
X.
6 2 
1
62
b) (0,5)
3

1
(0,5) 3
La potencia de exponente “n” de un cociente es igual al cociente de las potencias de
exponente “n” del dividendo entre el divisor.
n
an
a
   n
b
b
Ejemplos:
 3
5
2
a)   
32
52
(2) 3
  2



(5) 3
 5 
3
b)
10
XI. La potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base dada y cuyo
exponente es el producto de los exponentes dados.
( X n ) m  X m. n
Ejemplos:
a) (43)2 = 43.2 = 46
b) (X5)3 = X5.3 = X15
c) [(X4)3]2 = X4.3.2 = X24
XII. La potencia de exponente “n” de un producto es igual al producto de las potencias de
exponentes “n” de los factores.
(x.y)n = xn . yn
Ejemplos:
a) (5x)3 = 53 x3
b) (x5 y3 z-2)4 = x20 . y12 . z-8
XIII. Si dos potencias son iguales y tienen la misma base, entonces sus exponentes son iguales.
Xn
Si:
=
Xm , entonces :
n=m
Ejemplos:
1) Si: 3x-2 = 33; entonces:
2) Si: 16x = 2 ; entonces
x–2=3
(24)x = 2
x=5
24x = 2
4x = 1
x
1
4
XIV. Si dos potencias son iguales y tienen el mismo exponente, entonces las bases son iguales.
Xn
Si:
=
Yn , entonces :
X=Y
Ejemplos:
1) (x+3)6 = 56 ; entonces:
x+3=5
x=2
2) (y-6)3 = 64 ; entonces:
(y – 6) = 43
y–6=4
y = 10
11
RADICACIÓN EN R
Sabemos que la raíz n-ésima de “x”,denotada por n
x
x  r  rn  x
Se dice que:
n
x en el número “r” si se cumple que: rn= x.
x ; es el radical
x
: cantidad subradical o radicando
n
: es el índice
r
= es la raíz
RADICAL.- Es la raíz indicada de un número
SIGNO RADICAL.- Es el símbolo mediante el cual se indica la operación:
RADICANDO O CANTIDAD SUBRADICAL.- Es el número cuya raíz se quiere hallar.
ÍNDICE DE LA RAÍZ.- Es igual al exponente a que hay que elevar la raíz para obtener el
radicando.
RADICAL.- Es la raíz indicada de un número y en general de una expresión algebraica como
por ejemplo:
3
x; 25
En la expresión:
n
x
Si:
n = 2; es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice, así:
Si:
n = 3; es la raíz cúbica, así:
Si:
n = 4; es la raíz cuarta, y así sucesivamente, así:
n
n
x 2 8 8
x 3 8
n
x  4 16
Ejemplos:
1)
64  8 ; pues:
(+8)2 = 64
2)
3
8  2 ; pues: 23 = 8
(-8)2 = 64
A) Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando.
Ejemplos:
1)
3
 27  3
2)
3
27  3
B) Toda raíz de índice par de un número positivo tiene el doble signo .
Ejemplos:
1)
C)
4
81  3
2)
16  4
 9 no es real, pues cualquier número real positivo o negativo elevado al cuadrado, da un
resultado positivo.
12
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
TEOREMA FUNDAMENTAL.- Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del
radicando por un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía.
Ejemplo 1.- Transformar el radical
3 en Ejemplo 2.- Transforma el radical
otro de índice 4.
otro de índice 6.
Solución:
Solución:
3  2 31  2 x 2 31x 2  4 3 2
5
x 2 en Ejemplo 4.- Transforma el radical
otro de índice 10.
otro de índice 5.
Solución:
Solución:
5
20
x2 =
9 en
20
6 en
9
3
Ejemplo 3.- Transformar el radical
3
6 =
POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO
Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice es el
denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente.
m
n
A  n Am
Es decir:
Esto nos permite poner raíces en forma de potencias (la radicación es la operación inversa de
la potenciación).
Así:
4
15  15
1
4
;
3
16  3 2 4  2
4
3
;
5
4 4
1
5
2
2
5
NOTA.- Las reglas para la potenciación con exponentes naturales y enteros se emplean
igualmente para fraccionarios.
ACTIVIDAD N° 1
Halla el valor de “x” en; (resuelve en tu cuaderno).
a) x – 4,7 = 8
d) 5,21 – x = 3,84
g) x + 8,48 = 12,4
b) x + 5,8 = 6
e) x + 9,2 = 4,7
h) 8,12 + x = 10
c) x + 6,52 = 7,2
f) 3,76 + x = 7,4
i) x -
5 3

4 5
ACTIVIDAD N° 2
Aproximando a centésimos, resuelve:
a)
5 3
b) 9,632 +
c) 2
5 3

4 8
e) 3,483  4, 82  5,2142 
3
- 2,5381
7
1
1
 3  3    7,64
5
3
d) 6,63  0,47  2,346 
2
f)
  3  1,46 
g)
5  2 
6
3
4
h) 6,2543 -3,483 – 4,83
13
ACTIVIDAD N° 3
Halla el resultado de:
a) 0,2 x 13 aproximado al décimo
b) 1,03 x
e) 4,036 x 1,2 ;aproximado al centésimo.
1
5
x 2,16x0,042 ; aproximado al milésimo
; aproximado al centésimo f)
3
8
c) (-1,25)x(0,4); aproximado al milésimo
  13 
2 x
 x 2, 42 ; aproximado al diez
 16 
g)
d) 0,05 x 1/5 ; aproximado al décimo
milésimo.
ACTIVIDAD N° 4
Resuelve los siguientes ejercicios, aproximando al centésimo.
a) 6 
b)
5
13
5
e)
3
1
6
5
4
f)

1
i)


3   3
j)
2
 7  7 3
3
7  3,2 x5
2
3
3
1
k)

3
2
2
c) 3,54 : (-2,3)
g)
 2
d) 0,0081 : 0,18
h)
10 1 5


12 36 6
l) 16 : 0,28
ACTIVIDAD N° 5
Reduce cada una de las expresiones siguientes:
a) 3x5y(6x2y3)
b) -2x3z2(-7x3z-1)
c) 12x4y5z2(-3x2y3z-3)
d) 4x3y8z6(9x-2y6z3)
e) 123x2y3z5(2x4y-7z-2)
f) (-8x3y4)2
g) (-2x-2y3z-4)3
h) (7xy4z6)2
i) (-2x-4y3z-1)3
ACTIVIDAD N° 6
Completa cada igualdad, de tal manera que el exponente sea positivo.
a) 5-2
b) x-7
c) (x+3)-1
7
e)  4
x
5
f)  2
x
3
g)  
7
d) (3x+1)-1
1

h)  

4

3
2
ACTIVIDAD N° 7
Utiliza las propiedades de la igualdad de potencias y halla en cada caso el valor de “x”
(resuelve las ecuaciones).
a) 8x = 16
e)
1
1
 
125  5 
b) 15x = 225
x
f)
1 1
 
81  3 
x
c) 27x = 81
 1 

 49 
g) 
d) 64x = ¼
x 3
7
h) 9x-4 = 81
14
i) 32x+1 = 81
j) 32 = 23-x
k) 43x-2 = 2
l) 0,5x = 0,0625
ACTIVIDAD N° 8
Efectúa:
a)
3
2
1
2
(4)  (16)  (27)
c) (2)
2
:

3
729 x9 1
1
3
b)

1
3
1
2
100  (343)  ( 3 ) o
4
d)
1
1
  3  
 3
6
6
Halla “x” en:
a) x2 = 64
b) x2 = 100
e) x2 – 81 = 0
f) x2 -
16
0
36
9
25
c) x2 =
g) x2 - 144 = 0
d) x2 =
1
16
h) x2 -
49
0
625
PRÁCTICA DOMICILIARIA
Se resuelve TODO en el cuaderno.
Efectúa cada una de las operaciones con
aproximación al centésimo en algunos casos.
10)
5
1)   2  1 
2 4
a) 0,25
2) De
b) -0,21
10 
c) 1,05
d) ½
e) N.A.
3 -1 con 1+ 3
c) -0,64
16 
11)
d) 0,21 e) N.A.
1
 0,6  2,457 .
6
a) 0,27 b) -0,48 c) -0,21 d) 0 e) 1
4)
3
0,008 
3
12)
13)
R
5) (0,555… - 1,222…) 0,3
6)
b) -1
2 3  (2 3 ) 2 
2
a) 235
c) 0,2

7
b) 336
52,62
d) -0,2
e) 0,5
9
6
3
1  52
(
0
,
01
)

0
,
0009


x
1
25 

2
2
a) 0,5
a) 6,28 b) 7,37 c) 7,24 d) 4,49 e) N.A.
4
2
Rpta.: 1/25
8
1
 6 2x  3 3  3
6
8
a) 1
0,125  7 1
Rpta.: 10/3
8 resta la suma de
a) 0,5
3)
b) 1,97
(0,5) 1  (0,333...) 1
a) 1
b) 0,3
c) 0,6
d) 0,9
e) 1,5
1,1  2,2  3,3  ...  9,9
1, 1  2, 2  3, 3  ...9, 9
b) 0,95
c) 0,99
d) 0,9
e) 0,91

5  ( 0, 2 ) 1
c) 449
d) 512
e) 459
15
7)
S
 0,216 
3

0, 4  0,1666...  0,1
a) 0,25
b) 0,25
d) -0,25
e) -0,75
14)
c) -0,25
a)
8) Calcula:
a)
a) 1
1
 
2
M
2
2
2
    5(2)  2
3
2
2  (1) 0
b) 2
c) ½
1
3 1 
9) 20 
  10 
2
 5 12 
Rpta.: 158,14
d) ¼
e) 4
1
11
2

1
 1 


 0,5 
b) 
1
15) R   
4
a) 10
1
2 1
0 , 5 1
 ( 0 , 5 ) 1
1
11
 0,25
 1 
  
 27 
1
2
c) 
 1 


 625 
b) 6
c) 5
4 1
b) ¼
c) 36
 3 1
d)
1
e) N.A.
2
 1 
 
 27 
d) 4
16 0, 25  (8)  13 

16) E  
 0,5
 9  0,5 
 4

a) 4
2 1
31
e) 0
2
d) 25
e) 1/8
16
RADICACIÓN EN “R”
EVENTO N° 1
EVENTO N° 2
1) Efectuemos:
2) Efectúa:
4
1
   3 8 x 27
 3
Solución:
3
125 x


0
1 3
 (8) 2  5 11  5 1
25
Solución:
4
12 5 3
   8 x 27
 3
2
1
   2 x3 
 3
1
 53
6
9
9
RADICALES
RADICAL.- Es la raíz indicada de un número que pertenece a “R”. Así con radicales:
3 ;
5 ; 2 7 ; 0,33 2
En el radical:
2 5 , 2 es COEFICIENTE y en el radical:
3 , el coeficiente es 1.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Simplificar un radical es transformar en otro radical equivalente el cual debe cumplir las
propiedades siguientes:
a) En el radicando, ningún factor debe tener un exponente mayor o igual que el índice del
radical.
b) Ningún radical debe aparecer en el denominador.
c) Ninguna fracción debe aparecer como radicando.
17
PROCEDIMIENTO PARA SIMPLIFICAR RADICALES
Se descompone el radicando en factores de modo que los exponentes sean divisibles entre el
índice del radical, se extrae la raíz de estos factores y se deja indicado el factor que no tiene
raíz exacta. Así:
Simplifiquemos:
80  4 2 x5  4 5
1)
2)
Simplifica:
33 250  33 53 x2  3x53 2  153 2
3
3 x5
15
15



2
5
5 x5
5
5
3)
20 
4)
( R)
5)
( R)
3 24 
6)
( R)
3
81 
ACTIVIDAD
Simplifica (resuelve en tu cuaderno)
1)
75
2)
243
7)
288
13)
50 x 4 y
19)
8)
3
40
14)
32 x 3 y 2
20.
1 3
5 5
15)
147 x 7 y 5
21)
3)
3
375
9)
4)
4
48
10) 3
5)
3
648
11)  2
6)
4
405
5
6
16)
3
8
7
12) 2
10
17)
18)
128x 4 y 9
22)
24 x 9 y 2
23)
3
192 x 5 y 11
24)
3
3
3
2
5a
3
7b
1
5ab 2
2
3a 3 b
1
a
5
2a 2 b 4
RADICALES SEMEJANTES
Sean los radicales:
18 , 8 y
50
Simplificando estos radicales, tenemos:
18 
Estos radicales;
8
;
y
50 
, se llaman radicales semejantes, porque tienen el
mismo índice radical e igual radicando.
ACTIVIDAD
Determina en cada caso los radicales semejantes (resuelve en tu cuaderno)
1)
3
54 ; 3 16
2)
108 ;3 48 ;5 75
3)
20 ;2 45 ; 48 ; 27
4)
175 ; 112 ; 63
5)
216 ;2 125;2 48
6)
3
40 ;33 135 ;
7)
3
6 ;23 24 ;
8)
9)
13
2
320 ; 3 625
3
5
13
750 ; 3 192
2
1
8
25 18
:5
;3
;
2
9
32
25
12 ; 48
18
OPERACIONES CON RADICALES
SUMAR Y RESTAR RADICALES
DEFINICIÓN:
a n x  b n x  ( a  b) n x
Así, efectuemos:
1)
2 32  50  4 18
2) Efectúa:
2  0,53 8  33 16
Solución:
3
2 2 4 x 2  5 2 .2  4 3 2 .2
Solución:
8 2  5 2  12 2
Rpta.
2
3)
4
9  58 81  3
4)
Solución:
4 5  34 25  6 125
Solución:
ACTIVIDAD
(Resuelve en tu cuaderno)
3
24  23 81  43 192
1) 6 7  8 7  2 7
9)
2) 8 3  9 3 
10) 43 128  53 250  33 16
3
3) 2 6  5 6  3 6
11)  7 162  12 200  800
4) 7 5  11 5  5
12)
5)
6)
3
2  4,2 2  2,7 2
3
13
3
23
3
3
53
2
3
4
7) 8  3 32  5 98
8)
3
12  5 75  2 108
2
5
1
45 
80 
180
3
8
2
5
1
7
13)
24 
216 
384
9
3
27
14) 0,093 4000  2,53 256  7,83 500
15) 2,823 7  5,43 56  6,93 189
16)
2  58 16  4 4
MULTIPLICAR Y DIVIDIR RADICALES
DEFINICIÓN:
an x.bn y  (a.b)n x. y
an x : bn y  (a : b)n x : y
Así:
1) Multipliquemos:
8. 2
Solución:
3) Multiplica:
12. 3
Solución:
8. 2  8.2  16  4
19
2)
3
4)
4 .3 16
Solución:
3.3 9
Solución:
4.3 16  3 4.16  3 64  4
3
DIVIDAMOS:
1)
3
DIVIDE:
3

4
1
1
32 
2
3
6
2
20 
2) 
Solución:
16
0,2
9
Solución:
1 1
   32 : 2
3 6
1
x6 16
3
2 x4  8
ACTIVIDAD
Efectúa (en tu cuaderno).
1)
3 2 .4 5
2)
4 2.  7 2
2 3 10 3 1 3
2.
3.
9
5
3
4
43
1
 21 3
4 . 3 12 .
4
14)
7
2
5
13)

13
4
5 . 3 25
2
3
33
3
4)  73 9 .
14
15) 0,8 5 2 3  5 5
3)
5)
10 2 .  5 3 .
16)
10
17)

32 

 3,4 3 2,5 6 
3 


3 7



3 7
 8 5.  2 6.  3 10
18)  2 
7)
5
1 1
10 
6
6 2
19)
10 8  2 2
8)
3
12 1
15 
4
7 3
20)
 6 300  3 5
13
5
2
9) 2,4 27 : 2 3
21) 23 250 :
10)  3,6 243 : 3 3
22) 0,3222... 70 ;
12)
2
3
10 :
32 3
0,01
27
93 120 : 183 15
23)

1
1
 

6  2 
6
3
3
 

6)
 3
11)  
8

58
5
45
73 13 : 143 13
24) 5
1
27 :
1
5
23
20
POTENCIA Y RAÍZ DE RADICALES
DEFINICIÓN:
a x 
m
n
1

3
1) Efectuemos: 
2

2
 am n xm
m n
 2
4
x  m. n x
2) Efectuemos:
Solución:
 2 : 
6
3
81

Solución:
2
1
2
4
  3 . 2
2
1
.3 .2 2
4
1
.3 .4  3
4
2
: 4 81
1 1
1
x 
4 3
12
Rpta.
23

 5 :
5

Solución:
3
2 2 : 3
3
3) Efectúa: 
6
 2
2
Rpta.

4) Efectúa:

2
3
64
1

2 :
15) 
2

 2






  1 
  
 4  

2
2
Solución:
ACTIVIDAD:
Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1)
2 6 
2)
 5 3 
12) 4
3)
0,3 6 
13)
5
14)
3
2
11)
2
2
4) (0,7 5 )
2
5)
 5 2 
6)
 0,3 4 
3
512
312
210
28
2
3
3
3
3
16)




1 

81 
2
 3
2
21
7)
81
5

8) 
7
8

9)
10)
 3 3

17) 
 3
 10

0
18)
3
729
13 
2
2

4
19) 
625
3
3
20)  8
3 3 3
64
8 54
PRÁCTICA DE CLASE
1. Indica
cuántas
de
las
siguientes
proposiciones son verdaderas:
I.
4 Z
91
Z
III.
7
II.
6Z
IV.
9 Z
(0,4-3,2) : 0,07 + 2(-1,25 + 3,5) +
(-2):(-0,5)
V. (2 – 3 )  Z
4
a) 1
5. Resuelve:
a) -32,5
b) -29,5
d) 31,5
e)-35,1
2
b) 2
c) 3
d) 4
e) Todas
6. Si: x=1,8.10-3; y=4,5.10-4.Calcular:
a) 3
2. Calcula el valor numérico de:

[(a-b):c] . d-1; para: a=0, 2; b= 1,3 ; c=


0,09 ; d= 0,6
a) 16
b) 17
b) 4
c) 6
d) 8
x
y
e)14
7. Si: a=1,5 . 10-2 y b=1,5 . 10-3 Calcula:
“a+b”
c) 15
d) 18
e)N.A.
3. Indica si son V o F las siguientes
afirmaciones:
a)
c) -31,5
0,64  0,08 ……( )
b) (0,1)3 <(0,1)2 ……(

c) 0,09  0,1
)
……(
)
d) 1,49  1,49
……(
)
a) FFVV
b) VFVF
d) VVFV
e) VVVF
c) VVVV
a) 2,650
b) 2,65.10-1
d) 2,65.10-2
e) 2,65.10-3
8. Resuelve utilizando notación científica:
1,6  10 2  2,5  10 4
4800  6,25  10 3


12
13
a) 1,3  10
b) 13.10-13 c) 1,3  10


13
12
d) 3,1  10
e) 1,6  10
9. Resuelve utilizando notación científica:
1,5+{-2–[-0,003 – (1 – 0,25)]-2,75}+3
135000(0,072).5.10 2
9.10 2.18.10 1
a) 0,350
b) 0,503
a) -0,2
b) -0,3
d) 0,550
e) 0,580
d) -0,9
e) -0,4
4. Resuelve:
c) 0,480
c) 2,56.10-3
c) -0,6
22
10. Resuelve:
3
a) 8 3
2
b) 4 3
d) 9 3
2
e) 12 3
11. Resuelve:
a)
23
2
4
d) 
13. Calcula el valor numérico de:
54  3 16  3 250
c) 6 3
2
1
(b  d )( a ). c 1 ; para
3



a=0,2 ; b= 1,3 ; c=  0,09 ; d= 0,6
2
2
5
1
8
18  2 50
2
4
b) 
25
2
2
23
2
4
e) 
c) 
a)
27
2
4
2
3
c)
5
3
d)
4
3
e)
5
6
14. Observa los siguientes números escritos
en notación estandar:



(2,6  1,4)  {[(1  4,5)  (0,5  0,05]}  3
5
b)
6
b)
23
2
2
12. Resuelve:
9
a)
6
3
2
6
c)
7
7
d)
6
9
e)
7
I) 7,5 . 106
II) 7,5.10-2
IV) 7,5.10-1
V) 7,5
a) I
b) II
c) III
III) 7,5.104
d) IV
e) V
20. 2
; es igual a:
15
15.
a)
2
5
b)
2 5
5
d)
2 3
3
e)
2 6
3
c)
3
6
23
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Efectúa:
3
a) 3
b) 1/3
2. Efectúa:
a) a

8 3
b) a
a .5 a
a) n2
10
d) 1/9
e)27
d) a
e) a

15
c) a
2
3
3 2
c) n4
d) n-4
e) n6
c) 12
c) 3
 

6. Al efectuar:  3,3  3 
a) -1
b) 0
c) 8/27
10
11
b) 3
d) 3
7
11
e) 3
d) b
e)
ab
d) 6
e)7
c) 3
4
11
5
11
b) 6
2 2
d) -15
c) 15
2
2
2 e) 9 2
12. Efectúa:
20  27  3
80  48
a) 2
c) 1/4
b) 1
d) 4
e) 1/2
d) 25
e) 1/8
13. Simplifica:
d) 4
1

3
9
11
11. Al simplificar la expresión:
a)
 1  1  1  1  1  1 
E          
 3
 4  
 2 
b) 2
c) a
200  18  8 ; se obtiene:
5. Efectúa:
a) 1
b) a/b
a) 3
6 1
2 5
b) 6/7
a) ab
1/8
2 50  3 8  32
4. Reduce:
98  18  3 2
a) 12/7
ab 9
10. Suma: 2,3  0,54  1,03
4
n  .n  .n 
n 
b) n-2
a 3 b 2 . ab
3
5
c) 9
2 3
3. Efectúa:
9. Simplificar:
3 9 27 81
e) 5
3
d) 27/8
e) 9/6
16 0, 25  (8) 1 / 3 
E

0,5
 9 0,5 
 4
a) 4
b) 1/4
2
c) 36
14. Simplifica:


2 5 2  94 5
7. Efectúa:
a) 6
 18 
b)
2
8 2
2
a) 2

c) 72
b) 5
c)
d)
5
e)
2
d) 3
e)
3
32 3

d) 36
e) 12
15. Efectúa:


11  2 18  1  4 2 1  4 2
8. Efectúa:
 1  3  1  3  1  2 
E           
2
 6  
 4 
a) 1
b) 4
c) 5
3
2
d) 6
0, 5
a) 1
b) 2
16. Efectúa:
e) 7
a)
d) 3

4
c) 4
243  108
b) 3
3
3

c) 3
4

1
 3
9
e) NA.
24
25
30
31