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“Curso de Nivelación de Matemática”
CURSO DE NIVELACIÓN
DEmatemática
Marzo 2017
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“Curso de Nivelación de Matemática”
PROGRAMA ANALÍTICO DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS






Conjunto de números naturales.
Conjunto de números enteros.
Conjunto de números racionales.
Conjunto de números irracionales.
Conjunto de números reales.
Conjunto de los números enteros: recta
numérica, operaciones, problemas de
aplicación, ejercicios combinados.
UNIDAD 4
UNIDADES DE MEDIDA







UNIDAD 2
NÚMEROS RACIONALES: Fracciones








El conjunto racional.
Ubicación en la recta numérica.
Orden y comparación.
Fracciones equivalentes: Amplificación y
Simplificación.
Suma y resta de fracciones con igual
denominador.
Suma y restas de fracciones con distinto
denominador.
Multiplicación y división de fracciones.
Ejercicios combinados.
UNIDAD 5
GEOMETRÍA EN EL PLANO








Expresión decimal de números racionales.
Pasaje de expresión decimal a fracción.
Fracciones decimales.
Porcentaje. Cálculo de Regla de tres simple.
Suma y resta de expresiones decimales.
Multiplicación y división de expresiones
decimales.
Resolución de problemas
Clasificación de los cuerpos geométricos
Triangulo Rectángulo
o Teorema de Pitágoras
Cuadrado
Rectángulo
Circunferencia
Calculo de Área y Perímetro.
Resolución de problemas
UNIDAD 6
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
UNIDAD 3
NÚMEROS RACIONALES: Decimales






Longitud
Peso
Capacidad
Pulgada
Área (
y volumen
Conversiones.
Resolución de problemas








Superficie lateral
Superficie total.
Volumen.
Cubo
Prisma
Cilindro
Esfera
Resolución de problemas.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
UNIDAD I ~ Conjuntos numéricos
Marzo 2017
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“Curso de Nivelación de Matemática”
El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto con el que se
comienza a operar en matemática. Este conjunto surge ante la necesidad que tuvo el
hombre de contar los elementos de la naturaleza que lo rodeaban. Simbólicamente se lo
expresa con la letra IN.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Este conjunto se caracteriza por:

Tener un número infinito de elementos

Su primer elemento en el número 1 y no tiene un último elemento

Cada elemento tiene un sucesor, y todos excepto el 1, un antecesor.

Entre dos números consecutivos no existe otro número natural, por eso decimos que
el conjunto de los números naturales es discreto (no continuo)
En el conjunto de los Números Naturales podemos realizar las operaciones
de suma y multiplicación sin ningún inconveniente, siendo el resultado de estas operaciones
también un número natural. No ocurre lo mismo con la resta y la división.
Actividad:
I.
Indicar cuál de los siguientes números pertenecen a IN:
a) 145
c)
11
e) 3/2
b) -50
d)
3,575
f) 5
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“Curso de Nivelación de Matemática”
II.
Ordenar de menor a mayor:
a) 7 , 23 , 2 , 10 , 4 , 35 , 27 , 1
El Conjunto de los Números Enteros se crea
para dar solución a un tipo de resta muy particular que no se
puede resolver en el conjunto de los números naturales. Dicha
resta es aquella que tiene un minuendo mayor que el
sustraendo, (como por ej.: 5 – 20).
Esta operación en el conjunto de los números
enteros tiene la siguiente solución: 5 – 20 =
Nacen de
este modo los números negativos. El conjunto de los números enteros está formado por los
números positivos, los negativos y el cero. Es decir, es la unión de los subconjuntos
,
y
el cero.
Simbólicamente el conjunto de números enteros se denota con la letra .
= {..., –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Gráficamente en la recta numérica hacia la derecha del cero se encuentra los
enteros positivos (números naturales) y hacia la izquierda los enteros negativos.
Representación gráfica de
Recordar: “El conjunto
incluye al conjunto IN, es decir que todo número
natural es también un número entero. Pero no todo número entero es un
número natural”.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Actividad:
I.
II.
III.
Indicar que números pertenecen a :
a) 0
e)
548
b) 2/5
f) - 79
c) - 14
g)
d) 1,65
h) - 37
1000
Completar el siguiente mapa conceptual:
Observar la temperatura que marca cada termómetro y elige la opción correcta:
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Al
igual
que
los
conjuntos
anteriormente
estudiados, el conjunto de los Números Racionales se crea
para dar solución a una operación en particular, la división
formada por un dividendo que no es múltiplo del divisor. Este
tipo de divisiones no tienen por resultado un número entero.
De este modo, el conjunto de los Números
Racionales está formado por las fracciones y sus equivalentes
decimales, (decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto) incluyendo
también a los números naturales y enteros.
Cualquier número que pueda expresarse con fracción es número racional. El
término racional proviene de ración que significa parte.
Para la notación simbólica se usa la letra .
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“Curso de Nivelación de Matemática”
A medida que se grafican los conjuntos numéricos, la recta numérica se va
completando
Ejemplos de números racionales:
̂
̂
Actividad
Dar ejemplos de números racionales:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
El conjunto de los números irracionales reúne a
ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores.
Entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi
(π), etc.
La particularidad que tienen los irracionales es
que son números que no pueden ser expresados como una
fracción entre dos enteros porque poseen infinitas cifras
decimales todas diferentes, por ello decimos que es un conjunto que esta apartado de los
anteriores.
Simbólicamente se identifica con la letra
El primer número irracional que se descubrió fue √ y el segundo fue
.
Luego se fueron descubriendo una infinidad de números irracionales.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
“PI” es un número irracional. Se han calculado
más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse.
El número “E”, (el número de EULER) es otro
número irracional. Se han calculado muchas cifras
decimales de “E” sin encontrar ningún patrón.
La “RAZON DE ORO” ó “NUMERO AUREO”
es un número irracional, equivale a
√
Los números irracionales también pueden graficarse sobre la recta numérica,
a pesar de tener infinitas cifras decimales diferentes. Los puntos correspondientes a estos
números completan la recta:
Actividad
Indica que números pertenecen al conjunto :
a) 3
d) 1,284509…
b) √
e) 13/5
c) 2,0987345721
f) π
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“Curso de Nivelación de Matemática”
El conjunto de los Números Reales se representa
con la letra IR. Lo integran:
El conjunto de los Números Racionales ( ), que a su
vez incluyen a los Enteros ( ) y estos a los Naturales (IN)
El conjunto de los Números Irracionales ( ) que está
formado por los números que tienen infinitos decimales
no periódicos.
Por esta característica, se llaman Números Reales
a todos aquellos números que se pueden expresar en forma de
decimal finito o infinito; es decir, como elemento de
ó de
Actividad
Clasificar los siguientes números de acuerdo al conjunto al que pertenecen
a)
e)
b)
f)
c) √
g)
d)
h)
̂
i)
j) 57
π
k)
l)
̂
√
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“Curso de Nivelación de Matemática”
6.1 Suma y Resta
La suma y resta de números enteros, se puede presentar de cuatro formas
distintas de acuerdo al signo de los números intervinientes:
Procedimiento:
1_ Cuando los dos números tienen el mismo signo la operación mental a realizar es la suma
de los valores absolutos de ambos números, y el resultado lleva el mismo signo.
2_ Cuando ambos números tienen distinto signo, la operación mental es, restar al mayor
valor absoluto el menor valor absoluto y el resultado lleva el signo del mayor valor
absoluto.
 Observa como utilizamos los números enteros en nuestra vida cotidiana:
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“Curso de Nivelación de Matemática”
6.2 Multiplicación y División
Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos
de cada uno de los factores y “aplicar la regla de los signos”.
REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION
“En la división se procede de la misma forma como muestra el ejemplo”
Pasos a seguir para resolver un ejercicio combinado con números enteros:
I.
Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
a)
d)
g)
b) 15+12=
e)
h)
c)
f)
i)
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“Curso de Nivelación de Matemática”
II.
Resolver los siguientes ejercicios combinados:
a.
b.
c.
d.
e.
[
]
f.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
UNIDAD iI
NÚMEROS racionales: Fracciones
Marzo 2017
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Una fracción es un número compuesto por dos
elementos y representa una porción de un todo, por ejemplo,
media manzana, un pastel cortado en tres raciones para tres
personas, etc. Siempre uno de los dos números representará las
partes que se deben tomar, y el otro, el número de porciones en
que se dividirá la unidad. Por ello, la palabra fracción significa
dividir una cosa en partes iguales
Definición: Un número racional
y
, con
a
es el cociente de dos números enteros “
b
.
Cuando hablamos de números racionales nos referimos al conjunto de
números fraccionarios y sus expresiones decimales equivalentes.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para
representar partes de un todo. Los números racionales pueden expresarse como fracción y
también como un número decimal, pero a veces es más conveniente trabajarlos como
fracción antes que convertirlos a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de
decimales que se podrían obtener.
Este conjunto se puede graficar sobre la recta numérica pero a diferencia de
los números enteros entre cada número racional existen infinitos números racionales
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“Curso de Nivelación de Matemática”
A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA y SOBRE LA RECTA
 Para representar una fracción gráficamente, se debe observar el numerador y
denominador. El denominador indica la cantidad de partes iguales en la que se divide
el entero y el numerador cuantas partes debemos considerar.

Ejemplos:
 Para representar fracciones en la recta numérica se aplica el mismo concepto
trabajado en la representación gráfica, tomando la distancia entre 0 y 1 como un
entero.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Actividad:
Graficar sobre la recta numérica los siguientes números fraccionarios:
a)
b)
c)
𝟐
d)
𝟓
𝟔
e)
𝟏𝟎
𝟒
𝟕
f)
𝟕
𝟐
𝟖
𝟖
𝟏𝟐
𝟓
B. FRACCIONES EQUIVALENTES
Las fracciones equivalentes son fracciones que poseen distintos numeradores
y denominadores pero representan la misma cantidad o valor numérico, dicho en otras
palabras, representan el mismo número racional.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y denominador tienen como único
divisor en común el número “1”, es decir, no se puede seguir simplificando. La
simplificación permite llegar a la fracción irreducible
Actividad:
Hallar tres fracciones equivalentes a las dadas:
a)
b)
c)
𝟏
d)
𝟒
𝟑
e)
𝟓
𝟓
f)
𝟐
𝟐
𝟕
𝟑
𝟒
𝟔
𝟏𝟏
C. OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA
La suma y resta de fracciones presenta dos situaciones
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR
 Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o restan los
numeradores y se deja el mismo denominador
Ejemplo



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“Curso de Nivelación de Matemática”
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
 Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
un común denominador que es el mínimo común múltiplo de los denominadores;
después se divide ese denominador por cada uno de los denominadores dados y el
resultado se multiplica por el numerador correspondiente. Por último se suman o
restan los numeradores resultantes y se conserva el común denominador.
Ejemplo

m.c.m.

m.c.m.

m.c.m.
 Para obtener el m.c.m. se desarrollan los múltiplos de cada denominador, y de toma
el menor de todos los múltiplos iguales
Actividad
Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones:
abc-
𝟐
𝟔
𝟑
𝟑
d-
𝟏𝟑
𝟕
𝟖
𝟖
𝟏𝟐
𝟒
𝟖
𝟕
𝟕
𝟕
e-
f-
𝟑
𝟐
𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟓
𝟏𝟑
𝟓
𝟔
𝟖
𝟒
𝟐
𝟓
𝟏
𝟕
𝟑
𝟐
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“Curso de Nivelación de Matemática”
MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores entre sí,
al igual que los denominadores. Es decir, la fracción resultante tiene por numerador el
resultado del producto de todos los numeradores dados y por denominador, el resultado del
producto de todos los denominadores correspondientes. No olvidar aplicar la regla de los
signos en caso de ser necesario.
 Ejemplo:
Actividad
Calcular las siguientes multiplicaciones:
ab-
𝟐
𝟒
𝟑
𝟓
c-
𝟓
𝟑
𝟒
𝟕
d-
𝟐
𝟏𝟐
𝟓
𝟕
𝟓
𝟐
𝟑
𝟕
𝟐
𝟐
𝟓
𝟗
DIVISIÓN
La división de fracciones se convierte en una multiplicación. Se multiplica la
primer fracción por la reciproca de la segunda fracción. (Fracción invertida)
Ejemplo
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Actividad
Realizar las siguientes divisiones con fracciones:
ab-
𝟒
𝟓
𝟑
𝟒
∶
∶
𝟑
𝟑
c
𝟖
𝟐
𝟐
𝟏
d
𝟒
𝟕
𝟒
∶
∶
𝟗
𝟑
𝟓
∶
𝟐
𝟑
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
En una operación combinada con fracciones se puede encontrar sumas,
restas multiplicaciones, divisiones, etc. A la hora de resolver hay que tener en cuenta lo
siguiente
1) Convertir a fracción los números decimales.
2) Separar en términos (los signos “+” y “-“separan términos.
3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves.
4) Efectuar los productos y cocientes
5) Realizar las sumas y restas.
6) Simplificar las fracciones siempre que sea posible para que las cuentas a realizar sean
más simples
Ejemplo:
⌈(
) (
[( ) (
[
)⌉
)]
]
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Actividad
Operar los siguientes ejercicios combinados:
ab-
𝟐
𝟓
𝟏
𝟑
𝟕
𝟐
𝟓
𝟏𝟎
c-
𝟓
𝟑
𝟕
𝟏𝟕
𝟒
𝟐
𝟖
𝟐𝟒
d-
𝟕
𝟒
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓
𝟏𝟓
𝟏
𝟑
𝟏
𝟐
𝟒
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
ACTIVIDADES
I.
Realizar las siguientes sumas de fracciones graficando el resultado y luego ubica
sobre la recta numérica :
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“Curso de Nivelación de Matemática”
II.
Realizar los siguientes ejercicios combinados de fracciones:
(
(
) (
(
) (
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
)
(
)
)
) (
(
) (
)
)
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“Curso de Nivelación de Matemática”
UNIDAD iIi
NÚMEROS racionales: decimales
Marzo 2017
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Los números decimales nacen como una forma especial de la escritura de las
fracciones, de manera que la “coma” o “punto decimal” separa a la parte entera de la
decimal. Si no hay parte entera se coloca un cero delante de la coma.
Dicho de otra forma, la expresión decimal de una fracción es el cociente que
se obtiene al dividir el numerador por el denominador, este cociente puede ser un decimal
con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.
Los números decimales forman parte del conjunto de números racionales.
A. CLASIFICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES:
De acuerdo a la cantidad de cifras en su parte decimal, los números decimales pueden
clasificarse en:
EXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es finita
Ejemplos:
INEXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es infinita

PERIÓDICO PURO: Es cuando el período empieza inmediatamente después
de la coma decimal
Ejemplos:
̂
̂
̂
̂
̂
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“Curso de Nivelación de Matemática”

PERIÓDICO MIXTO: Es cuando la parte periódica empieza algunas cifras
después de la coma decimal.
Ejemplos:
̂
̂
̂
̂
̂
Actividad
Pasar a número decimal las siguientes fracciones y clasificar:
B. PASAJE DE EXPRESIÓN DECIMAL A FRACCIÓN
•
Decimal Exacto o Finito a Fracción: Se escribe en el numerador de la fracción, la
expresión decimal sin la coma (como números enteros), y en el denominador un uno
seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal exacto.
Ejemplos:
Actividad
Pasar a fracción los siguientes números decimales:
•
Decimal Periódico Puro a Fracción: La fracción correspondiente a un decimal
periódico puro tiene como numerador la diferencia (resta) entre la expresión decimal
escrita sin la coma, y la parte anterior al período. Y como denominador, tantos 9
como cifras tenga el período.
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Ejemplo
̂
̂
̂
Recordar:
Actividad
Pasar a fracción los siguientes números decimales:
̂
̂
̂

̂
̂
f
̂
Decimal periódico mixto: El decimal periódico mixto tendrá como numerador la diferencia
(resta) entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al período; y como denominador
tantos 9 como cifras tenga el período y otros tantos ceros como cifras tenga el ante período.
Ejemplo:
̂
̂
̂
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Actividad
Convertir en fracción los siguientes números decimales:
̂
̂
̂
̂
̂
f
̂
C. REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES EN LA RECTA
Los números decimales, “racionales”, también pueden graficarse sobre la recta
numérica. De acuerdo al número decimal con el que se trabaje se deben tener en
cuenta los siguientes pasos:
1) Para ubicar los décimos se divide la distancia entre dos números enteros
consecutivos en 10 partes iguales.
DÉCIMOS
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“Curso de Nivelación de Matemática”
2) Para ubicar los centésimos se divide la distancia entre dos números enteros consecutivos en
100 partes iguales.
CENTÉSIMOS
Actividad
Representar sobre la recta numérica los siguientes números decimales:
f
D. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
La suma y resta con números decimales se realiza siguiendo un procedimiento
similar a la suma y resta de números naturales. Es decir, se trabaja encolumnando
los elementos comunes. Para ello hay encolumnar las comas de los números a
sumar o restar, quedando de esta forma encolumnadas las cifras enteras y
decimales como lo muestra el siguiente ejemplo:
Ejemplo de suma y resta de decimales:
Puede ocurrir que en la suma o en la resta haya algún número que no lleve todas las
cifras decimales, en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0 (cero).
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“Curso de Nivelación de Matemática”
Actividad
Resolver las siguientes sumas y restas de decimales:
E. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
La multiplicación de números decimales se realiza como si fueran números naturales.
Una vez obtenido el resultado, del mismo se separan con una coma tantas cifras
como cifras decimales tengan entre los dos números decimales multiplicados
Ejemplo:
Actividad
Realizar las multiplicaciones de decimales:
F. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
La división de decimales presenta tres situaciones distintas:
(División de un numero decimal por un numero natural)
Ejemplo:

Dividir
entre
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“Curso de Nivelación de Matemática”
“Se divide como si fueran números naturales y al bajar la primera cifra decimal del
dividendo, se escribe la coma en el cociente”
Ejemplo:

Dividir
entre
“Como la parte entera del dividendo es menor que la del divisor, se escribe 0 (cero)
y coma en el cociente y se sigue dividiendo
entre ”.
(División de un numero decimal por otro decimal)
Ejemplo:

Dividir
entre
“Cuando el divisor es un numero decimal, se debe convertir el mismo a un
número natural mediante la amplificación. Para ello, se multiplica el dividendo y el
divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el
divisor”
(División de un numero natural por un numero decimal)
Ejemplo:

Dividir
entre
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“Curso de Nivelación de Matemática”
“Como en el caso anterior, es necesario convertir el divisor en un numero
natural, amplificándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga. Esta amplificación nuevamente modifica al dividendo.
Actividad
Resolver las siguientes divisiones de números decimales
a) 1,9 ÷ 7 =
b) 4 ÷ 9=
c) 3,41 ÷ 1,8 =
G. CÁLCULOS COMBINADOS CON NUMEROS DECIMALES
Para resolver ejercicios combinados con números decimales se aplican los pasos ya
mencionados en cálculos combinados con fracciones
1) Convertir
a
fracción
los
números
decimales. (exactos y periódicos)
2) Separar en términos (los signos “+” y “-“
separan términos.
3) Resolver las operaciones que estén entre
paréntesis, corchetes y llaves.
4) Efectuar los productos y cocientes
5) Realizar las sumas y restas.
6) Simplificar las fracciones siempre que sea
posible para que las cuentas a realizar sean más simples
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“Curso de Nivelación de Matemática”
H. RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMATICAS
Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:
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“Curso de Nivelación de Matemática”
ACTIVIDADES
1) Resolver los siguientes ejercicios combinados con números decimales
̂
(
(
)
̂
̂
̂
̂
)
̂)
(
( ̂
̂)
̂
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“Curso de Nivelación de Matemática”
UNIDAD iV
Unidades de medida
Marzo 2017
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“Curso de Nivelación de Matemática”
4. UNIDADES DE MEDIDA
Desde hace muchos siglos, el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera
por relaciones comerciales, construcciones, etc.
¿A quién recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el
codo (la distancia del codo hasta el extremo del dedo mayor), el palmo (ancho
de la mano extendida), el dedo (ancho del dedo), el pie (largo del pie
extendido), la pulgada (ancho del dedo pulgar).
Pronto surgieron las dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo
tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales.
¿Cuál fue la solución? En 1795 se creó el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
* Métrico: porque la base es el metro.
* Decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro
siempre es potencia de 10.
 La siguiente tabla de unidades diferencia entre el sistema C.G.S y el sistema M.K.S, la
magnitud que utilicemos según lo que se desea medir:
UNIDADES
Magnitud
Sistema C.G.S
Sistema M.K.S
Masa
g
kg
Longitud
cm
M
Tiempo
s
s
Velocidad
cm/s
m/s
Aceleración
cm/s 2
m/s 2
Fuerza
Dina
N
Presión
dina/cm 2
Pa = N/m 2
Trabajo
Ergio
(J) Joule
Potencia
ergio/s
Watt (J/s)
Momento
dina.cm
N.m
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“Curso de Nivelación de Matemática”
4.1 Longitud
La unidad principal para medir longitud es el metro (m).
÷ 10
Kilómetro
0.001 km
Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
0.01 hm
0.1 dam
1m
10 dm
100 cm
1000 mm
× 10
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo 1:
Pasar 32 m a cm
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una
unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el
centímetro hay dos lugares de separación.
32 m × 100 = 3200 cm

Ejemplo 2:
Pasar 46,7 dm a hm
Si queremos pasar de decímetro a hectómetro tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una
unidad menor a otra mayor)
46,7 dm: 1000 = 0,0467 dm
4.2 Peso
La unidad principal para medir peso es el gramo (g).
÷ 10
Kilogramo
0.001 kg
Hectogramo Decagramo gramo Decigramo Centigramo Miligramo
0.01 hg
0.1 dag
1g
10 dg
100 cg
1000 mg
×10
El Kg es una unidad de medida equivalente a (1000g). Se usa para medir el peso de objetos o
personas entre otros.
Para la conversión entre unidades de peso procedemos de la misma manera que en las unidades de
longitud, por lo tanto, si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de
una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad
seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
- 37 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
4.4 Capacidad
La unidad principal para medir la capacidad es el litro (l).
÷ 10
Kilolitro
Hectolitro
Decalitro
litro
Decilitro
Centilitro
Mililitro
0.001 Kl
0.01 Hl
0.1 Dal
1L
10 Dl
100 Cl
1000 Ml
×10
La conversión se trabaja de la misma manera que en las unidades de longitud y masa.
Lo importante será considerar los múltiplos y los submúltiplos en cada unidad que se trabaje:
Actividad: Completar
 LONGITUD
Km
hm
dam
m
dm
cm
mm
48
73,5
 PESO
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
cl
ml
5317
9,12
.
 CAPACIDAD
kl
hl
dal
l
dl
832,10
52490
- 38 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
4.5 Área
Para medir el área utilizamos una medida derivada del metro, el metro cuadrado (m2).
÷ 100
Kilometro2
Hectómetro2
Decametro2
metro2
Decimetro2
Centimetro2
Milimetro2
0.000001 km2
0.0001 hm2
0.01 dam2
1m2
100 dm2
10000 cm2
1000000 mm2
× 100
Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de dos ceros por cada lugar haya entre ellas.

Ejemplo:
Pasar 45,5 m2 a cm2
Si queremos pasar de metros cuadrados a centímetros cuadrados tenemos que multiplicar (porque
vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que
entre el metro cuadrado y el centímetro cuadrado hay dos lugares de separación (dos lugares por
dos).
45,5 m2 · 10000 = 455000 cm2
Completar:
491,836
162,3449
4.6 Volumen
Para medir el volumen utilizamos una medida derivada del metro, el metro cúbico (m3).
÷ 1000
3
Kilometro
0.000000001 km
Hectómetro
3
3
Decametro
3
0.001 dam
0.000001 hm
3
metro
3
1m
3
3
3
3
Milimetro
3
1000000000 mm
Decimetro
Centimetro
3
1000000 cm
1000 dm
3
1000
- 39 -
3
“Curso de Nivelación de Matemática”
Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de tres ceros por cada lugar haya entre ellas.

Ejemplo:
Pasar 92,671 m3 a cm3
Si queremos pasar de metros cúbicos a centímetros cúbicos tenemos que multiplicar (porque vamos
a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de seis ceros, ya que entre el
metro cúbico y el centímetro cúbico hay dos lugares de separación (dos lugares por tres).
92,671 m3 · 1000000 = 92671000 cm3
Una unidad alternativa para medir volumen es el litro, el cual es equivalente a 1 dm3. Ésta se utiliza
mayormente para medir líquidos.
4.7 De pulgadas a centímetro
La pulgada es una unidad de longitud que equivale al ancho de la
primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange
distal.
1 pulgada = 1” = 0,0254metros
Ejemplo:
Julián midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es
4,36cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Julián?
1 Pulgada = 0,0254m = 2,54cm
Actividad
a- Nicolás midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro
es 4,78cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas,
necesita Nicolás?
- 40 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
1.
Transformar estas longitudes en metros y ordénalas de menor a mayor.
2.
Completar las siguientes tablas, teniendo en cuenta la unidad de medida:
Km
hm
dam
m
dm
cm
mm
73,59
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
dal
l
dl
cl
ml
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
53017
kl
hl
0, 8325
km2
hm2
32786,361
3.
Resolver y contestar:
a) Un tonel se llena con 150 litros. ¿Cuántos hectolitros necesitamos
para llenar 6 toneles?
b) Una cuerda roja mide 2 dam y 3 m y otra cuerda azul mide 23,457
m. ¿Cuál de las dos es más larga?
c) Juan necesita aceite para sus dos coches, uno verde y otro azul. Para el
verde necesita 3 dl y 75 ml, y para el azul 13 cl y 5 ml. ¿Cuántos ml necesita en total? ¿Tendrá
suficiente con una lata de medio litro?
4.
Convertir a una misma unidad y resolver las operaciones:
- 41 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
UNIDAD V
Geometría en el plano
Marzo 2017
- 42 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
GEOMETRÍA
El hombre preciso admirar la belleza de la creación para satisfacer su
espíritu, con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba.
Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que
dieron origen a la parte de las matemáticas que designamos con el
nombre de la geometría. Formada por las raíces griegas “geo”, tierra,
y “metrón”, medida, por lo tanto su significado es “medida de la
tierra”; la misma, es una herramienta que permite describir el mundo físico en que se vive.
1- FIGURAS GEOMÉTRICAS
CIRCUNFERENCIA
PLANO
POLIGONOS
Triángulo
Cuadriláteros
ESPACIO
Cuerpo Redondo
Poliedros
Cono
Regulares
Cilindro
Cubo
Esfera
Pirámides
Prismas
- 43 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
2- PERÍMETRO Y ÁREA
es la medida del contorno de una figura plana y se expresa en unidades de longitud, por
ejemplo: centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc.
Para calcular el perímetro de un polígono debemos sumar las medidas de sus lados.

Ejemplo: Si calculamos el perímetro de un rectángulo de largo 5cm y ancho 3cm, sumamos la
medida de sus lados. Por lo tanto su perímetro es 16cm.
5cm
P = 3cm + 5cm + 3cm + 5cm
3cm
3cm
P = 16cm
5cm
es la medida de su superficie y se expresa en unidades de área, por ejemplo: metros
cuadrados (
), centímetros cuadrados (
Figura Geométrica
), kilómetros cuadrados (
Perímetro (P)
), etc.
Área (A)
Cuadrado de
lado (l)
Rectángulo
Triángulo
Circunferencia
Longitud:
A=
- 44 -
“Curso de Nivelación de Matemática”

Ejemplo 1
Calcular el perímetro y área del siguiente triangulo.

Ejemplo 2
Se tiene un cuadrado de 3m de lado y un triángulo equilátero de 7.5m ¿Cuál de ellas tiene mayor
perímetro?
Cuadrado
Triángulo equilátero
7,5cm
7,5cm
7,5cm
Conclusión: La figura que mayor perímetro tiene es la del triángulo equilátero
Actividad:
Calcular el perímetro y área de la siguiente figura:
7 cm
7 cm
4 cm
dam
9 cm
dam
9 cm
dam
12 cm
dam
- 45 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
4- Teorema de Pitágoras
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (catetos)”
𝒄𝟐

2
𝒂𝟐
𝒃𝟐
Ejemplo: si tenemos un triángulo de hipotenusa igual a 5 cm, cuyos lados miden 3cm y 4cm,
veamos si las áreas son las mismas:
=
5 cm
25 = 9 + 16
25 = 25
¿Por qué es útil?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, el
Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.
(¡Pero sólo funciona en triángulos rectángulos!)
- 46 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
DOS CASOS QUE PUEDEN PRESENTARSE
Cuando se averigua la hipotenusa
de un triángulo rectángulo.
Cuando se averigua un lado del
triángulo rectángulo.
c2= a2 + b2
c2 = a2 + b2
c2= 52 + 122
152 = 92 + b2
c2 = 25 + 144
225 = 81 + b2
c2 = 169
225 – 81 = b2
144 = b2
√
c = 13 cm
√
12 cm = b
Solucionar utilizando lo aprendido ¿Qué calcularás? ¿Hipotenusa o cateto?
a.
b.
- 47 -
“Curso de Nivelación de Matemática”
 El teorema de Pitágoras como muchos temas de
matemática se lo puede aplicar en situaciones
cotidianas.
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
Leer atentamente los siguientes problemas, construir el
triángulo rectángulo y encontrar el dato faltante
Problema 1: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera
dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Problema 2: Un avión militar debe atacar el blanco enemigo que se encuentra a cierta distancia. Se
sabe que el avión está volando a 20 km de altura y que el blanco enemigo está a 15 km del avión en
línea horizontal. El piloto desea saber la distancia que recorrerá el misil que enviará para destruir al
enemigo. ¿Cuál será la distancia?
Actividad 2: Determinar el perímetro y el área de cada figura:
a) Un rectángulo de 10 cm de ancho y 20 cm de largo:
Perímetro:
Área:
b) Un cuadrado de 8 m de lado:
Perímetro:
Área:
c) Longitud de una circunferencia y área de un círculo de radio 10 cm:
Longitud:
Área:
d) Un triángulo isósceles de base 6 m, lados 5 m y de altura 4 m:
Perímetro:
Área:
- 48 -
UNIDAD Vi
Geometría en el espacio
Marzo 2017
- 49 -
El estudio de los cuerpos geométricos no solo brindo avances en las matemáticas sino que todo
este conocimiento fue extremadamente influyente en actividades muy veneradas como son la
arquitectura, la ingeniería, la física astronómica y por supuesto la física cuántica. Las principales
leyes que rigen todos estos campos de conocimiento surgen del estudio matemático de los cuerpos
geométricos y los cálculos basados en ellos.
1- SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE CUERPOS
SUPERFICIE LATERAL: es la suma de todas las áreas de las caras laterales.
SUPERFICIE TOTAL: es la suma del área lateral y el área de la o las bases de la figura.
ALTO
VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
LARGO
- 50 -
Fórmulas para calcular la superficie lateral, superficie total y volumen de los siguientes cuerpos:
CUBO
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 4 cm de
arista.
Área de una cara lateral = 𝒂𝟐
𝑨
4 cm
𝟒 𝒄𝒎
𝟐
𝟒 𝒄𝒎 𝟒 𝒄𝒎
𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 6 cm de arista.
- 51 -
PRISMA
c
a
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente prisma.
Área de una cara lateral = 𝒂 𝒄
4 cm
Área de una cara lateral del costado =𝒃 𝒄
Área de una base= 𝒂 𝒃
2 cm
𝟖 𝒄𝒎𝟐
𝟐 𝒄𝒎 𝟒𝒄𝒎
𝟐𝒄𝒎 𝟑𝒄𝒎
𝟑𝒄𝒎 𝟒𝒄𝒎
𝟏𝟐𝒄𝒎𝟐
𝟔𝒄𝒎𝟐
Superficie Lateral
(
2. (
)
)
Superficie Total
)
Volumen
Actividad: Calcular sup. Lateral, total y volumen de un prisma largo 3 cm, ancho 4 cm y altura 6 cm.
- 52 -
CILINDRO
h
r
.h
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente cilindro.
Superficie Lateral
5 cm
94,2
Superficie Total
3 cm
94,2
Volumen
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un
cilindro de radio 2 cm y altura 4 cm.
- 53 -
ESFERA
Superficie Total
Volumen

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de la siguiente esfera de
radio 2 cm.
Superficie Total
Volumen
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de una
esfera de 4 cm.
- 54 -
ACTIVIDAD DE LA UNIDAD
1. Completar los cuadros calculando el área lateral, área total y volumen de los
respectivos cuerpos. Utilizar los datos dados:
a)
Arista
CUBO
Área Lateral
Área Total
Volumen
3cm
5cm
CUBO
b)
Base
Altura
2cm
5cm
3cm
4 cm
Área Lateral
Área Total
Volumen
PRISMA DE BASE CUADRADA
c)
Radio
Altura
2cm
10cm
5cm
6cm
Área Lateral
Área Total
Volumen
CILINDRO
d)
Radio
Área Total
Volumen
7cm
9cm
ESFERA
- 55 -