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C u r s o : Matemática 3º Medio
Material Nº MT-18
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA PROPORCIONAL – SEMEJANZA
TEOREMA 1
Las áreas de los triángulos que tienen la misma altura están, respectivamente, en la misma razón
que lo están sus bases (fig. 1).
C
fig. 1
h1
A
F
Si h1 = h2,
entonces
área ΔABC AB
=
área ΔDEF DE
h2
B
D
E
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, ABCD es un rectángulo de perímetro 26 cm. Si EB = 3 cm y EC = 5 cm, ¿en
qué razón están las áreas de los triángulos AEF y EBC?
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
3
4
5
:
:
:
:
:
1
1
2
3
3
D
F
fig. 2
A
2.
C
E
B
En el trapecio ABCD de la figura 3, AB // DC . Si AE = 2, ¿cuál es el área del ΔAED?
A)
B)
C)
D)
E)
60
13
50
13
30
13
17
13
Ninguna de las anteriores
D
C
5
A
E
fig. 3
12
B
TEOREMA 2
Toda paralela a uno de los lados de un triángulo divide proporcionalmente a los otros dos lados
(fig. 1).
C
D
A
Si DE // AB , entonces
E
CD CE
=
DA EB
B
fig. 1
EJEMPLOS
1.
En el triángulo ABC de la figura 2, DE // AB . Si CB = 12 cm, CE = 4 cm y AD = 6 cm,
entonces AC =
C
A)
B)
C)
D)
E)
3
6
8
9
12
fig. 2
cm
cm
cm
cm
cm
D
E
A
2.
B
En el ΔABC de la figura 3, DE // BC y DF // BE . Si AF = 3 y CF = 9, entonces EF =
A)
B)
C)
D)
E)
A
1
2
3
4
6
F
D
B
2
fig. 3
E
C
TEOREMA 3
En todo triángulo, la bisectriz interior de un ángulo divide al lado opuesto en dos trazos que
están en la misma razón que los lados que forman el ángulo (fig. 1).
C
fig. 1
Si (ACD = (BCD,
DA CA
=
DB CB
entonces
A
D
B
EJEMPLOS
1.
En el triángulo ABC de la figura 2, AD es bisectriz del ángulo BAC. Si BD : AB = 2 : 3 y
AB = 2 AC = 6 cm, ¿cuánto mide BC ?
C
fig. 2
A)
B)
C)
D)
E)
10
8
7
9
6
cm
cm
cm
cm
cm
D
B
A
2.
En el ΔABC de la figura 3, (A = 90º, AM transversal de gravedad y AD bisectriz del (A. Si
AB = 6 y AC = 8, entonces el área del ΔADM es
A)
B)
C)
D)
E)
A
84
7
79
7
72
7
12
7
3
7
B
3
fig. 3
D
M
C
DEFINICIÓN DE POLÍGONOS SEMEJANTES
Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno
de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando, además, tengan
sus lados homólogos proporcionales.
En la figura 1, pentágono ABCDE ∼ pentágono PQRST si y solo si:
D
(A ≅ (P, (B ≅ (Q, (C ≅ (R,
S
(D ≅ (S, (E ≅ (T
E
y
AB
BC
CD
DE
EA
=
=
=
=
PQ
QR
RS
ST
TP
T
C
R
fig. 1
A
B
Q
P
EJEMPLOS
1.
Forman una pareja de polígonos semejantes:
I)
II)
III)
IV)
Dos
Dos
Dos
Dos
cuadrados cualesquiera.
triángulos equiláteros cualesquiera.
rombos cualesquiera.
hexágonos regulares cualesquiera.
De las afirmaciones anteriores son verdaderas
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo I y IV
Sólo I, II y IV
I, II, III y IV
En la figura 2, cuadrilátero XMTV ∼ cuadrilátero QRAJ. Si QR = 12, entonces RA + AJ =
A)
B)
C)
D)
E)
16
18
24
26
34
V
T
27
J
12
A
24
X
Q
18
M
4
R
fig. 2
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó
en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras.
En la figura 1:
C
ΔABC ∼ ΔPQR, si y solamente si,
R
(A = (P; (B = (Q ; (C = (R
y
fig. 1
P
A
AB
BC
CA
=
=
PQ
QR
RP
Q
B
EJEMPLOS
1.
Si ΔABC ∼ ΔQRP (fig. 2), ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(A ≅ (Q
II)
AC
QP
=
BC
RP
III)
AB
BC
=
QP
RP
C
R
Q
fig. 2
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
A
P
B
En la figura 3, ΔPQR ∼ ΔJKL. Entonces, JL =
A)
B)
C)
D)
E)
19
26
48
57
ninguna de las anteriores
P
fig. 3
5
x–7
J
Q
16
R
15
K
5
2x + 5
16
L
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para establecer la semejanza entre dos triángulos
condiciones
expuestas anteriormente,
sino que
necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.
no es necesario verificar cada una de las seis
la ocurrencia de algunas
de ellas provocan
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)
Para que dos triángulos
ángulos del otro (fig. 1).
sean semejantes, los ángulos
de uno de ellos
deben ser congruentes a los
R
C
fig. 1
Si (A ≅ (P y (B ≅ (Q,
entonces
ΔABC ∼ ΔPQR
A
COROLARIO
Q
P
B
Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero (figura 2).
C
fig. 2
Si DE // AB , entonces
ΔCDE ∼ ΔCAB
D
E
A
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 3, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. Entonces, el
triángulo CDE es semejante al triángulo ABC en su orden
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 3
BAC
CBA
CAB
BCA
ABC
E
D
A
2.
B
En la figura 4, ABCD es un paralelogramo en el cual FE // DB . ¿Cuál(es) de las siguientes
proposiciones es(son) verdaderas(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
(EFC = (ABD
II)
(DBC = (FEC
III)
(FEC = (BDA
D
F
C
E
fig. 4
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
A
6
B
TEOREMA 2
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido
entre lados proporcionales (fig. 1).
R
C
AC
AB
Si (A ≅ (P y
, entonces ΔABC ∼ ΔPQR
=
PR
PQ
fig. 1
B
A
TEOREMA 3
P
Q
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales (fig. 2).
C
AB
BC
CA
Si
,
=
=
QR
RP
PQ
R
fig. 2
entonces ΔABC ∼ ΔPQR
TEOREMA 4
A
B
P
Q
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente
proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes (fig. 3).
C
AB
AC
AB
=
Si (C ≅ (R y
,
PR
PQ
entonces ΔABC ∼ ΔPQR
>
AC
R
PQ
>
PR
fig. 3
A
P
B
Q
EJEMPLOS
1.
En la figura 4, PQR y STR son triángulos semejantes. Si ST : PQ = 1 : 2 y ST no es paralelo con
PQ , ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre correcta(s)?
I)
SR : QR = 1 : 2
II)
RT : RQ = 1 : 2
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
R
fig. 4
PS = SR
I
II
III
I y II
II y III
T
S
P
Q
¿Qué pares de triángulos son semejantes?
I)
9
II)
47º
30º
30º 120º
120º
6
9
38º
38º
47º
12
A)
B)
C)
D)
E)
III)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
Ninguno de ellos
7
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA 5
En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos
homólogos cualesquiera (fig. 1).
C’
C
fig. 1
Si ΔABC ∼ ΔA’B’C’,
entonces
b
t
h
= c = a = ...
b' tc' ha'
tc
b
b’
a
ha
A
OBSERVACIÓN:
a’
tc’
h a’
c
B
c’
A’
B’
Este teorema también es válido en polígonos semejantes.
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, ΔABC ∼ ΔPQR. Si AD = DC , PS = SR
y DB = 2SQ , entonces AE : PT =
R
A)
B)
C)
D)
E)
2.
C
4:1
3:1
2:1
3:2
faltan datos
T
mº
mº
E
P
mº
mº
S
Q
fig. 2
A
D
B
Los triángulos ABC y PQR de la figura 3 son equiláteros. Si AE es bisectriz, CD es altura,
QS es transversal de gravedad y AD : PS = 1 : 3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
relaciones es(son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
BD : QR = 1 : 6
II)
III)
CE : SR = 1 : 3
R
C
DF : PQ = 1 : 9
F
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
A
8
D
fig. 3
S
E
B
P
Q
TEOREMA 6
Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos
cualesquiera (fig. 1).
C
C’ fig. 1
Si ΔABC ∼ ΔA’B’C’,
entonces
b
t
h
perímetro ΔABC
= = c = a = ...
b' tc' ha'
perímetro ΔA'B'C'
OBSERVACIÓN:
b t
c
a
b’ tc’
A
a’
ha’
ha
c
B
A’
c
B
Este teorema también es válido en polígonos semejantes y en circunferencias.
TEOREMA 7
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en
que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).
Si ΔABC ∼ ΔA’B’C’,
entonces
2
⎛ h ⎟⎞2
⎛ b ⎟⎞2 ⎜⎜⎛ tc ⎟⎞⎟
área ΔABC
⎜
⎜
⎟
= ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ a ⎟⎟ = ...
⎟
⎝ b' ⎠
⎜⎝ ha' ⎟⎠
área ΔA'B'C'
⎝⎜ t c ' ⎠⎟
OBSERVACIÓN:
Este teorema también es válido en polígonos semejantes y en círculos.
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, ABCD y EFGH son dos cuadrados tales que AB : EF = 3 : 4. Si el perímetro
de ABCD es igual a 36 cm, ¿cuánto mide EG ?
H
A)
B)
C)
D)
E)
2.
D
3 2 cm
G
C
4 2 cm
fig. 2
9 2 cm
12 2 cm
12 cm
A
B
E
F
En el ΔPBC de la figura 3, AD // BC . Si AD = 4, BC = 6 y el área del trapecio ABCD es 25,
¿cuál es el área del ΔPAD?
P
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 3
50
30
20
15
10
A
B
9
D
C
EJERCICIOS
1.
En la figura 1, si ΔABC es isósceles y AD = 4 cm, entonces su área es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
8
16
32
48
64
C
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 1
α
A
2.
iguales áreas.
iguales perímetros.
anchos de iguales medidas.
diagonales de iguales medidas.
ninguna de las anteriores.
Si el triángulo ABC, de la figura 2, es escaleno y rectángulo en C, ¿cuál(es) de las siguientes
proposiciones es(son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
B
Es siempre correcto afirmar que dos rectángulos son semejantes si tienen
A)
B)
C)
D)
E)
3.
α
D
I)
(ACD = (ABC
II)
III)
ΔBCD ∼ ΔBAC
ΔADC ∼ ΔACB
C
fig. 2
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores
A
Siempre son semejantes,
A)
B)
C)
D)
E)
dos
dos
dos
dos
dos
pentágonos.
triángulos rectángulos.
trapecios isósceles.
romboides de igual perímetro.
cuadrados de distinto perímetro.
10
D
B
5.
Las áreas de dos triángulos equiláteros están en la razón 1 : 9. Si la altura del triángulo de
menor área mide 3 3 , ¿cuál es el perímetro del otro triángulo?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
18
18 3
27 3
54
162
En la figura 3, el ΔABC es isósceles y rectángulo en C. Si BC = 2 2 , entonces AD + DC =
A)
B)
C)
D)
E)
4
2 2
4 2
8
ninguna de las anteriores
C
fig. 3
A
7.
D
B
El triángulo ACB, de la figura 4, es rectángulo en C. Si BC = 10 y CD = 6, entonces AD =
A)
B)
C)
D)
E)
B
4
4,5
5
6
8
D
fig. 4
A
8.
C
En el ΔABC de la figura 5, CD es bisectriz del ángulo ACB, AD : AC = 3 : 4. ¿Cuánto
mide AB , si BC = 12?
A)
B)
C)
D)
E)
10
12
14
16
18
C
fig. 5
α
A
11
α
D
B
9.
El radio de circunferencia de centro O mide 4 cm y
la cuerda BC ?
AD mide 10 cm (fig.6). ¿Cuánto mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
10.
2,4
3,6
4,8
5,0
6,0
C
fig. 6
A
En el rectángulo ABCD de la figura 7, AB = 2 BC , DE ⊥ AC
AB ?
A)
B)
C)
D)
E)
10
12
15
16
18
cm
cm
cm
cm
cm
B
O
y EB = 9 cm. ¿Cuánto mide
D
C
fig. 7
F
A
E
B
RESPUESTAS
Ejemplos
CLAVES PÁG. 4
1
2
1
D
A
2
3
4
5
6
7
8
9
A
E
D
B
C
A
C
D
C
D
E
D
E
A
B
C
Págs.
1.
B
6.
A
2.
E
7.
B
3.
D
8.
E
4.
E
9.
C
5.
D
10. B
DOMT-18
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